کره ای که در یک منشور مستقیم حک شده است. چندوجهی که به دور یک کره احاطه شده است را چندوجهی محدود می گویند. ترکیب یک توپ با یک هرم کوتاه

چندوجهی در اطراف یک کره به یک چندوجهی گفته می شود که در اطراف یک کره محصور می شود اگر صفحات تمام وجوه آن کره را لمس کنند. گفته می شود که خود کره در چند وجهی حک شده است. قضیه. یک کره را می توان در یک منشور حک کرد اگر و فقط در صورتی که بتوان دایره ای را در قاعده آن حک کرد و ارتفاع منشور برابر با قطر این دایره باشد. قضیه. شما می توانید یک کره را در هر هرم مثلثی قرار دهید، آن هم فقط یکی.

تمرین 1 مربع را پاک کرده و دو متوازی الاضلاع که نمایانگر وجه بالا و پایین مکعب هستند بکشید. رئوس آنها را با بخش ها وصل کنید. تصویری از یک کره حک شده در مکعب به دست آورید. مانند اسلاید قبلی، کره ای را بکشید که در یک مکعب حک شده است. برای انجام این کار، یک بیضی حک شده در متوازی الاضلاع به دست آمده از فشرده سازی یک دایره و یک مربع در 4 بار رسم کنید. قطب های کره و نقاط مماس بیضی و متوازی الاضلاع را علامت بزنید.

تمرین 4 آیا می توان یک کره را به غیر از مکعب به شکل متوازی الاضلاع مستطیلی حک کرد؟ پاسخ: خیر.

تمرین 5 آیا می توان کره ای را در یک متوازی الاضلاع مایل حک کرد که تمام صورت های آن لوزی هستند؟ پاسخ: خیر.

تمرین 1 آیا می توان یک کره را در یک منشور مثلثی مایل با یک مثلث منظم در قاعده آن حک کرد؟ پاسخ: خیر.

تمرین 2 اگر لبه قاعده منشور 1 باشد، ارتفاع یک منشور مثلثی منظم و شعاع کره محاطی را بیابید. 3 6 ساعت پاسخ:

تمرین 3 کره ای به شعاع 1 در یک منشور مثلثی منتظم حک شده است ضلع قاعده و ارتفاع منشور را پیدا کنید. 2 3، 2. a h پاسخ:

تمرین 4 یک کره در منشوری حک شده است که در قاعده آن یک مثلث قائم الزاویه با پاهای برابر با 1 قرار دارد. شعاع کره و ارتفاع منشور را بیابید. 2 2 , 2 2. 2 r h مساحت مثلث ABC است، محیط بیایید از فرمول r = S / p استفاده کنیم. ما 2 2. 1 می گیریم،

تمرین 5 یک کره در منشوری حک شده است که در قاعده آن یک مثلث متساوی الساقین با اضلاع 2، 3، 3 قرار دارد. شعاع کره و ارتفاع منشور را بیابید. 2، 2. 2 rh مساحت مثلث ABC برابر است محیط آن 8 است. بیایید از فرمول r = S / p استفاده کنیم. 2 2 می گیریم.

تمرین 1 یک کره در یک منشور چهارگوش قائم الزاویه حک شده است که در قاعده آن لوزی با ضلع 1 و زاویه تند 60 درجه قرار دارد. شعاع کره و ارتفاع منشور را بیابید. راه حل. شعاع کره برابر با نصف ارتفاع پایه DG است، یعنی ارتفاع منشور برابر با قطر کره است، یعنی 3. 4 r 3. 2 h.

تمرین 2 یک کره واحد در یک منشور چهار گوش قائم الزاویه حک شده است که در قاعده آن لوزی با زاویه تند 60 درجه قرار دارد. ضلع قاعده a و ارتفاع منشور h را پیدا کنید. پاسخ: 4 3، 2. 3 ساعت

تمرین 3 یک کره در یک منشور چهار گوش راست حک شده است که در قاعده آن یک ذوزنقه قرار دارد. ارتفاع ذوزنقه 2 است. ارتفاع منشور h و شعاع r کره محاطی را بیابید. پاسخ: 1، 2. r h

تمرین 4 یک کره در یک منشور چهار گوش راست حک شده است که در قاعده آن یک چهار ضلعی، محیط 4 و مساحت 2 قرار دارد. شعاع r کره محاطی را پیدا کنید. 1. راه حل. توجه داشته باشید که شعاع کره برابر با شعاع دایره ای است که در قاعده منشور محاط شده است. بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که شعاع دایره محاط شده در یک چند ضلعی برابر است با مساحت این چند ضلعی تقسیم بر نیم محیط آن. ما گرفتیم،

تمرین 1 اگر ضلع قاعده منشور 1 باشد، ارتفاع یک منشور شش ضلعی منتظم و شعاع کره محاطی را بیابید. 2 ساعت پاسخ:

تمرین 2 کره ای به شعاع 1 در یک منشور شش ضلعی منتظم حک شده است ضلع قاعده و ارتفاع منشور را پیدا کنید. 2 3، 2. 3 a h پاسخ:

تمرین 1 شعاع کره ای که در چهار وجهی واحد محاط شده است را بیابید. 6. 12 r پاسخ: راه حل. در چهار وجهی SABC داریم: SD = DE = SE = از شباهت مثلث های SOF و SDE با حل آن معادله ای به دست می آوریم که 3 , 2 3 , 6 6. 3 6 3 3: , 3 6 2 r r 6 به دست می آید. 12 r

تمرین 2 یک کره واحد در یک چهار وجهی منظم حک شده است. لبه این چهار وجهی را پیدا کنید. 2 6. پاسخ:

تمرین 3 شعاع کره ای را که در یک هرم مثلثی منتظم محاط شده است، ضلع قاعده 2 و زوایای دو وجهی در قاعده 60 درجه پیدا کنید. 3 1 30. 3 3 r tg محلول. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که مرکز کره محاطی نقطه تلاقی صفحات نیمساز زوایای دو وجهی در قاعده هرم است. برای شعاع کره OE برابری زیر برقرار است: بنابراین، . OE DE tg O

تمرین 4 شعاع کره ای را بیابید که در یک هرم مثلثی منتظم محاط شده است که لبه های کناری آن برابر با 1 و زوایای صفحه در راس آن برابر 90 درجه است. 3 3. 6 r پاسخ: راه حل. در چهار ضلعی SABC داریم: SD = DE = SE = از شباهت مثلث های SOF و SDE با حل آن معادله ای به دست می آوریم که 2 , 2 6 , 6 3. 3 3 6 2: , 3 6 2 r r 3 به دست می آوریم. 3. 6 r

تمرین 1 شعاع کره ای را بیابید که در یک هرم چهار گوش منتظم محاط شده است، که تمام یال های آن برابر با 1 است. : r = S / p، که در آن S مساحت، p – نیم محیط مثلث است. در مورد ما، S = p = 3، 2 2. 2 راه حل. شعاع کره برابر است با شعاع دایره ای که در مثلث SEF محاط شده است که در آن SE = SF = EF= 1، SG = 2، 4 بنابراین، 1 3.

تمرین 2 شعاع کره ای را که در یک هرم چهار گوش منتظم محاط شده است، ضلع قاعده 1 و لبه کناری 2. 14 (15 1) پیدا کنید. 28 r اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که برای شعاع r یک دایره محاط شده در یک مثلث، فرمول برقرار است: r = S / p، جایی که S مساحت است، p نیمه محیط مثلث است. در مورد ما، S = p = 15، 214. 2 راه حل. شعاع کره برابر است با شعاع دایره ای که در مثلث SEF محاط شده است که در آن SE = SF = EF= 1، SG = 14، 4 بنابراین، 1 15.

تمرین 3 شعاع کره ای را که در یک هرم چهار گوش منتظم محاط شده است، ضلع قاعده 2 و زوایای دو وجهی در قاعده 60 درجه پیدا کنید. 3 30. 3 r tg محلول. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که مرکز کره محاطی نقطه تلاقی صفحات نیمساز زوایای دو وجهی در قاعده هرم است. برای شعاع کره OG برابری زیر برقرار است: بنابراین، . OG FG tg OFG

تمرین 4 کره واحد در یک هرم چهار گوش منتظم حک شده است، ضلع قاعده 4 است. ارتفاع هرم را پیدا کنید. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که برای شعاع r یک دایره محاط شده در یک مثلث، فرمول برقرار است: r = S / p، جایی که S مساحت است، p نیمه محیط مثلث است. در مورد ما S = 2 h، p = 2 4 2. h. راه حل. اجازه دهید ارتفاع SG هرم را با h نشان دهیم. شعاع کره برابر است با شعاع دایره ای که در مثلث SEF محاط شده است که در آن SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h بنابراین، تساوی داریم که از آن 2 4 2 می یابیم. 2، ساعت

تمرین 1 شعاع یک کره محاط شده در یک هرم شش ضلعی منتظم را بیابید که لبه های پایه آن برابر با 1 و لبه های کناری آن برابر با 2 است. 15 3. 4 r اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که برای شعاع r یک دایره که در یک مثلث حک شده است، فرمول برقرار است: r = S / p، که در آن S مساحت است، p نیمه محیط مثلث است. در مورد ما، S = p = 3، 2 بنابراین، 15 3. 2 15، 2 راه حل. شعاع کره برابر است با شعاع دایره ای که در مثلث SPQ محاط شده است که در آن SP = SQ = PQ = SH = 3 است.

