کارگاه "حل معادلات مثلثاتی". تبدیل معادلات، تبدیل معادل دگرگونی هایی که منجر به از دست دادن ریشه می شود

روش های اساسی برای حل معادلات

راه حل یک معادله چیست؟

تحول یکسان پایه ای

انواع دگرگونی هویت

ریشه خارجی. از دست دادن ریشه

حل معادله فرآیندی است که عمدتاً از جایگزینی یک معادله داده شده با معادله دیگری که معادل آن است تشکیل شده است. . این جایگزینی نامیده می شودتبدیل یکسان . دگرگونی های اصلی هویت به شرح زیر است:

1.

جایگزینی یک عبارت با عبارت دیگر که به طور یکسان با آن برابر است. به عنوان مثال، معادله (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 را می توان با معادل زیر جایگزین کرد:9 ایکس 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

انتقال عبارت های یک معادله از یک طرف به طرف دیگر با علائم معکوس. بنابراین، در معادله قبلی می‌توانیم تمام عبارت‌های آن را با علامت «-» از سمت راست به چپ منتقل کنیم: 9 ایکس 2 + 12 x+ 4 – 15 ایکس - 10 = 0، پس از آن به دست می آوریم:9 ایکس 2 – 3 ایکس - 6 = 0 .

3.

ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عبارت (عددی) غیر از صفر. این بسیار مهم است زیرااگر عبارتی که در آن ضرب یا تقسیم می کنیم ممکن است برابر با صفر باشد، ممکن است معادله جدید معادل قبلی نباشد.

مثال معادلهایکس - 1 = 0 یک ریشه داردx = 1.

ضرب هر دو طرف درایکس - 3 ، معادله را بدست می آوریم

( ایکس - 1)( ایکس - 3) = 0 که دو ریشه دارد:x = 1 وایکس = 3.

آخرین مقدار ریشه معادله داده شده نیست

ایکس - 1 = 0. این به اصطلاح استریشه خارجی .

برعکس، تقسیم می تواند منجر بهاز دست دادن ریشه . بنابراین

در مورد ما، اگر (ایکس - 1 )( ایکس - 3 ) = 0 اصل است

معادله، سپس ریشهx = 3 در تقسیم از دست خواهد رفت

هر دو طرف معادله درایکس - 3 .

در آخرین معادله (مورد 2) می توانیم تمام جمله های آن را بر 3 (نه صفر!) تقسیم کنیم و در نهایت به دست آوریم:

3 ایکس 2 - ایکس - 2 = 0 .

این معادله معادل معادله اصلی است:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

می تواندو طرف معادله را به توان فرد برسانید یاریشه فرد را از دو طرف معادله استخراج کنید . باید به خاطر داشت که:

الف) ساخت و ساز درحتی مدرک ممکن است باعث شودبه دست آوردن ریشه های خارجی ;

ب)اشتباه استخراجحتی ریشه میتواند منجر به .. شوداز دست دادن ریشه .

مثال ها. معادله 7ایکس = 35 یک ریشه داردایکس = 5 .

با مجذور دو طرف این معادله به دست می آید

معادله:

49 ایکس 2 = 1225 .

دارای دو ریشه:ایکس = 5 وایکس = – 5. آخرین مقدار

یک ریشه خارجی است.

غلط گرفتن جذر هر دو

بخش های معادله 49ایکس 2 = 1225 نتیجه در 7ایکس = 35,

و ما داریم ریشه هایمان را از دست می دهیمایکس = – 5.

درست با گرفتن جذر نتیجه می شود

معادله: | 7ایکس | = 35, آ از این رو به دو مورد:

1) 7 ایکس = 35, سپسایکس = 5 ; 2) – 7 ایکس = 35, سپسایکس = – 5 .

بنابراین، زمانی کهدرست استخراج مربع

ریشه های معادله را از دست نمی دهیم.

یعنی چیدرست ریشه را استخراج کنید؟ اینجا جایی است که با هم ملاقات می کنیم

با یک مفهوم بسیار مهمریشه حسابی

(سانتی متر. ).

دندان. دندان های مهره داران از نظر ساختار و رشد کاملاً شبیه به فلس های پلاکوئیدی است که کل پوست ماهی کوسه را می پوشاند. از آنجایی که کل حفره دهان و بخشی از حفره حلق با اپیتلیوم اکتودرم پوشانده شده است، یک پلاکوئید معمولی...

سل ریوی- سل ریوی. مطالب: I. آناتومی پاتولوژیک..........110 II. طبقه بندی سل ریوی .... 124 III. کلینیک ..........................128 IV. تشخيص ..........................160 V. پيش آگهي ................... .......... 190 VI. رفتار … دایره المعارف بزرگ پزشکی

مسمومیت- مسمومیت مسمومیت به معنای "اختلال در عملکرد حیوانات" است. موجودات ناشي از مواد برون زا يا درون زا، شيميايي يا فيزيكي و شيميايي فعال كه از نظر كيفيت، كميت يا غلظت بيگانه هستند... دایره المعارف بزرگ پزشکی

باکتری ندول حبوبات- داده های دیرینه شناسی نشان می دهد که قدیمی ترین حبوباتی که دارای گره بوده اند برخی از گیاهان متعلق به گروه Eucaesalpinioideae بوده اند. در گونه های مدرن گیاهان حبوبات، گره هایی ... دایره المعارف زیستی

لیست قسمت های انیمیشن لونتیک- این مقاله فاقد پیوند به منابع اطلاعاتی است. اطلاعات باید قابل تایید باشد، در غیر این صورت ممکن است مورد سوال و حذف قرار گیرد. شما می توانید ... ویکی پدیا

گیاه و محیط زیست- زندگی یک گیاه، مانند هر موجود زنده دیگری، مجموعه پیچیده ای از فرآیندهای مرتبط است. مهمترین آنها همانطور که مشخص است تبادل مواد با محیط است. محیط زیست منبعی است که از آن...... دایره المعارف زیستی

لیست قسمت های سریال لونتیک- مقاله اصلی: ماجراهای لونتیک و دوستانش مطالب 1 تعداد قسمت ها 2 لیست قسمت های انیمیشن سریال Luntik و دوستانش ... ویکی پدیا

بیماری های درختان میوه- درختان میوه، به لطف مراقبت مداوم انسان از آنها، باید به سنی بسیار بالاتر از خویشاوندان کشت نشده خود برسند، اگر نه برای تأثیرات خنثی کننده بسیاری از شرایط خود فرهنگ، یعنی خواسته های ما... ...

قطع جنگلبرداشت از جنگل یا استخراج درآمد جنگل به صورت چوب و پوست به دو صورت انجام می شود: با کندن یا کندن درختان کامل، یعنی تنه همراه با ریشه، یا به صورت جداگانه، ابتدا قطع شده یا جدا شده است. از جانب... ... فرهنگ لغت دایره المعارف F.A. بروکهاوس و I.A. افرون

گروش- (لهستانی grosz، از آلمانی Groschen، از لاتین grossus (dēnārius) "ضخیم denarius") سکه کشورها و زمان های مختلف. مطالب 1 ظاهر یک سکه ... ویکی پدیا

سکه های آمریکا- 20 دلار سنت گودن زیباترین و گرانترین سکه ایالات متحده سکه های ایالات متحده سکه هایی هستند که در ضرابخانه ایالات متحده ضرب می شوند. تولید شده از سال 1792 ... ویکی پدیا

کتاب ها

• علل اصلی ریزش مو در زنان، Alexey Michman، از هر ده زن، شش زن در مقطعی از زندگی خود دچار ریزش مو می شوند. ریزش مو می تواند به دلایل مختلفی مانند وراثت، تغییرات هورمونی در ... دسته بندی:

مبحث معادلات مثلثاتی با یک سخنرانی مدرسه شروع می شود که در قالب یک مکالمه اکتشافی ساختار یافته است. این سخنرانی در مورد مطالب نظری و نمونه هایی از حل همه مسائل معمولی طبق برنامه بحث می کند:

• ساده ترین معادلات مثلثاتی
• روشهای اساسی برای حل معادلات مثلثاتی.
• معادلات همگن

در درس‌های بعدی، رشد مهارت‌های مستقل بر اساس اعمال اصل فعالیت مشترک بین معلم و دانش‌آموز آغاز می‌شود. اول، اهداف برای دانش آموزان تعیین می شود، به عنوان مثال. مشخص می‌شود که چه کسی نمی‌خواهد بیش از آنچه استاندارد دولتی لازم است بداند، و چه کسی آماده انجام بیشتر است.

تشخیص نهایی با در نظر گرفتن تمایز سطح ایجاد می شود، که به دانش آموزان اجازه می دهد آگاهانه حداقل دانش لازم برای دریافت نمره "3" را تعیین کنند. بر این اساس، مواد چند سطحی برای تشخیص دانش دانش آموزان انتخاب می شود. چنین کاری اجازه می دهد تا یک رویکرد فردی به دانش آموزان، از جمله همه در فعالیت های یادگیری آگاهانه، توسعه خود سازمان دهی و مهارت های خودآموزی، و تضمین گذار به تفکر فعال و مستقل.

این سمینار پس از تمرین مهارت های اولیه حل معادلات مثلثاتی برگزار می شود. چندین درس قبل از سمینار، به دانش آموزان سوالاتی داده می شود که در طول سمینار مورد بحث قرار خواهند گرفت.

این سمینار از سه بخش تشکیل شده است.

1. بخش مقدماتی تمام مطالب نظری را شامل می شود، از جمله مقدمه ای برای مسائلی که هنگام حل معادلات پیچیده به وجود می آیند.

2. بخش دوم حل معادلات شکل را مورد بحث قرار می دهد:

• و cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• معادلات قابل حل با کاهش درجه

این معادلات از جایگزینی جهانی، فرمول های کاهش درجه و روش آرگومان کمکی استفاده می کنند.

3. قسمت سوم به مشکلات ریزش ریشه و کسب ریشه های خارجی می پردازد. نحوه انتخاب ریشه ها را نشان می دهد.

دانش آموزان به صورت گروهی کار می کنند. برای حل مثال ها، از بچه های آموزش دیده دعوت می شود که می توانند مطالب را نشان دهند و توضیح دهند.

این سمینار برای یک دانش آموز آماده طراحی شده است، زیرا ... به مسائلی که تا حدودی فراتر از محدوده مطالب برنامه است، می پردازد. این شامل معادلات با فرم پیچیده تر است، و به ویژه به مشکلاتی که در حل معادلات مثلثاتی پیچیده با آن مواجه می شوند، می پردازد.

این سمینار برای دانش آموزان پایه های 10 تا 11 برگزار شد. هر دانش آموز این فرصت را داشت تا دانش خود را در مورد این موضوع گسترش داده و عمیق تر کند تا سطح دانش خود را نه تنها با الزامات یک فارغ التحصیل مدرسه، بلکه با الزامات برای کسانی که وارد V.U.Z می شوند مقایسه کند.

سمینار

موضوع:"حل معادلات مثلثاتی"

اهداف:

• تعمیم دانش در مورد حل معادلات مثلثاتی از انواع.
• تمرکز بر مشکلات: از دست دادن ریشه. ریشه های خارجی؛ انتخاب ریشه

در طول کلاس ها.

I. بخش مقدماتی

1. روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

• فاکتورسازی
• معرفی یک متغیر جدید
• روش کارکردی – گرافیکی.

2. برخی از انواع معادلات مثلثاتی.

• معادلاتی که با توجه به cos x = t، sin x = t به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

آنها با معرفی یک متغیر جدید حل می شوند.

• معادلات همگن درجه یک و دو

معادله درجه اول: Asinx + Bcosx = 0 تقسیم بر cos x، Atg x + B = 0 را دریافت می کنیم

معادله درجه دوم: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 تقسیم بر cos 2 x، Atg 2 x + Btgx + C = 0 را بدست می آوریم

آنها با فاکتورسازی و با معرفی یک متغیر جدید حل می شوند.

همه روش ها اعمال می شود.

• خلع درجه:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

با روش فاکتورسازی حل شد.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• معادله فرم: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

با توجه به t = sinx + cosx به مربع کاهش می یابد. sin2x = t 2 – 1.

3. فرمول ها.

x + 2n; بررسی لازم است!

• توان کاهشی: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• روش آرگومان کمکی

اجازه دهید Acosx + Bsinx را با Csin (x +) جایگزین کنیم، جایی که sin = a/C. cos=v/c;

- آرگومان کمکی

4. قوانین.

• اگر مربع می بینید، درجه را پایین بیاورید.
• اگر قطعه ای را دیدید، یک جمع کنید.
• اگر مقدار را دیدید، کار را انجام دهید.

5. از دست دادن ریشه، ریشه اضافی.

• از دست دادن ریشه: تقسیم بر g(x)؛ فرمول های خطرناک (جایگزینی جهانی). با این عملیات، دامنه تعریف را محدود می کنیم.

• ریشه های اضافی: به قدرت یکنواخت رسیده است. ضرب در g(x) (از مخرج خلاص شوید). با این عملیات، دامنه تعریف را گسترش می دهیم.

II. نمونه هایی از معادلات مثلثاتی

1. معادلات شکل Asinx + Bcosx = C

1) جایگزینی جهانی.O.D.Z. x - هر.

3 گناه 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3، x = آرکتان (–1/3) + k، k Z.

معاینه: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است.

پاسخ: x = آرکتان(–1/3) + k، k Z. x = /2 + n، n Z.

2) روش کارکردی – گرافیکی. O.D.Z. x – هر.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

بیایید توابع را رسم کنیم: y = sinx، y = cosx + 1.

پاسخ: x = /2 + 2 n، Z; x = + 2k، k Z.

3) معرفی یک آرگومان کمکی. O.D.Z.: x – هر.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1، زیرا (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1، پس چنین وجود دارد که گناه = 8/17،

cos = 15/17 که به معنای گناه cosx + sinx cos = 1 است. = arcsin 8/17.

پاسخ: x = /2 + 2n –، x = /2 + 2n – arcsin 8/17، n Z.

2. کاهش ترتیب: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – any.

1 - cos 6x + 1 - cos 8x + 1 - cos 12x + 1 - cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0، cos3x = 0، cosx = 0.

پاسخ: x = /20 + n/10، n Z. x = /6 + k/3، k Z، x = /2 + m، m Z.

3. کاهش به همگنی. Asin2x + Bsin 2 x = C، Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – هر.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) را نمی توان بر cos 2 x تقسیم کرد، زیرا ما ریشه ها را از دست می دهیم.
cos 2 x = 0 معادله را برآورده می کند.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k، k Z. tgx = –1/3، x = –/6 + n، n Z.

پاسخ: x = /2 + k، k Z.، x = –/6 + n، n Z

4. معادله شکل: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – هر.
sinx + cosx = t، sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2، t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = گناه (x + /2)،
sinx +sin(x + /2) = 1/2،
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k، k Z.

پاسخ: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k، k Z.

5. فاکتورسازی.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx)
(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2، بدون ریشه.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

پاسخ: x = آرکتان (1/2) + n، n Z.

III. مشکلاتی که هنگام حل معادلات مثلثاتی به وجود می آیند

1. از دست دادن ریشه: تقسیم بر g(x); ما از فرمول های خطرناک استفاده می کنیم.

1) خطا را پیدا کنید.

1 – cosx = sinx *sinx/2،
1 – فرمول cosx = 2sin 2 x/2.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 تقسیم بر 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n، x = 4n، n" Z.
ریشه های از دست رفته sinx/2 = 0، x = 2k، k Z.

راه حل صحیح: 2sin 2 x/2 (1 – cosx/2) = 0.

2. ريشه خارج: از مخرج خلاص مي شويم; به قدرت یکنواخت برسانید.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

پاسخ: x = + 2k، x = 5/3 + 2k، x = 5/6 + 2k، k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. ریشه های از دست رفته و خارج شده هنگام حل معادلات (بر اساس مثال)

ماده مرجع

1. دو قضیه در § 3 از فصل هفتم در مورد اینکه چه اقداماتی در معادلات معادل آنها را نقض نمی کند صحبت کردند.

2. اکنون چنین عملیاتی را بر روی معادلات در نظر می گیریم که می تواند منجر به معادله جدیدی شود که با معادله اصلی نابرابر است. به جای ملاحظات کلی، فقط به بررسی نمونه های خاص اکتفا می کنیم.

3. مثال 1. یک معادله داده شده است. ریشه های آن است

اگر هر دو طرف معادله را با یک عامل مشترک کاهش دهید، معادله ای به دست می آید که با معادله اصلی نابرابر است، زیرا فقط یک ریشه دارد.

بنابراین، کاهش هر دو طرف معادله توسط یک عامل حاوی مجهول ممکن است منجر به از بین رفتن ریشه های معادله شود.

4. مثال 2. با توجه به یک معادله، اجازه دهید هر دو طرف این معادله را به دوش بکشیم.

می بینیم که معادله جدید معادل معادله اصلی نیست

5. در صورتی که این ضریب برای مقادیر واقعی x ناپدید شود، ریشه های خارجی می توانند زمانی ظاهر شوند که هر دو طرف معادله در یک عامل حاوی مجهول ضرب شوند.

مثال 3. اگر هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم، معادله جدیدی به دست می آید که پس از انتقال عبارت از سمت راست به چپ و فاکتورگیری آن، معادله ای از هر یک به دست می آید.

ریشه معادله ای را که فقط یک ریشه دارد برآورده نمی کند

از اینجا نتیجه می گیریم: هنگام دو طرف معادله (به طور کلی به توان زوج)، و همچنین هنگام ضرب در یک عامل حاوی مجهول و ناپدید شدن در مقادیر واقعی مجهول، ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند.

تمام ملاحظات بیان شده در اینجا در مورد مسئله از دست دادن و ظاهر شدن ریشه های خارجی معادله به طور یکسان در مورد هر معادله (جبری، مثلثاتی و غیره) اعمال می شود.

6. معادله ای جبری نامیده می شود که فقط عملیات جبری روی مجهول انجام شود - جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه با توان طبیعی (و تعداد این عملیات محدود است).

بنابراین، برای مثال، معادلات

جبری هستند و معادلات