بیایید مثلث را با استفاده از فرمول هرون پیدا کنیم. مساحت یک مثلث. محاسبه مساحت چهار ضلعی ها

این فرمول به شما امکان می دهد مساحت یک مثلث را بر اساس اضلاع a، b و c آن محاسبه کنید:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с)،که در آن p نیمه محیط مثلث است، یعنی. p = (a + b + c)/2.
این فرمول از نام ریاضیدان یونان باستان، هرون اسکندریه (حدود قرن اول) نامگذاری شده است. هرون مثلث هایی با اضلاع صحیح در نظر گرفت که مساحت آنها نیز اعداد صحیح هستند. به این مثلث ها مثلث هرونی گفته می شود. به عنوان مثال، اینها مثلث هایی با ضلع های 13، 14، 15 یا 51، 52، 53 هستند.

آنالوگ هایی از فرمول هرون برای چهار ضلعی وجود دارد. با توجه به اینکه مسئله ساختن یک چهار ضلعی در امتداد اضلاع a، b، c و d آن بیش از یک راه حل دارد، برای محاسبه مساحت یک چهارضلعی در حالت کلی، تنها دانستن طول ها کافی نیست. از طرفین شما باید پارامترهای اضافی را وارد کنید یا محدودیت هایی اعمال کنید. برای مثال، مساحت یک چهارضلعی محاط شده با فرمول S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d) بدست می آید.

اگر چهارضلعی هم زمان محاط و هم محاط باشد مساحت آن است با استفاده از یک فرمول ساده تر: S=√(abcd).

حواصیل اسکندریه - ریاضیدان و مکانیک یونانی.

او اولین کسی بود که درهای اتوماتیک، یک تئاتر عروسکی خودکار، یک ماشین خودکار، یک کمان پولادی با شلیک سریع را اختراع کرد. توربین بخار، تزیینات خودکار، وسیله ای برای اندازه گیری طول راه ها ( کیلومترشمار باستانی ) و ... او اولین کسی بود که دستگاه های قابل برنامه ریزی (شفت با سنجاق هایی که طناب دور آن پیچیده شده بود) ایجاد کرد.

او در رشته های هندسه، مکانیک، هیدرواستاتیک و اپتیک تحصیل کرد. آثار اصلی: متریک، پنوماتیک، اتوماتولوژی، مکانیک (اثر به طور کامل در ترجمه عربی محفوظ است)، کاتوپتریکس (علم آینه‌ها، تنها در ترجمه لاتین حفظ شده است) و غیره. در سال 1814، مقاله هرون "درباره دیوپتر" یافت شد. قوانین نقشه برداری زمین را که در واقع بر اساس استفاده از مختصات مستطیل شکل است، تعیین می کند. هرون از دستاوردهای پیشینیان خود استفاده کرد: اقلیدس، ارشمیدس، استراتو لمپساکوس. بسیاری از کتاب های او به طور غیرقابل برگشتی گم شده اند (طومارها در کتابخانه اسکندریه نگهداری می شدند).

هرون در رساله خود "مکانیک" پنج نوع ماشین ساده را شرح داد: اهرم، دروازه، گوه، پیچ و بلوک.

هرون در رساله‌اش «پنوماتیک» سیفون‌های مختلف، کشتی‌های هوشمندانه طراحی‌شده و اتومات‌هایی را که توسط هوای فشرده یا بخار هدایت می‌شوند، توصیف کرد. این یک aeolipile است که اولین توربین بخار بود - توپی که با نیروی جت های بخار آب می چرخد. یک دستگاه برای باز کردن درها، یک دستگاه برای فروش آب "مقدس"، یک پمپ آتش نشانی، یک اندام آبی، یک تئاتر عروسکی مکانیکی.

کتاب "درباره دیوپتر" دیوپتر را توصیف می کند - ساده ترین وسیله ای که برای کارهای ژئودتیک استفاده می شود. هرون در رساله خود قوانین نقشه برداری زمین را بر اساس استفاده از مختصات مستطیلی بیان می کند.

در کاتوپتریکس، هرون مستقیم بودن پرتوهای نور را با سرعت بی نهایت بالا در انتشار ثابت می کند. هرون انواع مختلفی از آینه ها را در نظر می گیرد و توجه ویژه ای به آینه های استوانه ای دارد.

«متریکس» هرون و «هندسی» و «استریومتریکس» استخراج شده از آن کتاب های مرجع در این زمینه هستند. ریاضیات کاربردی. از جمله اطلاعات موجود در متریکا:

فرمول های مساحت چندضلعی های منظم


حجم های چند وجهی منظم، هرم، مخروط، مخروط کوتاه، چنبره، بخش کروی.


فرمول هرون برای محاسبه مساحت یک مثلث از طول اضلاع آن (کشف ارشمیدس).


