ضلع مثلث را با ضلع و زاویه آن پیدا کنید. پارامترهای مثلث با توجه به پارامترهای داده شده. فرمول مساحت یک مثلث با یک ضلع و دو زاویه

در ریاضیات هنگام در نظر گرفتن مثلث به اضلاع آن توجه زیادی می شود. زیرا این عناصر این شکل هندسی را تشکیل می دهند. اضلاع یک مثلث برای حل بسیاری از مسائل هندسی استفاده می شود.

تعریف مفهوم

بخش هایی که سه نقطه را که روی یک خط قرار ندارند به هم وصل می کنند اضلاع مثلث نامیده می شوند. عناصر مورد بررسی بخشی از هواپیما را محدود می کنند که به آن قسمت داخلی این هواپیما می گویند شکل هندسی.

ریاضیدانان در محاسبات خود اجازه تعمیم در مورد اضلاع اشکال هندسی را می دهند. بنابراین، در یک مثلث منحط، سه بخش از آن بر روی یک خط مستقیم قرار دارند.

ویژگی های مفهوم

محاسبه اضلاع یک مثلث شامل تعیین تمام پارامترهای دیگر شکل است. با دانستن طول هر یک از این بخش ها، می توانید به راحتی محیط، مساحت و حتی زوایای مثلث را محاسبه کنید.

برنج. 1. مثلث دلخواه.

با جمع اضلاع یک شکل داده شده، می توانید محیط را تعیین کنید.

P=a+b+c که a، b، c اضلاع مثلث هستند

و برای پیدا کردن مساحت مثلث باید از فرمول هرون استفاده کنید.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

جایی که p نیم محیط است.

زوایای یک شکل هندسی داده شده با استفاده از قضیه کسینوس محاسبه می شود.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

معنی

برخی از ویژگی های این شکل هندسی از طریق نسبت اضلاع یک مثلث بیان می شود:

• در مقابل کوچکترین ضلع مثلث کوچکترین زاویه آن قرار دارد.
• زاویه خارجی شکل هندسی مورد نظر با امتداد یکی از اضلاع به دست می آید.
• زوایای برابر یک مثلث اضلاع مساوی هستند.
• در هر مثلثی همیشه یکی از اضلاع از اختلاف دو قسمت دیگر بزرگتر است. و مجموع هر دو ضلع این رقم بزرگتر از سوم است.

یکی از نشانه های مساوی دو مثلث، نسبت مجموع تمام اضلاع شکل هندسی است. اگر این مقادیر یکسان باشند، مثلث ها برابر خواهند بود.

برخی از خواص مثلث به نوع آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا باید اندازه اضلاع یا زوایای این شکل را در نظر بگیرید.

تشکیل مثلث

اگر دو ضلع شکل هندسی مورد نظر یکسان باشد، این مثلث متساوی الساقین نامیده می شود.

برنج. 2. مثلث متساوی الساقین.

وقتی تمام قطعات یک مثلث با هم برابر باشند، یک مثلث متساوی الاضلاع به دست می آید.

برنج. 3. مثلث متساوی الاضلاع.

در مواردی که یک مثلث دلخواه را می توان به عنوان یک نوع خاص طبقه بندی کرد، انجام هر گونه محاسبه راحت تر است. زیرا در این صورت یافتن پارامتر مورد نیاز این شکل هندسی به طور قابل توجهی ساده می شود.

اگر چه یک معادله مثلثاتی به درستی انتخاب شده به شما امکان می دهد بسیاری از مسائل را که در آنها یک مثلث دلخواه در نظر گرفته می شود، حل کنید.

ما چه آموخته ایم؟

سه پاره که توسط نقاطی به هم متصل شده اند و به یک خط مستقیم تعلق ندارند یک مثلث را تشکیل می دهند. این اضلاع یک صفحه هندسی را تشکیل می دهند که برای تعیین مساحت استفاده می شود. با استفاده از این بخش ها می توانید بسیاری از ویژگی های مهم یک شکل مانند محیط و زاویه را پیدا کنید. نسبت ابعاد یک مثلث به پیدا کردن نوع آن کمک می کند. برخی از خصوصیات یک شکل هندسی معین فقط در صورتی قابل استفاده است که ابعاد هر یک از اضلاع آن مشخص باشد.

در مورد موضوع تست کنید

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.3. مجموع امتیازهای دریافتی: 142.

در هندسه، زاویه به شکلی گفته می شود که توسط دو پرتو که از یک نقطه بیرون می آیند (به نام راس زاویه) تشکیل می شود. در بیشتر موارد، واحد اندازه گیری زاویه درجه (°) است - به یاد داشته باشید که زاویه کامل یا یک دور، 360 درجه است. شما می توانید مقدار زاویه یک چند ضلعی را بر اساس نوع آن و مقادیر سایر زوایا پیدا کنید و اگر مثلث قائم الزاویه به آن داده شود، زاویه از دو طرف قابل محاسبه است. علاوه بر این، زاویه را می توان با استفاده از یک نقاله اندازه گیری کرد یا با استفاده از یک ماشین حساب نموداری محاسبه کرد.

مراحل

نحوه پیدا کردن زوایای داخلی چند ضلعی

تعداد اضلاع چند ضلعی را بشمارید.برای محاسبه زوایای داخلی یک چند ضلعی، ابتدا باید تعیین کنید که چند ضلعی چند ضلعی دارد. توجه داشته باشید که تعداد اضلاع یک چند ضلعی برابر با تعداد زوایای آن است.

• برای مثال، مثلث دارای 3 ضلع و 3 زاویه داخلی و مربع دارای 4 ضلع و 4 زاویه داخلی است.

1. مجموع تمام زوایای داخلی چند ضلعی را محاسبه کنید.برای این کار از فرمول زیر استفاده کنید: (n - 2) x 180. در این فرمول n تعداد اضلاع چند ضلعی است. موارد زیر مجموع زوایای چند ضلعی هایی است که معمولاً با آنها مواجه می شوند:

   • مجموع زوایای یک مثلث (چند ضلعی با 3 ضلع) 180 درجه است.
   • مجموع زوایای یک چهارضلعی (چند ضلعی با 4 ضلع) 360 درجه است.
   • مجموع زوایای یک پنج ضلعی (چند ضلعی با 5 ضلع) 540 درجه است.
   • مجموع زوایای یک شش ضلعی (چند ضلعی با 6 ضلع) 720 درجه است.
   • مجموع زوایای یک هشت ضلعی (چند ضلعی با 8 ضلع) 1080 درجه است.

2. مجموع زوایای یک چندضلعی منتظم را بر تعداد زوایا تقسیم کنید.چند ضلعی منتظم چند ضلعی با اضلاع مساوی و زوایای مساوی. برای مثال، هر زاویه یک مثلث متساوی الاضلاع به صورت زیر محاسبه می شود: 180 ÷ 3 = 60 درجه، و هر زاویه یک مربع به صورت زیر محاسبه می شود: 360 ÷ 4 = 90 درجه.

   • مثلث متساوی الاضلاع و مربع چند ضلعی منتظم هستند. و در ساختمان پنتاگون (واشنگتن، ایالات متحده آمریکا) و علامت جادهشکل "توقف" یک هشت ضلعی منظم.

3. مجموع تمام زوایای شناخته شده را از مجموع زوایای چندضلعی نامنظم کم کنید.اگر اضلاع یک چند ضلعی با یکدیگر مساوی نیستند و زوایای آن نیز با یکدیگر مساوی نیستند، ابتدا زوایای شناخته شده چند ضلعی را جمع کنید. اکنون مقدار حاصل را از مجموع تمام زوایای چند ضلعی کم کنید - به این ترتیب زاویه مجهول را خواهید یافت.

   • به عنوان مثال، اگر 4 زاویه یک پنج ضلعی 80 درجه، 100 درجه، 120 درجه و 140 درجه است، این اعداد را جمع کنید: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. حالا این مقدار را از مجموع تمام ضلع ها کم کنید. زوایای پنج ضلعی؛ این مجموع برابر با 540 درجه است: 540 - 440 = 100 درجه. بنابراین، زاویه مجهول 100 درجه است.

   توصیه:زاویه مجهول برخی از چند ضلعی ها را می توان با دانستن ویژگی های شکل محاسبه کرد. مثلاً در مثلث متساوی الساقین دو ضلع مساوی و دو زاویه مساوی هستند. در متوازی الاضلاع (که چهار ضلعی است) اضلاع مقابل برابر و زوایای مقابل برابرند.

   طول دو ضلع مثلث را اندازه بگیرید.طولانی ترین طرف راست گوشههیپوتنوز نامیده می شود. ضلع مجاور ضلعی است که نزدیک زاویه مجهول است. طرف مقابل ضلعی است که در مقابل زاویه مجهول قرار دارد. برای محاسبه زوایای مجهول مثلث، دو ضلع را اندازه بگیرید.

   توصیه:از یک ماشین حساب نموداری برای حل معادلات استفاده کنید یا یک جدول آنلاین با مقادیر سینوس ها، کسینوس ها و مماس ها پیدا کنید.

   اگر ضلع مقابل و هیپوتانوس را می دانید سینوس یک زاویه را محاسبه کنید.برای انجام این کار، مقادیر را به معادله متصل کنید: sin(x) = سمت مقابل ÷ hypotenuse. مثلا ضلع مقابل 5 سانتی متر و هیپوتانوس 10 سانتی متر است 5/10 = 0.5 تقسیم کنید. بنابراین، sin(x) = 0.5، یعنی x = sin -1 (0.5).

مثلث یک عدد هندسی متشکل از سه بخش است که سه نقطه را که روی یک خط قرار ندارند به هم متصل می کند. نقاطی که یک مثلث را تشکیل می دهند، نقاط آن نامیده می شوند و پاره ها کنار هم قرار می گیرند.

بسته به نوع مثلث (مستطیل، تک رنگ و ...) می توانید ضلع مثلث را با توجه به داده های ورودی و شرایط مشکل به روش های مختلف محاسبه کنید.

پیمایش سریع برای یک مقاله

برای محاسبه اضلاع مثلث قائم الزاویه از قضیه فیثاغورث استفاده می شود که بر اساس آن مربع فرضیه برابر با مجموعفوت مربع.

اگر پاها را به صورت "a" و "b" و فرضیه را "c" برچسب گذاری کنیم، صفحات را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

اگر زوایای تند مثلث قائم الزاویه (a و b) مشخص باشد، اضلاع آن را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

مثلث برش خورده

مثلث را مثلث متساوی الاضلاع می گویند که هر دو ضلع آن یکی باشد.

چگونه هیپوتنوز را در دو پا پیدا کنیم

اگر حرف "الف" با همان صفحه یکسان باشد، "ب" پایه، "ب" زاویه مقابل پایه، "الف" زاویه مجاور برای محاسبه صفحات می تواند استفاده شود. فرمول های زیر:

دو گوشه و یک طرف

اگر یک صفحه (c) و دو زاویه (a و b) از هر مثلث مشخص باشد، از فرمول سینوس برای محاسبه صفحات باقی مانده استفاده می شود:

شما باید مقدار سوم y = 180 - (a + b) را پیدا کنید زیرا

مجموع تمام زوایای یک مثلث 180 درجه است.

دو ضلع و یک زاویه

اگر دو ضلع مثلث (a و b) و زاویه بین آنها (y) مشخص باشد، می توان از قضیه کسینوس برای محاسبه ضلع سوم استفاده کرد.

نحوه تعیین محیط مثلث قائم الزاویه

مثلث مثلثی مثلثی است که یکی از آنها 90 درجه و دو تای دیگر حاد هستند. محاسبه محیطچنین مثلثبسته به میزان اطلاعات شناخته شده در مورد آن.

شما به آن نیاز خواهید داشت

• بسته به مورد، مهارت های 2 سه ضلع مثلث، و همچنین یکی از زوایای تند آن.

دستورالعمل ها

اولینروش 1. اگر هر سه صفحه مشخص باشد مثلثسپس، صرف نظر از عمود یا غیر مثلثی بودن، محیط به صورت زیر محاسبه می شود: P = A + B + C، در صورت امکان، c هیپوتانوس است. a و b پا هستند.

دومینروش 2.

اگر یک مستطیل فقط دو ضلع داشته باشد، با استفاده از قضیه فیثاغورث، مثلثرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: P = v (a2 + b2) + a + b یا P = v (c2 - b2) + b + c.

سومروش 3. فرض کنید هیپوتانوس c و یک زاویه حاد باشد؟ با توجه به یک مثلث قائم الزاویه، یافتن محیط به این صورت امکان پذیر خواهد بود: P = (1 + گناه؟

چهارمروش 4. آنها می گویند که در مثلث قائم الزاویه طول یک پا برابر با a است و برعکس، دارای زاویه تند است. سپس محاسبه کنید محیطاین مثلثطبق فرمول انجام می شود: P = a * (1 / tg?

1/پسر؟ + 1)

پنجمینروش 5.

محاسبه آنلاین مثلث

بگذارید پای ما هدایت شود و در آن گنجانده شود، سپس محدوده به صورت زیر محاسبه می شود: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos؟)

ویدیو های مرتبط

قضیه فیثاغورث اساس همه ریاضیات است. رابطه بین اضلاع یک مثلث واقعی را تعیین می کند. اکنون 367 اثبات برای این قضیه وجود دارد.

دستورالعمل ها

اولینفرمول کلاسیک قضیه فیثاغورث به نظر می رسد: مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

برای یافتن هیپوتانوس در مثلث قائم الزاویه دو کاتت، باید برای ساختن مربعی از طول پاها، آنها را جمع آوری کنید و بگیرید. ریشه دوماز مقدار در فرمول اولیه بیانیه وی، بازار بر اساس هیپوتنوز است که برابر است با مجموع مربع های 2 مربع تولید شده توسط Catete. با این حال، فرمول جبری مدرن نیازی به معرفی یک نمایش دامنه ندارد.

دومینمثلا مثلث قائم الزاویه ای که ساق های آن 7 سانتی متر و 8 سانتی متر است.

سپس بر اساس قضیه فیثاغورث، فرض مربع برابر با R + S = 49 + 64 = 113 سانتی متر است، فرض برابر با جذر عدد 113 است.

زوایای مثلث قائم الزاویه

نتیجه یک عدد بی اساس بود.

سوماگر مثلث ها پاهای 3 و 4 باشند، آنگاه هیپوتنوس = 25 = 5. وقتی جذر را بگیرید، یک عدد طبیعی به دست می آورید. اعداد 3، 4، 5 یک سه گانه Pygagorean را تشکیل می دهند، زیرا آنها رابطه x را برآورده می کنند؟ +Y؟ = Z که طبیعی است.

نمونه های دیگر از سه گانه فیثاغورثی عبارتند از: 6، 8، 10; 5، 12، 13; 15، 20، 25; 9، 40، 41.

چهارمدر این حالت، اگر پاها با یکدیگر یکسان باشند، قضیه فیثاغورث به معادله ابتدایی تری تبدیل می شود. به عنوان مثال فرض کنید چنین عقربه ای برابر با عدد A باشد و افت فشار برای C تعریف شده باشد و سپس c؟ = Ap + Ap، C = 2A2، C = A؟ 2. در این مورد شما نیازی به A ندارید.

پنجمینقضیه فیثاغورث یک مورد خاص است، بزرگتر از قضیه کسینوس عمومی، که رابطه بین سه ضلع یک مثلث را برای هر زاویه بین دو تا از آنها برقرار می کند.

نکته 2: نحوه تعیین هیپوتونوس برای پاها و زاویه ها

هیپوتنوس ضلعی است در مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد.

دستورالعمل ها

اولیندر مورد کاتترهای شناخته شده، و همچنین زاویه حاد یک مثلث قائم الزاویه، هیپوتنوز می تواند اندازه ای برابر با نسبت ساق به کسینوس / سینوس این زاویه داشته باشد، اگر زاویه مخالف / e بود شامل: H = C1 (یا C2) / گناه، H = C1 (یا C2؟) / cos؟. مثال: به ABC یک مثلث نامنظم با فرض AB و زاویه قائم C داده شود.

فرض کنید B 60 درجه و A 30 درجه باشد. طول ساقه BC 8 سانتی متر است طول هیپوتنوز AB باید پیدا شود. برای این کار می توانید از یکی از روش های بالا استفاده کنید: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مستطیل است مثلث. در زاویه قائمه قرار دارد. روش یافتن هیپوتنوز مستطیل مثلثبسته به داده های منبع

دستورالعمل ها

اولیناگر پاهای شما عمود باشد مثلث، سپس طول هیپوتنوز مستطیل مثلثرا می توان با آنالوگ فیثاغورثی کشف کرد - مربع طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مربعات طول پاها: c2 = a2 + b2، که در آن a و b طول پایه های سمت راست هستند. مثلث .

دومیناگر یکی از پاها مشخص باشد و با زاویه حاد باشد، فرمول یافتن هیپوتانوس به وجود یا عدم وجود زیر بستگی دارد. زاویه معیندر رابطه با پای شناخته شده - مجاور (پا نزدیک قرار دارد)، یا برعکس (مورد مخالف قرار دارد nego.V از زاویه مشخص شده برابر است با کسری از هیپوتنوز پا در زاویه کسینوس: a = a / cos؛ E، از طرف دیگر، هیپوتانوس همان نسبت زوایای سینوسی است: da = a / sin.

ویدیو های مرتبط

نکات مفید
مثلثی زاویه‌دار که اضلاع آن به صورت 3:4:5 به هم مربوط می‌شوند، به دلیل استفاده گسترده از این اشکال توسط معماران مصر باستان، دلتای مصر نامیده می‌شود.

این نیز ساده‌ترین مثال از مثلث‌های Jero است که در آن صفحات و ناحیه با اعداد صحیح نشان داده می‌شوند.

به مثلث مستطیلی گفته می شود که زاویه آن 90 درجه باشد. طرف مقابل گوشه سمت راست هیپوتنوز نامیده می شود و طرف دیگر پاها نامیده می شود.

اگر می خواهید دریابید که چگونه یک مثلث قائم الزاویه توسط برخی از خواص مثلث های منتظم تشکیل می شود، یعنی اینکه مجموع زوایای تند 90 درجه است که از آن استفاده می شود و این واقعیت که طول پای مقابل نصف هیپوتانوس است. 30 درجه است.

پیمایش سریع برای یک مقاله

مثلث برش خورده

یکی از ویژگی های مثلث مساوی این است که دو زاویه آن با هم برابر هستند.

برای محاسبه زاویه یک مثلث قائم الزاویه باید بدانید:

• این بدتر از 90 درجه نیست.
• مقادیر زوایای حاد با فرمول تعیین می شود: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °، یعنی.

  زوایای α و β برابر با 45 درجه است.

اگر مقدار شناخته شده یکی از زاویه های حاد مشخص باشد، دیگری را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: β = 180º-90º-α یا α = 180º-90º-β.

این نسبت اغلب در صورتی استفاده می شود که یکی از زاویه ها 60 درجه یا 30 درجه باشد.

مفاهیم کلیدی

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است.

از آنجا که یک سطح است، دو تیز باقی می ماند.

محاسبه مثلث آنلاین

اگر می خواهید آنها را پیدا کنید، باید بدانید که:

روش های دیگر

مقادیر زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه را می توان از میانگین محاسبه کرد - با خطی از نقطه ای در طرف مقابل مثلث و ارتفاع - خط عمودی است که از هیپوتنوس در زاویه قائمه ترسیم شده است. .

اجازه دهید میانه از گوشه سمت راست تا وسط هیپوتنوز امتداد داشته باشد و h ارتفاع باشد. در این مورد معلوم می شود که:

• sin α = b / (2 * s)؛ sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s)؛ cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

دو صفحه

اگر طول هایپوتنوز و یکی از پاها در یک مثلث قائم الزاویه یا در هر دو طرف مشخص باشد، برای تعیین مقادیر زوایای تند از هویت های مثلثاتی استفاده می شود:

• α = آرکسین (a/c)، β = آرکسین (b/c).
• α = arcos (b/c)، β = arcos (a/c).
• α = آرکتان (a / b)، β = آرکتان (b / a).

طول مثلث قائم الزاویه

مساحت و مساحت یک مثلث

محیط

محیط هر مثلث برابر است با مجموع طول سه ضلع. فرمول کلیبرای پیدا کردن مثلث مثلثی:

که در آن P محیط مثلث، a، b و c اضلاع آن است.

محیط یک مثلث مساویرا می توان با ترکیب متوالی طول اضلاع آن یا ضرب طول ضلع در 2 و اضافه کردن طول پایه به محصول پیدا کرد.

فرمول کلی برای پیدا کردن مثلث تعادل به صورت زیر است:

که در آن P محیط یک مثلث مساوی است، اما b، b پایه است.

محیط مثلث متساوی الاضلاعرا می توان با ترکیب متوالی طول اضلاع آن یا با ضرب طول هر صفحه در 3 یافت.

فرمول کلی برای یافتن لبه مثلث های متساوی الاضلاع به صورت زیر خواهد بود:

که در آن P محیط یک مثلث متساوی الاضلاع است، a هر یک از اضلاع آن است.

منطقه

اگر می خواهید مساحت یک مثلث را اندازه بگیرید، می توانید آن را با متوازی الاضلاع مقایسه کنید. مثلث ABC را در نظر بگیرید:

اگر همان مثلث را بگیریم و آن را طوری ثابت کنیم که متوازی الاضلاع به دست بیاید، متوازی الاضلاع با همان ارتفاع و قاعده این مثلث به دست می آید:

در این حالت، ضلع مشترک مثلث ها در امتداد مورب متوازی الاضلاع قالب گیری شده به هم تا می شود.

از خواص متوازی الاضلاع. مشخص است که مورب های متوازی الاضلاع همیشه به دو مثلث مساوی تقسیم می شوند، سپس سطح هر مثلث برابر با نیمی از محدوده متوازی الاضلاع است.

از آنجایی که مساحت متوازی الاضلاع برابر با حاصل ضرب ارتفاع پایه آن است، مساحت مثلث برابر با نصف این حاصلضرب خواهد بود. بنابراین، برای ΔABC مساحت یکسان خواهد بود

حالا یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید:

دو مثلث قائم الزاویه یکسان را می توان در صورتی که به یک مستطیل متمایل شود، خم شود، که هر یک از هیپوتنوز یکدیگر هستند.

از آنجایی که سطح مستطیل با سطح اضلاع مجاور منطبق است، مساحت این مثلث یکسان است:

از اینجا می توان نتیجه گرفت که سطح هر مثلث قائم الزاویه برابر است با حاصلضرب تقسیم بر 2 پایه ها.

از این مثال ها می توان نتیجه گرفت که سطح هر مثلث برابر با حاصلضرب طول است و ارتفاع به زیرلایه تقسیم بر 2 کاهش می یابد.

فرمول کلی برای یافتن مساحت یک مثلث به صورت زیر است:

که در آن S مساحت مثلث است، اما قاعده آن است، اما ارتفاع به پایین می آید.

به مثلثی مثلث قائم الزاویه گفته می شود که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد. ضلع مقابل زاویه قائمه را هیپوتنوز و دو طرف دیگر را پاها می نامند.

برای یافتن زاویه در یک مثلث قائم الزاویه از برخی از ویژگی های مثلث قائم الزاویه استفاده می شود که عبارتند از: مجموع زوایای تند 90 درجه است و همچنین این واقعیت که در مقابل ساق که طول آن نصف طول هیپوتنوز است قرار دارد. زاویه ای برابر با 30 درجه

پیمایش سریع در مقاله

مثلث متساوی الساقین

یکی از خصوصیات مثلث متساوی الساقین این است که دو زاویه آن برابر است. برای محاسبه زوایای مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه باید بدانید:

• زاویه راست 90 درجه است.
• مقادیر زوایای حاد با فرمول تعیین می شود: (180º-90º)/2=45º، یعنی. زوایای α و β برابر با 45 درجه است.

اگر اندازه یکی از زاویه های تند مشخص باشد، دومی را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: β=180-90-α، یا α=180-90 درجه-β. اغلب این نسبت در صورتی استفاده می شود که یکی از زاویه ها 60 درجه یا 30 درجه باشد.

مفاهیم کلیدی

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است. از آنجایی که یک زاویه راست است، دو زاویه باقی مانده حاد خواهند بود. برای پیدا کردن آنها باید بدانید که:

روش های دیگر

مقادیر زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه را می توان با دانستن مقدار میانه محاسبه کرد - خطی که از راس به طرف مقابل مثلث کشیده شده است و ارتفاع - یک خط مستقیم که یک خط عمود بر افتاده است. از زاویه قائم به هیپوتانوز. فرض کنید s میانه رسم شده از زاویه سمت راست به وسط هیپوتانوز، h ارتفاع باشد. در این مورد معلوم می شود که:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β =h/a.

دو طرف

اگر طول هایپوتنوز و یکی از پایه ها یا دو ضلع در یک مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، از هویت های مثلثاتی برای یافتن مقادیر زوایای تند استفاده می شود:

• α=آرکسین(a/c)، β=آرکسین(b/c).
• α=arcos(b/c)، β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b)، β=arctg(b/a).

اولی قطعاتی هستند که در مجاورت زاویه قائمه قرار دارند و هیپوتنوس طولانی ترین قسمت شکل است و در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد. مثلث فیثاغورثیبه کسی که اضلاعش مساوی باشد گفته می شود اعداد طبیعی; طول آنها در این مورد "سه گانه فیثاغورثی" نامیده می شود.

مثلث مصری

برای اینکه نسل کنونی هندسه را به شکلی که اکنون در مدرسه تدریس می شود تشخیص دهد، طی چندین قرن پیشرفت کرده است. نکته اساسی قضیه فیثاغورث در نظر گرفته می شود. اضلاع یک مستطیل در سراسر جهان شناخته شده است) 3، 4، 5 است.

تعداد کمی از مردم با عبارت "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر هستند" آشنا نیستند. با این حال، در واقع قضیه به این صورت است: c 2 (مربع هیپوتانوس) = a 2 + b 2 (مجموع مربع های پاها).

در بین ریاضیدانان، مثلثی با اضلاع 3، 4، 5 (سانتی متر، متر و غیره) "مصری" نامیده می شود. نکته جالب این است که آنچه در شکل درج شده است برابر با یک است. این نام در حدود قرن پنجم قبل از میلاد، زمانی که فیلسوفان یونانی به مصر سفر کردند، به وجود آمد.

هنگام ساخت اهرام، معماران و نقشه برداران از نسبت 3:4:5 استفاده کردند. چنین سازه هایی متناسب، دلپذیر و جادار بودند و به ندرت فرو ریختند.

سازندگان برای ایجاد زاویه قائمه از طنابی استفاده کردند که 12 گره روی آن بسته شده بود. در این حالت، احتمال ساخت مثلث قائم الزاویه به 95 درصد افزایش یافت.

نشانه های برابری ارقام

• یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه و یک ضلع بلند که برابر با همان عناصر در مثلث دوم است، نشانه انکارناپذیر تساوی ارقام است. با در نظر گرفتن مجموع زاویه ها به راحتی می توان ثابت کرد که زوایای تند دوم نیز برابر هستند. بنابراین، مثلث ها بر اساس معیار دوم یکسان هستند.
• هنگامی که دو شکل را روی هم قرار می دهیم، آنها را می چرخانیم تا در صورت ترکیب، به یک مثلث متساوی الساقین تبدیل شوند. با توجه به خاصیت آن، اضلاع یا بهتر است بگوییم هیپوتنوس ها و همچنین زوایای قاعده برابر هستند، به این معنی که این ارقام یکسان هستند.

بر اساس اولین علامت، اثبات اینکه مثلث ها واقعاً برابر هستند بسیار آسان است، نکته اصلی این است که دو ضلع کوچکتر (یعنی پاها) با یکدیگر برابر هستند.

مثلث ها طبق معیار دوم که ماهیت آن برابری ساق و زاویه حاد است یکسان خواهند بود.

ویژگی های مثلث با زاویه قائمه

ارتفاعی که از زاویه سمت راست پایین می آید، شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و میانه آن را می توان به راحتی با این قاعده تشخیص داد: میانه ای که روی هیپوتانوس می افتد برابر با نصف آن است. را می توان هم با فرمول هرون و هم با این جمله که برابر است با نصف حاصلضرب پاها پیدا کرد.

در مثلث قائم الزاویه، خواص زوایای 30 درجه، 45 درجه و 60 درجه اعمال می شود.

• با زاویه 30 درجه، باید به خاطر داشت که پای مقابل برابر با 1/2 از بزرگترین ضلع خواهد بود.
• اگر زاویه 45 درجه باشد، زاویه حاد دوم نیز 45 درجه است. این نشان می دهد که مثلث متساوی الساقین است و پاهای آن یکسان است.
• خاصیت زاویه 60 درجه این است که زاویه سوم 30 درجه دارد.

منطقه را می توان به راحتی با استفاده از یکی از سه فرمول پیدا کرد:

1. از طریق ارتفاع و سمتی که در آن فرود می آید.
2. طبق فرمول هرون؛
3. در طرفین و زاویه بین آنها.

اضلاع یک مثلث قائم الزاویه یا بهتر است بگوییم پاها با دو ارتفاع همگرا می شوند. برای یافتن سومی باید مثلث حاصل را در نظر گرفت و سپس با استفاده از قضیه فیثاغورث طول مورد نیاز را محاسبه کرد. علاوه بر این فرمول، بین دو برابر مساحت و طول هیپوتنوز نیز رابطه وجود دارد. رایج ترین عبارت در بین دانش آموزان عبارت اول است، زیرا به محاسبات کمتری نیاز دارد.

قضایای اعمال بر مثلث قائم الزاویه

هندسه مثلث قائم الزاویه شامل استفاده از قضایایی مانند: