مخاطب      درباره سایت
خانه › قوانین به زبان انگلیسی

مکانیک نظری کریموف. مکانیک پایه برای آدمک ها. معرفی. تعادل جسم در حضور اصطکاک غلتشی

سینماتیک یک نقطه

1. موضوع مکانیک نظری. انتزاعات اساسی

مکانیک نظریعلمی است که مطالعه می کند قوانین عمومیحرکت مکانیکی و تعامل مکانیکی بدن های مادی

حرکت مکانیکیحرکت یک جسم نسبت به جسم دیگر است که در مکان و زمان اتفاق می افتد.

تعامل مکانیکی تعامل اجسام مادی است که ماهیت حرکت مکانیکی آنها را تغییر می دهد.

استاتیک - این بخش است مکانیک نظریکه روش‌های تبدیل سیستم‌های نیرو به سیستم‌های معادل را مطالعه می‌کند و شرایط تعادلی را برای نیروهای اعمال شده به جسم جامد ایجاد می‌کند.

سینماتیک - شاخه ای از مکانیک نظری است که مطالعه می کند حرکت اجسام مادی در فضا با نقطه هندسیبینایی، صرف نظر از نیروهایی که بر روی آنها عمل می کنند.

پویایی شناسی شاخه ای از مکانیک است که حرکت اجسام مادی را در فضا بسته به نیروهای وارد بر آنها مطالعه می کند.

موضوعات مورد مطالعه در مکانیک نظری:

نقطه مادی،

سیستم نقاط مادی،

بدنه کاملا محکم

مکان مطلق و زمان مطلق مستقل از یکدیگر هستند. فضای مطلق - فضای اقلیدسی سه بعدی، همگن، بی حرکت. زمان مطلق - از گذشته به آینده پیوسته جریان دارد، همگن است، در تمام نقاط فضا یکسان است و به حرکت ماده بستگی ندارد.

2. موضوع سینماتیک.

سینماتیک - این شاخه ای از مکانیک است که در آن خواص هندسی حرکت اجسام بدون در نظر گرفتن اینرسی (یعنی جرم) و نیروهای وارد بر آنها مورد مطالعه قرار می گیرد.

برای تعیین موقعیت یک جسم متحرک (یا نقطه) با جسمی که حرکت این جسم در رابطه با آن مورد مطالعه قرار می گیرد، سیستم مختصاتی به طور صلب در ارتباط است که همراه با بدن تشکیل می شود. سیستم مرجع

وظیفه اصلی سینماتیک این است که با دانستن قانون حرکت یک جسم معین (نقطه)، تمام کمیت های سینماتیکی که حرکت آن را مشخص می کنند (سرعت و شتاب) تعیین کنید.

3. روش های تعیین حرکت یک نقطه

· راه طبیعی

باید دانست:

خط سیر نقطه؛

مبدأ و جهت مرجع؛

قانون حرکت یک نقطه در طول یک مسیر معین به شکل (1.1)

· روش مختصات

معادلات (1.2) معادلات حرکت نقطه M هستند.

معادله مسیر نقطه M را می توان با حذف پارامتر زمان به دست آورد « تی » از معادلات (1.2)

· روش برداری

(1.3)

رابطه بین روش های مختصات و برداری برای تعیین حرکت یک نقطه

(1.4)

رابطه بین روشهای مختصات و طبیعی تعیین حرکت یک نقطه

با حذف زمان از معادلات (1.2) مسیر نقطه را تعیین کنید.

-- قانون حرکت یک نقطه در امتداد یک مسیر را پیدا کنید (از عبارت دیفرانسیل کمان استفاده کنید)

پس از ادغام، قانون حرکت یک نقطه در طول یک مسیر معین را به دست می آوریم:

ارتباط بین روش مختصات و بردار تعیین حرکت یک نقطه با رابطه (1.4) تعیین می شود.

4. تعیین سرعت یک نقطه با استفاده از روش برداری تعیین حرکت.

اجازه دهید در یک لحظه در زمانتیموقعیت نقطه توسط بردار شعاع و در لحظه زمان تعیین می شودتی 1 - بردار شعاع، سپس برای یک دوره زمانی نقطه حرکت خواهد کرد

(1.5)

میانگین سرعت نقطه،

جهت بردار همان جهت بردار است

سرعت یک نقطه در یک زمان معین

برای به دست آوردن سرعت یک نقطه در یک زمان معین، لازم است یک گذر به حد مجاز انجام شود

(1.6)

(1.7)

بردار سرعت یک نقطه در یک زمان معین برابر با اولین مشتق بردار شعاع نسبت به زمان و جهت مماس بر مسیر در یک نقطه معین.

(واحد¾ متر بر ثانیه، کیلومتر در ساعت)

بردار شتاب متوسط همان جهت بردار را داردΔ v ، یعنی به سمت تقعر مسیر هدایت می شود.

بردار شتاب یک نقطه در یک زمان معین برابر با اولین مشتق بردار سرعت یا مشتق دوم بردار شعاع نقطه نسبت به زمان.

(واحد - )

بردار نسبت به مسیر نقطه چگونه قرار می گیرد؟

در حرکت مستقیمبردار در امتداد خط مستقیمی که نقطه در امتداد آن حرکت می کند هدایت می شود. اگر مسیر یک نقطه منحنی مسطح باشد، بردار شتاب و همچنین بردار ср در صفحه این منحنی قرار گرفته و به سمت تقعر آن هدایت می شود. اگر مسیر منحنی صفحه نباشد، بردار ср به سمت تقعر مسیر هدایت می شود و در صفحه ای قرار می گیرد که از مماس بر مسیر در نقطه عبور می کند.م و یک خط موازی با مماس در یک نقطه مجاورM 1 . که در محدودیت زمانی که نقطهM 1 تلاش می کند م این هواپیما موقعیت صفحه به اصطلاح osculating را اشغال می کند. بنابراین، در حالت کلی، بردار شتاب در صفحه تماس قرار دارد و به سمت تقعر منحنی هدایت می شود.

زور. سیستم نیروها. تعادل یک جسم کاملاً صلب

در مکانیک، نیرو به عنوان معیاری از برهمکنش مکانیکی اجسام مادی درک می شود که در نتیجه اجسام متقابل می توانند به یکدیگر شتاب دهند یا تغییر شکل دهند (شکل خود را تغییر دهند). نیرو یک کمیت برداری است. با یک مقدار عددی یا ماژول، نقطه کاربرد و جهت مشخص می شود. نقطه اعمال نیرو و جهت آن خط عمل نیرو را مشخص می کند. شکل نشان می دهد که چگونه یک نیرو به نقطه A وارد می شود. پاره خط AB = بزرگی نیرو F. خط مستقیم LM را خط عمل نیرو می گویند. در سیستم. اندازه های نیروی SI. بر حسب نیوتن (N). همچنین 1MN = 10 6 N، 1 kN = 10 3 N وجود دارد. 2 راه برای تنظیم نیرو وجود دارد: با توصیف مستقیم و بردار (از طریق طرح ریزی بر روی محورهای مختصات). F= F x i + F y j + F z k، که در آن F x، F y، F z پیش بینی نیرو بر روی محورهای مختصات هستند و i، j، k بردارهای واحد هستند. کاملا محکم بدن - بدنکه در آن فاصله بین 2 و نقاط آن بقیه است. بدون توجه به نیروهای وارد بر آن، بدون تغییر.

به مجموعه ای از چندین نیرو (F 1، F 2، ...، F n) سیستم نیروها گفته می شود. اگر بدون ایجاد اختلال در وضعیت بدن، سیستمی از نیروها (F 1، F 2، ...، F n) را می توان با سیستم دیگری (P 1، P 2، ...، Pn) جایگزین کرد. برعکس، پس چنین سیستم هایی از نیروها معادل نامیده می شوند. به طور نمادین به صورت زیر نشان داده می شود: (F 1، F 2، ...، F n)~ (P 1، P 2، ...، Pn). با این حال، این بدان معنا نیست که اگر دو سیستم نیرو بر جسمی اثر یکسانی داشته باشند، آنها معادل خواهند بود. سیستم های معادل باعث ایجاد یک حالت سیستم می شوند. هنگامی که یک سیستم از نیروها (F 1، F 2، ...، F n) معادل یک نیروی R باشد، R نامیده می شود. حاصل نیروی حاصل می تواند جایگزین عمل همه نیروهای داده شده شود. اما هر سیستمی از نیروها نتیجه ای ندارد. در سیستم مختصات اینرسی، قانون اینرسی رعایت می شود. این به ویژه به این معنی است که جسمی که در لحظه اولیه در حالت سکون است، اگر هیچ نیرویی روی آن وارد نشود، در این حالت باقی خواهد ماند. اگر یک جسم کاملاً صلب تحت تأثیر سیستم نیروها (F 1، F 2، ...، F n) در حالت سکون باقی بماند، این سیستم متعادل یا سیستمی از نیروها معادل صفر نامیده می شود: (F 1). , F 2, .. , F n)~0. در این حالت گفته می شود که بدن در حالت تعادل است. در ریاضیات، دو بردار اگر موازی، در جهت یکسان و از نظر قدر مساوی باشند، برابر در نظر گرفته می شوند. این برای هم ارزی دو نیرو کافی نیست و رابطه F~P هنوز از برابری F=P نتیجه نمی گیرد. دو نیرو اگر از نظر بردار مساوی باشند و در یک نقطه از جسم اعمال شوند، معادل هستند.


بدیهیات استاتیک و پیامدهای آن


جسم تحت تأثیر نیرو شتاب می گیرد و نمی تواند در حالت سکون بماند. اصل اول شرایطی را تعیین می کند که تحت آن سیستم نیروها متعادل می شود.

اصل 1. دو نیروی اعمال شده به یک جسم کاملا صلب متعادل خواهند بود (معادل صفر) اگر و فقط در صورتی که از نظر قدر مساوی باشند، در یک خط مستقیم عمل کنند و در جهت مخالف باشند.. این بدان معنی است که اگر یک جسم کاملاً صلب تحت تأثیر دو نیرو در حال سکون باشد، این نیروها از نظر قدر مساوی هستند، در یک خط مستقیم عمل می کنند و در جهت مخالف هدایت می شوند. برعکس، اگر در یک خط مستقیم در جهت مخالف دو نیروی مساوی بر جسم کاملاً صلب وارد شود و جسم در لحظه اولیه در حالت سکون بود، آنگاه حالت سکون جسم باقی می ماند.

در شکل شکل 1.4 نیروهای متوازن F 1، F 2 و P 1، P 2 را نشان می دهد که روابط را برآورده می کند: (F 1, F 2)~0, (P 1,P 2)~0. هنگام حل برخی از مسائل استاتیک، باید نیروهای وارد شده به انتهای میله های صلب را در نظر گرفت که وزن آن ها قابل چشم پوشی است و مشخص است که میله ها در حالت تعادل هستند. از بدیهیات فرمول بندی شده، نیروهای وارد بر چنین میله ای در امتداد یک خط مستقیم که از انتهای میله می گذرد، در جهت مخالف و از نظر بزرگی برابر با یکدیگر هدایت می شوند (شکل 1.5، a). همین امر در موردی که محور میله منحنی است صادق است (شکل 1.5، ب).

اصل 2. بدون ایجاد مزاحمت برای دولت جامدنیروها را می توان در صورتی اعمال کرد یا رد کرد که و فقط در صورتی که یک سیستم متعادل را تشکیل دهند، به ویژه، اگر این سیستم از دو نیروی با اندازه مساوی تشکیل شده باشد که در یک خط مستقیم عمل می کنند و در جهت مخالف هدایت می شوند.نتیجه ای از این اصل به دست می آید: بدون ایجاد اختلال در وضعیت جسم، نقطه اعمال نیرو را می توان در امتداد خط عمل آن منتقل کرد. در واقع، اجازه دهید نیروی F A به نقطه A اعمال شود (شکل 1.6، a). . اجازه دهید در نقطه B روی خط عمل نیروی F A دو نیروی متوازن F B و F" B اعمال کنیم، با فرض اینکه F B = F A (شکل 1.6، b) سپس طبق اصل 2، F A ~F A خواهیم داشت. بنابراین از آنجایی که نیروهای F A و F B نیز یک سیستم متعادل از نیروها را تشکیل می دهند (اصول 1)، بنابراین طبق اصل 2 می توان آنها را کنار گذاشت (شکل 1.6، c). بنابراین، F A ~F A، F B,F` B)~F B یا F A~F B که نتیجه را ثابت می کند. این نتیجه نشان می دهد که نیروی اعمال شده به یک جسم کاملا صلب یک بردار لغزنده است. هم بدیهیات و هم نتیجه اثبات شده را نمی توان برای اجسام تغییر شکل پذیر اعمال کرد. به ویژه، حرکت نقطه اعمال نیرو در امتداد خط عمل آن، وضعیت تغییر شکل تنش بدن را تغییر می دهد.

اصل 3.بدون تغییر وضعیت جسم، دو نیروی وارد شده به یک نقطه را می توان با یک نیروی حاصله که در همان نقطه اعمال می شود و برابر با مجموع هندسی آنها (متوازی الاضلاع اصل نیروها) جایگزین کرد. این اصل دو حالت را ایجاد می کند: 1) دو نیروی F 1 و F 2 (شکل 1.7) که به یک نقطه اعمال می شود، یک نتیجه دارند، یعنی معادل یک نیرو هستند (F 1, F 2) ~ R. 2) اصل موضوع مدول، نقطه اعمال و جهت نیروی حاصل R=F 1 +F 2 را به طور کامل تعیین می کند. 1 و F 2 . مدول حاصل با برابری R=(F 1 2 +F 2 2 + 2F l F 2 cosa) 1/2 تعیین می شود که a زاویه بین بردارهای داده شده F 1 و F 2 است. اصل سوم در مورد هر جسمی صدق می کند. بدیهیات دوم و سوم استاتیک این امکان را فراهم می کند که از یک سیستم نیرو به سیستم دیگری که معادل آن است حرکت کنیم. به ویژه، آنها تجزیه هر نیروی R را به دو، سه و غیره امکان پذیر می کنند، یعنی به سیستم دیگری از نیروها منتقل می شوند که نیروی R حاصل آن است. برای مثال، با تعیین دو جهت که در یک صفحه با R قرار دارند، می توانید متوازی الاضلاعی بسازید که در آن قطر نشان دهنده نیروی R باشد. سپس نیروهایی که در امتداد اضلاع متوازی الاضلاع قرار می گیرند، سیستمی را تشکیل می دهند که نیروی R برای آن وارد می شود. حاصل خواهد بود (شکل 1.7). ساخت و ساز مشابهی را می توان در فضا انجام داد. برای این کار کافی است سه خط مستقیم از نقطه اعمال نیروی R که در یک صفحه قرار ندارند ترسیم کنید و روی آنها یک موازی شکل با قطری که نیروی R را نشان می دهد و با لبه هایی که در امتداد این مستقیم قرار دارند بسازید. خطوط (شکل 1.8).

