چرخش یک جسم صلب حول یک محور ثابت. حرکت دورانی جسم صلب حول محور ثابت قانون حرکت چرخشی حول محور ثابت

تعریف: حرکت چرخشی یک جسم صلببه چنین حرکتی که در آن تمام نقاط بدن به صورت دایره‌ای حرکت می‌کنند، که مراکز آن روی یک خط مستقیم قرار دارند، محور چرخش نامیده می‌شود.

برای مطالعه دینامیک چرخشی، به کمیت های سینماتیکی شناخته شده اضافه می کنیم دو مقدار: لحظه قدرت(M) و ممان اینرسی(ج).

1. از تجربه معلوم است: شتاب حرکت دورانی نه تنها به بزرگی نیروی وارد بر جسم بستگی دارد، بلکه به فاصله محور چرخش تا خطی که نیرو در امتداد آن عمل می کند نیز بستگی دارد. برای توصیف این شرایط، یک کمیت فیزیکی به نام لحظه نیرو.

بیایید ساده ترین مورد را در نظر بگیریم.

تعریف: گشتاور یک نیرو در مورد یک نقطه معین "O" کمیت برداری است که با عبارت تعریف می شود، جایی که بردار شعاع از نقطه "O" تا نقطه اعمال نیرو ترسیم شده است.

از تعریف به دست می آید که یک بردار محوری است. جهت آن به گونه ای انتخاب می شود که چرخش بردار حول نقطه "O" در جهت نیرو و بردار یک سیستم سمت راست را تشکیل دهد. مدول گشتاور نیرو برابر است با، که در آن a زاویه بین جهات بردارها و، و ل= r گناه a طول عمودی است که از نقطه "O" به خط مستقیمی که در آن نیرو وارد می شود (به نام شانه قدرتنسبت به نقطه "O") (شکل 4.2).

2. داده های تجربی نشان می دهد که بزرگی شتاب زاویه ای نه تنها تحت تأثیر جرم جسم دوار، بلکه تحت تأثیر توزیع جرم نسبت به محور چرخش قرار می گیرد. کمیتی که این شرایط را در نظر می گیرد نامیده می شود ممان اینرسینسبت به محور چرخش

تعریف: به طور دقیق، ممان اینرسیجسم نسبت به یک محور چرخش معین، مقدار J نامیده می شود، که برابر با مجموع حاصلضرب جرم های ابتدایی مجذور فاصله آنها از یک محور معین است.

جمع بر روی تمام توده های ابتدایی که بدن به آنها تقسیم شده است انجام می شود. باید در نظر داشت که این کمیت (J) بدون توجه به چرخش وجود دارد (اگرچه مفهوم گشتاور اینرسی هنگام در نظر گرفتن چرخش یک جسم صلب معرفی شد).

هر جسم، صرف نظر از اینکه در حال سکون باشد یا در حال چرخش، نسبت به هر محوری دارای گشتاور اینرسی معینی است، همانطور که جسم بدون توجه به حرکت یا سکون، جرم دارد.

با توجه به اینکه ممان اینرسی را می توان به صورت زیر نشان داد: این رابطه تقریبی است و هر چه حجم های اولیه و عناصر جرمی مربوطه کوچکتر باشد، دقت بیشتری خواهد داشت. در نتیجه، وظیفه یافتن گشتاورهای اینرسی به ادغام می رسد: . در اینجا یکپارچگی در کل حجم بدن انجام می شود.

اجازه دهید لحظه های اینرسی برخی اجسام با شکل هندسی منظم را بنویسیم.

1. میله بلند یکنواخت.
برنج. 4.3	ممان اینرسی حول محور عمود بر میله و عبور از وسط آن برابر است با
2. سیلندر یا دیسک جامد.
برنج. 4.4	ممان اینرسی حول محور منطبق بر محور هندسی برابر است با .
3. استوانه جدار نازک به شعاع R.
برنج. 4.5
4. ممان اینرسی یک توپ به شعاع R نسبت به محوری که از مرکز آن می گذرد
برنج. 4.6
5. ممان اینرسی یک دیسک نازک (ضخامت ب<
برنج. 4.7
6. لحظه اینرسی بلوک
برنج. 4.8
7. لحظه اینرسی حلقه
برنج. 4.9

محاسبه ممان اینرسی در اینجا بسیار ساده است، زیرا جسم همگن و متقارن فرض می شود و ممان اینرسی نسبت به محور تقارن تعیین می شود.

برای تعیین ممان اینرسی جسم نسبت به هر محوری باید از قضیه اشتاینر استفاده کرد.

تعریف: ممان اینرسی J در مورد یک محور دلخواهبرابر است با مجموع گشتاور اینرسی Jc نسبت به محوری موازی با محور داده شده و گذرنده از مرکز اینرسی جسم و حاصل ضرب جرم بدن بر مجذور فاصله بین محورها (شکل 4.10).

این مقاله بخش مهمی از فیزیک را شرح می دهد - "سینماتیک و دینامیک حرکت چرخشی".

مفاهیم اساسی سینماتیک حرکت چرخشی

حرکت چرخشی یک نقطه مادی حول محور ثابتی به این حرکت گفته می شود که مسیر حرکت آن دایره ای است که در صفحه ای عمود بر محور قرار دارد و مرکز آن بر محور چرخش قرار دارد.

حرکت دورانی جسم صلب حرکتی است که در آن تمام نقاط جسم در امتداد دایره های متحدالمرکز (که مراکز آنها روی یک محور قرار دارند) مطابق با قانون حرکت چرخشی یک نقطه مادی حرکت می کنند.

اجازه دهید یک جسم صلب دلخواه T حول محور O که عمود بر صفحه نقشه است بچرخد. اجازه دهید نقطه M را در این جسم انتخاب کنیم. هنگامی که این نقطه چرخش می کند، دایره ای با شعاع حول محور O را توصیف می کند. r.

پس از مدتی، شعاع نسبت به موقعیت اصلی خود با زاویه Δφ می چرخد.

جهت پیچ سمت راست (در جهت عقربه های ساعت) به عنوان جهت مثبت چرخش در نظر گرفته می شود. تغییر زاویه چرخش در طول زمان را معادله حرکت چرخشی جسم صلب می گویند:

φ = φ(t).

اگر φ بر حسب رادیان اندازه گیری شود (1 راد زاویه مربوط به کمانی به طول برابر با شعاع آن است)، در این صورت طول کمان دایره ای ΔS که نقطه مادی M در زمان Δt از آن عبور می کند، برابر است با:

ΔS = Δφr.

عناصر اساسی سینماتیک حرکت چرخشی یکنواخت

اندازه گیری حرکت یک نقطه مادی در مدت زمان کوتاه dtبه عنوان یک بردار چرخش ابتدایی عمل می کند dφ.

سرعت زاویه ای یک نقطه یا جسم مادی یک کمیت فیزیکی است که با نسبت بردار یک چرخش ابتدایی به مدت زمان این چرخش تعیین می شود. جهت بردار را می توان با قانون پیچ سمت راست در امتداد محور O تعیین کرد. به صورت اسکالر:

ω = dφ/dt.

اگر ω = dφ/dt = ثابت،پس چنین حرکتی را حرکت چرخشی یکنواخت می نامند. با آن، سرعت زاویه ای با فرمول تعیین می شود

ω = φ/t.

با توجه به فرمول اولیه، بعد سرعت زاویه ای

[ω] = 1 راد در ثانیه.

حرکت چرخشی یکنواخت یک جسم را می توان با دوره چرخش توصیف کرد. دوره چرخش T یک کمیت فیزیکی است که زمانی را تعیین می کند که در طی آن یک جسم یک دور کامل حول محور چرخش می کند ([T] = 1 ثانیه). اگر در فرمول سرعت زاویه ای t = T، φ = 2 π (یک دور کامل شعاع r) را بگیریم، سپس

ω = 2π/T،

بنابراین دوره چرخش را به صورت زیر تعریف می کنیم:

T = 2π/ω.

تعداد دورهایی که یک جسم در واحد زمان انجام می دهد فرکانس چرخش ν نامیده می شود که برابر است با:

ν = 1/T.

واحدهای فرکانس: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 هرتز.

با مقایسه فرمول های سرعت زاویه ای و فرکانس چرخش، عبارتی را به دست می آوریم که این مقادیر را به هم متصل می کند:

ω = 2πν.

عناصر اساسی سینماتیک حرکت چرخشی ناهموار

حرکت چرخشی ناهموار یک جسم صلب یا نقطه مادی حول یک محور ثابت با سرعت زاویه ای آن مشخص می شود که با زمان تغییر می کند.

بردار ε بردار شتاب زاویه ای را مشخص می کند که میزان تغییر سرعت زاویه ای را مشخص می کند:

ε = dω/dt.

اگر جسمی بچرخد، شتاب می گیرد، یعنی dω/dt > 0، بردار جهتی در امتداد محور در همان جهت ω دارد.

اگر حرکت چرخشی آهسته باشد - dω/dt< 0 ، سپس بردارهای ε و ω جهت مخالف هستند.

اظهار نظر. هنگامی که حرکت چرخشی ناهموار رخ می دهد، بردار ω می تواند نه تنها از نظر بزرگی، بلکه در جهت (زمانی که محور چرخش می چرخد) تغییر کند.

رابطه بین کمیت های مشخص کننده حرکت انتقالی و چرخشی

مشخص است که طول قوس با زاویه چرخش شعاع و مقدار آن با رابطه مرتبط هستند.

ΔS = Δφ r.

سپس سرعت خطی یک نقطه مادی که حرکت چرخشی را انجام می دهد

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

شتاب نرمال یک نقطه مادی که حرکت انتقالی چرخشی را انجام می دهد به صورت زیر تعیین می شود:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

بنابراین، به شکل اسکالر

a = ω 2 r.

نقطه مادی شتاب مماس که حرکت چرخشی را انجام می دهد

a = ε r.

تکانه نقطه مادی

حاصل ضرب برداری شعاع بردار یک نقطه مادی به جرم m i و تکانه آن را تکانه زاویه ای این نقطه حول محور چرخش می گویند. جهت بردار را می توان با استفاده از قانون پیچ درست تعیین کرد.

تکانه نقطه مادی ( L i) عمود بر صفحه کشیده شده از طریق r i و υ i جهت می گیرد و با آنها یک بردار سه گانه سمت راست را تشکیل می دهد (یعنی هنگام حرکت از انتهای بردار r iبه υ i پیچ سمت راست جهت بردار را نشان می دهد Lمن).

به شکل اسکالر

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

با توجه به اینکه هنگام حرکت در یک دایره، بردار شعاع و بردار سرعت خطی برای نقطه ماده i بر هم عمود هستند،

sin(υ i, r i) = 1.

بنابراین تکانه زاویه ای یک نقطه مادی برای حرکت چرخشی شکل خواهد گرفت

L = m i υ i r i .

لحظه نیرویی که بر نقطه مادی i-ام اثر می کند

حاصل ضرب بردار بردار شعاع که به نقطه اعمال نیرو کشیده می شود و این نیرو را گشتاور نیروی وارد بر نقطه مادی i نسبت به محور چرخش می گویند.

به شکل اسکالر

M i = r i F i sin(r i, F i).

با توجه به اینکه r i sinα = l i،M i = l i F i .

اندازه ل i برابر طول عمودی که از نقطه چرخش به جهت اثر نیرو پایین می آید، بازوی نیرو نامیده می شود. F i.

دینامیک حرکت چرخشی

معادله دینامیک حرکت چرخشی به صورت زیر نوشته شده است:

M = dL/dt.

فرمول قانون به شرح زیر است: سرعت تغییر تکانه زاویه ای جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​برابر است با گشتاور حاصله نسبت به این محور تمام نیروهای خارجی اعمال شده به جسم.

لحظه ضربه و لحظه اینرسی

مشخص است که برای نقطه مادی i ام، تکانه زاویه ای به شکل اسکالر با فرمول داده می شود

L i = m i υ i r i .

اگر به جای سرعت خطی، بیان آن را با سرعت زاویه ای جایگزین کنیم:

υ i = ω یا من،

سپس عبارت حرکت زاویه ای شکل خواهد گرفت

L i = m i r i 2 ω.

اندازه من i = m i r i 2ممان اینرسی نسبت به محور i-امین نقطه مادی جسم کاملا صلبی که از مرکز جرم خود می گذرد نامیده می شود. سپس تکانه زاویه ای نقطه مادی را می نویسیم:

L i = I i ω.

تکانه زاویه ای یک جسم کاملا صلب را به صورت مجموع تکانه زاویه ای نقاط مادی تشکیل دهنده این جسم می نویسیم:

L = Iω.

ممان نیرو و ممان اینرسی

قانون حرکت چرخشی می گوید:

M = dL/dt.

مشخص است که تکانه زاویه ای یک جسم را می توان از طریق ممان اینرسی نشان داد:

L = Iω.

M = Idω/dt.

با توجه به اینکه شتاب زاویه ای با عبارت تعیین می شود

ε = dω/dt،

ما فرمولی برای ممان نیرو به دست می آوریم که از طریق ممان اینرسی نشان داده می شود:

M = Iε.

اظهار نظر.یک لحظه نیرو در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که شتاب زاویه ای ایجاد کننده آن بزرگتر از صفر باشد و بالعکس.

قضیه اشتاینر. قانون جمع گشتاورهای اینرسی

اگر محور چرخش جسمی از مرکز جرم آن عبور نکند، می‌توان با استفاده از قضیه اشتاینر، گشتاور اینرسی را نسبت به این محور پیدا کرد:
I = I 0 + Ma 2،

جایی که من 0- لحظه اولیه اینرسی بدن؛ متر- جرم بدن؛ آ- فاصله بین محورها

اگر سیستمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​متشکل از nاجسام، آنگاه ممان اینرسی کل این نوع سیستم برابر با مجموع گشتاورهای اجزای آن (قانون جمع گشتاورهای اینرسی) خواهد بود.

حرکت جسم صلب را اگر در حین حرکت، تمام نقاط جسم که روی یک خط مستقیم معین به نام محور چرخش قرار دارند، بی حرکت بمانند، چرخشی می گویند.(شکل 2.15).

معمولا موقعیت بدن در حین حرکت چرخشی مشخص می شود زاویه چرخشبدن , که به عنوان زاویه دو وجهی بین صفحات ثابت و متحرک عبوری از محور چرخش اندازه گیری می شود. علاوه بر این، صفحه متحرک به یک بدنه چرخان متصل است.

اجازه دهید سیستم های مختصات متحرک و ثابت را در نظر بگیریم که مبدا آنها در نقطه دلخواه O در محور چرخش قرار می گیرد. محور Oz، مشترک با سیستم مختصات متحرک و ثابت، در امتداد محور چرخش، محور هدایت خواهد شد. اوهاز سیستم مختصات ثابت، آن را عمود بر محور Oz هدایت می کنیم تا در صفحه ثابت، محور قرار گیرد. اوه 1بیایید سیستم مختصات متحرک را عمود بر محور Oz هدایت کنیم تا در صفحه متحرک قرار گیرد (شکل 2.15).

اگر مقطعی از جسم را با صفحه ای عمود بر محور چرخش در نظر بگیریم، زاویه چرخش φ را می توان به عنوان زاویه بین محور ثابت تعریف کرد اوهو محور متحرک اوه 1، همیشه با یک جسم چرخان مرتبط است (شکل 2.16).

جهت مرجع برای زاویه چرخش بدنه پذیرفته شده است φ هنگام مشاهده از جهت مثبت محور اوز، خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود.

برابری φ = φ(t)، تغییر زاویه را توصیف می کند φ در زمان قانون یا معادله حرکت دورانی جسم صلب نامیده می شود.

سرعت و جهت تغییر در زاویه چرخش یک جسم صلب با مشخصه می شود سرعت زاویه ایقدر مطلق سرعت زاویه ای معمولا با یک حرف از الفبای یونانی نشان داده می شود ω (امگا). مقدار جبری سرعت زاویه ای معمولاً با نشان داده می شود. مقدار جبری سرعت زاویه ای برابر است با اولین مشتق زمانی زاویه چرخش:

. (2.33)

واحدهای سرعت زاویه ای برابر است با واحدهای زاویه تقسیم بر واحد زمان، به عنوان مثال، درجه در دقیقه، راد در ساعت. در سیستم SI، واحد اندازه گیری سرعت زاویه ای راد بر ثانیه است، اما اغلب نام این واحد اندازه گیری به صورت 1/s نوشته می شود.

اگر > 0 باشد، وقتی از انتهای محور مختصات هم تراز با محور چرخش مشاهده می شود، بدنه در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد.

اگر< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

سرعت و جهت تغییر در سرعت زاویه ای با شتاب زاویه ای مشخص می شود. مقدار مطلق شتاب زاویه ای معمولاً با حرف الفبای یونانی e (epsilon) نشان داده می شود. مقدار جبری شتاب زاویه ای معمولا با نشان داده می شود. مقدار جبری شتاب زاویه ای برابر با مشتق اول نسبت به زمان مقدار جبری سرعت زاویه ای یا مشتق دوم زاویه چرخش است:

واحدهای شتاب زاویه ای برابر است با واحدهای زاویه تقسیم بر واحد زمان. به عنوان مثال، deg/s 2، rad/h 2. در سیستم SI، واحد اندازه گیری شتاب زاویه ای راد/ثانیه 2 است، اما بیشتر اوقات نام این واحد اندازه گیری به صورت 1/s 2 نوشته می شود.

اگر مقادیر جبری سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای علامت یکسانی داشته باشند، سرعت زاویه ای به مرور زمان افزایش می یابد و اگر متفاوت باشد، کاهش می یابد.

اگر سرعت زاویه ای ثابت باشد ( ω = const)، پس مرسوم است که می گویند چرخش بدن یکنواخت است. در این مورد:

φ = t + φ 0, (2.35)

جایی که φ 0 - زاویه چرخش اولیه

اگر شتاب زاویه ای ثابت باشد (e = const)، در این صورت مرسوم است که می گویند چرخش بدنه به طور یکنواخت شتاب می گیرد (یکنواخت کند). در این مورد:

جایی که 0 - سرعت زاویه ای اولیه

در موارد دیگر، برای تعیین وابستگی φ از جانب و لازم است عبارات (2.33)، (2.34) تحت شرایط اولیه داده شده ادغام شوند.

در نقشه ها، جهت چرخش بدن گاهی با یک فلش منحنی نشان داده می شود (شکل 2.17).

اغلب در مکانیک، سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای به عنوان کمیت های برداری در نظر گرفته می شود. و . هر دوی این بردارها در امتداد محور چرخش جسم هدایت می شوند. علاوه بر این، بردار در یک جهت با بردار واحد، که جهت محور مختصات منطبق بر محور چرخش را تعیین می کند، در صورتی که >0, و بالعکس اگر
جهت بردار به همین ترتیب انتخاب می شود (شکل 2.18).

در حین حرکت چرخشی یک جسم، هر یک از نقاط آن (به استثنای نقاطی که روی محور چرخش قرار دارند) در امتداد مسیری حرکت می کند که دایره ای با شعاع برابر با کوتاه ترین فاصله از نقطه تا محور چرخش است. 2.19).

از آنجایی که مماس یک دایره در هر نقطه با شعاع زاویه 90 درجه ایجاد می کند، بردار سرعت نقطه ای از جسمی که در حال حرکت چرخشی است عمود بر شعاع قرار می گیرد و در صفحه دایره قرار می گیرد. مسیر حرکت نقطه مولفه مماسی شتاب روی همان خط سرعت قرار می گیرد و جزء عادی به صورت شعاعی به سمت مرکز دایره هدایت می شود. بنابراین گاهی اوقات به ترتیب مولفه های مماس و عادی شتاب در حین حرکت دورانی نامیده می شوند چرخشی و مرکزگرا (محوری)اجزاء (شکل 2.19)

مقدار جبری سرعت یک نقطه با عبارت زیر تعیین می شود:

, (2.37)

که در آن R = OM کوتاهترین فاصله از نقطه تا محور چرخش است.

مقدار جبری مولفه مماسی شتاب با عبارت زیر تعیین می شود:

. (2.38)

مدول جزء نرمال شتاب با عبارت زیر تعیین می شود:

. (2.39)

بردار شتاب یک نقطه در حین حرکت چرخشی توسط قانون متوازی الاضلاع به عنوان مجموع هندسی مؤلفه های مماس و عادی تعیین می شود. بر این اساس، مدول شتاب را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث تعیین کرد:

اگر سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای به عنوان کمیت های برداری تعریف شوند , , سپس بردارهای سرعت، مولفه های مماسی و نرمال شتاب را می توان با فرمول های زیر تعیین کرد:

بردار شعاع از نقطه دلخواه در محور چرخش به نقطه M کشیده شده است (شکل 2.20).

حل مسائل مربوط به حرکت چرخشی یک جسم معمولاً هیچ مشکلی ایجاد نمی کند. با استفاده از فرمول های (2.33)-(2.40)، به راحتی می توانید هر پارامتر ناشناخته را تعیین کنید.

هنگام حل مسائل مربوط به مطالعه مکانیسم های متشکل از چندین جسم به هم پیوسته که هم حرکت چرخشی و هم حرکتی را انجام می دهند، مشکلات خاصی ایجاد می شود.

رویکرد کلی برای حل چنین مسائلی این است که حرکت از یک جسم به جسم دیگر از طریق یک نقطه - نقطه مماس (تماس) منتقل می شود. علاوه بر این، اجسام در تماس دارای سرعت برابر و مولفه های شتاب مماسی در نقطه تماس هستند. اجزای عادی شتاب برای اجسام در تماس در نقطه تماس متفاوت است، آنها به مسیر حرکت نقاط اجسام بستگی دارند.

هنگام حل مسائل از این نوع، بسته به شرایط خاص، راحت است که از فرمول های ارائه شده در بخش 2.3 و فرمول های تعیین سرعت و شتاب یک نقطه هنگام تعیین حرکت آن به عنوان طبیعی (2.7)، (2.14) استفاده کنید. ) (2.16) یا مختصات (2.3)، (2.4)، (2.10)، (2.11) روش. علاوه بر این، اگر حرکت جسمی که نقطه به آن تعلق دارد چرخشی باشد، مسیر حرکت نقطه دایره خواهد بود. اگر حرکت جسم انتقالی مستطیل باشد، مسیر حرکت نقطه یک خط مستقیم خواهد بود.

مثال 2.4.بدن حول یک محور ثابت می چرخد. زاویه چرخش بدن طبق قانون تغییر می کند φ = π t 3خوشحالم برای نقطه ای که در فاصله OM = R = 0.5 متر از محور چرخش قرار دارد، سرعت، مماس، مولفه های عادی شتاب و شتاب را در لحظه زمان تعیین کنید. t 1= 0.5 ثانیه جهت این بردارها را در نقاشی نشان دهید.

اجازه دهید قسمتی از جسم را با صفحه ای در نظر بگیریم که از نقطه O عمود بر محور چرخش عبور می کند (شکل 2.21). در این شکل، نقطه O نقطه تلاقی محور چرخش و صفحه برش، نقطه است. M oو M 1- به ترتیب موقعیت اولیه و فعلی نقطه M. از طریق نقاط O و M oیک محور ثابت رسم کنید اوه، و از طریق نقاط O و M 1 -محور متحرک اوه 1.زاویه بین این محورها برابر خواهد بود

قانون تغییر در سرعت زاویه ای جسم را با تفکیک قانون تغییر در زاویه چرخش پیدا می کنیم:

در حال حاضر t 1سرعت زاویه ای برابر خواهد بود

با تمایز قانون تغییر در سرعت زاویه ای، قانون تغییر در شتاب زاویه ای جسم را پیدا می کنیم:

در حال حاضر t 1شتاب زاویه ای برابر خواهد بود با:

1/s 2,

مقادیر جبری بردارهای سرعت، مولفه مماسی شتاب، مدول مولفه نرمال شتاب و مدول شتاب را با استفاده از فرمول های (2.37)، (2.38)، (2.39)، (2.40) پیدا می کنیم:

M/s 2 ;

m/s 2.

از زاویه φ 1> 0، سپس آن را از محور Ox در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت می دهیم. و از > 0 و سپس بردارها عمود بر شعاع هدایت خواهد شد OM 1به طوری که آنها را در خلاف جهت عقربه های ساعت می بینیم. بردار در امتداد شعاع هدایت خواهد شد OM 1به محور چرخش بردار بیایید طبق قانون متوازی الاضلاع بردارها بسازیم τ و .

مثال 2.5.با توجه به معادله داده شده حرکت انتقالی مستطیل بار 1 x = 0,6تی 2 - 0.18 (m) سرعت و همچنین مولفه مماسی و نرمال شتاب و شتاب نقطه M مکانیسم را در لحظه زمان تعیین می کند. t 1هنگامی که مسیر طی شده توسط بار 1 برابر s = 0.2 متر است. هنگام حل مسئله، فرض می کنیم که در نقطه تماس اجسام 2 و 3 لغزشی وجود ندارد. R 2= 1.0 متر، r2 = 0.6 متر، R 3 = 0.5 متر (شکل 2.22).

قانون حرکت انتقالی مستطیلی بار 1 به صورت مختصات داده شده است. بیایید لحظه را در زمان تعیین کنیم t 1، که مسیر طی شده توسط بار 1 برابر s خواهد بود

s = x(t l)-x(0),

از جایی که می گیریم:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

از این رو،

با تفکیک معادله حرکت نسبت به زمان، پیش بینی های سرعت و شتاب بار 1 را بر روی محور Ox می یابیم:

ام‌اس 2 ;

در لحظه t = t 1 پیش بینی سرعت بار 1 برابر خواهد بود با:

یعنی بزرگتر از صفر خواهد بود، همانطور که پیش بینی شتاب بار 1 است. بنابراین، بار 1 در لحظه t خواهد بود. 1 به ترتیب با شتاب یکنواخت به سمت پایین حرکت کنید، بدن 2 با شتاب یکنواخت در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد ​​و بدنه 3 در جهت عقربه های ساعت می چرخد.

بدن 2 توسط بدن 1 از طریق نخی که روی یک درام زخمی شده به چرخش هدایت می شود. بنابراین، مدول های سرعت نقاط بدنه 1، نخ و سطح تله بدنه 2 با هم برابرند و مدول های شتاب نقاط جسم 1، نخ و مولفه مماسی شتاب. از نقاط سطح تله بدنه 2 نیز برابر خواهد بود در نتیجه ماژول سرعت زاویه ای جسم 2 را می توان به صورت زیر تعریف کرد.

مدول شتاب زاویه ای جسم 2 برابر خواهد بود با:

1/s 2 .

اجازه دهید ماژول های سرعت و مولفه مماسی شتاب را برای نقطه K جسم 2 - نقطه تماس اجسام 2 و 3 تعیین کنیم:

ام‌اس، ام‌اس 2

از آنجایی که اجسام 2 و 3 بدون لغزش متقابل می چرخند، بزرگی سرعت و مولفه مماسی شتاب نقطه K - نقطه تماس این اجسام برابر خواهد بود.

بیایید آن را عمود بر شعاع در جهت چرخش بدنه هدایت کنیم، زیرا جسم 3 با شتاب یکنواخت می چرخد.

ترقی خواهحرکت یک جسم صلب است که در آن هر خط مستقیمی که همیشه با این جسم مرتبط است موازی با موقعیت اولیه خود باقی می ماند.

قضیه. در طول حرکت انتقالی یک جسم صلب، تمام نقاط آن مسیرهای یکسانی را توصیف می کنند و در هر لحظه معین دارای سرعت و شتاب مساوی در قدر و جهت هستند.

اثبات بیایید از طریق دو نقطه و ، یک بخش بدنه متحرک خطی
و حرکت این قطعه را در موقعیت در نظر بگیرید
. در عین حال، نکته مسیر را توصیف می کند
، و اشاره کنید - مسیر حرکت
(شکل 56).

با توجه به اینکه بخش
به موازات خود حرکت می کند و طول آن تغییر نمی کند، می توان ثابت کرد که مسیر نقاط و همینطور خواهد بود. این بدان معناست که قسمت اول قضیه ثابت شده است. ما موقعیت نقاط را تعیین می کنیم و روش برداری نسبت به یک مبدا ثابت . علاوه بر این، این شعاع بردارها وابسته هستند
. زیرا. نه طول و نه جهت قطعه
هنگامی که بدن حرکت می کند، بردار تغییر نمی کند

. بیایید به تعیین سرعت با استفاده از وابستگی (24) برویم:

، ما گرفتیم
.

بیایید به تعیین شتاب ها با استفاده از وابستگی (26) برویم:

، ما گرفتیم
.

از قضیه اثبات شده چنین بر می آید که حرکت انتقالی یک جسم به طور کامل مشخص می شود اگر حرکت تنها یک نقطه مشخص باشد. بنابراین، مطالعه حرکت انتقالی یک جسم صلب به مطالعه حرکت یکی از نقاط آن، یعنی. تا مسئله سینماتیک نقطه

مبحث 11. حرکت دورانی جسم صلب

چرخشیاین حرکت یک جسم صلب است که در آن دو نقطه آن در تمام طول حرکت بی حرکت می مانند. در این حالت خط مستقیمی که از این دو نقطه ثابت می گذرد نامیده می شود محور چرخش.

در طی این حرکت، هر نقطه از بدن که روی محور چرخش قرار نمی‌گیرد، دایره‌ای را توصیف می‌کند که صفحه آن عمود بر محور چرخش است و مرکز آن روی این محور قرار دارد.

ما از طریق محور چرخش یک صفحه ثابت I و یک صفحه متحرک II را ترسیم می کنیم که همیشه به بدنه متصل هستند و با آن می چرخند (شکل 57). موقعیت صفحه II و بر این اساس کل بدن، نسبت به صفحه I در فضا، کاملاً با زاویه تعیین می شود. . وقتی جسمی حول یک محور می چرخد این زاویه تابع پیوسته و بدون ابهام زمان است. بنابراین با دانستن قانون تغییر این زاویه در طول زمان می‌توان موقعیت جسم را در فضا تعیین کرد:

- قانون حرکت چرخشی یک جسم. (43)

در این صورت فرض می کنیم که زاویه از یک صفحه ثابت در جهت مخالف حرکت جهت عقربه های ساعت، زمانی که از انتهای مثبت محور مشاهده می شود، اندازه گیری می شود. . از آنجایی که موقعیت جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​با یک پارامتر تعیین می شود، به چنین جسمی یک درجه آزادی گفته می شود.

سرعت زاویهای

تغییر زاویه چرخش جسم در طول زمان را زاویه ای می گویند سرعت بدن و تعیین شده است
(امگا):

.(44)

سرعت زاویه ای، درست مانند سرعت خطی، یک کمیت برداری است و این بردار است بر روی محور چرخش بدن ساخته شده است. در امتداد محور چرخش در آن جهت هدایت می شود به طوری که با نگاه کردن از انتهای آن به ابتدای آن، می توان چرخش بدن را در خلاف جهت عقربه های ساعت مشاهده کرد (شکل 58). مدول این بردار با وابستگی (44) تعیین می شود. نقطه کاربرد روی محور را می توان به طور دلخواه انتخاب کرد، زیرا بردار را می توان در امتداد خط عمل خود منتقل کرد. اگر بردار قائم محور چرخش را با علامت نشان دهیم ، سپس عبارت برداری را برای سرعت زاویه ای بدست می آوریم:

. (45)

شتاب زاویه ای

سرعت تغییر در سرعت زاویه ای جسم در طول زمان نامیده می شود شتاب زاویه ای بدنه و تعیین شده است (اپسیلون):

. (46)

شتاب زاویه ای یک کمیت برداری است و این بردار است بر روی محور چرخش بدن ساخته شده است. در امتداد محور چرخش در آن جهت هدایت می شود به طوری که با نگاه کردن از انتهای آن به ابتدای آن، می توان جهت چرخش اپسیلون را در خلاف جهت عقربه های ساعت مشاهده کرد (شکل 58). مدول این بردار با وابستگی (46) تعیین می شود. نقطه کاربرد روی محور را می توان به طور دلخواه انتخاب کرد، زیرا بردار را می توان در امتداد خط عمل خود منتقل کرد.

اگر بردار قائم محور چرخش را با علامت نشان دهیم ، سپس عبارت برداری را برای شتاب زاویه ای بدست می آوریم:

. (47)

اگر سرعت زاویه ای و شتاب هم علامت باشند، بدن می چرخد تسریع کردو اگر متفاوت باشد - به آرامی. نمونه ای از چرخش آهسته در شکل نشان داده شده است. 58.

اجازه دهید موارد خاصی از حرکت چرخشی را در نظر بگیریم.

1. چرخش یکنواخت:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. چرخش مساوی:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

رابطه بین پارامترهای خطی و زاویه ای

حرکت یک نقطه دلخواه را در نظر بگیرید
بدن چرخان در این صورت مسیر نقطه دایره ای با شعاع خواهد بود
، در صفحه ای عمود بر محور چرخش قرار دارد (شکل 59، آ).

اجازه دهید این را در لحظه زمان فرض کنیم نقطه در موقعیت است
. فرض کنید بدن در جهت مثبت می چرخد، یعنی. در جهت افزایش زاویه . در یک لحظه از زمان
نقطه موضع خواهد گرفت
. بیایید قوس را نشان دهیم
. بنابراین، در یک دوره زمانی
نقطه از راه گذشته است
. سرعت متوسط ​​او ، و وقتی که
,
. اما، از شکل 59، ب، واضح است که
. سپس. بالاخره می رسیم

. (50)

اینجا - سرعت خطی نقطه
. همانطور که قبلاً به دست آمد، این سرعت به صورت مماس بر مسیر در یک نقطه معین هدایت می شود، یعنی. مماس بر دایره

بنابراین، مدول سرعت خطی (محیطی) یک نقطه از یک جسم دوار برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق سرعت زاویه ای و فاصله از این نقطه تا محور چرخش.

حالا مولفه های خطی شتاب یک نقطه را با پارامترهای زاویه ای وصل می کنیم.

,
. (51)

مدول شتاب مماسی نقطه ای از جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد ​​برابر است با حاصل ضرب شتاب زاویه ای جسم و فاصله این نقطه تا محور چرخش.

,
. (52)

مدول شتاب معمولی نقطه ای از جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد ​​برابر است با حاصل ضرب مجذور سرعت زاویه ای جسم و فاصله این نقطه تا محور چرخش.

سپس عبارت شتاب کل نقطه شکل می گیرد

. (53)

جهت های برداری ,,در شکل 59 نشان داده شده است، V.

حرکت صافیک جسم صلب حرکتی است که در آن تمام نقاط بدن به موازات یک صفحه ثابت حرکت می کنند. نمونه هایی از این حرکت:

حرکت هر جسمی که قاعده آن در امتداد یک صفحه ثابت معین می لغزد.

غلتش یک چرخ در امتداد یک بخش مستقیم از مسیر (راه آهن).

معادلات حرکت صفحه را بدست می آوریم. برای انجام این کار، یک شکل صاف را در نظر بگیرید که در صفحه ورق حرکت می کند (شکل 60). اجازه دهید این حرکت را به یک سیستم مختصات ثابت مرتبط کنیم
، و با خود شکل سیستم مختصات متحرک را به هم وصل می کنیم
، که با آن حرکت می کند.

بدیهی است که موقعیت یک شکل متحرک در یک صفحه ثابت با موقعیت محورهای متحرک تعیین می شود.
نسبت به محورهای ثابت
. این موقعیت با موقعیت مبدا متحرک تعیین می شود ، یعنی مختصات ,و زاویه چرخش یک سیستم مختصات متحرک، نسبتاً ثابت که از محور آن را می شماریم در جهت مخالف حرکت عقربه های ساعت.

در نتیجه، حرکت یک شکل صاف در صفحه آن به طور کامل مشخص خواهد شد اگر مقادیر از ,,، یعنی معادلات فرم:

,
,
. (54)

معادلات (54) معادلات حرکت صفحه یک جسم صلب هستند، زیرا اگر این توابع شناخته شوند، به ترتیب برای هر لحظه از زمان می توان از این معادلات پیدا کرد. ,,، یعنی تعیین موقعیت یک شکل متحرک در یک لحظه معین از زمان.

بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم:

1.

، سپس حرکت بدن انتقالی خواهد بود، زیرا محورهای متحرک حرکت می کنند در حالی که موازی با موقعیت اولیه خود باقی می مانند.

2.

,

. با این حرکت فقط زاویه چرخش تغییر می کند ، یعنی بدن حول محوری می چرخد ​​که عمود بر صفحه ترسیم از نقطه عبور می کند .

تجزیه حرکت یک شکل صاف به انتقالی و چرخشی

دو موقعیت متوالی را در نظر بگیرید و
در لحظاتی از زمان توسط بدن اشغال می شود و
(شکل 61). بدن از موقعیت به موقعیت
به شرح زیر قابل انتقال است. بیایید ابتدا بدن را حرکت دهیم به تدریج. در این مورد، بخش
به موازات خود به سمت موقعیت حرکت خواهد کرد
، و سپس بیایید بچرخیمبدن در اطراف یک نقطه (قطب) در یک زاویه
تا زمانی که نقاط بر هم منطبق شوند و .

از این رو، هر حرکت صفحه ای را می توان به عنوان مجموع حرکت انتقالی همراه با قطب انتخاب شده و حرکت چرخشی نشان داد., نسبت به این قطب

بیایید روش هایی را در نظر بگیریم که می توان از آنها برای تعیین سرعت نقاط جسمی که حرکت صفحه را انجام می دهند استفاده کرد.

1. روش قطب. این روش بر اساس تجزیه حاصل از حرکت صفحه به انتقالی و چرخشی است. سرعت هر نقطه از یک شکل مسطح را می توان به صورت دو جزء نشان داد: انتقالی، با سرعتی برابر با سرعت یک نقطه انتخابی دلخواه -قطب ها ، و چرخشی حول این قطب.

بیایید یک بدن صاف را در نظر بگیریم (شکل 62). معادلات حرکت عبارتند از:
,
,
.

از این معادلات سرعت نقطه را مشخص می کنیم (مانند روش مختصات مشخص کردن)

,
,
.

بنابراین، سرعت نقطه - مقدار مشخص است. این نقطه را به عنوان یک قطب در نظر می گیریم و سرعت یک نقطه دلخواه را تعیین می کنیم
بدن.

سرعت
از یک جزء ترجمه تشکیل خواهد شد ، هنگام حرکت همراه با نقطه ، و چرخشی
، هنگام چرخش نقطه
نسبت به نقطه . سرعت نقطه حرکت به نقطه
موازی با خودش، زیرا در حین حرکت انتقالی، سرعت تمام نقاط هم از نظر قدر و هم جهت برابر است. سرعت
با وابستگی تعیین خواهد شد (50)
، و این بردار عمود بر شعاع جهت داده شده است
در جهت چرخش
. بردار
در امتداد مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها هدایت می شود و
، و ماژول آن توسط وابستگی تعیین می شود:

, .(55)

2. قضیه پیش بینی سرعت دو نقطه از یک جسم.

پیش بینی سرعت دو نقطه از یک جسم صلب بر روی خط مستقیمی که این نقاط را به هم متصل می کند با یکدیگر برابر است.

دو نقطه از بدن را در نظر بگیرید و (شکل 63). امتیاز گرفتن فراتر از قطب، ما جهت را تعیین می کنیم بسته به (55):
. ما این برابری برداری را روی خط طرح می کنیم
و با توجه به آن
عمود بر
، ما گرفتیم

3. مرکز سرعت لحظه ای.

مرکز سرعت لحظه ای(MCS) نقطه ای است که سرعت آن در یک زمان معین صفر است.

اجازه دهید نشان دهیم که اگر جسمی به صورت انتقالی حرکت نکند، چنین نقطه ای در هر لحظه از زمان وجود دارد و علاوه بر این، منحصر به فرد است. اجازه دهید در یک لحظه در زمان نکته ها و اجساد در بخش خوابیده ، دارای سرعت هستند و ، موازی با یکدیگر نیستند (شکل 64). سپس اشاره کنید
، در محل تقاطع عمود بر بردارها قرار دارد و و یک MCS وجود خواهد داشت، زیرا
.

در واقع، اگر این را فرض کنیم
، سپس با توجه به قضیه (56) بردار
باید عمود بر هم باشند
و
، که غیر ممکن است. از همین قضیه مشخص است که هیچ نقطه بخش دیگری وجود ندارد در این لحظه از زمان نمی تواند سرعتی برابر با صفر داشته باشد.

با استفاده از روش قطب
- قطب، سرعت نقطه را تعیین کنید (55): زیرا
,
. (57)

نتیجه مشابهی را می توان برای هر نقطه دیگری از بدن به دست آورد. بنابراین، سرعت هر نقطه از بدن برابر با سرعت چرخش آن نسبت به MCS است:

,
,
، یعنی سرعت نقاط بدن متناسب با فاصله آنها تا MCS است.

از سه روش در نظر گرفته شده برای تعیین سرعت نقاط یک شکل مسطح، واضح است که MCS ارجح است، زیرا در اینجا سرعت بلافاصله هم در بزرگی و هم در جهت یک جزء تعیین می شود. اما اگر موقعیت MCS را برای بدن بدانیم یا بتوانیم تعیین کنیم می توان از این روش استفاده کرد.

تعیین موقعیت MCS

1. اگر برای یک موقعیت معین از جسم جهات سرعت دو نقطه از جسم را بدانیم، آنگاه MCS نقطه تلاقی عمود بر این بردارهای سرعت خواهد بود.

2. سرعت دو نقطه از بدن ضد موازی است (شکل 65، آ). در این صورت، عمود بر سرعت ها مشترک خواهد بود، یعنی. MCS در جایی در این عمود قرار دارد. برای تعیین موقعیت MCS، لازم است انتهای بردارهای سرعت به هم متصل شوند. نقطه تلاقی این خط با عمود بر MCS مورد نظر خواهد بود. در این حالت MCS بین این دو نقطه قرار می گیرد.

3. سرعت دو نقطه از بدن موازی هستند، اما از نظر قدر برابر نیستند (شکل 65، ب). روش دریافت MDS مشابه آنچه در بند 2 توضیح داده شده است.

د) سرعت دو نقطه از نظر قدر و جهت برابر است (شکل 65، V). حالت حرکت انتقالی آنی را به دست می آوریم که در آن سرعت تمام نقاط بدن برابر است. در نتیجه، سرعت زاویه ای بدن در این موقعیت صفر است:

4. اجازه دهید MCS را برای یک چرخ نورد بدون لغزش روی یک سطح ثابت تعیین کنیم (شکل 65، جی). از آنجایی که حرکت بدون لغزش انجام می شود، در نقطه تماس چرخ با سطح، سرعت یکسان و برابر با صفر خواهد بود، زیرا سطح ثابت است. در نتیجه، نقطه تماس چرخ با سطح ثابت MCS خواهد بود.

تعیین شتاب نقاط یک شکل صفحه

هنگام تعیین شتاب نقاط یک شکل مسطح، قیاسی با روش های تعیین سرعت وجود دارد.

1. روش قطب. همانطور که هنگام تعیین سرعت، نقطه دلخواه جسمی را که شتاب آن را می دانیم یا می توانیم تعیین کنیم، به عنوان یک قطب در نظر می گیریم. سپس شتاب هر نقطه از یک شکل صاف برابر است با مجموع شتاب های قطب و شتاب در حرکت چرخشی حول این قطب:

در این مورد، جزء
شتاب یک نقطه را تعیین می کند همانطور که به دور قطب می چرخد . هنگام چرخش، مسیر نقطه منحنی خواهد بود، به این معنی
(شکل 66).

سپس وابستگی (58) شکل می گیرد
. (59)

با در نظر گرفتن وابستگی های (51) و (52) به دست می آوریم
,
.

2. مرکز شتاب فوری.

مرکز شتاب فوری(MCU) نقطه ای است که شتاب آن در یک زمان معین صفر است.

اجازه دهید نشان دهیم که در هر لحظه از زمان چنین نقطه ای وجود دارد. یک نقطه را به عنوان یک قطب می گیریم ، که شتاب آن
ما میدانیم. پیدا کردن زاویه دراز کشیدن در داخل
، و ارضای شرط
. اگر
، آن
و بالعکس، یعنی. گوشه با تأخیر در جهت . از اصل موضوع به تعویق بیفتیم در یک زاویه به بردار
بخش خط
(شکل 67). نقطه ای که با چنین ساخت و سازهایی به دست می آید
یک MCU وجود خواهد داشت.

در واقع، شتاب نقطه
برابر با مجموع شتاب ها
قطب ها و شتاب
در حرکت چرخشی حول قطب :
.

,
. سپس
. از طرفی شتاب
با جهت قطعه تشکیل می شود
گوشه
، که شرایط را برآورده می کند
. یک علامت منفی در مقابل مماس زاویه قرار می گیرد ، از زمان چرخش
نسبت به قطب خلاف جهت عقربه های ساعت و زاویه
در جهت عقربه های ساعت سپرده می شود. سپس
.

از این رو،
و سپس
.

موارد خاص تعیین MCU

1.
. سپس
و بنابراین، MCU وجود ندارد. در این حالت، بدن به صورت انتقالی حرکت می کند، یعنی. سرعت و شتاب تمام نقاط بدن برابر است.

2.
. سپس
,
. این بدان معنی است که MCU در محل تلاقی خطوط عمل شتاب نقاط بدن قرار دارد (شکل 68، آ).

3.
. سپس،
,
. این بدان معنی است که MCU در محل تلاقی عمود بر شتاب نقاط بدن قرار دارد (شکل 68، ب).

4.
. سپس
,

. این بدان معنی است که MCU در تقاطع پرتوهای کشیده شده به سمت شتاب نقاط بدن در یک زاویه قرار دارد. (شکل 68، V).

از موارد خاص در نظر گرفته شده می توان نتیجه گرفت: اگر نکته را بپذیریم
فراتر از قطب، شتاب هر نقطه از یک شکل صاف با شتاب در حرکت چرخشی حول MCU تعیین می شود:

. (60)

حرکت نقطه پیچیدهحرکتی که در آن یک نقطه به طور همزمان در دو یا چند حرکت شرکت می کند نامیده می شود. با چنین حرکتی، موقعیت نقطه نسبت به سیستم های مرجع متحرک و نسبتاً ثابت تعیین می شود.

حرکت یک نقطه نسبت به یک قاب مرجع متحرک نامیده می شود حرکت نسبی یک نقطه . ما موافقیم که پارامترهای حرکت نسبی را مشخص کنیم
.

حرکت آن نقطه از سیستم مرجع متحرک که نقطه متحرک نسبت به سیستم مرجع ثابت در حال حاضر با آن منطبق است نامیده می شود. حرکت قابل حمل نقطه . ما موافقیم که پارامترهای حرکت قابل حمل را مشخص کنیم
.

حرکت یک نقطه نسبت به یک چارچوب مرجع ثابت نامیده می شود مطلق (مختلط) حرکت نقطه ای . ما موافقیم که پارامترهای حرکت مطلق را نشان دهیم
.

به عنوان مثالی از حرکت پیچیده می توان حرکت یک فرد را در یک وسیله نقلیه در حال حرکت (تراموا) در نظر گرفت. در این حالت حرکت انسان به سیستم مختصات متحرک - تراموا و به سیستم مختصات ثابت - زمین (جاده) مربوط می شود. سپس بر اساس تعاریفی که در بالا ارائه شد، حرکت شخص نسبت به تراموا نسبی، حرکت همراه با ترام نسبت به زمین قابل حمل و حرکت شخص نسبت به زمین مطلق است.

ما موقعیت نقطه را تعیین می کنیم
شعاع - بردارهای نسبت به حرکت
و بی حرکت
سیستم های مختصات (شکل 69). اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: - بردار شعاع تعیین کننده موقعیت نقطه
نسبت به سیستم مختصات متحرک
,
;- بردار شعاع که موقعیت ابتدای سیستم مختصات متحرک را تعیین می کند (نقطه ) (نقاط );- شعاع - برداری که موقعیت یک نقطه را تعیین می کند
نسبت به یک سیستم مختصات ثابت
;
,.

اجازه دهید شرایط (قیود) مربوط به حرکات نسبی، قابل حمل و مطلق را بدست آوریم.

1. هنگام در نظر گرفتن حرکت نسبی، فرض می کنیم که نقطه
نسبت به سیستم مختصات متحرک حرکت می کند
و خود سیستم مختصات متحرک
نسبت به یک سیستم مختصات ثابت
حرکت نمی کند

سپس مختصات نقطه
در حرکت نسبی تغییر خواهد کرد، اما بردارهای قائم سیستم مختصات متحرک در جهت تغییر نخواهند کرد:

,

,

.

2. هنگام در نظر گرفتن حرکت قابل حمل، مختصات نقطه را فرض می کنیم
نسبت به سیستم مختصات متحرک ثابت هستند و نقطه همراه با سیستم مختصات متحرک حرکت می کند
نسبتا ثابت
:

,

,

,.

3. با حرکت مطلق، نقطه نیز حرکت نسبی دارد
و همراه با سیستم مختصات
نسبتا ثابت
:

سپس عبارات مربوط به سرعت ها با در نظر گرفتن (27) شکل می گیرند

,
,

با مقایسه این وابستگی ها، عبارت سرعت مطلق را به دست می آوریم:
. (61)

ما یک قضیه در مورد جمع کردن سرعت یک نقطه در حرکت مختلط به دست آوردیم: سرعت مطلق یک نقطه برابر است با مجموع هندسی اجزای سرعت نسبی و قابل حمل.

با استفاده از وابستگی (31)، عباراتی را برای شتاب بدست می آوریم:

,

با مقایسه این وابستگی ها، عبارتی برای شتاب مطلق به دست می آوریم:
.

دریافتیم که شتاب مطلق یک نقطه با مجموع هندسی مولفه های شتاب نسبی و قابل حمل برابر نیست. اجازه دهید مولفه شتاب مطلق را در پرانتز برای موارد خاص تعیین کنیم.

1. حرکت انتقالی قابل حمل نقطه
. در این حالت، محورهای سیستم مختصات متحرک
سپس تمام زمان را به موازات خود حرکت کنند.

,

,

,
,
,
، سپس
. بالاخره می رسیم

. (62)

اگر حرکت قابل حمل یک نقطه انتقالی باشد، شتاب مطلق نقطه برابر است با مجموع هندسی اجزای نسبی و قابل حمل شتاب.

2. حرکت قابل حمل نقطه غیر ترجمه ای است. این بدان معنی است که در این مورد سیستم مختصات متحرک
حول محور چرخش آنی با سرعت زاویه ای می چرخد (شکل 70). اجازه دهید نقطه انتهای بردار را مشخص کنیم از طریق . سپس با استفاده از روش بردار تعیین (15) بردار سرعت این نقطه را به دست می آوریم
.

از طرف دیگر،
. با مساوی کردن سمت راست این برابری های برداری، به دست می آوریم:
. به طور مشابه برای بردارهای واحد باقی مانده، به دست می آوریم:
,
.

در حالت کلی، شتاب مطلق یک نقطه برابر است با مجموع هندسی مولفه های شتاب نسبی و قابل حمل به اضافه حاصل ضرب بردار مضاعف بردار سرعت زاویه ای حرکت قابل حمل و بردار سرعت خطی حرکت نسبی.

حاصل ضرب بردار دوگانه بردار سرعت زاویه ای حرکت قابل حمل و بردار سرعت خطی حرکت نسبی نامیده می شود. شتاب کوریولیس و تعیین شده است

. (64)

شتاب کوریولیس تغییر در سرعت نسبی در حرکت انتقالی و تغییر در سرعت انتقال در حرکت نسبی را مشخص می کند.

سر کرد
طبق قانون محصول برداری. بردار شتاب کوریولیس همیشه عمود بر صفحه تشکیل شده توسط بردارها است. و ، به گونه ای که از انتهای بردار نگاه کنید
، نوبت را ببینید به ، از کوچکترین زاویه، خلاف جهت عقربه های ساعت.

مدول شتاب کوریولیس برابر است با.

زاویه چرخش، سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای

چرخش یک جسم صلب حول یک محور ثابتبه چنین حرکتی گفته می شود که در آن دو نقطه از بدن در تمام مدت حرکت بی حرکت می مانند. در این حالت، تمام نقاط بدن واقع در یک خط مستقیم که از نقاط ثابت آن می گذرد نیز بی حرکت می مانند. این خط نامیده می شود محور چرخش بدن

اگر آو که در- نقاط ثابت بدن (شکل 15 ), سپس محور چرخش محور است اوز،که می تواند هر جهتی در فضا داشته باشد، نه لزوماً عمودی. جهت یک محور اوزمثبت تلقی می شود.

ما یک صفحه ثابت را از طریق محور چرخش رسم می کنیم توسطو موبایل پ،به یک جسم چرخان متصل است. بگذارید در لحظه اولیه زمان هر دو صفحه بر هم منطبق شوند. سپس در یک لحظه از زمان تیموقعیت صفحه متحرک و خود جسم دوار را می توان با زاویه دو وجهی بین صفحات و زاویه خطی مربوطه تعیین کرد. φ بین خطوط مستقیم واقع در این صفحات و عمود بر محور چرخش. گوشه φ تماس گرفت زاویه چرخش بدن

موقعیت بدن نسبت به سیستم مرجع انتخابی به طور کامل در هر یک تعیین می شود

لحظه در زمان، اگر معادله داده شود φ =f(t) (5)

جایی که f(t)- هر تابع دو برابر قابل تمایز زمان. این معادله نامیده می شود معادله چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت

جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​دارای یک درجه آزادی است، زیرا موقعیت آن تنها با تعیین یک پارامتر - زاویه تعیین می شود. φ .

گوشه φ اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت رسم شود مثبت در نظر گرفته می شود و وقتی از جهت مثبت محور مشاهده شود در جهت مخالف آن منفی در نظر گرفته می شود. اوزمسیر نقاط یک جسم در حین چرخش آن حول یک محور ثابت، دایره هایی هستند که در صفحات عمود بر محور چرخش قرار دارند.

برای توصیف حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت، مفاهیم سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای را معرفی می کنیم. سرعت زاویه ای جبری بدندر هر لحظه از زمان، اولین مشتق با توجه به زمان زاویه چرخش در این لحظه نامیده می شود، یعنی. dφ/dt = φ.هنگامی که بدن در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد، کمیت مثبت است، زیرا زاویه چرخش با زمان افزایش می‌یابد، و زمانی که بدن در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد، کمیت منفی است، زیرا زاویه چرخش کاهش می‌یابد.

ماژول سرعت زاویه ای با نشان داده می شود ω. سپس ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

بعد سرعت زاویه ای مطابق با (6) تنظیم می شود.

[ω] = زاویه/زمان = rad/s = s -1.

در مهندسی، سرعت زاویه ای سرعت چرخشی است که بر حسب دور بر دقیقه بیان می شود. در 1 دقیقه بدن در یک زاویه می چرخد 2πp،اگر پ- تعداد دور در دقیقه با تقسیم این زاویه بر تعداد ثانیه در دقیقه، به دست می آید: (7)

شتاب زاویه ای جبری بدنبا توجه به زمان سرعت جبری اولین مشتق نامیده می شود، یعنی. مشتق دوم زاویه چرخش d 2 φ/dt 2 = ω. اجازه دهید ماژول شتاب زاویه ای را نشان دهیم ε ، سپس ε=|φ| (8)

بعد شتاب زاویه ای از (8) بدست می آید:

[ε ] = سرعت زاویه ای / زمان = راد / ثانیه 2 = s -2

اگر φ’’>0 در φ’>0 ، سپس سرعت زاویه ای جبری با گذشت زمان افزایش می یابد و بنابراین، بدن در لحظه در زمان با شتاب در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) می چرخد. در φ’’<0 و φ’<0 بدن به سرعت در جهت منفی می چرخد. اگر φ’’<0 در φ’>0 ، سپس چرخش آهسته در جهت مثبت داریم. در φ’’>0 و φ’<0 ، یعنی چرخش آهسته در جهت منفی رخ می دهد. سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای در شکل ها با فلش های کمانی حول محور چرخش نشان داده شده است. فلش کمانی برای سرعت زاویه ای جهت چرخش اجسام را نشان می دهد.

برای چرخش شتاب‌دار، پیکان‌های کمان برای سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ای جهت‌های یکسانی دارند؛ برای چرخش آهسته، جهت آنها مخالف است.

موارد خاص چرخش یک جسم صلب

چرخش یکنواخت گفته می شود اگر ω=const، φ= φ’t

چرخش یکنواخت خواهد بود اگر ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t و

به طور کلی، اگر φ’’ نه همیشه،

سرعت و شتاب نقاط بدن

معادله چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت شناخته شده است φ= f(t)(شکل 16). فاصله سنکته ها مدر هواپیمای در حال حرکت پدر امتداد یک قوس دایره ای (مسیر نقطه ای)، که از نقطه اندازه گیری می شود M o,واقع در یک صفحه ثابت، از طریق زاویه بیان می شود φ اعتیاد s=hφ، جایی که ساعت-شعاع دایره ای که نقطه در امتداد آن حرکت می کند. این کمترین فاصله از یک نقطه است مبه محور چرخش گاهی اوقات به آن شعاع چرخش یک نقطه می گویند. در هر نقطه از بدن، شعاع چرخش بدون تغییر باقی می ماند هنگامی که بدن حول یک محور ثابت می چرخد.

سرعت جبری یک نقطه مبا فرمول تعیین می شود v τ =s’=hφماژول سرعت نقطه: v=hω(9)

سرعت نقاط بدنه هنگام چرخش حول یک محور ثابت با کوتاهترین فاصله آنها تا این محور متناسب است.ضریب تناسب سرعت زاویه ای است. سرعت نقاط در امتداد مماس بر مدارها هدایت می شود و بنابراین عمود بر شعاع چرخش است. سرعت نقاط بدن واقع در یک قطعه خط مستقیم اوم،مطابق با (9) طبق یک قانون خطی توزیع می شوند. آنها متقابلا موازی هستند و انتهای آنها در یک خط مستقیم که از محور چرخش عبور می کند قرار دارد. ما شتاب یک نقطه را به مولفه های مماسی و عادی تجزیه می کنیم، یعنی. a=a τ +a nτشتاب‌های مماسی و نرمال با استفاده از فرمول (10) محاسبه می‌شوند.

زیرا شعاع انحنای دایره برابر است p=h(شکل 17 ). بدین ترتیب،

شتاب مماس، نرمال و کل نقاط و همچنین سرعت ها نیز بر اساس یک قانون خطی توزیع می شوند. آنها به صورت خطی به فواصل نقاط تا محور چرخش بستگی دارند. شتاب عادی در امتداد شعاع دایره به سمت محور چرخش هدایت می شود. جهت شتاب مماسی به علامت شتاب زاویه ای جبری بستگی دارد. در φ’>0 و φ’’>0 یا φ’<0 و φ’<0 ما چرخش جسم و جهت بردارها را تسریع کرده ایم یک τو vمطابقت دادن اگر φ’ و φ’" دارای علائم مختلف (چرخش آهسته)، سپس یک τو vدر مقابل یکدیگر هدایت می شوند.

تعیین کردن α زاویه بین شتاب کل یک نقطه و شعاع چرخش آن را داریم

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

از شتاب معمولی یک صفحههمیشه مثبت. گوشه آبرای تمام نقاط بدن یکسان است. بدون توجه به جهت چرخش بدنه صلب باید از شتاب به شعاع چرخش در جهت فلش کمانی شتاب زاویه ای موکول شود.

بردارهای سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای

اجازه دهید مفاهیم بردار سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای یک جسم را معرفی کنیم. اگر بهبردار واحد محور چرخش است که در جهت مثبت آن است، سپس بردارهای سرعت زاویه ای ώ و شتاب زاویه ای ε تعیین شده توسط عبارات (12)

زیرا کیک ثابت بردار در قدر و جهت است، سپس از (12) نتیجه می‌گیرد که

ε=dώ/dt(13)

در φ’>0 و φ’’>0 جهت های برداری ώ و ε مطابقت دادن هر دو به سمت مثبت محور چرخش هدایت می شوند اوز(شکل 18.a)اگر φ’>0 و φ’’<0 ، سپس آنها در جهت مخالف هدایت می شوند (شکل 18.b ). بردار شتاب زاویه‌ای در طول چرخش شتاب‌دار در جهت با بردار سرعت زاویه‌ای منطبق است و در حین چرخش آهسته مخالف آن است. بردارها ώ و ε را می توان در هر نقطه از محور چرخش به تصویر کشید. آنها بردارهای متحرک هستند. این ویژگی از فرمول های برداری برای سرعت و شتاب نقاط بدن به دست می آید.

حرکت نقطه پیچیده

مفاهیم اساسی

برای مطالعه برخی از انواع پیچیده تر حرکت یک جسم صلب، توصیه می شود ساده ترین حرکت پیچیده یک نقطه را در نظر بگیرید. در بسیاری از مسائل، حرکت یک نقطه باید نسبت به دو (یا چند) سیستم مرجع در نظر گرفته شود که نسبت به یکدیگر حرکت می کنند. بنابراین، حرکت یک فضاپیما که به سمت ماه حرکت می کند باید به طور همزمان هم نسبت به زمین و هم نسبت به ماه در نظر گرفته شود که نسبت به زمین در حال حرکت است. هر حرکت یک نقطه را می توان پیچیده، متشکل از چندین حرکت در نظر گرفت. به عنوان مثال، حرکت یک کشتی در امتداد رودخانه نسبت به زمین را می توان پیچیده در نظر گرفت که شامل حرکت در آب و همراه با آب جاری است.

در ساده ترین حالت، حرکت پیچیده یک نقطه از حرکات نسبی و انتقالی تشکیل شده است. بیایید این حرکات را تعریف کنیم. اجازه دهید دو سیستم مرجع در حال حرکت نسبت به یکدیگر داشته باشیم. اگر یکی از این سیستم ها O l x 1 y 1 z 1(شکل 19 ) به عنوان اصلی یا ثابت (حرکت آن نسبت به سایر سیستم های مرجع در نظر گرفته نمی شود)، سپس سیستم مرجع دوم Oxyzنسبت به اولی حرکت خواهد کرد. حرکت یک نقطه نسبت به یک قاب مرجع متحرک Oxyzتماس گرفت نسبت فامیلی.ویژگی های این حرکت مانند مسیر، سرعت و شتاب نامیده می شود نسبت فامیلی.آنها با شاخص r مشخص می شوند. برای سرعت و شتاب v r , a r .حرکت یک نقطه نسبت به چارچوب مرجع اصلی یا ثابت سیستم O 1 x 1 y 1 z 1تماس گرفت مطلق(یا پیچیده ). گاهی اوقات به آن نیز گفته می شود کامپوزیتجنبش. مسیر، سرعت و شتاب این حرکت را مطلق می گویند. سرعت و شتاب حرکت مطلق با حروف نشان داده می شود v، aبدون شاخص

حرکت قابل حمل یک نقطه حرکتی است که همراه با یک چارچوب مرجع متحرک انجام می دهد، به عنوان یک نقطه به طور صلب به این سیستم در لحظه در زمان مورد بررسی متصل می شود. به دلیل حرکت نسبی، یک نقطه متحرک در زمان های مختلف با نقاط مختلف بدن منطبق است اس،که سیستم مرجع متحرک به آن متصل است. سرعت قابل حمل و شتاب قابل حمل، سرعت و شتاب آن نقطه از بدنه است اس،که در حال حاضر نقطه حرکت با آن منطبق است. سرعت و شتاب قابل حمل نشان می دهد v e، a e.

اگر مسیر تمام نقاط بدن اس،متصل به سیستم مرجع متحرک، نشان داده شده در شکل (شکل 20)، سپس خانواده ای از خطوط را به دست می آوریم - خانواده ای از مسیرهای حرکت قابل حمل یک نقطه م.به دلیل حرکت نسبی نقطه مدر هر لحظه از زمان در یکی از مسیرهای حرکت قابل حمل قرار دارد. نقطه ممی تواند تنها با یک نقطه در هر یک از مسیرهای این خانواده از مسیرهای انتقال منطبق باشد. در این راستا، گاهی اوقات اعتقاد بر این است که هیچ مسیر حرکت قابل حمل وجود ندارد، زیرا لازم است خطوط را به عنوان مسیر حرکت قابل حمل در نظر بگیریم که در واقع فقط یک نقطه برای آنها یک نقطه از مسیر است.

در سینماتیک یک نقطه، حرکت یک نقطه نسبت به هر سیستم مرجع، صرف نظر از اینکه آیا این سیستم مرجع نسبت به سیستم های دیگر حرکت می کند یا خیر، مورد مطالعه قرار گرفت. اجازه دهید این مطالعه را با در نظر گرفتن حرکت پیچیده، در ساده ترین حالت متشکل از حرکت نسبی و مجازی تکمیل کنیم. یک حرکت مطلق و یکسان، با انتخاب فریم های مرجع متحرک مختلف، می تواند متشکل از حرکات قابل حمل متفاوت و بر این اساس، نسبی در نظر گرفته شود.

افزایش سرعت

اگر سرعت حرکات نسبی و قابل حمل این نقطه مشخص باشد، اجازه دهید سرعت حرکت مطلق یک نقطه را تعیین کنیم. اجازه دهید نقطه فقط یک حرکت نسبی با توجه به چارچوب متحرک مرجع Oxyz داشته باشد و در لحظه زمان t موقعیت M را در مسیر حرکت نسبی اشغال کند (شکل 20). در زمان t+t، به دلیل حرکت نسبی، نقطه در موقعیت M 1 قرار خواهد گرفت و MM 1 را در طول مسیر حرکت نسبی حرکت داده است. بیایید فرض کنیم که موضوع درگیر است Oxyzو با یک مسیر نسبی در امتداد منحنی به حرکت در خواهد آمد MM 2.اگر یک نقطه به طور همزمان در هر دو حرکت نسبی و قابل حمل شرکت کند، در زمان A. او به MM"در طول مسیر حرکت مطلق و در لحظه زمان t + درموضع خواهد گرفت م".اگر زمان درکمی و سپس به حد در درگرایش به صفر، سپس جابجایی های کوچک در امتداد منحنی ها را می توان با بخش هایی از آکوردها جایگزین کرد و به عنوان بردارهای جابجایی در نظر گرفت. با اضافه کردن جابجایی های برداری، دریافت می کنیم

در این رابطه، مقادیر کمی از یک مرتبه بالاتر کنار گذاشته می‌شوند و به سمت صفر گرایش دارند درتمایل به صفر با عبور از حد، ما (14) داریم

بنابراین، (14) به شکل (15) خواهد بود.

به اصطلاح قضیه جمع سرعت به دست می آید: سرعت حرکت مطلق یک نقطه برابر است با مجموع بردار سرعت حرکت های قابل حمل و نسبی این نقطه.از آنجایی که در حالت کلی سرعت حرکات قابل حمل و نسبی عمود نیستند، پس (15')

اطلاعات مربوطه.