به عوامل زیادی بستگی دارد. روابط هم ارزی مجموعه فاکتورها روش های تعیین مجموعه ها
اگر نگرش آر دارای خواص زیر است: انعکاسی متقارن متعدی، i.e. یک رابطه هم ارزی (~ یا ≡ یا E) در مجموعه است م ، سپس مجموعه کلاس های هم ارزی را مجموعه عاملی مجموعه می نامند م در مورد معادل سازی آر و تعیین شده است آقای
زیر مجموعه ای از عناصر مجموعه وجود دارد م معادل ایکس ، تماس گرفت کلاس هم ارزی.
از تعریف مجموعه فاکتورها به دست می آید که زیر مجموعه ای از یک بولی است: .
تابع فراخوانی می شود شناساییو به صورت زیر تعریف می شود:
قضیه.جبر عاملی اف n /~ با جبر توابع بولی هم شکل است ب n
اثبات.
ایزومورفیسم مورد نیاز ξ : اف n / ~ → ب n توسط قانون زیر تعیین می شود: کلاس هم ارزی ~(φ) تابع مطابقت دارد f φ , داشتن یک جدول حقیقت برای یک فرمول دلخواه از مجموعه ~(φ) . از آنجایی که کلاس های هم ارزی مختلف با جداول حقیقت متفاوت مطابقت دارند، نگاشت ξ injective، و از آنجایی که برای هر تابع بولی f از جانب در ص یک فرمول نشان دهنده تابع وجود دارد f، سپس نقشه برداری ξ سوژه ای عملیات ذخیره، 0، 1 هنگام نمایش داده می شود ξ مستقیم بررسی می شود. CTD.
با قضیه کامل بودن تابعی هر تابعی که ثابت نیست 0 ، با برخی از SDNF مطابقت دارد ψ ، متعلق به کلاس ~(φ) = ξ -1 (f) فرمول هایی که یک تابع را نشان می دهند f . مشکل حضور در کلاس به وجود می آید ~(φ) فرم نرمال منفصل که ساده ترین ساختار را دارد.
پایان کار -
این موضوع متعلق به بخش:
دوره سخنرانی در رشته ریاضیات گسسته
دانشگاه دولتی مهندسی عمران مسکو.. موسسه اقتصاد مدیریت و سیستم های اطلاعاتی در ساخت و ساز.. IEEE..
اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:
با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:
اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:
| توییت |
تمامی موضوعات این بخش:
موضوع ریاضیات گسسته
موضوع ریاضیات گسسته (متناهی، متناهی) شاخه ای از ریاضیات است که به بررسی خواص ساختارهای گسسته می پردازد، در حالی که ریاضیات کلاسیک (پیوسته) به بررسی خواص اجسام می پردازد.
ایزومورفیسم
علمی که به مطالعه عملیات جبری می پردازد جبر نامیده می شود. با مطالعه دوره، این مفهوم خاص تر و عمیق تر می شود. جبر فقط به این مسئله علاقه دارد که چگونه عمل کنیم
تمرینات
1. ثابت کنید که یک نگاشت هم شکل همیشه ایزوتون است و عکس آن درست نیست. 2. گروه خود را به زبان مجموعه ها بنویسید. 3. اشیایی را که به زبان مجموعه ها بنویسید
مجموعه و عناصر مجموعه
در حال حاضر، نظریه‌های مجموعه‌های موجود در پارادایم (نظام دیدگاه‌ها) مبانی مفهومی و ابزارهای منطقی متفاوت هستند. بنابراین، به عنوان مثال، می توان دو متضاد را ذکر کرد
مجموعه های متناهی و نامتناهی
چیزی که مجموعه از آن تشکیل شده است، یعنی. اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند عناصر آن نامیده می شوند. عناصر یک مجموعه متمایز و متمایز از یکدیگر هستند. همانطور که از مثال داده شده مشخص است
قدرت مجموعه
کاردینالیته برای یک مجموعه محدود برابر است با تعداد عناصر آن. به عنوان مثال، کاردینالیته جهان B(A) مجموعه ای از کاردینالیته n
A1A2A3| + … + |A1A2A3| + … + |A1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
یک مجموعه متناهی A اگر برابر با قطعه 1 باشد دارای k است.. k;:
زیر مجموعه، زیر مجموعه خود
پس از معرفی مفهوم مجموعه، وظیفه ساخت مجموعه های جدید از مجموعه های موجود، یعنی تعریف عملیات بر روی مجموعه ها مطرح می شود. مجموعه M",
زبان نمادین نظریه های مجموعه های معنادار
در روند مطالعه درس، بین زبان مفعول نظریه مجموعه ها و فرازبانی که به وسیله آن زبان شیء مورد مطالعه قرار می گیرد، تمایز قائل می شویم. منظور ما از زبان نظریه مجموعه ها رابطه ای است
اثبات
مجموعه B بی نهایت است، یعنی
افزودن و حذف موارد
اگر A یک مجموعه باشد و x یک عنصر باشد و سپس عنصر
مجموعه های محدود. مرزها را تعیین کنید
اجازه دهید یک تابع عددی f(x) روی مجموعه ای از X داده شود. کران بالایی (مرز) تابع f(x) چنین عددی است
حد بالا (پایین) دقیق
مجموعه تمام مرزهای بالایی E با Es و تمام مرزهای پایینی با Ei نشان داده می شود. در صورت
حد بالایی (پایینی) دقیق مجموعه
اگر عنصر z متعلق به تقاطع مجموعه E و مجموعه تمام مرزهای بالای آن Es باشد (به ترتیب r پایین تر
ویژگی های اساسی کران بالا و پایین
اجازه دهید X یک مجموعه جزئی مرتب شده باشد. 1. اگر، پس
مجموعه از دیدگاه اسنادی
دیدگاه مجموع، بر خلاف دیدگاه اسنادی، منطقاً غیرقابل دفاع است به این معنا که منجر به پارادوکس هایی از نوع راسل و کانتور می شود (نگاه کنید به زیر). در چارچوب صفت t
ساختار
یک مجموعه نیمه مرتب X در صورتی ساختار نامیده می شود که دارای هر مجموعه دو عنصری باشد
مجموعه های پوشش و پارتیشن بندی
یک پارتیشن از مجموعه A یک خانواده Ai است
روابط دودویی
دنباله ای به طول n که عبارت های آن a1، .... an است با (a1، .... a نشان داده می شود.
ویژگی های روابط باینری
یک رابطه باینری R در مجموعه Ho دارای ویژگی های زیر است: (الف) بازتابی اگر xRx باشد
روابط سه گانه
محصول دکارتی XY
روابط N-ary
با قیاس با حاصلضرب دکارتی دو مجموعه X,Y، می‌توانیم حاصلضرب دکارتی X را بسازیم.
نمایش می دهد
نگاشتها برخی از ارتباطات بین عناصر مجموعه هستند. ساده ترین مثال از روابط، روابط عضویت x است
مکاتبه
یک زیرمجموعه S از یک محصول دکارتی، مطابقت n-اری از عناصر مجموعه های Mi نامیده می شود. به صورت رسمی
تابع
تمام شاخه های ریاضیات گسسته بر اساس مفهوم تابع است. اجازه دهید X -
نشان دادن یک تابع از نظر روابط
یک رابطه دودویی f تابع نامیده می شود اگر از و
تزريق، جراحي، دوجكشي
هنگام استفاده از اصطلاح "نقشه برداری"، بین نگاشت XbY و نگاشت X بر روی Y تمایز قائل می شود.
تابع معکوس
برای موارد دلخواه، ما تعریف می کنیم
مجموعه های نیمه سفارش داده شده
مجموعه S در صورتی که یک رابطه مرتبه جزئی باینری بازتابی، متعدی و ضد متقارن به آن داده شود جزئی مرتب شده (PUM) نامیده می شود.
کمینه سازی نمایش را تنظیم کنید
با استفاده از این قوانین، مشکل به حداقل رساندن نمایش مجموعه M با استفاده از عملیات را در نظر می گیریم
بازآرایی ها
با توجه به مجموعه A. فرض کنید A یک مجموعه متناهی متشکل از n عنصر A = (a1, a2,…, a
جایگشت با تکرار
اجازه دهید مجموعه A دارای عناصر یکسان (تکرار شونده) باشد. جایگشت با تکرار ترکیب (n1, n2, …,nk
جایگذاری ها
چندتایی با طول k (1≤k≤n)، متشکل از عناصر مختلف مجموعه n-عنصر A (تاپل ها در
قرارگیری با تکرار
اجازه دهید مجموعه A دارای عناصر یکسان (تکرار شونده) باشد. قرارگیری با تکرار n عنصر از نام k
قرار دادن منظم
اجازه دهید n شی را در m جعبه قرار دهیم تا هر جعبه حاوی یک دنباله باشد، نه مانند قبل، مجموعه ای از اشیاء در آن قرار گیرد. دو
ترکیبات
از مجموعه m-عنصر A یک مجموعه مرتب به طول n می سازیم که عناصر آن چیدمان هایی با مضامین یکسان هستند.
ترکیبات با تکرار
فرمول های به دست آمده تنها زمانی معتبر هستند که هیچ عنصر یکسانی در مجموعه A وجود نداشته باشد. اجازه دهید عناصری از n نوع و از آنها چند تایی وجود داشته باشد
روش تولید تابع
این روش برای شمارش اعداد ترکیبی و ایجاد هویت های ترکیبی استفاده می شود. نقطه شروع ترکیب توالی (ai) است
سیستم جبری
یک سیستم جبری A مجموعه ای ‹M,O,R› است که اولین جزء آن M یک مجموعه غیر خالی و جزء دوم O یک مجموعه است.
بسته و زیر جبرها
گفته می شود که یک زیرمجموعه تحت عملیات φ اگر بسته می شود
جبرها با یک عملیات دودویی
بگذارید یک عملیات باینری روی مجموعه M داده شود. اجازه دهید جبری هایی را که تولید می کند در نظر بگیریم، اما ابتدا برخی از ویژگی های عملیات باینری را در نظر خواهیم گرفت. باینری o
گروهی
جبر شکل<М, f2>گروهی نامیده می شود. اگر f2 عملیاتی مانند ضرب باشد (
اعداد صحیح مدول m
حلقه ای از اعداد صحیح داده می شود
همخوانی ها
همخوانی در جبر A =
عناصر نظریه گراف
نمودارها اشیاء ریاضی هستند. تئوری گراف در زمینه هایی مانند فیزیک، شیمی، نظریه ارتباطات، طراحی کامپیوتر، مهندسی برق، مهندسی مکانیک، معماری، تحقیقات در مورد استفاده می شود.
نمودار، راس، لبه
منظور ما از یک گراف بدون جهت (یا به طور خلاصه، یک گراف) چنین جفت دلخواه G = است.
مکاتبه
توصیف دیگری که بیشتر از یک نمودار جهت‌دار G استفاده می‌شود، شامل تعیین مجموعه‌ای از رئوس X و یک تناظر Г است.
نمودار بدون جهت
اگر یال‌ها جهت‌گیری نداشته باشند، گراف بدون جهت نامیده می‌شود (تکراری بدون جهت یا بدون جهت).
بروز، نمودار مختلط
اگر لبه e به شکل (u، v) یا باشد<и, v>، سپس خواهیم گفت که لبه e حادثه ver است
مسابقه معکوس
از آنجایی که مجموعه ای از این رئوس را نشان می دهد
ایزومورفیسم نمودار
دو نمودار G1 =
مسیر مسیر گرا
یک مسیر (یا مسیر هدایت شده) یک گراف جهت دار، دنباله ای از کمان است که در آن
قوس های مجاور، رئوس مجاور، درجه راس
کمان a = (xi، xj)، xi ≠ xj، دارای رئوس انتهایی مشترک، n
قابلیت اتصال
دو رأس در گراف اگر مسیر ساده ای وجود داشته باشد متصل نامیده می شوند. یک گراف در صورتی متصل نامیده می شود که تمام رئوس آن به هم متصل باشند. قضیه.
نمودار قوس وزنی
یک گراف G = (N, A) وزن دار نامیده می شود اگر تابع l: A → R بر روی مجموعه کمان های A تعریف شده باشد به طوری که
ماتریس اتصال قوی
ماتریس اتصال قوی: 1 را در امتداد مورب قرار دهید. خط X1 را پر کنید - اگر راس از X1 و X1 d قابل دسترسی باشد
درختان
درختان نه تنها به این دلیل اهمیت دارند که در زمینه های مختلف دانش کاربرد پیدا می کنند، بلکه به این دلیل که در خود نظریه گراف جایگاه ویژه ای دارند. مورد دوم ناشی از سادگی بیش از حد ساختار درخت است
هر درخت غیر بی اهمیت حداقل دو رأس آویزان دارد
اثبات درخت G(V, E) را در نظر بگیرید. بنابراین یک درخت یک گراف متصل است
قضیه
مرکز یک درخت آزاد از یک راس یا دو راس مجاور تشکیل شده است: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1
درختان هدایت شده، منظم و باینری
درختان جهت دار (مرتب شده) انتزاعی از روابط سلسله مراتبی هستند که اغلب هم در زندگی عملی و هم در ریاضیات و برنامه نویسی با آن مواجه می شوند. درخت (جهت)
اثبات
1. هر قوس وارد یک گره می شود. از بند 2 تعریف 9.2.1 داریم: v
درختان سفارش داده شده
مجموعه های T1،...، Tk در تعریف معادل orderev زیردرخت هستند. اگر ترتیب نسبی زیردرخت های T1،...،
درختان باینری
درخت دودویی (یا باینری) مجموعه‌ای محدود از گره‌ها است که یا خالی هستند یا از یک ریشه و دو درخت دودویی متمایز - چپ و راست تشکیل شده‌اند. درخت باینری در جاوا نیست
نمایندگی درخت رایگان
برای نشان دادن درختان، می‌توانید از تکنیک‌های مشابه برای نمایش نمودارهای کلی استفاده کنید - ماتریس‌های مجاورت و رخداد، فهرست‌های مجاورت و موارد دیگر. اما با استفاده از خواص ویژه از
پایان برای
منطق کد Prüfer در واقع یک نمایش درختی رایگان است. برای دیدن این، اجازه دهید نشان دهیم که اگر T" یک درخت است
بازنمایی درختان دوتایی
هر درخت آزاد را می توان با تعیین یکی از گره های آن به عنوان ریشه جهت یابی کرد. هر سفارشی را می توان خودسرانه سفارش داد. برای فرزندان یک گره (برادران) از یک مرتبه، نسبی تعریف می شود
توابع منطقی پایه
اجازه دهید مجموعه ای متشکل از دو عدد را با E2 = (0، 1) نشان دهیم. اعداد 0 و 1 در یک تشک گسسته اساسی هستند
تابع بولی
یک تابع بولی از n آرگومان x1, x2, … ,xn تابع f از توان n مجموعه است.
جبر بولی دو عنصری
بیایید مجموعه Во = (0,1) را در نظر بگیریم و با توجه به جداول منابع، عملیات روی آن را تعریف کنیم.
جداول تابع بولی
یک تابع بولی از n متغیر را می توان با جدولی متشکل از دو ستون و 2n ردیف مشخص کرد. ستون اول تمام مجموعه های B را فهرست می کند
F5 - تکرار در y
f6 – مجموع مدول 2 f7
ترتیب عملیات ها
اگر در یک عبارت پیچیده پرانتز وجود نداشته باشد، عملیات باید به ترتیب زیر انجام شود: ربط، تفکیک، ضمنی، معادل، نفی. قراردادهای مربوط به ترتیب قضیه اول شانون
برای حل مشکل یافتن معادل SDNF و SCNF با فرمول اصلی φ، ابتدا بسط های تابع بولی f(x1, x2 را در نظر می گیریم.
قضیه دوم شانون
بر اساس اصل دوگانگی، قضیه 6.4.3 (قضیه دوم شانون) برای جبرهای بولی صادق است. هر تابع بولی f(x1, x2,...
کامل بودن عملکردی
قضیه (درباره کامل بودن تابعی). برای هر تابع بولی f یک فرمول φ وجود دارد که تابع f را نشان می دهد
الگوریتم پیدا کردن sdnf
برای یافتن SDNF، این فرمول ابتدا باید به DNF تقلیل یابد و سپس با استفاده از اقدامات زیر، پیوندهای آن را به اجزای واحد تبدیل کند: الف) اگر این فرمول شامل مقداری باشد.
روش کواین
روش کواین را برای یافتن MDNF که یک تابع بولی معین را نشان می دهد در نظر بگیرید. اجازه دهید سه عملیات زیر را تعریف کنیم: - عملیات چسباندن کامل -
نمایش متعارف توابع منطقی
اشکال متعارف توابع منطقی (فرمول ها) عباراتی هستند که فرم استاندارد یک فرمول بولی را دارند به طوری که به طور منحصر به فرد یک تابع منطقی را نشان می دهد. در جبر
سیستم های تابع بولی
اجازه دهید توابع بولی f(g1, g2, …, gm) و g1 (x1, x2, …, xn), g2 (x1)
اساس ژگالکین
بیایید آن را امتحان کنیم، بیایید به سیستم نگاه کنیم. این کامل است، زیرا هر تابعی از پایه استاندارد به صورت عباراتی بیان می شود
قضیه پست
قضیه پست شرایط لازم و کافی را برای کامل بودن یک سیستم از توابع بولی ایجاد می کند. (پست E.L. سیستم های تعاملی دو ارزشی منطق ریاضی. - Annals of Math. Stu
اثبات
ضرورت. از طرف مقابل. بگذار باشد
جبر ژگالکین منطق گزاره ای تعریف محمول کاربرد محمولات در جبر جبر محمول بولی F↔G=(F→G)(G→F)، F→G=نه FG محاسبات محمول پیروی و معادل سازی نمادهای پذیرفته شده نامگذاری های متا فرض کنید R یک رابطه باینری در مجموعه X باشد. رابطه R نامیده می شود منعکس کننده
, اگر (x, x) О R برای همه x О X; متقارن
– اگر از (x, y) О R به دنبال (y, x) О R باشد. عدد متعدی 23 با گزینه 24 مطابقت دارد اگر (x, y) О R و (y, z) О R دلالت بر (x, z) О R داشته باشد. مثال 1 خواهیم گفت که x О X مشترک دارد
با عنصر y О X، اگر مجموعه رابطه هم ارزیروی X یک رابطه بازتابی، متعدی و متقارن است. به راحتی می توان فهمید که R Í X ´ X یک رابطه هم ارزی خواهد بود اگر و فقط در صورتی که شمول ها برقرار باشند: شناسه X Í R (انعکاس پذیری)، R -1 Í R (تقارن)، R ° R Í R (گذرا). در واقع، این سه شرط معادل موارد زیر است: شناسه X Í R، R -1 = R، R ° R = R. با تقسیم کردناز یک مجموعه X مجموعه A از زیرمجموعه های متفرقه جفتی a Í X است به طوری که UA = X. با هر پارتیشن A می توانیم یک رابطه هم ارزی ~ را روی X مرتبط کنیم، اگر x و y عناصر برخی از a Î A هستند، x ~ y قرار می دهیم. . هر رابطه هم ارزی ~ در X مربوط به یک پارتیشن A است که عناصر آن زیرمجموعه هایی هستند که هر کدام از عناصر موجود در رابطه ~ تشکیل شده است. این زیر مجموعه ها نامیده می شوند کلاس های هم ارزی
