اجازه دهید دو نوع راه حل برای سیستم های معادلات را تجزیه و تحلیل کنیم:

1. حل سیستم با استفاده از روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.

به منظور حل سیستم معادلات با روش جایگزینیشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان کنید. از هر معادله ای یک متغیر را بیان می کنیم.
2. جایگزین. مقدار حاصل را به جای متغیر بیان شده در معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

برطرف كردن سیستم با روش جمع (تفریق) ترم به ترمنیاز به:
1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسان ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا تفریق می کنیم و در نتیجه معادله ای با یک متغیر به دست می آید.
3. معادله خطی حاصل را حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.

اجازه دهید راه حل سیستم ها را با استفاده از مثال ها با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال شماره 1:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم

حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی

2x+5y=1 (1 معادله)
x-10y=3 (معادله دوم)

1. بیان کنید
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد که به این معنی است که بیان متغیر x از معادله دوم ساده ترین است.
x=3+10y

2. پس از بیان آن، 3+10y را به جای متغیر x در معادله اول جایگزین می کنیم.
2(3+10y)+5y=1

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید.
2(3+10y)+5y=1 (پرانتزها را باز کنید)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

راه حل سیستم معادلات، نقاط تلاقی نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، بیایید x را پیدا کنیم، در اولین نقطه ای که آن را بیان کردیم، y را جایگزین می کنیم.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

مرسوم است که نقطه ها را در وهله اول متغیر x می نویسیم و در مرحله دوم متغیر y.
پاسخ: (1؛ -0.2)

مثال شماره 2:

بیایید با استفاده از روش جمع (تفریق) ترم به ترم حل کنیم.

حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش جمع

3x-2y=1 (1 معادله)
2x-3y=-10 (معادله دوم)

1. یک متغیر را انتخاب می کنیم، فرض کنید x را انتخاب می کنیم. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 است، در دومی - 2. ما باید ضرایب را یکسان کنیم، برای این ما حق داریم معادلات را ضرب کنیم یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول را در 2 و دومی را در 3 ضرب می کنیم و ضریب کل 6 به دست می آید.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. دومی را از معادله اول کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. معادله خطی را حل کنید.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x را پیدا کنید. y یافت شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم، فرض کنید در معادله اول.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

نقطه تقاطع x=4.6 خواهد بود. y=6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)

آیا می خواهید برای امتحانات به صورت رایگان آماده شوید؟ معلم آنلاین رایگان. شوخی نکن.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. معادلات توان یا نمایی معادلاتی هستند که در آنها متغیرها برحسب توان و مبنا یک عدد است. مثلا:

حل یک معادله نمایی به 2 مرحله نسبتاً ساده ختم می شود:

1. باید بررسی کنید که آیا پایه های معادله سمت راست و چپ یکسان هستند یا خیر. اگر دلایل یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.

2. پس از یکسان شدن پایه ها، درجه ها را با هم برابر می کنیم و معادله جدید حاصل را حل می کنیم.

فرض کنید یک معادله نمایی به شکل زیر به ما داده شود:

شایسته است حل این معادله را با تحلیل مبنا آغاز کنیم. پایه ها متفاوت هستند - 2 و 4، اما برای حل ما نیاز داریم که آنها یکسان باشند، بنابراین با استفاده از فرمول زیر 4 را تبدیل می کنیم -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

به معادله اصلی اضافه می کنیم:

بیایید آن را از پرانتز خارج کنیم \

بیان کنیم \

از آنجایی که درجه ها یکسان هستند، آنها را کنار می گذاریم:

پاسخ: \

کجا می توانم یک معادله نمایی را با استفاده از حل کننده آنلاین حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https://site حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید دستورالعمل های ویدیویی را تماشا کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

معادلات

چگونه معادلات را حل کنیم؟

در این بخش ابتدایی ترین معادلات را به یاد می آوریم (یا بسته به اینکه چه کسی را انتخاب می کنید مطالعه می کنیم). پس معادله چیست؟ در زبان انسان، این نوعی بیان ریاضی است که در آن علامت مساوی و مجهول وجود دارد. که معمولا با حرف مشخص می شود "ایکس". معادله را حل کنید- این برای یافتن مقادیری از x است که در صورت جایگزین شدن به آن اصلیبیان به ما هویت درست می دهد. بگذارید یادآوری کنم که هویت بیانی است که حتی برای فردی که مطلقاً زیر بار دانش ریاضی نیست، قابل تردید نیست. مانند 2=2، 0=0، ab=ab و غیره. پس چگونه معادلات را حل کنیم؟بیایید آن را بفهمیم.

انواع و اقسام معادلات وجود دارد (من متعجبم، نه؟). اما تمام تنوع بی نهایت آنها را می توان تنها به چهار نوع تقسیم کرد.

4. دیگر.)

بقیه، البته، بیشتر از همه، بله...) این شامل مکعب، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و انواع دیگر می شود. ما در بخش های مربوطه با آنها کار خواهیم کرد.

فوراً می گویم که گاهی اوقات معادلات اولی است سه نوعآنقدر فریبت خواهند داد که حتی آنها را نخواهی شناخت... هیچی. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را باز کنیم.

و چرا به این چهار نوع نیاز داریم؟ و پس از آن چه معادلات خطیبه یک طریق حل شد مربعدیگران، معقولات کسری - سوم،آ باقی ماندهاصلا جرات نمیکنن! خوب، اینطور نیست که آنها اصلاً نمی توانند تصمیم بگیرند، این است که من در ریاضیات اشتباه می کردم.) فقط آنها تکنیک ها و روش های خاص خود را دارند.

اما برای هر (تکرار می کنم - برای هر!) معادلات یک مبنای قابل اعتماد و بی خطر برای حل ارائه می کنند. همه جا و همیشه کار می کند. این پایه - ترسناک به نظر می رسد، اما بسیار ساده است. و خیلی (خیلی!)مهم.

در واقع، حل معادله از همین تبدیل ها تشکیل شده است. 99% به سوال پاسخ بدهید: " چگونه معادلات را حل کنیم؟"دقیقاً در این تحولات نهفته است. آیا اشاره واضح است؟)

تبدیل معادلات یکسان

که در هر معادله ایبرای یافتن مجهول، باید مثال اصلی را تبدیل و ساده کنید. و به طوری که وقتی ظاهر تغییر می کند ماهیت معادله تغییر نکرده است.چنین تحولاتی نامیده می شود همسانیا معادل آن

توجه داشته باشید که این تغییرات اعمال می شود به طور خاص به معادلاتدر ریاضیات نیز تحولات هویتی وجود دارد اصطلاحات.این موضوع دیگری است.

اکنون همه، همه، همه اساسی را تکرار می کنیم تبدیل معادلات یکسان

اساسی زیرا می توان آنها را اعمال کرد هرمعادلات - خطی، درجه دوم، کسری، مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و غیره. و غیره

اولین تحول هویت: شما می توانید به هر دو طرف هر معادله اضافه کنید (کم کنید). هر(اما یک و یکسان!) عدد یا عبارت (از جمله عبارت با مجهول!). این اصل معادله را تغییر نمی دهد.

ضمناً شما دائماً از این تبدیل استفاده می کردید، فقط فکر می کردید که با تغییر علامت چند عبارت را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل می کنید. نوع:

مورد آشنا است، ما این دو را به سمت راست منتقل می کنیم و دریافت می کنیم:

در واقع تو برده شدهاز دو طرف معادله دو است. نتیجه یکسان است:

x+2 - 2 = 3 - 2

جابجایی عبارات به چپ و راست با تغییر علامت صرفاً یک نسخه کوتاه شده از اولین تغییر هویت است. و چرا ما به چنین دانش عمیقی نیاز داریم؟ - تو پرسیدی. چیزی در معادلات نیست. به خاطر خدا تحمل کن فقط فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید. اما در نابرابری ها، عادت به انتقال می تواند به بن بست منجر شود...

