راه های پیدا کردن زاویه در یک مثلث قائم الزاویه - فرمول های محاسبه. ماشین حساب آنلاین حل مثلث محاسبه زوایا و طول در مثلث قائم الزاویه

مثلث یک عدد هندسی متشکل از سه بخش است که سه نقطه را که روی یک خط قرار ندارند به هم متصل می کند. نقاطی که یک مثلث را تشکیل می دهند، نقاط آن نامیده می شوند و پاره ها کنار هم قرار می گیرند.

بسته به نوع مثلث (مستطیل، تک رنگ و ...) می توانید ضلع مثلث را با توجه به داده های ورودی و شرایط مشکل به روش های مختلف محاسبه کنید.

پیمایش سریع برای یک مقاله

برای محاسبه اضلاع مثلث قائم الزاویه از قضیه فیثاغورث استفاده می شود که بر اساس آن مربع فرضیه برابر با مجموعفوت مربع.

اگر پاها را به صورت "a" و "b" و فرضیه را "c" برچسب گذاری کنیم، صفحات را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

اگر زوایای تند مثلث قائم الزاویه (a و b) مشخص باشد، اضلاع آن را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

مثلث برش خورده

مثلث را مثلث متساوی الاضلاع می گویند که هر دو ضلع آن یکی باشد.

چگونه هیپوتنوز را در دو پا پیدا کنیم

اگر حرف "الف" با همان صفحه یکسان باشد، "ب" پایه، "ب" زاویه مقابل پایه، "الف" زاویه مجاور برای محاسبه صفحات می‌توان از فرمول‌های زیر استفاده کرد:

دو گوشه و یک طرف

اگر یک صفحه (c) و دو زاویه (a و b) از هر مثلث مشخص باشد، از فرمول سینوس برای محاسبه صفحات باقی مانده استفاده می شود:

شما باید مقدار سوم y = 180 - (a + b) را پیدا کنید زیرا

مجموع تمام زوایای یک مثلث 180 درجه است.

دو ضلع و یک زاویه

اگر دو ضلع مثلث (a و b) و زاویه بین آنها (y) مشخص باشد، می توان از قضیه کسینوس برای محاسبه ضلع سوم استفاده کرد.

نحوه تعیین محیط مثلث قائم الزاویه

مثلث مثلثی مثلثی است که یکی از آنها 90 درجه و دو تای دیگر حاد هستند. محاسبه محیطچنین مثلثبسته به میزان اطلاعات شناخته شده در مورد آن.

شما به آن نیاز خواهید داشت

بسته به مورد، مهارت های 2 سه ضلع مثلث، و همچنین یکی از زوایای تند آن.

دستورالعمل ها

اولینروش 1. اگر هر سه صفحه مشخص باشد مثلثسپس، صرف نظر از عمود یا غیر مثلثی بودن، محیط به صورت زیر محاسبه می شود: P = A + B + C، در صورت امکان، c هیپوتانوس است. a و b پا هستند.

دومینروش 2.

اگر یک مستطیل فقط دو ضلع داشته باشد، با استفاده از قضیه فیثاغورث، مثلثرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: P = v (a2 + b2) + a + b یا P = v (c2 - b2) + b + c.

سومروش 3. فرض کنید هیپوتانوس c و یک زاویه حاد باشد؟ با توجه به یک مثلث قائم الزاویه، یافتن محیط به این صورت امکان پذیر خواهد بود: P = (1 + گناه؟

چهارمروش 4. آنها می گویند که در مثلث قائم الزاویه طول یک پا برابر با a است و برعکس، دارای زاویه تند است. سپس محاسبه کنید محیطاین مثلثطبق فرمول انجام می شود: P = a * (1 / tg?

1/پسر؟ + 1)

پنجمینروش 5.

محاسبه آنلاین مثلث

بگذارید پای ما هدایت شود و در آن گنجانده شود، سپس محدوده به صورت زیر محاسبه می شود: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos؟)

ویدیو های مرتبط

قضیه فیثاغورث اساس همه ریاضیات است. رابطه بین اضلاع یک مثلث واقعی را تعیین می کند. اکنون 367 اثبات برای این قضیه وجود دارد.