. این پارتیشن A مجموعه عاملی از مجموعه X نسبت به ~ نامیده می شود و نشان داده می شود: X/~. اجازه دهید رابطه ~ را در مجموعه w از اعداد طبیعی تعریف کنیم، اگر باقیمانده های حاصل از تقسیم x و y بر 3 برابر باشند، x ~ y را قرار می دهیم. سپس w/~ شامل سه کلاس هم ارزی مربوط به باقیمانده های 0، 1 و 2 است. رابطه سفارش یک رابطه باینری R در مجموعه X نامیده می شود پاد متقارن
، اگر از x R y و y R x به دست می آید: x = y. یک رابطه باینری R در مجموعه X نامیده می شود رابطه سفارش
، اگر بازتابی، ضد متقارن و متعدی باشد. به راحتی می توان فهمید که این معادل شرایط زیر است: 1) شناسه X Í R (انعکاس پذیری)، 2) R Ç R -1 (ضد تقارن)، 3) R ° R Í R (گذرا). یک جفت مرتب (X, R) متشکل از یک مجموعه X و یک رابطه مرتبه R روی X نامیده می شود مجموعه نیمه سفارش داده شده
. مثال 1 اجازه دهید X = (0، 1، 2، 3)، R = ((0، 0)، (0، 1)، (0، 2)، (0، 3)، (1، 1)، (1، 2) )، (1، 3)، (2، 2)، (3، 3)). از آنجایی که R شرایط 1-3 را برآورده می کند، پس (X, R) یک مجموعه تا حدی منظم است. برای عناصر x = 2، y = 3، نه x R y و نه y R x درست نیست. چنین عناصری نامیده می شوند غیر قابل مقایسه
. معمولاً رابطه سفارش با £ نشان داده می شود. در مثال داده شده، 0 £ 1 و 2 £ 2، اما این درست نیست که 2 £ 3. مثال 2 اجازه دهید< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество. عناصر x, y О X از یک مجموعه جزئی مرتب شده (X, £) نامیده می شوند قابل مقایسه
، اگر x £ y یا y £ x. یک مجموعه جزئی مرتب شده (X، £) نامیده می شود به صورت خطی مرتب شده است
یا زنجیر
، اگر هر دو عنصر آن قابل مقایسه باشند. مجموعه از مثال 2 به صورت خطی مرتب می شود، اما مجموعه از مثال 1 نه. یک زیر مجموعه A Í X از یک مجموعه جزئی مرتب شده (X, £) فراخوانی می شود در بالا محدود شده است
، اگر یک عنصر x О X وجود داشته باشد به طوری که یک £ x برای همه a О A وجود داشته باشد. عنصر x О X نامیده می شود. بزرگترین
در X اگر y £ x برای همه y О X. عنصر x О X حداکثر نامیده می شود اگر هیچ عنصر y О X متفاوت از x که برای آن x £ y وجود نداشته باشد. در مثال 1، عناصر 2 و 3 حداکثر خواهند بود، اما بزرگترین آنها نیستند. به طور مشابه تعریف شده است حد پایین
زیر مجموعه ها، کوچکترین و حداقل عناصر. در مثال 1، عنصر 0 هم کوچکترین و هم حداقل خواهد بود. در مثال 2، 0 نیز این ویژگی ها را دارد، اما (w, £) نه بزرگترین و نه حداکثر عنصر را دارد. فرض کنید (X، £) یک مجموعه تا حدی مرتب، A Í X یک زیر مجموعه باشد. یک رابطه در A، متشکل از جفت (a، b) از عناصر a، b О A، که برای آنها a £ b، یک رابطه مرتبه در A خواهد بود. این رابطه با همان نماد نشان داده می شود: £. بنابراین، (A, £) یک مجموعه جزئی مرتب شده است. اگر به صورت خطی مرتب شده باشد، خواهیم گفت که A است زنجیر
در (X, £). اصل حداکثر برخی از گزاره های ریاضی را نمی توان بدون اصل انتخاب اثبات کرد. این اظهارات گفته می شود به بدیهیات انتخابی بستگی دارد
یا در نظریه ZFC معتبر است
، در عمل، به جای اصل انتخاب، معمولاً از اصل زرملو یا لم کوراتوفسکی-زورن یا هر عبارت دیگر معادل اصل انتخاب برای اثبات استفاده می شود. لمای کوراتوفسکی-زورن. اگر هر زنجیره در یک مجموعه تا حدی دستور داد(X, £) از بالا محدود شده است، سپس درایکس حداقل یک عنصر حداکثر وجود دارد. این لم معادل اصل انتخاب است و بنابراین می توان آن را به عنوان بدیهیات پذیرفت. قضیه.