حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش حداقل مربعات در اکسل. استفاده از روش حداقل مربعات در اکسل. چند کلمه در مورد صحت داده های اولیه مورد استفاده برای پیش بینی

روش کمترین مربعاتیک روش ریاضی برای ساخت یک معادله خطی است که بیشترین تناسب را با مجموعه ای از دو سری از اعداد دارد. هدف از استفاده از این روش به حداقل رساندن خطای مجذور کل است. اکسل ابزارهایی دارد که می تواند به شما کمک کند این روش را در محاسبات خود اعمال کنید. بیایید بفهمیم که چگونه این کار انجام می شود.

· استفاده از روش در اکسل

o فعال کردن افزونه "Solution Search".

o شرایط مشکل

o راه حل

استفاده از روش در اکسل

روش حداقل مربعات (LSM) یک توصیف ریاضی از وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر است. می توان از آن برای پیش بینی استفاده کرد.

فعال کردن افزونه Find Solution

برای استفاده از MNC در اکسل، باید افزونه را فعال کنید "یافتن راه حل"، که به طور پیش فرض غیرفعال است.

1. به برگه بروید "فایل".

2. روی نام بخش کلیک کنید "گزینه ها".

3. در پنجره باز شده زیربخش را انتخاب کنید "افزونه ها".

4. در بلوک "کنترل"، که در پایین پنجره قرار دارد، سوئیچ را روی موقعیت قرار دهید "افزونه های اکسل"(اگر مقدار متفاوتی دارد) و روی دکمه کلیک کنید "برو...".

5. یک پنجره کوچک باز می شود. در کنار پارامتر یک تیک می گذاریم "یافتن راه حل". روی دکمه کلیک کنید "خوب".

حالا تابع یافتن راه حلدر اکسل فعال می شود و ابزارهای آن روی نوار ظاهر می شود.

درس:یافتن راه حل در اکسل

شرایط مشکل

اجازه دهید کاربرد LSM را توضیح دهیم مثال خاص. ما دو ردیف اعداد داریم ایکسو y، که دنباله آن در تصویر زیر نشان داده شده است.

این وابستگی را می توان با بیشترین دقت توسط تابع شرح داد:

در عین حال معلوم است که وقتی x=0 yنیز برابر 0 . بنابراین، این معادله را می توان با وابستگی توصیف کرد y=nx.

ما باید حداقل مجموع مربع های اختلاف را پیدا کنیم.

راه حل

بیایید به توضیح کاربرد مستقیم روش برویم.

1. سمت چپ مقدار اول ایکسیک عدد بگذار 1 . این مقدار تقریبی مقدار ضریب اول خواهد بود n.

2. سمت راست ستون yیک ستون دیگر اضافه کنید - nx. در خانه اول این ستون فرمول ضرب ضریب را می نویسیم nدر هر سلول از متغیر اول ایکس. در همان زمان، پیوند فیلد را با ضریب مطلق می‌سازیم، زیرا این مقدار تغییر نمی‌کند. روی دکمه کلیک کنید وارد.

3. با استفاده از نشانگر پر، این فرمول را در کل محدوده جدول در ستون زیر کپی کنید.

4. در یک سلول جداگانه، مجموع اختلاف بین مربع های مقادیر را محاسبه کنید yو nx. برای این کار بر روی دکمه کلیک کنید "درج تابع".

5. در باز شده "جادوگر عملکرد"به دنبال ورودی "SUMMKVARNA". آن را انتخاب کنید و دکمه را فشار دهید "خوب".

6. پنجره آرگومان ها باز می شود. در زمینه "آرایه_x" y. در زمینه "Array_y"محدوده سلول های ستون را وارد کنید nx. به منظور وارد کردن مقادیر، به سادگی مکان نما را در فیلد قرار داده و محدوده مربوطه را در برگه انتخاب کنید. پس از ورود بر روی دکمه کلیک کنید "خوب".

7. به برگه بروید "داده ها". روی روبان در جعبه ابزار "تحلیل و بررسی"روی دکمه کلیک کنید "یافتن راه حل".

8. پنجره پارامترهای این ابزار باز می شود. در زمینه "بهینه سازی تابع هدف"آدرس سلول را با فرمول مشخص کنید "SUMMKVARNA". در پارامتر "قبل از"حتما سوئیچ را روی موقعیت قرار دهید "کمترین". در زمینه "تغییر سلول ها"آدرس را با مقدار ضریب نشان دهید n. روی دکمه کلیک کنید "راه حلی پیدا کن".

9. راه حل در سلول ضریب نمایش داده می شود n. این مقدار کمترین مربع تابع خواهد بود. اگر نتیجه کاربر را راضی کرد، روی دکمه کلیک کنید "خوب"در یک پنجره اضافی

همانطور که می بینید، استفاده از روش حداقل مربعات یک روش ریاضی نسبتاً پیچیده است. ما آن را در عمل با استفاده از یک مثال ساده نشان دادیم، اما موارد بسیار پیچیده تری وجود دارد. با این حال، ابزارهای مایکروسافت اکسل برای ساده کردن محاسبات تا حد امکان طراحی شده اند.

http://multitest.semico.ru/mnk.htm

مقررات عمومی

چگونه تعداد کمتردر مقدار مطلق، خط مستقیم (2) بهتر انتخاب می شود. به عنوان مشخصه دقت انتخاب خط راست (2) می توان مجموع مربع ها را در نظر گرفت

حداقل شرایط برای S خواهد بود

	(6)
	(7)

معادلات (6) و (7) را می توان به صورت زیر نوشت:

	(8)
	(9)

از معادلات (8) و (9) به راحتی می توان a و b را از مقادیر تجربی xi و y i یافت. خط (2) که با معادلات (8) و (9) تعریف می شود، به خطی گفته می شود که با روش حداقل مربعات بدست می آید (این نام تأکید می کند که مجموع مربعات S دارای حداقل است). معادلات (8) و (9) که خط مستقیم (2) از آنها مشخص می شود، معادلات عادی نامیده می شوند.

شما می توانید یک روش ساده و کلی برای ایجاد معادلات عادی نشان دهید. با استفاده از نقاط آزمایشی (1) و معادله (2)، می توانیم یک سیستم معادلات برای a و b بنویسیم.

بیایید سمت چپ و راست هر یک از این معادلات را در ضریب مجهول اول a ضرب کنیم (یعنی در x 1, x 2, ..., x n) و معادلات حاصل را با هم جمع کنیم و اولین معادله نرمال (8) حاصل شود. .

اجازه دهید سمت چپ و راست هر یک از این معادلات را در ضریب مجهول دوم b ضرب کنیم، یعنی. با 1، و معادلات به دست آمده را اضافه کنید، نتیجه دومین معادله نرمال (9) است.

این روش برای بدست آوردن معادلات عادی کلی است: برای مثال برای تابع مناسب است

یک مقدار ثابت وجود دارد و باید از داده های تجربی تعیین شود (1).

سیستم معادلات k را می توان نوشت:

خط راست (2) را با استفاده از روش حداقل مربعات پیدا کنید.

راه حل.ما پیدا می کنیم:

X i = 21، y i = 46.3، x i 2 = 91، x i y i = 179.1.

معادلات (8) و (9)91a+21b=179.1 را می نویسیم،

21a+6b=46.3، از اینجا پیدا می کنیم
a=0.98 b=4.3.

که بیشترین کاربرد را در زمینه های مختلف علمی و فعالیت عملی پیدا می کند. این می تواند فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد، جامعه شناسی، روانشناسی، و غیره و غیره باشد. به خواست سرنوشت، من اغلب باید با اقتصاد سر و کار داشته باشم، و بنابراین امروز برای شما سفری به کشوری شگفت انگیز به نام اقتصاد سنجی=) ...چطور نمیخوای؟! آنجا خیلی خوب است - فقط باید تصمیم خود را بگیرید! اما چیزی که احتمالاً قطعاً می خواهید این است که یاد بگیرید چگونه مشکلات را حل کنید روش حداقل مربعات. و به خصوص خوانندگان سخت کوش یاد خواهند گرفت که آنها را نه تنها به طور دقیق، بلکه بسیار سریع حل کنند ;-) اما ابتدا بیان کلی مشکل+ مثال همراه:

اجازه دهید شاخص هایی را در یک حوزه موضوعی خاص مطالعه کنیم که بیان کمی دارند. در عین حال، دلایل زیادی برای این باور وجود دارد که شاخص به شاخص بستگی دارد. این فرض می تواند شبیه باشد فرضیه علمیو بر اساس عقل سلیم پایه باشد. با این حال، بیایید علم را کنار بگذاریم و مناطق اشتها آورتر - یعنی فروشگاه های مواد غذایی - را بررسی کنیم. بیایید نشان دهیم:

- منطقه خرده فروشی یک فروشگاه مواد غذایی، متر مربع،
- گردش مالی سالانه یک فروشگاه مواد غذایی، میلیون روبل.

کاملاً واضح است که هر چه مساحت فروشگاه بزرگتر باشد، در بیشتر موارد گردش مالی آن بیشتر خواهد بود.

فرض کنید پس از انجام مشاهدات / آزمایش ها / محاسبات / رقص با یک تنبور، داده های عددی در اختیار ماست:

در مورد فروشگاه های مواد غذایی، فکر می کنم همه چیز روشن است: - این منطقه اولین فروشگاه است، - گردش مالی سالانه آن، - منطقه فروشگاه دوم، - گردش مالی سالانه آن و غیره. به هر حال، دسترسی به مواد طبقه بندی شده اصلاً ضروری نیست - ارزیابی نسبتاً دقیقی از گردش مالی تجاری را می توان با استفاده از آمار ریاضی. با این حال، بیایید منحرف نشویم، دوره جاسوسی تجاری قبلاً پرداخت شده است =)

داده های جدولی را نیز می توان به صورت نقطه نوشت و به شکل آشنا به تصویر کشید سیستم دکارتی .

بیایید به یک سوال مهم پاسخ دهیم: برای یک مطالعه کیفی چند امتیاز لازم است؟

هرچه بزرگتر بهتر. حداقل مجموعه قابل قبول شامل 5-6 امتیاز است. علاوه بر این، زمانی که مقدار داده کم باشد، نتایج "غیر عادی" نمی توانند در نمونه گنجانده شوند. بنابراین، برای مثال، یک فروشگاه کوچک نخبه می‌تواند سفارش‌های بزرگ‌تری نسبت به «همکارانش» به دست آورد و در نتیجه تحریف کند. الگوی کلی، چیزی است که شما باید پیدا کنید!

به بیان ساده، باید یک تابع را انتخاب کنیم، برنامهکه تا حد امکان نزدیک به نقاط می گذرد . این تابع نامیده می شود تقریبی (تقریبی - تقریبی)یا عملکرد نظری . به طور کلی، یک "مقابله" آشکار بلافاصله در اینجا ظاهر می شود - چند جمله ای درجه بالا، که نمودار آن از تمام نقاط عبور می کند. اما این گزینه پیچیده است و اغلب به سادگی نادرست است. (از آنجایی که نمودار همیشه "حلقه" می شود و روند اصلی را به خوبی منعکس می کند).

بنابراین، تابع جستجو باید کاملاً ساده باشد و در عین حال به اندازه کافی وابستگی را منعکس کند. همانطور که ممکن است حدس بزنید، یکی از روش های یافتن چنین توابعی نامیده می شود روش حداقل مربعات. ابتدا اجازه دهید به ماهیت آن به صورت کلی نگاه کنیم. اجازه دهید برخی از تابع ها داده های تجربی را تقریبی کنند:


چگونه می توان صحت این تقریب را ارزیابی کرد؟ اجازه دهید تفاوت (انحرافات) بین مقادیر تجربی و عملکردی را نیز محاسبه کنیم (ما نقاشی را مطالعه می کنیم). اولین فکری که به ذهن می رسد این است که تخمین بزنیم مجموع چقدر است، اما مشکل اینجاست که تفاوت ها می تواند منفی باشد. (مثلا، ) و انحرافات در نتیجه چنین جمع آوری یکدیگر را خنثی می کنند. بنابراین، به عنوان تخمینی از دقت تقریب، التماس می شود که جمع را در نظر بگیرید ماژول هاانحرافات:

یا فرو ریخت: (در صورتی که کسی نداند: - این نماد جمع است و - یک متغیر "counter" کمکی که مقادیری از 1 تا را می گیرد).

با تقریب نقاط تجربی با توابع مختلف به دست خواهیم آورد معانی مختلفو بدیهی است که در جایی که این مقدار کمتر است، آن تابع دقیق تر است.