اصل 4 (قانون سوم نیوتن). نیروهای برهمکنش بین دو جسم از نظر قدر مساوی هستند و در امتداد یک خط مستقیم در جهت مخالف هدایت می شوند.توجه داشته باشید که نیروهای برهمکنش دو جسم، سیستمی از نیروهای متعادل را تشکیل نمی‌دهند، زیرا بر اجسام مختلف اعمال می‌شوند. اگر جسم I با نیروی P بر روی جسم II و با نیروی F بر روی جسم I تأثیر بگذارد (شکل 1.9)، این نیروها از نظر قدر برابر هستند (F = P) و در امتداد یک خط مستقیم در مقابل هدایت می شوند. جهت ها، یعنی .F= –P. اگر نیرویی را که خورشید با آن زمین را جذب می کند با F نشان دهیم، آنگاه زمین خورشید را با همان قدر، اما نیروی خلاف جهت آن جذب می کند - F. وقتی جسمی در امتداد صفحه حرکت می کند، نیروی اصطکاک T به آن وارد می شود. ، در جهت مخالف حرکت هدایت می شود. این نیرویی است که یک هواپیمای ساکن بر روی جسم اثر می گذارد. بر اساس اصل چهارم، جسم با همان نیرو بر روی صفحه عمل می کند، اما جهت آن مخالف نیروی T خواهد بود.

در شکل 1.10 جسمی را نشان می دهد که به سمت راست حرکت می کند. نیروی اصطکاک T به یک جسم متحرک اعمال می شود و نیروی T "= –T به صفحه اعمال می شود. اجازه دهید یک سیستم ثابت را در نظر بگیریم، که در شکل 1.11 نشان داده شده است، a. شامل یک موتور A است که روی آن نصب شده است. فونداسیون B که به نوبه خود روی پایه C قرار دارد. موتور و فونداسیون به ترتیب تحت تأثیر نیروهای گرانش F 1 و F 2 قرار می گیرند. نیروهای زیر نیز عمل می کنند: F 3 - نیروی عمل جسم A بر روی جسم B ( برابر وزن جسم A است؛ F'з - نیروی عمل معکوس جسم B بر روی جسم A است؛ F 4 نیروی عمل اجسام A و B بر پایه C است (برابر با کل است. وزن اجسام A و B؛ F` 4 نیروی عمل معکوس پایه C بر جسم B است. این نیروها در شکل 1.11، b، c، d نشان داده شده است. طبق اصل 4، F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4 و این نیروهای برهمکنش توسط نیروهای داده شده F 1 و F 2 تعیین می شوند. برای یافتن نیروهای اندرکنش باید از اصل 1 حرکت کرد. با توجه به باقیمانده جسم A ( شکل 1.11.6) باید F z = –F 1 باشد، که به معنای F 3 =F 1 است. به همین ترتیب، از وضعیت تعادل جسم B (شکل 1.11، ج) F` 4 =–( F 2 + F 3) ، یعنی F` 4 =– (F 1 + F 2) و F 4 = F 1 + F 2.

اصل 5. اگر نقاط آن به طور صلب به هم متصل باشند و جسم کاملاً جامد در نظر گرفته شود، تعادل جسم تغییر شکل پذیر به هم نمی خورد.این اصل در مواردی به کار می رود که در مورد تعادل اجسامی صحبت می کنیم که نمی توان آنها را جامد در نظر گرفت. نیروهای خارجی اعمال شده به چنین اجسامی باید شرایط تعادل یک جسم صلب را برآورده کنند، اما برای اجسام غیر صلب این شرایط فقط ضروری هستند، اما کافی نیستند. به عنوان مثال، برای تعادل یک میله بی وزن کاملاً جامد، لازم و کافی است که نیروهای F و F وارد شده به انتهای میله در امتداد یک خط مستقیم که انتهای آن را به هم متصل می کند، از نظر قدر مساوی و در جهات مختلف باشد. شرایط یکسانی برای تعادل یک قطعه نخ بی وزن ضروری است، اما برای یک نخ کافی نیست؛ علاوه بر این لازم است که نیروهای وارد بر نخ کششی باشند (شکل 1.12، b)، در حالی که برای یک نخ کافی نیست. یک میله آنها همچنین می توانند فشاری باشند (شکل 1.12، a).

اجازه دهید مورد هم ارزی صفر سه نیروی غیر موازی اعمال شده به یک جسم صلب را در نظر بگیریم (شکل 1.13، a). قضیه سه نیروی غیر موازی. اگر جسمی تحت تأثیر سه نیرو در حالت تعادل باشد و خطوط عمل دو نیرو متقاطع شوند، تمام نیروها در یک صفحه قرار می گیرند و خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع می شود.اجازه دهید سیستمی متشکل از سه نیروی F 1، F 3 و F 3 بر روی بدنه عمل کند و خطوط عمل نیروهای F 1 و F 2 در نقطه A قطع شوند (شکل 1.13، a). با توجه به نتیجه اصل 2، نیروهای F 1 و F 2 را می توان به نقطه A منتقل کرد (شکل 1.13، b)، و طبق اصل 3 می توان آنها را با یک نیروی R جایگزین کرد، و (شکل 1.13، c) R = F 1 + F 2 . بنابراین، سیستم نیروهای مورد بررسی به دو نیروی R و F 3 کاهش می یابد (شکل 1.13، ج). با توجه به شرایط قضیه، جسم در حالت تعادل است، بنابراین، طبق اصل 1، نیروهای R و F 3 باید دارای یک خط عمل مشترک باشند، اما سپس خطوط عمل هر سه نیرو باید در یک نقطه قطع شوند. .

نیروهای فعال و واکنش های اتصالات

بدن نامیده می شود رایگان، در صورتی که حرکات او محدود به چیزی نباشد. جسمی که حرکات آن توسط اجسام دیگر محدود می شود نامیده می شود غیر رایگان، و اجسام محدود کننده حرکت یک جسم معین هستند اتصالات. در نقاط تماس، نیروهای برهمکنش بین جسم داده شده و اتصالات بوجود می آیند. نیروهایی که پیوندها بر روی یک جسم معین عمل می کنند نامیده می شوند واکنش های اتصالات.

اصل رهایی : هر جسم غیرآزاد را می توان آزاد در نظر گرفت اگر عمل پیوندها با واکنش های اعمال شده آنها به جسم داده شده جایگزین شود.در استاتیک، واکنش پیوندها را می توان با استفاده از شرایط یا معادلات تعادل جسم که بعداً مشخص می شود، کاملاً تعیین کرد، اما جهت آنها را در بسیاری از موارد با در نظر گرفتن خواص پیوندها می توان تعیین کرد. به عنوان یک مثال ساده در شکل. 1.14، و بدنه ای ارائه می شود که نقطه M آن با استفاده از میله ای به نقطه ثابت O متصل می شود که وزن آن قابل چشم پوشی است. انتهای میله دارای لولاهایی است که اجازه چرخش را می دهد. که در در این موردبرای بدنه اتصال میله OM است. محدودیت آزادی حرکت نقطه M در این واقعیت بیان می‌شود که مجبور است در فاصله ثابتی از نقطه O قرار گیرد. نیروی عمل روی چنین میله‌ای باید در امتداد خط مستقیم OM و بر اساس اصل موضوع باشد. 4، نیروی متقابل میله (واکنش) R باید در امتداد همان خط مستقیم هدایت شود. بنابراین، جهت واکنش میله با خط مستقیم OM منطبق است (شکل 1.14، b). به طور مشابه، نیروی واکنش یک نخ انعطاف پذیر و غیر قابل انبساط باید در امتداد نخ هدایت شود. در شکل شکل 1.15 بدنه ای را نشان می دهد که روی دو نخ آویزان شده و واکنش های نخ های R1 و R2 را نشان می دهد. نیروهای وارد بر جسم محدود به دو دسته تقسیم می شوند. یک دسته توسط نیروهایی که به اتصالات وابسته نیستند و دسته دیگر از واکنش های اتصالات تشکیل می شوند. در این مورد، واکنش های اتصالات ماهیت منفعل دارند - آنها به این دلیل به وجود می آیند که نیروهای دسته اول روی بدن عمل می کنند. نیروهایی که به پیوندها وابسته نیستند فعال و واکنش پیوندها را نیروهای غیرفعال می نامند. در شکل 1.16، و در بالا دو نیروی فعال F 1 و F 2 با قدر مساوی نشان داده شده است، کشش میله AB، در پایین واکنش R 1 و R 2 میله کشیده نشان داده شده است. در شکل 1.16، b بالا نیروهای فعال F 1 و F 2 را نشان می دهد که میله را فشرده می کنند، پایین واکنش های R 1 و R 2 میله فشرده را نشان می دهد.

ویژگی های پیوند

1. اگر یک جسم جامد بر روی یک سطح ایده آل صاف (بدون اصطکاک) قرار گیرد، نقطه تماس بدن با سطح می تواند آزادانه در امتداد سطح بلغزد، اما نمی تواند در جهتی در امتداد حالت عادی به سطح حرکت کند. واکنش یک سطح ایده آل صاف در امتداد نرمال مشترک به سطوح تماس هدایت می شود (شکل 1.17، a). اگر بدنه جامد نوک روی یک گوشه قرار گیرد (شکل 1.17، ج)، آنگاه اتصال از حرکت نوک به صورت افقی و عمودی جلوگیری می کند. بر این اساس، واکنش R زاویه را می توان با دو مؤلفه - Rx افقی و Ry عمودی نشان داد، که بزرگی ها و جهات آنها در نهایت توسط نیروهای داده شده تعیین می شود.

2. لولا کروی دستگاهی است که در شکل نشان داده شده است. 1.18، a، که نقطه O جسم مورد بررسی را بی حرکت می کند. اگر سطح تماس کروی به طور ایده آل صاف باشد، واکنش لولا کروی در جهت نرمال به این سطح است. واکنش از مرکز لولا O عبور می کند. جهت واکنش می تواند هر کدام باشد و در هر مورد خاص تعیین می شود.

همچنین نمی توان از قبل جهت واکنش یاتاقان رانش نشان داده شده در شکل 1 را تعیین کرد. 1.18، ب. 3. تکیه گاه لولایی ثابت استوانه ای (شکل 1.19، a). واکنش چنین تکیه‌گاهی از محور آن عبور می‌کند و جهت واکنش می‌تواند هر (در یک صفحه عمود بر محور تکیه‌گاه) باشد. 4. تکیه گاه متحرک مفصلی استوانه ای (شکل 1.19، ب) از حرکت نقطه ثابت بدنه عمود بر آن جلوگیری می کند. هواپیماهای I-I; بر این اساس، واکنش چنین تکیه گاهی نیز جهت این عمود را دارد.

در سیستم های مکانیکی که از اتصال چند جسم جامد تشکیل می شوند، اتصالات داخلی با اتصالات خارجی (تکیه کننده) وجود دارد. در این موارد، گاهی سیستم از نظر ذهنی کالبد شکافی می شود و ارتباط های دور ریخته شده نه تنها بیرونی، بلکه درونی نیز با واکنش های مناسب جایگزین می شود. نیروهای برهمکنش بین نقاط منفرد یک جسم معین، درونی و نیروهایی که بر جسم معین وارد می شوند و توسط اجسام دیگر ایجاد می شوند، خارجی نامیده می شوند.

وظایف اصلی استاتیک

1. مسئله کاهش یک سیستم نیروها: چگونه می توان یک سیستم معین از نیروها را با یک سیستم دیگر، ساده ترین، معادل جایگزین کرد؟

2. مسئله تعادل: سیستمی از نیروهای اعمال شده به جسم معین (یا نقطه مادی) باید چه شرایطی را برآورده کند تا بتواند یک سیستم متعادل باشد؟

مشکل دوم اغلب در مواردی مطرح می شود که تعادل مشخص می شود، به عنوان مثال، زمانی که از قبل مشخص شود که بدن در تعادل است، که با اتصالات تحمیل شده به بدن تضمین می شود. در این حالت، شرایط تعادل بین تمام نیروهای وارد شده به بدن رابطه برقرار می کند. با استفاده از این شرایط می توان واکنش های حمایتی را تعیین کرد. باید در نظر داشت که تعیین واکنش های پیوند (خارجی و داخلی) برای محاسبه بعدی استحکام سازه ضروری است.

در حالت کلی تر، وقتی سیستمی از اجسام که توانایی حرکت نسبت به یکدیگر را دارند در نظر گرفته می شود، یکی از مشکلات اصلی استاتیک، مشکل تعیین موقعیت های تعادلی احتمالی است.

آوردن سیستمی از نیروهای همگرا به نتیجه

نیروها همگرا نامیده می شوند که خطوط عمل تمام نیروهایی که سیستم را تشکیل می دهند در یک نقطه قطع شوند. اجازه دهید قضیه را ثابت کنیم: سیستم نیروهای همگرا معادل یک نیرو (نتیجه) است که برابر با مجموع همه این نیروها است و از نقطه تلاقی خطوط عمل آنها می گذرد. اجازه دهید سیستمی از نیروهای همگرا F 1، F 2، F 3، ...، F n داده شود که به یک جسم کاملاً صلب اعمال می شود (شکل 2.1، a). اجازه دهید نقاط اعمال نیروها را در امتداد خطوط عمل آنها به نقطه تلاقی این خطوط منتقل کنیم (21، b). ما سیستمی از نیروها را دریافت کردیم که در یک نقطه اعمال شد. معادل داده شده است. بیایید F 1 و F 2 را اضافه کنیم و نتیجه آنها را بدست آوریم: R 2 =F 1 +F 2. بیایید R 2 را با F 3 اضافه کنیم: R 3 = R 2 + F 3 = F 1 + F 2 + F 3. بیایید F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i را اضافه کنیم. و غیره. به جای متوازی الاضلاع، می توانید یک چندضلعی نیرو بسازید. اجازه دهید سیستم از 4 نیرو تشکیل شده باشد (شکل 2.2.). از انتهای بردار F 1 بردار F 2 را کنار می گذاریم. بردار اتصال ابتدای O و انتهای بردار F 2 بردار R 2 خواهد بود. در مرحله بعد، بردار F 3 را به تعویق می اندازیم و ابتدای آن را در انتهای بردار F 2 قرار می دهیم. سپس یک بردار R 8 دریافت می کنیم که از نقطه O به انتهای بردار F 3 می رود. بیایید بردار F 4 را به همین ترتیب اضافه کنیم. در این حالت متوجه می‌شویم که بردار که از ابتدای اولین بردار F 1 تا انتهای بردار F 4 می‌رود، برآیند R است. چنین چندضلعی فضایی را چندضلعی نیرو می‌گویند. اگر انتهای آخرین نیرو با ابتدای نیروی اول منطبق نباشد، چندضلعی نیرو نامیده می شود. باز کن. اگر از یک هندسه برای یافتن نتیجه استفاده شود، این روش را هندسی می نامند.

آنها بیشتر از روش تحلیلی برای تعیین نتیجه استفاده می کنند. طرح ریزی مجموع بردارها روی یک محور معین برابر است با مجموع برآمدگی های بردارهای جمع بر روی همان محور، R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; که در آن F kx، F ky، F kz برآمدگی های نیروی F k روی محورها هستند و Rx، Ry، Rz پیش بینی های حاصل بر روی همان محورها هستند. پیش بینی سیستم حاصل از نیروهای همگرا بر روی محورهای مختصاتبرابر است با مجموع جبری پیش بینی این نیروها بر روی محورهای مربوطه. مدول R حاصل برابر است با: R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2. کسینوس های جهت برابر هستند: cos(x,R)=R x/R, cos(y,R)=R y/R, cos(z,R)=R z /R. اگر نیروها در یک جهت توزیع شوند، پس همه چیز یکسان است، هیچ محور Z وجود ندارد.

شرایط تعادل برای سیستم نیروهای همگرا

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => برای تعادل جسم تحت تأثیر سیستم نیروهای همگرا لازم و کافی است که حاصل آنها برابر با صفر باشد: R = 0 در نتیجه، در چندضلعی نیروی یک سیستم متعادل از نیروهای همگرا، انتهای آخرین نیرو باید با آغاز اولین نیرو منطبق باشد. در این مورد آنها می گویند که چند ضلعی نیرو بسته است (شکل 2.3). این شرایط زمانی استفاده می شود که راه حل گرافیکیمشکلات سیستم های نیروی هواپیما برابری برداری R=0 معادل سه برابری اسکالر است: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; که در آن F kx، F ky، F kz برآمدگی های نیروی F k روی محورها هستند و Rx، Ry، Rz پیش بینی های حاصل بر روی همان محورها هستند. یعنی برای تعادل یک سیستم همگرا نیروها، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی های تمام نیروهای یک سیستم معین روی هر یک از محورهای مختصات برابر با صفر باشد. برای یک سیستم هواپیمای نیروها، شرایط مرتبط با محور Z ناپدید می شود. شرایط تعادل به شما امکان می دهد بررسی کنید که آیا این سیستماستحکام - قدرت

جمع دو نیروی موازی

1) اجازه دهید نیروهای موازی و مستقیم F 1 و F 2 به نقاط A و B بدن اعمال شوند و باید نتیجه آنها را پیدا کنید (شکل 3.1). اجازه دهید نیروهای Q 1 و Q 2 را از نظر بزرگی و جهت مخالف به نقاط A و B اعمال کنیم (مدول آنها می تواند هر کدام باشد). چنین جمعی را می توان بر اساس اصل 2 انجام داد. سپس در نقاط A و B دو نیروی R 1 و R 2 دریافت می کنیم: R 1 ~(F 1, Q 1) و R 2 ~ (F 2, Q 2). خطوط عمل این نیروها در نقطه مشخصی O قطع می شوند. اجازه دهید نیروهای R 1 و R 2 را به نقطه O منتقل کنیم و هر یک را به اجزای تجزیه کنیم: R 1 ~(F 1 ', Q 2 ') و R 2 ~( F 2 '، Q 2 '). از ساختار مشخص می شود که Q 1 '=Q 1 و Q 2 '=Q 2 , بنابراین Q 1 '= –Q 2 ' و این دو نیرو طبق اصل 2 می توانند کنار گذاشته شوند. علاوه بر این، F 1 '=F 1 , F 2 '=F 2 . نیروهای F 1 ' و F 2 ' در یک خط مستقیم عمل می کنند و می توان آنها را با یک نیروی R = F 1 + F 2 جایگزین کرد که نتیجه مطلوب خواهد بود. مدول حاصل برابر است با R = F 1 + F 2. خط عمل حاصل با خطوط عمل F 1 و F 2 موازی است. از شباهت مثلث های Oac 1 و OAC و همچنین Obc 2 و OBC نسبت F 1 /F 2 =BC/AC را بدست می آوریم. این رابطه نقطه اعمال R حاصل را تعیین می کند. سیستمی متشکل از دو نیروی موازی که در یک جهت هدایت می شوند دارای یک موازی حاصل با این نیروها و مدول آن است. برابر با مجموعماژول های این نیروها

2) اجازه دهید دو نیروی موازی بر روی جسم وارد شوند که در جهات مختلف هستند و از نظر قدر مساوی نیستند. داده شده: F 1, F 2; F 1 > F 2 .

با استفاده از فرمول های R = F 1 + F 2 و F 1 /F 2 =BC/AC، می توانیم نیروی F 1 را به دو جزء F" 2 و R که به سمت نیروی F 1 هدایت می شود، تجزیه کنیم. اجازه دهید این کار را انجام دهیم تا معلوم شد که نیروی F" 2 به نقطه B اعمال می شود، و ما F" 2 = –F 2 قرار می دهیم. (F l , F 2)~(R, F" 2 , F 2). قدرت ها F 2 , F 2 'را می توان به عنوان معادل صفر کنار گذاشت (اصول 2)، بنابراین، (F 1 ,F 2)~R، یعنی نیروی R حاصل است. اجازه دهید نیروی R را تعریف کنیم که این انبساط نیروی F 1 را برآورده می کند. فرمول ها R = F 1 + F 2و F 1 /F 2 =BC/AC می دهند R+F 2 '=F 1, R/F 2 =AB/AC (*). این دلالت می کنه که R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2و از آنجایی که نیروهای F t و F 2 در جهات مختلف هدایت می شوند، بنابراین R=F 1 –F 2. با جایگزینی این عبارت به فرمول دوم (*)، پس از تبدیل های ساده F 1 / F 2 = BC / AC به دست می آوریم. این رابطه نقطه اعمال R حاصل را تعیین می کند. دو نیروی موازی نابرابر در قدر با جهت مخالف دارای یک موازی نتیجه با این نیروها هستند و مدول آن برابر است با اختلاف ماژول های این نیروها.

3) اجازه دهید دو نیروی موازی، از نظر قدر مساوی، اما در جهت مخالف، روی جسم وارد شوند. این سیستم چند نیرو نامیده می شود و با نماد نشان داده می شود (F 1, F 2). فرض کنید مدول F 2 به تدریج افزایش می یابد و به مقدار مدول F 1 نزدیک می شود. سپس اختلاف ماژول ها به صفر میل می کند و سیستم نیروها (F 1, F 2) به یک جفت تمایل پیدا می کند. در این حالت |R|Þ0 و خط عمل آن از خطوط عمل این نیروها دور می شود. یک جفت نیرو یک سیستم نامتعادل است که با یک نیرو نمی توان آن را جایگزین کرد. یک جفت نیرو نتیجه ای ندارد.

ممان یک نیرو نسبت به یک نقطه و یک محور ممان یک جفت نیرو

گشتاور نیرو نسبت به یک نقطه (مرکز) برداری است که از نظر عددی برابر با حاصل ضرب مدول نیروی بازو است، یعنی با کمترین فاصله از نقطه مشخص شده تا خط عمل نیرو. . عمود بر صفحه ای که از نقطه و خط عمل انتخاب شده نیرو می گذرد هدایت می شود. اگر گشتاور در جهت عقربه های ساعت باشد، گشتاور منفی و اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت باشد، مثبت است. اگر نقطه O باشد، رابطه ممان نیروی F است، آنگاه ممان نیرو با نماد M o (F) نشان داده می شود. اگر نقطه اعمال نیروی F با بردار شعاع r نسبت به O تعیین شود، رابطه M o (F) = r x F معتبر است. (3.6) یعنی ممان نیرو برابر است با حاصلضرب بردار r توسط بردار F. مدول حاصلضرب بردار برابر است با М о (F)=rF sin a=Fh، (3.7) که در آن h بازوی نیرو است. بردار Mo (F) عمود بر صفحه ای که از بردارهای r و F می گذرد و در خلاف جهت عقربه های ساعت است. بنابراین فرمول (3.6) مدول و جهت گشتاور نیروی F را کاملاً تعیین می کند. فرمول (3.7) را می توان به شکل M O (F) = 2S, (3.8) نوشت که در آن S مساحت مثلث OAB است. . فرض کنید x، y، z مختصات نقطه اعمال نیرو باشد و F x، F y، F z پیش بینی نیرو بر روی محورهای مختصات باشد. اگر چنین است. درباره ما. در مبدأ، سپس لحظه نیرو:

این بدان معنی است که پیش بینی گشتاور نیرو بر روی محورهای مختصات توسط f-mi تعیین می شود: M ox (F)=yF z –zF y، M oy (F)=zF x –xF z، M oz (F) =xF y –yF x (3.10).

اجازه دهید مفهوم پرتاب نیرو بر روی صفحه را معرفی کنیم. اجازه دهید یک نیروی F و یک نیروی معین داده شود. اجازه دهید از ابتدا و انتهای بردار نیرو بر روی این صفحه عمود بریزیم (شکل 3.5). تابش نیرو بر روی صفحه برداری است که ابتدا و انتهای آن با برآمدگی ابتدا و انتهای آن نیرو بر روی این صفحه منطبق است. پیش بینی نیروی F بر روی ناحیه xOy F xy خواهد بود. لحظه نیروی F xy rel. t. O (اگر z=0، F z =0) M o (F xy)=(xF y –yF x)k خواهد بود. این گشتاور در امتداد محور z هدایت می شود و برآمدگی آن بر روی محور z دقیقاً منطبق بر روی همان محور گشتاور نیروی F نسبت به نقطه O.T.e، M Oz (F) = М Оz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). اگر نیروی F را به هر صفحه موازی با صفحه xOy وارد کنیم، همین نتیجه را می توان به دست آورد. در این حالت، نقطه تقاطع محور با صفحه متفاوت خواهد بود (O 1 نشان داده می شود). با این حال، تمام مقادیر x، y، F x، F y موجود در سمت راست برابری (3.11) بدون تغییر باقی خواهند ماند: M Oz (F) = M Olz (F xy). پیش بینی گشتاور نیرو نسبت به یک نقطه بر روی محوری که از این نقطه می گذرد به انتخاب نقطه ای روی محور بستگی ندارد. به جای M Oz (F) می نویسیم M z (F). این طرح گشتاور را گشتاور نیرو حول محور z می نامند. قبل از محاسبات، نیروی F بر روی محور مربع و عمود پیش بینی می شود. M z (F)=M z (F xy)=±F xy h (3.12). h- شانه. اگر در جهت عقربه های ساعت، سپس +، خلاف جهت عقربه های ساعت، سپس –. برای محاسبه m.m. نیروهای مورد نیاز: 1) یک نقطه دلخواه در محور را انتخاب کنید و یک صفحه عمود بر محور بسازید. 2) نیرویی را روی این هواپیما بفرستید. 3) بازوی پیش بینی نیروی h را تعیین کنید. گشتاور نیرو نسبت به محور برابر است با حاصل ضرب مدول پرتاب نیرو بر روی شانه آن که با علامت مناسب گرفته می شود. از (3.12) نتیجه می شود که گشتاور نیرو نسبت به محور برابر با صفر است: 1) زمانی که پیش بینی نیرو بر روی صفحه عمود بر محور برابر با صفر باشد، یعنی زمانی که نیرو و محور موازی باشند. 2) هنگامی که بازوی پیش بینی h برابر با صفر است، یعنی زمانی که خط عمل نیرو محور را قطع می کند. یا: گشتاور نیروی حول یک محور صفر است اگر و فقط اگر خط عمل نیرو و محور در یک صفحه باشند.

اجازه دهید مفهوم لحظه زوج را معرفی کنیم. اجازه دهید مجموع گشتاورهای نیروهای تشکیل دهنده جفت را نسبت به یک نقطه دلخواه پیدا کنیم. فرض کنید O یک نقطه دلخواه در فضا باشد (شکل 3.8)، و F و F" نیروهایی هستند که جفت را تشکیل می دهند. سپس M o (F) = OAxF، M o (F") = OBxF، که از آن M o (F) + M o (F")=OAxF+OBxF، اما از آنجایی که F"=–F، پس M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF. با در نظر گرفتن برابری OA –OB = BA، در نهایت می یابیم: M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF. یعنی مجموع گشتاورهای نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند به موقعیت نقطه ای که ممان ها نسبت به آن گرفته شده است بستگی ندارد. حاصل ضرب برداری BAxF را ممان جفت می گویند. ممان یک جفت با نماد M(F,F")، با M(F,F")=BAxF=ABxF، یا M=BAxF=ABxF" نشان داده می شود. (3.13). ممان یک جفت بردار عمود بر صفحه جفت است که قدر آن برابر است با حاصل ضرب مدول یکی از نیروهای جفت توسط بازوی جفت (یعنی کوتاه ترین فاصله بین خطوط عمل). نیروهایی که جفت را تشکیل می‌دهند) و در جهتی هدایت می‌شوند که «چرخش» این جفت در خلاف جهت عقربه‌های ساعت قابل مشاهده است. اگر h شانه جفت باشد M(F,F") = hF برای اینکه جفت نیرو متعادل شود لازم است که ممان جفت = 0 یا شانه = 0 باشد.

قضایای جفت

قضیه 1.دو جفت در یک صفحه را می توان با یک جفت در یک صفحه جایگزین کرد، با گشتاوری برابر با مجموع گشتاورهای این دو جفت. . برای اثبات، دو جفت (F 1, F` 1) و (F 2, F` 2) را در نظر بگیرید (شکل 3.9) و نقاط اعمال همه نیروها را در امتداد خطوط عمل آنها به ترتیب به نقاط A و B منتقل کنید. . با جمع کردن نیروها مطابق اصل 3، R=F 1 +F 2 و R"=F` 1 +F` 2 را بدست می آوریم، اما F" 1 =–F 1 و F` 2 =–F 2. در نتیجه، R=–R، یعنی نیروهای R و R یک جفت را تشکیل می‌دهند. ممان این جفت: M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14) وقتی نیروهای تشکیل دهنده جفت در طول خطوط منتقل شوند. از عمل آنها، نه شانه و نه جهت چرخش جفت تغییر نمی کند، بنابراین، ممان جفت نیز تغییر نمی کند. VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2 و فرمول (3.14) به شکل M=M 1 +M 2، (3.15) و غیره خواهد بود. بیایید دو نظر بدهیم. 1. خطوط عمل نیروهایی که جفت ها را تشکیل می دهند ممکن است موازی باشند. قضیه در این مورد نیز معتبر است. 2. پس از جمع، ممکن است معلوم شود که M(R,R")=0؛ بر اساس تبصره 1، مجموعه دو جفت (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0 .