برای هر مجموعه ای که جزئی سفارش داده شده است(X, £) یک رابطه حاوی رابطه وجود دارد£ و تبدیل کردنایکس به یک مجموعه منظم خطی اثبات. مجموعه همه روابط ترتیبی که حاوی رابطه £ هستند توسط رابطه شامل U مرتب می شوند. از آنجایی که اتحاد زنجیره ای از روابط نظم یک رابطه ترتیبی خواهد بود، پس با لم کوراتوفسکی-زورن یک رابطه حداکثری R وجود دارد به طوری که x £ y دلالت بر x R y دارد. اجازه دهید ثابت کنیم که R رابطه ای است که به صورت خطی X را مرتب می کند. اجازه دهید برعکس فرض کنیم: بگذارید a، b О X وجود داشته باشد به گونه ای که نه (a، b) و نه (b، a) متعلق به R باشند. رابطه را در نظر بگیرید: R¢ = R È ((x, y): x R a و b R y). با افزودن جفت (a, b) به R و جفت‌های (x, y) به دست می‌آید که باید از شرطی که R¢ یک رابطه مرتبه است به R¢ اضافه شود. به راحتی می توان فهمید که R¢ بازتابی، ضد متقارن و متعدی است. ما R Ì R¢ را به دست می آوریم که با حداکثر R در تضاد است، بنابراین، R رابطه مرتبه خطی مورد نظر است. اگر هر زیرمجموعه غیر خالی A Í X از آن حاوی کوچکترین عنصر a Î A باشد، یک مجموعه X مرتب شده به صورت خطی، مرتب نامیده می شود. لم Kuratowski-Zorn و اصل انتخاب نیز معادل عبارت زیر هستند: بدیهیات زرملو. برای هر مجموعه یک رابطه نظم وجود دارد که آن را به یک مجموعه کاملا مرتب تبدیل می کند. به عنوان مثال، مجموعه w از اعداد طبیعی کاملاً مرتب است. اصل اندوکتانس به صورت زیر خلاصه می شود: القایی ترانس. اگر(X, £) یک مجموعه کاملاً مرتب است و F(x) ویژگی عناصر آن است،درست برای کوچکترین عنصر x 0 О X و به گونه ای که از صدق F(y) برای همه y < z следует истинность F(z), то
F(x) برای همه صادق است x О X .
اینجا y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению. مفهوم قدرت فرض کنید f: X à Y و g: Y à Z نقشه مجموعه ها باشد. از آنجایی که f و g روابط هستند، ترکیب آنها g ° f(x) = g(f(x)) تعریف می شود. اگر h: Z à T نقشه مجموعه ها باشد، h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. روابط Id X و Id Y تابع هستند، بنابراین، ترکیبات Id Y ° f = f ° Id x = f تعریف می شوند. برای X = Y، f 2 = f ° f، f 3 = f 2 ° f، ...، f n+1 = f n ° f را تعریف می کنیم. نگاشت f: X àY نامیده می شود با تزریق
، اگر برای هر عنصر x 1 ¹ x 2 از مجموعه X، f(x 1) ¹ f(x 2) درست است. نگاشت f نامیده می شود سرکشی
، اگر برای هر y OY یک x O X وجود داشته باشد به طوری که f(x) = y. اگر f هم تزریقی و هم تزریقی باشد، f نامیده می شود دوجکشن
. به راحتی می توان فهمید که f یک دوجکشن است اگر و فقط اگر رابطه معکوس f -1 Í Y ´ X یک تابع باشد. خواهیم گفت که برابری |X| = |Y|، اگر بین X و Y تقسیمی وجود داشته باشد. اجازه دهید |X| £ |Y|، در صورت تزریق f: X à Y. قضیه کانتور- شرودر-برنشتاین. اگر|X| £ |Y| و|Y| £ |X| ، آن|X| = |Y|. اثبات. با شرط، تزریق‌های f: X à Y و g: Y à X وجود دارد. اجازه دهید A = g¢¢Y = Img تصویر مجموعه Y با توجه به نگاشت g باشد. سپس (X \ A) Ç (gf)¢¢ (X \ A) = Æ، (gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢ (X \ A) = Æ، …، (gf) n ¢¢ (X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢ (X \ A) = Æ، … نگاشت j را در نظر بگیرید: X à A، به صورت j(x) = gf(x)، با x Î (X \ A) È (gf)¢¢ (X \ A) È (gf) 2 ¢¢ (X \ A) È … و j(x) = x در موارد دیگر. به راحتی می توان فهمید که j یک bijection است. بیجکشن مورد نیاز بین X و Y برابر با g -1 درجه j خواهد بود. ضدیت کانتور اجازه دهید |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y. قضیه کانتور. برای هر مجموعه X، |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.