چنین روشی وجود دارد و به آن می گویند روش حداقل مدول. با این حال، در عمل بسیار گسترده تر شده است روش حداقل مربع، که در آن مقادیر منفی احتمالی نه توسط ماژول، بلکه با مربع کردن انحرافات حذف می شوند:

، پس از آن تلاش ها برای انتخاب تابعی به گونه ای است که مجموع انحرافات مجذور باشد تا حد امکان کوچک بود در واقع، نام روش از اینجا آمده است.

و اکنون به چیز دیگری برمی گردیم نکته مهم: همانطور که در بالا ذکر شد، تابع انتخاب شده باید کاملاً ساده باشد - اما بسیاری از این توابع نیز وجود دارد: خطی , هذلولی, نمایی, لگاریتمی, درجه دوم و غیره. و البته در اینجا من بلافاصله می خواهم "زمینه فعالیت را کاهش دهم." کدام دسته از توابع را برای تحقیق انتخاب کنم؟ یک تکنیک بدوی اما موثر:

- ساده ترین راه این است که نقاط را به تصویر بکشید بر روی نقاشی و تجزیه و تحلیل مکان آنها. اگر آنها تمایل به دویدن در یک خط مستقیم دارند، پس باید به دنبال آن باشید معادله یک خط با مقادیر بهینه و . به عبارت دیگر، وظیفه یافتن چنین ضرایبی است که مجموع مجذور انحرافات کوچکترین باشد.

اگر نقاط، به عنوان مثال، در امتداد قرار دارند هذلولی، پس واضح است که تابع خطی تقریب ضعیفی به دست می دهد. در این مورد، ما به دنبال "مطلوب ترین" ضرایب برای معادله هذلولی هستیم - آنهایی که حداقل مجموع مربع ها را می دهند .

حال توجه داشته باشید که در هر دو مورد ما صحبت می کنیم توابع دو متغیر، که استدلال های آن است پارامترهای وابستگی جستجو شده:

و اساساً ما باید یک مشکل استاندارد را حل کنیم - پیدا کردن حداقل تابع دو متغیر.

بیایید مثال خود را به خاطر بسپاریم: فرض کنید که نقاط "فروشگاه" در یک خط مستقیم قرار دارند و دلایل زیادی برای این باور وجود دارد که وابستگی خطیگردش مالی از فضای خرده فروشی بیایید چنین ضرایبی "a" و "be" را پیدا کنیم به طوری که مجموع انحرافات مجذور کوچکترین بود همه چیز طبق معمول است - اول مشتقات جزئی مرتبه 1. مطابق با قانون خطی بودنمی توانید درست در زیر نماد جمع متمایز کنید:

اگر می خواهید استفاده کنید این اطلاعاتبرای یک مقاله یا کار درسی - از پیوند موجود در لیست منابع بسیار سپاسگزار خواهم بود؛ چنین محاسبات دقیقی را در چند مکان پیدا خواهید کرد:

بیایید یک سیستم استاندارد ایجاد کنیم:

هر معادله را "دو" کاهش می دهیم و علاوه بر این، مجموع را "تقسیم" می کنیم:

توجه داشته باشید : به طور مستقل تجزیه و تحلیل کنید که چرا "a" و "be" را می توان فراتر از نماد جمع خارج کرد. به هر حال، به طور رسمی این را می توان با مجموع انجام داد

بیایید سیستم را به شکل "کاربردی" بازنویسی کنیم:

پس از آن الگوریتم برای حل مشکل ما شروع به ظهور می کند:

آیا مختصات نقاط را می دانیم؟ ما میدانیم. مبالغ آیا می توانیم آن را پیدا کنیم؟ به آسانی. بیایید ساده ترین ها را بسازیم سیستم دو معادله خطی در دو مجهول(«الف» و «بودن»). ما سیستم را حل می کنیم، به عنوان مثال، روش کرامر، در نتیجه یک نقطه ثابت به دست می آوریم. چک کردن شرایط کافی برای یک افراطی، می توانیم تأیید کنیم که در این مرحله تابع دقیقا می رسد کمترین. چک شامل محاسبات اضافی است و بنابراین ما آن را در پشت صحنه رها می کنیم (در صورت لزوم، قاب گم شده قابل مشاهده است). نتیجه نهایی را می گیریم:

تابع بهترین راه (حداقل در مقایسه با هر تابع خطی دیگری)نقاط تجربی را به هم نزدیک می کند . به طور کلی، نمودار آن تا حد ممکن به این نقاط نزدیک می شود. در سنت اقتصاد سنجیتابع تقریبی حاصل نیز نامیده می شود معادله رگرسیون خطی زوجی .

مشکل در نظر گرفته شده دارای یک بزرگ است اهمیت عملی. در وضعیت مثال ما، معادله به شما اجازه می دهد تا پیش بینی کنید که چه گردش تجاری ("ایگرک")فروشگاه در یک یا مقدار دیگری از منطقه فروش خواهد داشت (یک یا آن معنی از "x"). بله، پیش‌بینی حاصل فقط یک پیش‌بینی خواهد بود، اما در بسیاری از موارد کاملاً دقیق خواهد بود.

من فقط یک مشکل را با اعداد "واقعی" تجزیه و تحلیل خواهم کرد ، زیرا هیچ مشکلی در آن وجود ندارد - همه محاسبات در سطح هستند برنامه آموزشی مدرسهکلاس 7-8. در 95 درصد موارد، از شما خواسته می شود که فقط یک تابع خطی را پیدا کنید، اما در انتهای مقاله نشان خواهم داد که یافتن معادلات هذلولی بهینه، نمایی و برخی دیگر از توابع دشوارتر نیست.

در واقع، تنها چیزی که باقی می ماند توزیع خوبی های وعده داده شده است - به طوری که می توانید یاد بگیرید که چنین نمونه هایی را نه تنها با دقت، بلکه به سرعت حل کنید. ما استاندارد را به دقت مطالعه می کنیم:

وظیفه

در نتیجه مطالعه رابطه بین دو شاخص، جفت اعداد زیر به دست آمد:

با استفاده از روش حداقل مربعات، تابع خطی را که بهترین تقریب تجربی را دارد، پیدا کنید (با تجربه)داده ها. یک نقاشی بکشید که بر روی آن نقاط تجربی و نموداری از تابع تقریبی در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی ساخته شود. . مجموع مجذور انحرافات بین مقادیر تجربی و نظری را بیابید. ببینید آیا این ویژگی بهتر است یا خیر (از دیدگاه روش حداقل مربعات)نقاط تجربی را به هم نزدیک کنید.

لطفاً توجه داشته باشید که معانی "x" طبیعی هستند و این یک معنای معنی دار مشخصه دارد که کمی بعد در مورد آن صحبت خواهم کرد. اما آنها، البته، می توانند کسری نیز باشند. علاوه بر این، بسته به محتوای یک کار خاص، هر دو مقدار "X" و "بازی" می توانند به طور کامل یا تا حدی منفی باشند. خوب، به ما یک وظیفه "بی چهره" داده شده است و ما آن را شروع می کنیم راه حل:

ما ضرایب تابع بهینه را به عنوان یک راه حل برای سیستم پیدا می کنیم:

برای ضبط فشرده تر، متغیر "counter" را می توان حذف کرد، زیرا از قبل واضح است که جمع بندی از 1 تا .

محاسبه مقادیر مورد نیاز به صورت جدولی راحت تر است:


محاسبات را می توان بر روی یک ریز ماشین حساب انجام داد، اما استفاده از Excel بسیار بهتر است - هم سریعتر و هم بدون خطا. تماشای یک ویدیوی کوتاه:

بنابراین، موارد زیر را بدست می آوریم سیستم:

در اینجا می توانید معادله دوم را در 3 ضرب کنید و عدد 2 را از معادله 1 کم کنید. اما این شانس است - در عمل، سیستم ها اغلب یک هدیه نیستند و در چنین مواردی باعث صرفه جویی می شود روش کرامر:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

بیایید بررسی کنیم. می‌دانم که شما نمی‌خواهید، اما چرا از خطاهایی که نمی‌توان آنها را مطلقاً از دست داد، رد شد؟ اجازه دهید جواب یافت شده را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنیم:

سمت راست معادلات مربوطه به دست می آید که به این معنی است که سیستم به درستی حل شده است.

بنابراین، تابع تقریبی مورد نظر: – از همه توابع خطیاین اوست که داده های تجربی را به بهترین شکل تقریب می کند.

بر خلاف سر راست وابستگی گردش مالی فروشگاه به منطقه آن، وابستگی یافت شده است معکوس (اصل "هرچه بیشتر، کمتر")، و این واقعیت بلافاصله توسط منفی آشکار می شود شیب. تابع به ما می گوید که با افزایش 1 واحد در یک شاخص خاص، مقدار شاخص وابسته کاهش می یابد میانگین 0.65 واحد همانطور که می گویند هر چه قیمت گندم سیاه بیشتر باشد کمتر فروخته می شود.

برای رسم نمودار تابع تقریبی، دو مقدار آن را پیدا می کنیم:

و نقشه را اجرا کنید:


خط مستقیم ساخته شده نامیده می شود خط روند (یعنی یک خط روند خطی، یعنی در حالت کلی، یک روند لزوما یک خط مستقیم نیست). همه با عبارت "در ترند بودن" آشنا هستند و من فکر می کنم که این اصطلاح نیازی به توضیحات اضافی ندارد.

بیایید مجموع انحرافات مجذور را محاسبه کنیم بین ارزش های تجربی و نظری از نظر هندسی، این مجموع مربعات طول بخش های "تمشک" است. (دوتای آنها آنقدر کوچک هستند که حتی دیده نمی شوند).

بیایید محاسبات را در یک جدول خلاصه کنیم:


باز هم، آنها را می توان به صورت دستی انجام داد؛ در هر صورت، برای نکته 1 مثالی می زنم:

اما انجام آن به روشی که قبلاً شناخته شده است بسیار مؤثرتر است:

یک بار دیگر تکرار می کنیم: منظور از نتیجه به دست آمده چیست؟از جانب همه توابع خطیتابع y شاخص کوچکترین است، یعنی در خانواده خود بهترین تقریب است. و در اینجا، اتفاقاً، سؤال نهایی مسئله تصادفی نیست: اگر تابع نمایی پیشنهادی چه می‌شود؟ آیا بهتر است نکات تجربی را به هم نزدیک کنیم؟

بیایید مجموع متناظر انحرافات مربع را پیدا کنیم - برای تشخیص، آنها را با حرف "epsilon" نشان می دهم. تکنیک دقیقاً مشابه است:


و دوباره، فقط در مورد، محاسبات برای نقطه 1:

در اکسل از تابع استاندارد استفاده می کنیم انقضا (سینتکس را می توان در راهنمای اکسل یافت).

نتیجه: یعنی تابع نمایی بدتر از یک خط مستقیم به نقاط تجربی تقریب می زند .

اما در اینجا باید توجه داشت که "بدتر" است هنوز به این معنی نیست، چه اشکالی دارد. اکنون من یک نمودار از این تابع نمایی ساخته ام - و همچنین نزدیک به نقاط عبور می کند - به حدی که بدون تحقیق تحلیلی نمی توان گفت کدام تابع دقیق تر است.

این راه حل را به پایان می رساند و من به سؤال ارزش های طبیعی استدلال باز می گردم. در مطالعات مختلف، معمولاً اقتصادی یا جامعه‌شناختی، از «X»های طبیعی برای شماره‌گذاری ماه‌ها، سال‌ها یا سایر فواصل زمانی مساوی استفاده می‌شود. برای مثال مشکل زیر را در نظر بگیرید.

روش حداقل مربعات (OLS) متعلق به حوزه تحلیل رگرسیون است. کاربردهای زیادی دارد زیرا امکان نمایش تقریبی را فراهم می کند عملکرد داده شدهدیگران ساده تر هستند LSM می تواند در پردازش مشاهدات بسیار مفید باشد و به طور فعال برای تخمین برخی از کمیت ها بر اساس نتایج اندازه گیری های دیگر حاوی خطاهای تصادفی استفاده می شود. در این مقاله با نحوه اجرای محاسبات حداقل مربعات در اکسل آشنا می شوید.

بیان مسئله با استفاده از یک مثال خاص

فرض کنید دو شاخص X و Y وجود دارد. علاوه بر این، Y به X بستگی دارد. از آنجایی که OLS از نقطه نظر تحلیل رگرسیون به ما علاقه مند است (روش های آن در اکسل با استفاده از توابع داخلی پیاده سازی می شوند)، باید بلافاصله به بررسی یک مشکل خاص

بنابراین، اجازه دهید X فضای خرده فروشی یک فروشگاه مواد غذایی باشد، که در آن اندازه گیری می شود متر مربعو Y گردش مالی سالانه است که به میلیون روبل تعیین می شود.

لازم است پیش بینی کنید که فروشگاه در صورت داشتن این یا آن فضای خرده فروشی، چه گردش مالی (Y) خواهد داشت. بدیهی است که تابع Y = f (X) در حال افزایش است، زیرا هایپر مارکت کالاهای بیشتری از غرفه می فروشد.

چند کلمه در مورد صحت داده های اولیه مورد استفاده برای پیش بینی

فرض کنید جدولی داریم که با استفاده از داده برای n فروشگاه ساخته شده است.

مطابق با آمار ریاضی، اگر داده های حداقل 5-6 شی مورد بررسی قرار گیرد، نتایج کم و بیش درست خواهد بود. علاوه بر این، از نتایج "غیر عادی" نمی توان استفاده کرد. به ویژه، یک بوتیک کوچک نخبه می تواند گردش مالی چندین برابر بیشتر از گردش مالی خرده فروشی های بزرگ کلاس "ماس مارکت" داشته باشد.

ماهیت روش

داده های جدول را می توان در یک صفحه دکارتی به شکل نقاط M 1 (x 1، y 1)، ... M n (x n، y n) به تصویر کشید. اکنون راه حل مسئله به انتخاب یک تابع تقریبی y = f (x) کاهش می یابد، که دارای نموداری است که تا حد امکان به نقاط M 1، M 2، .. M n می گذرد.

البته، می توانید از یک چند جمله ای درجه بالا استفاده کنید، اما اجرای این گزینه نه تنها دشوار است، بلکه به سادگی نادرست است، زیرا روند اصلی را که باید شناسایی شود منعکس نمی کند. معقول ترین راه حل جستجوی خط مستقیم y = ax + b است که به بهترین وجه به داده های تجربی یا به طور دقیق تر، ضرایب a و b را تقریب می کند.

ارزیابی دقت

با هر تقریبی، ارزیابی دقت آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است. اجازه دهید تفاوت (انحراف) بین مقادیر عملکردی و تجربی نقطه x i را با e i نشان دهیم، یعنی e i = y i - f (x i).

بدیهی است که برای ارزیابی دقت تقریب، می توانید از مجموع انحرافات استفاده کنید، به عنوان مثال، هنگام انتخاب یک خط مستقیم برای نمایش تقریبی وابستگی X به Y، باید به خطی که کمترین مقدار را دارد ترجیح دهید. جمع e i در تمام نقاط مورد بررسی. با این حال، همه چیز به این سادگی نیست، زیرا در کنار انحرافات مثبت، موارد منفی نیز وجود خواهد داشت.

مشکل را می توان با استفاده از ماژول های انحراف یا مربع های آنها حل کرد. آخرین روش بیشترین استفاده را دارد. در بسیاری از زمینه ها از جمله تجزیه و تحلیل رگرسیون (که در اکسل با استفاده از دو تابع داخلی پیاده سازی شده است) استفاده می شود و مدتهاست که کارایی خود را ثابت کرده است.

روش حداقل مربعات

همانطور که می دانید اکسل دارای یک تابع AutoSum داخلی است که به شما امکان می دهد مقادیر تمام مقادیر موجود در محدوده انتخاب شده را محاسبه کنید. بنابراین، هیچ چیز ما را از محاسبه مقدار عبارت باز نمی دارد (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

در نماد ریاضی این به نظر می رسد:

از آنجایی که در ابتدا تصمیم به تقریب با استفاده از یک خط مستقیم گرفته شد، داریم:

بنابراین، وظیفه یافتن خط مستقیمی که وابستگی خاص کمیت‌های X و Y را به بهترین نحو توصیف می‌کند، به محاسبه حداقل یک تابع از دو متغیر ختم می‌شود:

برای انجام این کار، شما باید مشتقات جزئی را با توجه به متغیرهای جدید a و b برابر با صفر کنید و یک سیستم ابتدایی متشکل از دو معادله با 2 مجهول شکل را حل کنید:

پس از چند تبدیل ساده، از جمله تقسیم بر 2 و دستکاری مجموع، به دست می آوریم:

برای حل آن، به عنوان مثال، با استفاده از روش کرامر، یک نقطه ثابت با ضرایب معین a * و b * به دست می آوریم. این حداقل است، یعنی برای پیش بینی میزان گردش مالی یک فروشگاه برای یک منطقه خاص، خط مستقیم y = a * x + b * مناسب است، که مدل رگرسیونبرای مثال مورد بحث البته، این به شما اجازه نمی دهد که نتیجه دقیق را پیدا کنید، اما به شما کمک می کند تا تصور کنید که آیا خرید یک منطقه خاص با اعتبار فروشگاه نتیجه می دهد یا خیر.

نحوه پیاده سازی حداقل مربعات در اکسل

اکسل تابعی برای محاسبه مقادیر با استفاده از حداقل مربعات دارد. شکل زیر را دارد: "TREND" (مقادیر Y شناخته شده؛ مقادیر X شناخته شده؛ مقادیر X جدید؛ ثابت). بیایید فرمول محاسبه OLS در اکسل را در جدول خود اعمال کنیم.

برای انجام این کار، علامت "=" را در سلولی که باید نتیجه محاسبه با استفاده از روش حداقل مربعات در اکسل نمایش داده شود وارد کنید و تابع "TREND" را انتخاب کنید. در پنجره باز شده، فیلدهای مربوطه را پر کنید و برجسته کنید:

• محدوده مقادیر شناخته شده برای Y (in در این موردداده های گردش تجاری)؛
• محدوده x 1، …x n، یعنی اندازه فضای خرده فروشی؛
• هم مقادیر شناخته شده و هم ناشناخته x، که برای آن باید اندازه گردش مالی را بدانید (برای اطلاعات در مورد مکان آنها در کاربرگ، به زیر مراجعه کنید).

علاوه بر این، فرمول حاوی متغیر منطقی "Const" است. اگر 1 را در فیلد مربوطه وارد کنید، به این معنی است که باید محاسبات را با فرض b = 0 انجام دهید.

اگر نیاز به پیش بینی بیش از یک مقدار x دارید، پس از وارد کردن فرمول نباید "Enter" را فشار دهید، بلکه باید ترکیب "Shift" + "Control" + "Enter" را روی صفحه کلید تایپ کنید.

برخی از ویژگی ها

تجزیه و تحلیل رگرسیون می تواند حتی برای آدمک ها نیز قابل دسترسی باشد. فرمول اکسل برای پیش‌بینی مقدار آرایه‌ای از متغیرهای ناشناخته - TREND - می‌تواند حتی برای کسانی که تا به حال در مورد حداقل مربع‌ها نشنیده‌اند استفاده شود. کافی است برخی از ویژگی های کار آن را بدانید. به خصوص:

• اگر محدوده مقادیر شناخته شده متغیر y را در یک سطر یا ستون مرتب کنید، هر سطر (ستون) با مقادیر شناخته شده x توسط برنامه به عنوان یک متغیر جداگانه درک می شود.
• اگر محدوده ای با x شناخته شده در پنجره TREND مشخص نشده باشد، هنگام استفاده از تابع در اکسل، برنامه با آن به عنوان یک آرایه متشکل از اعداد صحیح برخورد می کند که تعداد آنها با محدوده با مقادیر داده شده مطابقت دارد. متغیر y.
• برای خروجی آرایه ای از مقادیر «پیش بینی شده»، عبارت محاسبه روند باید به عنوان فرمول آرایه وارد شود.
• اگر مقادیر جدید x مشخص نشده باشد، تابع TREND آنها را برابر با مقادیر شناخته شده در نظر می گیرد. اگر آنها مشخص نشده باشند، آرایه 1 به عنوان آرگومان در نظر گرفته می شود. 2 3; 4;…، که متناسب با محدوده قبلی است پارامترهای داده شده y
• محدوده حاوی مقادیر جدید x باید همان یا چند ردیف یا ستون به اندازه محدوده حاوی مقادیر y داده شده داشته باشد. به عبارت دیگر باید متناسب با متغیرهای مستقل باشد.
• آرایه ای با مقادیر x شناخته شده می تواند شامل چندین متغیر باشد. با این حال، اگر فقط در مورد یکی صحبت می کنیم، لازم است که محدوده هایی با مقادیر داده شده x و y متناسب باشند. در مورد چندین متغیر، لازم است که محدوده با مقادیر y داده شده در یک ستون یا یک ردیف قرار گیرد.

تابع پیش بینی

تجزیه و تحلیل رگرسیون در اکسل با استفاده از چندین تابع پیاده سازی می شود. یکی از آنها "پیش بینی" نام دارد. این شبیه به "TREND" است، یعنی نتیجه محاسبات را با استفاده از روش حداقل مربعات ارائه می دهد. با این حال، فقط برای یک X، که مقدار Y برای آن ناشناخته است.

اکنون فرمول هایی را در اکسل برای ساختگی ها می شناسید که به شما امکان می دهد ارزش آینده یک اندیکاتور خاص را با توجه به روند خطی پیش بینی کنید.

روش حداقل مربعات (LS) بر اساس به حداقل رساندن مجموع مجذور انحرافات تابع انتخاب شده از داده های مورد مطالعه است. در این مقاله با استفاده از یک تابع خطی به تقریب داده های موجود می پردازیمy = آ ایکس + ب .

روش حداقل مربعات(انگلیسی) معمولی کمترین مربع ها , O.L.S.) یکی از روش های اساسی تحلیل رگرسیون از نظر تخمین پارامترهای مجهول است مدل های رگرسیونبا توجه به داده های نمونه

بیایید تقریب توسط توابعی را در نظر بگیریم که فقط به یک متغیر بستگی دارند:

• خطی: y=ax+b (این مقاله)
• : y=a*Ln(x)+b
• : y=a*x m
• : y=a*EXP(b*x)+с
• : y=ax 2 +bx+c

توجه داشته باشید: موارد تقریب با چند جمله ای از درجه 3 تا 6 در این مقاله بررسی می شود. تقریب توسط یک چند جمله ای مثلثاتی در اینجا در نظر گرفته شده است.

وابستگی خطی

ما علاقه مند به ارتباط بین 2 متغیر هستیم ایکسو y. این فرض وجود دارد که yبستگی دارد به ایکسطبق قانون خطی y = تبر + ب. برای تعیین پارامترهای این رابطه، محقق مشاهداتی انجام داد: برای هر مقدار x i، اندازه گیری y i انجام شد (به فایل مثال مراجعه کنید). بر این اساس، اجازه دهید 20 جفت مقدار (x i؛ y i) وجود داشته باشد.

توجه داشته باشید:اگر مرحله تغییر است ایکس ثابت است، سپس برای ساختن قطعات پراکندهمی تواند استفاده شود، اگر نه، پس باید از نوع نمودار استفاده کنید نقطه .

از نمودار مشخص است که رابطه بین متغیرها نزدیک به خطی است. برای درک اینکه کدام یک از بسیاری از خطوط مستقیم "به درستی" رابطه بین متغیرها را توصیف می کند، لازم است معیاری را تعیین کنیم که خطوط با آن مقایسه می شوند.

به عنوان چنین معیاری از عبارت:

جایی که ŷ من = آ * x i + ب ; n - تعداد جفت مقادیر (در مورد ما n=20)

عبارت فوق مجموع مجذور فواصل بین مقادیر مشاهده شده y i و ŷ i است و اغلب با SSE نشان داده می شود. مجموع از مربع خطاها (باقیمانده ها، مجموع مربعات خطاها (باقیمانده)) .

روش حداقل مربعاتانتخاب چنین خطی است ŷ = تبر + ب، که عبارت فوق حداقل مقدار را برای آن می گیرد.

توجه داشته باشید:هر خط در فضای دو بعدی به طور منحصر به فرد با مقادیر 2 پارامتر تعیین می شود: آ (شیب) و ب (تغییر مکان).

اعتقاد بر این است که هر چه مجموع مجذور فواصل کوچکتر باشد، خط مربوطه بهتر به داده های موجود تقریب می کند و می توان از آن برای پیش بینی مقادیر y از متغیر x استفاده کرد. واضح است که حتی اگر در واقعیت هیچ رابطه ای بین متغیرها وجود نداشته باشد یا رابطه غیرخطی باشد، باز هم OLS خط "بهترین" را انتخاب می کند. بنابراین، روش حداقل مربعات چیزی در مورد وجود رابطه واقعی بین متغیرها نمی گوید؛ این روش به سادگی به شما امکان می دهد چنین پارامترهای تابعی را انتخاب کنید. آ و ب ، که عبارت بالا برای آن حداقل است.

با انجام عملیات ریاضی نه چندان پیچیده (برای جزئیات بیشتر به آن مراجعه کنید)، می توانید پارامترها را محاسبه کنید آ و ب :

همانطور که از فرمول مشخص است، پارامتر آ نشان دهنده نسبت کوواریانس و بنابراین در MS EXCEL برای محاسبه پارامتر است آ می تواند به کار رود فرمول های زیر(سانتی متر. فایل نمونه ورق خطی):

= KOVAR(B26:B45;C26:C45)/ DISP.G(B26:B45)یا

= COVARIANCE.B(B26:B45;C26:C45)/DISP.B(B26:B45)

همچنین برای محاسبه پارامتر آ می توانید از فرمول = استفاده کنید TILT(C26:C45;B26:B45). برای پارامتر ب از فرمول = استفاده کنید LEG(C26:C45;B26:B45) .

در نهایت، تابع LINEST() به شما امکان می دهد هر دو پارامتر را به طور همزمان محاسبه کنید. برای وارد کردن فرمول LINEST(C26:C45;B26:B45)شما باید 2 سلول را در یک ردیف انتخاب کنید و کلیک کنید CTRL + تغییر مکان + وارد(به مقاله در مورد مراجعه کنید). مقدار در سلول سمت چپ برگردانده می شود آ ، در سمت راست - ب .

توجه داشته باشید: برای جلوگیری از بهم ریختگی ورودی فرمول های آرایهعلاوه بر این باید از تابع INDEX() استفاده کنید. فرمول = INDEX(LINEST(C26:C45،B26:B45)،1)یا فقط = LINEST(C26:C45;B26:B45)پارامتر مسئول شیب خط را برمی گرداند، یعنی. آ . فرمول = INDEX(LINEST(C26:C45،B26:B45)،2)پارامتر مسئول تقاطع خط با محور Y را برمی گرداند، یعنی. ب .

پس از محاسبه پارامترها، نمودار پراکندگیمی توانید خط مربوطه را رسم کنید.

روش دیگر برای رسم خط مستقیم با استفاده از روش حداقل مربعات، ابزار نمودار است خط روند. برای انجام این کار، نمودار را انتخاب کنید، از منو انتخاب کنید تب Layout، V تجزیه و تحلیل گروهیکلیک خط روند، سپس تقریب خطی .

با علامت زدن کادر "نمایش معادله در نمودار" در کادر محاوره ای، می توانید مطمئن شوید که پارامترهای موجود در بالا با مقادیر موجود در نمودار مطابقت دارند.

توجه داشته باشید: برای اینکه پارامترها مطابقت داشته باشند، نوع نمودار باید باشد. نکته این است که هنگام ساخت نمودار برنامهمقادیر محور X را کاربر نمی‌تواند مشخص کند (کاربر فقط می‌تواند برچسب‌هایی را مشخص کند که روی مکان نقاط تأثیری ندارند). به جای مقادیر X، دنباله 1 استفاده می شود. 2 3; ... (برای شماره گذاری دسته ها). بنابراین، اگر بسازید خط رونددر یک نمودار نوع برنامه، سپس به جای مقادیر واقعی X از مقادیر این دنباله استفاده می شود که منجر به نتیجه نادرست می شود (مگر اینکه البته ارزش های واقعی X با دنباله 1 مطابقت ندارد. 2 3; ...).

کاربردهای زیادی دارد، زیرا امکان نمایش تقریبی یک تابع داده شده توسط سایر تابع های ساده تر را فراهم می کند. LSM می تواند در پردازش مشاهدات بسیار مفید باشد و به طور فعال برای تخمین برخی از کمیت ها بر اساس نتایج اندازه گیری های دیگر حاوی خطاهای تصادفی استفاده می شود. در این مقاله با نحوه اجرای محاسبات حداقل مربعات در اکسل آشنا می شوید.

بیان مسئله با استفاده از یک مثال خاص

فرض کنید دو شاخص X و Y وجود دارد. علاوه بر این، Y به X بستگی دارد. از آنجایی که OLS از نقطه نظر تحلیل رگرسیون به ما علاقه مند است (روش های آن در اکسل با استفاده از توابع داخلی پیاده سازی می شوند)، باید بلافاصله به بررسی یک مشکل خاص

بنابراین، اجازه دهید X فضای خرده فروشی یک فروشگاه مواد غذایی باشد که بر حسب متر مربع اندازه گیری می شود، و Y گردش مالی سالانه است که در میلیون ها روبل اندازه گیری می شود.

لازم است پیش بینی کنید که فروشگاه در صورت داشتن این یا آن فضای خرده فروشی، چه گردش مالی (Y) خواهد داشت. بدیهی است که تابع Y = f (X) در حال افزایش است، زیرا هایپر مارکت کالاهای بیشتری از غرفه می فروشد.

چند کلمه در مورد صحت داده های اولیه مورد استفاده برای پیش بینی

فرض کنید جدولی داریم که با استفاده از داده برای n فروشگاه ساخته شده است.

طبق آمار ریاضی، اگر داده های حداقل 5-6 شی مورد بررسی قرار گیرد، نتایج کم و بیش درست خواهد بود. علاوه بر این، از نتایج "غیر عادی" نمی توان استفاده کرد. به ویژه، یک بوتیک کوچک نخبه می تواند گردش مالی چندین برابر بیشتر از گردش مالی خرده فروشی های بزرگ کلاس "ماس مارکت" داشته باشد.

ماهیت روش

داده های جدول را می توان در یک صفحه دکارتی به شکل نقاط M 1 (x 1، y 1)، ... M n (x n، y n) به تصویر کشید. اکنون راه حل مسئله به انتخاب یک تابع تقریبی y = f (x) کاهش می یابد، که دارای نموداری است که تا حد امکان به نقاط M 1، M 2، .. M n می گذرد.

البته، می توانید از یک چند جمله ای درجه بالا استفاده کنید، اما اجرای این گزینه نه تنها دشوار است، بلکه به سادگی نادرست است، زیرا روند اصلی را که باید شناسایی شود منعکس نمی کند. معقول ترین راه حل جستجوی خط مستقیم y = ax + b است که به بهترین وجه به داده های تجربی یا به طور دقیق تر، ضرایب a و b را تقریب می کند.

ارزیابی دقت

با هر تقریبی، ارزیابی دقت آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است. اجازه دهید تفاوت (انحراف) بین مقادیر عملکردی و تجربی نقطه x i را با e i نشان دهیم، یعنی e i = y i - f (x i).

بدیهی است که برای ارزیابی دقت تقریب، می توانید از مجموع انحرافات استفاده کنید، به عنوان مثال، هنگام انتخاب یک خط مستقیم برای نمایش تقریبی وابستگی X به Y، باید به خطی که کمترین مقدار را دارد ترجیح دهید. جمع e i در تمام نقاط مورد بررسی. با این حال، همه چیز به این سادگی نیست، زیرا در کنار انحرافات مثبت، موارد منفی نیز وجود خواهد داشت.

مشکل را می توان با استفاده از ماژول های انحراف یا مربع های آنها حل کرد. آخرین روش بیشترین استفاده را دارد. در بسیاری از زمینه ها از جمله تجزیه و تحلیل رگرسیون (که در اکسل با استفاده از دو تابع داخلی پیاده سازی شده است) استفاده می شود و مدتهاست که کارایی خود را ثابت کرده است.

روش حداقل مربعات

همانطور که می دانید اکسل دارای یک تابع AutoSum داخلی است که به شما امکان می دهد مقادیر تمام مقادیر موجود در محدوده انتخاب شده را محاسبه کنید. بنابراین، هیچ چیز ما را از محاسبه مقدار عبارت باز نمی دارد (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

در نماد ریاضی این به نظر می رسد:

از آنجایی که در ابتدا تصمیم به تقریب با استفاده از یک خط مستقیم گرفته شد، داریم:

بنابراین، وظیفه یافتن خط مستقیمی که وابستگی خاص کمیت‌های X و Y را به بهترین نحو توصیف می‌کند، به محاسبه حداقل یک تابع از دو متغیر ختم می‌شود:

برای انجام این کار، شما باید مشتقات جزئی را با توجه به متغیرهای جدید a و b برابر با صفر کنید و یک سیستم ابتدایی متشکل از دو معادله با 2 مجهول شکل را حل کنید:

پس از چند تبدیل ساده، از جمله تقسیم بر 2 و دستکاری مجموع، به دست می آوریم:

برای حل آن، به عنوان مثال، با استفاده از روش کرامر، یک نقطه ثابت با ضرایب معین a * و b * به دست می آوریم. این حداقل است، یعنی برای پیش بینی اینکه یک فروشگاه برای یک منطقه خاص چه گردش مالی خواهد داشت، خط مستقیم y = a * x + b * مناسب است که یک مدل رگرسیونی برای مثال مورد نظر است. البته، این به شما اجازه نمی دهد که نتیجه دقیق را پیدا کنید، اما به شما کمک می کند تا تصور کنید که آیا خرید یک منطقه خاص با اعتبار فروشگاه نتیجه می دهد یا خیر.

نحوه پیاده سازی حداقل مربعات در اکسل

اکسل تابعی برای محاسبه مقادیر با استفاده از حداقل مربعات دارد. شکل زیر را دارد: "TREND" (مقادیر Y شناخته شده؛ مقادیر X شناخته شده؛ مقادیر X جدید؛ ثابت). بیایید فرمول محاسبه OLS در اکسل را در جدول خود اعمال کنیم.

برای انجام این کار، علامت "=" را در سلولی که باید نتیجه محاسبه با استفاده از روش حداقل مربعات در اکسل نمایش داده شود وارد کنید و تابع "TREND" را انتخاب کنید. در پنجره باز شده، فیلدهای مربوطه را پر کنید و برجسته کنید:

• محدوده مقادیر شناخته شده برای Y (در این مورد، داده های گردش تجاری)؛
• محدوده x 1، …x n، یعنی اندازه فضای خرده فروشی؛
• هم مقادیر شناخته شده و هم ناشناخته x، که برای آن باید اندازه گردش مالی را بدانید (برای اطلاعات در مورد مکان آنها در کاربرگ، به زیر مراجعه کنید).

علاوه بر این، فرمول حاوی متغیر منطقی "Const" است. اگر 1 را در فیلد مربوطه وارد کنید، به این معنی است که باید محاسبات را با فرض b = 0 انجام دهید.

اگر نیاز به پیش بینی بیش از یک مقدار x دارید، پس از وارد کردن فرمول نباید "Enter" را فشار دهید، بلکه باید ترکیب "Shift" + "Control" + "Enter" را روی صفحه کلید تایپ کنید.

برخی از ویژگی ها

تجزیه و تحلیل رگرسیون می تواند حتی برای آدمک ها نیز قابل دسترسی باشد. فرمول اکسل برای پیش‌بینی مقدار آرایه‌ای از متغیرهای ناشناخته - TREND - می‌تواند حتی برای کسانی که تا به حال در مورد حداقل مربع‌ها نشنیده‌اند استفاده شود. کافی است برخی از ویژگی های کار آن را بدانید. به خصوص:

• اگر محدوده مقادیر شناخته شده متغیر y را در یک سطر یا ستون مرتب کنید، هر سطر (ستون) با مقادیر شناخته شده x توسط برنامه به عنوان یک متغیر جداگانه درک می شود.
• اگر محدوده ای با x شناخته شده در پنجره TREND مشخص نشده باشد، هنگام استفاده از تابع در اکسل، برنامه با آن به عنوان یک آرایه متشکل از اعداد صحیح برخورد می کند که تعداد آنها با محدوده با مقادیر داده شده مطابقت دارد. متغیر y.
• برای خروجی آرایه ای از مقادیر «پیش بینی شده»، عبارت محاسبه روند باید به عنوان فرمول آرایه وارد شود.
• اگر مقادیر جدید x مشخص نشده باشد، تابع TREND آنها را برابر با مقادیر شناخته شده در نظر می گیرد. اگر آنها مشخص نشده باشند، آرایه 1 به عنوان آرگومان در نظر گرفته می شود. 2 3; 4;…، که متناسب با محدوده با پارامترهای از قبل مشخص شده y است.
• محدوده حاوی مقادیر جدید x باید همان یا چند ردیف یا ستون به اندازه محدوده حاوی مقادیر y داده شده داشته باشد. به عبارت دیگر باید متناسب با متغیرهای مستقل باشد.
• آرایه ای با مقادیر x شناخته شده می تواند شامل چندین متغیر باشد. با این حال، اگر فقط در مورد یکی صحبت می کنیم، لازم است که محدوده هایی با مقادیر داده شده x و y متناسب باشند. در مورد چندین متغیر، لازم است که محدوده با مقادیر y داده شده در یک ستون یا یک ردیف قرار گیرد.

تابع پیش بینی

با استفاده از چندین توابع پیاده سازی شده است. یکی از آنها "پیش بینی" نام دارد. این شبیه به "TREND" است، یعنی نتیجه محاسبات را با استفاده از روش حداقل مربعات ارائه می دهد. با این حال، فقط برای یک X، که مقدار Y برای آن ناشناخته است.

اکنون فرمول هایی را در اکسل برای ساختگی ها می شناسید که به شما امکان می دهد ارزش آینده یک اندیکاتور خاص را با توجه به روند خطی پیش بینی کنید.