تمرین 2 شعاع کره ای را بیابید که در یک هرم شش ضلعی منتظم محاط شده است که لبه های قاعده آن برابر با 1 و زوایای دو وجهی در قاعده برابر با 60 درجه است. 3 1 30. 2 2 r tg محلول. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که مرکز کره محاطی نقطه تلاقی صفحات نیمساز زوایای دو وجهی در قاعده هرم است. برای شعاع کره OH برابری زیر برقرار است: بنابراین، . OH HQ tg OQH

تمرین شعاع کره ای را که در یک هشت وجهی واحد محاط شده است را بیابید. 6. 6 r پاسخ: راه حل. شعاع کره برابر است با شعاع دایره ای که در لوزی حک شده SES'F، که در آن SE = SF = EF= 1، SO = سپس ارتفاع لوزی که از راس E پایین آمده، برابر خواهد بود. شعاع مورد نیاز برابر با نصف ارتفاع و برابر با 6. 66. 3 2.2 3، 2 O است.

تمرین شعاع کره ای را که در یک ایکو وجهی واحد محاط شده است را بیابید. 1 7 3 5. 2 6 r راه حل. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که شعاع OA کره محصور برابر است و شعاع AQ دایره محصور حول مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 1 برابر است. 10 2 5، 4 3.

تمرین شعاع کره ای که در دوازده وجهی واحد محاط شده است را بیابید. 1 25 11 5. 2 10 r راه حل. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که شعاع کره محدود شده برابر است و شعاع FQ دایره ای که در اطراف یک پنج ضلعی متساوی الاضلاع با ضلع 1 محصور شده است برابر است. 5، 4 5 5.

تمرین 1 آیا می توان یک کره را در یک چهار وجهی کوتاه قرار داد؟ راه حل. توجه داشته باشید که مرکز O یک کره محاط شده در چهار وجهی ناقص باید منطبق بر مرکز کره ای باشد که در چهار ضلعی بریده شده است، که منطبق بر مرکز کره ای است که در یک چهار وجهی ناقص منطبق است. فواصل d 1 , d 2 از نقطه O تا وجه های شش ضلعی و مثلثی با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه می شود: جایی که R شعاع یک کره نیمه محاطی است، r 1، r 2 شعاع دایره هایی هستند که در یک شش ضلعی و مثلث محاط شده اند. به ترتیب. از آنجایی که r 1 > r 2، سپس d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

تمرین 2 آیا می توان یک کره را در یک مکعب کوتاه قرار داد؟ پاسخ: خیر. اثبات مشابه مورد قبلی است.

تمرین 3 آیا می توان یک کره را در یک هشت ضلعی کوتاه قرار داد؟ پاسخ: خیر. اثبات مشابه مورد قبلی است.

تمرین 4 آیا می توان یک کره را در مکعب قرار داد؟ پاسخ: خیر. اثبات مشابه مورد قبلی است.

مبحث "مسائل مختلف چند وجهی، استوانه، مخروط و گوی" یکی از سخت ترین مباحث درس هندسه پایه یازدهم است. قبل از حل مسائل هندسی، معمولاً بخش های مربوط به نظریه را که هنگام حل مسائل به آن اشاره می شود، مطالعه می کنند. در کتاب درسی S. Atanasyan و دیگران در مورد این موضوع (ص 138) فقط می توان تعاریفی از چند وجهی توصیف شده در اطراف یک کره، یک چند وجهی محاط شده در یک کره، یک کره محاط شده در یک چند وجهی، و یک کره توصیف شده در اطراف یک کره پیدا کرد. چند وجهی که در توصیه های روش شناختیاین کتاب درسی (رجوع کنید به کتاب "مطالعه هندسه در کلاس های 10-11" اثر S.M. Saakyan و V.F. Butuzov، ص 159) می گوید که در حل مسائل شماره 629-646 چه ترکیبی از اجسام در نظر گرفته می شود و به این واقعیت توجه می کند که " هنگام حل یک مشکل خاص، اول از همه، لازم است اطمینان حاصل شود که دانش آموزان درک خوبی از آن دارند ترتیب متقابلاجساد مشخص شده در شرایط.” در ادامه راه حل مشکلات شماره 638(الف) و شماره 640 آورده شده است.

با توجه به همه موارد فوق و اینکه سخت ترین مشکلات دانش آموزان ترکیب توپ با بدنه های دیگر است، لازم است اصول نظری مربوطه نظام مند شده و به دانش آموزان ابلاغ شود.

تعاریف

1. توپ را در یک چند وجهی محاط می گویند، و اگر سطح توپ با تمام وجوه چند وجهی تماس داشته باشد، چند وجهی در اطراف توپ توصیف می شود.

2. اگر سطح توپ از تمام رئوس چند وجهی بگذرد، توپ را محدود به چند ضلعی می گویند و به چند وجهی حک شده در توپ می گویند.

3. گوی را در یک استوانه، مخروط بریده (مخروط) و یک استوانه مخروط کوتاه (مخروط) را در صورتی که سطح توپ با پایه ها (پایه) و همه تماس پیدا کند، به دور توپ حک می شود. ژنراتیک سیلندر، مخروط کوتاه (مخروط).

(از این تعریف به دست می آید که دایره بزرگ یک توپ را می توان در هر بخش محوری این اجسام حک کرد).

4. اگر دایره های پایه ها (دایره پایه و راس) به سطح توپ تعلق داشته باشد، گوی را در اطراف یک استوانه، مخروط بریده (مخروط) می گویند.

(از این تعریف به دست می آید که در اطراف هر بخش محوری این اجسام می توان دایره دایره بزرگتری از توپ را توصیف کرد).

نکات کلی در مورد موقعیت مرکز توپ.

1. مرکز یک توپ محاط شده در یک چند وجهی در نقطه تلاقی صفحات نیمساز همه زوایای دو وجهی چند وجهی قرار دارد. فقط در داخل چند وجهی قرار دارد.

2. مرکز توپی که اطراف یک چندوجهی است، در نقطه تلاقی صفحات عمود بر تمام لبه های چند وجهی قرار دارد و از نقاط میانی آنها می گذرد. می تواند در داخل، روی سطح یا خارج از چند وجهی قرار گیرد.

ترکیب یک کره و یک منشور.

1. توپی که در منشور مستقیم حک شده است.

قضیه 1. یک کره را می توان در یک منشور مستقیم حک کرد اگر و فقط در صورتی که بتوان دایره ای را در پایه منشور حک کرد و ارتفاع منشور برابر با قطر این دایره باشد.

نتیجه 1.مرکز کره ای که در یک منشور راست حک شده است در نقطه وسط ارتفاع منشور قرار دارد که از مرکز دایره حک شده در قاعده عبور می کند.

نتیجه 2.یک توپ، به ویژه، می تواند در خطوط مستقیم حک شود: مثلثی، منظم، چهار گوش (که در آن مجموع اضلاع مخالف با یکدیگر برابر است) تحت شرایط H = 2r، که در آن H ارتفاع است. منشور، r شعاع دایره محاط شده در پایه است.

2. کره ای که اطراف یک منشور محصور شده است.

قضیه 2. یک کره را می توان در اطراف یک منشور توصیف کرد اگر و تنها در صورتی که منشور مستقیم باشد و یک دایره در اطراف پایه آن توصیف شود.

نتیجه 1. مرکز کره ای که اطراف یک منشور مستقیم قرار دارد در نقطه وسط ارتفاع منشور قرار دارد که از مرکز دایره ای که در اطراف قاعده محصور شده است قرار دارد.

نتیجه 2.یک توپ، به طور خاص، می تواند توصیف شود: نزدیک یک منشور مثلثی راست، نزدیک یک منشور منظم، نزدیک یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل، نزدیک یک منشور چهار گوش راست، که در آن مجموع زوایای مخالف قاعده برابر با 180 درجه است.

از کتاب درسی L.S. Atanasyan، مسائل شماره 632، 633، 634، 637(a)، 639(a،b) را می توان برای ترکیب توپ و منشور پیشنهاد کرد.

ترکیب یک توپ با یک هرم.

1. توپی که در نزدیکی یک هرم توصیف شده است.

قضیه 3. یک توپ را می توان در اطراف یک هرم توصیف کرد اگر و فقط اگر بتوان یک دایره را در اطراف پایه آن توصیف کرد.

نتیجه 1.مرکز کره ای که پیرامون یک هرم محصور شده است در نقطه تقاطع یک خط مستقیم عمود بر قاعده هرم قرار دارد که از مرکز دایره ای که اطراف این قاعده و صفحه ای عمود بر هر لبه جانبی کشیده شده از وسط می گذرد قرار دارد. این لبه

نتیجه 2.اگر لبه های کناری هرم با یکدیگر برابر باشند (یا به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند)، می توان یک توپ را در اطراف چنین هرمی توصیف کرد. مرکز این توپ در این مورد در نقطه تلاقی قرار دارد. ارتفاع هرم (یا امتداد آن) با محور تقارن لبه جانبی که در صفحه لبه و ارتفاع جانبی قرار دارد.

نتیجه 3.یک توپ، به طور خاص، می تواند توصیف شود: نزدیک یک هرم مثلثی، نزدیک یک هرم منظم، نزدیک یک هرم چهار گوش که مجموع زوایای مقابل 180 درجه است.

2. توپی که در هرم حک شده است.

قضیه 4. اگر وجوه جانبی هرم به یک اندازه متمایل به قاعده باشد، می توان توپی را در چنین هرمی حک کرد.

نتیجه 1.مرکز یک توپ حک شده در یک هرم که وجوه جانبی آن به یک اندازه متمایل به قاعده است در نقطه تلاقی ارتفاع هرم با نیمساز زاویه خطی هر زاویه دو وجهی در قاعده هرم قرار دارد. که ارتفاع وجه جانبی کشیده شده از بالای هرم است.

نتیجه 2.می توانید یک توپ را در یک هرم معمولی قرار دهید.

از کتاب درسی L.S. Atanasyan، مسائل شماره 635، 637 (b)، 638، 639 (c)، 640، 641 را می توان برای ترکیب یک توپ با یک هرم پیشنهاد کرد.

ترکیب یک توپ با یک هرم کوتاه.

1. توپی که اطراف یک هرم منقطع معمولی است.

قضیه 5. یک کره را می توان در اطراف هر هرم منقطع منظم توصیف کرد. (این شرط کافی است ولی لازم نیست)

2. توپی که در یک هرم منقطع منظم حک شده است.

قضیه 6. یک توپ را می توان در یک هرم منقطع منظم حک کرد اگر و تنها در صورتی که آپوتم هرم برابر با مجموع آپوتم های پایه ها باشد.

در کتاب درسی L.S. Atanasyan (شماره 636) تنها یک مشکل برای ترکیب یک توپ با یک هرم کوتاه وجود دارد.

ترکیب توپ با بدن های گرد.

قضیه 7. یک کره را می توان در اطراف یک استوانه، یک مخروط کوتاه (مستقیم دایره ای)، یا یک مخروط توصیف کرد.

قضیه 8. یک توپ را می توان در یک استوانه (مستقیم دایره ای) حک کرد اگر و فقط اگر استوانه متساوی الاضلاع باشد.

قضیه 9. می توانید یک توپ را در هر مخروطی (مستقیم دایره ای) قرار دهید.

قضیه 10. یک توپ را می توان در یک مخروط کوتاه (مستقیم دایره ای) حک کرد اگر و تنها در صورتی که مولد آن برابر با مجموع شعاع پایه ها باشد.

از کتاب درسی L.S. Atanasyan می توان مسائل شماره 642، 643، 644، 645، 646 را برای ترکیب توپ با بدنه های گرد پیشنهاد کرد.

برای بیشتر مطالعه موفقمطالب مربوط به این موضوع، لازم است که وظایف شفاهی در دوره دروس گنجانده شود:

1. لبه مکعب برابر با a است. شعاع توپ ها را بیابید: در مکعب حک شده و اطراف آن محصور شده است. (r = a/2، R = a3).

2. آیا می توان یک کره (توپ) را در اطراف: الف) یک مکعب توصیف کرد. ب) متوازی الاضلاع مستطیلی؛ ج) یک متوازی الاضلاع مایل با یک مستطیل در پایه آن. د) متوازی الاضلاع مستقیم؛ ه) یک متوازی الاضلاع مایل؟ (الف) بله؛ ب) بله؛ ج) خیر؛ د) خیر؛ د) خیر)

3. آیا درست است که می توان یک کره را در اطراف هر هرم مثلثی توصیف کرد؟ (آره)

4. آیا می توان کره ای را در اطراف هر هرم چهار گوش توصیف کرد؟ (نه، نه نزدیک هرم چهار گوش)

5. هرم باید چه ویژگی هایی داشته باشد تا بتواند کره اطراف خود را توصیف کند؟ (در پایه آن باید یک چند ضلعی وجود داشته باشد که بتوان دور آن دایره ای را توصیف کرد)

6. هرمی در کره ای حک شده است که لبه کناری آن عمود بر قاعده است. چگونه مرکز یک کره را پیدا کنیم؟ (مرکز کره نقطه تلاقی دو مکان هندسی نقطه در فضا است. اولی عمودی است که از مرکز دایره ای که اطراف آن را احاطه کرده است به صفحه قاعده هرم کشیده شده است. دومی یک صفحه است. عمود بر یک لبه جانبی معین و از وسط آن کشیده شده است)

7. در چه شرایطی می توان کره ای را در اطراف منشوری که در قاعده آن یک ذوزنقه قرار دارد توصیف کرد؟ (اول اینکه منشور باید مستقیم باشد و ثانیاً ذوزنقه متساوی الساقین باشد تا بتوان دور آن دایره ای توصیف کرد)

8. یک منشور باید چه شرایطی را داشته باشد تا یک کره در اطراف آن توصیف شود؟ (منشور باید مستقیم باشد و قاعده آن باید چند ضلعی باشد که بتوان دور آن دایره ای را توصیف کرد)

9. یک کره در اطراف یک منشور مثلثی توصیف شده است که مرکز آن در خارج از منشور قرار دارد. پایه منشور کدام مثلث است؟ (مثلث منفرد)

10. آیا می توان کره ای را در اطراف منشور مایل توصیف کرد؟ (نه نمی توانی)

11. در چه شرایطی مرکز کره ای که منشور مثلثی قائم الزاویه محصور شده است در یکی از وجوه جانبی منشور قرار می گیرد؟ (پایه یک مثلث قائم الزاویه است)

12. قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین است.برآمدگی متعامد بالای هرم بر روی صفحه قاعده نقطه ای است که خارج از ذوزنقه قرار دارد. آیا می توان کره ای را در اطراف چنین ذوزنقه ای توصیف کرد؟ (بله، می توانید. این واقعیت که برآمدگی متعامد بالای هرم در خارج از قاعده آن قرار دارد مهم نیست. مهم این است که در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار داشته باشد - چند ضلعی که می توان دور آن دایره ای قرار گرفت. شرح داده شده)

13. یک کره در نزدیکی یک هرم منظم توصیف شده است. مرکز آن نسبت به عناصر هرم چگونه قرار دارد؟ (مرکز کره بر روی یک عمود بر صفحه قاعده از مرکز آن کشیده شده است)

14. مرکز کره ای که در اطراف یک منشور مثلثی قائم الزاویه توصیف شده است تحت چه شرایطی قرار دارد: الف) داخل منشور. ب) خارج از منشور؟ (در قاعده منشور: الف) مثلث حاد. ب) مثلث منفرد)

15. یک کره در اطراف یک متوازی الاضلاع مستطیلی که لبه های آن 1 dm، dm 2 و dm 2 است، توصیف می شود. شعاع کره را محاسبه کنید. (1.5 dm)

16. یک کره در کدام مخروط کوتاه می تواند جای بگیرد؟ (در مخروط بریده ای که می توان در قسمت محوری آن دایره ای درج کرد. قسمت محوری مخروط ذوزنقه ای متساوی الساقین است که مجموع پایه های آن باید برابر با مجموع اضلاع جانبی آن باشد. به عبارت دیگر، مجموع شعاع پایه های مخروط باید برابر با مولد باشد)

17. یک کره در یک مخروط کوتاه حک شده است. ژنراتیکس مخروط در چه زاویه ای از مرکز کره قابل مشاهده است؟ (90 درجه)

18. یک منشور مستقیم باید چه ویژگی داشته باشد تا یک کره در آن حک شود؟ (اول اینکه در قاعده منشور مستقیم باید چند ضلعی وجود داشته باشد که بتوان دایره ای را درون آن نوشت و ثانیاً ارتفاع منشور باید برابر با قطر دایره محاط شده در قاعده باشد)

19- هرمی که نمی تواند با یک کره جا شود را مثال بزنید؟ (مثلا، هرم چهار گوشکه قاعده آن مستطیل یا متوازی الاضلاع است)

20. در پایه منشور مستقیم یک لوزی قرار دارد. آیا می توان یک کره را در این منشور جای داد؟ (نه، غیرممکن است، زیرا به طور کلی توصیف یک دایره در اطراف یک لوزی غیرممکن است)

21. در چه شرایطی می توان یک کره را در منشور مثلثی قائم الزاویه حک کرد؟ (اگر ارتفاع منشور دو برابر شعاع دایره محاط شده در قاعده باشد)

22. در چه شرایطی می توان یک کره را در یک هرم منقطع چهار گوش منتظم حک کرد؟ (اگر سطح مقطع هرم معین، صفحه ای باشد که از وسط ضلع قاعده عمود بر آن می گذرد، ذوزنقه ای متساوی الساقین است که می توان دایره ای را در آن حک کرد)

23. یک کره در یک هرم منقطع مثلثی نقش بسته است. کدام نقطه از هرم مرکز کره است؟ (مرکز کره حک شده در این هرم در محل تلاقی سه صفحه دو ضلعی زوایای تشکیل شده توسط وجوه جانبی هرم با قاعده قرار دارد)

24. آیا می توان کره ای را در اطراف استوانه (دایره سمت راست) توصیف کرد؟ (بله، تو میتونی)

25. آیا می توان کره ای را در اطراف یک مخروط، مخروط بریده (مستقیم دایره ای) توصیف کرد؟ (بله، در هر دو مورد می توانید)

26. آیا می توان یک کره را در هر استوانه ای حک کرد؟ یک استوانه باید چه ویژگی هایی داشته باشد تا یک کره در آن قرار گیرد؟ (نه، نه هر بار: قسمت محوری سیلندر باید مربع باشد)

27. آیا می توان یک کره را در هر مخروطی حک کرد؟ چگونه می توان موقعیت مرکز یک کره را که در یک مخروط محاط شده است تعیین کرد؟ (بله، کاملاً. مرکز کره محاطی در محل تلاقی ارتفاع مخروط و نیمساز زاویه میل ژنراتیکس به صفحه قاعده است)

نویسنده معتقد است که از سه درس برنامه ریزی با موضوع "مسائل مختلف در چند وجهی، استوانه، مخروط و توپ"، توصیه می شود دو درس را به حل مسائل مربوط به ترکیب توپ با اجسام دیگر اختصاص دهیم. به دلیل زمان ناکافی در کلاس، اثبات قضایای داده شده در بالا توصیه نمی شود. می‌توانید از دانش‌آموزانی دعوت کنید که مهارت‌های کافی برای این کار را دارند تا با نشان دادن (به صلاحدید معلم) دوره یا طرح اثبات، آنها را ثابت کنند.

توپ و کره

جسمی که با چرخش نیم دایره به دور قطر به دست می آید، توپ نامیده می شود. سطحی که در این حالت ایجاد می شود کره نامیده می شود.توپ جسمی است که شامل تمام نقاطی در فضا است که در فاصله ای که از یک نقطه معین بیشتر از یک نقطه معین نباشد، به این نقطه مرکز توپ می گویند.، و به این فاصله شعاع توپ می گویند.مرز یک توپ را سطح کروی می گویندیا یک کره هر قطعه ای که مرکز یک توپ را به نقطه ای از سطح کروی متصل کند شعاع نامیده می شود..قطعه ای که دو نقطه روی یک سطح کروی را به هم متصل می کند و از مرکز توپ می گذرد قطر نامیده می شودانتهاي هر قطري را نقاط متضاد توپ مي گويند هر بخشي از توپهواپیما یک دایره است. مرکز این دایره قاعده عمودی است که از مرکز روی صفحه سکونت افتاده است. صفحه ای که از مرکز توپ می گذرد صفحه قطری نامیده می شود.. برش یک توپ با صفحه قطری دایره بزرگ نامیده می شود، و سطح مقطع کره یک دایره بزرگ است.هر صفحه قطری یک توپ صفحه تقارن آن است. مرکز توپ مرکز تقارن آن استصفحه ای که از نقطه ای روی سطح کروی و عمود بر شعاع کشیده شده به این نقطه می گذرد، صفحه مماس نامیده می شود.. این نکتهنقطه تماس نامیده می شودصفحه مماس تنها یک نقطه مشترک با توپ دارد - نقطه تماس - یک خط مستقیم که از آن می گذرد. نقطه داده شدهسطح کروی عمود بر شعاع کشیده شده به این نقطه مماس نامیده می شودتعداد نامتناهی مماس از هر نقطه ای از سطح کروی عبور می کند و همه آنها در صفحه مماس توپ قرار دارند. یک قطعه کرویقسمتی از توپ که توسط یک صفحه از آن جدا شده است، لایه کروی نامیده می شودقسمتی از توپ که بین دو صفحه موازی که توپ را قطع می کنند قرار دارد.قطعه کروی نامیده می شوداز یک قطعه کروی و یک مخروط به دست می آید.اگر قطعه کروی کوچکتر از یک نیمکره باشد، قسمت کروی با یک مخروط تکمیل می شود که راس آن در مرکز توپ است و قاعده آن قاعده توپ است. اگر قطعه بزرگتر از نیمکره باشد، مخروط مشخص شده از آن جدا می شود. فرمول های اصلیتوپ (R = OB - شعاع): S ب = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. پاره توپ (R = OB - شعاع توپ، h = SK - ارتفاع قطعه، r = KV - شعاع پایه قطعه): V. segm = πh 2 (R - h/3) یا V segm = πh(h 2 + 3r 2 ) / 6; S segm = 2πRh سکتور توپ (R = OB - شعاع توپ، h = SC - ارتفاع قطعه): V = V segm ± V باهم ، "+" - اگر بخش کوچکتر است، "-" - اگر بخش بزرگتر از نیمکره باشد.یا V = V segm + V باهم = πh 2 (R - h/3) + πr 2 (R - h) / 3. لایه کروی (R 1 و R 2 - شعاع پایه های لایه کروی؛ h = SC - ارتفاع لایه کروی یا فاصله بین پایه ها):V w/sl = πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + آر 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh مثال 1. حجم توپ 288π سانتی متر است 3 . قطر توپ را پیدا کنید SolutionV = πd 3 / 6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728 πd 3 = 1728d = 12 سانتی متر پاسخ: 12. مثال 2. سه کره مساوی به شعاع r با یکدیگر و مقداری صفحه تماس دارند. شعاع کره چهارم مماس بر سه داده و صفحه داده شده را تعیین کنیداجازه دهید O 1 ، در باره 2 ، در باره 3 - مراکز این کره ها و O - مرکز کره چهارم که سه داده و صفحه داده شده را لمس می کند. فرض کنید A، B، C، T نقاط تماس کره ها با یک صفحه معین باشد. نقاط تماس دو کره روی خط مراکز این کره ها قرار دارد، بنابراین O 1 در باره 2 = O 2 در باره 3 = O 3 در باره 1 = 2r فاصله نقاط از صفحه ABC برابر است، بنابراین ABO 2 در باره 1 ، AVO 2 در باره 3 ، AVO 3 در باره 1 - مستطیل های مساوی هستند، بنابراین، ∆ABC با ضلع 2r متساوی الاضلاع است، فرض کنید x شعاع مطلوب کره چهارم باشد. سپس OT = x. از این رو، به همین ترتیب این بدان معنی است که T مرکز یک مثلث متساوی الاضلاع است. از همین رو از اینجاپاسخ: r / 3. کره ای که در یک هرم حک شده است در هر هرم منظم می توان یک کره را حک کرد. مرکز کره در ارتفاع هرم در نقطه تقاطع آن با نیمساز زاویه خطی در لبه قاعده هرم قرار دارد. اگر بتوان یک کره را در یک هرم حک کرد، نه لزوماً منظم، شعاع r این کره را می توان با استفاده از فرمول r = 3V / S محاسبه کرد. pp ، جایی که V حجم هرم است، S pp - مساحت کل آن مثال 3. یک قیف مخروطی شکل به شعاع پایه R و ارتفاع H با آب پر شده است. یک توپ سنگین داخل قیف پایین می آید. شعاع توپ چقدر باید باشد تا حجم آب جابجا شده از قیف توسط قسمت غوطه ور شده توپ حداکثر باشد؟راه حل بیایید یک مقطع از مرکز مخروط رسم کنیم. این بخش یک مثلث متساوی الساقین را تشکیل می دهد.اگر توپی در قیف وجود داشته باشد، حداکثر اندازه شعاع آن برابر با شعاع دایره محاط شده در مثلث متساوی الساقین حاصل خواهد بود.شعاع دایره محاط شده در مثلث برابر است با: r = S / p که در آن S مساحت مثلث است، p نیمه محیط آن است، مساحت مثلث متساوی الساقین برابر با نصف ارتفاع (H = SO) ضرب در قاعده است. اما از آنجایی که قاعده دو برابر شعاع مخروط است، پس S = RH. نیم محیط برابر است با p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m طول هر یک از اضلاع مساوی متساوی الساقین است. مثلث؛ R شعاع دایره ای است که قاعده مخروط را تشکیل می دهد. m را با قضیه فیثاغورث پیدا کنید: ، جایی کهبه طور خلاصه اینگونه به نظر می رسد:پاسخ:مثال 4. در یک هرم مثلثی منظم با زاویه دو وجهی در قاعده برابر α، دو توپ وجود دارد. توپ اول تمام وجوه هرم را لمس می کند و توپ دوم تمام وجوه کناری هرم و توپ اول را لمس می کند. نسبت شعاع توپ اول به شعاع توپ دوم را در صورت tgα = 24/7 بیابید.
فرض کنید RABC یک هرم منظم و نقطه H مرکز قاعده ABC آن باشد. فرض کنید M نقطه وسط یال BC باشد. سپس - زاویه دو وجهی خطی ، که با شرط برابر است با α و α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой اجازه دهید NN 1 - قطر اولین توپ و صفحه ای که از نقطه H عبور می کند 1 عمود بر خط راست RN، لبه های جانبی RA، PB، RS را به ترتیب در نقاط A قطع می کند. 1 ، که در 1 ، با 1 . سپس N 1 مرکز ∆A صحیح خواهد بود 1 که در 1 با 1 ، و هرم RA 1 که در 1 با 1 مشابه هرم RABC با ضریب شباهت k = RN خواهد بود 1 / RN. توجه داشته باشید که توپ دوم با مرکز در نقطه O 1 ، در هرم RA حک شده است 1 که در 1 با 1 و بنابراین نسبت شعاع توپ های محاطی برابر با ضریب شباهت است: OH / OH 1 = RN / RN 1 . از برابری tgα = 24/7 در می یابیم:اجازه دهید AB = x. سپس از این رو نسبت OH/O مورد نظر است 1 ن 1 = 16/9 پاسخ: 16/9 کره محاط شده در منشور قطر D کره ای که در منشور محاط شده برابر با ارتفاع H منشور است: D = 2R = H. شعاع R کره ای که در منشور محاط شده است. یک منشور برابر است با شعاع دایره ای که در منشور عمود بر آن محاط شده است.اگر کره ای در منشور مستقیم محاط شود، می توان یک دایره در قاعده این منشور حک کرد. منشور برابر است با شعاع دایره محاط شده در قاعده منشور قضیه 1 فرض کنید یک دایره در قاعده یک منشور مستقیم محاط شود و ارتفاع H منشور برابر با قطر D این دایره باشد. سپس یک کره با قطر D را می توان در این منشور حک کرد.مرکز این کره محاطی منطبق بر وسط قطعه اتصال مراکز دایره های محاط شده در پایه های منشور است.اجازه دهید ABC...A 1 که در 1 با 1 ... یک منشور مستقیم است و O مرکز دایره ای است که در قاعده ABC آن محاط شده است. سپس نقطه O از تمام اضلاع پایه ABC فاصله دارد. اجازه دهید O 1 - پیش بینی متعامد نقطه O بر روی پایه A 1 که در 1 با 1 . سپس آه 1 فاصله یکسان از تمام اضلاع پایه A 1 که در 1 با 1 ، و OO 1 || AA 1 . از آن پیروی می کند که OO مستقیم 1 به موازات هر صفحه جانبی منشور، و طول بخش OO 1 برابر با ارتفاع منشور و طبق قرارداد، قطر دایره ای که در پایه منشور حک شده است. این بدان معنی است که نقاط بخش OO 1 از وجوه جانبی منشور و وسط F قطعه OO فاصله دارند 1 ، با فاصله مساوی از سطوح پایه منشور، از تمام وجوه منشور به یک اندازه فاصله خواهد داشت. یعنی F مرکز کره ای است که در منشور محاط شده است و قطر این کره برابر است با قطر دایره ای که در قاعده منشور محاط شده است. قضیه ثابت می شود قضیه 2 فرض کنید یک دایره در قسمت عمود یک منشور مایل محاط شود و ارتفاع منشور برابر با قطر این دایره باشد. سپس یک کره را می توان در این منشور مایل حک کرد. مرکز این کره ارتفاعی را که از مرکز دایره ای که در قسمتی عمود بر آن حک شده است را به دو نیم تقسیم می کند.
اجازه دهید ABC...A 1 که در 1 با 1 ... یک منشور مایل است و F مرکز دایره ای است که شعاع FK در قسمت عمود بر آن محاط شده است. از آنجایی که بخش عمود یک منشور بر هر صفحه از وجه جانبی آن عمود است، شعاع دایره ای که در قسمت عمود کشیده شده به اضلاع این بخش، عمود بر وجوه جانبی منشور است. در نتیجه، نقطه F از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد. اجازه دهید یک خط مستقیم OO از طریق نقطه F رسم کنیم. 1 عمود بر صفحه قاعده های منشور، این پایه ها را در نقاط O و O قطع می کنند. 1 . سپس OO 1 - ارتفاع منشور از آنجایی که با توجه به شرایط OO 1 = 2FK، سپس F وسط بخش OO است 1 :FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1 ، یعنی نقطه F از صفحات تمام وجوه منشور بدون استثنا فاصله دارد. این بدان معنی است که یک کره را می توان در یک منشور معین حک کرد، که مرکز آن با نقطه F منطبق است - مرکز دایره ای که در آن بخش عمود بر منشور حک شده است که ارتفاع منشور عبوری از نقطه F را به نصف تقسیم می کند. قضیه ثابت شده است.مثال 5. توپی به شعاع 1 در یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل حک شده است.حجم متوازی الاضلاع را بیابید.حل حلنمای بالا را بکشید. یا از کنار. یا از جلو. شما همان چیز را خواهید دید - دایره ای که در یک مستطیل حک شده است. بدیهی است که این مستطیل یک مربع و متوازی الاضلاع یک مکعب خواهد بود. طول و عرض و ارتفاع این مکعب دو برابر شعاع کره است AB = 2 و بنابراین حجم مکعب 8 است پاسخ: 8. مثال 6. در یک منشور مثلثی منتظم با ضلع قاعده برابر است. به ، دو توپ وجود دارد. توپ اول در منشور حک شده است و توپ دوم یک پایه منشور، دو وجه جانبی آن و توپ اول را لمس می کند. شعاع توپ دوم را پیدا کنید
اجازه دهید ABCA 1 که در 1 با 1 - منشور و نقاط P و P صحیح است 1 - مراکز پایه های آن. سپس مرکز توپ O که در این منشور حک شده است، نقطه وسط قطعه PP است 1 . هواپیمای RVV را در نظر بگیرید 1 . از آنجایی که منشور منظم است، PB روی قطعه BN قرار دارد که نیمساز و ارتفاع ΔABC است. بنابراین، هواپیما و صفحه نیمساز زاویه دو وجهی در لبه جانبی ماده منفجره است 1 . بنابراین، هر نقطه از این هواپیما از وجوه جانبی AA فاصله دارد 1 BB 1 و SS 1 که در 1 ب. به طور خاص، عمود بر OK، از نقطه O به صورت ACC کاهش یافته است 1 آ 1 ، در هواپیمای RVV قرار دارد 1 و برابر با قطعه OP است توجه داشته باشید که KNPO مربعی است که ضلع آن برابر با شعاع توپی است که در یک منشور مشخص شده است. 1 - مرکز توپ در تماس با توپ حکاکی شده با مرکز O و وجه های جانبی AA 1 BB 1 و SS 1 که در 1 به منشورها. سپس نقطه O 1 در هواپیمای RVV قرار دارد 1 ، و طرح ریزی آن P 2 در صفحه ABC روی قطعه PB قرار دارد طبق شرط ضلع قاعده برابر است بنابراین، PN = 2 و بنابراین شعاع توپ OR محاط شده در منشور نیز برابر است با 2. از آنجایی که توپ های دارای مرکز در نقاط O و O هستند 1 یکدیگر را لمس کنید، سپس بخش OO را لمس کنید 1 = OR + O 1 آر 2 . اجازه دهید OP = r، O را نشان دهیم 1 آر 2 = x. ΔOO را در نظر بگیرید 1 تی، کجا در این مثلث OO 1 = r + x، OT = r - x. از همین رو از آنجایی که شکل O است 1 آر 2 پس RT یک مستطیل است علاوه بر این، با خاصیت میانه های یک مثلث РВ = 2r و Р 2 B = 2x، زیرا در راست گوشه و پ 2 L = x. از آنجایی که PB = PP 2 + آر 2 B، سپس معادله را بدست می آوریم ، که از آن با در نظر گرفتن نابرابری x< r, находим با جایگزینی مقدار r = 2، در نهایت پیدا می کنیم پاسخ:کره ای که اطراف یک چندوجهی است
گفته می شود که کره در اطراف چند وجهی محصور شده است، اگر تمام رئوس آن بر روی این کره باشد. در این مورد گفته می شود که چند وجهی در کره حک شده استاز تعریف چنین برمی‌آید که اگر چند وجهی دارای یک کره محصور باشد، تمام وجوه آن چند ضلعی محاط است و بنابراین، هر چند وجهی دارای یک کره محصور در اطراف خود نیست، برای مثال، متوازی الاضلاع مایل دارای کره محصور نیست، زیرا توصیف یک دایره در اطراف متوازی الاضلاع غیرممکن است. مرکز کره ای که اطراف یک منشور راست است وسط قسمتی است که مراکز دایره هایی را که در مورد پایه های یک منشور راست توصیف شده است به هم متصل می کند. مثال 7. شعاع یک کره را بیابید. اگر حجم مکعب 27 باشد حدود یک مکعب است. جواب را در فرم بنویسید. حل حجم مکعب لبه مکعب a = 3. طبق قضیه فیثاغورث، قطر مکعب سپس شعاع نصف قطر مکعب را پیدا می کنیم: جواب را در فرم بنویسیم جواب: 1.5 مثال 8. یکی از پایه های منشور مثلثی منتظم متعلق به دایره بزرگ توپی به شعاع R و رئوس قاعده دیگر مربوط به سطح این توپ است. ارتفاع منشوری را که حجم آن در آن بیشترین مقدار خواهد بود را تعیین کنید
عمود بر صفحه A 1 که در 1 با 1 از مرکز دایره ای که در اطراف این مثلث ترسیم شده است از مرکز توپ عبور می کند. اجازه دهید OB را نشان دهیم 1 = R، OB = R 1 ، بی بی 1 = h = x. سپس بیایید مشتق را پیدا کنیم و آن را با صفر برابر کنیم. ما گرفتیم:پاسخ:

پانزدهم همایش آزاد دانشجویی شهرستان

"روشنفکران قرن بیستم"

بخش: ریاضیات

منطقه توصیف شده در المپیادها و آزمون یکپارچه دولتی

کیاوا آنا آناتولونا

اورنبورگ – 2008

1.2 محدوده شرح داده شده است

1.2.1 خصوصیات و تعاریف اساسی

1.2.2 ترکیب هرمی

1.2.3 ترکیب با منشور

1.2.4 ترکیب با سیلندر

1.2.5 ترکیب با مخروط

2 نمونه از وظایف المپیاد

2.1 نمونه هایی از وظایف المپیاد با هرم

2.2 نمونه هایی از وظایف المپیاد با منشور

2.3 نمونه هایی از وظایف المپیاد با یک سیلندر

2.4 نمونه هایی از وظایف المپیاد با مخروط

3.3 نمونه هایی از وظایف آزمون یکپارچه دولتی با یک سیلندر

3.4 نمونه هایی از وظایف آزمون یکپارچه دولتی با مخروط

معرفی

این کار به عنوان بخشی از پروژه ایجاد یک صفحه ریاضی برای دانش آموزان در وب سایت مدرسه شبانه روزی انجام می شود و در قسمت "روش های ریاضی" قرار می گیرد.

هدفکار - ایجاد یک کتاب مرجع اختصاص داده شده به روش حل مسائل هندسیبا حوزه توصیف شده در المپیادها و آزمون یکپارچه دولتی.

برای رسیدن به این هدف نیاز به حل موارد زیر داشتیم وظایف :

1) با مفهوم حوزه توصیف شده آشنا شوید.

2) ویژگی های ترکیبات کره توصیف شده با هرم، منشور، استوانه و مخروط را مطالعه کنید.

3) از بین مسائل هندسی، مواردی را انتخاب کنید که دارای شرط وجود یک کره توصیف شده هستند.

4) تجزیه و تحلیل، سیستم بندی و طبقه بندی مطالب جمع آوری شده؛

5) انتخابی از مشکلات را برای راه حل مستقل انجام دهید.

6) نتیجه تحقیق را در قالب چکیده ارائه کنید.

در طول تحقیق، متوجه شدیم که مشکلات مربوط به منطقه توصیف شده اغلب در امتحان دولتی واحد به دانش آموزان ارائه می شود، بنابراین توانایی حل مشکلات از این نوع نقش بسیار مهمی در اتمام موفقیت آمیزامتحانات. همچنین، مشکلات مربوط به منطقه توصیف شده اغلب در المپیادهای ریاضی در سطوح مختلف یافت می شود. نمونه های مرتبط در کار ما آورده شده است. این موضوعاست مربوط، زیرا این نوع وظایف معمولاً برای دانش آموزان مشکل ایجاد می کند.

اهمیت عملی- از مطالبی که ما آماده کرده ایم می توان در آماده سازی دانش آموزان مدرسه ای برای المپیادها، آزمون یکپارچه دولتی و مطالعات بعدی در دانشگاه استفاده کرد.

1 کره و توپ

1.1 کره و توپ: مفاهیم و تعاریف اساسی

کرهسطحی است متشکل از تمام نقاط موجود در فضا که در فاصله معینی از یک نقطه معین قرار دارند.

این نقطه نامیده می شود مرکز کره(نقطه در بارهدر شکل 1) و این فاصله شعاع کره. هر قطعه ای که مرکز و هر نقطه از کره را به هم متصل کند، شعاع کره نیز نامیده می شود. پاره خطی که دو نقطه روی یک کره را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد نامیده می شود قطر کره(بخش خط دی سیدر شکل 1). توجه داشته باشید که یک کره را می توان با چرخاندن یک نیم دایره به دور قطر آن به دست آورد.

توپجسم محصور به یک کره نامیده می شود. مرکز، شعاع و قطر یک کره نیز نامیده می شود مرکز , شعاعو قطر توپ. بدیهی است که یک توپ با شعاع آرمتمرکز در در بارهشامل تمام نقاطی در فضا است که از نقطه واقع شده اند در بارهدر فاصله ای که بیشتر از آن نباشد آر(از جمله نقطه در باره) و حاوی نکات دیگری نیست. توپشکل چرخش یک نیم دایره به دور قطر آن نیز نامیده می شود. بخش توپ- قسمتی از توپ توسط چند هواپیما از آن جدا شده است. هر بخش از یک توپ در یک صفحه یک دایره است. مرکز این دایره، پایه عمودی است که از مرکز توپ روی صفحه برش کشیده شده است. هواپیمایی که از مرکز توپ عبور می کند نامیده می شود صفحه قطریبرش یک توپ توسط صفحه قطری نامیده می شود دایره بزرگ، و بخش کره است دایره بزرگ بخش توپ -جسم هندسی که با چرخاندن یک بخش دایره ای با زاویه کمتر از 90 درجه حول یک خط مستقیم که یکی از شعاع های محدود کننده بخش دایره ای را در بر می گیرد، به دست می آید. بخش کروی از یک بخش کروی و یک مخروط با پایه مشترک تشکیل شده است.

سطح یک کره:

اس = 4π آر 2 ,

جایی که آر- شعاع توپ، اس- مساحت کره

حجم کره

جایی که V- حجم توپ

حجم بخش توپ

V – حجم بخش کروی

مساحت سطح قطعه ای

- ارتفاع قطعه، مساحت سطح قطعه قطعه

شعاع پایه قطعه

، - شعاع پایه قطعه، - ارتفاع قطعه، 0<اچ < 2آر .

سطح کروی یک بخش توپ

- مساحت سطح کروی بخش کروی.

در فضا، برای یک توپ و یک هواپیما، سه حالت ممکن است:

1) اگر فاصله مرکز توپ تا هواپیما از شعاع توپ بیشتر باشد، توپ و هواپیما نقاط مشترکی ندارند.

2) اگر فاصله مرکز توپ تا صفحه برابر با شعاع توپ باشد، آنگاه هواپیما تنها یک نقطه مشترک با توپ و کره ای که آن را محدود می کند دارد.

3) اگر فاصله مرکز توپ تا هواپیما کمتر از شعاع توپ باشد، محل تلاقی توپ با هواپیما یک دایره است. مرکز این دایره نمایانگر مرکز توپ بر روی یک صفحه معین است. محل تلاقی صفحه با کره، محیط دایره مشخص شده است.

1.2 کره توصیف شده است

1.2.1 تعاریف و خصوصیات

کره نامیده می شود در اطراف چند وجهی توضیح داده شده است(و چند وجهی است در حوزه گنجانده شده است) ، اگر تمام رئوس چند وجهی روی کره قرار بگیرند.

از تعریف حوزه توصیف شده دو واقعیت به دست می آید:

1) همه رئوس چند وجهی محاط شده در یک کره از یک نقطه خاص (از مرکز کره محصور) فاصله دارند.

2) هر وجهی از یک چند وجهی که در یک کره حک شده است، چند ضلعی است که در یک دایره معین حک شده است، دقیقاً در دایره ای که در مقطع کره توسط صفحه صورت به دست می آید. در این حالت، قاعده عمودها که از مرکز کره محدود شده در صفحه وجه ها پایین می آیند، مراکز دایره هایی هستند که در اطراف وجوه محصور شده اند.

قضیه 1 . یک کره را می توان در اطراف یک چند وجهی توصیف کرد اگر و تنها در صورتی که یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:

الف) یک دایره را می توان در اطراف هر وجهی از چند وجهی توصیف کرد، و محورهای دایره های توصیف شده در اطراف وجه های چند وجهی در یک نقطه تلاقی می کنند.

ب) صفحات عمود بر لبه های چندوجهی که از نقاط میانی آنها می گذرند در یک نقطه تلاقی می کنند.

ج) یک نقطه منفرد در فاصله مساوی از همه رئوس چند وجهی وجود دارد.

اثبات

ضرورت.اجازه دهید یک کره در اطراف چند وجهی توصیف شود. اجازه دهید ثابت کنیم که شرط a) برقرار است. در واقع، از آنجایی که صفحه یک صورت معین از یک چند وجهی، یک کره را در امتداد یک دایره قطع می کند، پس رئوس صورت متعلق به کره و صفحه صورت متعلق به خط تقاطع آنها - دایره است. از آنجایی که مرکز کره از همه رئوس یک وجه معین فاصله دارد، بر روی یک عمود بر این وجه قرار دارد که از مرکز دایره ای که در اطراف صورت قرار دارد کشیده شده است.

کفایت.شرط الف) برآورده شود. اجازه دهید ثابت کنیم که یک کره را می توان در اطراف یک چند وجهی توصیف کرد. در واقع، از آنجایی که نقطه مشترک عمود بر وجه هایی که از مرکز دایره های محصور در اطراف وجه ها کشیده شده اند، از تمام رئوس چند وجهی فاصله دارد، کره ای با مرکز در این نقطه در اطراف چند وجهی توصیف می شود.

شرط الف) در این حالت معادل شرایط ب) و ج است.

اگر کره ای دور یک چند وجهی احاطه شده باشد، آنگاه: الف) قاعده عمودی که از مرکز کره به هر وجهی افتاده است، مرکز دایره ای است که اطراف این وجه محصور شده است (مثل قاعده ارتفاع هرم با مساوی). لبه های جانبی - شعاع های کره ای که از مرکز آن تا رئوس یک صورت مشخص کشیده شده است. ب) مرکز کره ای که اطراف یک چند وجهی است، می تواند در داخل چند وجهی، روی سطح آن (در مرکز دایره ای که اطراف یک صورت، به ویژه، در وسط برخی از لبه ها) در خارج از چند وجهی قرار گرفته باشد.

1.2.2 کره و هرم محصور

قضیه 2 . یک کره را می توان در اطراف یک هرم توصیف کرد اگر و فقط اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده آن توصیف کرد.

اثباتبگذارید یک دایره در اطراف قاعده هرم توصیف شود. سپس این دایره و یک نقطه خارج از صفحه این دایره - بالای هرم - یک کره منفرد را مشخص می کند که اطراف هرم محصور خواهد شد. و برگشت. اگر یک کره به دور یک هرم محصور شده باشد، بخش کره با صفحه قاعده هرم دایره ای است که اطراف قاعده محصور شده است.

نتیجه 1.یک کره را می توان در اطراف هر چهار وجهی توصیف کرد.

مبحث "مسائل مختلف چند وجهی، استوانه، مخروط و گوی" یکی از سخت ترین مباحث درس هندسه پایه یازدهم است. قبل از حل مسائل هندسی، معمولاً بخش های مربوط به نظریه را که هنگام حل مسائل به آن اشاره می شود، مطالعه می کنند. در کتاب درسی S. Atanasyan و دیگران در مورد این موضوع (ص 138) فقط می توان تعاریفی از چند وجهی توصیف شده در اطراف یک کره، یک چند وجهی محاط شده در یک کره، یک کره محاط شده در یک چند وجهی، و یک کره توصیف شده در اطراف یک کره پیدا کرد. چند وجهی توصیه های روش شناختی برای این کتاب درسی (به کتاب "مطالعه هندسه در کلاس های 10-11" نوشته S.M. Sahakyan و V.F. Butuzov، ص 159 مراجعه کنید) می گوید که در حل مسائل شماره 629-646 چه ترکیبی از اجسام در نظر گرفته می شود و توجه جلب می شود. به این واقعیت که "هنگام حل یک مشکل خاص، قبل از هر چیز، لازم است اطمینان حاصل شود که دانش آموزان درک خوبی از موقعیت های نسبی بدن نشان داده شده در شرایط دارند." در ادامه راه حل مشکلات شماره 638(الف) و شماره 640 آورده شده است.

تعاریف

(از این تعریف به دست می آید که دایره بزرگ یک توپ را می توان در هر بخش محوری این اجسام حک کرد).

(از این تعریف به دست می آید که در اطراف هر بخش محوری این اجسام می توان دایره دایره بزرگتری از توپ را توصیف کرد).

نکات کلی در مورد موقعیت مرکز توپ.

ترکیب یک کره و یک منشور.

1. توپی که در منشور مستقیم حک شده است.

2. کره ای که اطراف یک منشور محصور شده است.

قضیه 2. یک کره را می توان در اطراف یک منشور توصیف کرد اگر و تنها در صورتی که منشور مستقیم باشد و یک دایره در اطراف پایه آن توصیف شود.

از کتاب درسی L.S. Atanasyan، مسائل شماره 632، 633، 634، 637(a)، 639(a،b) را می توان برای ترکیب توپ و منشور پیشنهاد کرد.

ترکیب یک توپ با یک هرم.

1. توپی که در نزدیکی یک هرم توصیف شده است.

قضیه 3. یک توپ را می توان در اطراف یک هرم توصیف کرد اگر و فقط اگر بتوان یک دایره را در اطراف پایه آن توصیف کرد.

2. توپی که در هرم حک شده است.

قضیه 4. اگر وجوه جانبی هرم به یک اندازه متمایل به قاعده باشد، می توان توپی را در چنین هرمی حک کرد.

نتیجه 2.می توانید یک توپ را در یک هرم معمولی قرار دهید.

از کتاب درسی L.S. Atanasyan، مسائل شماره 635، 637 (b)، 638، 639 (c)، 640، 641 را می توان برای ترکیب یک توپ با یک هرم پیشنهاد کرد.

ترکیب یک توپ با یک هرم کوتاه.

1. توپی که اطراف یک هرم منقطع معمولی است.

قضیه 5. یک کره را می توان در اطراف هر هرم منقطع منظم توصیف کرد. (این شرط کافی است ولی لازم نیست)

2. توپی که در یک هرم منقطع منظم حک شده است.

در کتاب درسی L.S. Atanasyan (شماره 636) تنها یک مشکل برای ترکیب یک توپ با یک هرم کوتاه وجود دارد.

ترکیب توپ با بدن های گرد.

قضیه 7. یک کره را می توان در اطراف یک استوانه، یک مخروط کوتاه (مستقیم دایره ای)، یا یک مخروط توصیف کرد.

قضیه 8. یک توپ را می توان در یک استوانه (مستقیم دایره ای) حک کرد اگر و فقط اگر استوانه متساوی الاضلاع باشد.

قضیه 9. می توانید یک توپ را در هر مخروطی (مستقیم دایره ای) قرار دهید.

قضیه 10. یک توپ را می توان در یک مخروط کوتاه (مستقیم دایره ای) حک کرد اگر و تنها در صورتی که مولد آن برابر با مجموع شعاع پایه ها باشد.

از کتاب درسی L.S. Atanasyan می توان مسائل شماره 642، 643، 644، 645، 646 را برای ترکیب توپ با بدنه های گرد پیشنهاد کرد.

برای مطالعه موفقیت آمیزتر مطالب در مورد این موضوع، لازم است که وظایف شفاهی در دروس گنجانده شود:

1. لبه مکعب برابر با a است. شعاع توپ ها را بیابید: در مکعب حک شده و اطراف آن محصور شده است. (r = a/2، R = a3).

3. آیا درست است که می توان یک کره را در اطراف هر هرم مثلثی توصیف کرد؟ (آره)

4. آیا می توان کره ای را در اطراف هر هرم چهار گوش توصیف کرد؟ (نه، نه نزدیک هرم چهار گوش)

10. آیا می توان کره ای را در اطراف منشور مایل توصیف کرد؟ (نه نمی توانی)

17. یک کره در یک مخروط کوتاه حک شده است. ژنراتیکس مخروط در چه زاویه ای از مرکز کره قابل مشاهده است؟ (90 درجه)

19- هرمی که نمی تواند با یک کره جا شود را مثال بزنید؟ (به عنوان مثال، یک هرم چهار گوش با یک مستطیل یا متوازی الاضلاع در قاعده آن)

24. آیا می توان کره ای را در اطراف استوانه (دایره سمت راست) توصیف کرد؟ (بله، تو میتونی)

یا یک کره هر قطعه ای که مرکز یک توپ را به نقطه ای از سطح کروی متصل کند، نامیده می شود شعاع. قطعه ای که دو نقطه را روی یک سطح کروی به هم متصل می کند و از مرکز توپ می گذرد نامیده می شود قطر. انتهای هر قطری را نقاط متضاد توپ می نامند.همه جور چیز بخش توپیک هواپیما وجود دارد دایره. مرکز این دایره قاعده عمودی است که از مرکز به صفحه برش کشیده شده است.هواپیمایی که از مرکز توپ عبور می کند نامیده می شود هواپیمای مرکزی. برش یک توپ توسط صفحه قطری نامیده می شود دایره بزرگ، و بخش کره است دایره بزرگ. هر صفحه قطری توپ مربوط به آن است صفحه تقارن. مرکز توپ آن است مرکز تقارن. صفحه ای که از نقطه ای روی سطح کروی و عمود بر شعاع کشیده شده به این نقطه می گذرد نامیده می شود. صفحه مماس. این نقطه نامیده می شود نقطه تماس. صفحه مماس تنها یک نقطه مشترک با توپ دارد - نقطه تماس.خط مستقیمی که از نقطه مشخصی از یک سطح کروی عمود بر شعاع کشیده شده به این نقطه می گذرد نامیده می شود. مماس. تعداد نامتناهی مماس از هر نقطه روی سطح کروی عبور می کند و همه آنها در صفحه مماس توپ قرار دارند.بخش توپقسمتی از توپ که توسط هواپیما از آن جدا شده است نامیده می شود.لایه توپبه بخشی از توپ که بین دو صفحه موازی که توپ را قطع می کنند قرار دارد.بخش توپاز یک قطعه کروی و یک مخروط به دست می آید.اگر یک بخش کروی کوچکتر از یک نیمکره باشد، بخش کروی با یک مخروط تکمیل می شود که راس آن در مرکز توپ قرار دارد و قاعده قاعده قطعه است.اگر قطعه بزرگتر از یک نیمکره باشد، مخروط مشخص شده از آن حذف می شود. فرمول های پایه توپ (R = OB - شعاع):S b = 4πR 2; V = 4πR 3/3.قطعه توپ (R = OB - شعاع توپ، h = SC - ارتفاع قطعه، r = KV - شعاع پایه قطعه):V segm = πh 2 (R - h / 3)یا V segm = πh(h 2 + 3r 2) / 6; S segm = 2πRh.بخش توپ (R = OB - شعاع توپ، h = SK - ارتفاع قطعه):V = بخش V ± V con، "+"- اگر قطعه کوچکتر است، "-" - اگر قطعه بزرگتر از یک نیمکره باشد.یا V = V segm + V con = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. لایه کروی (R 1 و R 2 - شعاع پایه های لایه کروی؛ h = SC - ارتفاع لایه کروی یا فاصله بین پایه ها):V sh/sl = πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.مثال 1.حجم کره 288π cm3 است. قطر توپ را پیدا کنید.راه حلV = πd 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 سانتی مترجواب: 12.مثال 2.سه کره مساوی با شعاع r یکدیگر و مقداری صفحه را لمس می کنند. شعاع کره چهارم مماس بر سه داده و صفحه داده شده را تعیین کنید.راه حل اجازه دهید O 1، O 2، O 3 مرکز این کره ها و O مرکز کره چهارم باشد که سه داده و صفحه داده شده را لمس می کند. فرض کنید A، B، C، T نقاط تماس کره ها با یک صفحه معین باشد. بنابراین، نقاط تماس دو کره روی خط مراکز این کره ها قرار دارد O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. بنابراین نقاط از صفحه ABC فاصله دارند AVO 2 O 1، AVO 2 O 3، AVO 3 O 1- مستطیل های مساوی، بنابراین ∆ABC با ضلع 2r متساوی الاضلاع است.اجازه دهید x شعاع مطلوب کره چهارم است. سپس OT = x. بنابراین، به طور مشابه این بدان معنی است که T مرکز یک مثلث متساوی الاضلاع است. بنابراین از اینجاجواب: r/3. کره حکاکی شده در یک هرمدر هر هرم منظم می توان یک کره حک کرد. مرکز کره در ارتفاع هرم در نقطه تقاطع آن با نیمساز زاویه خطی در لبه قاعده هرم قرار دارد.اظهار نظر. اگر بتوان یک کره را در یک هرم حک کرد که لزوماً منظم نیست، شعاع r این کره را می توان با استفاده از فرمول r = 3V / S pp محاسبه کرد، که در آن V حجم هرم است، S pp مساحت است. از کل سطح آنمثال 3.یک قیف مخروطی با شعاع پایه R و ارتفاع H با آب پر شده است. یک توپ سنگین داخل قیف پایین می آید. شعاع توپ چقدر باید باشد تا حجم آب جابجا شده از قیف توسط قسمت غوطه‌ور شده توپ حداکثر باشد؟راه حلبیایید یک بخش از مرکز مخروط بکشیم. این بخش یک مثلث متساوی الساقین را تشکیل می دهد. اگر توپی در قیف وجود داشته باشد، حداکثر اندازه شعاع آن برابر با شعاع دایره ای است که در مثلث متساوی الساقین حاصل شده است.شعاع دایره محاط شده در مثلث برابر است با:r = S / p، جایی که S مساحت مثلث است، p نیمه محیط آن است.مساحت یک مثلث متساوی الساقین برابر با نصف ارتفاع (H = SO) ضربدر قاعده است. اما از آنجایی که پایه دو برابر شعاع مخروط است، پس S = RH است.نیم محیط p = 1/2 (2R + 2m) = R + m است.m طول هر یک از اضلاع مساوی یک مثلث متساوی الساقین است.R شعاع دایره ای است که قاعده مخروط را می سازد.بیایید m را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم: ، جایی کهبه طور خلاصه اینگونه به نظر می رسد: پاسخ: مثال 4.در یک هرم مثلثی منظم با زاویه دو وجهی در قاعده برابر α، دو توپ وجود دارد. توپ اول تمام وجوه هرم را لمس می کند و توپ دوم تمام وجوه کناری هرم و توپ اول را لمس می کند. اگر tgα = 24/7 باشد، نسبت شعاع توپ اول به شعاع توپ دوم را بیابید.راه حل
اجازه دهید RABC یک هرم منظم است و نقطه H مرکز قاعده ABC آن است. فرض کنید M نقطه وسط یال BC باشد. سپس زاویه خطی زاویه دو وجهی است که طبق شرط برابر با α و α است< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . اجازه دهید НН 1 - قطر توپ اول و صفحه ای که از نقطه Н 1 عمود بر خط مستقیم РН می گذرد، لبه های جانبی RA، РВ، РС را به ترتیب در نقاط А 1، В 1، С 1 قطع می کند. سپس H 1 مرکز ∆A 1 B 1 C 1 صحیح خواهد بود و هرم RA 1 B 1 C 1 مشابه هرم RABC با ضریب شباهت k = PH 1 / PH خواهد بود. توجه داشته باشید که توپ دوم با مرکز در نقطه O 1 در هرم RA 1 B 1 C 1 حک شده است و بنابراین نسبت شعاع توپ های محاطی برابر با ضریب شباهت است: OH / OH 1 = RN / RN 1. از برابری tgα = 24/7 در می یابیم:اجازه دهید AB = x. سپسبنابراین نسبت مورد نظر OH / O 1 H 1 = 16/9 است.پاسخ: 16/9. کره حک شده در یک منشورقطر D یک کره محاط شده در یک منشور برابر است با ارتفاع H منشور: D = 2R = H.شعاع R کره ای که در یک منشور محاط شده است برابر با شعاع دایره ای است که در قسمت عمود بر منشور محاط شده است.اگر یک کره در یک منشور مستقیم محاط شود، می توان یک دایره را در قاعده این منشور حک کرد.شعاع R کره ای که در منشور راست محاط شده است برابر است با شعاع دایره ای که در قاعده منشور محاط شده است.قضیه 1بگذارید یک دایره در پایه یک منشور مستقیم حک شود و ارتفاع H منشور برابر با قطر D این دایره باشد. سپس یک کره با قطر D را می توان در این منشور حک کرد. مرکز این کره محاطی با وسط قطعه ای که مرکز دایره های محاط شده در پایه های منشور را به هم وصل می کند، منطبق است.اثبات اجازه دهید ABC...A 1 B 1 C 1... یک منشور مستقیم و O مرکز دایره ای باشد که در قاعده ABC آن محاط شده است. سپس نقطه O از تمام اضلاع پایه ABC فاصله دارد. فرض کنید O 1 برآمدگی متعامد نقطه O روی پایه A 1 B 1 C 1 باشد. سپس O 1 از تمام اضلاع پایه A 1 B 1 C 1 و OO 1 || AA 1. نتیجه این است که خط مستقیم OO 1 موازی با هر صفحه جانبی منشور است و طول قطعه OO 1 برابر با ارتفاع منشور و طبق قرارداد قطر دایره حک شده در پایه است. از منشور این بدان معنی است که نقاط قطعه OO 1 از وجوه جانبی منشور به یک اندازه فاصله دارند و F وسط قطعه OO 1 که از صفحات پایه منشور مساوی فاصله دارد، از تمام وجوه منشور به یک اندازه فاصله خواهد داشت. . یعنی F مرکز کره ای است که در منشور محاط شده است و قطر این کره برابر است با قطر دایره ای که در قاعده منشور محاط شده است. قضیه ثابت شده است.قضیه 2بگذارید دایره ای در قسمت عمود یک منشور مایل حک شود و ارتفاع منشور برابر با قطر این دایره باشد. سپس یک کره را می توان در این منشور مایل حک کرد. مرکز این کره ارتفاعی را که از مرکز دایره ای که در قسمتی عمود بر آن حک شده است را به نصف تقسیم می کند.اثبات
فرض کنید ABC...A 1 B 1 C 1... یک منشور مایل و F مرکز دایره ای باشد که شعاع FK در قسمت عمود آن محاط شده است. از آنجایی که بخش عمود یک منشور بر هر صفحه از وجه جانبی آن عمود است، شعاع دایره ای که در قسمت عمود کشیده شده به اضلاع این بخش، عمود بر وجوه جانبی منشور است. بنابراین نقطه F از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد.اجازه دهید از نقطه F یک خط مستقیم OO 1 عمود بر صفحه پایه منشور بکشیم و این پایه ها را در نقاط O و O 1 قطع می کنیم. سپس OO 1 ارتفاع منشور است. از آنجایی که با شرط OO 1 = 2FK، پس F وسط بخش OO 1 است:FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1، یعنی. نقطه F از صفحات تمام وجوه منشور بدون استثنا فاصله دارد. این بدان معنی است که یک کره را می توان در یک منشور معین حک کرد، که مرکز آن با نقطه F منطبق است - مرکز دایره ای که در آن بخش عمود بر منشور حک شده است که ارتفاع منشور عبوری از نقطه F را به نصف تقسیم می کند. قضیه ثابت شده است.مثال 5.کره ای به شعاع 1 در یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل حک شده است حجم متوازی الاضلاع را بیابید.راه حل نمای بالا را بکشید. یا از کنار. یا از جلو. شما همان چیز را خواهید دید - دایره ای که در یک مستطیل حک شده است. بدیهی است که این مستطیل یک مربع و متوازی الاضلاع یک مکعب خواهد بود. طول، عرض و ارتفاع این مکعب دو برابر شعاع توپ است.AB = 2، و بنابراین حجم مکعب 8 است.جواب: 8.مثال 6.در یک منشور مثلثی منتظم با ضلع پایه برابر با دو توپ وجود دارد. توپ اول در منشور حک شده است و توپ دوم یک پایه منشور، دو وجه جانبی آن و توپ اول را لمس می کند. شعاع توپ دوم را پیدا کنید.راه حل
فرض کنید ABCA 1 B 1 C 1 یک منشور منظم و نقاط P و P 1 مرکز پایه های آن باشند. سپس مرکز توپ O که در این منشور حک شده است، نقطه وسط قطعه PP 1 است. بیایید هواپیمای RVV 1 را در نظر بگیریم. از آنجایی که منشور منظم است، PB بر روی قطعه BN قرار دارد که نیمساز و ارتفاع ΔABC است. در نتیجه، صفحه، صفحه نیمساز زاویه دو وجهی در لبه جانبی BB 1 است. بنابراین، هر نقطه از این صفحه از وجوه جانبی AA 1 BB 1 و CC 1 B 1 B فاصله دارد. به طور خاص، OK عمود، از نقطه O به وجه ACC 1 A 1 پایین آمده، در صفحه RVV 1 قرار دارد و برابر با بخش OR است.توجه داشته باشید که KNPO مربعی است که ضلع آن برابر با شعاع توپی است که در یک منشور مشخص شده است.اجازه دهید O 1 مرکز توپی است که توپ محاطی شده را با مرکز O لمس می کند و طرفین آن رو به AA 1 BB 1 و CC 1 B 1 B منشور است. سپس نقطه O 1 بر روی صفحه RVV 1 قرار دارد و طرح P 2 آن در صفحه ABC روی قطعه RV قرار دارد.طبق شرط، ضلع پایه برابر است با