قوانین حل عددی معادلات درجه دوم.


الگوریتم های استخراج ریشه های مربع و مکعب.

کتاب «تعاریف» هرون مجموعه گسترده‌ای از تعاریف هندسی است که اکثراً با تعاریف «عناصر» اقلیدس مطابقت دارد.

خلاصه درس

موضوع: "فرمول هرون و فرمول های دیگر برای مساحت یک مثلث."

نوع درس : درس کشف دانش جدید.

کلاس: 10.

اهداف درس: در طول درس، از تکرار آگاهانه فرمول های محاسبه مساحت مثلث اطمینان حاصل کنید که در برنامه آموزشی مدرسه. نیاز به دانستن فرمول هرون II را نشان دهید، فرمول مساحت یک مثلث در یک سیستم مختصات مستطیلی شکل. از جذب آگاهانه و کاربرد این فرمول ها هنگام حل مسائل اطمینان حاصل کنید.

وظایف:

آموزشی: توسعه تفکر منطقی، توانایی تصمیم گیری مستقل اهداف یادگیری; کنجکاوی توسعهدانش آموزان، علاقه شناختی به موضوع؛ توسعه تفکر خلاق و گفتار ریاضی دانش آموزان؛

آموزشی: پرورش علاقه به ریاضیات؛ ایجاد شرایط برایشکل گیری مهارت های ارتباطی و ویژگی های با اراده قویشخصیت

آموزشی: تعمیق دانشمدول ام یک عدد واقعی؛ آموزش توانایی حل مسائل معمولی

فعالیت های یادگیری همگانی:

شخصی: احترام به فرد و کرامت او؛ پایدار علاقه شناختی; توانایی انجام گفتگو بر اساس روابط برابر و احترام متقابل.

نظارتی: هدف گذاری برای فعالیت ها در درس؛ برنامه ریزی راه های رسیدن به هدف؛ تصمیم گیری در یک موقعیت مشکل بر اساس مذاکرات.

شناختی: V تسلط بر تکنیک های عمومی برای حل مسائل، انجام وظایف و محاسبات؛ انجام وظایف بر اساس استفاده از خواص مدول اعداد واقعی.

ارتباطی: آ از گفتار به اندازه کافی برای برنامه ریزی و تنظیم فعالیت های خود استفاده کنید. نظر خود را تنظیم کنید

پشتیبانی فنی : کامپیوتر، پروژکتور، تخته سفید تعاملی.

ساختار درس

مرحله انگیزشی - 2 دقیقه.

تکالیف - 1 دقیقه

مرحله به روز رسانی دانش در مورد موضوع پیشنهادی و انجام اولین اقدام آزمایشی - 10 دقیقه.

شناسایی مشکلات: پیچیدگی مطالب جدید چیست، دقیقاً چه چیزی مشکل را ایجاد می کند، جستجوی تضادها - 4 دقیقه.

توسعه یک پروژه، برنامه ای برای حل مشکلات موجود آنها، در نظر گرفتن بسیاری از گزینه ها، جستجوی راه حل بهینه - 2 دقیقه.

اجرای طرح انتخاب شده برای حل مشکل - 5 دقیقه.

ادغام اولیه دانش جدید - 10 دقیقه.

کار مستقلو بررسی در برابر استاندارد - 5 دقیقه.

انعکاس، که شامل تأمل در فعالیت های یادگیری، خود تحلیلی و تأمل در احساسات و عواطف است – 1 دقیقه.

در طول کلاس ها.

مرحله انگیزشی

سلام بچه ها بشینین امروز درس ما از طرح زیر پیروی می کند: در طول درس موضوع جدیدی را مطالعه خواهیم کرد: فرمول هرون و فرمول های دیگر برای مساحت یک مثلث "؛ بیایید فرمول هایی را که می دانید تکرار کنیم. بیایید یاد بگیریم که چگونه این فرمول ها را هنگام حل مسائل به کار ببریم. پس بیایید دست به کار شویم.

مرحله به روز رسانی دانش در مورد موضوع پیشنهادی و انجام اولین اقدام آزمایشی.

اسلاید 1.

موضوع درس را یادداشت کنید. قبل از ادامه مستقیم به فرمول ها، بیایید به یاد بیاوریم که چه فرمول هایی را برای محاسبه مساحت مثلث می شناسید؟

اسلاید 2.

این فرمول ها را بنویسید

چه فرمول هایی برای محاسبه مساحت مثلث می دانید؟(دانش آموزان تمام فرمول هایی را که یاد گرفته اند به یاد می آورند)

اسلاید 3.

مساحت مثلث قائم الزاویه. S=ab. فرمول را یادداشت کنید

اسلاید 4.

مساحت هر مثلث S= آ . آ = , = فرمول را یادداشت کنید.

اسلاید 5. مساحت یک مثلث بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها.