قضیه 2.دو جفت با گشتاورهای مساوی معادل هستند. اجازه دهید یک جفت (F 1, F` 1) روی جسمی در صفحه I با یک ممان M 1 عمل کند. اجازه دهید نشان دهیم که این جفت را می توان با جفت دیگری (F 2, F` 2) که در صفحه II قرار دارد جایگزین کرد، اگر فقط گشتاور M 2 آن برابر با M 1 باشد. توجه داشته باشید که صفحات I و II باید موازی باشند، به ویژه، آنها می توانند منطبق باشند. در واقع، از موازی بودن گشتاورهای M 1 و M 2 نتیجه می شود که سطوح عمل جفت ها، عمود بر ممان ها نیز موازی هستند. اجازه دهید یک جفت جدید (F 3 , F` 3) معرفی کنیم و آن را همراه با جفت (F 2 , F` 2) روی بدنه اعمال کنیم و هر دو جفت را در صفحه II قرار دهیم. برای انجام این کار، با توجه به اصل 2، باید یک جفت (F 3, F` 3) را با ممان M 3 انتخاب کنید تا سیستم اعمال نیروها (F 2, F` 2, F 3, F` 3) متعادل است. اجازه دهید F 3 =–F` 1 و F` 3 =–F 1 را قرار دهیم و نقاط اعمال این نیروها را با برجستگی های A 1 و B 1 نقاط A و B روی صفحه II ترکیب کنیم (شکل 3.10 را ببینید). مطابق با ساخت، ما خواهیم داشت: M 3 ​​=–M 1 یا با در نظر گرفتن M 1 = M 2، M 2 + M 3 = 0،ما (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3) ~ 0 بدست می آوریم. بنابراین، جفت (F 2 , F` 2) و (F 3 , F` 3) متقابلاً متعادل هستند و اتصال آنها به بدن حالت آن را نقض نمی کند (اصول 2) ، بنابراین (F 1 , F` 1)~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). از سوی دیگر، نیروهای F 1 و F 3 و همچنین F` 1 و F` 3 را می توان بر اساس قانون برای جمع نیروهای موازی هدایت شده در یک جهت اضافه کرد. آنها از نظر مدول برابر هستند، بنابراین حاصل R و R آنها باید در نقطه تقاطع قطرهای مستطیل ABB 1 A 1 اعمال شود، علاوه بر این، آنها از لحاظ مدول برابر هستند و در جهت مخالف هستند. این بدان معنی است که آنها سیستمی معادل صفر را تشکیل می دهند. اکنون می توانیم بنویسیم (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). با مقایسه روابط (3.16) و (3.17)، (F 1، F` 1)~(F 2، F` 2) و غیره را بدست می آوریم. از این قضیه نتیجه می شود که یک جفت نیرو را می توان در صفحه عمل خود حرکت داد و چرخاند و به صفحه موازی منتقل کرد. در یک جفت، می توانید نیروها و اهرم را همزمان تغییر دهید و فقط جهت چرخش جفت و مدول ممان آن را حفظ کنید. (F 1 h 1 =F 2 h 2).

قضیه 3. دو جفتی که در صفحات متقاطع قرار دارند معادل یک جفت هستند که گشتاور آن برابر است با مجموع گشتاورهای دو جفت داده شده.اجازه دهید جفت (F 1 , F` 1) و (F 2 , F` 2) به ترتیب در صفحات متقاطع I و II قرار گیرند. با استفاده از نتیجه قضیه 2، هر دو جفت را به بازوی AB می آوریم (شکل 3.11)، واقع در خط تقاطع صفحات I و II. اجازه دهید جفت های تبدیل شده را با (Q 1 , Q` 1) و (Q 2 , Q` 2) نشان دهیم. در این مورد، برابری های زیر باید برآورده شوند: M 1 =M(Q 1, Q` 1) =M(F 1, F` 1) و M 2 =M(Q 2, Q` 2) =M(F 2، F` 2). اجازه دهید طبق اصل 3، نیروهای اعمال شده در نقاط A و B را به ترتیب اضافه کنیم. سپس R=Q 1 +Q 2 و R"=Q` 1 +Q` 2 به دست می آوریم. با توجه به اینکه Q` 1 =–Q 1 و Q` 2 = –Q 2، به دست می آید: R=–R". بنابراین، ما ثابت کردیم که یک سیستم از دو جفت معادل یک جفت است (R, R") اجازه دهید لحظه M این جفت را پیدا کنیم. M(R, R")=BAxR، اما R=Q 1 +Q 2 و M(R، R")=BAx(Q 1 +Q 2) = BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1، Q` 1)+M(Q 2، Q` 2) = M(F 1، F" 1)+ M(F 2، F` 2)، یا M=M 1 +M 2، یعنی قضیه ثابت شده است.

نتیجه گیری: لحظه زوج یک بردار آزاد است و به طور کامل عمل زوج را بر روی یک جسم کاملاً صلب تعیین می کند. برای اجسام تغییر شکل پذیر، نظریه جفت ها قابل اجرا نیست.

تقلیل یک سیستم از جفت به ساده ترین شکل آن تعادل یک سیستم از جفت

اجازه دهید سیستمی از n جفت (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n) داده شود که به طور دلخواه در فضا قرار دارند که گشتاورهای آن برابر است با M 1، M 2. ..، M n. دو جفت اول را می توان با یک جفت (R 1,R` 1) با ممان M* 2:M* 2 =M 1 +M 2 جایگزین کرد. جفت حاصل (R 1, R` 1) را با جفت (F 3, F` 3) اضافه می کنیم، سپس یک جفت جدید (R 2, R` 2) با ممان M* 3 بدست می آوریم: M* 3 = M * 2 + M 3 = M 1 + M 2 + M 3. با ادامه جمع متوالی گشتاورهای جفت ها، آخرین جفت حاصل (R, R") را با ممان M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k به دست می آوریم (3.18). جفت به یک جفت تقلیل می‌یابد که ممان آن برابر است با مجموع گشتاورهای همه جفت‌ها، اکنون حل مسئله دوم استاتیک، یعنی یافتن شرایط تعادل جسمی که بر روی آن سیستمی از جفت‌ها وجود دارد، آسان است. برای اینکه یک سیستم از جفت ها معادل صفر باشد یعنی به دو نیروی متوازن تقلیل یابد، لازم است و کافی است ممان جفت حاصل برابر با صفر باشد. سپس از فرمول (3.18) به دست می آید. شرایط تعادل زیر به صورت برداری: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات، معادله (3.19) سه معادله اسکالر را به دست می دهد. شرایط تعادل (3.19) زمانی ساده می شود که همه جفت ها در یک صفحه قرار گیرند. در این حالت تمام گشتاورها بر این صفحه عمود هستند و بنابراین کافی است معادله (3.19) را فقط بر روی یک محور، مثلاً محور عمود بر صفحه جفت ها، طرح کنیم. بگذارید این محور z باشد (شکل 3.12). سپس از رابطه (3.19) به دست می آید: М 1Z + М 2Z +...+ М nZ =0. واضح است که اگر چرخش جفت از جهت مثبت محور z در خلاف جهت عقربه های ساعت قابل مشاهده باشد M Z = M و در خلاف جهت چرخش M Z = –M. هر دوی این موارد در شکل نشان داده شده است. 3.12.

لم در مورد انتقال نیروی موازی

بیایید لم را ثابت کنیم:نیرویی که در هر نقطه از جسم صلب اعمال می شود معادل همان نیرویی است که در هر نقطه دیگر از این جسم وارد می شود و یک جفت نیرو که گشتاور آنها برابر با لحظه نیروی داده شده نسبت به نقطه اعمال جدید است.اجازه دهید نیروی F در نقطه A یک جسم صلب اعمال شود (شکل 4.1). اکنون در نقطه B جسم، سیستمی متشکل از دو نیروی F" و F2-، معادل صفر اعمال می کنیم و F"=F (از این رو F"=–F) را انتخاب می کنیم. سپس نیروی F~(F, F" را انتخاب می کنیم. , F")، از (F,F")~0. اما، از طرف دیگر، سیستم نیروها (F, F, F") معادل نیروی F" و جفت نیروها (F) است. ، F")؛ بنابراین، نیروی F معادل نیروی F" و جفت نیرو (F, F") است. گشتاور جفت (F, F") برابر است با M=M(F,F" )=BAxF، یعنی برابر با ممان نیروی F نسبت به نقطه B M=M B (F) بنابراین، لم انتقال نیرو موازی ثابت می شود.

قضیه اساسی استاتیک

اجازه دهید یک سیستم دلخواه از نیروها (F 1، F 2،...، F n) داده شود. مجموع این نیروها F=åF k بردار اصلی سیستم نیرو نامیده می شود. مجموع گشتاور نیروها نسبت به هر قطب را ممان اصلی سیستم نیروهای مورد بررسی نسبت به این قطب می گویند.

قضیه اساسی استاتیک (قضیه پوینسو ):در حالت کلی، هر سیستم فضایی نیرو را می توان با یک سیستم معادل متشکل از یک نیروی اعمال شده در نقطه ای از بدن (مرکز کاهش) و برابر با بردار اصلی این سیستم نیروها و یک جفت نیرو جایگزین کرد. ، که ممان آن برابر است با ممان اصلی تمام نیروها نسبت به مرکز انتخابی انتخابی.اجازه دهید O مرکز کاهش باشد که به عنوان مبدأ مختصات گرفته می شود، r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - بردارهای شعاع متناظر نقاط اعمال نیروهای F 1 , F 2 , F 3 , ...، F n، نیروهای این سیستم را تشکیل می دهند (شکل 4.2، a). بیایید نیروهای F 1, F a, F 3, ..., F n را به نقطه O منتقل کنیم. ما یک نیرو دریافت می کنیم: F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k که برابر است با بردار اصلی (شکل 4.2، b). اما با انتقال متوالی نیروهای F 1، F 2،...، F n به نقطه O، هر بار جفت نیرو مربوطه (F 1, F” 1)، (F 2, F” 2) را بدست می آوریم. ...،( F n, F" n) ممان های این جفت ها به ترتیب برابر ممان این نیروها نسبت به نقطه O است: M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1)، M 2 = M (F 2، F" 2) = r 2 x F 2 =M o (F 2)، ...، M n =M(F n، F" n) =r n x F n =M o (F n). بر اساس قانون کاهش یک سیستم از جفت ها به ساده ترین شکل، همه این جفت ها را می توان با یک جفت جایگزین کرد. گشتاور آن برابر است با مجموع گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به نقطه O، یعنی برابر با ممان اصلی است، زیرا طبق فرمول های (3.18) و (4.1) داریم (شکل 4.2، ج) M 0 = M 1 + M 2 + ... ک . سیستمی از نیروها که به طور دلخواه در فضا قرار گرفته اند، می توانند در یک مرکز کاهش دلخواه انتخاب شده با نیروی F o =åF k (4.2) و یک جفت نیرو با یک گشتاور M 0 =åM 0 (F k)=år kx جایگزین شوند. F k . (4.3). در فناوری، اغلب ساده تر است که نه یک نیرو یا یک زوج، بلکه لحظات آنها را مشخص کنیم. به عنوان مثال، ویژگی های یک موتور الکتریکی شامل نیرویی نیست که استاتور بر روی روتور وارد می کند، بلکه شامل گشتاور است.

شرایط تعادل یک سیستم فضایی نیروها

قضیه.برای تعادل یک سیستم فضایی نیروها لازم و کافی است که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم برابر با صفر باشد. کفایت: در F o = 0 سیستم نیروهای همگرا اعمال شده در مرکز کاهش O معادل صفر است و در M o = 0 سیستم جفت نیرو معادل صفر است. در نتیجه، سیستم اصلی نیروها معادل صفر است. ضرورت:بگذارید این سیستم نیروها معادل صفر باشد. پس از کاهش سیستم به دو نیرو، متذکر می شویم که سیستم نیروهای Q و P (شکل 4.4) باید معادل صفر باشد، بنابراین، این دو نیرو باید یک خط عمل مشترک داشته باشند و برابری Q = –P باید باشد. راضی. اما این می تواند در صورتی باشد که خط عمل نیروی P از نقطه O عبور کند، یعنی اگر h = 0 باشد. این بدان معنی است که ممان اصلی صفر است (M o = 0). زیرا Q + P = 0، a Q = F o + P "، سپس F o + P " + P = 0، و بنابراین، F o = 0. شرایط لازم و کافی برابر است با سیستم فضایی نیروها در فرم: F o = 0، M o = 0 (4.15)،

یا در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) +... + M Ox (F n) = 0, M Oy =åM Oy (F k) = M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0. (4.17)

که هنگام حل مسائل با 6 سطح، می توانید 6 مجهول پیدا کنید. نکته: یک جفت نیرو را نمی توان به نتیجه تقلیل داد.موارد خاص: 1) تعادل سیستم فضایی نیروهای موازی. اجازه دهید محور Z موازی با خطوط عمل نیرو باشد (شکل 4.6)، سپس پیش بینی نیروهای روی x و y برابر با 0 (F kx = 0 و F ky = 0) است و فقط F oz باقی می ماند. . در مورد لحظات، فقط M ox و M oy باقی مانده اند و M oz گم شده است. 2) تعادل سیستم هواپیمای نیروها. سطوح باقیمانده عبارتند از F ox، F oy و لحظه M oz (شکل 4.7). 3) تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای موازی. (شکل 4.8). فقط 2 سطح باقی مانده است: F oy و M oz. هنگام جمع آوری سطوح تعادل، هر نقطه را می توان به عنوان مرکز شبح انتخاب کرد.

کاهش یک سیستم مسطح نیروها به ساده ترین شکل آن

بیایید سیستمی از نیروها (F 1, F 2,..., F n) را در همان صفحه در نظر بگیریم. اجازه دهید سیستم مختصات Oxy را با صفحه مکان نیروها ترکیب کنیم و با انتخاب مبدا آن به عنوان مرکز کاهش، سیستم نیروهای مورد نظر را به یک نیروی F 0 =åF k , (5.1) برابر با بردار اصلی کاهش دهیم. و به یک جفت نیرو که گشتاور آن برابر با ممان اصلی M 0 =åM 0 (F k)، (5.2) است که در آن M o (F k) گشتاور نیروی F k نسبت به مرکز است. کاهش O. از آنجایی که نیروها در یک صفحه قرار دارند، نیروی F o نیز در این صفحه قرار دارد. ممان جفت M o عمود بر این صفحه جهت داده شده است، زیرا خود جفت در عمل نیروهای مورد نظر قرار دارد. بنابراین، برای یک سیستم صفحه ای از نیروها، بردار اصلی و ممان اصلی همیشه بر یکدیگر عمود هستند (شکل 5.1). لحظه به طور کامل با کمیت جبری M z مشخص می شود، برابر حاصلضرب بازوی جفت با مقدار یکی از نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند، با علامت مثبت در صورت "چرخش-" جفت گرفته می شود. در خلاف جهت عقربه‌های ساعت رخ می‌دهد، و اگر در جهت عقربه‌های ساعت رخ دهد، با علامت منفی، فلش‌هایی در جهت عقربه‌های ساعت رخ می‌دهد. برای مثال، اجازه دهید دو جفت (F 1, F` 1) و (F 2, F` 2) داده شود (شکل 5.2). سپس، طبق این تعریف، M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1، M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2 داریم. گشتاور نیرو نسبت به یک نقطه خواهد بود. یک کمیت جبری برابر با طرح نیروی بردار گشتاور نسبت به این نقطه بر روی یک محور عمود بر صفحه باشد، یعنی برابر با حاصل ضرب مدول نیرو توسط شانه، با علامت مناسب گرفته شود. برای موارد نشان داده شده در شکل 5.3، a و b به ترتیب، M oz (F 1) = hF 1، M oz (F 2) = –hF 2 (5.4) خواهد بود. شاخص z در فرمول های (5.3) و (5.4) است. برای نشان دادن ماهیت جبری ممان ها حفظ می شود. М z (F,F`)|, М о (F)=|М Оz (F)|. ما M oz =åM oz (F z) را دریافت می کنیم. برای تعیین تحلیلی بردار اصلی، از فرمول های زیر استفاده می شود: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx، F oy =åF ky =F 1y،+F ​​2y +…+F ny، F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5.8); cos(x, F o)=F ox /F o , cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9). و گشتاور اصلی برابر است با М Оz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx)، (5.10) که x k, y k مختصات نقطه اعمال نیروی F k هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که اگر بردار اصلی یک سیستم هواپیمای نیرو برابر با صفر نباشد، این سیستم نیروها معادل یک نیرو است، یعنی به یک نتیجه تقلیل می یابد. بگذارید Fo≠0، MOz ≠0 باشد (شکل 5.4، a). فلش کمانی در شکل 5.4، اما به طور نمادین یک جفت را با لحظه MOz نشان می دهد. اجازه دهید یک جفت نیرو را که ممان آن برابر با ممان اصلی است، به شکل دو نیروی F1 و F`1، از نظر بزرگی برابر با بردار اصلی Fo، یعنی F1=F`1 =Fo نشان دهیم. در این حالت، یکی از نیروهای (F`1) را که جفت را تشکیل می دهند به مرکز کاهش اعمال می کنیم و آن را در جهت مخالف جهت نیروی Fo هدایت می کنیم (شکل 5.4، b). سپس سیستم نیروهای Fo و F`1 معادل صفر است و می توان آن را دور انداخت. بنابراین، سیستم داده شده از نیروها معادل است تنها نیرو F1 به نقطه 01 اعمال شد. این نیرو نتیجه است. حاصل را با حرف R نشان خواهیم داد، یعنی. F1=R. بدیهی است که فاصله h از مرکز کاهش قبلی O تا خط عمل حاصل را می توان از شرط |MOz|=hF1 =hFo، یعنی. h=|MOz|/Fo. فاصله h باید از نقطه O کنار گذاشته شود تا گشتاور جفت نیرو (F1, F`1) با گشتاور اصلی MOz منطبق شود (شکل 5.4، b). در نتیجه آوردن یک سیستم از نیروها به یک مرکز معین، موارد زیر ممکن است رخ دهد: (1) Fo≠0، MOz≠0. در این حالت، سیستم نیروها را می توان به یک نیرو (نتیجه) کاهش داد. در شکل نشان داده شده است. 5.4، c. (2) Fo≠0، MOz=0. در این حالت، سیستم نیروها به یک نیرو (نتیجه) کاهش می یابد که از یک مرکز کاهش معین عبور می کند. (3) Fo=0، MOz≠0. در این حالت سیستم نیروها معادل یک جفت نیرو است. (4) Fo=0، MOz=0. در این حالت، سیستم نیروهای مورد نظر معادل صفر است، یعنی نیروهای تشکیل دهنده سیستم متقابل هستند.

قضیه واریگنون

قضیه واریگنون. اگر سیستم صفحه نیروهای مورد بررسی به یک برآیند تقلیل یابد، آنگاه گشتاور این برآیند نسبت به هر نقطه برابر است با مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای سیستم داده شده نسبت به همان نقطه.فرض کنید که سیستم نیروها به یک R حاصل از نقطه O تقلیل می یابد. اکنون نقطه O 1 دیگری را به عنوان مرکز کاهش در نظر می گیریم. گشتاور اصلی (5.5) در مورد این نقطه برابر است با مجموع گشتاورهای همه نیروها: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). از طرف دیگر، ما M O1Z =M Olz (R)، (5.12) داریم زیرا ممان اصلی برای مرکز کاهش O برابر با صفر است (M Oz = 0). با مقایسه روابط (5.11) و (5.12)، ما M O1z (R) = åM OlZ (F k) به دست می آوریم. (5.13) و غیره با استفاده از قضیه Varignon می توان معادله خط عمل حاصل را پیدا کرد. اجازه دهید R 1 حاصل در نقطه ای O 1 با مختصات x و y اعمال شود (شکل 5.5) و بگذارید بردار اصلی F o و ممان اصلی M O در مرکز کاهش در مبدا شناخته شوند. از آنجایی که R 1 =F o، اجزای حاصل در امتداد محورهای x و y برابر با R lx =F Ox =F Ox i و R ly =F Oy =F oy j هستند. بر اساس قضیه وارینیون، گشتاور حاصل نسبت به مبدأ برابر است با ممان اصلی در مرکز کاهش در مبدا، یعنی Moz =M Oz (R 1) = xF Oy –yF Ox. (5.14). کمیت های M Oz، F Ox و Foy با حرکت نقطه اعمال حاصل در امتداد خط عمل آن تغییر نمی کنند؛ بنابراین، مختصات x و y در معادله (5.14) را می توان به عنوان مختصات فعلی خط مشاهده کرد. عمل حاصل بنابراین، معادله (5.14) معادله خط عمل حاصل است. وقتی F ox ≠0 می تواند به صورت y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox) بازنویسی شود.

شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها

شرط لازم و کافی برای تعادل سیستم نیروها برابری بردار اصلی و ممان اصلی به صفر است. برای یک سیستم صفحه ای از نیروها، این شرایط به شکل F o =åF k = 0، M Oz =åM oz (F k)=0، (5.15)، که در آن O یک نقطه دلخواه در صفحه عمل نیروها است. . دریافت می کنیم: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0، P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0، М Оz =åM Oz (F k) = M oz (F 1) + M oz (F 2) +… + M oz (F n) = 0، یعنی. برای تعادل یک سیستم سطحی نیروها، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی همه نیروها بر روی دو محور مختصات و مجموع جبری گشتاورهای همه نیروها نسبت به یک نقطه دلخواه برابر با صفر باشد. شکل دوم معادله تعادل برابری با صفر مجموع جبری گشتاورهای همه نیروها نسبت به هر سه نقطه ای است که روی یک خط مستقیم قرار ندارند.; åM Az (F k)=0، åM Bz (F k)=0، åM Cz (F k)=0، (5.17)، که در آن A، B و C نقاط نشان داده شده هستند. ضرورت تحقق این برابری ها از شرایط (5.15) ناشی می شود. بیایید کفایت آنها را ثابت کنیم. اجازه دهید فرض کنیم که همه برابری ها (5.17) برآورده می شوند. برابری لحظه اصلی به صفر در مرکز کاهش در نقطه A ممکن است یا اگر سیستم به نتیجه (R≠0) کاهش یابد و خط عمل آن از نقطه A عبور کند یا R=0 باشد. به طور مشابه، برابری لحظه اصلی به صفر نسبت به نقاط B و C به این معنی است که R≠0 و حاصل از هر دو نقطه عبور می کنند یا R=0. اما حاصل نمی تواند از تمام این سه نقطه A، B و C عبور کند (به شرطی که روی یک خط مستقیم قرار نگیرند). در نتیجه، تساوی (5.17) تنها زمانی امکان پذیر است که R = 0، یعنی سیستم نیروها در تعادل باشد. توجه داشته باشید که اگر نقاط A، B و C روی یک خط مستقیم قرار گیرند، تحقق شرایط (5.17) شرط کافی برای تعادل نخواهد بود - در این حالت، سیستم را می توان به نتیجه ای که خط عمل آن عبور می کند کاهش داد. از طریق این نقاط

شکل سوم معادلات تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها

شکل سوم معادلات تعادل برای یک سیستم صفحه ای از نیروها، برابری به صفر مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به هر دو نقطه و برابری صفر از مجموع جبری پیش بینی های همه است. نیروهای سیستم بر روی یک محور عمود بر خطی که از دو نقطه انتخاب شده عبور می کند. åM Az (F k) = 0، åM Bz (F k) = 0، åF kx = 0 (5.18) (محور x عمود بر قطعه A B نیست). نیاز به تحقق این برابری ها برای موازنه نیروها به شرح زیر مستقیماً از شرایط (5.15). بیایید مطمئن شویم که تحقق این شرایط برای تعادل قوا کافی است. از دو برابر اول، مانند مورد قبل، چنین بر می آید که اگر سیستمی از نیروها برآیند داشته باشد، خط عمل آن از نقاط A و B می گذرد (شکل 5.7). سپس برآمده بر روی محور x که عمود بر قطعه AB نیست، با صفر متفاوت خواهد بود. اما این احتمال توسط معادله سوم (5.18) منتفی است زیرا R x =åF hx). بنابراین، حاصل باید برابر با صفر باشد و سیستم در حالت تعادل باشد. اگر محور x بر پاره AB عمود باشد، معادلات (18/5) شرایط تعادل کافی نخواهند داشت، زیرا در این حالت سیستم ممکن است برآیندی داشته باشد که خط عمل آن از نقاط A و B می گذرد. ​​بنابراین، سیستم تعادل معادلات ممکن است شامل یک معادله گشتاور و دو معادله برآمدگی، یا دو معادله گشتاور و یک معادله برآمدگی، یا سه معادله گشتاور باشد. بگذارید خطوط عمل همه نیروها با محور y موازی باشند (شکل 4.8). سپس معادلات تعادل برای سیستم نیروهای موازی مورد بررسی åF ky =0، åM Oz (F k)=0.(5.19) خواهد بود. åM Az (F k)=0، åM Bz (F k)=0، (5.20) و نقاط A و B نباید روی یک خط مستقیم موازی با محور y قرار بگیرند. سیستمی از نیروهایی که بر یک جسم جامد وارد می‌شوند می‌توانند هم از نیروهای متمرکز (منزوی) و هم از نیروهای توزیع شده تشکیل شوند. نیروها در امتداد یک خط، روی سطح و بر حجم یک جسم توزیع می شوند.

تعادل جسم در حضور اصطکاک لغزشی

اگر دو جسم I و II (شکل 6.1) با یکدیگر تعامل داشته باشند و در نقطه A تماس داشته باشند، همیشه واکنش R A که مثلاً از جسم II عمل می کند و به جسم I اعمال می شود، می تواند به دو جزء تجزیه شود: N A، در امتداد نرمال مشترک به سطح اجسام در تماس در نقطه A، و T A واقع در صفحه مماس هدایت می شود. جزء N A واکنش عادی نامیده می شود، نیروی T A نیروی اصطکاک لغزشی نامیده می شود - از لغزش جسم I بر روی جسم II جلوگیری می کند. مطابق با اصل 4 (قانون سوم نیوتن)، نیروی واکنشی با قدر مساوی و جهت مخالف جسم I بر جسم II وارد می شود. جزء آن عمود بر صفحه مماس نیروی فشار عادی نامیده می شود. اگر سطوح تماس کاملاً صاف باشند، نیروی اصطکاک T A = 0. در شرایط واقعی، سطوح ناهموار هستند و در بسیاری از موارد نمی توان از نیروی اصطکاک چشم پوشی کرد. حداکثر نیروی اصطکاک تقریباً متناسب با فشار معمولی است، یعنی T max = fN. (6.3) - قانون آمونتون-کولن. ضریب f را ضریب اصطکاک لغزشی می گویند. مقدار آن به مساحت سطوح تماس بستگی ندارد، بلکه به مواد و درجه زبری سطوح در تماس بستگی دارد. نیروی اصطکاک را می توان از فرمول T=fN فقط در صورتی محاسبه کرد که یک مورد بحرانی رخ دهد. در موارد دیگر، نیروی اصطکاک باید از معادلات تعیین شود. شکل واکنش R را نشان می دهد (در اینجا نیروهای فعال تمایل دارند بدن را به سمت راست حرکت دهند). زاویه j بین واکنش محدود کننده R و حالت عادی به سطح را زاویه اصطکاک می گویند. tgj=T max /N=f.

مکان هندسی از همه جهت های ممکنواکنش محدود کننده R یک سطح مخروطی - یک مخروط اصطکاک را تشکیل می دهد (شکل 6.6، b). اگر ضریب اصطکاک f در همه جهات یکسان باشد، مخروط اصطکاک دایره ای خواهد بود. در مواردی که ضریب اصطکاک f به جهت حرکت احتمالی جسم بستگی دارد، مخروط اصطکاک دایره ای نخواهد بود. اگر حاصل نیروهای فعال. داخل مخروط اصطکاک است، پس افزایش مدول آن نمی تواند تعادل بدن را به هم بزند. برای اینکه جسم شروع به حرکت کند، لازم است (و کافی است) که حاصل نیروهای فعال F خارج از مخروط اصطکاک باشد. بیایید اصطکاک اجسام قابل انعطاف را در نظر بگیریم (شکل 6.8). فرمول اویلر به یافتن کوچکترین نیروی P که می تواند نیروی Q را متعادل کند کمک می کند. P=Qe -fj*. همچنین می‌توانید نیروی P را پیدا کنید که بتواند مقاومت اصطکاکی را همراه با نیروی Q غلبه کند. در این حالت، فقط علامت f در فرمول اویلر تغییر می‌کند: P=Qe fj*.

تعادل جسم در حضور اصطکاک غلتشی

اجازه دهید یک استوانه (غلتک) را در نظر بگیریم که روی یک صفحه افقی قرار دارد، زمانی که نیروی فعال افقی S بر روی آن اثر می گذارد. علاوه بر آن، نیروی گرانش P، ​​و همچنین واکنش عادی N و نیروی اصطکاک T نیز عمل می کند (شکل 6.10، a). در یک مدول نیروی به اندازه کافی کوچک S، سیلندر در حالت استراحت باقی می ماند. اما اگر با معرفی نیروهای نشان داده شده در شکل قانع باشیم این واقعیت قابل توضیح نیست. 6.10، الف. بر اساس این طرح، تعادل غیرممکن است، زیرا لحظه اصلی تمام نیروهای وارد بر سیلندر M Cz = –Sr غیر صفر است و یکی از شرایط تعادل برآورده نمی شود. دلیل این اختلاف این است که ما این جسم را کاملاً جامد تصور می کنیم و فرض می کنیم که تماس استوانه با سطح در امتداد یک ژنراتیکس اتفاق می افتد. برای از بین بردن اختلاف ذکر شده بین تئوری و آزمایش، لازم است که فرضیه یک جسم کاملاً صلب را کنار بگذاریم و در نظر بگیریم که در واقع استوانه و صفحه نزدیک به نقطه C تغییر شکل داده اند و یک ناحیه تماس محدود وجود دارد. عرض در نتیجه، در قسمت راست آن، سیلندر سخت‌تر از سمت چپ فشرده می‌شود و واکنش کامل R در سمت راست نقطه C اعمال می‌شود (نقطه C 1 را در شکل 6.10، b ببینید). نمودار حاصل از نیروهای عامل از نظر استاتیکی رضایت بخش است، زیرا ممان جفت (S, T) را می توان با ممان جفت (N, P) متعادل کرد. بر خلاف طرح اول (شکل 6.10، a)، یک جفت نیرو با یک گشتاور M T = Nh (6.11) به سیلندر اعمال می شود. به این لحظه، لحظه اصطکاک غلتشی گفته می شود. h=Sr/، که h فاصله C تا C 1 است. (6.13). با افزایش مدول نیروی فعال S، فاصله h افزایش می یابد. اما این فاصله مربوط به سطح تماس است و بنابراین نمی تواند به طور نامحدود افزایش یابد. این به این معنی است که وقتی افزایش نیروی S منجر به عدم تعادل شود، حالتی ایجاد می شود. اجازه دهید حداکثر مقدار ممکن h را با حرف d نشان دهیم. مقدار d متناسب با شعاع سیلندر است و برای مواد مختلف متفاوت است. بنابراین، اگر تعادل رخ دهد، آنگاه شرط برقرار است: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

مرکز نیروهای موازی

شرایط برای آوردن یک سیستم از نیروهای موازی به یک نیروی حاصل به یک نابرابری F≠0 کاهش می یابد. اگر نقاط اعمال این نیروها بدون تغییر باقی بمانند و چرخش خطوط عمل نیروها حول محورهای موازی اتفاق بیفتد، وقتی خطوط عمل این نیروهای موازی به طور همزمان با یک زاویه می چرخند، چه اتفاقی برای R حاصل می افتد. در این شرایط، برآیند یک سیستم معین از نیروها نیز به طور همزمان در همان زاویه می چرخد ​​و چرخش حول یک نقطه ثابت خاص که مرکز نیروهای موازی نامیده می شود، رخ می دهد. بریم سراغ اثبات این گفته. فرض کنید برای سیستم نیروهای موازی F 1 , F 2 ,...,F n مورد بررسی، بردار اصلی برابر با صفر نیست، بنابراین، این سیستم نیروها به نتیجه کاهش می یابد. بگذارید نقطه O 1 هر نقطه ای از خط عمل این نتیجه باشد. اکنون r بردار شعاع نقطه 0 1 نسبت به قطب انتخاب شده O باشد، a r k بردار شعاع نقطه اعمال نیروی F k باشد (شکل 8.1). طبق قضیه وارینیون، مجموع گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به نقطه 0 1 برابر با صفر است: å(r k –r)xF k = 0، یعنی. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. اجازه دهید یک واحد بردار e را معرفی کنیم، سپس هر نیروی F k را می توان به صورت F k =F * k e نشان داد (که در آن F * k =F h، اگر جهت نیروی F h و بردار e منطبق باشند، و F * k = -F h، اگر F k و e مخالف یکدیگر باشند). åF k =eåF * k . دریافت می کنیم: år k xF * k e–rxeåF * k = 0، از آنجا [år k F * k –råF * k ]xe=0. آخرین برابری برای هر جهت نیروها (یعنی جهت بردار واحد e) فقط در شرایطی برآورده می شود که اولین عامل برابر با صفر باشد: år k F * k –råF * k = 0. این معادله با توجه به بردار شعاع r یک راه حل منحصر به فرد دارد که نقطه ای از کاربرد حاصل را تعیین می کند که با چرخش خطوط عمل نیروها موقعیت خود را تغییر نمی دهد. این نقطه مرکز نیروهای موازی است. نشان دادن بردار شعاع مرکز نیروهای موازی از طریق rc: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 + F * 2 +… + F * n). فرض کنید x с, у с, z с – مختصات مرکز نیروهای موازی, a x k, y k, z k – مختصات نقطه اعمال نیروی دلخواه F k. سپس مختصات مرکز نیروهای موازی را می توان از فرمول ها پیدا کرد:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n , y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)، z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

عبارات x k F * k , y k F * k , z k F * k به ترتیب گشتاورهای ساکن یک سیستم معین از نیروها نسبت به صفحات مختصات yOz، xOz، xOy نامیده می شوند. اگر مبدأ مختصات در مرکز نیروهای موازی انتخاب شود، x c = y c = z c = 0، و گشتاورهای ساکن یک سیستم معین از نیروها برابر با صفر است.

مرکز گرانش

بدنه ای با شکل دلخواه واقع در یک میدان گرانش را می توان با بخش های موازی با صفحات مختصات به حجم های اولیه تقسیم کرد (شکل 8.2). اگر اندازه جسم را نسبت به شعاع زمین نادیده بگیریم، نیروهای گرانشی وارد بر هر حجم اولیه را می توان موازی با یکدیگر در نظر گرفت. اجازه دهید حجم یک متوازی الاضلاع ابتدایی با مرکز در نقطه M k را با DV k نشان دهیم (شکل 8.2 را ببینید)، و نیروی گرانش وارد بر این عنصر را با DP k نشان دهیم. سپس وزن مخصوص متوسط ​​یک عنصر حجمی را نسبت DP k /DV k می نامند. با انقباض متوازی الاضلاع به نقطه M k، وزن مخصوص را در یک نقطه معین از بدن به عنوان حد وزن مخصوص متوسط ​​g(xk, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10) بدست می آوریم. بنابراین، وزن مخصوص تابعی از مختصات است، یعنی. g=g(x,y, z). فرض می کنیم که همراه با ویژگی های هندسی جسم، وزن مخصوص در هر نقطه از بدن نیز آورده شده است. بیایید به شکستن بدن به حجم های ابتدایی برگردیم. اگر حجم آن عناصری را که با سطح جسم هم مرز هستند کنار بگذاریم، می توانیم جسمی پلکانی متشکل از مجموعه ای از متوازی الاضلاع به دست آوریم. اجازه دهید نیروی گرانش را به مرکز هر متوازی الاضلاع DP k =g k DV k اعمال کنیم، جایی که g h گرانش مخصوص در نقطه ای از بدن است که با مرکز متوازی الاضلاع منطبق است. برای سیستمی متشکل از n نیروی گرانش موازی که به این ترتیب تشکیل شده است، می توان مرکز نیروهای موازی r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 + را پیدا کرد. …+r n DP n) / (DP 1 +DP 2 +…+DP n). این فرمول موقعیت یک نقطه خاص C n را تعیین می کند. مرکز ثقل نقطه ای است که نقطه حدی برای نقاط C n در n®µ است.

استاتیکشاخه ای از مکانیک نظری است که در آن شرایط تعادل اجسام مادی تحت تأثیر نیروها بررسی می شود.

در استاتیک، حالت تعادل به عنوان حالتی درک می شود که در آن تمام قسمت های یک سیستم مکانیکی در حالت سکون هستند (نسبت به یک سیستم مختصات ثابت). اگرچه روش‌های استاتیک برای اجسام متحرک نیز کاربرد دارند و با کمک آنها می‌توان مسائل دینامیک را بررسی کرد، اما اهداف اصلی مطالعه استاتیک، اجسام و سیستم‌های مکانیکی ساکن هستند.

زوراندازه گیری تأثیر یک بدن بر بدن دیگر است. نیرو بردار است که در سطح بدن نقطه اعمال دارد. تحت تأثیر یک نیرو، جسم آزاد شتابی متناسب با بردار نیرو و نسبت معکوس با جرم جسم دریافت می کند.

قانون برابری کنش و واکنش

نیرویی که جسم اول بر جسم دوم وارد می کند از نظر قدر مطلق برابر است و از نظر جهت مخالف نیرویی است که جسم دوم بر جسم اول وارد می کند.

اصل سخت شدن

اگر جسم تغییر شکل پذیر در حالت تعادل باشد، اگر جسم کاملاً جامد در نظر گرفته شود، تعادل آن به هم نمی خورد.

استاتیک یک نقطه مادی

اجازه دهید یک نقطه مادی را در نظر بگیریم که در حالت تعادل است. و اجازه دهید n نیرو بر روی آن عمل کنند، k = 1، 2، ...، n.

اگر نقطه مادی در حالت تعادل باشد، مجموع بردار نیروهای وارد بر آن برابر با صفر است:
(1) .

در حالت تعادل، مجموع هندسی نیروهای وارد بر یک نقطه صفر است.

تفسیر هندسی. اگر ابتدای بردار دوم را در انتهای بردار اول قرار دهید و ابتدای بردار سوم را در انتهای بردار دوم قرار دهید و سپس این روند را ادامه دهید، انتهای بردار آخر، nامین بردار تراز می شود. با شروع اولین بردار یعنی یک شکل هندسی بسته به دست می آوریم، طول اضلاع برابر با ماژول های بردارها است. اگر همه بردارها در یک صفحه قرار گیرند، یک چندضلعی بسته به دست می‌آید.

اغلب انتخاب راحت است سیستم مختصات مستطیلی Oxyz. سپس مجموع پیش بینی های تمام بردارهای نیرو روی محورهای مختصات برابر با صفر است:

اگر هر جهتی را انتخاب کنید که توسط برخی از بردارها مشخص شده است، مجموع پیش بینی های بردارهای نیرو بر روی این جهت برابر با صفر است:
.
بیایید معادله (1) را به صورت اسکالار در بردار ضرب کنیم:
.
در اینجا حاصل ضرب اسکالر بردارها و .
توجه داشته باشید که پیش بینی بردار بر روی جهت بردار با فرمول تعیین می شود:
.

استاتیک بدنه سفت و سخت

لحظه نیرو در مورد یک نقطه

تعیین لحظه نیرو

یک لحظه قدرتبه جسم در نقطه A، نسبت به مرکز ثابت O اعمال می شود، بردار برابر با حاصلضرب بردارها نامیده می شود و:
(2) .

تفسیر هندسی

ممان نیرو برابر است با حاصل ضرب نیروی F و بازوی OH.

بگذارید بردارها و در صفحه ترسیم قرار گیرند. با توجه به ویژگی حاصلضرب بردار، بردار عمود بر بردارها و یعنی عمود بر صفحه ترسیم است. جهت آن توسط قانون پیچ درست تعیین می شود. در شکل بردار گشتاور به سمت ما هدایت شده است. مقدار گشتاور مطلق:
.
از آن به بعد
(3) .

با استفاده از هندسه می توان تفسیر متفاوتی از لحظه نیرو ارائه داد. برای این کار یک خط مستقیم AH از بردار نیرو رسم کنید. از مرکز O، OH عمود بر این خط مستقیم را پایین می آوریم. طول این عمود را می گویند شانه قدرت. سپس
(4) .
از آنجایی که فرمول (3) و (4) معادل هستند.

بدین ترتیب، مقدار مطلق لحظه نیرونسبت به مرکز O برابر است با حاصل ضرب نیرو به ازای هر شانهاین نیرو نسبت به مرکز انتخاب شده O.

هنگام محاسبه گشتاور، اغلب راحت است که نیرو را به دو جزء تجزیه کنید:
,
جایی که . نیرو از نقطه O عبور می کند. بنابراین لحظه آن صفر است. سپس
.
مقدار گشتاور مطلق:
.

اجزای ممان در یک سیستم مختصات مستطیلی

اگر یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را با مرکز در نقطه O انتخاب کنیم، آنگاه ممان نیرو دارای اجزای زیر خواهد بود:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
در اینجا مختصات نقطه A در سیستم مختصات انتخاب شده آمده است:
.
مولفه ها به ترتیب مقادیر لحظه نیرو در مورد محورها را نشان می دهند.

ویژگی های لحظه نیرو نسبت به مرکز

گشتاور مربوط به مرکز O در اثر نیرویی که از این مرکز می گذرد برابر با صفر است.

اگر نقطه اعمال نیرو در امتداد خطی که از بردار نیرو می گذرد حرکت کند، لحظه با چنین حرکتی تغییر نخواهد کرد.

گشتاور حاصل از مجموع بردار نیروهای وارد شده به یک نقطه از بدن برابر است با مجموع بردار گشتاورهای هر یک از نیروهای اعمال شده به همان نقطه:
.

همین امر در مورد نیروهایی که خطوط ادامه آنها در یک نقطه قطع می شوند صدق می کند.

اگر مجموع بردار نیروها صفر باشد:
,
پس مجموع گشتاورهای حاصل از این نیروها به موقعیت مرکز نسبت به محاسبه گشتاورها بستگی ندارد:
.

چند نیرو

چند نیرو- این دو نیرو هستند که در قدر مطلق برابر و دارای جهت مخالف هستند که به نقاط مختلف بدن اعمال می شوند.

یک جفت نیرو با لحظه ای که ایجاد می کنند مشخص می شود. از آنجایی که مجموع بردار نیروهای وارد شده به جفت صفر است، گشتاور ایجاد شده توسط جفت به نقطه ای که ممان نسبت به آن محاسبه می شود بستگی ندارد. از نقطه نظر تعادل استاتیکی، ماهیت نیروهای درگیر در جفت اهمیتی ندارد. از چند نیرو برای نشان دادن اینکه یک لحظه نیرویی با مقدار معینی بر روی جسم اثر می گذارد استفاده می شود.

گشتاور نیرو حول یک محور معین

اغلب مواردی وجود دارد که لازم نیست همه مولفه های گشتاور یک نیرو را در مورد یک نقطه انتخاب شده بدانیم، بلکه فقط نیاز به دانستن گشتاور نیرو در مورد یک محور انتخابی داریم.

گشتاور نیرو حول محوری که از نقطه O عبور می کند، پیش بینی بردار لحظه نیرو، نسبت به نقطه O، بر روی جهت محور است.

خواص ممان نیرو حول محور

گشتاور حول محور در اثر نیروی عبوری از این محور برابر با صفر است.

گشتاور حول محور ناشی از نیروی موازی با این محور برابر با صفر است.

محاسبه گشتاور نیرو حول یک محور

بگذارید نیرویی در نقطه A بر جسم وارد شود. بیایید لحظه این نیرو را نسبت به محور O'O' پیدا کنیم.

بیایید یک سیستم مختصات مستطیلی بسازیم. اجازه دهید محور Oz منطبق بر O'O′′ باشد. از نقطه A عمود OH را به O′O′′ پایین می آوریم. از طریق نقاط O و A محور Ox را رسم می کنیم. محور Oy را عمود بر Ox و Oz رسم می کنیم. اجازه دهید نیرو را به اجزایی در امتداد محورهای سیستم مختصات تجزیه کنیم:
.
نیرو محور O'O' را قطع می کند. بنابراین لحظه آن صفر است. نیرو موازی با محور O'O' است. بنابراین ممان آن نیز صفر است. با استفاده از فرمول (5.3) متوجه می شویم:
.

توجه داشته باشید که جزء مماس به دایره ای است که مرکز آن نقطه O است. جهت بردار توسط قانون پیچ راست تعیین می شود.

شرایط تعادل یک جسم صلب

در حالت تعادل، مجموع بردار تمام نیروهای وارد بر جسم برابر با صفر و مجموع بردار گشتاورهای این نیروها نسبت به یک مرکز ثابت دلخواه برابر با صفر است:
(6.1) ;
(6.2) .

ما تأکید می کنیم که مرکز O را می توان به طور دلخواه انتخاب کرد. نقطه O می تواند متعلق به بدن باشد یا خارج از آن قرار گیرد. معمولاً مرکز O برای ساده‌تر کردن محاسبات انتخاب می‌شود.

شرایط تعادل را می توان به شکل دیگری فرموله کرد.

در حالت تعادل، مجموع پیش بینی نیروها در هر جهتی که توسط یک بردار دلخواه مشخص شده است برابر با صفر است:
.
مجموع گشتاورهای نیرو نسبت به یک محور دلخواه O'O′′ نیز برابر با صفر است:
.

گاهی اوقات چنین شرایطی راحت تر است. مواردی وجود دارد که با انتخاب محورها می توان محاسبات را ساده تر کرد.

مرکز ثقل بدن

بیایید یکی از مهمترین نیروها - گرانش را در نظر بگیریم. در اینجا نیروها در نقاط خاصی از بدن اعمال نمی شوند، بلکه به طور مداوم در سراسر حجم آن توزیع می شوند. برای هر ناحیه از بدن با حجم بی نهایت کوچک ΔV، نیروی گرانش عمل می کند. در اینجا ρ چگالی ماده بدن است و شتاب گرانش است.

بگذارید جرم یک قسمت بی نهایت کوچک از بدن باشد. و بگذارید نقطه A k موقعیت این بخش را مشخص کند. بیایید کمیت های مربوط به گرانش را که در معادلات تعادل گنجانده شده اند پیدا کنیم (6).

بیایید مجموع نیروهای گرانشی تشکیل شده توسط تمام قسمت های بدن را پیدا کنیم:
,
توده بدن کجاست بنابراین، مجموع نیروهای گرانشی بخش های بی نهایت کوچک بدن را می توان با یک بردار نیروی گرانشی کل بدن جایگزین کرد:
.

اجازه دهید مجموع لحظات گرانش را به روشی نسبتاً دلخواه برای مرکز انتخاب شده O پیدا کنیم:

.
در اینجا نقطه C را معرفی کرده ایم که به آن می گویند مرکز گرانشبدن. موقعیت مرکز ثقل، در یک سیستم مختصات در مرکز نقطه O، با فرمول تعیین می شود:
(7) .

بنابراین، هنگام تعیین تعادل ایستا، مجموع نیروهای گرانش تک تک اجزای بدن را می توان با نتیجه جایگزین کرد.
,
به مرکز جرم جسم C که موقعیت آن با فرمول (7) تعیین می شود اعمال می شود.

موقعیت مرکز ثقل برای اشکال هندسی مختلف را می توان در کتاب های مرجع مربوطه یافت. اگر جسمی دارای یک محور یا صفحه تقارن باشد، مرکز ثقل روی این محور یا صفحه قرار دارد. بنابراین، مراکز ثقل یک کره، دایره یا دایره در مرکز دایره های این شکل ها قرار دارند. مراکز ثقل یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مستطیل یا مربع نیز در مراکز آنها - در نقاط تقاطع مورب ها قرار دارد.

بار توزیع شده یکنواخت (A) و خطی (B).

همچنین مواردی مشابه گرانش وجود دارد، زمانی که نیروها در نقاط خاصی از بدن اعمال نمی شوند، اما به طور مداوم در سطح یا حجم آن توزیع می شوند. چنین نیروهایی نامیده می شوند نیروهای توزیع شدهیا .

(شکل A). همچنین، همانطور که در مورد گرانش، می توان آن را با یک نیروی حاصل از قدر، که در مرکز ثقل نمودار اعمال می شود، جایگزین کرد. از آنجایی که نمودار در شکل A یک مستطیل است، مرکز ثقل نمودار در مرکز آن قرار دارد - نقطه C: | AC| = | CB|.

(شکل B). همچنین می توان آن را با نتیجه جایگزین کرد. بزرگی حاصل برابر با مساحت نمودار است:
.
نقطه کاربرد در مرکز ثقل نمودار است. مرکز ثقل مثلث، ارتفاع h، در فاصله ای از قاعده قرار دارد. از همین رو .

نیروهای اصطکاک

اصطکاک لغزشی. بگذارید بدن روی یک سطح صاف باشد. و نیروی عمود بر سطحی باشد که سطح با آن روی بدنه اثر می کند (نیروی فشار). سپس نیروی اصطکاک لغزشی به موازات سطح و به طرفین هدایت می شود و از حرکت بدنه جلوگیری می کند. بزرگترین ارزش آن این است:
,
که در آن f ضریب اصطکاک است. ضریب اصطکاک یک کمیت بدون بعد است.

اصطکاک نورد. اجازه دهید یک بدن گرد شکل بچرخد یا بتوانید روی سطح بغلتانید. و بگذارید نیروی فشار عمود بر سطحی باشد که سطح از آن روی بدنه اثر می گذارد. سپس یک لحظه نیروهای اصطکاک بر روی بدنه، در نقطه تماس با سطح، وارد شده و از حرکت بدن جلوگیری می کند. بیشترین مقدار ممان اصطکاک برابر است با:
,
جایی که δ ضریب اصطکاک غلتشی است. ابعاد طول دارد.

منابع:
S. M. Targ، دوره کوتاه مکانیک نظری، "دبیرستان"، 2010.

به عنوان بخشی از هر دوره آموزشی، مطالعه فیزیک با مکانیک آغاز می شود. نه از نظر تئوری، نه از لحاظ کاربردی یا محاسباتی، بلکه از مکانیک کلاسیک خوب قدیمی. به این مکانیک مکانیک نیوتنی نیز می گویند. طبق افسانه ها، دانشمندی در باغ قدم می زد و سیبی را در حال افتادن دید و همین پدیده بود که او را بر آن داشت تا قانون گرانش جهانی را کشف کند. البته قانون همیشه وجود داشته است و نیوتن فقط شکلی به آن می دهد که برای مردم قابل درک باشد، اما شایستگی او گران بها است. در این مقاله ما قوانین مکانیک نیوتنی را تا حد امکان با جزئیات شرح نمی دهیم، اما اصول، دانش پایه، تعاریف و فرمول هایی را که همیشه می تواند در دستان شما باشد را بیان می کنیم.

مکانیک شاخه ای از فیزیک است، علمی که به بررسی حرکت اجسام مادی و برهم کنش بین آنها می پردازد.

این کلمه خود ریشه یونانی دارد و به عنوان "هنر ساخت ماشین آلات" ترجمه شده است. اما قبل از ساختن ماشین‌ها، ما هنوز مانند ماه هستیم، پس بیایید رد پای اجدادمان را دنبال کنیم و حرکت سنگ‌هایی که در زاویه به افق پرتاب می‌شوند و سیب‌هایی که از ارتفاع h روی سرمان می‌افتند را مطالعه کنیم.


چرا مطالعه فیزیک با مکانیک شروع می شود؟ چون این کاملا طبیعی است، آیا نباید از تعادل ترمودینامیکی شروع کنیم؟!

مکانیک یکی از قدیمی ترین علوم است و از نظر تاریخی مطالعه فیزیک دقیقاً با مبانی مکانیک آغاز شد. افراد در چارچوب زمان و مکان قرار گرفته اند، در واقع هر چقدر هم که بخواهند نمی توانند با چیز دیگری شروع کنند. اجسام متحرک اولین چیزی است که به آن توجه می کنیم.

حرکت چیست؟

حرکت مکانیکی تغییر موقعیت اجسام در فضا نسبت به یکدیگر در طول زمان است.

پس از این تعریف است که به طور کاملا طبیعی به مفهوم چارچوب مرجع می رسیم. تغییر موقعیت اجسام در فضا نسبت به یکدیگر.کلمات کلیدی در اینجا: نسبت به یکدیگر . بالاخره یک مسافر در ماشین نسبت به شخصی که در کنار جاده ایستاده است با سرعت مشخصی حرکت می کند و نسبت به همسایه خود در صندلی کناری خود استراحت می کند و با سرعت دیگری نسبت به مسافر حرکت می کند. در ماشینی که از آنها سبقت می گیرد.


به همین دلیل است که برای اینکه به طور معمول پارامترهای اجسام متحرک را اندازه گیری کنیم و گیج نشویم، نیاز داریم سیستم مرجع - بدنه مرجع، سیستم مختصات و ساعت به طور محکم به هم پیوسته است. به عنوان مثال، زمین به دور خورشید در یک چارچوب مرجع هلیوسنتریک حرکت می کند. در زندگی روزمره، ما تقریباً تمام اندازه گیری های خود را در یک سیستم مرجع زمین مرکزی مرتبط با زمین انجام می دهیم. زمین مرجعی است که ماشین ها، هواپیماها، انسان ها و حیوانات به آن حرکت می کنند.


مکانیک به عنوان یک علم وظیفه خاص خود را دارد. وظیفه مکانیک این است که در هر زمان موقعیت جسم را در فضا بداند. به عبارت دیگر، مکانیک یک توصیف ریاضی از حرکت می‌سازد و بین کمیت‌های فیزیکی که آن را مشخص می‌کند، ارتباط پیدا می‌کند.

برای حرکت بیشتر، ما به مفهوم "نیاز داریم" نقطه مادی " آنها می گویند که فیزیک یک علم دقیق است، اما فیزیکدانان می دانند که چقدر باید تقریب ها و فرضیات انجام شود تا در مورد این دقت به توافق برسند. هیچ کس تا به حال نقطه مادی را ندیده یا بوی گاز ایده آلی را حس نکرده است، اما وجود دارند! زندگی با آنها بسیار ساده تر است.

نقطه مادی جسمی است که در این مشکل می توان از اندازه و شکل آن چشم پوشی کرد.

بخش های مکانیک کلاسیک

مکانیک از چندین بخش تشکیل شده است

  • سینماتیک
  • پویایی شناسی
  • استاتیک

سینماتیکاز نقطه نظر فیزیکی، دقیقاً چگونگی حرکت بدن را مطالعه می کند. به عبارت دیگر، این بخش به ویژگی های کمی حرکت می پردازد. پیدا کردن سرعت، مسیر - مسائل سینماتیک معمولی

پویایی شناسیاین سوال را حل می کند که چرا به این شکل حرکت می کند. یعنی نیروهای وارد بر جسم را در نظر می گیرد.

استاتیکتعادل اجسام تحت تأثیر نیروها را مطالعه می کند ، یعنی به این سؤال پاسخ می دهد: چرا اصلاً سقوط نمی کند؟

محدودیت های کاربرد مکانیک کلاسیک.

مکانیک کلاسیک دیگر ادعا نمی کند که علمی است که همه چیز را توضیح می دهد (در آغاز قرن گذشته همه چیز کاملاً متفاوت بود) و چارچوب روشنی برای کاربرد دارد. به طور کلی، قوانین مکانیک کلاسیک در دنیایی که ما به آن عادت کرده‌ایم از نظر اندازه (ماکرو جهان) معتبر هستند. زمانی که مکانیک کوانتومی جایگزین مکانیک کلاسیک می شود، آنها در مورد دنیای ذرات کار خود را متوقف می کنند. همچنین مکانیک کلاسیک در مواردی که حرکت اجسام با سرعتی نزدیک به سرعت نور اتفاق می افتد قابل اجرا نیست. در چنین مواردی، اثرات نسبیتی برجسته می شود. به طور کلی، در چارچوب مکانیک کوانتومی و نسبیتی - مکانیک کلاسیک، این یک مورد خاص است که ابعاد بدن بزرگ و سرعت کوچک باشد. می توانید از مقاله ما بیشتر در مورد آن بیاموزید.


به طور کلی، اثرات کوانتومی و نسبیتی هرگز از بین نمی روند، آنها همچنین در طول حرکت معمولی اجسام ماکروسکوپی با سرعتی بسیار کمتر از سرعت نور رخ می دهند. نکته دیگر این است که تأثیر این تأثیرات آنقدر کم است که از دقیق ترین اندازه گیری ها فراتر نمی رود. بنابراین مکانیک کلاسیک هرگز اهمیت اساسی خود را از دست نخواهد داد.

در مقالات بعدی به بررسی مبانی فیزیکی مکانیک ادامه خواهیم داد. برای درک بهتر مکانیک، همیشه می توانید به آنها مراجعه کنید، که به صورت جداگانه بر روی نقطه تاریک دشوارترین کار روشن می شود.

مکانیک نظریبخشی از مکانیک است که قوانین اساسی حرکت مکانیکی و برهمکنش مکانیکی اجسام مادی را تعیین می کند.

مکانیک نظری علمی است که به بررسی حرکت اجسام در طول زمان (حرکات مکانیکی) می پردازد. این به عنوان پایه ای برای سایر شاخه های مکانیک (نظریه ارتجاعی، استحکام مواد، نظریه پلاستیسیته، نظریه مکانیسم ها و ماشین ها، هیدروآئرودینامیک) و بسیاری از رشته های فنی عمل می کند.

حرکت مکانیکی- این تغییر در طول زمان در موقعیت نسبی در فضای اجسام مادی است.

تعامل مکانیکی- این فعل و انفعالی است که در نتیجه حرکت مکانیکی تغییر می کند یا موقعیت نسبی اعضای بدن تغییر می کند.

استاتیک بدنه سفت و سخت

استاتیکبخشی از مکانیک نظری است که به مسائل تعادل اجسام جامد و تبدیل یک سیستم نیرو به سیستم دیگر معادل آن می پردازد.

    مفاهیم و قوانین اساسی استاتیک
  • بدنه کاملا سفت(جسم جامد، جسم) جسم مادی است که فاصله بین هیچ نقطه ای در آن تغییر نمی کند.
  • نقطه مادیجسمی است که با توجه به شرایط مشکل می توان ابعاد آن را نادیده گرفت.
  • بدن آزاد- این بدنه ای است که هیچ محدودیتی برای حرکت آن اعمال نمی شود.
  • بدن غیر آزاد (مقید).جسمی است که حرکت آن در معرض محدودیت است.
  • اتصالات- اینها اجسامی هستند که از حرکت جسم مورد نظر (جسم یا سیستم اجسام) جلوگیری می کنند.
  • واکنش ارتباطینیرویی است که عملکرد پیوند بر روی جسم جامد را مشخص می کند. اگر نیرویی که جسم جامد بر یک پیوند وارد می کند را یک عمل در نظر بگیریم، واکنش پیوند یک واکنش است. در این حالت نیرو - عمل به اتصال و واکنش اتصال به جسم جامد اعمال می شود.
  • سیستم مکانیکیمجموعه ای از اجسام به هم پیوسته یا نقاط مادی است.
  • جامدرا می توان به عنوان یک سیستم مکانیکی در نظر گرفت که موقعیت ها و فواصل بین نقاط آن تغییر نمی کند.
  • زورکمیت برداری است که عملکرد مکانیکی یک جسم مادی بر جسم دیگر را مشخص می کند.
    نیرو به عنوان یک بردار با نقطه اعمال، جهت عمل و قدر مطلق مشخص می شود. واحد مدول نیرو نیوتن است.
  • خط عمل نیرویک خط مستقیم است که بردار نیرو در امتداد آن هدایت می شود.
  • قدرت متمرکز- نیروی اعمال شده در یک نقطه
  • نیروهای توزیع شده (بار توزیع شده)- اینها نیروهایی هستند که بر تمام نقاط حجم، سطح یا طول جسم وارد می شوند.
    بار توزیع شده با نیروی وارد بر واحد حجم (سطح، طول) مشخص می شود.
    ابعاد بار توزیع شده N/m 3 (N/m 2، N/m) است.
  • نیروی خارجینیرویی است که از جسمی وارد می شود که به سیستم مکانیکی مورد بررسی تعلق ندارد.
  • قدرت درونینیرویی است که بر نقطه مادی یک سیستم مکانیکی از نقطه مادی دیگر متعلق به سیستم مورد نظر وارد می شود.
  • سیستم نیرومجموعه ای از نیروهایی است که بر یک سیستم مکانیکی وارد می شوند.
  • سیستم نیروی مسطحسیستمی از نیروها است که خطوط عمل آنها در یک صفحه قرار دارد.
  • سیستم فضایی نیروهاسیستمی از نیروها است که خطوط عمل آنها در یک صفحه قرار ندارد.
  • سیستم نیروهای همگراسیستمی از نیروهایی است که خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع می شود.
  • سیستم اختیاری نیروهاسیستمی از نیروها است که خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع نمی شود.
  • سیستم های نیروی معادل- اینها سیستم نیروها هستند که جایگزینی آنها با دیگری وضعیت مکانیکی بدن را تغییر نمی دهد.
    نام پذیرفته شده: .
  • تعادل- این حالتی است که در آن جسم تحت تأثیر نیروها بی حرکت می ماند یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت می کند.
  • سیستم متوازن نیروها- این سیستمی از نیروها است که وقتی به یک جسم جامد آزاد اعمال می شود، حالت مکانیکی آن را تغییر نمی دهد (آن را از تعادل خارج نمی کند).
    .
  • نیروی حاصلهنیرویی است که عمل آن بر جسم معادل عمل یک سیستم نیرو است.
    .
  • لحظه قدرتکمیتی است که توانایی چرخش یک نیرو را مشخص می کند.
  • چند نیرومنظومه ای از دو نیروی موازی با قدر مساوی و جهت مخالف است.
    نام پذیرفته شده: .
    تحت تأثیر یک جفت نیرو، بدن یک حرکت چرخشی انجام می دهد.
  • طرح ریزی نیرو بر روی محور- این قطعه ای است محصور بین عمودهای رسم شده از ابتدا و انتهای بردار نیرو به این محور.
    اگر جهت قطعه با جهت مثبت محور منطبق باشد، طرح ریزی مثبت است.
  • پرتاب نیرو به هواپیمابردار روی یک صفحه است که بین عمودهای رسم شده از ابتدا و انتهای بردار نیرو به این صفحه محصور شده است.
  • قانون 1 (قانون اینرسی).یک نقطه مادی جدا شده در حال سکون است یا به صورت یکنواخت و مستقیم حرکت می کند.
    حرکت یکنواخت و یکنواخت یک نقطه مادی حرکت با اینرسی است. حالت تعادل یک نقطه مادی و یک جسم صلب نه تنها به عنوان حالت سکون، بلکه به عنوان حرکت با اینرسی نیز درک می شود. برای یک جسم صلب، انواع مختلفی از حرکت با اینرسی وجود دارد، به عنوان مثال، چرخش یکنواخت یک جسم صلب حول یک محور ثابت.
  • قانون 2.یک جسم صلب تحت تأثیر دو نیرو فقط در صورتی در تعادل است که این نیروها از نظر قدر مساوی باشند و در جهت مخالف در امتداد یک خط عمل مشترک هدایت شوند.
    این دو نیرو را متعادل کننده می نامند.
    به طور کلی، اگر جسم جامدی که این نیروها به آن وارد می شود، در حالت سکون باشد، نیروها متعادل نامیده می شوند.
  • قانون 3.بدون ایجاد اختلال در وضعیت (کلمه "حالت" در اینجا به معنای حالت حرکت یا استراحت است) یک جسم صلب، می توان نیروهای متعادل کننده را اضافه کرد و رد کرد.
    نتیجه. بدون ایجاد اختلال در وضعیت جسم جامد، نیرو را می توان در طول خط عمل خود به هر نقطه ای از بدن منتقل کرد.
    دو سیستم نیرو در صورتی معادل نامیده می شوند که یکی از آنها با دیگری جایگزین شود بدون اینکه حالت جسم جامد مختل شود.
  • قانون 4.حاصل دو نیروی وارد شده در یک نقطه، اعمال شده در یک نقطه، از نظر بزرگی برابر است با قطر متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این نیروها، و در امتداد این جهت است.
    مورب ها
    مقدار مطلق حاصل برابر است با:
  • قانون 5 (قانون برابری کنش و واکنش). نیروهایی که دو جسم بر روی هم اثر می‌کنند از نظر قدر مساوی هستند و در جهت مخالف در امتداد یک خط مستقیم هدایت می‌شوند.
    باید در نظر داشت که عمل- نیرویی که به بدن وارد می شود ب، و مخالفت- نیرویی که به بدن وارد می شود آ، متعادل نیستند، زیرا برای بدن های مختلف اعمال می شوند.
  • قانون 6 (قانون انجماد). تعادل جسم غیر جامد هنگام جامد شدن به هم نمی خورد.
    نباید فراموش کرد که شرایط تعادلی که برای یک جسم جامد لازم و کافی است، برای جسم غیر جامد مربوطه ناکافی است.
  • قانون 7 (قانون رهایی از روابط).یک جسم جامد غیرآزاد را می توان آزاد در نظر گرفت که از نظر ذهنی از پیوندها رها شده باشد و عمل پیوندها را با واکنش های مربوط به پیوندها جایگزین کند.
    اتصالات و واکنش های آنها
  • سطح صافحرکت عادی به سطح تکیه گاه را محدود می کند. واکنش عمود بر سطح هدایت می شود.
  • تکیه گاه متحرک مفصلیحرکت طبیعی بدن را به صفحه مرجع محدود می کند. واکنش عادی به سطح پشتیبانی هدایت می شود.
  • پشتیبانی ثابت مفصلیهر حرکتی را در صفحه عمود بر محور چرخش خنثی می کند.
  • میله بدون وزن مفصلیحرکت بدن در امتداد خط میله را خنثی می کند. واکنش در امتداد خط میله هدایت می شود.
  • مهر کوربا هر حرکت و چرخشی در هواپیما مقابله می کند. عمل آن را می توان با نیرویی که به شکل دو جزء و یک جفت نیرو با یک لحظه نمایش داده می شود جایگزین کرد.

سینماتیک

سینماتیک- بخشی از مکانیک نظری که خصوصیات هندسی کلی حرکت مکانیکی را به عنوان فرآیندی که در فضا و زمان رخ می دهد بررسی می کند. اجسام متحرک به عنوان نقاط هندسی یا اجسام هندسی در نظر گرفته می شوند.

    مفاهیم اساسی سینماتیک
  • قانون حرکت یک نقطه (جسم)- این وابستگی موقعیت یک نقطه (جسم) در فضا به زمان است.
  • مسیر نقطه ای- این مکان هندسی یک نقطه در فضا در حین حرکت آن است.
  • سرعت یک نقطه (بدنه)- این مشخصه تغییر زمان موقعیت یک نقطه (جسم) در فضا است.
  • شتاب یک نقطه (بدنه)- این مشخصه تغییر زمان سرعت یک نقطه (جسم) است.
    تعیین ویژگی های سینماتیکی یک نقطه
  • مسیر نقطه ای
    در یک سیستم مرجع برداری، مسیر با عبارت: .
    در سیستم مرجع مختصات، مسیر توسط قانون حرکت نقطه تعیین می شود و با عبارات توصیف می شود. z = f(x,y)- در فضا، یا y = f(x)- داخل یک هواپیما.
    در یک سیستم مرجع طبیعی، مسیر از قبل مشخص شده است.
  • تعیین سرعت یک نقطه در سیستم مختصات برداری
    هنگام تعیین حرکت یک نقطه در یک سیستم مختصات برداری، نسبت حرکت به یک بازه زمانی را مقدار متوسط ​​سرعت در این بازه زمانی می گویند: .
    با در نظر گرفتن فاصله زمانی به عنوان یک مقدار بی نهایت کوچک، مقدار سرعت را در یک زمان معین به دست می آوریم (مقدار سرعت آنی): .
    بردار سرعت متوسط ​​در امتداد بردار در جهت حرکت نقطه هدایت می شود، بردار سرعت آنی به صورت مماس بر مسیر در جهت حرکت نقطه هدایت می شود.
    نتیجه: سرعت یک نقطه یک کمیت برداری برابر با مشتق زمانی قانون حرکت است.
    ویژگی مشتق: مشتق هر کمیت با توجه به زمان میزان تغییر این کمیت را تعیین می کند.
  • تعیین سرعت یک نقطه در یک سیستم مرجع مختصات
    میزان تغییر مختصات نقطه:
    .
    مدول سرعت کل یک نقطه با سیستم مختصات مستطیلی برابر با:
    .
    جهت بردار سرعت توسط کسینوس زوایای جهت تعیین می شود:
    ,
    زوایای بین بردار سرعت و محورهای مختصات کجا هستند.
  • تعیین سرعت یک نقطه در یک سیستم مرجع طبیعی
    سرعت یک نقطه در سیستم مرجع طبیعی به عنوان مشتق قانون حرکت نقطه تعریف می شود: .
    با توجه به نتایج قبلی، بردار سرعت به صورت مماس بر مسیر در جهت حرکت نقطه هدایت می شود و در محورها تنها با یک طرح ریزی تعیین می شود.
    سینماتیک بدن صلب
  • در سینماتیک اجسام صلب دو مشکل اصلی حل می شود:
    1) تنظیم حرکت و تعیین ویژگی های سینماتیک بدن به عنوان یک کل؛
    2) تعیین ویژگی های سینماتیک نقاط بدن.
  • حرکت انتقالی یک جسم صلب
    حرکت انتقالی حرکتی است که در آن خط مستقیمی که از دو نقطه جسم کشیده می شود موازی با موقعیت اصلی خود باقی می ماند.
    قضیه: در طول حرکت انتقالی، تمام نقاط بدن در امتداد مسیرهای یکسان حرکت می کنند و در هر لحظه از زمان اندازه و جهت سرعت و شتاب یکسانی دارند..
    نتیجه: حرکت انتقالی یک جسم صلب با حرکت هر یک از نقاط آن تعیین می شود و بنابراین، کار و مطالعه حرکت آن به سینماتیک نقطه کاهش می یابد..
  • حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت
    حرکت چرخشی جسم صلب حول یک محور ثابت حرکت جسم صلب است که در آن دو نقطه متعلق به جسم در تمام مدت حرکت بی حرکت می مانند.
    موقعیت بدن با زاویه چرخش تعیین می شود. واحد اندازه گیری زاویه رادیان است. (رادیان زاویه مرکزی یک دایره است که طول قوس آن برابر با شعاع است؛ زاویه کل دایره شامل 2πرادیان.)
    قانون حرکت چرخشی یک جسم حول یک محور ثابت.
    سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای بدن را با استفاده از روش تمایز تعیین می کنیم:
    - سرعت زاویه ای، راد در ثانیه؛
    - شتاب زاویه ای، راد/s².
    اگر بدن را با صفحه ای عمود بر محور تشریح می کنید، نقطه ای از محور چرخش را انتخاب کنید. باو یک نکته دلخواه م، سپس اشاره کنید محول یک نقطه توصیف خواهد کرد باشعاع دایره آر. در حین dtیک چرخش ابتدایی از طریق یک زاویه و نقطه وجود دارد مدر طول مسیر مسافتی حرکت خواهد کرد .
    ماژول سرعت خطی:
    .
    شتاب نقطه ای مبا یک مسیر مشخص، توسط اجزای آن تعیین می شود:
    ,
    جایی که .
    در نتیجه، فرمول ها را دریافت می کنیم
    شتاب مماسی: ;
    شتاب معمولی: .

پویایی شناسی

پویایی شناسیبخشی از مکانیک نظری است که در آن حرکات مکانیکی اجسام مادی بسته به عللی که باعث ایجاد آنها می شود مورد مطالعه قرار می گیرد.

    مفاهیم اساسی دینامیک
  • اینرسی- این خاصیت اجسام مادی است که تا زمانی که نیروهای خارجی این حالت را تغییر دهند، حالت استراحت یا حرکت یکنواخت یکنواخت را حفظ می کنند.
  • وزناندازه گیری کمی اینرسی یک جسم است. واحد جرم کیلوگرم (کیلوگرم) است.
  • نقطه مادی- این یک جسم با جرم است که در هنگام حل این مشکل از ابعاد آن غفلت می شود.
  • مرکز جرم یک سیستم مکانیکی- یک نقطه هندسی که مختصات آن با فرمول تعیین می شود:

    جایی که m k، x k، y k، z k- جرم و مختصات ک-آن نقطه از سیستم مکانیکی، متر- جرم سیستم
    در یک میدان گرانش یکنواخت، موقعیت مرکز جرم با موقعیت مرکز ثقل منطبق است.
  • ممان اینرسی جسم مادی نسبت به یک محوراندازه گیری کمی اینرسی در طول حرکت چرخشی است.
    ممان اینرسی یک نقطه مادی نسبت به محور برابر است با حاصل ضرب جرم نقطه در مجذور فاصله نقطه از محور:
    .
    ممان اینرسی سیستم (جسم) نسبت به محور برابر است با مجموع حسابی گشتاورهای اینرسی همه نقاط:
  • نیروی اینرسی یک نقطه مادییک کمیت برداری است که از نظر مدول برابر با حاصل ضرب جرم یک نقطه و مدول شتاب است و در مقابل بردار شتاب قرار دارد:
  • نیروی اینرسی جسم مادییک کمیت برداری است که از نظر مدول برابر با حاصل ضرب جرم بدن و مدول شتاب مرکز جرم بدن است و در مقابل بردار شتاب مرکز جرم قرار دارد:
    شتاب مرکز جرم بدن کجاست.
  • انگیزه اولیه نیرویک کمیت برداری برابر با حاصل ضرب بردار نیرو و یک دوره زمانی بینهایت کوچک است dt:
    .
    کل ضربه نیرو برای Δt برابر است با انتگرال تکانه های اولیه:
    .
  • کار اولیه نیرویک کمیت اسکالر است dA، برابر با proi اسکالر
با دوستان به اشتراک بگذارید یا برای خود ذخیره کنید:

بارگذاری...
ما مقالاتی را در این زمینه توصیه می کنیم
درخشان ترین ستارگان قابل مشاهده از زمین سیریوس، زهره هستند
درخشان ترین ستارگان قابل مشاهده از زمین سیریوس، زهره هستند
جوزف برادسکی - مجموعه آثار شعر غربی و روسی
جوزف برادسکی - مجموعه آثار شعر غربی و روسی
عملیات رزمی زیردریایی های آلمانی در طول جنگ جهانی دوم زیردریایی های ورماخت
عملیات رزمی زیردریایی های آلمانی در طول جنگ جهانی دوم زیردریایی های ورماخت