Թվաբանական առաջընթաց. Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը C 12 թվաբանական առաջընթացի բանաձևը n թվերի համար

Այո, այո. թվաբանական առաջընթացը ձեզ համար խաղալիք չէ :)

Դե, ընկերներ, եթե դուք կարդում եք այս տեքստը, ապա ներքին գլխարկ-ապացույցն ինձ ասում է, որ դուք դեռ չգիտեք, թե ինչ է թվաբանական առաջընթացը, բայց դուք իսկապես (ոչ, այսպես. SOOOOO!) ցանկանում եք իմանալ: Ուստի երկար ներածություններով ձեզ չեմ տանջի և անմիջապես կանցնեմ բուն կետին:

Նախ, մի երկու օրինակ. Դիտարկենք թվերի մի քանի հավաքածու.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ի՞նչ ընդհանուր բան ունեն այս բոլոր հավաքածուները: Առաջին հայացքից՝ ոչինչ։ Բայց իրականում ինչ-որ բան կա. Այսինքն: յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է նույն թվով.

Դատեք ինքներդ։ Առաջին հավաքածուն ուղղակի հաջորդական թվեր են, որոնցից յուրաքանչյուրը մեկով ավելի է նախորդից: Երկրորդ դեպքում հարակից թվերի տարբերությունն արդեն հինգ է, բայց այս տարբերությունը դեռ հաստատուն է։ Երրորդ դեպքում ընդհանրապես արմատներ կան։ Սակայն $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ և $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, այսինքն. և այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պարզապես ավելանում է $\sqrt(2)$-ով (և մի վախեցեք, որ այս թիվը իռացիոնալ է):

Այսպիսով, բոլոր նման հաջորդականությունները կոչվում են թվաբանական առաջընթացներ: Տանք խիստ սահմանում.

Սահմանում. Թվերի այն հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդը նախորդից տարբերվում է ճիշտ նույն չափով, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։ Հենց այն գումարը, որով թվերը տարբերվում են, կոչվում է պրոգրեսիայի տարբերություն և ամենից հաճախ նշվում է $d$ տառով։

Նշում. $\left(((a)_(n)) \right)$-ն ինքնին առաջընթացն է, $d$-ը դրա տարբերությունն է:

Եվ ընդամենը մի քանի կարևոր նշում. Նախ, առաջընթացը միայն դիտարկվում է պատվիրել էթվերի հաջորդականությունը. դրանք թույլատրվում է կարդալ խիստ այն հաջորդականությամբ, որով դրանք գրված են, և ուրիշ ոչինչ: Թվերը չեն կարող վերադասավորվել կամ փոխանակվել:

Երկրորդ, հաջորդականությունն ինքնին կարող է լինել կամ վերջավոր կամ անվերջ: Օրինակ, բազմությունը (1; 2; 3) ակնհայտորեն վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա է: Բայց եթե դուք ինչ-որ բան գրում եք ոգով (1; 2; 3; 4; ...) - սա արդեն անսահման առաջընթաց է: Չորսից հետո էլիպսիսը կարծես հուշում է, որ դեռ շատ թվեր են սպասվում: Օրինակ՝ անսահման շատ: :)

Կցանկանայի նաև նշել, որ առաջընթացները կարող են աճել կամ նվազել: Մենք արդեն տեսել ենք աճողներ՝ նույն հավաքածուն (1; 2; 3; 4; ...): Ահա նվազող առաջընթացի օրինակներ.

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Լավ, լավ. վերջին օրինակը կարող է չափազանց բարդ թվալ: Բայց մնացածը, կարծում եմ, հասկանում ես։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք նոր սահմանումներ.

Սահմանում. Թվաբանական առաջընթացկոչված:

1. աճում է, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը մեծ է նախորդից.
2. նվազում, եթե, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պակաս է նախորդից:

Բացի այդ, կան, այսպես կոչված, «ստացիոնար» հաջորդականություններ. դրանք բաղկացած են նույն կրկնվող թվից: Օրինակ, (3; 3; 3; ...):

Մնում է միայն մեկ հարց. ինչպե՞ս տարբերել աճող առաջընթացը նվազողից: Բարեբախտաբար, այստեղ ամեն ինչ կախված է միայն $d$ թվի նշանից, այսինքն. առաջընթացի տարբերություններ.

1. Եթե ​​$d \gt 0$, ապա առաջընթացը մեծանում է.
2. Եթե ​​$d \lt 0$, ապա առաջընթացն ակնհայտորեն նվազում է.
3. Վերջապես, կա $d=0$ դեպք - այս դեպքում ամբողջ առաջընթացը կրճատվում է միանման թվերի անշարժ հաջորդականության՝ (1; 1; 1; 1; ...) և այլն:

Փորձենք հաշվարկել $d$ տարբերությունը վերը նշված երեք նվազող առաջընթացների համար: Դա անելու համար բավական է վերցնել ցանկացած երկու հարակից տարր (օրինակ՝ առաջինը և երկրորդը) և ձախ կողմի թիվը հանել աջ կողմի թվից։ Այն այսպիսի տեսք կունենա.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$:

Ինչպես տեսնում ենք, երեք դեպքում էլ տարբերությունն իրականում բացասական է ստացվել։ Եվ հիմա, երբ մենք քիչ թե շատ պարզել ենք սահմանումները, ժամանակն է պարզել, թե ինչպես են նկարագրվում առաջընթացները և ինչ հատկություններ ունեն դրանք:

Առաջընթացի պայմանները և կրկնության բանաձևը

Քանի որ մեր հաջորդականության տարրերը հնարավոր չէ փոխանակել, դրանք կարող են համարակալվել.

\[\left(((a)_(n)) \աջ)=\ձախ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ճիշտ\)\]

Այս հավաքածուի առանձին տարրերը կոչվում են պրոգրեսիայի անդամներ: Դրանք նշվում են թվով՝ առաջին անդամ, երկրորդ անդամ և այլն։

Բացի այդ, ինչպես արդեն գիտենք, առաջընթացի հարևան տերմինները կապված են բանաձևով.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Աջ սլաք ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Մի խոսքով, պրոգրեսիայի $n$th անդամը գտնելու համար դուք պետք է իմանաք $n-1$th անդամը և $d$ տարբերությունը: Այս բանաձևը կոչվում է կրկնվող, քանի որ դրա օգնությամբ դուք կարող եք գտնել ցանկացած թիվ միայն իմանալով նախորդը (և իրականում բոլոր նախորդները): Սա շատ անհարմար է, ուստի կա ավելի խորամանկ բանաձև, որը նվազեցնում է ցանկացած հաշվարկ մինչև առաջին տերմինը և տարբերությունը.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\ձախ(n-1 \աջ)d\]

Դուք հավանաբար արդեն հանդիպել եք այս բանաձեւին. Նրանք սիրում են այն տալ բոլոր տեսակի տեղեկատու գրքերում և լուծումների գրքերում: Իսկ մաթեմատիկայի ցանկացած խելամիտ դասագրքում այն ​​առաջիններից է։

Այնուամենայնիվ, ես առաջարկում եմ ձեզ մի փոքր պարապել:

Առաջադրանք թիվ 1. Գրի՛ր $\left((a)_(n)) \right)$ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները, եթե $((a)_(1))=8,d=-5$։

Լուծում. Այսպիսով, մենք գիտենք $((a)_(1))=8$ առաջին անդամը և $d=-5$ պրոգրեսիայի տարբերությունը: Եկեք օգտագործենք նոր տրված բանաձևը և փոխարինենք $n=1$, $n=2$ և $n=3$:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\ձախ(n-1 \աջ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\ձախ(1-1 \աջ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\ձախ(2-1 \աջ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\ձախ(3-1 \աջ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատասխան՝ (8; 3; −2)

Այսքանը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. մեր առաջընթացը նվազում է:

Իհարկե, $n=1$-ը չէր կարող փոխարինվել՝ առաջին տերմինը մեզ արդեն հայտնի է։ Սակայն փոխարինելով միասնությունը՝ մենք համոզվեցինք, որ նույնիսկ առաջին ժամկետում մեր բանաձեւը գործում է։ Մնացած դեպքերում ամեն ինչ հանգում էր բանական թվաբանության։

Առաջադրանք թիվ 2. Գրե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները, եթե նրա յոթերորդ անդամը հավասար է -40-ի, իսկ տասնյոթերորդ անդամը հավասար է -50-ի:

Լուծում. Խնդրի պայմանը գրենք ծանոթ տերմիններով.

\[((a)_(7))=-40;\չորս ((ա)_(17))=-50:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \ճիշտ.\]

Ես դրել եմ համակարգի նշանը, քանի որ այս պահանջները պետք է կատարվեն միաժամանակ: Այժմ նկատենք, որ եթե առաջինը հանենք երկրորդ հավասարումից (մենք իրավունք ունենք դա անելու, քանի որ ունենք համակարգ), կստանանք հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((ա)_(1))+16d-\ձախ (((a)_(1))+6d \աջ)=-50-\ձախ (-40 \աջ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ահա թե որքան հեշտ է գտնել առաջընթացի տարբերությունը: Մնում է գտնված թիվը փոխարինել համակարգի ցանկացած հավասարումով: Օրինակ, առաջինում.

\[\սկիզբ (մատրիցան) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Ներքև \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ա)_(1))=-40+6=-34. \\ \վերջ (մատրիցան)\]

Այժմ, իմանալով առաջին տերմինը և տարբերությունը, մնում է գտնել երկրորդ և երրորդ անդամները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատրաստ. Խնդիրը լուծված է։

Պատասխան՝ (−34; −35; −36)

Ուշադրություն դարձրեք պրոգրեսիայի հետաքրքիր հատկությանը, որը մենք հայտնաբերեցինք. եթե վերցնենք $n$th և $m$th անդամները և հանենք դրանք միմյանցից, ապա կստանանք առաջընթացի տարբերությունը բազմապատկած $n-m$ թվով.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \ձախ(n-m \աջ)\]

Պարզ, բայց շատ օգտակար հատկություն, որը դուք անպայման պետք է իմանաք՝ դրա օգնությամբ դուք կարող եք զգալիորեն արագացնել պրոգրեսիայի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը։ Ահա դրա վառ օրինակը.

Առաջադրանք թիվ 3. Թվաբանական առաջընթացի հինգերորդ անդամը 8,4 է, իսկ տասներորդ անդամը 14,4 է։ Գտե՛ք այս առաջընթացի տասնհինգերորդ անդամը:

Լուծում. Քանի որ $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, և մենք պետք է գտնենք $((a)_(15))$, մենք նշում ենք հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5դ. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բայց պայմանով $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, հետևաբար $5d=6$, որից ունենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ա)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատասխան՝ 20.4

Այսքանը: Մեզ պետք չէր ստեղծել հավասարումների համակարգ և հաշվարկել առաջին անդամն ու տարբերությունը. ամեն ինչ լուծվեց ընդամենը մի քանի տողում:

Հիմա եկեք նայենք մեկ այլ տեսակի խնդրի՝ առաջընթացի բացասական և դրական տերմինների որոնում: Գաղտնիք չէ, որ եթե պրոգրեսիան աճում է, և դրա առաջին տերմինը բացասական է, ապա վաղ թե ուշ դրա մեջ դրական տերմիններ են հայտնվում։ Եվ հակառակը՝ նվազող առաջընթացի պայմանները վաղ թե ուշ կդառնան բացասական։

Միևնույն ժամանակ, միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել այս պահը «գլխով»՝ հաջորդաբար անցնելով տարրերի միջով։ Հաճախ խնդիրներն այնպես են գրված, որ առանց բանաձևերի իմացության, հաշվարկների համար մի քանի թերթ թուղթ կպահանջվի. մենք պարզապես քնում էինք, մինչ գտնում էինք պատասխանը: Ուստի փորձենք այս խնդիրներն ավելի արագ լուծել։

Առաջադրանք թիվ 4. Քանի՞ բացասական անդամ կա թվաբանական պրոգրեսիայում −38,5; −35,8; ...?

Լուծում. Այսպիսով, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, որտեղից անմիջապես գտնում ենք տարբերությունը.

Նշենք, որ տարբերությունը դրական է, ուստի առաջընթացը մեծանում է: Առաջին տերմինը բացասական է, ուստի իսկապես ինչ-որ պահի մենք կբախվենք դրական թվերի վրա: Հարցը միայն այն է, թե երբ դա տեղի կունենա:

Փորձենք պարզել, թե որքան ժամանակ (այսինքն մինչև $n$ որ բնական թիվ) է մնում տերմինների բացասականությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(n)) \lt 0\Աջ սլաք ((a)_(1))+\ ձախ (n-1 \աջ)d \lt 0; \\ & -38.5+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ձախ| \cdot 10 \աջ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \աջ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին տողը որոշակի բացատրություն է պահանջում։ Այսպիսով, մենք գիտենք, որ $n \lt 15\frac(7)(27)$: Մյուս կողմից, մենք բավարարվում ենք թվի միայն ամբողջական արժեքներով (ավելին՝ $n\in \mathbb(N)$), ուստի ամենամեծ թույլատրելի թիվը հենց $n=15$ է, և ոչ մի դեպքում՝ 16։ .

Առաջադրանք թիվ 5. Թվաբանական պրոգրեսիայում $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$: Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին դրական անդամի թիվը:

Սա կլինի ճիշտ նույն խնդիրը, ինչ նախորդը, բայց մենք չգիտենք $((a)_(1))$: Բայց հարևան տերմինները հայտնի են՝ $((a)_(5))$ և $((a)_(6))$, այնպես որ մենք կարող ենք հեշտությամբ գտնել առաջընթացի տարբերությունը.

Բացի այդ, փորձենք արտահայտել հինգերորդ անդամը առաջինի և տարբերության միջոցով՝ օգտագործելով ստանդարտ բանաձևը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \աջ)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ա)_(1))=-150-12=-162. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք անալոգիայով անցնում ենք նախորդ առաջադրանքին: Եկեք պարզենք, թե մեր հաջորդականության որ կետում կհայտնվեն դրական թվերը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=-162+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Աջ սլաք ((n)_(\min ))=56: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս անհավասարության նվազագույն ամբողջական լուծումը 56 թիվն է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ներս վերջին առաջադրանքըամեն ինչ հանգեցրեց խիստ անհավասարության, ուստի $n=55$ տարբերակը մեզ չի սազում։

Այժմ, երբ մենք սովորեցինք, թե ինչպես լուծել պարզ խնդիրները, եկեք անցնենք ավելի բարդ խնդիրների: Բայց նախ, եկեք ուսումնասիրենք թվաբանական առաջընթացների ևս մեկ շատ օգտակար հատկություն, որը մեզ ապագայում կխնայի շատ ժամանակ և անհավասար բջիջներ: :)

Թվաբանական միջին և հավասար նահանջներ

Դիտարկենք $\left((a)_(n)) \right)$ աճող թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամ: Փորձենք դրանք նշել թվային տողի վրա.

Թվային տողի վրա թվաբանական առաջընթացի պայմանները

Ես հատուկ նշել եմ կամայական $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, և ոչ թե $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ և այլն: Քանի որ կանոնը, որի մասին ես ձեզ հիմա կասեմ, նույնն է աշխատում ցանկացած «հատվածի» համար:

Իսկ կանոնը շատ պարզ է. Եկեք հիշենք կրկնվող բանաձևը և գրենք այն բոլոր նշված տերմինների համար.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այնուամենայնիվ, այս հավասարությունները կարող են տարբեր կերպ վերաշարադրվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, իսկ ի՞նչ: Եվ այն փաստը, որ $((a)_(n-1))$ և $((a)_(n+1))$ տերմինները գտնվում են $((a)_(n)) $-ից նույն հեռավորության վրա: . Եվ այս հեռավորությունը հավասար է $d$-ի: Նույնը կարելի է ասել $((a)_(n-2))$ և $((a)_(n+2))$ տերմինների մասին - դրանք նույնպես հանված են $((a)_(n)-ից: )$ նույն հեռավորության վրա, որը հավասար է $2d$-ի: Մենք կարող ենք անվերջ շարունակել, բայց իմաստը լավ երևում է նկարից

Առաջընթացի պայմանները գտնվում են կենտրոնից նույն հեռավորության վրա

Ի՞նչ է սա նշանակում մեզ համար: Սա նշանակում է, որ $((a)_(n))$-ը կարելի է գտնել, եթե հայտնի են հարևան թվերը.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Մենք ստացանք հիանալի պնդում. թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է իր հարևան անդամների միջին թվաբանականին: Ավելին. մենք կարող ենք հետ կանգնել մեր $((a)_(n))$-ից ձախ և աջ ոչ թե մեկ քայլով, այլ $k$ քայլով, և բանաձևը դեռ ճիշտ կլինի.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Նրանք. մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել $((a)_(150))$, եթե գիտենք $((a)_(100))$ և $((a)_(200))$, քանի որ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$: Առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե այս փաստը մեզ ոչ մի օգտակար բան չի տալիս։ Այնուամենայնիվ, գործնականում շատ խնդիրներ հատուկ մշակված են միջին թվաբանականն օգտագործելու համար: Նայել:

Առաջադրանք թիվ 6. Գտեք $x$-ի բոլոր արժեքները, որոնց համար $-6((x)^(2))$, $x+1$ և $14+4((x)^(2))$ թվերը հաջորդական են: թվաբանական առաջընթաց (նշված հերթականությամբ):

Լուծում. Քանի որ այս թվերը պրոգրեսիայի անդամներ են, նրանց համար բավարարված է միջին թվաբանական պայմանը. $x+1$ կենտրոնական տարրը կարող է արտահայտվել հարևան տարրերով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դասական է ստացվել քառակուսային հավասարում. Դրա արմատները՝ $x=2$ և $x=-3$ պատասխաններն են։

Պատասխան՝ −3; 2.

Առաջադրանք թիվ 7. Գտեք $$-ի արժեքները, որոնց համար $-1;4-3;()^(2))+1$ թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց (այդ հերթականությամբ):

Լուծում. Կրկին արտահայտենք միջին անդամը հարևան տերմինների միջին թվաբանականի միջոցով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \ձախ| \cdot 2 \աջ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին քառակուսի հավասարում. Եվ կրկին երկու արմատ կա՝ $x=6$ և $x=1$։

Պատասխան՝ 1; 6.

Եթե ​​խնդրի լուծման գործընթացում դուք ինչ-որ դաժան թվեր եք ներկայացնում, կամ լիովին վստահ չեք գտնված պատասխանների ճիշտության մեջ, ապա կա մի հրաշալի տեխնիկա, որը թույլ է տալիս ստուգել՝ մենք ճիշտ լուծե՞լ ենք խնդիրը:

Ենթադրենք թիվ 6 խնդիրում մենք ստացել ենք −3 և 2 պատասխանները։ Ինչպե՞ս կարող ենք ստուգել, ​​որ այդ պատասխանները ճիշտ են։ Եկեք պարզապես միացնենք դրանք սկզբնական վիճակին և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում: Հիշեցնեմ, որ մենք ունենք երեք թիվ ($-6(()^(2))$, $+1$ և $14+4(()^(2))$), որոնք պետք է կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։ Փոխարինենք $x=-3$:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=-3\Աջ սլաք \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50։ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացանք −54 թվերը; −2; 50-ը, որոնք տարբերվում են 52-ով, անկասկած, թվաբանական առաջընթաց է: Նույնը տեղի է ունենում $x=2$-ի դեպքում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=2\Աջ սլաք \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30։ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին առաջընթաց, բայց 27 տարբերությամբ: Այսպիսով, խնդիրը ճիշտ լուծվեց։ Ցանկացողները կարող են ինքնուրույն ստուգել երկրորդ խնդիրը, բայց ես անմիջապես կասեմ՝ այնտեղ էլ ամեն ինչ ճիշտ է։

Ընդհանրապես, վերջին խնդիրները լուծելիս հանդիպեցինք մեկ ուրիշի հետաքրքիր փաստ, որը նույնպես պետք է հիշել.

Եթե ​​երեք թվեր այնպիսին են, որ երկրորդը առաջինի և վերջինի միջին թվաբանականն է, ապա այս թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց:

Հետագայում այս հայտարարության ըմբռնումը թույլ կտա մեզ բառացիորեն «կառուցել» անհրաժեշտ առաջընթացները՝ հիմնվելով խնդրի պայմանների վրա։ Բայց նման «շինարարությամբ» զբաղվելուց առաջ պետք է ուշադրություն դարձնել ևս մեկ փաստի վրա, որն ուղղակիորեն բխում է արդեն քննարկվածից։

Խմբավորում և գումարում տարրեր

Կրկին վերադառնանք թվային առանցքին։ Այստեղ նկատենք պրոգրեսիայի մի քանի անդամներ, որոնց միջև, հավանաբար. արժե շատ այլ անդամներ.

Թվային տողի վրա նշված է 6 տարր

Փորձենք արտահայտել «ձախ պոչը» $((a)_(n))$-ի և $d$-ի միջոցով, իսկ «աջ պոչը»՝ $((a)_(k))$-ի և $d$-ի միջոցով: Դա շատ պարզ է.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ նշեք, որ հետևյալ գումարները հավասար են.

\[\ begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= Ս; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= Ս. \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզ ասած, եթե որպես սկիզբ դիտարկենք առաջընթացի երկու տարր, որոնք ընդհանուր առմամբ հավասար են $S$-ի ինչ-որ թվի, այնուհետև սկսենք քայլել այս տարրերից հակառակ ուղղություններով (դեպի միմյանց կամ հակառակը՝ հեռանալ), ապա այն տարրերի գումարները, որոնց վրա մենք կսայթաքենք, նույնպես հավասար կլինեն$S$. Սա կարելի է առավել հստակ ներկայացնել գրաֆիկորեն.

Հավասար խորշերը տալիս են հավասար քանակությամբ

Այս փաստի ըմբռնումը թույլ կտա մեզ հիմնովին լուծել խնդիրները բարձր մակարդակդժվարություններ, քան նրանք, որոնք մենք համարել ենք վերևում: Օրինակ՝ սրանք.

