ویژگی های گناه و نمودار. سینوس (sin x) و کسینوس (cos x) - ویژگی ها، نمودارها، فرمول ها. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

گرافیک تابعی

تابع سینوسی

- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش [-1; 1]، یعنی تابع سینوسی - محدود.

تابع فرد: sin(−x)=−sin x برای همه x ∈ آر.

تابع دوره ای است

sin(x+2π k) = sin x، جایی که k∈ زبرای همه x ∈ آر.

sin x = 0برای x = π·k، k ∈ ز.

sin x > 0(مثبت) برای همه x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ ز.

گناه x< 0 (منفی) برای همه x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ ز.

تابع کسینوس

دامنه تابع- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش [-1; 1]، یعنی تابع کسینوس - محدود.

عملکرد یکنواخت: cos(−x)=cos x برای همه x ∈ آر.

تابع دوره ای استبا کوچکترین دوره مثبت 2π:

cos(x+2π ک) = cos x، که در آن ک ∈ زبرای همه x ∈ آر.

cos x = 0در
cos x > 0برای همه
cos x< 0 برای همه
عملکرد افزایش می یابداز 1- تا 1 در فواصل:
عملکرد در حال کاهش استاز 1- تا 1 در فواصل:
بزرگترین مقدار تابع sin x = 1در نقاط:
کوچکترین مقدار تابع sin x = -1در نقاط:

تابع مماس

مقادیر چند تابع- کل خط اعداد، یعنی. مماس - تابع نامحدود.

تابع فرد: tg(−x)=−tg x
نمودار تابع نسبت به محور OY متقارن است.

تابع دوره ای استبا کوچکترین دوره مثبت π، یعنی. tg(x+π ک) = tan x، ک ∈ زبرای همه x از دامنه تعریف.

تابع کوتانژانت

مقادیر چند تابع- کل خط اعداد، یعنی. کوتانژانت - تابع نامحدود.

تابع فرد: ctg(−x)=−ctg x برای همه x از دامنه تعریف.
نمودار تابع نسبت به محور OY متقارن است.

تابع دوره ای استبا کوچکترین دوره مثبت π، یعنی. cotg(x+π ک)=ctg x, ک ∈ زبرای همه x از دامنه تعریف.

عملکرد آرکسین

دامنه تابع- بخش [-1; 1]

مقادیر چند تابع- بخش -π /2 قوس x π /2، یعنی. آرکسین - عملکرد محدود.

تابع فرد: arcsin(−x)=−arcsin x برای همه x∈ آر.
نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است.

در کل منطقه تعریف.

تابع کسینوس قوس

دامنه تابع- بخش [-1; 1]

مقادیر چند تابع- بخش 0 arccos x π، یعنی. آرکوزین - عملکرد محدود.

عملکرد در حال افزایش استدر کل منطقه تعریف

تابع قطبی

دامنه تابع- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش 0 π، به عنوان مثال. قطبی - تابع محدود.

تابع فرد: arctg(−x)=−arctg x برای همه x∈ آر.
نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است.

عملکرد در حال افزایش استدر کل منطقه تعریف

تابع مماس قوس

دامنه تابع- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش 0 π، به عنوان مثال. arccotangent - تابع محدود.

تابع نه زوج است و نه فرد.
نمودار تابع نه از نظر مبدأ مختصات و نه نسبت به محور Oy نامتقارن است.

عملکرد در حال کاهش استدر کل منطقه تعریف

در این درس نگاهی دقیق به تابع y = sin x، ویژگی‌های اصلی و نمودار آن خواهیم داشت. در ابتدای درس به تعریف تابع مثلثاتی y = sin t روی دایره مختصات می پردازیم و نمودار تابع را روی دایره و خط در نظر می گیریم. بیایید تناوب این تابع را در نمودار نشان دهیم و ویژگی های اصلی تابع را در نظر بگیریم. در پایان درس با استفاده از نمودار یک تابع و ویژگی های آن چندین مسئله ساده را حل می کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: تابع y=sinx، خصوصیات اساسی و نمودار آن

هنگام در نظر گرفتن یک تابع، مهم است که هر مقدار آرگومان را با یک مقدار تابع واحد مرتبط کنیم. این قانون مکاتباتو تابع نامیده می شود.

اجازه دهید قانون مطابقت را برای .

هر عدد حقیقی مربوط به یک نقطه از دایره واحد است.یک نقطه دارای یک مصداق است که به آن سینوس عدد می گویند (شکل 1).

هر مقدار آرگومان با یک مقدار تابع منفرد مرتبط است.

خواص آشکار از تعریف سینوس به دست می آید.

شکل نشان می دهد که زیرا ترتیب یک نقطه روی دایره واحد است.

نمودار تابع را در نظر بگیرید. اجازه دهید تفسیر هندسی استدلال را به یاد بیاوریم. آرگومان زاویه مرکزی است که با رادیان اندازه گیری می شود. در امتداد محور اعداد یا زوایا واقعی را بر حسب رادیان رسم می کنیم و در امتداد محور مقادیر مربوط به تابع را ترسیم می کنیم.

به عنوان مثال، یک زاویه روی دایره واحد مربوط به نقطه ای از نمودار است (شکل 2).

ما نموداری از تابع در ناحیه بدست آورده ایم اما با دانستن دوره سینوس می توانیم نمودار تابع را در کل دامنه تعریف به تصویر بکشیم (شکل 3).

دوره اصلی تابع به این معنی است که نمودار را می توان در یک بخش به دست آورد و سپس در کل دامنه تعریف ادامه داد.

ویژگی های تابع را در نظر بگیرید:

1) محدوده تعریف:

2) محدوده مقادیر:

3) تابع فرد:

4) کوچکترین دوره مثبت:

5) مختصات نقاط تقاطع نمودار با محور آبسیسا:

6) مختصات نقطه تقاطع گراف با محور مختصات:

7) فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد:

8) فواصل زمانی که تابع مقادیر منفی می گیرد:

9) افزایش فواصل:

10) کاهش فواصل:

11) حداقل امتیاز:

12) حداقل توابع:

13) حداکثر امتیاز:

14) حداکثر توابع:

ما به ویژگی های تابع و نمودار آن نگاه کردیم. هنگام حل مشکلات، از ویژگی ها مکرراً استفاده می شود.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی) - M.: Prosveshchenie، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. بررسی عمیق جبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (تدوین شده توسط M.I. Skanavi).- م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای برای دانش آموزان کلاس 10-11 موسسات آموزش عمومی). - M.: Prosveshchenie، 2003.

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشی آمادگی آزمون ().

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

آهن زنگ می زند بدون اینکه فایده ای پیدا کند،
آب ایستاده در سرما می پوسد یا یخ می زند،
و ذهن آدمی که هیچ فایده ای برای خود پیدا نمی کند، از بین می رود.
لئوناردو داوینچی

تکنولوژی های مورد استفاده:یادگیری مبتنی بر مسئله، تفکر انتقادی، ارتباط ارتباطی.

اهداف:

توسعه علاقه شناختی به یادگیری.
مطالعه خصوصیات تابع y = sin x.
شکل گیری مهارت های عملی در ساخت نمودار تابع y = sin x بر اساس مطالب نظری مورد مطالعه.

وظایف:

1. از پتانسیل موجود دانش در مورد ویژگی های تابع y = sin x در موقعیت های خاص استفاده کنید.

2. برقراری آگاهانه ارتباطات بین مدل های تحلیلی و هندسی تابع y = sin x را اعمال کنید.

توسعه ابتکار، تمایل و علاقه خاصی برای یافتن راه حل؛ توانایی تصمیم گیری، در اینجا متوقف نشوید و از دیدگاه خود دفاع کنید.

پرورش فعالیت های شناختی، احساس مسئولیت، احترام به یکدیگر، درک متقابل، حمایت متقابل و اعتماد به نفس در دانش آموزان؛ فرهنگ ارتباطات

در طول کلاس ها

مرحله ی 1. به روز رسانی دانش پایه، ایجاد انگیزه برای یادگیری مطالب جدید

"ورود به درس."

3 عبارت روی تابلو نوشته شده است:

معادله مثلثاتی sin t = a همیشه جواب دارد.
نمودار یک تابع فرد را می توان با استفاده از تبدیل تقارن حول محور Oy ساخت.
یک تابع مثلثاتی را می توان با استفاده از یک نیمه موج اصلی رسم کرد.

دانش آموزان به صورت دوتایی بحث می کنند: آیا گزاره ها درست هستند؟ (1 دقیقه). نتایج بحث اولیه (بله، خیر) سپس در جدول در ستون "قبل" وارد می شود.

معلم اهداف و مقاصد درس را تعیین می کند.

2. به روز رسانی دانش (از جلو بر روی مدلی از یک دایره مثلثاتی).

قبلاً با تابع s = sin t آشنا شده ایم.

1) متغیر t چه مقادیری می تواند بگیرد. دامنه این عملکرد چیست؟

2) مقادیر عبارت sin t در چه بازه ای قرار دارند؟ بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع s = sin t را بیابید.

3) معادله sin t = 0 را حل کنید.

4) وقتی یک نقطه در ربع اول حرکت می کند چه اتفاقی می افتد؟ (مرتب افزایش می یابد). با حرکت یک نقطه در ربع دوم چه اتفاقی می افتد؟ (مرتب به تدریج کاهش می یابد). این چه ارتباطی با یکنواختی تابع دارد؟ (تابع s = sin t در قطعه افزایش می یابد و در قطعه کاهش می یابد).

5) بیایید تابع s = sin t را به شکل y = sin x بنویسیم که برای ما آشناست (آن را در سیستم مختصات xOy معمولی می سازیم) و جدولی از مقادیر این تابع را تهیه می کنیم.

ایکس	0
در	0			1			0

مرحله 2. ادراک، درک، تثبیت اولیه، حفظ غیر ارادی

مرحله 4. سیستم سازی اولیه دانش و روش های فعالیت، انتقال و کاربرد آنها در موقعیت های جدید

6. شماره 10.18 (b,c)

مرحله 5. کنترل نهایی، اصلاح، ارزیابی و خودارزیابی

7. به عبارات (ابتدای درس) برمی گردیم، در مورد استفاده از ویژگی های تابع مثلثاتی y = sin x بحث می کنیم و ستون "After" را در جدول پر می کنیم.

8. D/z: بند 10، شماره 10.7(a)، 10.8(b)، 10.11(b)، 10.16(a)

تعریف هندسی سینوس و کسینوس

\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - زاویه بیان شده در رادیان.

سینوس (sin α)تابع مثلثاتی از زاویه α بین هیپوتونوس و ساق مثلث قائم الزاویه است، برابر با نسبت طول پایه مقابل |BC| به طول هیپوتانوز |AB|.

کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی از زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه است، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AC| به طول هیپوتانوز |AB|.

تعریف مثلثاتی

با استفاده از فرمول های بالا، می توانید سینوس و کسینوس یک زاویه حاد را پیدا کنید. اما باید یاد بگیرید که چگونه سینوس و کسینوس یک زاویه با اندازه دلخواه را محاسبه کنید. مثلث قائم الزاویه چنین فرصتی را فراهم نمی کند (مثلاً نمی تواند زاویه مبهم داشته باشد). بنابراین، ما نیاز به تعریف کلی تری از سینوس و کسینوس داریم که شامل این فرمول ها به عنوان یک مورد خاص باشد.

دایره مثلثاتی به کمک می آید. اجازه دهید زاویه ای داده شود. با نقطه ای به همین نام در دایره مثلثاتی مطابقت دارد.

برنج. 2. تعریف مثلثاتی سینوس و کسینوس

کسینوس یک زاویه، آبسیسا یک نقطه است. سینوس یک زاویه، مختصات یک نقطه است.

در شکل 2، زاویه تند در نظر گرفته می شود و به راحتی می توان فهمید که این تعریف با تعریف هندسی عمومی مطابقت دارد. در واقع، یک مثلث قائم الزاویه با یک واحد هیپوتنوز O و یک زاویه تند می بینیم. ساق مجاور این مثلث cos (مقایسه با شکل 1) و در عین حال آبسیسا نقطه است. طرف مقابل گناه است (مانند شکل 1) و در عین حال ترتیب نقطه است.

اما اکنون دیگر محدود به سه ماهه اول نیستیم و این فرصت را داریم که این تعریف را به هر زاویه ای تعمیم دهیم. در شکل شکل 3 نشان می دهد که سینوس و کسینوس یک زاویه در ربع دوم، سوم و چهارم چقدر است.

برنج. 3. سینوس و کسینوس در ربع II، III و IV

مقادیر جدول سینوس و کسینوس

زاویه صفر \(\LARGE 0^(\circ ) \)

ابسیسا نقطه 0 برابر با 1 و انتزاع نقطه 0 برابر با 0 است. از این رو،

cos 0 = 1 sin 0 = 0

شکل 4. زاویه صفر

زاویه \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)

مثلث قائم الزاویه ای را می بینیم که هیپوتنوز واحد و زاویه تند آن 30 درجه است. همانطور که می دانید، پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتانوس 1 است. به عبارت دیگر، پایه عمودی برابر با 1/2 است و بنابراین،

\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

ما پایه افقی را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می کنیم (یا، که یکسان است، کسینوس را با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه می یابیم):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]

1 چرا این اتفاق می افتد؟ یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 2 در امتداد ارتفاع آن ببرید! به دو مثلث قائم الزاویه با هیپوتنوز 2، زاویه تند 30 درجه و ساق کوتاه تر 1 تقسیم می شود.

شکل 5. زاویه π/6

زاویه \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)

در این حالت، مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین است. سینوس و کسینوس زاویه 45 درجه با یکدیگر برابرند. فعلاً آنها را با x نشان می دهیم. ما داریم:

\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]

از آنجا \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). از این رو،

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

شکل 5. زاویه π/4

خواص سینوس و کسینوس

نمادهای پذیرفته شده

\(\sin^2 x \Equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \Equiv (\sin x)^3; \)\(\چهار \ sin^n x \ equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \ معادل (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \Equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \ equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

دوره ای

توابع y = sin x و y = cos x تناوبی با دوره 2π هستند.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

برابری

تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

حوزه های تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش

خواص اساسی سینوس و کسینوس در جدول ارائه شده است ( n- کل).

	\(\کم اهمیت< x < \)	\(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \)
نزولی	\(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\کم اهمیت< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \)	\(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \)
ماکسیما، \(\ x کوچک = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\x کوچک = 2\pi n\)
حداقل، \(\ x کوچک = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\ xsmall = \) \(\small \pi + 2\pi n \)
صفر، \(\x کوچک = \pi n\)	\(\x کوچک = \dfrac(\pi)2 + \pi n \)
نقاط تقاطع محور Y، x = 0	y = 0	y = 1

فرمول های اصلی حاوی سینوس و کسینوس

مجموع مربعات

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

فرمول های سینوس و کسینوس برای مجموع و تفاوت

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \راست) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \راست) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

فرمول های حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس ها

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

بیان سینوس از طریق کسینوس

\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \راست) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \راست) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \راست) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

بیان کسینوس از طریق سینوس

\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \راست) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \راست) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

بیان از طریق مماس

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

در \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

در \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="جدول سینوس ها و کسینوس ها" title="جدول سینوس ها و کسینوس ها" ]!}

عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

فرمول اویلر

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

عبارات از طریق توابع هذلولی

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

مشتقات

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . استخراج فرمول ها > > >

مشتقات مرتبه n:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \راست) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \راست) \).

انتگرال ها

\(\int \sin x\، dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \، dx = \sin x + C \)
همچنین به بخش جدول انتگرال های نامعین >>> مراجعه کنید

گسترش سری

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

سکانت، متقاطع

\(\sec x = \dfrac1( \cos x) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x) \)

توابع معکوس

توابع معکوس سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.

آرکسین، آرکسین

\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \راست\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \راست\) \)

آرکوزین، آرکوس

\(y = \arccos x\) \(\چپ\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \راست\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

>>ریاضیات: توابع y = sin x، y = cos x، خواص و نمودارهای آنها

توابع y = sin x، y = cos x، خصوصیات و نمودارهای آنها

در این بخش به برخی از خصوصیات توابع y = sin x، y = cos x پرداخته و نمودارهای آنها را می سازیم.

1. تابع y = sin X.

در بالا، در § 20، ما قاعده‌ای را فرموله کردیم که به هر عدد t اجازه می‌دهد با یک عدد cos t مرتبط شود، یعنی. تابع y = sin t را مشخص کرد. اجازه دهید به برخی از خواص آن توجه کنیم.

ویژگی های تابع u = sin t.

دامنه تعریف مجموعه K اعداد حقیقی است.
این از این واقعیت ناشی می شود که هر عدد 2 با یک نقطه M(1) در دایره عددی مطابقت دارد که دارای یک ترتیب کاملاً مشخص است. این دستور cos t است.

u = sin t یک تابع فرد است.

این از این واقعیت ناشی می شود که همانطور که در § 19 ثابت شد، برای هر t برابری وجود دارد
این بدان معنی است که نمودار تابع u = sin t، مانند نمودار هر تابع فرد، با توجه به مبدأ در سیستم مختصات مستطیلی tOi متقارن است.

تابع u = sin t در بازه افزایش می یابد
این از این واقعیت ناشی می شود که وقتی یک نقطه در امتداد ربع اول دایره اعداد حرکت می کند، مختصات به تدریج افزایش می یابد (از 0 به 1 - به شکل 115 مراجعه کنید)، و هنگامی که نقطه در امتداد ربع دوم دایره اعداد حرکت می کند، ترتیب به تدریج کاهش می یابد (از 1 به 0 - به شکل 116 مراجعه کنید).

تابع u = sint هم در زیر و هم از بالا محدود می شود. این از این واقعیت ناشی می شود که همانطور که در § 19 دیدیم، برای هر t نابرابری برقرار است

(تابع در هر نقطه از فرم به این مقدار می رسد (تابع در هر نقطه از فرم به این مقدار می رسد
با استفاده از ویژگی های به دست آمده، نموداری از تابع مورد علاقه خود خواهیم ساخت. اما (توجه!) به جای u - sin t می نویسیم y = sin x (بالاخره ما عادت داریم y = f(x) بنویسیم و نه u = f(t)). این بدان معنی است که ما یک نمودار در سیستم مختصات xOy معمولی (و نه toOy) خواهیم ساخت.

بیایید جدولی از مقادیر تابع y - sin x ایجاد کنیم:

اظهار نظر.

اجازه دهید یکی از نسخه های منشاء اصطلاح "سینوس" را ارائه دهیم. در لاتین، سینوس به معنای خم شدن (رشته کمانی) است.

نمودار ساخته شده تا حدودی این اصطلاح را توجیه می کند.

خطی که به عنوان نمودار تابع y = sin x عمل می کند، موج سینوسی نامیده می شود. آن قسمت از سینوسی که در شکل نشان داده شده است. 118 یا 119 موج سینوسی نامیده می شود و آن قسمت از موج سینوسی که در شکل نشان داده شده است. 117، نیمه موج یا قوس موج سینوسی نامیده می شود.

2. تابع y = cos x.

مطالعه تابع y = cos x می تواند تقریباً طبق همان طرحی انجام شود که در بالا برای تابع y = sin x استفاده شد. اما مسیری را که سریعتر به هدف می رسد انتخاب خواهیم کرد. اول، ما دو فرمول را ثابت خواهیم کرد که به خودی خود مهم هستند (این را در دبیرستان خواهید دید)، اما در حال حاضر فقط اهمیت کمکی برای اهداف ما دارند.

برای هر مقدار t برابری های زیر معتبر است:

اثبات. بگذارید عدد t با نقطه M دایره عددی n و عدد * + - نقطه P مطابقت داشته باشد (شکل 124؛ برای سادگی، نقطه M را در ربع اول گرفتیم). کمان های AM و BP برابر هستند و مثلث های قائم الزاویه OKM و OLBP به ترتیب برابر هستند. این به معنای O K = Ob، MK = Pb است. از این برابری ها و از محل مثلث های OCM و OBP در سیستم مختصات، دو نتیجه می گیریم:

1) ترتیب نقطه P هم از نظر قدر و هم از نظر علامت با آبسیسا نقطه M منطبق است. این به آن معنا است

2) ابسیسا نقطه P از نظر قدر مطلق با مختصات نقطه M برابر است، اما از نظر علامت با آن تفاوت دارد. این به آن معنا است

تقریباً همین استدلال در مواردی انجام می شود که نقطه M به سه ماهه اول تعلق ندارد.
بیایید از فرمول استفاده کنیم (این فرمولی است که در بالا ثابت شده است، فقط به جای متغیر t از متغیر x استفاده می کنیم). این فرمول چه چیزی به ما می دهد؟ این به ما اجازه می‌دهد تا ادعا کنیم که توابع

یکسان هستند، به این معنی که نمودارهای آنها منطبق هستند.
بیایید تابع را رسم کنیم برای انجام این کار، اجازه دهید به یک سیستم مختصات کمکی با مبدا در یک نقطه برویم (خط نقطه چین در شکل 125 رسم شده است). بیایید تابع y = sin x را به سیستم مختصات جدید متصل کنیم - این نمودار تابع خواهد بود. (شکل 125)، یعنی. نمودار تابع y - cos x. مانند نمودار تابع y = sin x، موج سینوسی نامیده می شود (که کاملا طبیعی است).

ویژگی های تابع y = cos x.

y = cos x یک تابع زوج است.

مراحل ساخت در شکل نشان داده شده است. 126:

1) یک نمودار از تابع y = cos x بسازید (به طور دقیق تر، یک نیم موج).
2) با کشش نمودار ساخته شده از محور x با ضریب 0.5، یک نیم موج از نمودار مورد نیاز را به دست می آوریم.
3) با استفاده از نیم موج حاصل، کل نمودار تابع y = 0.5 cos x را می سازیم.

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین کارها و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، کوئست ها سوالات بحث تکلیف سوالات بلاغی از دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و فرهنگ لغت اضافی اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کاملبرنامه تقویم برای سال؛ توصیه های روش شناختی؛ برنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی