محاسبه حجم اجسام چرخشی با استفاده از انتگرال معین. حجم جسم به دست آمده از چرخش قوس سیکلوئید ناحیه یک شکل صاف به صورت پارامتریک

وقتی معنی هندسی را فهمیدیم انتگرال معین، ما فرمولی داریم که با آن می توانید مساحت ذوزنقه منحنی را که با محور x و خطوط مستقیم محدود شده است پیدا کنید. x = a، x = bو همچنین یک تابع پیوسته (غیر منفی یا غیر مثبت). y = f(x).گاهی اوقات تعیین تابعی که شکل را در فرم پارامتریک محدود می کند راحت تر است، یعنی. وابستگی عملکردی را از طریق پارامتر t بیان کنید. در داخل از این موادما نشان خواهیم داد که چگونه می توانید مساحت یک شکل را در صورتی که توسط یک منحنی پارامتریک تعریف شده محدود شده باشد، پیدا کنید.

پس از توضیح تئوری و استخراج فرمول، به چند مثال معمولی برای یافتن مساحت چنین ارقامی نگاه می کنیم.

فرمول اساسی برای محاسبه

فرض کنید یک ذوزنقه منحنی داریم که مرزهای آن خطوط مستقیم x = a، x = b، محور Ox و یک منحنی پارامتریک تعریف شده x = φ (t) y = ψ (t) و توابع x = φ (t) و y = ψ (t) در بازه α پیوسته هستند. β، α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

تعریف 1

برای محاسبه مساحت ذوزنقه در چنین شرایطی، باید از فرمول S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t استفاده کنید.

ما آن را از فرمول مساحت ذوزنقه منحنی S (G) = ∫ a b f (x) d x با روش جایگزینی x = φ (t) y = ψ (t) استخراج کردیم:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

تعریف 2

با در نظر گرفتن کاهش یکنواخت تابع x = φ (t) در بازه β. α، β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

اگر تابع x = φ (t) یکی از تابع‌های ابتدایی نباشد، باید قوانین اساسی افزایش و کاهش یک تابع در بازه را به خاطر بسپاریم تا مشخص کنیم که آیا افزایش یا کاهش خواهد داشت.

در این پاراگراف چندین مشکل را با استفاده از فرمول مشتق شده در بالا تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال 1

وضعیت: مساحت شکلی را که توسط خطی که با معادلات شکل x = 2 cos t y = 3 sin t تشکیل شده است، بیابید.

راه حل

ما یک خط پارامتریک تعریف شده داریم. از نظر گرافیکی می توان آن را به صورت بیضی با دو نیم محور 2 و 3 نمایش داد. تصویر را ببینید:

بیایید سعی کنیم مساحت 1 4 شکل حاصل را که ربع اول را اشغال می کند، پیدا کنیم. منطقه در بازه x ∈ a است. b = 0 ; 2. سپس مقدار حاصل را در 4 ضرب کنید و مساحت کل شکل را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت محاسبات ما است:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

با k برابر با 0، بازه β را بدست می آوریم. α = 0 ; π 2. تابع x = φ (t) = 2 cos t به طور یکنواخت روی آن کاهش می یابد (برای جزئیات بیشتر به مقاله اصلی مراجعه کنید توابع ابتداییو خواص آنها). این بدان معنی است که می توانید فرمول محاسبه مساحت را اعمال کنید و با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس انتگرال معین را پیدا کنید:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - گناه 2 π 2 2 - 0 - گناه 2 0 2 = 3 π 2

این بدان معنی است که مساحت شکل داده شده توسط منحنی اصلی برابر با S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π خواهد بود.

پاسخ: S(G) = 6π

اجازه دهید توضیح دهیم که هنگام حل مشکل بالا، می توان نه تنها یک چهارم بیضی، بلکه نیمی از آن - بالا یا پایین را نیز گرفت. یک نیمه در بازه x ∈ a قرار خواهد گرفت. b = - 2 ; 2. در این صورت خواهیم داشت:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k، k ∈ Z

بنابراین، با k برابر با 0، ما β را دریافت می کنیم. α = 0 ; π. تابع x = φ (t) = 2 cos t در این بازه به طور یکنواخت کاهش می یابد.