دستورالعمل ها

اولینفرمول کلاسیک قضیه فیثاغورث به نظر می رسد: مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

برای یافتن هیپوتانوس در راست گوشهدو کتت، باید تماس بگیرید تا یک مربع از طول پاها بسازید، آنها را جمع کنید و بگیرید ریشه دوماز مقدار در فرمول اولیه بیانیه وی، بازار بر اساس هیپوتنوز است که برابر است با مجموع مربع های 2 مربع تولید شده توسط Catete. با این حال، فرمول جبری مدرن نیازی به معرفی یک نمایش دامنه ندارد.

دومینمثلا مثلث قائم الزاویه ای که ساق های آن 7 سانتی متر و 8 سانتی متر است.

سپس بر اساس قضیه فیثاغورث، فرض مربع برابر با R + S = 49 + 64 = 113 سانتی متر است، فرض برابر با جذر عدد 113 است.

زوایای مثلث قائم الزاویه

نتیجه یک عدد بی اساس بود.

سوماگر مثلث ها پاهای 3 و 4 باشند، هیپوتنوز = 25 = 5. وقتی جذر را بگیرید، به دست می آورید. عدد طبیعی. اعداد 3، 4، 5 یک سه گانه Pygagorean را تشکیل می دهند، زیرا آنها رابطه x را برآورده می کنند؟ +Y؟ = Z که طبیعی است.

نمونه های دیگر از سه گانه فیثاغورثی عبارتند از: 6، 8، 10; 5، 12، 13; 15، 20، 25; 9، 40، 41.

چهارمدر این حالت، اگر پاها با یکدیگر یکسان باشند، قضیه فیثاغورث به معادله ابتدایی تری تبدیل می شود. به عنوان مثال فرض کنید چنین عقربه ای برابر با عدد A باشد و افت فشار برای C تعریف شده باشد و سپس c؟ = Ap + Ap، C = 2A2، C = A؟ 2. در این مورد شما نیازی به A ندارید.

پنجمینقضیه فیثاغورث یک مورد خاص است، بزرگتر از قضیه کسینوس عمومی، که رابطه بین سه ضلع یک مثلث را برای هر زاویه بین دو تا از آنها برقرار می کند.

نکته 2: نحوه تعیین هیپوتونوس برای پاها و زاویه ها

هیپوتنوس ضلعی است در مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد.

دستورالعمل ها

اولیندر مورد کاتترهای شناخته شده، و همچنین زاویه حاد یک مثلث قائم الزاویه، هیپوتنوز می تواند اندازه ای برابر با نسبت ساق به کسینوس / سینوس این زاویه داشته باشد، اگر زاویه مخالف / e بود شامل: H = C1 (یا C2) / گناه، H = C1 (یا C2؟) / cos؟. مثال: به ABC یک مثلث نامنظم با فرض AB و زاویه قائم C داده شود.

فرض کنید B 60 درجه و A 30 درجه باشد. طول ساقه BC 8 سانتی متر است طول هیپوتنوز AB باید پیدا شود. برای این کار می توانید از یکی از روش های بالا استفاده کنید: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مستطیل است مثلث. در زاویه قائمه قرار دارد. روش یافتن هیپوتنوز مستطیل مثلثبسته به داده های منبع

دستورالعمل ها

اولیناگر پاهای شما عمود باشد مثلث، سپس طول هیپوتنوز مستطیل مثلثرا می توان با آنالوگ فیثاغورثی کشف کرد - مربع طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مربعات طول پاها: c2 = a2 + b2، که در آن a و b طول پایه های سمت راست هستند. مثلث .

دومیناگر یکی از پاها مشخص باشد و با زاویه حاد باشد، فرمول یافتن هیپوتانوس به وجود یا عدم وجود زیر بستگی دارد. زاویه معیندر رابطه با پای شناخته شده - مجاور (پا نزدیک قرار دارد)، یا برعکس (مورد مخالف قرار دارد nego.V از زاویه مشخص شده برابر است با کسری از هیپوتنوز پا در زاویه کسینوس: a = a / cos؛ E، از طرف دیگر، هیپوتانوس همان نسبت زوایای سینوسی است: da = a / sin.

ویدیو های مرتبط

نکات مفید
مثلثی زاویه‌دار که اضلاع آن به صورت 3:4:5 به هم مربوط می‌شوند، به دلیل استفاده گسترده از این اشکال توسط معماران مصر باستان، دلتای مصر نامیده می‌شود.

این نیز ساده‌ترین مثال از مثلث‌های Jero است که در آن صفحات و ناحیه با اعداد صحیح نشان داده می‌شوند.

به مثلث مستطیلی گفته می شود که زاویه آن 90 درجه باشد. طرف مقابل گوشه سمت راست هیپوتنوز نامیده می شود و طرف دیگر پاها نامیده می شود.

اگر می خواهید دریابید که چگونه یک مثلث قائم الزاویه توسط برخی از خواص مثلث های منتظم تشکیل می شود، یعنی اینکه مجموع زوایای تند 90 درجه است که از آن استفاده می شود و این واقعیت که طول پای مقابل نصف هیپوتانوس است. 30 درجه است.

پیمایش سریع برای یک مقاله

مثلث برش خورده

یکی از ویژگی های مثلث مساوی این است که دو زاویه آن با هم برابر هستند.

برای محاسبه زاویه یک مثلث قائم الزاویه باید بدانید:

این بدتر از 90 درجه نیست.
مقادیر زوایای حاد با فرمول تعیین می شود: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °، یعنی.
زوایای α و β برابر با 45 درجه است.

اگر مقدار شناخته شده یکی از زاویه های حاد مشخص باشد، دیگری را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: β = 180º-90º-α یا α = 180º-90º-β.

این نسبت اغلب در صورتی استفاده می شود که یکی از زاویه ها 60 درجه یا 30 درجه باشد.

مفاهیم کلیدی

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است.

از آنجا که یک سطح است، دو تیز باقی می ماند.

محاسبه مثلث آنلاین

اگر می خواهید آنها را پیدا کنید، باید بدانید که:

روش های دیگر

مقادیر زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه را می توان از میانگین محاسبه کرد - با خطی از نقطه ای در طرف مقابل مثلث و ارتفاع - خط عمودی است که از هیپوتنوس در زاویه قائمه ترسیم شده است. .

اجازه دهید میانه از گوشه سمت راست تا وسط هیپوتنوز امتداد داشته باشد و h ارتفاع باشد. در این مورد معلوم می شود که:

sin α = b / (2 * s)؛ sin β = a / (2 * s).
cos α = a / (2 * s)؛ cos β = b / (2 * s).
sin α = h/b; sin β = h/a.

دو صفحه

اگر طول هایپوتنوز و یکی از پاها در یک مثلث قائم الزاویه یا در هر دو طرف مشخص باشد، برای تعیین مقادیر زوایای تند از هویت های مثلثاتی استفاده می شود:

α = آرکسین (a/c)، β = آرکسین (b/c).
α = arcos (b/c)، β = arcos (a/c).
α = آرکتان (a / b)، β = آرکتان (b / a).

طول مثلث قائم الزاویه

مساحت و مساحت یک مثلث

محیط

محیط هر مثلث برابر است با مجموع طول سه ضلع. فرمول کلیبرای پیدا کردن مثلث مثلثی:

که در آن P محیط مثلث، a، b و c اضلاع آن است.

محیط یک مثلث مساویرا می توان با ترکیب متوالی طول اضلاع آن یا ضرب طول ضلع در 2 و اضافه کردن طول پایه به محصول پیدا کرد.

فرمول کلی برای پیدا کردن مثلث تعادل به صورت زیر است:

که در آن P محیط یک مثلث مساوی است، اما b، b پایه است.

محیط مثلث متساوی الاضلاعرا می توان با ترکیب متوالی طول اضلاع آن یا با ضرب طول هر صفحه در 3 یافت.

فرمول کلی برای یافتن لبه مثلث های متساوی الاضلاع به صورت زیر خواهد بود:

که در آن P محیط یک مثلث متساوی الاضلاع است، a هر یک از اضلاع آن است.