دگرگونی هویت دوم: هر دو طرف معادله را می توان در یک چیز ضرب (تقسیم) کرد غیر صفرعدد یا عبارت در اینجا یک محدودیت قابل درک از قبل ظاهر می شود: ضرب در صفر احمقانه است و تقسیم کاملاً غیرممکن است. این دگرگونی است که هنگام حل چیزی جالب مانند استفاده می کنید

واضح است ایکس= 2. چگونه آن را پیدا کردید؟ با انتخاب؟ یا تازه به تو سپیده دم؟ برای اینکه انتخاب نکنید و منتظر بینش نباشید، باید درک کنید که عادل هستید دو طرف معادله را تقسیم کردبر 5. هنگام تقسیم سمت چپ (5x)، پنج کاهش یافت و X خالص باقی ماند. که دقیقاً همان چیزی است که ما به آن نیاز داشتیم. و وقتی سمت راست (10) را بر پنج تقسیم می کنیم، البته نتیجه دو می شود.

همین.

خنده دار است، اما این دو (فقط دو!) تبدیل یکسان اساس راه حل هستند تمام معادلات ریاضیوای! منطقی است که به نمونه هایی از چیستی و چگونه نگاه کنیم، درست است؟)

نمونه هایی از تبدیل های یکسان معادلات. مشکلات اصلی

بیا شروع کنیم با اولیندگرگونی هویت انتقال چپ به راست

نمونه ای برای جوان ترها.)

فرض کنید باید معادله زیر را حل کنیم:

3-2x=5-3x

بیایید طلسم را به خاطر بسپاریم: "با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست!"این طلسم دستورالعملی برای استفاده از اولین تبدیل هویت است.) کدام عبارت با X در سمت راست است؟ 3 برابر? پاسخ نادرست است! سمت راست ما - 3 برابر! منهایسه ایکس! بنابراین، هنگام حرکت به سمت چپ، علامت به مثبت تغییر می کند. معلوم خواهد شد:

3-2x+3x=5

بنابراین، X در یک توده جمع آوری شد. بیایید وارد اعداد شویم. سه تا در سمت چپ وجود دارد. با چه علامتی پاسخ "با هیچ" پذیرفته نمی شود!) در مقابل این سه، در واقع چیزی ترسیم نمی شود. و این بدان معنی است که قبل از سه وجود دارد به علاوه.بنابراین ریاضیدانان موافقت کردند. چیزی نوشته نشده یعنی به علاوه.بنابراین، سه گانه به سمت راست منتقل می شود با منهایما گرفتیم:

-2x+3x=5-3

چیزهای جزئی باقی مانده است. در سمت چپ - موارد مشابه را بیاورید، در سمت راست - شمارش کنید. پاسخ بلافاصله می آید:

در این مثال، یک تغییر هویت کافی بود. مورد دوم مورد نیاز نبود. بسیار خوب.)

نمونه ای برای کودکان بزرگتر.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در این ویدیو کل مجموعه را تحلیل خواهیم کرد معادلات خطی، که با استفاده از همان الگوریتم حل می شوند - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

ابتدا اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک را ساده ترین می نامند؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط تا درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین آنها کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتزها را گسترش دهید.
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. برای سمت چپ و راست علامت مساوی عباراتی مشابه بنویسید.
4. معادله بدست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی اوقات پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. برای مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ معلوم می‌شود، i.e. در سمت چپ صفر و در سمت راست عددی غیر از صفر است. در ویدیوی زیر به چندین دلیل برای امکان این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

حال بیایید ببینیم که چگونه همه اینها با استفاده از مثال های واقعی کار می کنند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سر و کار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

1. اول از همه، شما باید پرانتزها را، در صورت وجود، گسترش دهید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه را با هم ترکیب کنید
3. در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - را به یک طرف منتقل کنید و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند را به طرف دیگر منتقل کنید.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید موارد مشابه را در هر طرف برابری حاصل ارائه دهید، و پس از آن تنها چیزی که باقی می ماند تقسیم بر ضریب "x" است و پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. به طور معمول، هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام محاسبه "مضافات" و "منفی" خطاها رخ می دهد.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی ندارد، یا این که راه حل کل خط اعداد است، یعنی. هر عددی در درس امروز به این نکات ظریف خواهیم پرداخت. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با همین موضوع شروع خواهیم کرد کارهای ساده.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

ابتدا اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، براکت ها را باز کنید.
2. ما متغیرها را جدا می کنیم، یعنی. ما هر چیزی را که حاوی "X" است به یک سمت و هر چیزی که "X" وجود ندارد به سمت دیگر منتقل می کنیم.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد؛ ظرافت ها و ترفندهای خاصی در آن وجود دارد که اکنون با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید پرانتزها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را جدا کنیم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیایید آن را بنویسیم:

ما اصطلاحات مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

پس جواب گرفتیم.

وظیفه شماره 2

می‌توانیم پرانتزها را در این مشکل ببینیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست تقریباً یک طرح را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. جداسازی متغیرها:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله خطی سوم جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، به سادگی با علائم مختلف قبل از آنها وجود دارد. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید حساب کنیم:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می خواهم موارد زیر را بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه ها وجود داشته باشد، ممکن است در بین آنها صفر وجود داشته باشد - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد دیگری است؛ شما نباید به هیچ وجه بین آن تبعیض قائل شوید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به باز شدن براکت ها است. لطفا توجه داشته باشید: هنگامی که یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علامت ها را به تغییر می دهیم. مقابل. و سپس می توانیم آن را با استفاده از الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.

درک این واقعیت ساده به شما کمک می کند تا از انجام اشتباهات احمقانه و آسیب زا در دبیرستان جلوگیری کنید، در حالی که انجام چنین کارهایی بدیهی است.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، ما نباید از این ترس داشته باشیم، زیرا اگر طبق برنامه نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در طول فرآیند تبدیل، مطمئناً همه تک جملات حاوی یک تابع درجه دوم لغو می شوند.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید نگاهی به حریم خصوصی بیندازیم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین این را در پاسخ می نویسیم:

\[\varnothing\]

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

مثال شماره 2

ما همین اقدامات را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به این صورت می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. با استفاده از این دو عبارت به عنوان مثال، ما یک بار دیگر متقاعد شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز ممکن است چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت ریشه. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، هر دو به سادگی ریشه ندارند.

اما توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب می کنم: نحوه کار با پرانتز و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "X" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب می شود هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب.

و فقط پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توانید براکت را از این نظر باز کنید که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها کامل شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر به سادگی علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیل های ابتدایی است، که در آن ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.

البته روزی فرا می رسد که این مهارت ها را تا حد خودکار ارتقا دهید. دیگر مجبور نخواهید بود هر بار این همه تغییر و تحول انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید حریم خصوصی را رعایت کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بیایید آخرین مرحله را کامل کنیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، آنها یکدیگر را خنثی کردند که باعث می شود معادله خطی باشد و درجه دوم نباشد.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر از براکت اول را در هر عنصر از دومی ضرب کنید. پس از تبدیل ها باید در مجموع چهار عبارت جدید وجود داشته باشد:

حالا بیایید ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهیم:

بیایید عبارات "X" را به سمت چپ و موارد بدون - را به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

یک بار دیگر پاسخ نهایی را دریافت کردیم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی می کنیم که بیش از یک جمله دارند، این کار طبق قانون زیر انجام می شود: جمله اول را از اولی می گیریم و با هر عنصر از آن ضرب می کنیم. دومین؛ سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم خواهیم داشت.

در مورد جمع جبری

با این مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور ما از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم کنید. منظور ما در جبر این است: به عدد "یک" عدد دیگری به نام "منهای هفت" اضافه می کنیم. اینگونه است که یک مجموع جبری با یک مجموع حسابی معمولی متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، در جبر هنگام کار با چند جمله ای ها و معادله ها مشکلی نخواهید داشت.

در نهایت، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اکنون به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسر

برای حل چنین کارهایی باید یک مرحله دیگر به الگوریتم خود اضافه کنیم. اما ابتدا اجازه دهید الگوریتم خود را به شما یادآوری کنم:

1. پرانتز ها را باز کنید.
2. متغیرها را جدا کنید
3. موارد مشابه را بیاورید.
4. تقسیم بر نسبت.

افسوس، این الگوریتم فوق العاده، با تمام اثربخشی آن، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملاً مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله هم در سمت چپ و هم در سمت راست کسری داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل و هم بعد از اولین اقدام، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. پرانتز ها را باز کنید.
3. متغیرها را جدا کنید
4. موارد مشابه را بیاورید.
5. تقسیم بر نسبت.

"رهایی از کسری" به چه معناست؟ و چرا می توان این کار را هم بعد و هم قبل از اولین مرحله استاندارد انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها در مخرج خود عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین اگر هر دو طرف معادله را در این عدد ضرب کنیم از شر کسر خلاص می شویم.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot 4\]

لطفاً توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که دو پرانتز دارید به این معنی نیست که باید هر یک را در "چهار" ضرب کنید. بیایید بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید گسترش دهیم:

متغیر را جدا می کنیم:

ما کاهش عبارات مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شده است.

در واقع، این تنها چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی عبارتند از:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگه دیدی نگران نباش توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی آنها کاهش خواهند یافت.
• در معادلات خطی سه نوع ریشه وجود دارد، حتی ساده ترین آنها: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است و اصلاً ریشه ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید و مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

معادله ای با یک مجهول که پس از باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه، شکل می گیرد

تبر + b = 0، جایی که a و b اعداد دلخواه هستند، فراخوانی می شود معادله خطی با یک ناشناخته امروز نحوه حل این معادلات خطی را دریابیم.

به عنوان مثال، تمام معادلات:

2x + 3 = 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - خطی.

مقدار مجهولی که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند نامیده می شود تصمیم گیری یا ریشه معادله .

به عنوان مثال، اگر در معادله 3x + 7 = 13 به جای مجهول x، عدد 2 را جایگزین کنیم، برابری صحیح 3 2 + 7 = 13 را به دست می آوریم. این بدان معنی است که مقدار x = 2 جواب یا ریشه است. از معادله

و مقدار x = 3 معادله 3x + 7 = 13 را به یک برابری واقعی تبدیل نمی کند، زیرا 3 2 +7 ≠ 13. این بدان معنی است که مقدار x = 3 راه حل یا ریشه معادله نیست.

حل هر معادله خطی به حل معادلات فرم کاهش می یابد

تبر + b = 0.

بیایید عبارت آزاد را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل کنیم، علامت جلوی b را به عکس تغییر دهیم، به دست می‌آید.

اگر a ≠ 0 باشد، x = ‒ b/a .

مثال 1. معادله 3x + 2 =11 را حل کنید.

بیایید 2 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهیم، علامت جلوی 2 را به عکس تغییر دهیم، به دست می آید
3x = 11-2.

پس بیایید تفریق را انجام دهیم
3x = 9.

برای پیدا کردن x، باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید، یعنی
x = 9:3.

این بدان معنی است که مقدار x = 3 جواب یا ریشه معادله است.

پاسخ: x = 3.

اگر a = 0 و b = 0، سپس معادله 0x = 0 را بدست می آوریم. این معادله بی نهایت جواب دارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم 0 می گیریم اما b نیز برابر 0 است. جواب این معادله هر عددی است.

مثال 2.معادله 5 (x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 را حل کنید.

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

در اینجا چند اصطلاح مشابه وجود دارد:
0x = 0.

پاسخ: x - هر عدد.

اگر a = 0 و b ≠ 0 باشد، سپس معادله 0x = - b را بدست می آوریم. این معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم، 0 می گیریم، اما b≠ 0.

مثال 3.معادله x + 8 = x + 5 را حل کنید.

بیایید عبارات حاوی مجهولات را در سمت چپ و عبارات آزاد در سمت راست گروه بندی کنیم:
x – x = 5 – 8.

در اینجا چند اصطلاح مشابه وجود دارد:
0x = ‒ 3.

پاسخ: راه حلی وجود ندارد.

بر شکل 1 نموداری برای حل یک معادله خطی نشان می دهد

بیایید یک طرح کلی برای حل معادلات با یک متغیر ترسیم کنیم. بیایید راه حل مثال 4 را در نظر بگیریم.

مثال 4. فرض کنید باید معادله را حل کنیم

1) تمام جمله های معادله را در کمترین مضرب مشترک مخرج ها، برابر با 12 ضرب کنید.

2) پس از کاهش می گیریم
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) برای جدا کردن عبارات حاوی عبارات مجهول و مجهول، پرانتزها را باز کنید:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) اجازه دهید در یک قسمت اصطلاحات حاوی مجهولات را گروه بندی کنیم و در قسمت دیگر - اصطلاحات آزاد:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) اجازه دهید اصطلاحات مشابه را ارائه دهیم:
- 22x = - 154.

6) تقسیم بر - 22، دریافت می کنیم
x = 7.

همانطور که می بینید، ریشه معادله هفت است.

به طور کلی چنین است معادلات را می توان با استفاده از طرح زیر حل کرد:

الف) معادله را به شکل عدد صحیح بیاورید.

ب) پرانتزها را باز کنید.

ج) عبارات حاوی مجهول را در یک قسمت از معادله و عبارات آزاد را در قسمت دیگر گروه بندی کنید.

د) اعضای مشابه را بیاورید.

ه) معادله ای به شکل aх = b که پس از آوردن عبارت های مشابه به دست آمده را حل کنید.

با این حال، این طرح برای هر معادله ضروری نیست. هنگام حل بسیاری از معادلات ساده تر، شما باید نه از اولی، بلکه از دومی شروع کنید. مثال. 2)، سوم ( مثال. 13) و حتی از مرحله پنجم مانند مثال 5.

مثال 5.معادله 2x = 1/4 را حل کنید.

مجهول x = 1/4: 2 را پیدا کنید،
x = 1/8 .

بیایید به حل معادلات خطی موجود در آزمون دولتی اصلی نگاهی بیندازیم.

مثال 6.معادله 2 (x + 3) = 5 – 6x را حل کنید.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

پاسخ: - 0.125

مثال 7.معادله - 6 (5 - 3x) = 8x - 7 را حل کنید.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

پاسخ: 2.3

مثال 8. معادله را حل کنید

3 (3x - 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

مثال 9.اگر f (x + 2) = 3 7 است، f(6) را پیدا کنید

راه حل

از آنجایی که باید f(6) را پیدا کنیم، و f (x + 2) را می دانیم،
سپس x + 2 = 6.

معادله خطی x + 2 = 6 را حل می کنیم،
x = 6 - 2، x = 4 را دریافت می کنیم.

اگر x = 4 پس
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

جواب: 27.

اگر هنوز سؤالی دارید یا می خواهید حل معادلات را به طور کامل درک کنید، برای درس های من در برنامه ثبت نام کنید. من خوشحال خواهم شد که به شما کمک کنم!

TutorOnline همچنین تماشای یک درس ویدیویی جدید از معلم ما اولگا الکساندرونا را توصیه می کند، که به شما کمک می کند هم معادلات خطی و هم معادلات دیگر را درک کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.