Որքա՞ն է անկյունների գումարը: Թեորեմ եռանկյան անկյունների գումարի մասին. Տեսակները ըստ անկյան չափի

Եռանկյան անկյունների գումարը- Կարևոր է, բայց բավական է պարզ թեմա, որը դասավանդվում է 7-րդ դասարանում երկրաչափություն. Թեման բաղկացած է թեորեմից, կարճ ապացույցից և մի քանի տրամաբանական հետևանքներից։ Այս թեմայի իմացությունը օգնում է լուծել երկրաչափական խնդիրներառարկայի հետագա ուսումնասիրության ժամանակ:

Թեորեմ - որո՞նք են կամայական եռանկյան անկյունները գումարված:

Թեորեմն ասում է, որ եթե վերցնենք որևէ եռանկյուն, անկախ նրա տեսակից, բոլոր անկյունների գումարն անփոփոխ կլինի 180 աստիճան։ Սա ապացուցված է հետևյալ կերպ.

• Օրինակ, վերցրեք ABC եռանկյունը, ուղիղ գիծ գծեք B կետի միջով, որը գտնվում է գագաթին և նշանակեք այն որպես «a», «a» ուղիղ գիծը խիստ զուգահեռ է AC կողմին.
• «a» ուղիղ գծի և AB և BC կողմերի միջև նշանակվում են անկյուններ՝ դրանք նշելով 1 և 2 թվերով.
• 1 անկյունը համարվում է հավասար A անկյան, իսկ 2 անկյունը հավասար է C անկյան, քանի որ այս անկյունները համարվում են խաչաձև ընկած.
• Այսպիսով, 1-ին, 2-րդ և 3-րդ անկյունների միջև գումարը (որը նշված է B անկյան տեղում) ճանաչվում է որպես B գագաթով բացված անկյան հավասար և կազմում է 180 աստիճան:

Եթե ​​թվերով նշված անկյունների գումարը 180 աստիճան է, ապա A, B և C անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։ Այս կանոնը ճիշտ է ցանկացած եռանկյունու համար:

Ինչ է բխում երկրաչափական թեորեմից

Ընդունված է վերը նշված թեորեմից առանձնացնել մի քանի հետևություններ։

• Եթե ​​խնդիրը դիտարկել է ուղղանկյուն եռանկյուն, ապա նրա անկյուններից մեկը լռելյայնորեն հավասար կլինի 90 աստիճանի, իսկ սուր անկյունների գումարը նույնպես կլինի 90 աստիճան։
• Եթե ​​մենք խոսում ենք ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյունու մասին, ապա նրա սուր անկյունները, որոնք գումարվում են մինչև 90 աստիճան, առանձին-առանձին հավասար կլինեն 45 աստիճանի։
• Հավասարակողմ եռանկյունը կազմված է երեք հավասար անկյուններից, համապատասխանաբար, դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար կլինի 60 աստիճանի, իսկ ընդհանուր առմամբ՝ 180 աստիճանի։
• Ցանկացած եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար կլինի նրան ոչ հարակից երկու ներքին անկյունների գումարին:

Հետևյալ կանոնը կարող է ստացվել. ցանկացած եռանկյուն ունի առնվազն երկու սուր անկյուն: Որոշ դեպքերում եռանկյունը բաղկացած է երեք սուր անկյուններից, և եթե դրանք միայն երկուսն են, ապա երրորդ անկյունը կլինի բութ կամ ուղիղ:

Թեորեմ. Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղղանկյունի:

Վերցնենք մի քանի ABC եռանկյուն (նկ. 208): Նրա ներքին անկյունները նշանակենք 1, 2 և 3 թվերով։ Փաստենք դա

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°:

Եկեք եռանկյան որոշ գագաթի միջով գծենք AC-ին զուգահեռ MN ուղիղ գիծ, ​​օրինակ՝ B:

B գագաթում ստացանք երեք անկյուն՝ ∠4, ∠2 և ∠5: Նրանց գումարը ուղիղ անկյուն է, հետևաբար այն հավասար է 180°-ի.

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°:

Բայց ∠4 = ∠1 ներքին խաչաձև անկյուններ են MN և AC զուգահեռ ուղիղներով և AB հատվածով:

∠5 = ∠3 - սրանք ներքին խաչաձև անկյուններ են MN և AC զուգահեռ գծերով և BC հատվածով:

Սա նշանակում է, որ ∠4-ը և ∠5-ը կարող են փոխարինվել իրենց հավասարներով ∠1 և ∠3:

Հետեւաբար, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°: Թեորեմն ապացուցված է.

2. Եռանկյան արտաքին անկյան հատկությունը.

Փաստորեն, ABC եռանկյան մեջ (նկ. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, բայց նաև ∠ВСD այս եռանկյան արտաքին անկյունը, որը կից ∠1 և ∠2-ին չի հարում, նույնպես հավասար է 180°-ի. - ∠3.

Այսպիսով.

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3:

Հետևաբար, ∠1 + ∠2= ∠BCD:

Եռանկյան արտաքին անկյան ածանցյալ հատկությունը պարզաբանում է եռանկյան արտաքին անկյան նախկինում ապացուցված թեորեմի բովանդակությունը, որում ասվում է միայն, որ եռանկյան արտաքին անկյունն ավելի մեծ է, քան եռանկյան ոչ հարևան եռանկյան յուրաքանչյուր ներքին անկյունը. այժմ հաստատված է, որ արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ հարակից երկու ներքին անկյունների գումարին։

3. 30° անկյուն ունեցող ուղղանկյուն եռանկյան հատկություն.

Թող ACB ուղղանկյուն եռանկյան B անկյունը հավասար լինի 30°-ի (նկ. 210): Այնուհետև նրա մյուս սուր անկյունը հավասար կլինի 60°-ի։

Եկեք ապացուցենք, որ AC ոտքը հավասար է AB հիպոթենուսի կեսին: Եկեք երկարացնենք AC ոտքը C ուղիղ անկյան գագաթից այն կողմ և մի կողմ դնենք CM հատվածը, որը հավասար է AC հատվածին: Միացնենք M կետը B կետին: Ստացված ВСМ եռանկյունը հավասար է ACB եռանկյունին: Մենք տեսնում ենք, որ ABM եռանկյան յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է 60°-ի, հետևաբար այս եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյուն է։

AC ոտքը հավասար է AM-ի կեսին, և քանի որ AM-ը հավասար է AB-ի, AC ոտքը հավասար է AB հիպոթենուսի կեսին:

Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180 0 է։ Սա Էվկլիդեսի երկրաչափության հիմնարար աքսիոմներից մեկն է։ Սա այն երկրաչափությունն է, որը սովորում են դպրոցականները։ Երկրաչափությունը սահմանվում է որպես գիտություն, որն ուսումնասիրում է իրական աշխարհի տարածական ձևերը:

Ի՞նչն է դրդել հին հույներին զարգացնել երկրաչափությունը: Դաշտերի չափման անհրաժեշտությունը, մարգագետինները՝ երկրի մակերեսի տարածքները։ Միևնույն ժամանակ, հին հույներն ընդունում էին, որ Երկրի մակերեսը հորիզոնական է և հարթ: Այս ենթադրությունը հաշվի առնելով՝ ստեղծվեցին Էվկլիդեսի աքսիոմները՝ ներառյալ 180 0 եռանկյան ներքին անկյունների գումարը։

Աքսիոմը այն դրույթն է, որը ապացույց չի պահանջում: Ինչպե՞ս պետք է սա հասկանալ: Ցանկություն է արտահայտվում, որը հարմար է մարդուն, իսկ հետո այն հաստատվում է նկարազարդումներով։ Բայց այն ամենը, ինչ ապացուցված չէ, գեղարվեստական ​​է, մի բան, որն իրականում գոյություն չունի։

Երկրի մակերեսը հորիզոնական վերցնելով՝ հին հույներն ինքնաբերաբար ընդունում էին Երկրի ձևը որպես հարթ, բայց այն տարբեր է՝ գնդաձև։ Բնության մեջ ընդհանրապես չկան հորիզոնական հարթություններ կամ ուղիղ գծեր, քանի որ գրավիտացիան թեքում է տարածությունը։ Ուղիղ գծեր և հորիզոնական հարթություններ հանդիպում են միայն մարդու ուղեղում:

Հետևաբար, Էվկլիդեսի երկրաչափությունը, որը բացատրում է գեղարվեստական ​​աշխարհի տարածական ձևերը, սիմուլակրում է՝ բնօրինակ չունեցող պատճեն։

Էվկլիդեսի աքսիոմներից մեկն ասում է, որ եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180 0 է։ Փաստորեն, իրական կոր տարածության մեջ կամ Երկրի գնդաձև մակերեսի վրա եռանկյան ներքին անկյունների գումարը միշտ մեծ է 180 0-ից։

Եկեք այսպես մտածենք. Երկրագնդի վրա գտնվող ցանկացած միջօրեական հատվում է հասարակածի հետ 90 0 անկյան տակ: Եռանկյուն ստանալու համար անհրաժեշտ է մեկ այլ միջօրեական հեռանալ միջօրեականից: Միջօրեականների և հասարակածի կողմի միջև ընկած եռանկյան անկյունների գումարը կկազմի 180 0: Բայց բևեռում դեռ անկյուն կլինի: Արդյունքում բոլոր անկյունների գումարը կլինի ավելի քան 180 0:

Եթե ​​կողմերը հատվում են բևեռում 90 0 անկյան տակ, ապա այդպիսի եռանկյան ներքին անկյունների գումարը կլինի 270 0։ Այս եռանկյան մեջ հասարակածն ուղիղ անկյան տակ հատող երկու միջօրեականները կլինեն միմյանց զուգահեռ, իսկ 90 0 անկյան տակ իրար հատող բևեռում կդառնան ուղղահայաց: Ստացվում է, որ նույն հարթության վրա երկու զուգահեռ ուղիղները ոչ միայն հատվում են, այլև կարող են լինել բևեռում ուղղահայաց:

Իհարկե, նման եռանկյունու կողմերը կլինեն ոչ թե ուղիղ գծեր, այլ ուռուցիկ՝ կրկնելով գնդաձևը։ գլոբուս. Բայց սա հենց տիեզերքի իրական աշխարհն է:

Իրական տարածության երկրաչափությունը՝ հաշվի առնելով նրա կորությունը 19-րդ դարի կեսերին։ մշակել է գերմանացի մաթեմատիկոս Բ.Ռիմանը (1820-1866): Բայց այս մասին դպրոցականներին չեն ասում։

Այսպիսով, Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը, որն ընդունում է Երկրի ձևը որպես հարթ հորիզոնական մակերևույթով, որն իրականում այդպես չէ, սիմուլակրում է: Nootic-ը Ռիմանյան երկրաչափություն է, որը հաշվի է առնում տարածության կորությունը։ Նրանում գտնվող եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180 0-ից մեծ է։

Ապացույց

Թող ABC» - կամայական եռանկյունի. Եկեք անցնենք վերևում Բ ուղիղ գծին զուգահեռ A.C. (նման ուղիղ գիծը կոչվում է Էվկլիդեսյան ուղիղ): Եկեք նշենք դրա վրա մի կետԴ այնպես որ միավորներըԱ ԵվԴ պառկել ուղիղ գծի հակառակ կողմերում Ք.ա..Անկյուններ DBCԵվ ACBհավասար է սեկանտով ձևավորված ներքին խաչաձև պառկածին Ք.ա.զուգահեռ գծերով A.C.Եվ ԲԴ. Հետևաբար, եռանկյան անկյունների գումարը գագաթներում ԲԵվ ՀԵՏհավասար անկյան ABD.Եռանկյան բոլոր երեք անկյունների գումարը հավասար է անկյունների գումարին ABDԵվ BAC. Քանի որ այս անկյունները ներքին միակողմանի են զուգահեռի համար A.C.Եվ ԲԴհատվածում ԱԲ, ապա դրանց գումարը 180° է։ Թեորեմն ապացուցված է.

Հետեւանքները

Թեորեմից հետևում է, որ ցանկացած եռանկյուն ունի երկու սուր անկյուն։ Իսկապես, օգտագործելով հակասության ապացույցը, եկեք ենթադրենք, որ եռանկյունն ունի միայն մեկ սուր անկյուն կամ ընդհանրապես չունի սուր անկյուն: Ապա այս եռանկյունն ունի առնվազն երկու անկյուն, որոնցից յուրաքանչյուրը առնվազն 90° է։ Այս անկյունների գումարը 180°-ից ոչ պակաս է։ Բայց դա անհնար է, քանի որ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է։ Ք.Ե.Դ.

Ընդհանրացում սիմպլեքս տեսության մեջ

Որտե՞ղ է սիմպլեքսի i և j երեսների միջև ընկած անկյունը:

Նշումներ

• Գնդի վրա եռանկյան անկյունների գումարը միշտ գերազանցում է 180°-ը, տարբերությունը կոչվում է գնդաձև ավելցուկ և համաչափ է եռանկյան մակերեսին։
• Լոբաչևսկու հարթությունում եռանկյան անկյունների գումարը միշտ փոքր է 180°-ից։ Տարբերությունը համաչափ է նաև եռանկյունու մակերեսին։

տես նաեւ

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ է «Եռանկյունի անկյունների գումարի թեորեմը» այլ բառարաններում.

Բազմանկյունների հատկությունը Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ. Եռանկյան n անկյունների գումարը 180°(n 2 է): Բովանդակություն 1 Ապացույց 2 Նշում ... Վիքիպեդիա

Պյութագորասի թեորեմը էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկն է, որը հաստատում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև կապը։ Բովանդակություն 1 ... Վիքիպեդիա

Պյութագորասի թեորեմը էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկն է, որը հաստատում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև կապը։ Բովանդակություն 1 հայտարարություն 2 Ապացույց ... Վիքիպեդիա

Կոսինուսների թեորեմը Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացումն է։ Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է նրա երկու մյուս կողմերի քառակուսիների գումարին, առանց այս կողմերի արտադրյալի երկու անգամ նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսի կողմից: Համար հարթ եռանկյունու հետ կողմերը a,b,cեւ անկյուն α... ... Վիքիպեդիա

Այս տերմինն այլ իմաստներ ունի, տես Եռանկյուն (իմաստներ): Եռանկյունը (էվկլիդյան տարածության մեջ) է երկրաչափական պատկեր, որը ձևավորվում է երեք հատվածներով, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա։ Երեք կետ,... ...Վիքիպեդիա

Ստանդարտ նշում Եռանկյունը ամենապարզ բազմանկյունն է, որն ունի 3 գագաթ (անկյուն) և 3 կողմ. հարթության մի մասը, որը սահմանափակված է երեք կետերով, որոնք միևնույն գծի վրա չեն գտնվում և այս կետերը զույգերով միացնող երեք հատվածներով: Եռանկյան գագաթներ ... Վիքիպեդիա

Հին հույն մաթեմատիկոս. Աշխատել է Ալեքսանդրիայում III դ. մ.թ.ա ե. Հիմնական աշխատությունը «Principia» (15 գիրք), որը պարունակում է հին մաթեմատիկայի, տարրական երկրաչափության, թվերի տեսության հիմունքները, ընդհանուր տեսությունՏարածքների և ծավալների որոշման հարաբերություններ և մեթոդներ,... ... Հանրագիտարանային բառարան

- (մահ. մ.թ.ա. 275-ից 270 թվականներին) հին հույն մաթեմատիկոս։ Նրա ծննդյան ժամանակի և վայրի մասին տեղեկություններ մեզ չեն հասել, սակայն հայտնի է, որ Էվկլիդեսն ապրել է Ալեքսանդրիայում և նրա գործունեության ծաղկման շրջանը տեղի է ունեցել Եգիպտոսում Պտղոմեոս I-ի օրոք... ... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Երկրաչափությունը նման է Էվկլիդեսյան երկրաչափությանը նրանով, որ այն սահմանում է պատկերների շարժումը, բայց էվկլիդեսյան երկրաչափությունից տարբերվում է նրանով, որ նրա հինգ պոստուլատներից մեկը (երկրորդը կամ հինգերորդը) փոխարինվում է իր ժխտմամբ։ Էվկլիդեսյան պոստուլատներից մեկի ժխտում... ... Collier's Encyclopedia

Եռանկյուն . Սուր, բութ և ուղղանկյուն եռանկյուն:

Ոտքեր և հիպոթենուզա. Հավասարասրուն և հավասարակողմ եռանկյուն:

Եռանկյան անկյունների գումարը:

Եռանկյան արտաքին անկյուն. Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Ուշագրավ գծեր և կետեր եռանկյունու մեջ՝ բարձրություններ, միջիններ,

բիսեկտորներ, միջնե ուղղահայաց, ուղղանկյուն,

ծանրության կենտրոն, շրջագծված շրջանագծի կենտրոն, ներգծված շրջանագծի կենտրոն։

Պյութագորասի թեորեմ. Տեսողության հարաբերակցությունը կամայական եռանկյունու մեջ:

Եռանկյուն երեք կողմերով (կամ երեք անկյուններով) բազմանկյուն է։ Եռանկյան կողմերը հաճախ նշվում են փոքր տառերով, որոնք համապատասխանում են հակառակ գագաթները ներկայացնող մեծատառերին:

Եթե ​​երեք անկյուններն էլ սուր են (նկ. 20), ապա սա սուր եռանկյուն . Եթե ​​անկյուններից մեկը ճիշտ է(C, Նկար 21), այն է ուղղանկյուն եռանկյուն; կողմերըա, բուղղանկյուն կազմող կոչվում են ոտքերը; կողմըգհակառակ աջ անկյունը կոչվում է հիպոթենուզա. Եթե ​​մեկըբութ անկյուններ (B, Նկար 22), այն է բութ եռանկյուն.


Եռանկյուն ABC (Նկար 23) - հավասարաչափ, Եթե երկունրա կողմերը հավասար են (ա= գ); այս հավասար կողմերը կոչվում են կողային, երրորդ կողմը կոչվում է հիմքեռանկյուն. Եռանկյուն ABC (Նկար 24) – հավասարակողմ, Եթե Բոլորընրա կողմերը հավասար են (ա = բ = գ) Ընդհանուր առմամբ ( ա ≠ բ ≠ գ) մենք ունենք scaleneեռանկյուն .

Եռանկյունների հիմնական հատկությունները. Ցանկացած եռանկյունում.

1. Ավելի մեծ կողմի դիմաց ավելի մեծ անկյունն է, և հակառակը:

2. Հավասար անկյունները գտնվում են հավասար կողմերի հակառակ և հակառակը:

Մասնավորապես, բոլոր անկյունները հավասարակողմեռանկյունները հավասար են.

3. Եռանկյան անկյունների գումարը 180 է º .

Վերջին երկու հատկություններից հետևում է, որ հավասարակողմանի յուրաքանչյուր անկյուն

եռանկյունը 60 է º.

4. Շարունակելով եռանկյան կողմերից մեկը (AC, նկ. 25). մենք ստանում ենք արտաքին

անկյուն BCD . Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է ներքին անկյունների գումարին,

ոչ կից դրան BCD = A + B:

5. Ցանկացած եռանկյան կողմը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից և ավելի մեծ

նրանց տարբերությունները (ա < բ + գ, ա > բ – գ;բ < ա + գ, բ > ա – գ;գ < ա + բ,գ > ա – բ).

Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Եռանկյունները համահունչ են, եթե համապատասխանաբար հավասար են.

ա ) երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը.

բ ) երկու անկյուն և դրանց կից կողմը.

գ) երեք կողմ.

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Երկու ուղղանկյունեռանկյունները հավասար են, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.

1) նրանց ոտքերը հավասար են.

2) մի եռանկյան ոտքը և հիպոթենուզը հավասար են մյուսի ոտքին և հիպոթենուսին.

3) մի եռանկյան հիպոթենուսը և սուր անկյունը հավասար են մյուսի հիպոթենուսին և սուր անկյունին.

4) մի եռանկյան ոտքը և հարակից սուր անկյունը հավասար են մյուսի ոտքին և հարակից սուր անկյունին.

5) մեկ եռանկյան ոտքը և հակառակ սուր անկյունը հավասար են ոտքին և մյուսի հակառակ սուր անկյունը.

Հրաշալի գծեր և կետեր եռանկյունու մեջ:

Բարձրություն եռանկյունն էուղղահայաց,իջեցված ցանկացած գագաթից հակառակ կողմ ( կամ դրա շարունակությունը). Այս կողմը կոչվում էեռանկյունու հիմքը . Եռանկյան երեք բարձրությունները միշտ հատվում ենմի կողմից, կանչեց orthocenterեռանկյուն. Սուր եռանկյան ուղղանկյուն (կետՕ , նկ. 26) գտնվում է եռանկյունու ներսում, ևբութ եռանկյան ուղղանկյուն (կետՕ , նկ.27) – դրսում; Ուղղանկյուն եռանկյան ուղղանկյունը համընկնում է ուղիղ անկյան գագաթին։

Միջին - Սա գծի հատված , միացնելով եռանկյան ցանկացած գագաթ հակառակ կողմի կեսին։ Եռանկյան երեք միջն (AD, BE, CF, նկ.28) հատվում են մի կետում Օ , միշտ պառկած եռանկյունու ներսումև լինելով իրենը ծանրության կենտրոն։ Այս կետը յուրաքանչյուր միջինը բաժանում է 2:1 հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով գագաթից:

Բիսեկտոր - Սա բիսեկտոր հատվածանկյունը գագաթից կետ խաչմերուկներ հակառակ կողմի հետ. Եռանկյունի երեք կիսատ (AD, BE, CF, նկ.29) հատվում են մի կետում Օ, միշտ պառկած եռանկյունու ներսումԵվ լինելը ներգծված շրջանագծի կենտրոնը(տես «Նկարագրվածև սահմանափակված բազմանկյուններ»):

Բիսեկտորը հակառակ կողմը բաժանում է հարակից կողմերին համաչափ մասերի ; օրինակ, Նկար 29-ում AE: CE = AB: մ.թ.ա.

Միջին ուղղահայաց մեջտեղից գծված ուղղահայաց էհատվածի կետերը (կողմերը): ABC եռանկյան երեք ուղղահայաց կիսորդ(KO, MO, NO, Նկար 30 ) հատվում են O մի կետում, որը կենտրոն շրջագծված շրջան (կետ K, M, N - եռանկյան կողմերի միջնակետերը ABC):

Սուր եռանկյունու դեպքում այս կետը գտնվում է եռանկյան ներսում. բութ - դրսում; ուղղանկյունի մեջ - հիպոթենուսի կեսին: Ուղղանկյուն, ծանրության կենտրոն, շրջկենտրոն և ներգծված շրջան համընկնում են միայն հավասարակողմ եռանկյան մեջ:

Պյութագորասի թեորեմ. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ՝ երկարության քառակուսինՀիպոթենուսը հավասար է ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարին։

Պյութագորասի թեորեմի ապացույցը հստակորեն հետևում է Նկար 31-ից: Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն ABC ոտքերով ա, բև հիպոթենուզա գ.

Եկեք հրապարակ կառուցենքԱԿՄԲ օգտագործելով հիպոթենուզըԱԲ որպես կողմ. Հետոշարունակեք ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը ABC այնպես, որ քառակուսի ստանանք CDEF , որի կողմը հավասար էա + բ .Այժմ պարզ է, որ հրապարակի տարածքը CDEF-ը հավասար է ( ա+բ) 2 . Մյուս կողմից՝ սա մակերեսը հավասար է գումարինտարածքներ չորս ուղղանկյուն եռանկյունիսկ քառակուսի AKMB, այսինքն

գ 2 + 4 (աբ / 2) = գ 2 + 2 աբ,

այստեղից,

գ 2 + 2 աբ= (ա+բ) 2 ,

և վերջապես ունենք.

գ 2 =ա 2 + բ 2 .

Տեսողության հարաբերակցությունը կամայական եռանկյունու մեջ:

Ընդհանուր դեպքում (կամայական եռանկյունու համար) ունենք.

գ 2 =ա 2 + բ 2 – 2աբ· cos Գ,

որտեղ Ք - կողմերի միջև անկյունըաԵվ բ .