S=½·ab·sinα. فرمول را یادداشت کنید.

اکنون فرمول های جدیدی را برای یافتن مساحت مطالعه می کنیم.

اسلاید 6.

مساحت یک مثلث بر حسب شعاع دایره محاطی. S= پی آر. فرمول را یادداشت کنید.

اسلاید 7.

مساحت مثلث بر حسب شعاع R دایره دایره.

فرمول را یادداشت کنید.

اسلاید 8.

فرمول هرون

قبل از شروع اثبات، بیایید دو قضیه هندسه را به یاد بیاوریم - قضیه سینوس ها و قضیه کسینوس.

1. , a=2R; b=2R; c=2R

2.، cosγ = .

اسلاید 9-10

اثبات فرمول هرون. فرمول را یادداشت کنید.

اسلاید 11.

فرمول مساحت مثلث بر اساس سه ضلع توسط ارشمیدس در قرن سوم قبل از میلاد کشف شد. با این حال، کار مربوطه به روزهای ما نرسیده است. این فرمول در «متریک» هرون اسکندریه (قرن اول پس از میلاد) موجود است و به نام او نامگذاری شده است. هرون به مثلث هایی با ضلع های عدد صحیح علاقه مند بود که مساحت آنها نیز عدد صحیح است. به این مثلث ها مثلث هرونی گفته می شود. ساده ترین مثلث هرونی مثلث مصری است

شناسایی دشواری: پیچیدگی مطالب جدید چیست، دقیقاً چه چیزی مشکل را ایجاد می کند، جستجو برای تضاد.

اسلاید 12.

مساحت مثلث را با ضلع های داده شده 4،6،8 بیابید. آیا اطلاعات کافی برای حل مشکل وجود دارد؟ از چه فرمولی می توانید برای حل این مشکل استفاده کنید؟

توسعه یک پروژه، برنامه ای برای حل مشکلات موجود آنها، در نظر گرفتن بسیاری از گزینه ها، جستجوی یک راه حل بهینه.

این مشکل با استفاده از فرمول هرون قابل حل است. ابتدا باید نیم محیط مثلث را پیدا کنید و سپس مقادیر حاصل را در فرمول جایگزین کنید.

اجرای طرح انتخاب شده برای رفع مشکل.

یافتن ص

پ=(13+14+15)/2=21

پ- آ=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

پاسخ :84

وظیفه شماره 2

اضلاع مثلث را پیدا کنیدABC، اگر مساحت مثلث هاABO, BCO, ACO، جایی که O مرکز دایره محاطی است، برابر با 17،65،80 dc 2 .

راه حل:

اس=17+65+80=162 - مساحت مثلث ها را جمع کنید. طبق فرمول

اس ABO =1/2 AB* rبنابراین 17=1/2AB* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 A.C.* r

34/r=AB; 130/r=پیش از میلاد; 160/r=AC

ص را پیدا کنید

پ= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- ج)=162-160=2

(R- ب)=162-130=32

طبق فرمول هروناس=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

زیرا اس= 162، بنابراینr =  1152/162=3128/18

پاسخ: AB=34/3128/18، BC=130/3128/18، AC=160/3128/18.

ادغام اولیه دانش جدید.

№10(1)

مساحت مثلث را با اضلاع داده شده پیدا کنید:

№12

کار مستقل و آزمایش در برابر استاندارد.

№10.(2)

مشق شب . ص 83، شماره 10(3)، شماره 15

بازتاب که شامل تأمل در فعالیت های آموزشی، درون نگری و تأمل در احساسات و عواطف است.

امروز چه فرمول هایی را تکرار کردید؟

چه فرمول هایی را امروز یاد گرفتید؟

با دانستن پایه و ارتفاع می توان آن را پیدا کرد. تمام سادگی نمودار در این است که ارتفاع پایه a را به دو قسمت 1 و 2 تقسیم می کند و خود مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند که مساحت آن ها و است. سپس مساحت کل مثلث مجموع دو ناحیه مشخص شده خواهد بود و اگر یک ثانیه از ارتفاع را از براکت خارج کنیم، در مجموع پایه را برمی‌گردانیم:

یک روش دشوارتر برای محاسبات، فرمول هرون است که برای آن باید هر سه طرف را بدانید. برای این فرمول ابتدا باید نیم محیط مثلث را محاسبه کنید: فرمول هرون به خودی خود دلالت بر جذر نیم محیط دارد که به نوبه خود در اختلاف آن در هر طرف ضرب می شود.

روش زیر، همچنین مربوط به هر مثلث، به شما امکان می دهد مساحت مثلث را از طریق دو ضلع و زاویه بین آنها پیدا کنید. اثبات این امر از فرمول ارتفاع بدست می آید - ما ارتفاع را در هر یک از اضلاع شناخته شده رسم می کنیم و از طریق سینوس زاویه α به دست می آوریم که h=a⋅sinα. برای محاسبه مساحت، نصف ارتفاع را در ضلع دوم ضرب کنید.

راه دیگر این است که مساحت یک مثلث را با دانستن 2 زاویه و ضلع بین آنها پیدا کنید. اثبات این فرمول بسیار ساده است و از نمودار به وضوح قابل مشاهده است.

ارتفاع را از راس زاویه سوم به ضلع شناخته شده پایین می آوریم و بر این اساس قسمت های حاصل را x می نامیم. از جانب مثلث های قائم الزاویهواضح است که بخش اول x برابر با حاصلضرب است

قضیه. مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب ضلع و ارتفاع آن:

اثبات بسیار ساده است. این مثلث ABC(شکل 1.15) اجازه دهید آن را تا یک متوازی الاضلاع بسازیم ABDC. مثلثها ABCو DCBاز سه ضلع مساوی هستند، بنابراین مساحت آنها برابر است. بنابراین مساحت مثلث ABCبرابر با نصف مساحت متوازی الاضلاع است ABDC، یعنی

اما در اینجا این سؤال مطرح می شود: چرا سه نیم حاصل احتمالی پایه و ارتفاع برای هر مثلث یکسان هستند؟ با این حال، اثبات این امر از شباهت مستطیل هایی با زاویه حاد مشترک آسان است. مثلثی را در نظر بگیرید ABC(شکل 1.16):

و بنابراین

با این حال، در کتاب های درسی مدرسهاینطوری انجام نمی شود. در مقابل، برابری سه نیم حاصل بر این اساس ایجاد می شود که همه این نیم حاصل مساحت مثلث را بیان می کنند. بنابراین، وجود یک تابع واحد به طور ضمنی مورد سوء استفاده قرار می گیرد. اما در اینجا یک فرصت مناسب و آموزنده برای نشان دادن یک مثال پیش می آید مدل سازی ریاضی. در واقع، یک واقعیت فیزیکی در پس مفهوم مساحت وجود دارد، اما تأیید مستقیم برابری سه نیم حاصل کیفیت ترجمه این مفهوم به زبان ریاضیات را نشان می دهد.

با استفاده از قضیه مساحت مثلث بالا، اغلب مقایسه مساحت دو مثلث راحت است. در زیر برخی از نتایج آشکار اما مهم از قضیه را ارائه می کنیم.

نتیجه 1. اگر راس مثلث در امتداد یک خط مستقیم به موازات قاعده آن حرکت کند، مساحت آن تغییر نمی کند.

در شکل 1.17 مثلث ABCو ABDیک زمینه مشترک دارند ABو ارتفاعات مساوی روی این پایه پایین می آید، زیرا یک خط مستقیم است آ، که شامل رئوس است باو Dبه موازات پایه AB، و بنابراین مساحت این مثلث ها برابر است.

نتیجه 1 را می توان به صورت زیر فرموله کرد.

نتیجه 1؟. بگذارید یک بخش داده شود AB. بسیاری از نکات مبه طوری که مساحت مثلث AMVمساوی با ارزش داده شده اس، دو خط موازی با بخش وجود دارد ABو آنهایی که در فاصله ای از آن قرار دارند (شکل 1. 18)

نتیجه 2. اگر یکی از اضلاع مثلث مجاور یک زاویه معین افزایش یابد کبار، سپس مساحت آن نیز افزایش می یابد کیک بار.

در شکل 1.19 مثلث ABCو ABDدارای قد مشترک BHبنابراین نسبت مساحت آنها با نسبت پایه ها برابر است

موارد خاص مهم از نتیجه 2 به دست می آید:

1. میانه مثلث را به دو قسمت کوچک تقسیم می کند.

2. نیمساز یک مثلث که بین اضلاع آن محصور شده است آو ب، آن را به دو مثلث تقسیم می کند که مساحت آن ها به صورت مرتبط است آ : ب.

نتیجه 3. اگر دو مثلث دارای زاویه مشترک باشند، مساحت آنها با حاصلضرب اضلاع محصور این زاویه متناسب است.

این نتیجه از این واقعیت است که (شکل 1.19)

به طور خاص، بیانیه زیر وجود دارد:

اگر دو مثلث شبیه هم باشند و ضلع یکی از آنها باشد کبرابر بزرگتر از اضلاع مربوط به دیگری است، پس مساحت آن است ک 2 برابر مساحت دوم.

فرمول هرون برای مساحت مثلث را به دو روش زیر استخراج می کنیم. در مورد اول از قضیه کسینوس استفاده می کنیم:

جایی که a، b، c طول اضلاع مثلث است، r زاویه مقابل ضلع c است.

از (1.3) پیدا می کنیم.

توجه به آن

جایی که نیم محیط مثلث است، به دست می آوریم.