حل سیستم های نابرابری های خطی به صورت گرافیکی حل نابرابری های نمایی حل نابرابری های دوگانه آنلاین

ابتدا کمی شعر برای درک مشکلی که روش فاصله ای حل می کند. فرض کنید باید نابرابری زیر را حل کنیم:

(x − 5) (x + 3) > 0

چه گزینه هایی وجود دارد؟ اولین چیزی که برای اکثر دانش‌آموزان به ذهن خطور می‌کند، قوانین «به‌علاوه مثبت می‌دهد» و «منهای روی منهای مثبت می‌دهد». بنابراین، کافی است حالتی را که هر دو براکت مثبت هستند در نظر بگیریم: x − 5 > 0 و x + 3 > 0. سپس موردی را نیز در نظر می گیریم که هر دو براکت منفی هستند: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

دانش‌آموزان پیشرفته‌تر (شاید) به یاد داشته باشند که در سمت چپ است تابع درجه دوم، که نمودار آن سهمی است. علاوه بر این، این سهمی محور OX را در نقاط x = 5 و x = -3 قطع می کند. برای کار بیشتر، باید براکت ها را باز کنید. ما داریم:

x 2 − 2x − 15 > 0

اکنون مشخص است که شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، زیرا ضریب a = 1 > 0. بیایید سعی کنیم نمودار این سهمی را رسم کنیم:

این تابع در جایی که از بالای محور OX عبور می کند بزرگتر از صفر است. در مورد ما، اینها فواصل (-∞ -3) و (5؛ +∞) هستند - این پاسخ است.

لطفا توجه داشته باشید: تصویر دقیقا نشان می دهد نمودار عملکرد، نه برنامه او از آنجا که برای یک نمودار واقعی باید مختصات را بشمارید، جابجایی ها را محاسبه کنید و چیزهای مزخرفی که در حال حاضر مطلقاً از آنها استفاده نمی کنیم.

چرا این روش ها بی اثر هستند؟

بنابراین، ما دو راه حل برای یک نابرابری در نظر گرفته ایم. هر دوی آنها کاملاً دست و پا گیر بودند. اولین تصمیم گرفته می شود - فقط در مورد آن فکر کنید! - مجموعه ای از سیستم های نابرابری. راه حل دوم نیز به خصوص آسان نیست: شما باید نمودار سهمی و یک سری حقایق کوچک دیگر را به خاطر بسپارید.

این یک نابرابری بسیار ساده بود. فقط 2 ضریب دارد. حالا تصور کنید که نه 2، بلکه حداقل 4 ضریب وجود خواهد داشت:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

چگونه می توان چنین نابرابری را حل کرد؟ تمام ترکیبات ممکن از مزایا و معایب را مرور کنید؟ بله، ما سریعتر از اینکه راه حلی پیدا کنیم به خواب خواهیم رفت. رسم نمودار نیز یک گزینه نیست، زیرا مشخص نیست که چنین تابعی در صفحه مختصات چگونه رفتار می کند.

برای چنین نابرابری ها، یک الگوریتم حل ویژه مورد نیاز است که امروز آن را در نظر خواهیم گرفت.

روش بازه ای چیست

روش بازه‌ای یک الگوریتم ویژه است که برای حل نابرابری‌های پیچیده به شکل f (x) > 0 و f (x) طراحی شده است.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. معادله f (x) = 0 را حل کنید. بنابراین، به جای یک نابرابری، معادله ای به دست می آید که حل آن بسیار ساده تر است.
2. تمام ریشه های به دست آمده را روی خط مختصات علامت بزنید. بنابراین، خط مستقیم به چندین فواصل تقسیم می شود.
3. علامت (به علاوه یا منفی) تابع f (x) را در سمت راست ترین بازه پیدا کنید. برای انجام این کار، کافی است هر عددی را که در سمت راست همه ریشه های علامت گذاری شده قرار دارد، با f (x) جایگزین کنید.
4. علائم را در فواصل باقی مانده علامت بزنید. برای انجام این کار، فقط به یاد داشته باشید که هنگام عبور از هر ریشه، علامت تغییر می کند.

همین! پس از این، تنها چیزی که باقی می ماند این است که فواصل مورد علاقه خود را یادداشت کنیم. اگر نابرابری به شکل f (x) > 0 بود با علامت "+" یا اگر نابرابری به شکل f (x) بود با علامت "-" مشخص می شوند.< 0.

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که روش فاصله نوعی چیز کوچک است. اما در عمل همه چیز بسیار ساده خواهد بود. فقط کمی تمرین کنید و همه چیز مشخص خواهد شد. به نمونه ها دقت کنید و خودتان ببینید:

وظیفه. حل نابرابری:

(x − 2) (x + 7)< 0

ما با استفاده از روش فاصله کار می کنیم. مرحله 1: نامساوی را با یک معادله جایگزین کنید و آن را حل کنید:

(x − 2) (x + 7) = 0

حاصل ضرب برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از عوامل باشد برابر با صفر:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = -7.

ما دو ریشه داشتیم. بیایید به مرحله 2 برویم: این ریشه ها را روی خط مختصات علامت گذاری کنید. ما داریم:

اکنون مرحله 3: علامت تابع را در سمت راست ترین بازه (در سمت راست نقطه علامت گذاری شده x = 2) پیدا کنید. برای انجام این کار، باید هر عددی را بگیرید تعداد بیشتر x = 2. برای مثال، x = 3 را در نظر بگیریم (اما هیچ کس گرفتن x = 4، x = 10 و حتی x = 10000 را ممنوع نمی کند). ما گرفتیم:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

ما دریافتیم که f (3) = 10 > 0، بنابراین علامت مثبت را در سمت راست ترین بازه قرار می دهیم.

بیایید به آخرین نکته برویم - باید علائم را در فواصل باقی مانده یادداشت کنیم. به یاد داریم که هنگام عبور از هر ریشه، علامت باید تغییر کند. به عنوان مثال، در سمت راست ریشه x = 2 یک مثبت وجود دارد (ما در مرحله قبل از این موضوع مطمئن شدیم)، بنابراین باید یک منفی در سمت چپ وجود داشته باشد.

این منهای به کل بازه گسترش می یابد (-7؛ 2)، بنابراین یک منهای در سمت راست ریشه x = -7 وجود دارد. بنابراین، در سمت چپ ریشه x = −7 یک مثبت وجود دارد. باقی مانده است که این علائم را روی آن علامت گذاری کنیم محور مختصات. ما داریم:

بیایید به نابرابری اصلی بازگردیم که به شکل زیر بود:

(x − 2) (x + 7)< 0

بنابراین تابع باید کمتر از صفر باشد. این بدان معنی است که ما به علامت منفی علاقه مندیم که فقط در یک بازه ظاهر می شود: (-7؛ 2). این پاسخ خواهد بود.

وظیفه. حل نابرابری:

(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0

مرحله 1: سمت چپ را صفر کنید:

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

به یاد داشته باشید: زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. به همین دلیل است که ما حق داریم هر یک از براکت ها را با صفر برابر کنیم.

مرحله 2: تمام ریشه ها را روی خط مختصات علامت بزنید:

مرحله 3: نشانه سمت راست ترین شکاف را پیدا کنید. هر عددی را می گیریم که بزرگتر از x = 1 باشد. برای مثال، می توانیم x = 10 را بگیریم. داریم:

f (x) = (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 · 7 · (-9) = - 1197;
f (10) = -1197< 0.

مرحله 4: قرار دادن علائم باقی مانده. به یاد داریم که هنگام عبور از هر ریشه علامت تغییر می کند. در نتیجه، تصویر ما به شکل زیر خواهد بود:

همین. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است. نگاهی دیگر به نابرابری اصلی بیندازید:

(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0

این نابرابری از فرم f(x) است.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (-9; 1) ∪ (3; +∞)

این پاسخ است.

نکته ای در مورد علائم عملکرد

تمرین نشان می دهد که بیشترین مشکلات در روش فاصله زمانی در دو مرحله آخر ایجاد می شود، یعنی. هنگام قرار دادن علائم بسیاری از دانش‌آموزان شروع به سردرگمی می‌کنند: کدام اعداد را بگیرند و علائم را کجا بگذارند.

برای درک نهایی روش بازه، دو مشاهده را در نظر بگیرید که بر اساس آن است:

1. یک تابع پیوسته فقط در آن نقاط علامت تغییر می دهد جایی که برابر با صفر است. چنین نقاطی محور مختصات را به قطعاتی تقسیم می کنند که علامت تابع هرگز تغییر نمی کند. به همین دلیل است که معادله f (x) = 0 را حل می کنیم و ریشه های پیدا شده را روی خط مستقیم علامت گذاری می کنیم. اعداد یافت شده نقاط "مرز" هستند که جوانب مثبت و منفی را از هم جدا می کنند.
2. برای پیدا کردن علامت یک تابع در هر بازه ای، کافی است هر عددی را از این بازه به تابع جایگزین کنید. به عنوان مثال، برای بازه (-5؛ 6) ما حق داریم که x = -4، x = 0، x = 4 و حتی x = 1.29374 را در صورت تمایل بگیریم. چرا مهم است؟ بله، زیرا شک و تردید در بسیاری از دانش آموزان شروع می شود. مثلاً، اگر برای x = -4 یک مثبت و برای x = 0 یک منهای دریافت کنیم، چه؟ اما هیچ وقت چنین اتفاقی نخواهد افتاد. همه نقاط در یک بازه یکسان نشان می دهند. این را به خاطر بسپار.

این تمام چیزی است که باید در مورد روش فاصله بدانید. البته ما آن را در ساده ترین شکل آن تحلیل کرده ایم. نابرابری های پیچیده تری وجود دارد - غیر دقیق، کسری و با ریشه های مکرر. می توانید از روش فاصله برای آنها نیز استفاده کنید، اما این موضوع برای یک درس بزرگ جداگانه است.

اکنون می خواهم به یک تکنیک پیشرفته نگاه کنم که به طور چشمگیری روش فاصله را ساده می کند. به طور دقیق تر، ساده سازی تنها بر مرحله سوم تأثیر می گذارد - محاسبه علامت در سمت راست ترین قطعه خط. به دلایلی، این تکنیک در مدارس آموزش داده نمی شود (حداقل هیچکس این را برای من توضیح نداده است). اما بیهوده - زیرا در واقع این الگوریتم بسیار ساده است.

بنابراین، علامت تابع در سمت راست خط اعداد قرار دارد. این قطعه شکل (a ; +∞) دارد، که a بزرگترین ریشه معادله f (x) = 0 است. برای اینکه ذهن شما را منفجر نکند، اجازه دهید یک مثال خاص را در نظر بگیریم:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x)< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

ما 3 ریشه گرفتیم. بیایید آنها را به ترتیب صعودی فهرست کنیم: x = -2، x = 1 و x = 7. بدیهی است که بزرگترین ریشه x = 7 است.

برای کسانی که استدلال گرافیکی برایشان راحت‌تر است، من این ریشه‌ها را روی خط مختصات علامت‌گذاری می‌کنم. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد:

لازم است علامت تابع f (x) را در سمت راست ترین بازه پیدا کنید، یعنی. به (7؛ +∞). اما همانطور که قبلاً اشاره کردیم ، برای تعیین علامت می توانید هر عددی را از این فاصله بگیرید. به عنوان مثال، می توانید x = 8، x = 150 و غیره را بگیرید. و اکنون - همان تکنیکی که در مدارس تدریس نمی شود: بی نهایت را به عنوان یک عدد در نظر بگیریم. دقیق تر، به علاوه بی نهایت، یعنی +∞.

«سنگ زده شدی؟ چگونه می توان بی نهایت را با یک تابع جایگزین کرد؟ - ممکن است بپرسید اما در مورد آن فکر کنید: ما به مقدار خود تابع نیاز نداریم، ما فقط به علامت نیاز داریم. بنابراین، به عنوان مثال، مقادیر f (x) = -1 و f (x) = -938 740 576 215 به همین معنی است: تابع در این بازه منفی است. بنابراین، تنها چیزی که از شما خواسته می شود این است که نشانه ای را که در بی نهایت ظاهر می شود، پیدا کنید، نه مقدار تابع.

در واقع، جایگزینی بی نهایت بسیار ساده است. بیایید به عملکرد خود برگردیم:

f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

تصور کنید که x بسیار است عدد بزرگ. میلیارد یا حتی تریلیون. حالا بیایید ببینیم در هر براکت چه اتفاقی می افتد.

پرانتز اول: (x − 1). اگر یک را از یک میلیارد کم کنید چه اتفاقی می افتد؟ نتیجه عددی خواهد بود که تفاوت چندانی با یک میلیارد ندارد و این عدد مثبت خواهد بود. به طور مشابه با براکت دوم: (2 + x). اگر یک میلیارد به دو اضافه کنیم، یک میلیارد و کوپک بدست می آوریم - این است عدد مثبت. در نهایت، براکت سوم: (7 − x). در اینجا یک میلیارد منهای وجود خواهد داشت که از آن یک قطعه رقت انگیز به شکل هفت "خراب شد". آن ها عدد حاصل از منهای میلیارد تفاوت چندانی نخواهد داشت - منفی خواهد بود.

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن نشانه ای از کل اثر است. از آنجایی که در اولین پرانتز یک مثبت و در آخری یک منفی داشتیم، ساختار زیر را دریافت می کنیم:

(+) · (+) · (−) = (−)

علامت نهایی منفی است! و مهم نیست که ارزش خود تابع چقدر است. نکته اصلی این است که این مقدار منفی است، یعنی. سمت راست ترین فاصله دارای علامت منفی است. تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل مرحله چهارم روش فاصله است: همه علائم را مرتب کنید. ما داریم:

نابرابری اولیه این بود:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x)< 0

بنابراین، ما علاقه مند به فواصل مشخص شده با علامت منفی هستیم. پاسخ را می نویسیم:

x ∈ (-2; 1) ∪ (7; +∞)

این تمام ترفندی است که می خواستم به شما بگویم. در پایان، در اینجا یک نابرابری دیگر وجود دارد که می توان آن را با روش بازه ای با استفاده از بی نهایت حل کرد. برای کوتاه کردن بصری راه حل، شماره مراحل و نظرات دقیق را نمی نویسم. من فقط چیزی را می نویسم که واقعاً هنگام حل مشکلات واقعی باید بنویسید:

وظیفه. حل نابرابری:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

نابرابری را با یک معادله جایگزین می کنیم و آن را حل می کنیم:

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

هر سه ریشه را روی خط مختصات (با علائم به طور همزمان) علامت گذاری می کنیم:

یک مثبت در سمت راست محور مختصات وجود دارد، زیرا تابع به نظر می رسد:

f (x) = x (2x + 8) (x − 3)

و اگر بی نهایت را جایگزین کنیم (مثلاً یک میلیارد)، سه براکت مثبت به دست می آید. از آنجایی که عبارت اصلی باید بزرگتر از صفر باشد، ما فقط به موارد مثبت علاقه داریم. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است:

x ∈ (-4; 0) ∪ (3; +∞)

در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها. ما به شما به وضوح در مورد چگونه برای نابرابری ها راه حل بسازیم، با مثال های واضح!

قبل از اینکه به حل نابرابری ها با استفاده از مثال نگاه کنیم، بیایید مفاهیم اساسی را درک کنیم.

اطلاعات کلی در مورد نابرابری ها

نابرابریعبارتی است که در آن توابع با علائم رابطه >، . نابرابری ها می توانند هم عددی و هم حرفی باشند.
نابرابری های دارای دو علامت نسبت را دو، سه - سه و غیره می نامند. مثلا:
a(x) > b(x)،
a(x) a(x) b(x)،
a(x) b(x).
a(x) نابرابری های حاوی علامت > یا یا - سختگیر نیستند.
حل نابرابریهر مقدار از متغیری است که این نابرابری برای آن صادق خواهد بود.
"حل نابرابری"به این معنی است که ما باید مجموعه ای از راه حل های آن را پیدا کنیم. متفاوت است روش های حل نابرابری ها. برای راه حل های نابرابریآنها از خط عددی استفاده می کنند که بی نهایت است. مثلا، راه حل برای نابرابری x > 3 بازه 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین نقطه روی خط با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری سخت است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x=3 در مجموعه راه حل گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه با پرانتز مشخص می شود. علامت به معنای "تعلق" است.
بیایید نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از مثال دیگری با علامت بررسی کنیم:
x 2
-+
مقدار x=2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت مربع است و نقطه روی خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x)