(یعنی که دارای ویژگی های زیر است: هر عنصر از مجموعه معادل خودش است؛ اگر ایکسمعادل y، آن yمعادل ایکس; اگر ایکسمعادل y، آ yمعادل z، آن ایکسمعادل z
). سپس مجموعه تمام کلاس های هم ارزی فراخوانی می شود مجموعه فاکتورو تعیین شده است. تقسیم یک مجموعه به کلاس هایی از عناصر معادل، آن نامیده می شود فاکتورسازی. نمایش از ایکسبه مجموعه ای از کلاس های هم ارزی فراخوانی می شود نقشه برداری عاملی. منطقی است که از فاکتورسازی مجموعه برای به دست آوردن فضاهای هنجار از فضاهای نیمه هنجار، فضاهایی با حاصلضرب داخلی از فضاهایی با حاصلضرب تقریباً درونی و غیره استفاده کنیم. برای این کار به ترتیب هنجار یک کلاس را برابر با هنجار یک عنصر دلخواه، و محصول درونی طبقات به عنوان محصول درونی عناصر دلخواه طبقات. به نوبه خود، رابطه هم ارزی به صورت زیر معرفی می شود (به عنوان مثال، برای تشکیل یک فضای ضریب نرمال شده): زیر مجموعه ای از فضای نیم شکل اولیه معرفی می شود که از عناصری با نیم نیمی صفر تشکیل شده است (به هر حال، خطی است، یعنی، یک زیرفضا است) و دو عنصر در صورتی معادل هستند که تفاوت آنها متعلق به همین زیرفضا باشد. اگر برای فاکتورسازی یک فضای خطی، زیرفضای خاصی معرفی شود و فرض شود که اگر اختلاف دو عنصر فضای اصلی متعلق به این زیرفضا باشد، این عناصر معادل هستند، مجموعه عامل یک فضای خطی است و نامیده می شود. یک فضای عامل بنیاد ویکی مدیا 2010. اصل منطقی زیربنای تعاریف از طریق انتزاع (به تعریف از طریق انتزاع مراجعه کنید): هر رابطه ای از نوع برابری که بر روی برخی از مجموعه اولیه عناصر تعریف شده است، اصل را تقسیم می کند (تقسیم می کند، طبقه بندی می کند)... ... شکلی از تفکر که ویژگی ها، ارتباطات و روابط اساسی اشیاء و پدیده ها را در تضاد و توسعه آنها منعکس می کند. فکر یا سیستمی از افکار که تعمیم می دهد، اشیاء یک طبقه خاص را بر اساس کلی معین و در مجموع متمایز می کند... ... دایره المعارف بزرگ شوروی کومولوژی گروه گالوا. اگر M یک گروه آبلی و یک گروه گالوا از یک پسوند است که بر روی M عمل می‌کند، گروه‌های هم‌شناسی Galois گروه‌های هم‌شناسی هستند که توسط مجموعه‌ای متشکل از همه نقشه‌ها تعریف می‌شوند و d یک عملگر هم مرز است (به هم‌شناسی گروه‌ها مراجعه کنید).... . .. دایره المعارف ریاضی ساخت، به بهشت، ابتدا در نظریه مجموعه ها ظاهر شد، و سپس به طور گسترده در جبر، توپولوژی و سایر زمینه های ریاضیات استفاده شد. یک مورد خاص مهم از یک I. p. یک I. p. از یک خانواده هدایت‌شده از ساختارهای ریاضی از همان نوع است. بگذار… دایره المعارف ریاضی اگر چه نسبت به گروه G که روی مجموعه X عمل می کند (در سمت چپ) امتیاز دارد، مجموعه Set زیرگروهی از G است و نامیده می شود. تثبیت کننده یا زیرگروه ثابت یک نقطه با توجه به G. نگاشت یک دوشدن بین G/Gx و مدار G(x) را القا می کند. در باره.… … دایره المعارف ریاضی این مقاله مقدمه بسیار کوتاهی دارد. لطفا یک قسمت مقدماتی اضافه کنید که به طور خلاصه به معرفی موضوع مقاله و خلاصه مطالب آن می پردازد... ویکی پدیا این مقاله در مورد سیستم جبری است. برای شاخه ای از منطق ریاضی که گزاره ها و عملیات روی آنها را مطالعه می کند، به جبر منطق مراجعه کنید. جبر بولی یک مجموعه غیر خالی A با دو عملیات دودویی (مشابه یک ربط)، ... ... ویکی پدیا بگذارید یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه داده شود. سپس مجموعه تمام طبقات هم ارزی را مجموعه عاملی می نامند و نشان می دهند. تقسیم بندی یک مجموعه به کلاس هایی از عناصر معادل، فاکتورسازی آن نامیده می شود. نقشه برداری از به... ... ویکی پدیا در هندسه، پاره جهت دار به عنوان یک جفت مرتب از نقاط در نظر گرفته می شود که اولین آن، نقطه A، آغاز آن، و دوم، B، پایان آن نامیده می شود. مطالب 1 تعریف ... ویکی پدیا در شاخه‌های مختلف ریاضیات، هسته نقشه‌برداری یک مجموعه مشخص است که به یک معنا تفاوت بین f و نگاشت تزریقی را مشخص می‌کند. تعریف خاص ممکن است متفاوت باشد، اما برای نقشه برداری تزریقی f... ... ویکی پدیا وظیفه 20.متن زیر را بخوانید که تعدادی کلمه (عبارات) در آن وجود ندارد. از لیست کلمات (عباراتی) که باید به جای شکاف ها درج شوند، انتخاب کنید. «کیفیت زندگی به عوامل زیادی بستگی دارد، از محل زندگی یک فرد گرفته تا وضعیت عمومی اجتماعی-اقتصادی و (الف) و همچنین وضعیت امور سیاسی کشور. کیفیت زندگی تا حدی می تواند تحت تأثیر وضعیت جمعیتی، شرایط مسکن و تولید، حجم و کیفیت _____(B) و غیره باشد. بسته به میزان ارضای نیازها در اقتصاد، آن مرسوم است که سطوح مختلف زندگی جمعیت را متمایز می کند: ثروت - استفاده (B) تضمین توسعه انسانی همه جانبه. سطح نرمال _____(G) طبق استانداردهای مبتنی بر علمی، به فرد کمک می کند تا قدرت فیزیکی و فکری خود را بازیابی کند. فقر - مصرف کالا در سطح حفظ ظرفیت کاری به عنوان کمترین حد تولید مثل _____(D)؛ فقر مصرف حداقل مجموعه کالاها و خدمات قابل قبول بر اساس معیارهای بیولوژیکی است که تنها امکان حفظ بقای انسان را فراهم می کند. جمعیت، با تطبیق با شرایط بازار، از منابع مختلف درآمد اضافی، از جمله درآمد حاصل از زمین های شخصی، سود از _____(E) استفاده می کند. کلمات (عبارات) در فهرست به صورت اسمی آورده شده است. هر کلمه (عبارت) فقط یک بار قابل استفاده است. یک کلمه (عبارت) را پس از دیگری انتخاب کنید و هر شکاف را به طور ذهنی پر کنید. لطفاً توجه داشته باشید که تعداد کلمات (عبارات) در لیست بیشتر از آن چیزی است که برای پر کردن شکاف ها نیاز دارید. فهرست اصطلاحات: 1) سرمایه 2) محیطی 3) مصرف منطقی 4) کالاهای مصرفی 5) وسایل تولید 7) کار 8) فعالیت کارآفرینی 9) تحرک اجتماعی راه حل. بیایید اصطلاحات را در متن وارد کنیم. «کیفیت زندگی به عوامل زیادی بستگی دارد، از محل زندگی یک فرد گرفته تا وضعیت عمومی اجتماعی-اقتصادی و محیطی (2) (الف) و همچنین وضعیت امور سیاسی در کشور. کیفیت زندگی تا حدی می تواند تحت تأثیر وضعیت جمعیتی، شرایط مسکن و تولید، حجم و کیفیت کالاهای مصرفی (4) (ب) و غیره باشد. بسته به میزان ارضای نیازها در اقتصاد، مرسوم است که سطوح مختلف زندگی جمعیت را تشخیص دهیم: ثروت - استفاده از مزایای (6) (B) که توسعه همه جانبه یک فرد را تضمین می کند. سطح نرمال مصرف منطقی (3) (د) مطابق با استانداردهای مبتنی بر علمی، به فرد امکان بازیابی قوای جسمی و فکری را می دهد. فقر - مصرف کالا در سطح حفظ ظرفیت کاری به عنوان کمترین حد بازتولید نیروی کار (7) (د)؛ فقر مصرف حداقل مجموعه کالاها و خدمات قابل قبول بر اساس معیارهای بیولوژیکی است که تنها امکان حفظ بقای انسان را فراهم می کند.
مجموع مدول 2، ربط و ثابت های 0 و 1 یک سیستم عملکردی کامل را تشکیل می دهند، یعنی. جبر را تشکیل دهید - جبر ژگالکین. A=
منطق ریاضی مفاهیم اساسی نحو (شکل) و معناشناسی (محتوا) زبان طبیعی را مطالعه می کند. بیایید سه حوزه اصلی تحقیق در منطق ریاضی - منطق را در نظر بگیریم
اجازه دهید X1، X2، ...، Xn متغیرهای دلخواه باشند. این متغیرها را متغیر موضوعی می نامیم. اجازه دهید متغیر شما را تنظیم کند
بیایید محمول هایی را در نظر بگیریم که در آنها فقط یک متغیر آزاد است که آن را با x نشان می دهیم و استفاده از محمول ها در جبر را مورد بحث قرار می دهیم. یک مثال معمولی
از آنجایی که عملیات منطقی را می توان برای محمول ها اعمال کرد، قوانین اساسی جبر بولی برای آنها معتبر است. قضیه. (خواص عملیات منطقی برای محمولات). منگنز
2. از قانون استفاده کنید نه F=F، قوانین د مورگان: نه (F
محاسبات محمول را نظریه مرتبه اول نیز می نامند. در حساب محمول و همچنین در حساب گزاره ای اولین جایگاه مهم مسئله حل پذیری است.
اگر مفهوم Q1→Q2 درست شود، شکل گزاره ای Q2 از شکل گزاره ای Q1 ناشی می شود.
نمادهای "دیگر سفارش نکنید". هنگام مقایسه نرخ رشد دو تابع f(n) و g(n) (با مقادیر غیر منفی)، موارد زیر بسیار راحت هستند.
نمادها محتویات مثال OR
x Ç y خالی نیست. رابطه مشترک داشتن، بازتابی و متقارن خواهد بود، اما متعدی نیست.مثال ها
مثال ها
همچنین ببینید
ببینید «مجموعه فاکتور» در فرهنگ‌های دیگر چیست:
منبع شغل: وظیفه 10_20. آزمون دولتی واحد 2018 مطالعات اجتماعی. راه حل
بارگذاری...