Առաջադրանք թիվ 8. Որոշե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, որի առաջին անդամը 66 է, իսկ երկրորդ և տասներկուերորդ անդամների արտադրյալը՝ ամենափոքրը։

Լուծում. Եկեք գրենք այն ամենը, ինչ գիտենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, մենք չգիտենք առաջընթացի տարբերությունը $d$: Իրականում, ամբողջ լուծումը կկառուցվի տարբերության շուրջ, քանի որ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ արտադրանքը կարող է վերագրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \աջ)\cdot \left(66+11d \աջ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \աջ)\cdot \left(d+6 \աջ): \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բաքում գտնվողների համար ես վերցրեցի 11-ի ընդհանուր բազմապատկիչը երկրորդ փակագծից: Այսպիսով, ցանկալի արտադրյալը քառակուսի ֆունկցիա է $d$ փոփոխականի նկատմամբ: Հետևաբար, հաշվի առեք $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ֆունկցիան, որի գրաֆիկը կլինի պարաբոլա՝ ճյուղերով վերև, քանի որ եթե ընդլայնենք փակագծերը, կստանանք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (d \աջ)=11\ձախ (((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \աջ)= \\ & =11(( դ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ամենաբարձր անդամի գործակիցը 11 է, սա է դրական թիվԱյսպիսով, մենք իսկապես գործ ունենք պարաբոլայի հետ՝ ճյուղերով վերև.

ժամանակացույցը քառակուսի ֆունկցիա- պարաբոլա

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս պարաբոլան իր նվազագույն արժեքը վերցնում է իր գագաթին $((d)_(0))$ աբսցիսով: Իհարկե, մենք կարող ենք հաշվարկել այս աբսցիսան՝ օգտագործելով ստանդարտ սխեմա (կա բանաձևը $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), բայց շատ ավելի խելամիտ կլինի նշել. որ ցանկալի գագաթն ընկած է պարաբոլայի առանցքի համաչափության վրա, հետևաբար $((d)_(0))$ կետը հավասար է $f\left(d \right)=0$ հավասարման արմատներից:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (d \աջ)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((դ)_(1))=-66;\չորս ((դ)_(2))=-6. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այդ իսկ պատճառով ես առանձնապես չէի շտապում բացել փակագծերը. իրենց սկզբնական տեսքով արմատները շատ ու շատ հեշտ էին գտնել։ Հետևաբար, աբսցիսան հավասար է −66 և −6 թվերի միջին թվաբանականին.

\[((դ)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ի՞նչ է մեզ տալիս հայտնաբերված թիվը: Դրանով պահանջվող արտադրանքը ստանում է ամենափոքր արժեքը (ի դեպ, մենք երբեք չենք հաշվարկել $((y)_(\min ))$ - դա մեզանից չի պահանջվում): Միևնույն ժամանակ, այս թիվը սկզբնական առաջընթացի տարբերությունն է, այսինքն. մենք գտանք պատասխանը :)

Պատասխան՝ −36

Առաջադրանք թիվ 9. $-\frac(1)(2)$ և $-\frac(1)(6)$ թվերի միջև տեղադրեք երեք թիվ, որպեսզի այս թվերի հետ միասին կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։

Լուծում. Ըստ էության, մենք պետք է կազմենք հինգ թվերի հաջորդականություն՝ առաջին և վերջին թվերն արդեն հայտնի լինեն։ Բաց թողած թվերը նշենք $x$, $y$ և $z$ փոփոխականներով.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \աջ\ )\]

Նկատի ունեցեք, որ $y$ թիվը մեր հաջորդականության «միջինն» է. այն հավասար է $x$ և $z$ թվերից և $-\frac(1)(2)$ և $-\frac թվերից: (1)(6)$. Եվ եթե մենք ներկայումս չենք կարողանում $y$ ստանալ $x$ և $z$ թվերից, ապա իրավիճակն այլ է առաջընթացի ծայրերում։ Հիշենք միջին թվաբանականը.

Այժմ, իմանալով $y$-ը, մենք կգտնենք մնացած թվերը։ Նկատի ունեցեք, որ $x$-ը գտնվում է $-\frac(1)(2)$ և $y=-\frac(1)(3)$ թվերի միջև, որոնք մենք հենց նոր գտանք: Ահա թե ինչու

Օգտագործելով նմանատիպ պատճառաբանություն, մենք գտնում ենք մնացած թիվը.

Պատրաստ. Մենք գտանք բոլոր երեք համարները: Գրենք դրանք պատասխանում այն ​​հաջորդականությամբ, որով դրանք պետք է տեղադրվեն բնօրինակ թվերի միջև։

Պատասխան՝ $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Առաջադրանք թիվ 10. 2-ի և 42-ի միջև տեղադրեք մի քանի թվեր, որոնք այս թվերի հետ միասին կազմում են թվաբանական առաջընթաց, եթե գիտեք, որ զետեղված թվերից առաջինի, երկրորդի և վերջինի գումարը 56 է։

Լուծում. Էլ ավելի բարդ խնդիր, որը, սակայն, լուծվում է նույն սխեմայով, ինչ նախորդները՝ միջին թվաբանականի միջոցով։ Խնդիրն այն է, որ մենք հստակ չգիտենք, թե քանի թիվ պետք է տեղադրվի: Հետևաբար, որոշակիորեն ենթադրենք, որ ամեն ինչ տեղադրելուց հետո կլինեն ճշգրիտ $n$ թվեր, և դրանցից առաջինը 2 է, իսկ վերջինը 42 է: Այս դեպքում անհրաժեշտ թվաբանական առաջընթացը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

\[\left(((a)_(n)) \աջ)=\ձախ\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( ա) _(n-1));42 \աջ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Այնուամենայնիվ, նկատի ունեցեք, որ $((a)_(2))$ և $((a)_(n-1))$ թվերը ստացվում են եզրերում գտնվող 2 և 42 թվերից մեկ քայլ դեպի մեկը մյուսի ուղղությամբ, այսինքն. դեպի հաջորդականության կենտրոն։ Իսկ սա նշանակում է, որ

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Բայց հետո վերևում գրված արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \աջ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ա)_(3))=56-44=12. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Իմանալով $((a)_(3))$ և $((a)_(1))$, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել առաջընթացի տարբերությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\ձախ(3-1 \աջ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Աջ սլաք d=5. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մնում է միայն գտնել մնացած պայմանները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ա)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, արդեն 9-րդ քայլին մենք կհասնենք հաջորդականության ձախ ծայրին` 42 համարին: Ընդհանուր առմամբ, ընդամենը 7 թիվ պետք է տեղադրվեր. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Պատասխան՝ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Բառային խնդիրներ առաջընթացների հետ

Եզրափակելով, ես կցանկանայի դիտարկել մի քանի համեմատաբար պարզ առաջադրանքներ. Դե, այնքան պարզ. ուսանողների մեծամասնության համար, ովքեր դպրոցում մաթեմատիկա են սովորում և չեն կարդացել վերևում գրվածը, այս խնդիրները կարող են դժվար թվալ: Այնուամենայնիվ, սրանք խնդիրների տեսակներն են, որոնք ի հայտ են գալիս OGE-ում և մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունում, ուստի խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ դրանց:

Առաջադրանք թիվ 11. Թիմը հունվարին արտադրել է 62 մաս, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ ամսում նրանք արտադրել են 14-ով ավելի դետալ, քան նախորդ ամսում։ Քանի՞ մաս է արտադրվել թիմը նոյեմբերին:

Լուծում. Ակնհայտ է, որ ըստ ամիսների թվարկված մասերի թիվը կներկայացնի աճող թվաբանական առաջընթաց: Ավելին.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=62;\քառակուսի d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 14. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նոյեմբերը տարվա 11-րդ ամիսն է, ուստի մենք պետք է գտնենք $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ուստի նոյեմբերին կարտադրվի 202 դետալ։

Առաջադրանք թիվ 12. Գրքերի սեմինարը հունվարին կապել է 216 գիրք, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ ամսում նախորդ ամսից 4-ով ավելի գիրք է կապել։ Քանի՞ գիրք է կապել սեմինարը դեկտեմբերին։

Լուծում. Ամեն ինչ նույնն է:

$\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)$

Դեկտեմբերը տարվա վերջին, 12-րդ ամիսն է, ուստի մենք փնտրում ենք $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Սա է պատասխանը՝ դեկտեմբերին 260 գիրք կփակվի։

Դե, եթե այսքանը կարդացել եք, շտապում եմ շնորհավորել ձեզ՝ հաջողությամբ ավարտել եք թվաբանական առաջընթացների «երիտասարդ մարտիկի կուրսը»։ Դուք կարող եք ապահով կերպով անցնել հաջորդ դասին, որտեղ մենք կուսումնասիրենք առաջընթացի գումարի բանաձևը, ինչպես նաև դրանից բխող կարևոր և շատ օգտակար հետևանքները:

Երբ ուսումնասիրում են հանրահաշիվը միջնակարգ դպրոց(9-րդ դասարան) կարևոր թեմաներից է թվերի հաջորդականությունների ուսումնասիրությունը, որոնք ներառում են առաջընթացներ՝ երկրաչափական և թվաբանական: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թվաբանական առաջընթացին և լուծումներով օրինակներին:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը:

Սա հասկանալու համար անհրաժեշտ է սահմանել խնդրո առարկա առաջընթացը, ինչպես նաև տրամադրել հիմնական բանաձևերը, որոնք հետագայում կօգտագործվեն խնդիրների լուծման ժամանակ:

Թվաբանական կամ հանրահաշվական առաջընթացը դասավորված ռացիոնալ թվերի ամբողջություն է, որոնց յուրաքանչյուր անդամ տարբերվում է նախորդից որոշակի հաստատուն արժեքով։ Այս արժեքը կոչվում է տարբերություն: Այսինքն, իմանալով պատվիրված թվերի շարքի ցանկացած անդամի և տարբերությունը, դուք կարող եք վերականգնել ամբողջ թվաբանական առաջընթացը:

Օրինակ բերենք. Թվերի հետևյալ հաջորդականությունը կլինի թվաբանական առաջընթաց՝ 4, 8, 12, 16, ..., քանի որ տարբերությունն այս դեպքում 4 է (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12): Բայց 3, 5, 8, 12, 17 թվերի բազմությունը այլևս չի կարող վերագրվել դիտարկվող առաջընթացի տեսակին, քանի որ դրա տարբերությունը հաստատուն արժեք չէ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12):

Կարևոր բանաձևեր

Այժմ ներկայացնենք այն հիմնական բանաձևերը, որոնք անհրաժեշտ կլինեն թվաբանական առաջընթացի միջոցով խնդիրներ լուծելու համար։ Նշանակենք a n նշանով n-րդ կիսամյակհաջորդականություններ, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Տարբերությունը նշում ենք լատինական d տառով։ Այնուհետև վավեր են հետևյալ արտահայտությունները.