منطقه

اگر می خواهید مساحت یک مثلث را اندازه بگیرید، می توانید آن را با متوازی الاضلاع مقایسه کنید. مثلث ABC را در نظر بگیرید:

اگر همان مثلث را بگیریم و آن را طوری ثابت کنیم که متوازی الاضلاع به دست بیاید، متوازی الاضلاع با همان ارتفاع و قاعده این مثلث به دست می آید:

در این حالت، ضلع مشترک مثلث ها در امتداد مورب متوازی الاضلاع قالب گیری شده به هم تا می شود.

از خواص متوازی الاضلاع. مشخص است که مورب های متوازی الاضلاع همیشه به دو مثلث مساوی تقسیم می شوند، سپس سطح هر مثلث برابر با نیمی از محدوده متوازی الاضلاع است.

از آنجایی که مساحت متوازی الاضلاع برابر با حاصل ضرب ارتفاع پایه آن است، مساحت مثلث برابر با نصف این حاصلضرب خواهد بود. بنابراین، برای ΔABC مساحت یکسان خواهد بود

حالا یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید:

دو مثلث قائم الزاویه یکسان را می توان در صورتی که به یک مستطیل متمایل شود، خم شود، که هر یک از هیپوتنوز یکدیگر هستند.

از آنجایی که سطح مستطیل با سطح اضلاع مجاور منطبق است، مساحت این مثلث یکسان است:

از اینجا می توان نتیجه گرفت که سطح هر مثلث قائم الزاویه برابر است با حاصلضرب تقسیم بر 2 پایه ها.

از این مثال ها می توان نتیجه گرفت که سطح هر مثلث برابر با حاصلضرب طول است و ارتفاع به زیرلایه تقسیم بر 2 کاهش می یابد.

فرمول کلی برای یافتن مساحت یک مثلث به صورت زیر است:

که در آن S مساحت مثلث است، اما قاعده آن است، اما ارتفاع به پایین می آید.

تعریف مثلث

مثلثیک شکل هندسی است که در نتیجه تلاقی سه بخش که انتهای آنها روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند، تشکیل شده است. هر مثلثی دارای سه ضلع، سه رأس و سه زاویه است.

ماشین حساب آنلاین

مثلث هایی وجود دارد انواع مختلف. به عنوان مثال، یک مثلث متساوی الاضلاع (یکی که همه اضلاع آن برابر هستند)، متساوی الساقین (دو ضلع در آن برابر هستند) و یک مثلث قائم الزاویه (که در آن یکی از زوایا مستقیم است، یعنی برابر با 90 درجه) وجود دارد.

مساحت یک مثلث را می توان پیدا کرد راه های مختلفبسته به اینکه چه عناصری از شکل از شرایط مسئله شناخته می شود، خواه زاویه، طول یا حتی شعاع دایره های مرتبط با مثلث باشد. بیایید هر روش را به طور جداگانه با مثال بررسی کنیم.

فرمول مساحت مثلث بر اساس قاعده و ارتفاع آن

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ یک ⋅ساعت,

A a آ- پایه مثلث؛
ساعت ساعت ساعت- ارتفاع مثلث کشیده شده به قاعده داده شده a.

مثال

مساحت یک مثلث را در صورتی که طول قاعده آن مشخص باشد برابر با 10 (سانتی متر) و ارتفاع رسم شده به این قاعده برابر با 5 (سانتی متر) باشد.

راه حل

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

این را در فرمول مساحت جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (مربع را ببینید)

پاسخ: 25 (سانتی متر مربع)

فرمول مساحت یک مثلث بر اساس طول همه اضلاع

S = p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,

الف، ب، ج الف، ب، ج الف، ب، ج- طول اضلاع مثلث؛
ص ص پ- نصف مجموع همه اضلاع مثلث (یعنی نصف محیط مثلث):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b+ج)

این فرمول نامیده می شود فرمول هرون.

مثال

مساحت یک مثلث را در صورتی که طول سه ضلع آن مشخص باشد، برابر با 3 (سانتی متر)، 4 (سانتی متر)، 5 (سانتی متر) است.

راه حل

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

بیایید نیمی از محیط را پیدا کنیم ص ص پ:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

سپس، طبق فرمول هرون، مساحت مثلث برابر است با:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (مربع را ببینید)

پاسخ: 6 (به مربع مراجعه کنید)

فرمول مساحت یک مثلث با یک ضلع و دو زاویه

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\بتا)\sin(\گاما))( \sin(\بتا+\گاما))S=2 آ 2 ⋅ sin (β + γ)گناه β گناه γ ,

A a آ- طول ضلع مثلث؛
β، γ \بتا، \گاما β , γ - زوایای مجاور ضلع a آ.

مثال

یک ضلع مثلث برابر با 10 (سانتی متر) و دو زاویه مجاور 30 درجه داده می شود. مساحت مثلث را پیدا کنید.

راه حل

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \گاما=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

طبق فرمول:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10\^2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\تقریبا 14.4S=2 1 0 2 ⋅ گناه (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) گناه 3 0 ∘ گناه 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (مربع را ببینید)

پاسخ: 14.4 (نگاه کنید به مربع)

فرمول مساحت مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره دایره

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c ,

الف، ب، ج الف، ب، ج الف، ب، ج- اضلاع مثلث؛
آر آر آر- شعاع دایره محصور در اطراف مثلث.

مثال

بیایید اعداد را از مسئله دوم خود بگیریم و شعاع را به آنها اضافه کنیم آر آر آرحلقه ها بگذارید برابر با 10 (سانتی متر) باشد.

راه حل

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (مربع را ببینید)

پاسخ: 1.5 (سانتی متر مربع)

فرمول مساحت یک مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره محاط شده

$S=p\cdot r$

$پ - نصف محیط مثلث:$

$p=\frac(a+b+c)(2)$

$آ, ب, ج - اضلاع مثلث؛ r - شعاع دایره محاط شده در مثلث.$

مثال

شعاع دایره محاطی را 2 (سانتی متر) بگذارید. طول اضلاع را از مشکل قبلی می گیریم.

راه حل

$آ = 3 ب = 4 ج = 5 r = 2$

$p=\frac(3+4+5)(2)=6$

$S=6\cdot 2=12$

پاسخ: 12 (سانتی متر مربع)

فرمول مساحت یک مثلث بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها

$S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)$

$ب, ج - اضلاع مثلث؛$

$α\ آلفا$

مثال

اضلاع مثلث 5 (سانتی متر) و 6 (سانتی متر) هستند که زاویه بین آنها 30 درجه است. مساحت مثلث را پیدا کنید.

راه حل

$ب = 5 ج = 6 α = 3 0^{\circ}$

$S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5$

پاسخ: 7.5 (سانتی متر مربع)

در هندسه اغلب مشکلات مربوط به اضلاع مثلث ها وجود دارد. به عنوان مثال، اگر دو ضلع دیگر شناخته شده باشند، اغلب لازم است ضلع یک مثلث را پیدا کنیم.

مثلث ها متساوی الساقین، متساوی الاضلاع و نابرابر هستند. از بین انواع مختلف، برای مثال اول یک مستطیل شکل را انتخاب می کنیم (در چنین مثلثی، یکی از زاویه ها 90 درجه است، اضلاع مجاور آن پاها نامیده می شوند، و سومی هیپوتونوس است).

پیمایش سریع در مقاله

طول اضلاع مثلث قائم الزاویه

حل مسئله از قضیه ریاضیدان بزرگ فیثاغورث نتیجه می گیرد. می گوید که مجموع مربع های پاهای یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مربع فرض آن: a²+b²=c²

مربع طول ساق a را پیدا کنید.
مربع پای b را پیدا کنید.
آنها را کنار هم قرار دادیم.
از نتیجه به دست آمده ریشه دوم را استخراج می کنیم.

مثال: a=4، b=3، c=؟

a²=4²=16;
b² =3²=9;
16+9=25;
√25=5. یعنی طول هیپوتنوز این مثلث 5 است.

اگر مثلث زاویه قائمه نداشته باشد، طول دو ضلع کافی نیست. برای این، یک پارامتر سوم مورد نیاز است: این می تواند یک زاویه، ارتفاع مثلث، شعاع دایره درج شده در آن و غیره باشد.

اگر محیط مشخص باشد

در این مورد، کار حتی ساده تر است. محیط (P) مجموع تمام اضلاع مثلث است: P=a+b+c. بنابراین با حل یک معادله ساده ریاضی به نتیجه می رسیم.

مثال: P=18، a=7، b=6، c=؟

1) معادله را با انتقال تمام پارامترهای شناخته شده به یک سمت علامت مساوی حل می کنیم:

2) مقادیر را به جای آنها جایگزین کنید و ضلع سوم را محاسبه کنید:

c=18-7-6=5 مجموع: ضلع سوم مثلث 5 است.

اگر زاویه معلوم باشد

برای محاسبه ضلع سوم مثلث با یک زاویه و دو ضلع دیگر، راه حل به محاسبه معادله مثلثاتی می رسد. با دانستن رابطه بین اضلاع مثلث و سینوس زاویه، محاسبه ضلع سوم آسان است. برای انجام این کار، باید هر دو طرف را مربع کنید و نتایج آنها را با هم اضافه کنید. سپس حاصل ضرب اضلاع را در کسینوس زاویه از حاصل ضرب کم کنید: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

اگر منطقه مشخص باشد

در این مورد، یک فرمول جواب نمی دهد.

1) ابتدا sin γ را محاسبه کنید و آن را از فرمول مساحت یک مثلث بیان کنید:

sin γ= 2S/(a*b)

2) توسط فرمول زیرکسینوس همان زاویه را محاسبه کنید:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) و دوباره از قضیه سینوس ها استفاده می کنیم:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

با جایگزینی مقادیر متغیرها در این معادله، پاسخ مسئله را به دست می آوریم.

در ریاضیات هنگام در نظر گرفتن مثلث به اضلاع آن توجه زیادی می شود. زیرا این عناصر این شکل هندسی را تشکیل می دهند. اضلاع یک مثلث برای حل بسیاری از مسائل هندسی استفاده می شود.

تعریف مفهوم

بخش هایی که سه نقطه را که روی یک خط قرار ندارند به هم وصل می کنند اضلاع مثلث نامیده می شوند. عناصر مورد بررسی بخشی از هواپیما را محدود می کنند که به آن قسمت داخلی این هواپیما می گویند شکل هندسی.

ریاضیدانان در محاسبات خود اجازه تعمیم در مورد اضلاع اشکال هندسی را می دهند. بنابراین، در یک مثلث منحط، سه بخش از آن بر روی یک خط مستقیم قرار دارند.

ویژگی های مفهوم

محاسبه اضلاع یک مثلث شامل تعیین تمام پارامترهای دیگر شکل است. با دانستن طول هر یک از این بخش ها، می توانید به راحتی محیط، مساحت و حتی زوایای مثلث را محاسبه کنید.

برنج. 1. مثلث دلخواه.

با جمع اضلاع یک شکل داده شده، می توانید محیط را تعیین کنید.

P=a+b+c که a، b، c اضلاع مثلث هستند

و برای پیدا کردن مساحت مثلث باید از فرمول هرون استفاده کنید.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

جایی که p نیم محیط است.

زوایای یک شکل هندسی داده شده با استفاده از قضیه کسینوس محاسبه می شود.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

معنی

برخی از ویژگی های این شکل هندسی از طریق نسبت اضلاع یک مثلث بیان می شود:

در مقابل کوچکترین ضلع مثلث کوچکترین زاویه آن قرار دارد.
زاویه خارجی شکل هندسی مورد نظر با امتداد یکی از اضلاع به دست می آید.
در برابر زوایای مساوییک مثلث اضلاع مساوی دارد
در هر مثلثی همیشه یکی از اضلاع از اختلاف دو قسمت دیگر بزرگتر است. و مجموع هر دو ضلع این رقم بزرگتر از سوم است.

یکی از نشانه های مساوی دو مثلث، نسبت مجموع تمام اضلاع شکل هندسی است. اگر این مقادیر یکسان باشند، مثلث ها برابر خواهند بود.

برخی از خواص مثلث به نوع آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا باید اندازه اضلاع یا زوایای این شکل را در نظر بگیرید.

تشکیل مثلث

اگر دو ضلع شکل هندسی مورد نظر یکسان باشد، این مثلث متساوی الساقین نامیده می شود.

برنج. 2. مثلث متساوی الساقین.

وقتی تمام قطعات یک مثلث با هم برابر باشند، یک مثلث متساوی الاضلاع به دست می آید.

برنج. 3. مثلث متساوی الاضلاع.

در مواردی که یک مثلث دلخواه را می توان به عنوان یک نوع خاص طبقه بندی کرد، انجام هر گونه محاسبه راحت تر است. زیرا در این صورت یافتن پارامتر مورد نیاز این شکل هندسی به طور قابل توجهی ساده می شود.

اگر چه یک معادله مثلثاتی به درستی انتخاب شده به شما امکان می دهد بسیاری از مسائل را که در آنها یک مثلث دلخواه در نظر گرفته می شود، حل کنید.

ما چه آموخته ایم؟

سه پاره که توسط نقاطی به هم متصل شده اند و به یک خط مستقیم تعلق ندارند یک مثلث را تشکیل می دهند. این اضلاع یک صفحه هندسی را تشکیل می دهند که برای تعیین مساحت استفاده می شود. با استفاده از این بخش ها می توانید بسیاری از ویژگی های مهم یک شکل مانند محیط و زاویه را پیدا کنید. نسبت ابعاد یک مثلث به پیدا کردن نوع آن کمک می کند. برخی از خصوصیات یک شکل هندسی معین فقط در صورتی قابل استفاده است که ابعاد هر یک از اضلاع آن مشخص باشد.

در مورد موضوع تست کنید

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.3. مجموع امتیازهای دریافتی: 142.

به مثلثی مثلث قائم الزاویه گفته می شود که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد. ضلع مقابل زاویه قائمه را هیپوتنوز و دو طرف دیگر را پاها می نامند.

برای یافتن زاویه در یک مثلث قائم الزاویه از برخی از ویژگی های مثلث قائم الزاویه استفاده می شود که عبارتند از: مجموع زوایای تند 90 درجه است و همچنین این واقعیت که در مقابل ساق که طول آن نصف طول هیپوتنوز است قرار دارد. زاویه ای برابر با 30 درجه

پیمایش سریع در مقاله

مثلث متساوی الساقین

یکی از خصوصیات مثلث متساوی الساقین این است که دو زاویه آن برابر است. برای محاسبه زوایای مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه باید بدانید:

زاویه راست 90 درجه است.
مقادیر زوایای حاد با فرمول تعیین می شود: (180º-90º)/2=45º، یعنی. زوایای α و β برابر با 45 درجه است.

اگر اندازه یکی از زاویه های تند مشخص باشد، دومی را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: β=180-90-α، یا α=180-90 درجه-β. اغلب این نسبت در صورتی استفاده می شود که یکی از زاویه ها 60 درجه یا 30 درجه باشد.

مفاهیم کلیدی

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است. از آنجایی که یک زاویه راست است، دو زاویه باقی مانده حاد خواهند بود. برای پیدا کردن آنها باید بدانید که:

روش های دیگر

مقادیر زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه را می توان با دانستن مقدار میانه محاسبه کرد - خطی که از راس به طرف مقابل مثلث کشیده شده است و ارتفاع - یک خط مستقیم که یک خط عمود بر افتاده است. از زاویه قائم به هیپوتانوز. فرض کنید s میانه رسم شده از زاویه سمت راست به وسط هیپوتانوز، h ارتفاع باشد. در این مورد معلوم می شود که:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

دو طرف

اگر طول هایپوتنوز و یکی از پایه ها یا دو ضلع در یک مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، از هویت های مثلثاتی برای یافتن مقادیر زوایای تند استفاده می شود:

α=آرکسین(a/c)، β=آرکسین(b/c).
α=arcos(b/c)، β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b)، β=arctg(b/a).