پس از این، مساحت نصف بیضی را محاسبه می کنیم:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

مهم است که توجه داشته باشید که شما فقط می توانید بالا یا پایین را بگیرید، اما نه سمت راست یا چپ.

شما می توانید یک معادله پارامتری برای یک بیضی معین ایجاد کنید که مرکز آن در مبدا قرار دارد. شبیه x = a · cos t y = b · sin t خواهد بود. همانطور که در مثال بالا پیش می رویم، فرمولی برای محاسبه مساحت بیضی S e l و p با a = πab به دست می آوریم.

می توانید دایره ای را که مرکز آن در مبدا قرار دارد با استفاده از معادله x = R · cos t y = R · sin t تعریف کنید که t یک پارامتر و R شعاع این دایره است. اگر بلافاصله از فرمول مساحت یک بیضی استفاده کنیم، فرمولی به دست می آوریم که با آن می توانیم مساحت یک دایره با شعاع R را محاسبه کنیم: S k r y r a = πR 2 .

بیایید یک مشکل دیگر را بررسی کنیم.

مثال 2

وضعیت: مساحت شکل را پیدا کنید که با یک منحنی پارامتریک تعریف شده x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t محدود می شود.

راه حل

اجازه دهید فوراً روشن کنیم که این منحنی شکل یک سیارک کشیده دارد. معمولاً سیارک با استفاده از معادله ای به شکل x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t بیان می شود.

حال بیایید نحوه ساخت چنین منحنی را با جزئیات بررسی کنیم. بیایید بر اساس نکات فردی بسازیم. این متداول ترین روش است و برای اکثر وظایف قابل استفاده است. بیشتر نمونه های پیچیدهنیاز به حساب دیفرانسیل برای شناسایی یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری.

x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t داریم.

این توابع برای تمام مقادیر واقعی t تعریف شده اند. برای sin و cos معلوم است که دوره ای هستند و دوره آنها 2 پی است. با محاسبه مقادیر توابع x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t برای برخی t = t 0 ∈ 0؛ 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . ، 15 π 8، امتیاز x 0 را دریافت می کنیم. y 0 = (φ (t 0)؛ ψ (t 0)).

بیایید یک جدول از مقادیر کل ایجاد کنیم:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

پس از این، نقاط مورد نیاز را روی هواپیما علامت بزنید و آنها را با یک خط وصل کنید.

حال باید مساحت آن قسمت از شکل را که در ربع مختصات اول قرار دارد را پیدا کنیم. برای آن x ∈ a; b = 0 ; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

اگر k برابر با 0 باشد، بازه β را بدست می آوریم. α = 0 ; π 2 و تابع x = φ (t) = 3 cos 3 t به طور یکنواخت روی آن کاهش می یابد. حالا فرمول مساحت را گرفته و محاسبه می کنیم:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

ما انتگرال های معینی را به دست آورده ایم که با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس قابل محاسبه هستند. ضد مشتقات این فرمول را می توان با استفاده از فرمول مکرر J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) یافت که در آن J n (x) = ∫ گناه n x d x .

🔻 sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

مساحت یک چهارم رقم را محاسبه کردیم. برابر است با 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

اگر این مقدار را در 4 ضرب کنیم، مساحت کل شکل را به دست می آوریم - 9 π 4.

دقیقاً به همین ترتیب، می توانیم ثابت کنیم که مساحت اختر را که با معادلات x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t به دست می آید، می توان با فرمول S a stroid = 3 πa 2 8 پیدا کرد. و مساحت شکل که با خط x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t محدود شده است، با استفاده از فرمول S = 3 πab 8 محاسبه می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اجازه دهید حجم بدن را که از چرخش قوس سیکلوئید به دور قاعده آن ایجاد می شود، پیدا کنیم. Roberval آن را با شکستن بدن تخم مرغی شکل حاصل (شکل 5.1) به لایه های بی نهایت نازک، حک کردن استوانه ها در این لایه ها و جمع کردن حجم آنها پیدا کرد. اثبات طولانی، خسته کننده و کاملاً دقیق نبود. بنابراین، برای محاسبه آن، ما به ریاضیات بالاتر. اجازه دهید معادله سیکلوئید را به صورت پارامتری تعریف کنیم.

در حساب انتگرال هنگام مطالعه احجام از نکته زیر استفاده می شود:

اگر منحنی محدود کننده ذوزنقه منحنی را با معادلات پارامتری به دست آوریم و توابع موجود در این معادلات شرایط تغییر قضیه متغیر را در یک انتگرال معین برآورده کنند، حجم بدنه های انقلابذوزنقه حول محور Ox با فرمول محاسبه می شود:

بیایید از این فرمول برای یافتن حجم مورد نیاز خود استفاده کنیم.

به همین ترتیب سطح این جسم را محاسبه می کنیم.

L=((x,y): x=a(t - sin t)، y=a (1 - هزینه)، 0 ? t ? 2р)

در حساب انتگرال وجود دارد فرمول زیربرای یافتن سطح یک جسم چرخشی حول محور x یک منحنی مشخص شده بر روی یک قطعه به صورت پارامتریک (t 0 ?t ?t 1):

با اعمال این فرمول در معادله سیکلوئید به دست می آوریم:

اجازه دهید سطح دیگری را نیز در نظر بگیریم که توسط چرخش قوس سیکلوئید ایجاد شده است. برای انجام این کار، یک تصویر آینه ای از قوس سیکلوئید نسبت به قاعده آن می سازیم و شکل بیضی شکل تشکیل شده توسط سیکلوئید و انعکاس آن را حول محور KT می چرخانیم (شکل 5.2).

ابتدا بیایید حجم جسمی را که از چرخش قوس سیکلوئید حول محور KT تشکیل شده است، بیابیم. حجم آن را با استفاده از فرمول (*) محاسبه می کنیم:

بدین ترتیب حجم نیمی از این بدنه شلغم شکل را محاسبه کردیم. سپس کل حجم برابر خواهد شد

در دروس در مورد معادله یک خط مستقیم در یک صفحهو معادلات یک خط مستقیم در فضا.

ملاقات با یک دوست قدیمی:

ذوزنقه منحنی با افتخار با یک نمودار تاج گذاری شده است و همانطور که می دانید مساحت با استفاده از یک انتگرال معین محاسبه می شودطبق فرمول ابتدایی یا به طور خلاصه: .

بیایید وضعیت زمانی را در نظر بگیریم عملکرد مشابهبه صورت پارامتریک ارائه شده است.

چگونه منطقه را در این مورد پیدا کنیم؟

در برخی کاملا خاصمقدار پارامتر، معادلات پارامتری مختصات نقطه را تعیین می کند و برای دیگری کاملا خاصمقدار - مختصات نقطه هنگامی که "te" از به فراگیر تغییر می کند، معادلات پارامتری منحنی را "رسم" می کنند. من فکر می کنم همه چیز در مورد حدود ادغام روشن شده است. حالا وارد انتگرال شوید بجای"X" و "Y" توابع را جایگزین می کنیم و دیفرانسیل را باز می کنیم:

توجه داشته باشید : فرض بر این است که توابع مداومدر فاصله ادغام و علاوه بر این، تابع یکنواختروی او

فرمول حجم یک بدنه چرخش به همین سادگی است:

حجم جسمی که با چرخش ذوزنقه منحنی حول محور به دست می آید با فرمول محاسبه می شود. یا: . ما توابع پارامتریک و همچنین محدودیت های یکپارچه سازی را در آن جایگزین می کنیم:

لطفاً هر دو فرمول کار را در کتاب مرجع خود ثبت کنید.

با توجه به مشاهدات من، مشکلات در یافتن حجم بسیار نادر است، و بنابراین بخش قابل توجهی از مثال های این درس به یافتن منطقه اختصاص داده می شود. بیایید کارها را برای مدت طولانی به تعویق نیندازیم:

مثال 1

مساحت ذوزنقه منحنی را محاسبه کنید ، اگر

راه حل: از فرمول استفاده کنید .

یک مسئله کلاسیک در مورد موضوعی که همیشه و همه جا قابل درک است:

مثال 2

مساحت یک بیضی را محاسبه کنید

راه حل: برای قطعیت، فرض می کنیم که معادلات پارامتری تعریف می کنند بیضی متعارفبا مرکز در مبدا، محور نیمه اصلی "a" و محور نیمه فرعی "be". یعنی طبق شرط چیزی بیشتر از این به ما پیشنهاد نمی شود

مساحت بیضی را پیدا کنید

واضح است که توابع پارامتری تناوبی هستند و . به نظر می رسد که می توانید فرمول را شارژ کنید، اما همه چیز آنقدر شفاف نیست. بیایید دریابیم جهت، که در آن معادلات پارامتریک یک بیضی را "رسم" می کنند. به عنوان یک راهنما، ما چندین نکته را پیدا خواهیم کرد که بیشترین مطابقت را دارند مقادیر سادهپارامتر:

به راحتی می توان درک کرد که وقتی پارامتر "te" از صفر به "دو پی" تغییر می کند، معادلات پارامتریک یک بیضی را ترسیم می کنند. پادساعتگرد:

به دلیل تقارن شکل، بخشی از مساحت را در ربع مختصات 1 محاسبه می کنیم و نتیجه را در 4 ضرب می کنیم. در اینجا اساساً همان تصویری را می بینیم که دقیقاً در بالا توضیح دادم: معادلات پارامتری قوس را "نقاشی" می کنند. از بیضی "در جهت مخالف" محور، اما ارقام مساحت از چپ به راست شمارش می شود! از همین رو پایین ترحد ادغام با مقدار و بالاحد - مقدار

همانطور که قبلاً در درس توصیه کردم مساحت در مختصات قطبی، چهار برابر کردن نتیجه بهتر است فورا:

انتگرال (اگر کسی به طور ناگهانی چنین شکاف باورنکردنی را کشف کرد) در کلاس تجزیه و تحلیل شد انتگرال توابع مثلثاتی.

پاسخ:

در اصل، ما فرمولی برای یافتن مساحت بدست آورده ایم بیضی. و اگر در عمل با یک کار با مقادیر خاص "a" و "be" مواجه شدید، می توانید به راحتی یک آشتی / بررسی را انجام دهید، زیرا مشکل به شکل کلی حل شده است.

مساحت بیضی نیز با مختصات مستطیلی محاسبه می شود؛ برای این کار باید y را از معادله بیان کنید و دقیقاً مانند مثال شماره 4 مقاله مشکل را حل کنید. روش های کارآمد برای حل انتگرال های معین. حتماً به این مثال نگاه کنید و مقایسه کنید که اگر به صورت پارامتری تعریف شده باشد، محاسبه مساحت یک بیضی چقدر ساده تر است.

و البته تقریباً فراموش کردم، معادلات پارامتریک می توانند یک دایره یا بیضی را در موقعیت غیر متعارف تعریف کنند.

مثال 3

مساحت یک قوس سیکلوئید را محاسبه کنید

برای حل یک مشکل، باید بدانید که چیست سیکلوئیدیا حداقل به طور کاملاً رسمی نقشه را کامل کنید. نمونه طرح در پایان درس. با این حال، من شما را دور نمی فرستم؛ می توانید نمودار این خط را در مشکل زیر نگاه کنید:

مثال 4

راه حل: معادلات پارامتریک یک سیکلوئید را تعریف کنید، و محدودیت نشان دهنده این واقعیت است که ما در مورد آن صحبت می کنیم قوس اول، که زمانی که مقدار پارامتر در داخل تغییر می کند "طراحی" می شود. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا جهت "صحیح" این "نقاشی" است (از چپ به راست) ، به این معنی که هیچ مشکلی با محدودیت های ادغام وجود نخواهد داشت. اما یک سری چیزهای جالب دیگر ظاهر می شود =) معادله مجموعه می شود مستقیم، موازی با محور x و یک شرط اضافی (سانتی متر. نابرابری های خطی) به ما می گوید که باید مساحت شکل زیر را محاسبه کنیم:

من به صورت تداعی شکل سایه دار مورد نظر را "سقف خانه"، مستطیل - "دیوار خانه" و کل ساختار (دیوار + سقف) - "نمای خانه" می نامم. اگرچه این ساختمان بیشتر شبیه یک گاوخانه است =)

برای پیدا کردن مساحت "سقف" باید مساحت "دیوار" را از ناحیه "نما" کم کرد.

ابتدا به «نما» بپردازیم. برای پیدا کردن مساحت آن، باید مقادیری را پیدا کنید که نقاط تقاطع خط را با اولین قوس سیکلوئید (نقاط و ) مشخص می کند. بیایید معادله پارامتری را جایگزین کنیم:

یک معادله مثلثاتی را می توان به سادگی با نگاه کردن به آن حل کرد طرح کسینوس: در بازه، برابری با دو ریشه ارضا می شود: . در اصل، همه چیز واضح است، اما، با این وجود، بیایید آن را ایمن کنیم و آنها را در معادله جایگزین کنیم:

- این مختصات "X" نقطه است.

- و این مختصات "X" نقطه است.

بنابراین، ما متقاعد شده ایم که مقدار پارامتر مربوط به نقطه و مقدار مربوط به نقطه است.

بیایید مساحت "نما" را محاسبه کنیم. برای نشانه گذاری فشرده تر، تابع اغلب مستقیماً زیر انتگرال متمایز می شود:

مساحت "دیوار" را می توان با استفاده از روش "مدرسه" با ضرب طول اضلاع مجاور مستطیل محاسبه کرد. طول واضح است، تنها چیزی که باقی می ماند یافتن آن است. به عنوان تفاوت بین مختصات "X" نقاط "tse" و "be" محاسبه می شود (پیش از این پیدا شد):

مساحت دیوار:

البته، پیدا کردن آن حتی با کمک ساده ترین ها، شرمنده نیست انتگرال معیناز تابع روی بخش:

در نتیجه، مساحت سقف عبارت است از:

پاسخ:

و البته اگر نقشه ای داشته باشیم، جعبه به جعبه تخمین می زنیم که آیا نتیجه به دست آمده مشابه حقیقت است یا خیر. مشابه

کار بعدی برای تصمیم مستقل:

مثال 5

مساحت یک شکل محدود شده با خطوطی را که توسط معادلات ارائه شده است، محاسبه کنید

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حل را سیستماتیک کنیم:

- در بیشتر موارد، شما باید یک نقاشی بکشید و شکلی را که می خواهید منطقه آن را پیدا کنید، تعیین کنید.

- در مرحله دوم، باید بدانید که مساحت مورد نیاز چگونه محاسبه می شود: می تواند یک ذوزنقه منحنی منفرد باشد، می تواند تفاوت در مناطق باشد، می تواند مجموع مساحت ها باشد - به طور خلاصه، تمام آن تراشه هایی که ما به آنها نگاه کردیم. در درس.

- در مرحله سوم، باید بررسی کنیم که آیا استفاده از تقارن شکل (در صورت متقارن بودن) مناسب است یا خیر، و سپس محدودیت های ادغام (مقدار اولیه و نهایی پارامتر) را دریابیم. معمولاً این نیاز به حل یک معادله مثلثاتی ساده دارد - در اینجا می توانید استفاده کنید روش تحلیلی، روش گرافیکی یا انتخاب ساده ریشه های لازم با توجه به جدول مثلثاتی.

! فراموش نکنیدکه معادلات پارامتریک می توانند یک خط از راست به چپ رسم کنند، در این حالت ما یک رزرو و اصلاح مناسب در فرمول کاری انجام می دهیم.

– و در مرحله نهایی محاسبات فنی انجام می شود. ارزیابی قابل قبول بودن پاسخ به دست آمده از نقاشی همیشه خوب است.

و اکنون ملاقات طولانی مدت با ستاره:

مثال 6

مساحت یک شکل محدود شده با خطوطی را که توسط معادلات ارائه شده است، محاسبه کنید

راه حل: منحنی داده شده توسط معادلات است سیارک، و نابرابری خطیبه طور منحصر به فرد شکل سایه دار را در نقاشی شناسایی می کند:

بیایید مقادیر پارامتری را پیدا کنیم که نقاط تقاطع خط و astroid را تعیین می کند. برای انجام این کار، اجازه دهید معادله پارامتری را جایگزین کنیم:

روش‌هایی برای حل چنین معادله‌ای قبلاً در بالا ذکر شده است؛ به ویژه، این ریشه‌ها را می‌توان به راحتی با توجه به جدول مثلثاتی.

شکل متقارن در مورد محور x است، بنابراین بیایید نیمه بالایی مساحت (سایه‌دهی آبی) را محاسبه کرده و نتیجه را دو برابر کنیم.

بیایید مقدار را در معادله پارامتری جایگزین کنیم:
در نتیجه، مختصات "یونانی" نقطه تلاقی فوقانی (ما نیاز داریم) ستاره و خط مستقیم را به دست آوردیم.

راس سمت راست سیارک آشکارا با مقدار مطابقت دارد. بیایید بررسی کنیم در هر صورت:
، چیزی بود که باید بررسی می شد.

همانند بیضی، معادلات پارامتریک کمان سیارک را از راست به چپ "نقاشی" می کنند. برای تنوع، پایان را به روش دوم فرمت می کنم: وقتی پارامتر در محدوده تغییر می کند، تابع کاهش می یابد، بنابراین (فراموش نکنید که دو برابر کنید!!):

معلوم شد انتگرال کاملاً دست و پا گیر است و برای اینکه "همه چیز را با خود حمل نکنید" بهتر است راه حل را قطع کنید و انتگرال را جداگانه تغییر دهید. استاندارد درجه را پایین بیاوربا استفاده از فرمول های مثلثاتی:

مناسب، در ترم آخر بیایید تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهیم:

پاسخ:

بله، با ستاره ها کمی سخت است =)

تکلیف زیر برای دانش آموزان پیشرفته است:

مثال 7

مساحت یک شکل محدود شده با خطوطی را که توسط معادلات ارائه شده است، محاسبه کنید

برای حل آن، مطالبی که قبلاً بررسی کردیم کافی است، اما مسیر معمول بسیار طولانی است و اکنون روش مؤثر دیگری را به شما خواهم گفت. این ایده در واقع از درس آشناست محاسبه مساحت با استفاده از انتگرال معین- این یکپارچه سازی بر روی متغیر "y" و استفاده از فرمول است . با جایگزینی توابع پارامتریک در آن، یک فرمول آینه کاری به دست می آوریم:

در واقع، چرا از "استاندارد" بدتر است؟ این یکی دیگر از مزایای فرم پارامتریک - معادله است قادر به ایفای نقش نه تنها یک "معمولی"، بلکه همزمانو تابع معکوس.

که در در این موردفرض بر این است که توابع مداومدر فاصله ادغام و تابع یکنواختروی او علاوه بر این، اگر کاهش می دهددر فاصله ادغام (معادلات پارامتریک نمودار را در جهت مخالف ترسیم می کنند (توجه!!) محور)، سپس با استفاده از فناوری قبلاً مورد بحث، باید محدودیت های یکپارچه سازی را مجدداً تنظیم کنید یا در ابتدا یک "منهای" در مقابل انتگرال قرار دهید.

راه حل و پاسخ مثال شماره 7 در انتهای درس می باشد.

آخرین بخش کوچک به یک مشکل نادرتر اختصاص داده شده است:

چگونه حجم یک بدنه چرخشی را پیدا کنیم،
اگر شکل با یک خط پارامتریک تعریف شده محدود شود؟

بیایید فرمول مشتق شده در ابتدای درس را به روز کنیم: . روش حل کلی دقیقاً مانند یافتن منطقه است. من چند کار را از قلک خود بیرون می کشم.

اجازه دهید نمونه‌هایی از کاربرد فرمول حاصل را در نظر بگیریم، که به ما امکان می‌دهد مساحت ارقام محدود شده توسط خطوط پارامتریک را محاسبه کنیم.

مثال.

مساحت یک شکل محدود به خطی را محاسبه کنید که معادلات پارامتری آن به شکل .

راه حل.

در مثال ما، خط تعریف شده به صورت پارامتریک، یک بیضی با نیم محورهای 2 و 3 واحد است. بیایید آن را بسازیم.

بیایید منطقه را پیدا کنیمیک چهارم بیضی واقع در ربع اول. این ناحیه در فاصله زمانی قرار دارد . ما مساحت کل شکل را با ضرب مقدار حاصل در چهار محاسبه می کنیم.

آن چه که ما داریم:

برای k = 0 بازه را دریافت می کنیم . در این بازه تابع یکنواخت کاهش می یابد (به بخش مراجعه کنید). فرمول را برای محاسبه مساحت و یافتن انتگرال معین با استفاده از فرمول نیوتن لایبنیتس اعمال می کنیم:

بنابراین، مساحت شکل اصلی برابر است با .

اظهار نظر.

یک سوال منطقی مطرح می شود: چرا یک چهارم بیضی را گرفتیم و نیمی را نه؟ امکان دیدن نیمه بالایی (یا پایینی) شکل وجود داشت. او در فاصله است . برای این مورد ما دریافت می کنیم

یعنی برای k = 0 بازه را بدست می آوریم. در این بازه تابع یکنواخت کاهش می یابد.

سپس مساحت نصف بیضی به صورت پیدا می شود

اما شما نمی توانید نیمه راست یا چپ بیضی را بگیرید.

نمایش پارامتریک یک بیضی در مرکز مبدأ و نیم محورهای a و b به شکل . اگر به همان روشی که در مثال تحلیل شده عمل کنیم، می گیریم فرمول محاسبه مساحت یک بیضی .

دایره ای با مرکز در مبدا شعاع R از طریق پارامتر t توسط سیستم معادلات مشخص می شود. اگر از فرمول به دست آمده برای مساحت یک بیضی استفاده کنید، می توانید بلافاصله بنویسید فرمول برای یافتن مساحت دایرهشعاع R: .

بیایید یک مثال دیگر را حل کنیم.

مثال.

مساحت یک شکل محدود شده توسط یک منحنی مشخص شده به صورت پارامتری را محاسبه کنید.

راه حل.

با کمی نگاه کردن به آینده، منحنی یک سیارک "دراز" است. (Astroid دارای نمایش پارامتری زیر است).

اجازه دهید در مورد ساخت منحنی که شکل را محدود می کند، با جزئیات صحبت کنیم. نقطه به نقطه آن را می سازیم. به طور معمول، چنین ساختاری برای حل اکثر مشکلات کافی است. در موارد پیچیده تر، بدون شک یک مطالعه پارامتریک دقیق مورد نیاز خواهد بود. عملکرد داده شدهبا استفاده از حساب دیفرانسیل

در مثال ما.

این توابع برای تمام مقادیر واقعی پارامتر t تعریف شده اند و از خصوصیات سینوس و کسینوس می دانیم که تناوبی با دوره دو پی هستند. بنابراین، محاسبه مقادیر تابع برای برخی (مثلا ، مجموعه ای از امتیازها را دریافت می کنیم .

برای راحتی، بیایید مقادیر را در جدول قرار دهیم:

نقاط روی صفحه را علامت گذاری می کنیم و به طور مداوم آنها را با یک خط به هم وصل می کنیم.

اجازه دهید مساحت منطقه واقع در ربع مختصات اول را محاسبه کنیم. برای این منطقه .

در k=0 بازه را می گیریم ، که در آن تابع یکنواخت کاهش می یابد. برای یافتن مساحت از فرمول استفاده می کنیم:

ما انتگرال های قطعی حاصل را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه می کنیم و ضد مشتقات فرمول نیوتن-لایب نیتس را با استفاده از فرمول تکراری شکل پیدا می کنیم. ، جایی که .

بنابراین، مساحت شکل یک چهارم است ، سپس مساحت کل شکل برابر است با .

به همین ترتیب، می توان نشان داد که منطقه سیارکیبه عنوان واقع شده است و مساحت شکل محدود شده با خط با فرمول محاسبه می شود.

قبل از اینکه به فرمول های سطح یک انقلاب بپردازیم، فرمول مختصری از خود سطح انقلاب ارائه می دهیم. سطح یک چرخش، یا همان چیزی که یک سطح از بدنه چرخشی است، یک شکل فضایی است که از چرخش یک قطعه تشکیل شده است. ABمنحنی حول محور گاو نر(تصویر زیر).

اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی را تصور کنیم که از بالا توسط بخش ذکر شده از منحنی محدود شده است. جسمی که از چرخش این ذوزنقه حول همان محور تشکیل شده است گاو نر، و بدنه انقلاب است. و مساحت سطح چرخش یا سطح بدنه چرخش، پوسته بیرونی آن است، بدون احتساب دایره هایی که در اثر چرخش حول محور خطوط مستقیم ایجاد می شود. ایکس = آو ایکس = ب .

توجه داشته باشید که یک بدنه چرخشی و بر این اساس، سطح آن نیز می تواند با چرخش شکل نه حول محور تشکیل شود. گاو نر، و حول محور اوه.

محاسبه مساحت سطح چرخش مشخص شده در مختصات مستطیلی

معادله را در مختصات مستطیلی در صفحه بگذارید y = f(ایکس) منحنی داده شده که چرخش آن به دور محور مختصاتبدنه ای از چرخش تشکیل می شود.

فرمول محاسبه سطح چرخش به شرح زیر است:

(1).

مثال 1.مساحت سطح پارابولوئید را که از چرخش حول محور آن تشکیل شده است، بیابید گاو نرقوس سهمی مربوط به تغییر ایکساز جانب ایکس= 0 به ایکس = آ .

راه حل. اجازه دهید به صراحت تابعی را که قوس سهمی را تعریف می کند بیان کنیم:

بیایید مشتق این تابع را پیدا کنیم:

قبل از استفاده از فرمول برای یافتن مساحت یک سطح چرخش، بیایید آن قسمت از انتگرال آن را بنویسیم که نشان دهنده ریشه است و مشتقی را که در آنجا پیدا کردیم جایگزین کنیم:

پاسخ: طول قوس منحنی است

مثال 2.مساحت سطحی را که با چرخش حول یک محور تشکیل شده است، پیدا کنید گاو نرسیارک

راه حل. کافی است مساحت سطح حاصل از چرخش یک شاخه از سیارک واقع در ربع اول را محاسبه کرده و در 2 ضرب کنیم. از معادله سیارک، تابعی را که باید جایگزین کنیم به صراحت بیان می کنیم. فرمول برای یافتن سطح چرخش:

ما از 0 تا ادغام می کنیم آ:

محاسبه مساحت سطح چرخش مشخص شده به صورت پارامتری

اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که منحنی تشکیل دهنده سطح چرخش توسط معادلات پارامتریک داده شود

سپس سطح چرخش با فرمول محاسبه می شود

(2).

مثال 3.مساحت سطح چرخش را که از چرخش حول یک محور تشکیل شده است، بیابید اوهشکل محصور شده توسط یک سیکلوئید و یک خط مستقیم y = آ. سیکلوئید با معادلات پارامتری به دست می آید