1. n-րդ անդամի արժեքը որոշելու համար հարմար է հետևյալ բանաձևը՝ a n = (n-1)*d+a 1:
2. Առաջին n անդամների գումարը որոշելու համար՝ S n = (a n +a 1)*n/2:

9-րդ դասարանի լուծումներով թվաբանական առաջընթացի օրինակները հասկանալու համար բավական է հիշել այս երկու բանաձևերը, քանի որ քննարկվող տիպի ցանկացած խնդիր հիմնված է դրանց օգտագործման վրա։ Պետք է նաև հիշել, որ առաջընթացի տարբերությունը որոշվում է բանաձևով. d = a n - a n-1:

Օրինակ #1. գտնել անհայտ անդամ

Բերենք թվաբանական պրոգրեսիայի պարզ օրինակ և այն լուծելու համար անհրաժեշտ բանաձևերը:

Թող տրվի 10, 8, 6, 4, ... հաջորդականությունը, դրա մեջ պետք է գտնել հինգ անդամ:

Խնդրի պայմաններից արդեն իսկ հետևում է, որ առաջին 4 տերմինները հայտնի են։ Հինգերորդը կարելի է սահմանել երկու ձևով.

1. Եկեք նախ հաշվարկենք տարբերությունը. Մենք ունենք՝ d = 8 - 10 = -2: Նմանապես, դուք կարող եք վերցնել ցանկացած այլ երկու անդամ, որոնք կանգնած են միմյանց կողքին: Օրինակ, d = 4 - 6 = -2: Քանի որ հայտնի է, որ d = a n - a n-1, ապա d = a 5 - a 4, որից ստանում ենք՝ a 5 = a 4 + d: Մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները՝ a 5 = 4 + (-2) = 2:
2. Երկրորդ մեթոդը նաև պահանջում է խնդրո առարկա առաջընթացի տարբերության իմացություն, ուստի նախ անհրաժեշտ է որոշել այն, ինչպես ցույց է տրված վերևում (d = -2): Իմանալով, որ առաջին անդամը a 1 = 10, մենք օգտագործում ենք հաջորդականության n թվի բանաձևը: Մենք ունենք՝ a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n: Փոխարինելով n = 5-ը վերջին արտահայտության մեջ՝ մենք ստանում ենք՝ a 5 = 12-2 * 5 = 2:

Ինչպես տեսնում եք, երկու լուծումներն էլ հանգեցրին նույն արդյունքին։ Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում առաջընթացի տարբերությունը d բացասական արժեք է: Նման հաջորդականությունները կոչվում են նվազող, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը փոքր է նախորդից:

Օրինակ #2. առաջընթացի տարբերություն

Հիմա եկեք մի փոքր բարդացնենք առաջադրանքը, եկեք օրինակ բերենք, թե ինչպես

Հայտնի է, որ ոմանց մոտ 1-ին անդամը հավասար է 6-ի, իսկ 7-րդ անդամը հավասար է 18-ի։ Անհրաժեշտ է գտնել տարբերությունը և վերականգնել այս հաջորդականությունը 7-րդ անդամի։

Անհայտ տերմինը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը՝ a n = (n - 1) * d + a 1 : Պայմանից հայտնի տվյալները փոխարինենք դրա մեջ, այսինքն՝ a 1 և a 7 թվերը, ունենք՝ 18 = 6 + 6 * d. Այս արտահայտությունից հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել տարբերությունը. d = (18 - 6) /6 = 2: Այսպիսով, մենք պատասխանել ենք խնդրի առաջին մասին:

Հերթականությունը 7-րդ անդամին վերականգնելու համար պետք է օգտագործել հանրահաշվական պրոգրեսիայի սահմանումը, այսինքն՝ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d և այլն։ Արդյունքում մենք վերականգնում ենք ամբողջ հաջորդականությունը՝ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18:

Օրինակ թիվ 3. պրոգրեսիա կազմելը

Խնդիրն էլ ավելի բարդացնենք։ Այժմ մենք պետք է պատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիա: Կարելի է բերել հետևյալ օրինակը. տրված է երկու թիվ, օրինակ՝ 4 և 5։ Անհրաժեշտ է ստեղծել հանրահաշվական պրոգրեսիա, որպեսզի դրանց միջև դրվեն ևս երեք անդամ։

Նախքան այս խնդրի լուծումը սկսելը, պետք է հասկանալ, թե տվյալ թվերը ինչ տեղ են գրավելու ապագա առաջընթացում։ Քանի որ նրանց միջև կլինեն ևս երեք տերմիններ, ապա 1 = -4 և 5 = 5: Սա հաստատելով, մենք անցնում ենք խնդրին, որը նման է նախորդին: Կրկին, n-րդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը, մենք ստանում ենք. a 5 = a 1 + 4 * d: Սկսած՝ d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25: Այն, ինչ մենք այստեղ ստացանք, տարբերության ամբողջ արժեք չէ, այլ ռացիոնալ թիվ է, ուստի հանրահաշվական առաջընթացի բանաձևերը մնում են նույնը:

Հիմա եկեք ավելացնենք գտնված տարբերությունը 1-ին և վերականգնենք առաջընթացի բացակայող պայմանները: Մենք ստանում ենք՝ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, որը համընկնում է խնդրի պայմաններով։

Օրինակ թիվ 4. առաջընթացի առաջին ժամկետը

Շարունակենք տալ թվաբանական առաջընթացի օրինակներ՝ լուծումներով։ Նախորդ բոլոր խնդիրներում հայտնի էր հանրահաշվական պրոգրեսիայի առաջին թիվը։ Հիմա եկեք դիտարկենք այլ տեսակի խնդիր. թող տրվի երկու թիվ, որտեղ 15 = 50 և 43 = 37: Պետք է գտնել, թե որ թվով է սկսվում այս հաջորդականությունը:

Մինչ այժմ օգտագործված բանաձևերը ենթադրում են 1-ի և դ-ի իմացություն: Խնդրի հայտարարության մեջ այս թվերի մասին ոչինչ հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, մենք կգրենք արտահայտություններ յուրաքանչյուր տերմինի համար, թե որ տեղեկատվությունն առկա է. a 15 = a 1 + 14 * d և a 43 = a 1 + 42 * d: Մենք ստացանք երկու հավասարումներ, որոնցում կան 2 անհայտ մեծություններ (a 1 և d): Սա նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման վրա:

Այս համակարգը լուծելու ամենահեշտ ձևը յուրաքանչյուր հավասարման մեջ 1 արտահայտելն է, իսկ հետո ստացված արտահայտությունները համեմատելը: Առաջին հավասարումը. a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; երկրորդ հավասարումը. a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Հավասարեցնելով այս արտահայտությունները՝ ստանում ենք՝ 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, որտեղից էլ տարբերությունը d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (տրված է ընդամենը 3 տասնորդական տեղ)։

Իմանալով d-ն, դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված 2 արտահայտություններից որևէ մեկը 1-ի համար: Օրինակ, նախ՝ a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496:

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում կարող եք ստուգել այն, օրինակ՝ որոշել պրոգրեսիայի 43-րդ տերմինը, որը նշված է պայմանում։ Մենք ստանում ենք՝ a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008: Փոքր սխալը պայմանավորված է նրանով, որ հաշվարկներում օգտագործվել է կլորացում մինչև հազարերորդական:

Օրինակ թիվ 5՝ գումար

Այժմ նայենք մի քանի օրինակների՝ թվաբանական առաջընթացի գումարի լուծումներով:

Թող տրվի հետևյալ ձևի թվային առաջընթացը՝ 1, 2, 3, 4, ...,: Ինչպե՞ս հաշվարկել այս թվերից 100-ի գումարը:

Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ հնարավոր է լուծել այս խնդիրը, այսինքն՝ հաջորդաբար գումարել բոլոր թվերը, ինչը համակարգիչը կանի հենց որ մարդը սեղմի Enter ստեղնը։ Այնուամենայնիվ, խնդիրը կարող է լուծվել մտովի, եթե ուշադրություն դարձնեք, որ թվերի ներկայացված շարքը հանրահաշվական պրոգրեսիա է, և դրա տարբերությունը հավասար է 1-ի: Կիրառելով գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք S n = n * (a 1 + ա ն) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050:

Հետաքրքիր է նշել, որ այս խնդիրը կոչվում է «գաուսյան», քանի որ 18-րդ դարի սկզբին հայտնի գերմանացին, դեռ ընդամենը 10 տարեկան, կարողացավ մի քանի վայրկյանում լուծել այն իր գլխում։ Տղան չգիտեր հանրահաշվական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, բայց նա նկատեց, որ եթե հաջորդականության ծայրերում թվերը գումարեք զույգերով, ապա միշտ ստանում եք նույն արդյունքը, այսինքն՝ 1 + 100 = 2 + 99։ = 3 + 98 = ..., և քանի որ այդ գումարները կլինեն ուղիղ 50 (100 / 2), ապա ճիշտ պատասխան ստանալու համար բավական է 50-ը բազմապատկել 101-ով:

Օրինակ թիվ 6. n-ից մինչև m տերմինների գումարը

Թվաբանական առաջընթացի գումարի մեկ այլ տիպիկ օրինակ հետևյալն է՝ տրված թվերի շարքը՝ 3, 7, 11, 15, ..., դուք պետք է գտնեք, թե ինչի է հավասար դրա 8-ից 14 անդամների գումարը։ .

Խնդիրը լուծվում է երկու ճանապարհով. Դրանցից առաջինը ներառում է 8-ից 14-ը անհայտ տերմիններ գտնելը, այնուհետև հաջորդաբար գումարելը: Քանի որ տերմինները քիչ են, այս մեթոդը այնքան էլ աշխատատար չէ: Այնուամենայնիվ, առաջարկվում է լուծել այս խնդիրը երկրորդ մեթոդով, որն ավելի ունիվերսալ է։

Գաղափարն է ստանալ բանաձև m և n տերմինների միջև հանրահաշվական առաջընթացի գումարի համար, որտեղ n > m ամբողջ թվեր են: Երկու դեպքում էլ գումարի համար գրում ենք երկու արտահայտություն.

1. S m = m * (a m + a 1) / 2:
2. S n = n * (a n + a 1) / 2:

Քանի որ n > m, ակնհայտ է, որ 2-րդ գումարը ներառում է առաջինը։ Վերջին եզրակացությունը նշանակում է, որ եթե վերցնենք այս գումարների տարբերությունը և դրան գումարենք a m տերմինը (տարբերությունը վերցնելու դեպքում այն ​​հանվում է S n գումարից), ապա կստանանք խնդրի անհրաժեշտ պատասխանը։ Մենք ունենք՝ S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2): Այս արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել a-ի և a-ի բանաձևերը: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝ S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2:

Ստացված բանաձևը որոշ չափով դժվար է, սակայն S mn գումարը կախված է միայն n, m, a 1 և d-ից: Մեր դեպքում a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8: Փոխարինելով այս թվերը, մենք ստանում ենք S mn = 301:

Ինչպես երևում է վերը նշված լուծումներից, բոլոր խնդիրները հիմնված են n-րդ անդամի արտահայտության և առաջին անդամների բազմության գումարի բանաձևի իմացության վրա: Նախքան այս խնդիրներից որևէ մեկի լուծումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում ուշադիր կարդալ պայմանը, հստակ հասկանալ, թե ինչ է պետք գտնել, և միայն դրանից հետո շարունակել լուծումը:

Մեկ այլ հուշում է ձգտել պարզության, այսինքն, եթե դուք կարող եք պատասխանել հարցին առանց բարդ մաթեմատիկական հաշվարկներ օգտագործելու, ապա ձեզ հարկավոր է դա անել, քանի որ այս դեպքում սխալվելու հավանականությունն ավելի քիչ է: Օրինակ, թիվ 6 լուծումով թվաբանական առաջընթացի օրինակում կարելի էր կանգ առնել S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m բանաձևի վրա և. ընդհանուր խնդիրը բաժանեք առանձին ենթաառաջադրանքների (Վ այս դեպքումնախ գտե՛ք a n և a m տերմինները):

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում խորհուրդ է տրվում ստուգել այն, ինչպես արվել է բերված որոշ օրինակներում։ Մենք պարզեցինք, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթաց: Եթե ​​դուք դա պարզեք, դա այնքան էլ դժվար չէ:

Ո՞րն է բանաձևի հիմնական էությունը:

Այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած ԻՐ ՀԱՄԱՐՈՎ» n" .

Իհարկե, դուք նույնպես պետք է իմանաք առաջին տերմինը ա 1և առաջընթացի տարբերությունը դԴե, առանց այս պարամետրերի դուք չեք կարող գրել որոշակի առաջընթաց:

Այս բանաձևը անգիր անելը (կամ օրորելը) բավարար չէ: Դուք պետք է հասկանաք դրա էությունը և կիրառեք բանաձևը տարբեր խնդիրների մեջ. Ու նաև չմոռանալ ճիշտ պահին, այո...) Ինչպես չմոռանալ-Չգիտեմ: Եվ ահա ինչպես հիշելԵթե ​​պետք լինի, անպայման խորհուրդ կտամ։ Դասը մինչև վերջ ավարտողների համար։)

Այսպիսով, եկեք նայենք թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևին:

Ի՞նչ է բանաձևը ընդհանրապես: Ի դեպ, եթե չես կարդացել, նայիր։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Մնում է պարզել, թե դա ինչ է n-րդ կիսամյակ.

Ընդհանուր առմամբ առաջընթացը կարելի է գրել որպես թվերի շարք.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....

ա 1- նշանակում է թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը, ա 3- երրորդ անդամ, ա 4- չորրորդը և այլն: Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է հինգերորդ ժամկետը, ասենք՝ աշխատում ենք ա 5, եթե հարյուր քսաներորդ - ս ա 120.

Ինչպե՞ս կարող ենք դա սահմանել ընդհանուր տերմիններով: ցանկացածթվաբանական առաջընթացի ժամկետ, հետ ցանկացածթիվ? Շատ պարզ! Սրա նման:

a n

Ահա թե ինչ է դա Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը: n տառը թաքցնում է անդամի բոլոր համարները՝ 1, 2, 3, 4 և այլն։

Իսկ ի՞նչ է տալիս մեզ նման գրառումը։ Մտածեք, թվի փոխարեն նամակ են գրել...

Այս նշումը մեզ հզոր գործիք է տալիս թվաբանական առաջընթացի հետ աշխատելու համար: Օգտագործելով նշումը a n, մենք կարող ենք արագ գտնել ցանկացածանդամ ցանկացածթվաբանական առաջընթաց. Եվ լուծեք առաջընթացի մի շարք այլ խնդիրներ: Դուք ինքներդ կտեսնեք հետագան:

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևում.

a n = a 1 + (n-1)d

ա 1- թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը.

n- անդամի համարը.

Բանաձևը միացնում է ցանկացած առաջընթացի հիմնական պարամետրերը. a n; ա 1; դԵվ n. Բոլոր առաջընթացի խնդիրները պտտվում են այս պարամետրերի շուրջ:

n-րդ տերմինի բանաձևը կարող է օգտագործվել նաև որոշակի առաջընթաց գրելու համար: Օրինակ, խնդիրը կարող է ասել, որ առաջընթացը նշված է պայմանով.

a n = 5 + (n-1) 2.

Նման խնդիրը կարող է փակուղի լինել... Ոչ շարք կա, ոչ էլ տարբերություն... Բայց, պայմանը բանաձեւի հետ համեմատելով, հեշտ է հասկանալ, որ այս պրոգրեսիայի մեջ. a 1 =5, և d=2:

Եվ դա կարող է ավելի վատ լինել:) Եթե վերցնենք նույն պայմանը. a n = 5 + (n-1) 2,Այո, բացեք փակագծերը և բերեք նմանները։ Մենք ստանում ենք նոր բանաձև.

a n = 3 + 2n:

Սա Պարզապես ոչ թե ընդհանուր, այլ կոնկրետ առաջընթացի համար: Ահա թե որտեղ է թաքնված որոգայթը: Ոմանք կարծում են, որ առաջին ժամկետը եռյակ է: Չնայած իրականում առաջին տերմինը հինգն է... Մի փոքր ավելի ցածր մենք կաշխատենք այսպիսի փոփոխված բանաձեւով։

Առաջընթացի խնդիրներում կա մեկ այլ նշում. a n+1. Սա, ինչպես դուք կռահեցիք, առաջընթացի «n գումարած առաջին» տերմինն է: Դրա իմաստը պարզ է և անվնաս:) Սա պրոգրեսիայի անդամ է, որի թիվը մեկով մեծ է n թվից: Օրինակ, եթե ինչ-որ խնդրի մեջ վերցնենք a nայնուհետև հինգերորդ ժամկետը a n+1կլինի վեցերորդ անդամը։ և այլն:

Ամենից հաճախ նշանակումը a n+1հայտնաբերվել է կրկնության բանաձեւերում: Մի վախեցեք այս սարսափելի բառից։) Սա պարզապես թվաբանական առաջընթացի անդամին արտահայտելու միջոց է։ նախորդի միջոցով:Ենթադրենք, մեզ տրված է թվաբանական առաջընթաց այս ձևով՝ օգտագործելով կրկնվող բանաձևը.

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Չորրորդը՝ երրորդի միջով, հինգերորդը՝ չորրորդով և այլն: Ինչպե՞ս կարող ենք անմիջապես հաշվել, ասենք, քսաներորդ ժամկետը։ ա 20? Բայց ոչ մի կերպ:) Քանի դեռ չենք պարզել 19-րդ ժամկետը, մենք չենք կարող հաշվել 20-րդը: Սա հիմնական տարբերությունն է կրկնվող բանաձևի և n-րդ անդամի բանաձևի միջև: Կրկնվող աշխատում է միայն միջոցով նախորդժամկետ, իսկ n-րդ անդամի բանաձևը անցնում է առաջինև թույլ է տալիս անմիջապեսԳտեք որևէ անդամ իր համարով: Առանց թվերի ամբողջ շարքը հերթականությամբ հաշվելու։

Թվաբանական առաջընթացի ժամանակ հեշտ է կրկնվող բանաձևը սովորական բանաձևի վերածել: Հաշվի՛ր մի զույգ հաջորդական անդամ, հաշվի՛ր տարբերությունը դ,անհրաժեշտության դեպքում գտնել առաջին տերմինը ա 1, բանաձևը գրիր սովորական ձևով և աշխատիր դրա հետ։ Նման առաջադրանքներ հաճախ են հանդիպում ԳԱԱ-ում։

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևի կիրառում.

Նախ, եկեք նայենք բանաձևի ուղղակի կիրառմանը: Նախորդ դասի վերջում խնդիր կար.

Տրված է թվաբանական պրոգրեսիա (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:

Այս խնդիրը կարող է լուծվել առանց որևէ բանաձևի, պարզապես հիմնվելով թվաբանական առաջընթացի իմաստի վրա: Ավելացնել ու ավելացնել... Մեկ-երկու ժամ։)

Իսկ բանաձեւի համաձայն լուծումը կտեւի մեկ րոպեից էլ քիչ։ Կարող եք ժամանակավորել։) Եկեք որոշենք։

Պայմանները ապահովում են բանաձևի օգտագործման բոլոր տվյալները. a 1 =3, d=1/6.Մնում է պարզել, թե ինչն է հավասար n.Ոչ մի խնդիր! Մենք պետք է գտնենք ա 121. Այսպիսով, մենք գրում ենք.

Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք. Ցուցանիշի փոխարեն nհայտնվեց կոնկրետ թիվ՝ 121։ Ինչը միանգամայն տրամաբանական է։) Մեզ հետաքրքրում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամը։ թիվ հարյուր քսանմեկ.Սա մերն է լինելու n.Սա է իմաստը n= 121 մենք կփոխարինենք բանաձևի մեջ՝ փակագծերում: Մենք բոլոր թվերը փոխարինում ենք բանաձևով և հաշվարկում.

ա 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

վերջ։ Նույնքան արագ կարելի էր գտնել հինգ հարյուր տասներորդ տերմինը, իսկ հազար երրորդը՝ ցանկացած մեկը։ Մենք դրա փոխարեն դրեցինք nցանկալի թիվը տառի ինդեքսում » ա"և փակագծերում, և մենք հաշվում ենք.

Հիշեցնեմ կետը՝ այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել ցանկացածթվաբանական առաջընթացի տերմին ԻՐ ՀԱՄԱՐՈՎ» n" .

Եկեք ավելի խորամանկ կերպով լուծենք խնդիրը։ Եկեք հանդիպենք հետևյալ խնդրին.

Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a n), եթե a 17 =-2; դ=-0,5.

Եթե ​​որևէ դժվարություն ունեք, ես ձեզ կասեմ առաջին քայլը։ Գրի՛ր թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը։Այո այո. Ձեռքերով գրեք հենց ձեր նոթատետրում.

a n = a 1 + (n-1)d

Եվ հիմա, նայելով բանաձևի տառերին, հասկանում ենք, թե ինչ տվյալներ ունենք և ի՞նչն է պակասում։ Հասանելի է d=-0.5,կա տասնյոթերորդ անդամ... Արդյո՞ք դա է: Եթե ​​կարծում եք, որ դա այդպես է, ապա խնդիրը չեք լուծի, այո…

Մենք դեռ թիվ ունենք n! Վիճակով ա 17 =-2թաքնված երկու պարամետր.Սա և՛ տասնյոթերորդ անդամի արժեքն է (-2), և՛ նրա համարը (17): Նրանք. n=17.Այս «մանրուքը» հաճախ սահում է գլխի կողքով, և առանց դրա (առանց «մանրուքների», ոչ թե գլխի) խնդիրը հնարավոր չէ լուծել: Չնայած... ու առանց գլխի էլ։)

Այժմ մենք կարող ենք պարզապես հիմարաբար փոխարինել մեր տվյալները բանաձևով.

a 17 = a 1 + (17-1) · (-0.5)

Օ՜, այո, ա 17մենք գիտենք, որ դա -2 է: Լավ, եկեք փոխարինենք.

-2 = a 1 + (17-1) · (-0.5)

Դա հիմնականում բոլորն է: Մնում է բանաձևից արտահայտել թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը և հաշվարկել այն։ Պատասխանը կլինի. ա 1 = 6.

Այս տեխնիկան՝ բանաձև գրելը և պարզապես հայտնի տվյալները փոխարինելը, մեծ օգնություն է պարզ առաջադրանքների համար: Դե, իհարկե, դուք պետք է կարողանաք բանաձևից փոփոխական արտահայտել, բայց ի՞նչ անել: Առանց այս հմտության մաթեմատիկան կարող է ընդհանրապես չուսումնասիրվել...

Մեկ այլ հայտնի հանելուկ.

Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը (a n), եթե a 1 =2; ա 15 = 12.

Ինչ ենք մենք անում? Դուք կզարմանաք, մենք գրում ենք բանաձեւը!)

a n = a 1 + (n-1)d

Դիտարկենք այն, ինչ գիտենք. ա 1 = 2; ա 15 = 12; և (հատկապես ընդգծեմ!) n=15. Ազատորեն փոխարինեք սա բանաձևով.

12=2 + (15-1)դ

Մենք կատարում ենք թվաբանություն)

12=2 + 14դ

դ=10/14 = 5/7

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Այսպիսով, առաջադրանքները a n, a 1Եվ դորոշեց. Մնում է միայն սովորել, թե ինչպես գտնել համարը.

99 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 =12; d=3. Գտեք այս անդամի համարը:

Մենք մեզ հայտնի մեծությունները փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով.

a n = 12 + (n-1) 3

Առաջին հայացքից այստեղ երկու անհայտ քանակություն կա. a n և n.Բայց a n- սա թվով առաջընթացի ինչ-որ անդամ է n...Եվ մենք գիտենք պրոգրեսիայի այս անդամին։ 99-ն է։ Մենք չգիտենք դրա թիվը։ n,Այսպիսով, այս թիվը այն է, ինչ դուք պետք է գտնեք: Մենք 99-րդ առաջընթացի տերմինը փոխարինում ենք բանաձևով.

99 = 12 + (n-1) 3

Մենք արտահայտում ենք բանաձևից n, մենք կարծում ենք. Մենք ստանում ենք պատասխանը. n=30.

Եվ հիմա խնդիր նույն թեմայով, բայց ավելի կրեատիվ):

Որոշեք, թե արդյոք 117 թիվը թվաբանական առաջընթացի անդամ է (a n).

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Եկեք նորից գրենք բանաձեւը. Ինչ է, պարամետրեր չկա՞ն։ Հմ... Ինչո՞ւ են մեզ աչք տալիս) պրոգրեսիայի առաջին տերմինը տեսնու՞մ ենք։ Մենք տեսնում ենք. Սա -3,6 է: Դուք կարող եք ապահով գրել. ա 1 = -3,6.Տարբերություն դԿարո՞ղ եք ասել սերիալից: Հեշտ է, եթե գիտեք, թե որն է թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը.

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Այսպիսով, մենք արեցինք ամենապարզ բանը. Մնում է զբաղվել անհայտ թվով nիսկ անհասկանալի թիվը՝ 117. Նախորդ խնդրի մեջ գոնե հայտնի էր, որ տրված էր պրոգրեսիայի ժամկետը։ Բայց այստեղ մենք նույնիսկ չգիտենք ... Ի՞նչ անել: Դե ինչ անել, ինչ անել... Միացրու Ստեղծագործական հմտություններ!)

Մենք ենթադրենքոր 117-ը, ի վերջո, մեր պրոգրեսիայի անդամ է։ Անհայտ համարով n. Եվ, ինչպես նախորդ խնդրի դեպքում, փորձենք գտնել այս թիվը։ Նրանք. մենք գրում ենք բանաձևը (այո, այո!)) և փոխարինում ենք մեր թվերը.

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Նորից արտահայտում ենք բանաձևիցn, հաշվում ենք և ստանում.

Վա՜յ Թիվը պարզվեց կոտորակային!Հարյուրմեկ ու կես։ Եվ կոտորակային թվերը առաջընթացներում չի կարող լինել.Ի՞նչ եզրակացություն կարող ենք անել։ Այո՛ Թիվ 117 չէմեր առաջընթացի անդամ։ Այն գտնվում է հարյուր և առաջին և հարյուր և երկրորդ ժամկետների միջև: Եթե ​​թիվը բնական է ստացվել, այսինքն. դրական ամբողջ թիվ է, ապա թիվը կլինի հայտնաբերված թվով առաջընթացի անդամ: Իսկ մեր դեպքում խնդրի պատասխանը կլինի. Ոչ

Առաջադրանք, որը հիմնված է GIA-ի իրական տարբերակի վրա.

Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով.

a n = -4 + 6.8n

Գտե՛ք առաջընթացի առաջին և տասներորդ անդամները:

Այստեղ առաջընթացը դրված է անսովոր ձևով։ Ինչ-որ բանաձև... Պատահում է:) Այնուամենայնիվ, այս բանաձևը (ինչպես ես գրել եմ վերևում) - նաև թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը։Նա նաև թույլ է տալիս գտեք առաջընթացի որևէ անդամ իր թվով:

Մենք փնտրում ենք առաջին անդամին։ Նա, ով մտածում է. որ առաջին տերմինը մինուս չորս է, դա չարաչար սխալվում է։) Որովհետև խնդրի բանաձևը փոփոխված է։ Դրանում թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը թաքնված.Ոչինչ, մենք հիմա կգտնենք:)

Ինչպես նախորդ խնդիրներում, մենք փոխարինում ենք n=1Վ այս բանաձեւը:

ա 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Այստեղ! Առաջին անդամը 2.8 է, ոչ թե -4:

Մենք փնտրում ենք տասներորդ տերմինը նույն կերպ.

ա 10 = -4 + 6,8 10 = 64

վերջ։

Եվ հիմա, նրանց համար, ովքեր կարդացել են այս տողերը, խոստացված բոնուսը:)

Ենթադրենք, պետական ​​քննության կամ միասնական պետական ​​քննության մարտական ​​բարդ իրավիճակում մոռացել եք թվաբանական առաջընթացի n-րդ կիսամյակի օգտակար բանաձեւը։ Ինչ-որ բան հիշում եմ, բայց ինչ-որ կերպ անորոշ... Կամ nայնտեղ, կամ n+1, կամ n-1...Ինչպես լինել!?

Հանգիստ. Այս բանաձևը հեշտ է ստանալ. Դա շատ խիստ չէ, բայց հաստատ բավական է վստահության և ճիշտ որոշման համար:) Եզրակացություն անելու համար բավական է հիշել թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և մի քանի րոպե ժամանակ ունենալ: Պարզապես պետք է նկարել: Պարզության համար.

Գծե՛ք թվային գիծ և դրա վրա նշե՛ք առաջինը։ երկրորդ, երրորդ և այլն: անդամներ։ Եվ մենք նշում ենք տարբերությունը դանդամների միջև։ Սրա նման:

Մենք նայում ենք նկարին և մտածում. ինչի՞ է հավասար երկրորդ անդամը: Երկրորդ մեկ դ:

ա 2 =a 1 + 1 դ

Ո՞րն է երրորդ ժամկետը: Երրորդժամկետը հավասար է առաջին կիսամյակի գումարածին երկու դ.

ա 3 =a 1 + 2 դ

Դուք հասկանու՞մ եք: Իզուր չէ, որ որոշ բառեր առանձնացնում եմ թավով. Լավ, ևս մեկ քայլ):

Ո՞րն է չորրորդ ժամկետը: Չորրորդժամկետը հավասար է առաջին կիսամյակի գումարածին երեք դ.

ա 4 =a 1 + 3 դ

Ժամանակն է գիտակցել, որ բացթողումների քանակը, այսինքն. դ, Միշտ մեկով պակաս ձեր փնտրած անդամի թվից n. Այսինքն՝ թվին n, բացատների քանակըկամք n-1.Հետևաբար, բանաձևը կլինի (առանց տատանումների).

a n = a 1 + (n-1)d

Ընդհանուր առմամբ, տեսողական նկարները շատ օգտակար են մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրների լուծման համար: Մի անտեսեք նկարները. Բայց եթե դժվար է նկար նկարել, ապա… միայն բանաձև:) Բացի այդ, n-րդ տերմինի բանաձևը թույլ է տալիս միացնել մաթեմատիկայի ողջ հզոր զինանոցը լուծմանը՝ հավասարումներ, անհավասարություններ, համակարգեր և այլն: Դուք չեք կարող նկար տեղադրել հավասարման մեջ...

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Տաքանալու համար.

1. Թվաբանական առաջընթացում (a n) a 2 =3; ա 5 = 5.1. Գտեք 3.

Հուշում՝ ըստ նկարի, խնդիրը լուծվում է 20 վայրկյանում... Ըստ բանաձեւի՝ ավելի բարդ է ստացվում. Բայց բանաձևը յուրացնելու համար այն ավելի օգտակար է։) 555-րդ բաժնում այս խնդիրը լուծվում է՝ օգտագործելով և՛ նկարը, և՛ բանաձևը։ Զգացեք տարբերությունը!)

Եվ սա այլևս տաքացում չէ։)

2. Թվաբանական առաջընթացում (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. Գտեք 3-ը:

Ինչ է, դուք չեք ցանկանում նկարել:) Իհարկե: Ավելի լավ է ըստ բանաձևի՝ այո...

3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով.ա 1 = -5,5; a n+1 = a n +0.5. Գտե՛ք այս առաջընթացի հարյուր քսանհինգերորդ անդամը:

Այս առաջադրանքում առաջընթացը նշվում է պարբերական եղանակով: Բայց հաշվելով մինչև հարյուր քսանհինգերորդ ժամկետը... Ոչ բոլորը կարող են նման սխրագործություն անել։) Բայց n-րդ տերմինի բանաձևը բոլորի ուժերի սահմաններում է։

4. Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Գտե՛ք առաջընթացի ամենափոքր դրական անդամի թիվը:

5. 4-րդ առաջադրանքի պայմանների համաձայն գտի՛ր առաջընթացի ամենափոքր դրական և ամենամեծ բացասական անդամների գումարը։

6. Աճող թվաբանական պրոգրեսիայի հինգերորդ և տասներկուերորդ անդամների արտադրյալը հավասար է -2,5-ի, իսկ երրորդ և տասնմեկերորդ անդամների գումարը հավասար է զրոյի։ Գտեք 14-ը:

Ամենահեշտ առաջադրանքը չէ, այո...) «մատնահետքի» մեթոդն այստեղ չի աշխատի: Դուք ստիպված կլինեք գրել բանաձևեր և լուծել հավասարումներ:

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Տեղի է ունեցել? Հաճելի է!)

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Ի դեպ, վերջին առաջադրանքում կա մեկ նուրբ կետ. Խնդիրը կարդալիս ուշադրություն կպահանջվի: Եվ տրամաբանություն.

Այս բոլոր խնդիրների լուծումը մանրամասնորեն քննարկվում է 555-րդ բաժնում: Եվ չորրորդի համար ֆանտազիայի տարրը, վեցերորդի համար նուրբ կետը, և n-րդ տերմինի բանաձևով պարունակվող ցանկացած խնդրի լուծման ընդհանուր մոտեցումները. ամեն ինչ նկարագրված է: խորհուրդ եմ տալիս.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Դասի տեսակը.նոր նյութ սովորելը.

Դասի նպատակները.

• ընդլայնել և խորացնել ուսանողների պատկերացումները թվաբանական առաջընթացի միջոցով լուծված խնդիրների վերաբերյալ. սովորողների որոնողական գործունեության կազմակերպում` թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը հանելիս.
• նոր գիտելիքներ ինքնուրույն ձեռք բերելու և արդեն իսկ ձեռք բերված գիտելիքները տվյալ առաջադրանքին հասնելու համար օգտագործելու կարողության զարգացում.
• ձեռք բերված փաստերն ընդհանրացնելու ցանկության և անհրաժեշտության զարգացում, անկախության զարգացում։

Առաջադրանքներ.

• ամփոփել և համակարգել առկա գիտելիքները «Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով.
• դուրս բերել բանաձևեր՝ թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկելու համար.
• սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել ստացված բանաձևերը տարբեր խնդիրներ լուծելիս.
• Ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել թվային արտահայտության արժեքը գտնելու կարգի վրա:

Սարքավորումներ:

• քարտեր խմբերով և զույգերով աշխատելու առաջադրանքներով.
• գնահատման թուղթ;
• ներկայացում«Թվաբանական առաջընթաց».

I. Հիմնական գիտելիքների թարմացում.

1. Անկախ աշխատանքզույգերով.

1-ին տարբերակ.

Սահմանել թվաբանական առաջընթացը: Գրեք կրկնության բանաձևը, որը սահմանում է թվաբանական առաջընթացը: Խնդրում ենք ներկայացնել թվաբանական առաջընթացի օրինակ և նշել դրա տարբերությունը:

2-րդ տարբերակ.

Գրի՛ր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը. Գտե՛ք թվաբանական առաջընթացի 100-րդ անդամը ( a n}: 2, 5, 8 …
Այս պահին գրատախտակի հետևում գտնվող երկու ուսանող պատրաստում են նույն հարցերի պատասխանները:
Աշակերտները գնահատում են իրենց գործընկերոջ աշխատանքը՝ ստուգելով դրանք գրատախտակին: (Պատասխաններով թերթերը հանձնվում են):

2. Խաղի պահը.

Վարժություն 1.

Ուսուցիչ.Ես մտածեցի որոշ թվաբանական առաջընթացի մասին: Ինձ միայն երկու հարց տվեք, որպեսզի պատասխաններից հետո կարողանաք արագ անվանել այս առաջընթացի 7-րդ տերմինը։ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Հարցեր ուսանողներից.

1. Ո՞րն է առաջընթացի վեցերորդ անդամը և ո՞րն է տարբերությունը:
2. Ո՞րն է առաջընթացի ութերորդ անդամը և ո՞րն է տարբերությունը:

Եթե ​​այլևս հարցեր չկան, ապա ուսուցիչը կարող է դրանք խթանել՝ դ (տարբերություն) «արգելք», այսինքն՝ չի կարելի հարցնել, թե ինչի է հավասար տարբերությունը։ Կարող եք հարցեր տալ՝ ինչի՞ն է հավասար պրոգրեսիայի 6-րդ անդամը և ինչի՞ն է հավասար առաջընթացի 8-րդ անդամը:

Առաջադրանք 2.

Գրատախտակին գրված է 20 թիվ. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Ուսուցիչը կանգնած է մեջքով դեպի տախտակը: Աշակերտները կանչում են համարը, իսկ ուսուցիչը անմիջապես կանչում է համարը: Բացատրեք, թե ինչպես կարող եմ դա անել:

Ուսուցիչը հիշում է n-րդ կիսամյակի բանաձևը a n = 3n – 2և, փոխարինելով նշված արժեքները n, գտնում է համապատասխան արժեքները a n.

II. Ուսումնական առաջադրանքի սահմանում.

Առաջարկում եմ լուծել եգիպտական ​​պապիրուսներում հայտնաբերված մ.թ.ա 2-րդ հազարամյակի հնագույն խնդիր։

Առաջադրանք.«Թող ձեզ ասվի՝ 10 չափ գարի բաժանեք 10 հոգու, յուրաքանչյուր մարդու և իր հարևանի տարբերությունը չափի 1/8-ն է»։

• Ինչպե՞ս է այս խնդիրը կապված թեմայի թվաբանական առաջընթացի հետ: (Յուրաքանչյուր հաջորդ մարդ ստանում է չափման 1/8-ով ավելի, ինչը նշանակում է, որ տարբերությունը d=1/8 է, 10 հոգի, ինչը նշանակում է n=10):
• Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ են նշանակում թիվ 10 չափումները: (Առաջընթացի բոլոր պայմանների գումարը):
• Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք, որպեսզի հեշտ ու պարզ լինի գարին բաժանել ըստ խնդրի պայմանների: (Առաջին փուլը առաջընթացի.)

Դասի նպատակը– առաջընթացի պայմանների գումարի կախվածությունը ստանալ նրանց թվից, առաջին անդամից և տարբերությունից և ստուգել, ​​թե արդյոք խնդիրը ճիշտ է լուծվել հին ժամանակներում:

Նախքան բանաձևը եզրակացնելը, եկեք տեսնենք, թե ինչպես են հին եգիպտացիները լուծել խնդիրը:

Եվ նրանք լուծել են հետևյալ կերպ.

1) 10 միջոց՝ 10 = 1 չափ – միջին մասնաբաժին;
2) 1 չափ ∙ = 2 չափ – կրկնապատկվել միջինկիսվել.
Կրկնապատկվել է միջինբաժնեմասը 5-րդ և 6-րդ անձի բաժնետոմսերի հանրագումարն է:
3) 2 միջոց – 1/8 չափ = 1 7/8 միջոց – հինգերորդ անձի բաժինը կրկնապատկվում է։
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – հինգերորդի կոտորակ; և այլն, դուք կարող եք գտնել յուրաքանչյուր նախորդ և հաջորդ անձի բաժինը:

Մենք ստանում ենք հաջորդականությունը.

III. Խնդրի լուծում.

1. Աշխատեք խմբերով

I խումբ.Գտե՛ք 20 անընդմեջ գումարը բնական թվեր: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Ընդհանուր առմամբ

II խումբ.Գտե՛ք 1-ից մինչև 100 բնական թվերի գումարը (Փոքրիկ Գաուսի լեգենդը):

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Եզրակացություն:

III խումբ:Գտե՛ք 1-ից 21-ի բնական թվերի գումարը:

Լուծում. 1+21=2+20=3+19=4+18…

Եզրակացություն:

IV խումբ.Գտե՛ք 1-ից մինչև 101 բնական թվերի գումարը:

Եզրակացություն:

Դիտարկված խնդիրների լուծման այս մեթոդը կոչվում է «Գաուսի մեթոդ»:

2. Յուրաքանչյուր խումբ գրատախտակին ներկայացնում է խնդրի լուծումը:

3. Առաջարկվող լուծումների ընդհանրացում կամայական թվաբանական առաջընթացի համար.

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Եկեք գտնենք այս գումարը՝ օգտագործելով նմանատիպ հիմնավորում.

4. Խնդիրը լուծե՞լ ենք։(Այո)

IV. Խնդիրներ լուծելիս ստացված բանաձևերի առաջնային ըմբռնումը և կիրառումը.

1. Ստուգելով հնագույն խնդրի լուծումը բանաձևի միջոցով.

2. Բանաձեւի կիրառում տարբեր խնդիրների լուծման ժամանակ.

3. Խնդիրներ լուծելիս բանաձևեր կիրառելու կարողությունը զարգացնելու վարժություններ:

Ա) թիվ 613

Տրված է: ( ա ժ) –թվաբանական առաջընթաց;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Գտնել. S 1500

Լուծում: , ա 1 = 1 և 1500 = 1500,

Բ) Հաշվի առնելով. ա ժ) –թվաբանական առաջընթաց;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Գտնել. n
Լուծում:

V. Անկախ աշխատանք՝ փոխադարձ ստուգմամբ.

Դենիսը սկսեց աշխատել որպես առաքիչ։ Առաջին ամսում նրա աշխատավարձը կազմում էր 200 ռուբլի, ամեն հաջորդ ամիս այն ավելանում էր 30 ռուբլով։ Որքա՞ն է նա ընդհանուր առմամբ վաստակել մեկ տարվա ընթացքում:

Տրված է: ( ա ժ) –թվաբանական առաջընթաց;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Գտնել. Ս 12
Լուծում:

Պատասխան. Դենիսը տարեկան ստացել է 4380 ռուբլի:

VI. Տնային աշխատանքների ցուցում.

1. Բաժին 4.3 – սովորել բանաձևի ածանցումը:
2. №№ 585, 623 .
3. Ստեղծի՛ր խնդիր, որը հնարավոր է լուծել՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը:

VII. Ամփոփելով դասը.

1. Միավորների թերթիկ

2. Շարունակի՛ր նախադասությունները

• Այսօր դասարանում սովորեցի...
• Սովորած բանաձևեր...
• Ես հավատում եմ, որ…

3. Կարո՞ղ եք գտնել 1-ից մինչև 500 թվերի գումարը: Ի՞նչ մեթոդ կկիրառեք այս խնդիրը լուծելու համար:

Մատենագիտություն.

1. Հանրահաշիվ, 9-րդ դաս. Ձեռնարկի համար ուսումնական հաստատություններ. Էդ. Գ.Վ. Դորոֆեևա.Մ.: «Լուսավորություն», 2009 թ.

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և դրանք կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք կան): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այդպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվերի հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է հաջորդականության միայն մեկ թվին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես թվին) միշտ նույնն է։
Թվով թիվը կոչվում է հաջորդականության րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառով (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ցուցիչը հավասար է այս անդամի թվին.

Մեր դեպքում.

Ենթադրենք, ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ:

և այլն:
Այս թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից դեռ 6-րդ դարում և ավելի լայն իմաստով հասկացվել է որպես անսահման թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որն ուսումնասիրվել է հին հույների կողմից։

Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդին։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն և նշանակված է։

Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական առաջընթաց, որոնք՝ ոչ.

ա)
բ)
գ)
դ)

Հասկացա? Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները.
Էթվաբանական պրոգրեսիա - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.

Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու միջոց:

1. Մեթոդ

Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի համարը նախորդ արժեքին, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.

Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի տերմինը հավասար է.

2. Մեթոդ

Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել առաջընթացի եռամսյակի արժեքը: Գումարը մեզ մեկ ժամից ավելի կխլի, և փաստ չէ, որ թվեր գումարելիս սխալներ թույլ չենք տա։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի ձև, որով անհրաժեշտ չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ավելի ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝.

Օրինակ՝ տեսնենք, թե ինչից է բաղկացած այս թվաբանական պրոգրեսիայի րդ անդամի արժեքը.


Այլ կերպ ասած:

Փորձեք ինքներդ այս կերպ գտնել տվյալ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը։

Հաշվարկե՞լ եք։ Համեմատեք ձեր գրառումները պատասխանի հետ.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդով, երբ մենք հաջորդաբար ավելացրեցինք թվաբանական առաջընթացի պայմանները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը. եկեք այն ընդհանուր ձևով դնենք և ստանանք.

Թվաբանական առաջընթացի հավասարում.

Թվաբանական առաջընթացները կարող են աճել կամ նվազել:

Աճող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:

Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:

Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ինչպես աճող, այնպես էլ նվազող տերմինների հաշվարկման ժամանակ:
Եկեք ստուգենք սա գործնականում:
Մեզ տրվում է թվաբանական առաջընթաց՝ բաղկացած հետևյալ թվերից. Եկեք ստուգենք, թե որն է այս թվաբանական առաջընթացի րդ թիվը, եթե այն հաշվարկելու համար օգտագործենք մեր բանաձևը.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով, մենք համոզված ենք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազման, այնպես էլ աճող թվաբանական առաջընթացի ժամանակ:
Փորձեք ինքներդ գտնել այս թվաբանական առաջընթացի թվաբանական առաջընթացի րդ և րդ անդամները:

Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Թվաբանական առաջընթացի հատկություն

Եկեք բարդացնենք խնդիրը՝ կբխենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը։
Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ, ասում ես և սկսում հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.

Թող, այ, ուրեմն.

Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե ​​պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց ի՞նչ, եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն: Համաձայնեք՝ հաշվարկներում սխալվելու հավանականություն կա։
Հիմա մտածեք, թե արդյոք հնարավո՞ր է այս խնդիրը լուծել մեկ քայլով՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և դա այն է, ինչ մենք կփորձենք բացահայտել հիմա:

Թվաբանական առաջընթացի պահանջվող տերմինը նշենք այնպես, ինչպես, այն գտնելու բանաձևը մեզ հայտնի է. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, Ապա:

• առաջընթացի նախորդ ժամկետն է.
• Առաջընթացի հաջորդ ժամկետն է.

Ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ տերմինները.

Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի կրկնակի արժեքն է։ Այլ կերպ ասած, առաջընթացի տերմինի արժեքը գտնելու համար հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով, անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել:

Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք ապահովենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, դա ամենևին էլ դժվար չէ:

Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Մնում է պարզել միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, հեշտությամբ եզրակացրել է բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կարլ Գաուսը...

Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, մի ուսուցիչ, որը զբաղված էր այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը ստուգելով, դասարանում հանձնարարեց հետևյալ առաջադրանքը. Պատկերացրեք ուսուցչի զարմանքը, երբ նրա աշակերտներից մեկը (սա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպե անց տվեց առաջադրանքի ճիշտ պատասխանը, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան...

Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց որոշակի օրինաչափություն, որը դուք նույնպես հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, մենք ունենք թվաբանական առաջընթաց, որը բաղկացած է -րդ անդամներից. Մենք պետք է գտնենք թվաբանական առաջընթացի այս անդամների գումարը: Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ինչ անել, եթե առաջադրանքը պահանջում է գտնել իր պայմանների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:

Եկեք պատկերենք մեզ տրված առաջընթացը։ Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ:


Դուք փորձե՞լ եք այն: Ի՞նչ նկատեցիք։ Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են

Հիմա ասա ինձ, մեզ տրված պրոգրեսիայի մեջ ընդհանուր քանի՞ այդպիսի զույգ կա։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, իսկ նմանատիպ զույգերը հավասար են, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հավասար է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի.

Որոշ խնդիրներում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Փորձեք փոխարինել րդ անդամի բանաձևը գումարի բանաձևով:
Ի՞նչ ստացաք:

Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին առաջադրված խնդրին. ինքներդ հաշվարկեք, թե ինչին է հավասար th-ից սկսվող թվերի գումարը և th-ից սկսվող թվերի գումարը։

Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը գտավ, որ տերմինների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը: Այդպե՞ս եք որոշել։

Փաստորեն, թվաբանական պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռ 3-րդ դարում, և այս ընթացքում սրամիտ մարդիկ լիովին օգտագործում էին թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունները:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսեւ այն ժամանակվա ամենամեծ շինարարական նախագիծը՝ բուրգի կառուցում... Նկարում պատկերված է դրա մի կողմը։

Ո՞ւր է այստեղ առաջընթացը, ասում եք: Ուշադիր նայեք և բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակով օրինակ գտեք:


Ինչու՞ ոչ թվաբանական առաջընթաց: Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատի կառուցման համար, եթե հիմքում տեղադրված են բլոկային աղյուսներ: Հուսով եմ, որ դուք չեք հաշվի, երբ ձեր մատը շարժեք մոնիտորի վրայով, հիշում եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին:

Այս դեպքում առաջընթացն այսպիսի տեսք ունի.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը:
Եկեք փոխարինենք մեր տվյալները վերջին բանաձևերով (հաշվեք բլոկների քանակը 2 եղանակով):

Մեթոդ 1.

Մեթոդ 2.

Եվ այժմ դուք կարող եք հաշվարկել մոնիտորի վրա. համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ: Հասկացա? Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամների գումարը։
Իհարկե, դուք չեք կարող բուրգ կառուցել հիմքում գտնվող բլոկներից, բայց դրանից: Փորձեք հաշվել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար։
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.

Ուսուցում

Առաջադրանքներ.

1. Մաշան ամառային մարզավիճակ է ձեռք բերում. Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Մաշան շաբաթական քանի՞ անգամ կնճռոտ կանի, եթե առաջին մարզման ժամանակ նժույգներ կատարի:
2. Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
3. Տեղեկամատյանները պահեստավորելիս լոգերը դրանք դնում են այնպես, որ յուրաքանչյուր վերին շերտ պարունակի մեկ գերան պակաս, քան նախորդը: Քանի՞ գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե որմնադրությանը հիմքը գերաններն են:

Պատասխանները:

1. Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը։ Այս դեպքում
   (շաբաթներ = օրեր):

   Պատասխան.Երկու շաբաթվա ընթացքում Մաշան պետք է օրական մեկ անգամ squats անի:

2. Առաջին կենտ թիվը, վերջին թիվը.
   Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
   Կենտ թվերի թիվը կեսն է, սակայն, եկեք ստուգենք այս փաստը` օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի տերմինը գտնելու բանաձևը.

   Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
   Եկեք փոխարինենք առկա տվյալները բանաձևով.

   Պատասխան.Ներառված բոլոր կենտ թվերի գումարը հավասար է։

3. Հիշենք բուրգերի մասին խնդիրը. Մեր դեպքում a , քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, ապա ընդհանուր առմամբ կան մի փունջ շերտեր, այսինքն.
   Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.

   Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։

Եկեք ամփոփենք այն

1. - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Այն կարող է աճել կամ նվազել:
2. Բանաձևի որոնումԹվաբանական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը գրվում է բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
3. Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ է առաջընթացի մեջ գտնվող թվերի թիվը:
4. Թվաբանական առաջընթացի պայմանների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
   
   , որտեղ է արժեքների թիվը։

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Թվերի հաջորդականություն

Եկեք նստենք և սկսենք թվեր գրել։ Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և դրանք կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց մենք միշտ կարող ենք ասել, թե որն է առաջինը, որը երկրորդը և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։

Թվերի հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։

Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ՝ եզակի։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:

Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառով (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ցուցիչը հավասար է այս անդամի թվին.

Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության թվով տերմինը կարելի է նշել ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը

սահմանում է հաջորդականությունը.

Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.

Օրինակ՝ թվաբանական պրոգրեսիան հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը՝): Կամ (, տարբերություն):

n-րդ տերմինի բանաձևը

Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որում, որպեսզի պարզես տերմինը, պետք է իմանաս նախորդ կամ մի քանի նախորդները.

Այս բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող: Ապա.

Լավ, հիմա պարզ է, թե որն է բանաձեւը։

Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով: Որ մեկը? Շատ պարզ. սա ներկա անդամի թիվն է՝ հանած.

Հիմա շատ ավելի հարմար է, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.

Ինքներդ որոշեք.

Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:

Լուծում:

Առաջին տերմինը հավասար է. Որն է տարբերությունը? Ահա թե ինչ.

(Ահա թե ինչու է այն կոչվում տարբերություն, քանի որ այն հավասար է առաջընթացի հաջորդական թվերի տարբերությանը):

Այսպիսով, բանաձևը.

Այդ դեպքում հարյուրերորդ անդամը հավասար է.

Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:

Ըստ լեգենդի՝ մեծ մաթեմատիկոս Կարլ Գաուսը, որպես 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և նախավերջինի գումարը նույնն է, վերջից երրորդի և 3-րդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կա ընդհանուր առմամբ: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,

Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.

Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:

Լուծում:

Առաջին նման թիվը սա է. Յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ ստացվում է նախորդ թվին գումարելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամով և տարբերությամբ:

Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը.

Քանի՞ անդամ կա առաջընթացում, եթե դրանք բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:

Շատ հեշտ: .

Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար կլինի։ Այնուհետև գումարը.

Պատասխան.

Հիմա որոշեք ինքներդ.

1. Ամեն օր մարզիկը ավելի շատ մետր է վազում, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր ընդհանուր առմամբ նա կվազի մեկ շաբաթում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
2. Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ կիլոմետր է անցնում, քան նախորդ օրը: Առաջին օրը նա անցել է կմ. Քանի՞ օր է նրան անհրաժեշտ մեկ կիլոմետր անցնելու համար: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա իր ճանապարհորդության վերջին օրվա ընթացքում:
3. Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույնքան նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքանով է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի հանվել, վեց տարի անց այն վաճառվել է ռուբլով։

Պատասխանները:

1. Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
   .
   Պատասխան.
2. Այստեղ տրված է՝ , պետք է գտնել։
   Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք նույն գումարի բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդիրում.
   .
   Փոխարինեք արժեքները.

   Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանն է.
   Հաշվարկենք վերջին օրվա ընթացքում անցած ճանապարհը՝ օգտագործելով րդ անդամի բանաձևը.
   (կմ):
   Պատասխան.

3. Տրված է. Գտեք.
   Ավելի պարզ չէր կարող լինել.
   (ռուբ.):
   Պատասխան.

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը:

Թվաբանական առաջընթացը կարող է լինել աճող () և նվազող ():

Օրինակ:

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

գրվում է բանաձևով, որտեղ գտնվում է առաջընթացի մեջ գտնվող թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը

Այն թույլ է տալիս հեշտությամբ գտնել առաջընթացի տերմինը, եթե հայտնի են դրա հարևան տերմինները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի պայմանների գումարը

Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Որտեղ է արժեքների թիվը:

ՄՆԱՑՎԱԾ 2/3 ՀՈԴՎԱԾՆԵՐԸ ՀԱՍԱՆԵԼԻ ԵՆ ՄԻԱՅՆ ՁԵԶ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻՆ:

Դարձեք YouClever ուսանող,

Պատրաստվեք միասնական պետական ​​քննությանը կամ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը «ամսական մեկ բաժակ սուրճի» գնով։

Եվ նաև ստացեք անսահմանափակ մուտք դեպի «YouClever» դասագիրք, նախապատրաստական ​​ծրագիր (աշխատանքային գրքույկ) «100gia», անսահմանափակ փորձնական միասնական պետական ​​քննությունև OGE, 6000 խնդիրներ լուծումների վերլուծության և այլ ծառայությունների YouClever և 100gia: