Թվերի շարք՝ սահմանումներ, հատկություններ, կոնվերգենցիայի նշաններ, օրինակներ, լուծումներ։ Թվերի շարք. սահմանումներ, հատկություններ, կոնվերգենցիայի նշաններ, օրինակներ, լուծումներ Դ'Ալեմբեր նշանի շարքը

Ժան Լերոն դ'Ալեմբերը 18-րդ դարի ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս էր։ Ընդհանրապես դ'Ալեմբերը մասնագիտացել է դիֆերենցիալ հավասարումներև իր հետազոտությունների հիման վրա աշխատել է բալիստիկայում, որպեսզի Նորին Մեծության թնդանոթները ավելի լավ թռչեն։ Միևնույն ժամանակ, ես չմոռացա թվերի շարքի մասին, իզուր չէր, որ Նապոլեոնի զորքերի շարքերը հետագայում այնքան հստակորեն զուգակցվեցին և բաժանվեցին:

Նախքան նշանն ինքնին ձևակերպելը, եկեք քննարկենք մի կարևոր հարց.
Ե՞րբ պետք է օգտագործվի D'Alembert-ի կոնվերգենցիայի թեստը:

Նախ սկսենք վերանայումից: Եկեք հիշենք այն դեպքերը, երբ դուք պետք է օգտագործեք ամենատարածվածը համեմատության սահմանը. Համեմատության սահմանափակող չափանիշը կիրառվում է, երբ շարքի ընդհանուր տերմինում.
1) հայտարարը պարունակում է բազմանդամ.
2) Բազմանդամները լինում են և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում:
3) Արմատի տակ կարող են լինել մեկ կամ երկու բազմանդամները:

Դ'Ալեմբերի թեստի կիրառման հիմնական նախադրյալները հետևյալն են.

1) Շարքի ընդհանուր տերմինը (շարքի «լցոնում») ներառում է որոշակի թվեր, օրինակ՝ , և այլն։ Ավելին, ամենևին էլ կարևոր չէ, թե որտեղ է գտնվում այս բանը, համարիչի կամ հայտարարի մեջ, կարևորն այն է, որ այն առկա է այնտեղ:

2) Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է ֆակտորիան. Ի՞նչ է ֆակտորիալը: Ոչ մի բարդ բան չկա, ֆակտորիալը միայն արտադրանքի խտացված ներկայացումն է.

…

…

! Դ'Ալեմբերի թեստն օգտագործելիս մենք ստիպված կլինենք մանրամասն նկարագրել ֆակտորիանը: Ինչպես նախորդ պարբերությունում, ֆակտորիան կարող է տեղակայվել կոտորակի վերևում կամ ներքևում:

3) Եթե շարքի ընդհանուր տերմինում կա «գործոնների շղթա», օրինակ, . Այս դեպքը հազվադեպ է, բայց! Նման շարքը ուսումնասիրելիս հաճախ սխալ է թույլ տրվում - տես օրինակ 6:

Հզորությունների և/կամ գործակիցների հետ մեկտեղ, բազմանդամները հաճախ հանդիպում են շարքի լրացման մեջ, ինչը չի փոխում իրավիճակը. անհրաժեշտ է օգտագործել Դ'Ալեմբերի նշանը:

Բացի այդ, շարքի ընդհանուր տերմինում կարող են միաժամանակ առաջանալ և՛ աստիճանը, և՛ ֆակտորիանը. կարող է լինել երկու ֆակտորիլ, երկու աստիճան, կարևոր է, որ լինի գոնե մի բանդիտարկված կետերից, և դա հենց Դ'Ալեմբերի նշանն օգտագործելու նախապայմանն է:

Դ'Ալեմբերի նշանը: Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Եթե կա սահմանափակում հաջորդ ժամկետի և նախորդի հարաբերակցության վրա՝ , ապա.
ա) Երբ շարք համընկնում է
բ) Երբ շարք տարբերվում է
գ) Երբ նշանը պատասխան չի տալիս. Դուք պետք է օգտագործեք մեկ այլ նշան. Ամենից հաճախ մեկը ստացվում է այն դեպքում, երբ փորձում են կիրառել դ'Ալեմբերի թեստը, որտեղ անհրաժեշտ է կիրառել սահմանափակող համեմատության թեստը։

Ով դեռ խնդիրներ ունի սահմանների կամ սահմանների թյուրիմացության հետ, դիմեք թեմային Սահմանափակումներ. Լուծումների օրինակներ. Առանց սահմանի ըմբռնման և անորոշությունը բացահայտելու կարողության, ցավոք, չի կարելի առաջ գնալ: Իսկ հիմա երկար սպասված օրինակները.

Օրինակ 1
Մենք տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինում մենք ունենք , և դա հաստատ նախապայման է դ'Ալեմբերի թեստն օգտագործելու համար: Նախ, ամբողջական լուծումը և նմուշի ձևավորումը, մեկնաբանությունները ստորև:

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

համընկնում է.

(1) Մենք կազմում ենք շարքի հաջորդ անդամի հարաբերակցությունը նախորդին. Պայմանից տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինը . Սերիալի հաջորդ անդամին ձեռք բերելու համար անհրաժեշտ է փոխարինելու փոխարեն. .
(2) Մենք ազատվում ենք քառահարկ կոտորակից: Եթե լուծման հետ կապված որոշակի փորձ ունեք, կարող եք բաց թողնել այս քայլը:
(3) Բացեք համարիչի փակագծերը: Հայտարարում չորսը հանում ենք իշխանությունից։
(4) Կրճատել . Մենք վերցնում ենք սահմանային նշանից այն կողմ հաստատունը: Համարիչում փակագծերում ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ։
(5) Անորոշությունը վերացվում է ստանդարտ եղանակով` համարիչը և հայտարարը «en»-ի բաժանելով ամենաբարձր հզորության:
(6) Մենք համարիչները տերմին առ անդամ բաժանում ենք հայտարարների վրա և նշում այն անդամները, որոնք հակված են զրոյի:
(7) Մենք պարզեցնում ենք պատասխանը և նշում, որ այն եզրակացությամբ, որ Դ'Ալեմբերտի չափանիշի համաձայն, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է:

Դիտարկված օրինակում շարքի ընդհանուր տերմինում հանդիպեցինք 2-րդ աստիճանի բազմանդամի։ Ի՞նչ անել, եթե կա 3-րդ, 4-րդ կամ ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամ: Փաստն այն է, որ եթե տրվի ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամ, ապա փակագծերը բացելու հետ կապված դժվարություններ կառաջանան։ Այս դեպքում դուք կարող եք օգտագործել «տուրբո» լուծման մեթոդը:

Օրինակ 2 Վերցնենք նմանատիպ շարք և ուսումնասիրենք այն կոնվերգենցիայի համար
Նախ ամբողջական լուծումը, հետո մեկնաբանություններ.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

(1) Մենք ստեղծում ենք կապը:
(2) Մենք ազատվում ենք քառահարկ կոտորակից:
(3) Դիտարկենք համարիչի արտահայտությունը և հայտարարի արտահայտությունը: Մենք տեսնում ենք, որ համարիչում պետք է բացել փակագծերը և դրանք հասցնել չորրորդ աստիճանի՝ , ինչը մենք բացարձակապես չենք ուզում անել։ Բացի այդ, նրանց համար, ովքեր ծանոթ չեն Նյուտոնի երկանդամին, այս առաջադրանքը կարող է ընդհանրապես իրագործելի չլինել: Վերլուծենք ավելի բարձր աստիճանները՝ եթե բացենք փակագծերը վերևում, կստանանք ամենաբարձր աստիճանը։ Ստորև մենք ունենք նույն ավագ աստիճանը. Նախորդ օրինակի համեմատությամբ ակնհայտ է, որ համարիչն ու հայտարարը անդամի բաժանելիս վերջում հայտնվում ենք մեկով: Կամ, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները, բազմանդամները և - աճի նույն կարգը. Այսպիսով, միանգամայն հնարավոր է շրջել հարաբերակցությունը պարզ մատիտով և անմիջապես ցույց տալ, որ այս բանը հակված է մեկին: Նույն կերպ վարվում ենք բազմանդամների երկրորդ զույգի հետ՝ և , նրանք նույնպես աճի նույն կարգը, և դրանց հարաբերակցությունը միտված է միասնությանը։

Իրականում, նման «հեյքը» կարող էր իրականացվել օրինակ թիվ 1-ում, սակայն 2-րդ աստիճանի բազմանդամի համար նման լուծումը դեռևս ինչ-որ տեղ անարժանապատիվ է թվում: Անձամբ ես այսպես եմ անում. եթե կա առաջին կամ երկրորդ աստիճանի բազմանդամ (կամ բազմանդամներ), ես օգտագործում եմ «երկար» ճանապարհը լուծելու Օրինակ 1-ը: Եթե հանդիպեմ 3-րդ և ավելի բազմանդամին: բարձր աստիճաններ, ես օգտագործում եմ «turbo» մեթոդը, որը նման է Օրինակ 2-ին:

Օրինակ 3 .

Դիտարկենք ֆակտորիալների բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 4 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է և՛ աստիճանը, և՛ ֆակտորիանը։ Օրվա պես պարզ է, որ այստեղ պետք է օգտագործել դ'Ալեմբերի նշանը։ Եկեք որոշենք.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.

(1) Մենք ստեղծում ենք կապը: Կրկին կրկնում ենք. Ըստ պայմանի, շարքի ընդհանուր անդամն է. Շարքի հաջորդ տերմինը ստանալու համար, փոխարենը պետք է փոխարինել, Այսպիսով.
(2) Մենք ազատվում ենք քառահարկ կոտորակից:
(3) Կտրեք յոթը աստիճանից: Մենք մանրամասն նկարագրում ենք ֆակտորիալները. Ինչպես դա անել - տես դասի սկիզբը:
(4) Մենք կտրում ենք այն ամենը, ինչ հնարավոր է կտրել:
(5) Մենք հաստատունը տեղափոխում ենք սահմանային նշանից այն կողմ: Բացեք համարիչի փակագծերը:
(6) Մենք վերացնում ենք անորոշությունը ստանդարտ ձևով՝ համարիչն ու հայտարարը բաժանելով «en»-ի ամենաբարձր հզորությանը:

Օրինակ 5Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար: Ամբողջական լուծումը ստորև է:

Օրինակ 6Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Երբեմն լինում են շարքեր, որոնք իրենց լրացման մեջ պարունակում են գործոնների «շղթա», մենք դեռ չենք դիտարկել այս տեսակի շարքերը։ Ինչպե՞ս ուսումնասիրել գործոնների «շղթայով» շարքը: Օգտագործեք d'Alembert նշանը: Բայց նախ, հասկանալու համար, թե ինչ է տեղի ունենում, եկեք մանրամասն նկարագրենք շարքը.

Ընդլայնումից տեսնում ենք, որ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամի հայտարարին ավելացվում է լրացուցիչ գործոն, հետևաբար, եթե շարքի ընդհանուր անդամը , ապա շարքի հաջորդ անդամը հետևյալն է.
. Այստեղ է, որ նրանք հաճախ ինքնաբերաբար սխալվում են՝ պաշտոնապես գրելով այն ալգորիթմի համաձայն, որ

Մոտավոր նմուշի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ. Եկեք օգտագործենք D'Alembert նշանը.
Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.
RADICAL CAUCHY ՆՇԱՆ

Ավգուստին Լուի Կոշին էլ ավելի հայտնի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս է: Ցանկացած ուսանող կարող է ձեզ պատմել Քոշիի կենսագրությունը: տեխնիկական մասնագիտություն. Ամենագեղատեսիլ գույներով։ Պատահական չէ, որ այս անունը փորագրված է Էյֆելյան աշտարակի առաջին հարկում։

Կոշիի կոնվերգենցիայի թեստը դրական թվերի շարքի համար ինչ-որ չափով նման է Դ'Ալեմբերի թեստին, որը վերջերս քննարկվեց:

Ռադիկալ Քոշիի նշան.Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Եթե կա սահմանափակում՝ , ապա՝
ա) Երբ շարք համընկնում է. Մասնավորապես, շարքը համընկնում է .
բ) Երբ շարք տարբերվում է. Մասնավորապես, շարքը տարբերվում է .
գ) Երբ նշանը պատասխան չի տալիս. Դուք պետք է օգտագործեք մեկ այլ նշան. Հետաքրքիր է նշել, որ եթե Կոշիի թեստը մեզ պատասխան չի տալիս շարքի մերձեցման հարցին, ապա Դ'Ալեմբերի թեստը նույնպես մեզ պատասխան չի տա։ Բայց եթե դ'Ալեմբերի թեստը պատասխան չտա, ապա Կոշիի թեստը կարող է «աշխատել»: Այսինքն՝ Կոշի նշանն այս առումով ավելի ուժեղ նշան է։

Ե՞րբ պետք է օգտագործել արմատական Կոշի նշանը:Ռադիկալ Կոշի թեստը սովորաբար օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ շարքի ընդհանուր տերմինը ԼԻՈՎաստիճանի մեջ է կախված «en»-ից. Կամ երբ «լավ» արմատը հանվում է շարքի ընդհանուր անդամից: Կան նաև էկզոտիկ դեպքեր, բայց մենք չենք անհանգստանա դրանց մասին։

Օրինակ 7Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Մենք տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինը ամբողջությամբ կախված է հզորությունից, ինչը նշանակում է, որ մենք պետք է օգտագործենք արմատական Կոշի թեստը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.

(1) Մենք արմատի տակ ձևակերպում ենք շարքի ընդհանուր տերմինը:
(2) Մենք նույն բանը վերագրում ենք միայն առանց արմատի, օգտագործելով աստիճանների հատկությունը։
(3) Ցուցանիշում մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի անդամի վրա՝ նշելով, որ
(4) Արդյունքում մենք ունենք անորոշություն: Սա այն վայրն է, որտեղ դուք կարող եք գնալ երկար ճանապարհըխորանարդ, խորանարդ, ապա համարիչն ու հայտարարը բաժանիր «en»-ով մինչև ամենաբարձր աստիճանը: Բայց ներս այս դեպքումԿա ավելի արդյունավետ լուծում՝ կարելի է համարիչի և հայտարարի անդամը բաժանել անդամի ուղղակիորեն հաստատուն հզորության տակ։ Անորոշությունը վերացնելու համար համարիչը և հայտարարը բաժանեք (ամենաբարձր հզորության):
(5) Մենք իրականում կատարում ենք տերմին առ անդամ բաժանում և նշում այն տերմինները, որոնք հակված են զրոյի:
(6) Մենք մտքում ենք բերում պատասխանը, նշում այն, ինչ ունենք և եզրակացնում, որ շարքը տարբերվում է:

Ահա ավելի պարզ օրինակ անկախ որոշում:

Օրինակ 8 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Եվ ևս մի երկու բնորոշ օրինակ.

Ամբողջական լուծումը և նմուշի ձևավորումը՝ ստորև:

Օրինակ 9 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար
Մենք օգտագործում ենք արմատական Cauchy թեստը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

(1) Արմատի տակ դրեք շարքի ընդհանուր տերմինը:
(2) Մենք վերագրում ենք նույն բանը, բայց առանց արմատի, փակագծերը բացելիս օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը.
(3) Ցուցանիշում մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի անդամով և նշում, որ .
(4) Ձևի անորոշություն: Այստեղ դուք կարող եք ուղղակիորեն բաժանել համարիչը փակագծերի հայտարարի վրա «en»-ով մինչև ամենաբարձր աստիճանը: Նման բանի հանդիպեցինք սովորելիս երկրորդ հրաշալի սահմանը. Բայց այստեղ իրավիճակն այլ է. Եթե ավելի բարձր հզորությունների գործակիցները լինեին նույնական, օրինակ՝ , ապա տերմին առ ժամկետ բաժանման հնարքն այլևս չէր աշխատի, և անհրաժեշտ կլիներ օգտագործել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Բայց մենք ունենք այս գործակիցները տարբեր(5 և 6), հետևաբար հնարավոր է (և անհրաժեշտ է) տերմինը բաժանել տերմինի (ի դեպ, ընդհակառակը, երկրորդ ուշագրավ սահմանը). տարբերավելի բարձր հզորությունների գործակիցներն այլևս չեն աշխատում):
(5) Մենք իրականում կատարում ենք տերմին առ անդամ բաժանում և նշում, թե որ տերմիններն են հակված զրոյի:
(6) Անորոշությունը վերացվել է, մնում է ամենապարզ սահմանը անսահման մեծհակված է զրոյի? Որովհետև աստիճանի հիմքը բավարարում է անհավասարությունը։ Եթե որևէ մեկը կասկածում է սահմանաչափի արդարության վերաբերյալ, ապա ես ծույլ չեմ լինի, ես կվերցնեմ հաշվիչ.
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Եթե, ապա
… և այլն: մինչև անսահմանություն, այսինքն՝ սահմանի մեջ.
(7) Մենք նշում ենք, որ մենք եզրակացնում ենք, որ շարքը համընկնում է:

Օրինակ 10 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։

Երբեմն լուծման համար առաջարկվում է սադրիչ օրինակ, օրինակ. Այստեղ ցուցիչով ոչ «en», միայն հաստատուն։ Այստեղ դուք պետք է քառակուսի դարձնեք համարիչը և հայտարարը (դուք ստանում եք բազմանդամներ), այնուհետև հետևեք հոդվածի ալգորիթմին Շարքեր՝ խաբեբաների համար. Նման օրինակում պետք է աշխատի կա՛մ շարքի կոնվերգենցիայի համար անհրաժեշտ թեստը, կա՛մ համեմատության սահմանափակող թեստը:
ԻՆՏԵԳՐԱԼ ԿԱՈՒՇԻ ՆՇԱՆ

Առաջին դասընթացի նյութը լավ չհասկացողներին կհիասթափեցնեմ։ Կոշիի ինտեգրալ թեստը կիրառելու համար դուք պետք է քիչ թե շատ վստահ լինեք ածանցյալներ, ինտեգրալներ գտնելու հարցում, ինչպես նաև ունենաք հաշվարկման հմտություն. ոչ պատշաճ ինտեգրալառաջին տեսակ. Դասագրքերում վրա մաթեմատիկական վերլուծությունԿոշիի ինտեգրալ թեստը տրված է մաթեմատիկորեն խիստ, եկեք թեստը ձևակերպենք շատ պարզունակ, բայց հասկանալի ձևով: Եվ անմիջապես պարզաբանման օրինակներ։

Ինտեգրալ Քոշիի թեստ.Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Այս շարքը համընկնում է, թե՞ շեղվում:

Օրինակ 11 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Գրեթե դասական: Բնական լոգարիթմ և մի քանի հիմարություն.

Կոշիի ինտեգրալ թեստի օգտագործման հիմնական նախադրյալն էայն փաստն է, որ շարքի ընդհանուր տերմինում կա որոշակի ֆունկցիա և դրա ածանցյալը: Թեմայից ԱծանցյալԴուք հավանաբար հիշում եք սեղանի ամենապարզ բանը.

Ինչպե՞ս օգտագործել ինտեգրալ հատկանիշը: Նախ վերցնում ենք ինտեգրալ պատկերակը և վերագրում վերին և ստորին սահմանները շարքի «հաշվիչից». Այնուհետև ինտեգրալի տակ վերաշարադրում ենք շարքի «լրացումը» «նա» տառով. Ինչ-որ բան պակասում է..., այո, դուք նույնպես պետք է դիֆերենցիալ պատկերակ կպցնեք համարիչի մեջ.

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք ոչ պատշաճ ինտեգրալ. Այս դեպքում հնարավոր է երկու դեպք.

1) Եթե պարզվի, որ ինտեգրալը համընկնում է, ապա մեր շարքը նույնպես կմիանա:

2) Եթե պարզվի, որ ինտեգրալը շեղվում է, ապա մեր շարքը նույնպես կշեղվի։

Կրկնում եմ, եթե նյութը անտեսվում է, ապա պարբերությունը կարդալը դժվար և անհասկանալի կլինի, քանի որ հատկանիշի օգտագործումը հիմնականում հանգում է հաշվարկին. ոչ պատշաճ ինտեգրալառաջին տեսակ.

Ամբողջական լուծման և օրինակի ձևաչափը պետք է նման լինի հետևյալին.

Մենք օգտագործում ենք ինտեգրալ նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում էհամապատասխան ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ միասին։

Օրինակ 12 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում

Դիտարկված օրինակներում լոգարիթմը կարող է լինել նաև արմատի տակ, ինչը չի փոխի լուծման մեթոդը:

Եվ ևս երկու օրինակ սկզբի համար

Օրինակ 13 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Համաձայն ընդհանուր «պարամետրերի», շարքի ընդհանուր տերմինը հարմար է համեմատության համար սահմանափակող չափանիշը օգտագործելու համար: Պարզապես պետք է բացել փակագծերը և անմիջապես ներկայացնել թեկնածուին՝ ամբողջությամբ համեմատելու համար այս շարքըկոնվերգենտ շարքով։ Սակայն մի քիչ խաբում էի, կարող է փակագծերը չբացվեն, բայց այնուամենայնիվ սահմանափակող համեմատության չափանիշով լուծումը բավականին հավակնոտ տեսք կունենա։

Հետևաբար, մենք օգտագործում ենք ինտեգրալ Կոշի թեստը.

Ինտեգրանդ ֆունկցիան միացված է շարունակական

համընկնում էհամապատասխան ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ միասին։

! Նշում:ստացված թիվն էչէ շարքի գումարը!!!

Օրինակ 14 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Լուծումը և նմուշի ձևավորումը գտնվում են ավարտվող հատվածի վերջում:

Թվերի շարքի թեման ամբողջությամբ և անդառնալիորեն տիրապետելու համար այցելեք թեմաներ։

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 3:Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.
Նշում. Կարելի էր օգտագործել նաև «տուրբո» լուծման մեթոդը՝ անմիջապես մատիտով շրջանագծեք հարաբերակցությունը, նշեք, որ այն հակված է միասնության և նշում՝ «աճի նույն կարգի»։

Օրինակ 5. Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը. Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

Օրինակ 8:

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

Օրինակ 10:
Մենք օգտագործում ենք արմատական Քոշի թեստը:

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.
Նշում. Այստեղ հիմքը աստիճանն է, ուստի

Օրինակ 12Մենք օգտագործում ենք ինտեգրալ նշան:

Ստացվում է վերջավոր թիվ, որը նշանակում է ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է

Օրինակ 14Մենք օգտագործում ենք ինտեգրալ նշանը
Ինտեգրանդը շարունակական է:

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում էհամապատասխան ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ միասին։
Նշում. Շարքը կարող է նաև ուսումնասիրվել՝ օգտագործելովհամեմատության սահմանափակող չափանիշ . Դա անելու համար հարկավոր է արմատի տակ բացել փակագծերը և համեմատել ուսումնասիրվող շարքը տարբերվող շարքի հետ։

Փոխարինվող տողեր. Լայբնիցի նշանը. Լուծումների օրինակներ

Այս դասի օրինակները հասկանալու համար պետք է լավ հասկանալ դրական թվերի շարքը. հասկանալ, թե ինչ է շարքը, իմանալ շարքի սերտաճման անհրաժեշտ նշանը, կարողանալ կիրառել համեմատական թեստեր, դ'Ալեմբերի թեստ: , Քոշիի թեստը. Թեման կարելի է գրեթե զրոյից բարձրացնել՝ հետեւողականորեն ուսումնասիրելով հոդվածները Շարքեր՝ խաբեբաների համարԵվ Դ'Ալեմբերի նշանը. Կոշիի նշանները. Տրամաբանական է, որ այս դասը անընդմեջ երրորդն է, և այն թույլ կտա ոչ միայն հասկանալ փոփոխվող շարքերը, այլև համախմբել արդեն իսկ լուսաբանված նյութը: Նորույթ քիչ կլինի, իսկ հերթափոխվող շարքերը յուրացնելը դժվար չի լինի։ Ամեն ինչ պարզ է և մատչելի։

Ի՞նչ է այլընտրանքային շարքը:Սա պարզ է կամ գրեթե պարզ է հենց անունից: Պարզապես պարզ օրինակ: Եկեք նայենք շարքին և նկարագրենք այն ավելի մանրամասն.

Իսկ հիմա մարդասպան մեկնաբանություն կլինի. Փոփոխական շարքի անդամներն ունեն փոփոխական նշաններ՝ գումարած, մինուս, գումարած, մինուս, գումարած, մինուս և այլն։ մինչեւ անվերջություն.
Հավասարեցումը տալիս է բազմապատկիչ. եթե զույգ, ապա կլինի գումարած նշան, եթե կենտ, կլինի մինուս նշան: Մաթեմատիկական ժարգոնում այս բանը կոչվում է «ֆլեշեր»: Այսպիսով, փոփոխական շարքը «նույնականացվում է» մինուս մեկով մինչև «en» աստիճանը:

Գործնական օրինակներում շարքի տերմինների փոփոխությունը կարող է ապահովվել ոչ միայն բազմապատկիչով, այլև նրա եղբայրներով՝ , , , …: Օրինակ:

Որոգայթը «խաբեությունն» է՝ , , և այլն։ - նման բազմապատկիչներ նշանի փոփոխություն չտրամադրել. Միանգամայն պարզ է, որ ցանկացած բնականի համար՝ , , . Խաբեությունների շարքերը սահում են ոչ միայն հատկապես շնորհալի ուսանողներին, դրանք ժամանակ առ ժամանակ առաջանում են «ինքնուրույն» լուծման ժամանակ. ֆունկցիոնալ շարք.

Ինչպե՞ս ուսումնասիրել այլընտրանքային շարքը կոնվերգենցիայի համար:Օգտագործեք Լայբնիցի թեստը: Ես ոչինչ չեմ ուզում ասել գերմանական մտքի հսկա Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցի մասին, քանի որ իր մաթեմատիկական աշխատություններից բացի, նա գրել է մի քանի հատոր փիլիսոփայության մասին: Վտանգավոր է ուղեղի համար.

Լայբնիցի թեստըԵթե փոփոխվող շարքի անդամները միապաղաղնվազում է մոդուլը, այնուհետև շարքը համընկնում է: Կամ երկու կետով.

2) Շարքի պայմանները բացարձակ արժեքով նվազում են. Ավելին, դրանք միապաղաղ նվազում են։

Եթե ավարտված է երկուսն էլպայմանները, ապա շարքը համընկնում է.

Մոդուլի մասին հակիրճ տեղեկատվություն տրված է ձեռնարկումԹեժ բանաձեւեր դպրոցական դասընթացմաթեմատիկոսներ , բայց հարմարության համար ևս մեկ անգամ.

Ի՞նչ է նշանակում «մոդուլ»: Մոդուլը, ինչպես հիշում ենք դպրոցից, «ուտում» է մինուս նշանը։ Վերադառնանք շարքին. Մտավոր ջնջիր բոլոր նշանները ռետինով և եկեք նայենք թվերին. Մենք դա կտեսնենք ամեն հաջորդշարքի անդամ պակասքան նախորդը։ Այսպիսով, հետևյալ արտահայտությունները նույն բանն են նշանակում.

- Սերիալի անդամներ անկախ նշանիցնվազում են։
– Սերիալի անդամները նվազում են մոդուլ.
– Սերիալի անդամները նվազում են բացարձակ արժեքով.
– Մոդուլշարքի ընդհանուր տերմինը ձգտում է զրոյի. Օգնության ավարտը

Հիմա մի փոքր խոսենք միապաղաղության մասին։ Միապաղաղությունը ձանձրալի հետևողականություն է:

Սերիալի անդամներ խիստ միապաղաղմոդուլի նվազում, եթե շարքի ԱՄԵՆ ՀԱՋՈՐԴ անդամը մոդուլՆախորդից քիչ՝ . Շարքն ունի նվազման խիստ միապաղաղություն, այն կարելի է մանրամասն նկարագրել.

Կամ կարելի է հակիրճ ասել՝ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ մոդուլպակաս, քան նախորդը.

Սերիալի անդամներ ոչ խիստ միապաղաղմոդուլի նվազում, եթե շարքի մոդուլի ՅՈՒՐԱՔԱՆՉՅՈՒՐ ՀԵՏԵՎՈՐԴ անդամը նախորդից ՄԵԾ ՉԻ. Դիտարկենք մի շարք ֆակտորալով. Այստեղ առկա է թույլ միապաղաղություն, քանի որ շարքի առաջին երկու անդամները մոդուլով նույնական են: Այսինքն՝ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ մոդուլոչ ավելի, քան նախորդը.

Լայբնիցի թեորեմի պայմաններում պետք է բավարարվի նվազող միապաղաղությունը (կարևոր չէ դա խիստ է, թե ոչ խիստ)։ Այս դեպքում սերիալի անդամները կարող են նույնիսկ որոշ ժամանակով մոդուլի ավելացում, բայց շարքի «պոչը» պետք է անպայման միապաղաղ նվազի։ Պետք չէ վախենալ իմ կուտակածից, գործնական օրինակները ամեն ինչ իրենց տեղը կդնեն.

Օրինակ 1Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է գործոն, ինչը նշանակում է, որ դուք պետք է օգտագործեք Լայբնիցի չափանիշը

1) Շարքի հերթափոխի ստուգում. Սովորաբար որոշման այս կետում մանրամասն նկարագրվում է շարքը և արձակվում «Շարքը հերթափոխով» վճիռը։

2) Արդյո՞ք շարքի պայմանները նվազում են բացարձակ արժեքով: Պետք է լուծել սահմանը, որն ամենից հաճախ շատ պարզ է։

– շարքի պայմանները մոդուլով չեն նվազում: Ի դեպ, նվազման միապաղաղությունը քննարկելու կարիք այլեւս չկա։ Եզրակացություն. շարքը տարբերվում է:

Ինչպե՞ս պարզել, թե ինչն է հավասար: Շատ պարզ. Ինչպես գիտեք, մոդուլը ոչնչացնում է թերությունները, ուստի այն ստեղծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է տանիքից հեռացնել թարթող լույսը: Այս դեպքում շարքի ընդհանուր տերմինը . Մենք հիմարաբար հեռացնում ենք «թարթող լույսը».

Օրինակ 2 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.

1) Շարքը փոփոխական է:

2) – շարքի պայմանները նվազում են բացարձակ արժեքով. Շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով ավելի քիչ է, քան նախորդը. հետևաբար, նվազումը միապաղաղ է:

Եզրակացություն. շարքը համընկնում է:

Ամեն ինչ շատ պարզ կլիներ, բայց սա լուծման վերջը չէ:

Եթե շարքը համընկնում է Լայբնիցի թեստի համաձայն, ապա ասվում է նաև, որ շարքը պայմանականորեն համընկնում է.

Եթե մոդուլներից կազմված շարքը նույնպես համընկնում է, ապա ասում են, որ շարքը բացարձակապես համընկնում է.

Ուստի օրակարգում է տիպիկ խնդրի լուծման երկրորդ փուլը՝ ուսումնասիրելով փոփոխական շարքի նշանը բացարձակ կոնվերգենցիայի համար։

Դա իմ մեղքը չէ, սա պարզապես թվերի շարքի տեսությունն է =)

Եկեք քննենք մեր շարքը բացարձակ կոնվերգենցիայի համար:
Կազմենք մի շարք մոդուլներ. նորից մենք ուղղակի հանում ենք նշանների փոփոխումն ապահովող գործոնը. - շեղվում է (ներդաշնակ շարքեր):

Այսպիսով, մեր շարքը բացարձակ կոնվերգենտ չէ.
Շարք ուսումնասիրվող համընկնում է միայն պայմանականորեն.

Նկատի ունեցեք, որ թիվ 1 օրինակում կարիք չկա ուսումնասիրել ոչ բացարձակ կոնվերգենցիան, քանի որ առաջին քայլում եզրակացություն արվեց, որ շարքը տարբերվում է:

Մենք հավաքում ենք դույլեր, թիակներ, մեքենաներ և թողնում ենք ավազատուփը, որպեսզի իմ էքսկավատորի խցիկից լայն բաց աչքերով նայենք աշխարհին.

Օրինակ 3 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար: Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.

1)
Այս շարքը փոփոխական է:

2) – շարքի պայմանները նվազում են բացարձակ արժեքով. Շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով ավելի քիչ է, քան նախորդը. սա նշանակում է, որ նվազումը միապաղաղ է: Եզրակացություն. Շարքը համընկնում է:

Վերլուծելով շարքի լրացումը, գալիս ենք այն եզրակացության, որ այստեղ համեմատության համար անհրաժեշտ է օգտագործել սահմանափակող չափանիշը։ Ավելի հարմար է փակագծերը բացել հայտարարի մեջ.

Եկեք համեմատենք այս շարքը կոնվերգենտ շարքի հետ: Համեմատության համար օգտագործում ենք սահմանափակող չափանիշը։

Ստացվում է զրոյից տարբեր վերջավոր թիվ, ինչը նշանակում է, որ շարքը համընկնում է շարքի հետ: Շարք ուսումնասիրվող բացարձակապես համընկնում է.

Օրինակ 4 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Օրինակ 5 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Սրանք օրինակներ են, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք: Լրիվ լուծում և նմուշի ձևավորում բաժնի վերջում:

Ինչպես տեսնում եք, փոփոխվող տողերը պարզ և ձանձրալի են: Բայց մի շտապեք փակել էջը, ընդամենը մի քանի էկրանից մենք կանդրադառնանք մի դեպքի, որը շփոթեցնում է շատերին։ Միևնույն ժամանակ, ևս մի երկու օրինակ պրակտիկայի և կրկնության համար:

Օրինակ 6 Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.
1) Շարքը փոփոխական է:
2)
Շարքի պայմանները նվազում են մոդուլով: Շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով ավելի քիչ է, քան նախորդը, ինչը նշանակում է, որ նվազումը միապաղաղ է: Եզրակացություն. շարքը համընկնում է:

Խնդրում եմ նկատի ունենալ, որ ես մանրամասն չեմ նկարագրել սերիալի անդամներին: Միշտ խորհուրդ է տրվում նկարագրել դրանք, բայց «դժվար» դեպքերում անդիմադրելի ծուլության պատճառով կարող եք սահմանափակվել «Շարքը փոխարինվում է նշանով» արտահայտությամբ։ Ի դեպ, այս կետին ֆորմալ վերաբերվելու կարիք չկա. մենք միշտ ստուգում ենք(առնվազն մտավոր), որ սերիան իրականում փոխարինվում է: Արագ հայացքը ձախողվում է, և սխալը կատարվում է ինքնաբերաբար: Հիշեք «խաբեությունների» մասին, , եթե դրանք կան, ապա պետք է ձերբազատվել դրանցից՝ ստանալով «սովորական» շարք՝ դրական տերմիններով։

Երկրորդ նրբությունը վերաբերում է միապաղաղության մասին արտահայտությանը, որը նույնպես հնարավորինս կրճատեցի։ Դուք կարող եք դա անել, և գրեթե միշտ ձեր առաջադրանքը կընդունվի: Ես միանգամայն վատ բան կասեմ, անձամբ ես հաճախ լռում եմ միապաղաղության մասին, և այդպիսի թիվն անցնում է: Բայց պատրաստ եղեք մանրամասն նկարագրել ամեն ինչ, մինչև անհավասարությունների մանրամասն շղթաներ (տե՛ս դասի սկզբի օրինակը): Բացի այդ, երբեմն միապաղաղությունը խիստ չէ, և դա նույնպես պետք է վերահսկվի՝ «պակաս» բառը «ոչ ավելի» բառով փոխարինելու համար։

Մենք ուսումնասիրում ենք շարքը բացարձակ կոնվերգենցիայի համար.

Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք արմատական Cauchy թեստը.

Այսպիսով, շարքը համընկնում է: Շարք ուսումնասիրվող բացարձակապես համընկնում է.

Օրինակ 7Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Սա անկախ լուծման օրինակ է Հաճախ լինում են հերթափոխվող տողեր, որոնք դժվարություններ են առաջացնում։

Օրինակ 8Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.
1) Շարքը փոփոխական է:

Բանն այն է, որ նման սահմանները լուծելու ստանդարտ, ամենօրյա տեխնիկա չկա։ Ո՞ւր է գնում այս սահմանը: Զրո՞, անսահմանությո՞ւն։ Այստեղ կարևորն այն է, թե ԻՆՉՆ է ավելի արագ աճում անսահմանության մեջ- համարիչ կամ հայտարար.

ԾԱՆՈԹՈՒԹՅՈՒՆ. ֆունկցիայի աճի կարգի հայեցակարգը մանրամասն ներկայացված է հոդվածումՍահմանների լուծման մեթոդներ . Մենք ունենք հաջորդականության սահմանները, բայց սա չի փոխում էությունը։

Եթե at-ի համարիչն ավելի արագ է աճում, քան գործոնը, ապա . Եթե անվերջության դեպքում ֆակտորըլն ավելի արագ է աճում, քան համարիչը, ապա, ընդհակառակը, սահմանը «կհանի» մինչև զրոյի. Կամ գուցե այս սահմանը հավասար է ինչ-որ ոչ զրոյական թվի:

Փորձենք գրել շարքի առաջին մի քանի տերմինները.
դուք կարող եք փոխարինել հազարերորդ աստիճանի ինչ-որ բազմանդամ, սա կրկին չի փոխի իրավիճակը. վաղ թե ուշ ֆակտորիանը դեռ «կանցնի» նման սարսափելի բազմանդամից: Գործոնային ավելին բարձր կարգաճըքան ցանկացած ուժային հաջորդականություն:

– Factorial-ն ավելի արագ է աճում, քան ցանկացած քանակի արտադրանքէքսպոնենցիալ և ուժային հաջորդականություններ (մեր դեպքը):

– Ցանկացածէքսպոնենցիալ հաջորդականությունն ավելի արագ է աճում, քան ցանկացած ուժային հաջորդականություն, օրինակ՝ , . Էքսպոնենցիալ հաջորդականություն աճի ավելի բարձր կարգքան ցանկացած ուժային հաջորդականություն: Ֆակտորյալի նման, էքսպոնենցիալ հաջորդականությունը «քաշում է» ցանկացած հզորության հաջորդականության կամ բազմանդամների ցանկացած թվի արտադրյալը.

– Կա՞ ավելի «սառը» բան, քան ֆակտորիան: Կերե՛ք Հզորության էքսպոնենցիալ հաջորդականությունը («en» մինչև «en» ուժը) աճում է ավելի արագ, քան ֆակտորիանը: Գործնականում դա հազվադեպ է, բայց տեղեկատվությունը ավելորդ չի լինի: Օգնության ավարտը

Այսպիսով, ուսումնասիրության երկրորդ կետը (դուք դեռ հիշում եք սա? =)) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
2) քանի որ աճի կարգը ավելի բարձր է, քան .
Շարքի պայմանները նվազում են մոդուլում, սկսած ինչ-որ թվից, այս դեպքում շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով պակաս է նախորդից, հետևաբար նվազումը միապաղաղ է։

Եզրակացություն. շարքը համընկնում է:

Ահա հենց այն տարօրինակ դեպքը, երբ սերիայի պայմանները սկզբում ավելանում են բացարձակ արժեքով, ինչի պատճառով էլ սահմանի մասին սխալ նախնական կարծիք ունեինք։ Բայց, սկսած ինչ-որ «en» թվից, գործակիցը գերազանցում է համարիչը, և շարքի «պոչը» դառնում է միապաղաղ նվազող, ինչը սկզբունքորեն կարևոր է Լայբնիցի թեորեմի պայմանները կատարելու համար։ Թե կոնկրետ ինչի է հավասար այս «en»-ը, բավականին դժվար է պարզել:

Համապատասխան թեորեմի համաձայն՝ շարքի բացարձակ սերտաճումից բխում է շարքի պայմանական կոնվերգենցիան։ Եզրակացություն: Ուսումնական շարք բացարձակապես համընկնում է.

Եվ վերջապես, մի երկու օրինակ, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք: Մեկը նույն օպերայից (վերընթերցեք օգնությունը), բայց ավելի պարզ։ Գուրմանների համար ևս մեկը կոնվերգենցիայի անբաժանելի նշանի համախմբումն է:

Օրինակ 9Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Օրինակ 10Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Թվային դրական և փոփոխական շարքերի բարձրորակ ուսումնասիրությունից հետո, հանգիստ խղճով կարող եք անցնել. ֆունկցիոնալ շարք, որոնք ոչ պակաս միապաղաղ են ու միապաղաղ հետաքրքիր են։

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 4Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.

1) Այս շարքը փոփոխական է:
2)
Շարքի պայմանները մոդուլով չեն նվազում։ Եզրակացություն. Շարքը տարբերվում է:. , այս դեպքում շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով պակաս է նախորդից, հետևաբար նվազումը միապաղաղ է։

Այսպիսով, շարքը շեղվում է համապատասխան ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ միասին: Շարք ուսումնասիրվող համընկնում է միայն պայմանականորեն.

Այս հոդվածը հավաքում և կառուցում է այն տեղեկատվությունը, որն անհրաժեշտ է թվերի շարքի թեմայի վերաբերյալ գրեթե ցանկացած օրինակ լուծելու համար՝ սկսած շարքի գումարը գտնելուց մինչև այն մերձեցման համար ուսումնասիրելը:

Հոդվածի վերանայում.

Սկսենք դրական և փոփոխական շարքերի սահմանումներից և կոնվերգենցիայի հասկացությունից։ Այնուհետև մենք կդիտարկենք ստանդարտ շարքերը, ինչպիսիք են ներդաշնակ շարքը, ընդհանրացված ներդաշնակ շարքը և կհիշեցնենք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը գտնելու բանաձևը: Սրանից հետո կանցնենք կոնվերգենտ շարքերի հատկություններին, կանդրադառնանք շարքի սերտաճման անհրաժեշտ պայմանին և կներկայացնենք շարքի սերտաճման բավարար չափորոշիչներ։ Մենք տեսությունը կթուլացնենք բնորոշ օրինակների լուծումներով՝ մանրամասն բացատրություններով:

Էջի նավարկություն.

Հիմնական սահմանումներ և հասկացություններ.

Եկեք թվային հաջորդականություն ունենանք, որտեղ .

Ահա թվերի հաջորդականության օրինակ. .

Թվերի շարքձևի թվային հաջորդականության տերմինների գումարն է .

Որպես օրինակ թվերի շարքԴուք կարող եք տալ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը՝ q = -0,5: .

Կանչել թվերի շարքի ընդհանուր անդամկամ շարքի k-րդ անդամը։

Նախորդ օրինակի համար թվերի շարքի ընդհանուր տերմինն ունի .

Թվային շարքի մասնակի գումարձևի գումարն է, որտեղ n-ը որոշ է բնական թիվ. կոչվում է նաև թվերի շարքի n-րդ մասնակի գումար:

Օրինակ՝ շարքի չորրորդ մասնակի գումարը Կա .

Մասնակի գումարներ կազմել անսահման հաջորդականություն մասնակի գումարներթվերի շարք.

Մեր շարքի համար n-րդ մասնակի գումարը գտնում ենք՝ օգտագործելով երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը , այսինքն՝ կունենանք մասնակի գումարների հետևյալ հաջորդականությունը. .

Թվերի շարքը կոչվում է կոնվերգենտ, եթե մասնակի գումարների հաջորդականության վերջավոր սահման կա։ Եթե թվային շարքի մասնակի գումարների հաջորդականության սահմանը գոյություն չունի կամ անվերջ է, ապա շարքը կոչվում է. տարբերվող.

Կոնվերգենտ թվերի շարքի գումարըկոչվում է դրա մասնակի գումարների հաջորդականության սահման, այսինքն. .

Մեր օրինակում, հետևաբար, շարքը համընկնում է, և դրա գումարը հավասար է տասնվեց երրորդի. .

Տարբեր շարքի օրինակ է երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը՝ մեկից մեծ հայտարարով. . n-րդ մասնակի գումարը որոշվում է արտահայտությամբ , իսկ մասնակի գումարների սահմանն անվերջ է. .

Տարբեր թվերի շարքի մեկ այլ օրինակ ձևի գումարն է . Այս դեպքում n-րդ մասնակի գումարը կարող է հաշվարկվել որպես . Մասնակի գումարների սահմանն անսահման է .

Ձևի գումարը կանչեց ներդաշնակ թվերի շարք.

Ձևի գումարը , որտեղ s-ը որոշ իրական թիվ է, կոչվում է ընդհանրացված ներդաշնակ թվերի շարքով.

Վերոնշյալ սահմանումները բավարար են հետևյալ շատ հաճախ օգտագործվող հայտարարությունները հիմնավորելու համար, խորհուրդ ենք տալիս հիշել դրանք:

ՀԱՐՄՈՆԻԿ ՍԵՐԻԱԼԸ ԴԻՎԵՐԳԵՆՏ Է.

Եկեք ապացուցենք հարմոնիկ շարքի տարբերությունը:

Ենթադրենք, որ շարքը համընկնում է։ Այնուհետև կա դրա մասնակի գումարների վերջավոր սահման: Այս դեպքում մենք կարող ենք գրել և , ինչը մեզ տանում է դեպի հավասարություն .

Մյուս կողմից,

Հետևյալ անհավասարությունները կասկածից վեր են. Այսպիսով, . Ստացված անհավասարությունը մեզ ցույց է տալիս, որ հավասարությունը հնարավոր չէ հասնել, ինչը հակասում է ներդաշնակ շարքի մերձեցման մասին մեր ենթադրությանը:

Եզրակացություն. ներդաշնակ շարքը տարբերվում է:

Q հայտարարով տեսակի երկրաչափական առաջընթացի հանրագումարը համընկնող թվային շարք է, IF և ՇԱՏ ՇԱՐԻՔ ՀԱՄԱՐ:

Եկեք ապացուցենք դա։

Մենք գիտենք, որ երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը գտնում ենք բանաձևով .

Երբ արդար

որը ցույց է տալիս թվերի շարքի մերձեցումը։

q = 1-ի համար մենք ունենք թվային շարք . Նրա մասնակի գումարները գտնվում են որպես , իսկ մասնակի գումարների սահմանը անսահման է , որը ցույց է տալիս այս դեպքում շարքի տարբերությունը։

Եթե q = -1, ապա թվային շարքը կունենա ձև . Մասնակի գումարները արժեք են ստանում կենտ n-ի և զույգ n-ի համար: Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ մասնակի գումարների սահմանափակում չկա, և շարքը տարբերվում է:

Երբ արդար

որը ցույց է տալիս թվերի շարքի տարբերությունը։

ԸՆԴՀԱՆՐԱՊԵՏՈՒԹՅԱՆ ՀԱՐՄՈՆԻԿ ՇԱՐՔԸ ԿՈՎԵՐԳՈՒՄ Է s > 1-ում և շեղվում է:

Ապացույց.

s = 1-ի համար մենք ստանում ենք ներդաշնակ շարք, և վերևում մենք սահմանում ենք դրա տարբերությունը:

ժամը s անհավասարությունը գործում է բոլոր բնական k-ի համար: Հարմոնիկ շարքի տարբերության պատճառով կարելի է պնդել, որ դրա մասնակի գումարների հաջորդականությունը անսահմանափակ է (քանի որ վերջավոր սահման չկա)։ Այնուհետև թվային շարքի մասնակի գումարների հաջորդականությունը առավել անսահմանափակ է (այս շարքի յուրաքանչյուր անդամ ավելի մեծ է, քան ներդաշնակ շարքի համապատասխան անդամը); հետևաբար, ընդհանրացված ներդաշնակ շարքը տարբերվում է որպես s:

Մնում է ապացուցել շարքի սերտաճումը s > 1-ի համար։

Եկեք գրենք տարբերությունը.

Ակնհայտ է, ուրեմն

Եկեք գրենք ստացված անհավասարությունը n = 2, 4, 8, 16, …

Օգտագործելով այս արդյունքները, դուք կարող եք անել հետևյալը բնօրինակ թվերի շարքով.

Արտահայտություն երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է, որի հայտարարը . Քանի որ մենք դիտարկում ենք գործը s > 1-ի համար, ուրեմն. Ահա թե ինչու
. Այսպիսով, ընդհանրացված ներդաշնակ շարքի մասնակի գումարների հաջորդականությունը s > 1-ի համար մեծանում է և միևնույն ժամանակ սահմանափակվում է վերևից արժեքով, հետևաբար այն ունի սահման, որը ցույց է տալիս շարքի կոնվերգենցիան: Ապացույցն ամբողջական է։

Թվերի շարքը կոչվում է դրական նշանեթե դրա բոլոր պայմանները դրական են, այսինքն. .

Թվերի շարքը կոչվում է ազդանշանային, եթե նրա հարեւան անդամների նշանները տարբեր են։ Փոխարինվող թվերի շարքը կարելի է գրել այսպես կամ , Որտեղ .

Թվերի շարքը կոչվում է փոփոխական նշան, եթե այն պարունակում է անսահման թվով դրական և բացասական անդամներ։

Փոփոխական թվերի շարքը փոփոխական թվային շարքի հատուկ դեպք է։

Շարքեր

համապատասխանաբար դրական են, հերթափոխային և փոփոխական:

Փոխարինվող շարքի համար գոյություն ունի բացարձակ և պայմանական կոնվերգենցիայի հասկացություն:

բացարձակապես կոնվերգենտ, եթե նրա անդամների բացարձակ արժեքների շարքը համընկնում է, այսինքն՝ դրական թվային շարք է զուգակցվում։

Օրինակ՝ թվերի շարքը Եվ բացարձակապես համընկնում են, քանի որ շարքը համընկնում է , որը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է։

Փոխարինվող շարքը կոչվում է պայմանականորեն կոնվերգենտ, եթե շարքը շեղվում է, և շարքը համընկնում է:

Պայմանականորեն կոնվերգենտ թվերի շարքի օրինակ է շարքը . Թվերի շարք , կազմված բնօրինակ շարքի պայմանների բացարձակ արժեքներից, տարբերվում է, քանի որ ներդաշնակ է։ Միևնույն ժամանակ, սկզբնական շարքը կոնվերգենտ է, որը հեշտությամբ հաստատվում է օգտագործելով . Այսպիսով, թվային նշանը փոխարինող շարք է պայմանականորեն կոնվերգենտ.

Կոնվերգենտ թվերի շարքի հատկությունները.

Օրինակ.

Ապացուցե՛ք թվերի շարքի մերձեցումը:

Լուծում.

Եկեք շարքը գրենք այլ ձևով . Թվային շարքը համընկնում է, քանի որ ընդհանրացված ներդաշնակ շարքը կոնվերգենտ է s > 1-ի համար, և կոնվերգենտ թվային շարքի երկրորդ հատկության շնորհիվ թվային գործակից ունեցող շարքը նույնպես կմիանա:

Օրինակ.

Արդյո՞ք թվերի շարքը համընկնում է:

Լուծում.

Եկեք վերափոխենք բնօրինակ շարքը. . Այսպիսով, մենք ստացել ենք երկու թվային շարքերի գումարը և , և նրանցից յուրաքանչյուրը համընկնում է (տես նախորդ օրինակը): Հետևաբար, կոնվերգենտ թվերի շարքի երրորդ հատկության ուժով սկզբնական շարքը նույնպես համընկնում է։

Օրինակ.

Ապացուցե՛ք թվերի շարքի մերձեցումը և հաշվարկիր դրա գումարը:

Լուծում.

Այս թվային շարքը կարող է ներկայացվել որպես երկու շարքերի միջև տարբերություն.

Այս շարքերից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը և հետևաբար կոնվերգենտ է: Կոնվերգենտ շարքի երրորդ հատկությունը մեզ թույլ է տալիս պնդել, որ սկզբնական թվային շարքը համընկնում է: Հաշվենք դրա գումարը։

Շարքի առաջին անդամը մեկն է, իսկ համապատասխան երկրաչափական առաջընթացի հայտարարը հավասար է 0,5-ի, հետևաբար. .

Շարքի առաջին անդամը 3 է, իսկ համապատասխան անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը 1/3 է, ուստի. .

Եկեք օգտագործենք ստացված արդյունքները՝ գտնելու սկզբնական թվերի շարքի գումարը.

Շարքի սերտաճման անհրաժեշտ պայման։

Եթե թվային շարքը համընկնում է, ապա նրա k-րդ անդամի սահմանը հավասար է զրոյի.

Կոնվերգենցիայի համար ցանկացած թվային շարք ուսումնասիրելիս առաջին հերթին պետք է ստուգել անհրաժեշտ կոնվերգենցիայի պայմանի կատարումը։ Այս պայմանը չկատարելը ցույց է տալիս թվերի շարքի դիվերգենցիան, այսինքն՝ եթե , ապա շարքը շեղվում է։

Մյուս կողմից, դուք պետք է հասկանաք, որ այս պայմանը բավարար չէ: Այսինքն՝ հավասարության կատարումը չի ցույց տալիս թվային շարքի սերտաճումը։ Օրինակ, հարմոնիկ շարքի համար կոնվերգենցիայի համար անհրաժեշտ պայմանը բավարարված է, և շարքը շեղվում է։

Օրինակ.

Քննեք թվերի շարքը կոնվերգենցիայի համար:

Լուծում.

Ստուգենք թվային շարքի կոնվերգենցիայի անհրաժեշտ պայմանը.

Սահման Թվերի շարքի n-րդ անդամը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար, շարքը շեղվում է։

Դրական շարքի կոնվերգենցիայի բավարար նշաններ.

Համատեղման համար թվերի շարքերը ուսումնասիրելու համար բավարար հնարավորություններ օգտագործելիս դուք անընդհատ խնդիրներ եք ունենում, ուստի խորհուրդ ենք տալիս որևէ դժվարության դեպքում դիմել այս բաժնին:

Դրական թվային շարքի սերտաճման անհրաժեշտ և բավարար պայման.

Դրական թվային շարքի կոնվերգենցիայի համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ դրա մասնակի գումարների հաջորդականությունը սահմանափակված լինի։

Սկսենք շարքերի համեմատման նշաններից։ Դրանց էությունը կայանում է նրանում, որ համեմատենք ուսումնասիրվող թվային շարքը մի շարքի հետ, որի կոնվերգենցիան կամ դիվերգենցիան հայտնի է:

Համեմատության առաջին, երկրորդ և երրորդ նշանները.

Սերիաների համեմատության առաջին նշանը.

Թող լինեն և լինեն երկու դրական թվային շարքեր, և անհավասարությունը գործում է բոլոր k = 1, 2, 3, ... Այնուհետև շարքի կոնվերգենցիան ենթադրում է կոնվերգենցիա, իսկ շարքի դիվերգենցիան ենթադրում է .

Համեմատության առաջին չափանիշը շատ հաճախ օգտագործվում է և շատ հզոր գործիք է սերիաների ուսումնասիրության համար կոնվերգենցիայի համար: Հիմնական խնդիրը համեմատության համար հարմար շարք ընտրելն է։ Համեմատության համար սովորաբար (բայց ոչ միշտ) շարք է ընտրվում այնպես, որ նրա k-րդ անդամի ցուցիչը հավասար լինի ուսումնասիրվող թվային շարքի համարիչի և հայտարարի k-րդ անդամի տարբերությանը: Օրինակ, թող համարիչի և հայտարարի ցուցիչների տարբերությունը հավասար լինի 2 – 3 = -1, հետևաբար համեմատության համար ընտրում ենք k-րդ անդամով շարք, այսինքն՝ ներդաշնակ շարք։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ.

Ստեղծեք շարքի սերտաճում կամ տարաձայնություն:

Լուծում.

Քանի որ շարքի ընդհանուր անդամի սահմանը հավասար է զրոյի, ուրեմն շարքի սերտաճման անհրաժեշտ պայմանը բավարարված է։

Հեշտ է տեսնել, որ անհավասարությունը ճշմարիտ է բոլոր բնական k-ի համար: Մենք գիտենք, որ ներդաշնակ շարքը տարբերվում է, հետևաբար, համեմատության առաջին չափանիշով, սկզբնական շարքը նույնպես տարբերվում է:

Օրինակ.

Քննեք թվերի շարքը կոնվերգենցիայի համար:

Լուծում.

Նախադրյալթվերի սերիայի կոնվերգենցիան բավարարված է, քանի որ . Անհավասարությունն ակնհայտ է կ–ի ցանկացած բնական արժեքի համար։ Շարքը համընկնում է, քանի որ ընդհանրացված ներդաշնակ շարքը կոնվերգենտ է s > 1-ի համար: Այսպիսով, շարքերի համեմատության առաջին նշանը մեզ թույլ է տալիս նշել սկզբնական թվային շարքի սերտաճումը։

Օրինակ.

Որոշե՛ք թվային շարքի կոնվերգենցիան կամ շեղումը:

Լուծում.

, հետևաբար, բավարարված է թվային շարքերի սերտաճման անհրաժեշտ պայմանը։ Ո՞ր շարքը պետք է ընտրեմ համեմատության համար: Թվային շարքն ինքն իրեն առաջարկում է, և s-ի որոշման համար մենք ուշադիր ուսումնասիրում ենք թվերի հաջորդականությունը: Թվերի հաջորդականության անդամներն աճում են դեպի անսահմանություն: Այսպիսով, սկսած որոշ N թվից (մասնավորապես, N = 1619-ից), այս հաջորդականության տերմինները կլինեն 2-ից մեծ: Այս N թվից սկսած անհավասարությունը ճիշտ է։ Թվերի շարքը համընկնում է կոնվերգենտ շարքի առաջին հատկության շնորհիվ, քանի որ այն ստացվում է կոնվերգենտ շարքից՝ հրաժարվելով առաջին N – 1 անդամներից: Այսպիսով, համեմատության առաջին չափանիշով շարքը կոնվերգենտ է, և կոնվերգենտ թվերի շարքի առաջին հատկության ուժով շարքը նույնպես կմիանա:

Համեմատության երկրորդ նշանը.

Թող և լինի դրական թվային շարք: Եթե , ապա շարքի մերձեցումը ենթադրում է . Եթե , ապա թվերի շարքի դիվերգենցիան ենթադրում է .

Հետևանք.

Եթե և , ապա մի շարքի կոնվերգենցիան ենթադրում է մյուսի սերտաճում, իսկ դիվերգենցիան՝ շեղում։

Մենք ուսումնասիրում ենք շարքը կոնվերգենցիայի համար՝ օգտագործելով երկրորդ համեմատության չափանիշը: Որպես շարք մենք վերցնում ենք կոնվերգենտ շարք: Գտնենք թվային շարքի k-րդ անդամների հարաբերակցության սահմանը.

Այսպիսով, համեմատության երկրորդ չափանիշի համաձայն, թվային շարքի մերձեցումից բխում է սկզբնական շարքի սերտաճումը։

Օրինակ.

Քննեք թվային շարքի կոնվերգենցիան:

Լուծում.

Եկեք ստուգենք շարքի սերտաճման անհրաժեշտ պայմանը . Պայմանը բավարարված է. Համեմատության երկրորդ չափանիշը կիրառելու համար վերցնենք հարմոնիկ շարքը։ Գտնենք k-րդ անդամների հարաբերակցության սահմանը.

Հետևաբար, ներդաշնակ շարքի շեղումից բխում է սկզբնական շարքի դիվերգենցիան ըստ համեմատության երկրորդ չափանիշի։

Տեղեկատվության համար ներկայացնում ենք շարքերի համեմատման երրորդ չափանիշը.

Համեմատության երրորդ նշանը.

Թող և լինի դրական թվային շարք: Եթե պայմանը բավարարվում է որոշ N թվից, ապա շարքի կոնվերգենցիան ենթադրում է կոնվերգենցիա, իսկ շարքի դիվերգենցիան՝ շեղում։

Դ'Ալեմբերի նշանը.

Մեկնաբանություն.

Դ'Ալեմբերի թեստը վավեր է, եթե սահմանը անսահման է, այսինքն՝ եթե , ապա շարքը համընկնում է, եթե , ապա շարքը տարբերվում է։

Եթե , ապա դ'Ալեմբերի թեստը չի տալիս տեղեկատվություն շարքի մերձեցման կամ շեղման մասին, և անհրաժեշտ է լրացուցիչ հետազոտություն:

Օրինակ.

Քննեք թվերի շարքը կոնվերգենցիայի համար՝ օգտագործելով դ'Ալեմբերի չափանիշը:

Լուծում.

Ստուգենք թվային շարքի կոնվերգենցիայի համար անհրաժեշտ պայմանի կատարումը, հաշվենք սահմանը՝ օգտագործելով.

Պայմանը բավարարված է.

Եկեք օգտագործենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, շարքը համընկնում է:

Ռադիկալ Կոշի նշան.

Թող լինի դրական թվային շարք: Եթե , ապա թվերի շարքը համընկնում է, եթե , ապա շարքը շեղվում է:

Մեկնաբանություն.

Կոշիի արմատական թեստը վավեր է, եթե սահմանը անսահման է, այսինքն՝ եթե , ապա շարքը համընկնում է, եթե , ապա շարքը տարբերվում է։

Եթե , ապա արմատական Քոշիի թեստը տեղեկատվություն չի տրամադրում շարքի կոնվերգենցիայի կամ շեղման մասին, և անհրաժեշտ է լրացուցիչ հետազոտություն:

Սովորաբար բավականին հեշտ է տարբերակել դեպքերը, երբ լավագույնն է օգտագործել արմատական Կոշի թեստը: Տիպիկ դեպք է, երբ թվային շարքի ընդհանուր տերմինը էքսպոնենցիալ հզորության արտահայտություն է: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ.

Քննեք դրական թվերի շարքը կոնվերգենցիայի համար՝ օգտագործելով ռադիկալ Քոշի թեստը:

Լուծում.

. Օգտագործելով Կոշիի արմատական թեստը՝ մենք ստանում ենք .

Հետևաբար, շարքը համընկնում է:

Օրինակ.

Արդյո՞ք թվերի շարքը համընկնում է: .

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք Կոշիի արմատական թեստը , հետևաբար, թվերի շարքը համընկնում է:

Ինտեգրալ Կոշի թեստ.

Թող լինի դրական թվային շարք: Ստեղծենք y = f(x) շարունակական արգումենտի ֆունկցիա, որը նման է ֆունկցիային։ Թող y = f(x) ֆունկցիան լինի դրական, շարունակական և նվազող միջակայքում, որտեղ ): Հետո մերձեցման դեպքում ոչ պատշաճ ինտեգրալուսումնասիրվող թվերի շարքը համընկնում է: Եթե սխալ ինտեգրալը տարբերվում է, ապա սկզբնական շարքը նույնպես տարբերվում է:

y = f(x) ֆունկցիայի նվազումը ինտերվալի վրա ստուգելիս հատվածի տեսությունը կարող է օգտակար լինել ձեզ համար:

Օրինակ.

Քննեք թվերի շարքը դրական թվերով կոնվերգենցիայի համար:

Լուծում.

Շարքի սերտաճման անհրաժեշտ պայմանը բավարարված է, քանի որ . Դիտարկենք գործառույթը. Այն դրական է, շարունակական և ընդմիջումներով նվազում է։ Այս ֆունկցիայի շարունակականությունն ու դրական լինելը կասկածից վեր է, բայց մի փոքր ավելի մանրամասն կանգ առնենք նվազման վրա։ Գտնենք ածանցյալը.
. Այն բացասական է միջակայքի վրա, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է այս ինտերվալի վրա:

Շարքերի կոնվերգենցիայի նշաններ.
Դ'Ալեմբերի նշանը. Կոշիի նշանները

Աշխատեք, աշխատեք, և ըմբռնումը կգա ավելի ուշ
Ջ.Լ. դ'Ալամբեր

Շնորհավորում եմ բոլորին մեկնարկի կապակցությամբ ուսումնական տարի! Այսօր սեպտեմբերի 1-ն է, և ի պատիվ տոնի՝ ես որոշեցի ընթերցողներին ներկայացնել այն, ինչին երկար ժամանակ անհամբեր սպասում և ցանկանում էիք իմանալ. թվային դրական շարքերի կոնվերգենցիայի նշաններ. Սեպտեմբերի առաջին արձակուրդը և իմ շնորհավորանքները միշտ արդիական են, լավ է, եթե դրսում իրականում ամառ է, դուք այժմ երրորդ անգամ եք վերահանձնում քննությունը, ուսումնասիրեք, եթե այցելել եք այս էջը:

Նրանց, ովքեր նոր են սկսում ուսումնասիրել շարքերը, խորհուրդ եմ տալիս նախ կարդալ հոդվածը Թվերի շարքը մատերիների համար. Փաստորեն, այս սայլը բանկետի շարունակությունն է։ Այսպիսով, այսօր դասի ընթացքում մենք կդիտարկենք օրինակներ և լուծումներ թեմաների վերաբերյալ.

Համեմատության ընդհանուր նշաններից մեկը, որը հանդիպում է գործնական օրինակներում, Դ'Ալեմբերի նշանն է: Կոշիի նշանները քիչ տարածված են, բայց նաև շատ տարածված: Ինչպես միշտ, կփորձեմ նյութը ներկայացնել պարզ, մատչելի ու հասկանալի։ Թեման ամենադժվարը չէ, և բոլոր առաջադրանքները որոշակի չափով ստանդարտ են:

Դ'Ալեմբերի կոնվերգենցիայի թեստը

Ժան Լերոն դ'Ալեմբերը 18-րդ դարի ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս էր։ Ընդհանրապես, դ’Ալեմբերը մասնագիտացել է դիֆերենցիալ հավասարումների մեջ և իր հետազոտությունների հիման վրա ուսումնասիրել է բալիստիկա, որպեսզի Նորին Մեծության թնդանոթները ավելի լավ թռչեն։ Միևնույն ժամանակ, ես չմոռացա թվերի շարքի մասին, իզուր չէր, որ Նապոլեոնի զորքերի շարքերը հետագայում այնքան հստակորեն զուգակցվեցին և բաժանվեցին:

1) հայտարարը պարունակում է բազմանդամ.
2) Բազմանդամները լինում են և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում:
3) Արմատի տակ կարող են լինել մեկ կամ երկու բազմանդամները:
4) Իհարկե, կարող են լինել ավելի շատ բազմանդամներ և արմատներ:

Դ'Ալեմբերի թեստի կիրառման հիմնական նախադրյալները հետևյալն են.

1) Շարքի ընդհանուր տերմինը (շարքի «լրացում») ներառում է որոշակի թվեր, օրինակ՝ , , և այլն։ Ավելին, ամենևին էլ կարևոր չէ, թե որտեղ է գտնվում այս բանը, համարիչի կամ հայտարարի մեջ, կարևորն այն է, որ այն առկա է այնտեղ:

2) Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է ֆակտորիան. Մենք կրկին խաչեցինք թրերը ֆակտորալներով դասի ընթացքում Թվերի հաջորդականությունը և դրա սահմանը: Այնուամենայնիվ, չի խանգարի նորից տարածել ինքնուրույն հավաքված սփռոցը.

…

…

3) եթե շարքի ընդհանուր տերմինում կա «գործոնների շղթա», օրինակ. . Այս դեպքը հազվադեպ է, բայց! Նման շարքը ուսումնասիրելիս հաճախ սխալ է թույլ տրվում - տես օրինակ 6:

Դ'Ալեմբերի նշանը: Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Եթե կա սահմանափակում հաջորդ ժամկետի և նախորդի հարաբերակցության վրա՝ , ապա.
ա) Երբ շարք համընկնում է
բ) Երբ շարք տարբերվում է
գ) Երբ նշանը պատասխան չի տալիս. Դուք պետք է օգտագործեք մեկ այլ նշան. Ամենից հաճախ մեկը ստացվում է այն դեպքում, երբ փորձում են կիրառել Դ'Ալեմբերի թեստը, որտեղ անհրաժեշտ է կիրառել սահմանափակող համեմատության թեստը։

Նրանց համար, ովքեր դեռ խնդիրներ ունեն սահմանափակումների կամ սահմանների թյուրիմացության հետ, դիմեք դասին Սահմանափակումներ. Լուծումների օրինակներ. Առանց սահմանի ըմբռնման և անորոշությունը բացահայտելու կարողության, ցավոք, չի կարելի առաջ գնալ:

Իսկ հիմա երկար սպասված օրինակները.

Օրինակ 1

Մենք տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինում մենք ունենք , և դա հաստատ նախապայման է դ'Ալեմբերի թեստն օգտագործելու համար: Նախ, ամբողջական լուծումը և նմուշի ձևավորումը, մեկնաբանությունները ստորև:

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

համընկնում է.
(1) Մենք կազմում ենք շարքի հաջորդ անդամի հարաբերակցությունը նախորդին. Պայմանից տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինը . Շարքի հաջորդ անդամին ձեռք բերելու համար ձեզ անհրաժեշտ է Փոխարինելու փոխարեն. .
(2) Մենք ազատվում ենք քառահարկ կոտորակից: Եթե լուծման հետ կապված որոշակի փորձ ունեք, կարող եք բաց թողնել այս քայլը:
(3) Բացեք համարիչի փակագծերը: Հայտարարում չորսը հանում ենք իշխանությունից։
(4) Կրճատել . Մենք վերցնում ենք սահմանային նշանից այն կողմ հաստատունը: Համարիչում փակագծերում ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ։
(5) Անորոշությունը վերացվում է ստանդարտ եղանակով` համարիչը և հայտարարը «en»-ի բաժանելով ամենաբարձր հզորության:
(6) Մենք համարիչները տերմին առ անդամ բաժանում ենք հայտարարների վրա և նշում այն անդամները, որոնք հակված են զրոյի:
(7) Մենք պարզեցնում ենք պատասխանը և նշում, որ այն եզրակացությամբ, որ Դ'Ալեմբերտի չափանիշի համաձայն, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է:

Օրինակ 2

Վերցնենք նմանատիպ շարք և ուսումնասիրենք այն կոնվերգենցիայի համար

Նախ ամբողջական լուծումը, հետո մեկնաբանություններ.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

(1) Մենք ստեղծում ենք կապը:

(3) Դիտարկենք արտահայտությունը համարիչում, իսկ արտահայտությունը՝ հայտարարի մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ համարիչում պետք է բացել փակագծերը և դրանք հասցնել չորրորդ աստիճանի՝ , ինչը մենք բացարձակապես չենք ուզում անել։ Իսկ նրանց համար, ովքեր ծանոթ չեն Նյուտոնի երկանդամին, այս խնդիրն էլ ավելի բարդ կլինի։ Վերլուծենք ավելի բարձր աստիճանները՝ եթե բացենք փակագծերը վերևում , ապա կստանանք ավագ դիպլոմ։ Ստորև մենք ունենք նույն ավագ աստիճանը. Նախորդ օրինակի համեմատությամբ ակնհայտ է, որ համարիչն ու հայտարարը անդամի բաժանելիս վերջում հայտնվում ենք մեկով: Կամ, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները, բազմանդամները Եվ - աճի նույն կարգը. Այսպիսով, միանգամայն հնարավոր է ուրվագծել հարաբերությունները պարզ մատիտով և անմիջապես ցույց տվեք, որ այս բանը հակված է մեկին: Նույն կերպ վարվում ենք բազմանդամների երկրորդ զույգի հետ՝ և , նրանք նույնպես աճի նույն կարգը, և դրանց հարաբերակցությունը միտված է միասնությանը։

Իրականում, նման «հեյքը» կարող էր իրականացվել օրինակ թիվ 1-ում, սակայն 2-րդ աստիճանի բազմանդամի համար նման լուծումը դեռևս ինչ-որ տեղ անարժանապատիվ է թվում: Անձամբ ես այսպես եմ անում. եթե կա առաջին կամ երկրորդ աստիճանի բազմանդամ (կամ բազմանդամներ), ես օգտագործում եմ «երկար» մեթոդը օրինակ 1-ի լուծման համար: Եթե հանդիպեմ 3-րդ և ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամին, ես օգտագործում եմ «Տուրբո» մեթոդը նման է օրինակ 2-ին:

Օրինակ 3

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Դիտարկենք ֆակտորիալների բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 4

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.
(1) Մենք ստեղծում ենք կապը: Կրկին կրկնում ենք. Ըստ պայմանի, շարքի ընդհանուր տերմինը հետևյալն է. . Շարքի հաջորդ տերմինը ստանալու համար, փոխարենը պետք է փոխարինել, Այսպիսով. .
(2) Մենք ազատվում ենք քառահարկ կոտորակից:
(3) Կտրեք յոթը աստիճանից: Մենք մանրամասն նկարագրում ենք ֆակտորիալները. Ինչպես դա անել - տես դասի սկիզբը կամ թվերի հաջորդականությունների մասին հոդվածը:
(4) Մենք կտրում ենք այն ամենը, ինչ հնարավոր է կտրել:
(5) Մենք հաստատունը տեղափոխում ենք սահմանային նշանից այն կողմ: Բացեք համարիչի փակագծերը:
(6) Մենք վերացնում ենք անորոշությունը ստանդարտ ձևով՝ համարիչն ու հայտարարը բաժանելով «en»-ի ամենաբարձր հզորությանը:

Օրինակ 5

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում

Օրինակ 6

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Ընդլայնումից մենք տեսնում ենք, որ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամն ունի հայտարարին ավելացված լրացուցիչ գործոն, հետևաբար, եթե շարքի ընդհանուր անդամը , ապա շարքի հաջորդ անդամը.
. Այստեղ է, որ նրանք հաճախ ինքնաբերաբար սխալվում են՝ պաշտոնապես գրելով այն ալգորիթմի համաձայն, որ

Նմուշի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

Ռադիկալ Քոշիի նշան

Ավգուստին Լուի Կոշին էլ ավելի հայտնի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս է: Ճարտարագիտության ցանկացած ուսանող կարող է ձեզ պատմել Քոշիի կենսագրությունը: Ամենագեղատեսիլ գույներով։ Պատահական չէ, որ այս անունը փորագրված է Էյֆելյան աշտարակի առաջին հարկում։

Ռադիկալ Քոշիի նշան.Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Եթե կա սահմանափակում՝ , ապա՝
ա) Երբ շարք համընկնում է. Մասնավորապես, շարքը համընկնում է .
բ) Երբ շարք տարբերվում է. Մասնավորապես, շարքը տարբերվում է .
գ) Երբ նշանը պատասխան չի տալիս. Դուք պետք է օգտագործեք մեկ այլ նշան. Հետաքրքիր է նշել, որ եթե Կոշիի թեստը մեզ պատասխան չի տալիս շարքի մերձեցման հարցին, ապա Դ'Ալեմբերի թեստը նույնպես պատասխան չի տա։ Բայց եթե դ'Ալեմբերի թեստը պատասխան չտա, ապա Կոշիի թեստը կարող է «աշխատել»: Այսինքն՝ Կոշի նշանն այս առումով ավելի ուժեղ նշան է։

Ե՞րբ պետք է օգտագործել արմատական Կոշի նշանը:Կոշիի արմատական թեստը սովորաբար օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ «լավ» արմատը հանվում է շարքի ընդհանուր անդամից: Որպես կանոն, այս պղպեղը մի աստիճանի է որը կախված է. Կան նաև էկզոտիկ դեպքեր, բայց մենք չենք անհանգստանա դրանց մասին։

Օրինակ 7

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Մենք տեսնում ենք, որ կոտորակն ամբողջությամբ գտնվում է հզորության տակ՝ կախված «en»-ից, ինչը նշանակում է, որ մենք պետք է օգտագործենք արմատական Քոշի թեստը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.

(1) Մենք արմատի տակ ձևակերպում ենք շարքի ընդհանուր տերմինը:

(2) Մենք նույն բանը վերագրում ենք միայն առանց արմատի, օգտագործելով աստիճանների հատկությունը։
(3) Ցուցանիշում մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի անդամի վրա՝ նշելով, որ
(4) Արդյունքում մենք ունենք անորոշություն: Այստեղ դուք կարող եք գնալ երկար ճանապարհ՝ խորանարդ, խորանարդ, ապա համարիչն ու հայտարարը բաժանել «en» խորանարդի վրա: Բայց այս դեպքում կա ավելի արդյունավետ լուծում. այս տեխնիկան կարող է օգտագործվել անմիջապես մշտական աստիճանի տակ: Անորոշությունը վերացնելու համար համարիչն ու հայտարարը բաժանեք (բազմանդամների ամենաբարձր հզորության):

(5) Մենք կատարում ենք տերմին առ անդամ բաժանում և նշում այն տերմինները, որոնք հակված են զրոյի:
(6) Մենք մտքում ենք բերում պատասխանը, նշում այն, ինչ ունենք և եզրակացնում, որ շարքը տարբերվում է:

Ահա ավելի պարզ օրինակ, որը կարող եք ինքնուրույն լուծել.

Օրինակ 8

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Եվ ևս մի երկու բնորոշ օրինակ.

Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում

Օրինակ 9

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար
Մենք օգտագործում ենք արմատական Cauchy թեստը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

(1) Արմատի տակ դրեք շարքի ընդհանուր տերմինը:

(2) Մենք վերագրում ենք նույն բանը, բայց առանց արմատի, փակագծերը բացելիս օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը. .
(3) Ցուցանիշում մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի անդամով և նշում, որ .
(4) Ձևի անորոշություն է ստացվում, և այստեղ նույնպես բաժանումը կարող է կատարվել անմիջապես աստիճանի տակ: Բայց մեկ պայմանով.բազմանդամների ավելի բարձր հզորությունների գործակիցները պետք է տարբեր լինեն։ Մերոնք տարբեր են (5 և 6), և, հետևաբար, հնարավոր է (և անհրաժեշտ է) երկու հարկերը բաժանել . Եթե այս գործակիցները նույնն են, օրինակ (1 և 1): , ապա նման հնարքը չի աշխատում, և դուք պետք է օգտագործեք երկրորդ հրաշալի սահմանը. Եթե հիշում եք, այս նրբությունները քննարկվեցին հոդվածի վերջին պարբերությունում Սահմանների լուծման մեթոդներ.

(5) Մենք իրականում կատարում ենք տերմին առ անդամ բաժանում և նշում, թե որ տերմիններն են հակված զրոյի:
(6) Անորոշությունը վերացվել է, մեզ մնում է ամենապարզ սահմանը՝ . Ինչու ներս անսահման մեծհակված է զրոյի? Որովհետև աստիճանի հիմքը բավարարում է անհավասարությունը։ Եթե որևէ մեկը կասկածում է սահմանաչափի արդարության վերաբերյալ , ապա ես ծույլ չեմ լինի, ես հաշվիչ կվերցնեմ.
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Եթե, ապա
Եթե, ապա
… և այլն: մինչև անսահմանություն, այսինքն՝ սահմանի մեջ.

Հենց այդպես անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիամատներիդ վրա =)
! Երբեք մի օգտագործեք այս տեխնիկան որպես ապացույց: Քանի որ միայն այն պատճառով, որ ինչ-որ բան ակնհայտ է, դա չի նշանակում, որ դա ճիշտ է:

(7) Մենք նշում ենք, որ մենք եզրակացնում ենք, որ շարքը համընկնում է:

Օրինակ 10

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։

Ինտեգրալ Կոշի թեստ

Կամ պարզապես անբաժանելի նշան: Առաջին դասընթացի նյութը լավ չհասկացողներին կհիասթափեցնեմ։ Կոշիի ինտեգրալ թեստը կիրառելու համար դուք պետք է քիչ թե շատ վստահ լինեք ածանցյալներ, ինտեգրալներ գտնելու հարցում, ինչպես նաև ունենաք հաշվարկման հմտություն. ոչ պատշաճ ինտեգրալառաջին տեսակ.

Մաթեմատիկական վերլուծության դասագրքերում Կոշիի ինտեգրալ թեստտրված է մաթեմատիկորեն խիստ, բայց չափազանց շփոթեցնող, այնպես որ ես կձևակերպեմ նշանը ոչ շատ խիստ, բայց հստակ.

Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Եթե կա ոչ պատշաճ ինտեգրալ, ապա շարքը զուգակցվում կամ շեղվում է այս ինտեգրալի հետ միասին:

Եվ պարզաբանման համար ընդամենը մի քանի օրինակ.

Օրինակ 11

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Գրեթե դասական: Բնական լոգարիթմ և մի քանի հիմարություն.

Կոշիի ինտեգրալ թեստի օգտագործման հիմնական նախադրյալն էայն փաստն է, որ շարքի ընդհանուր տերմինը պարունակում է որոշակի ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի նման գործոններ: Թեմայից

Դ'Ալեմբերի կոնվերգենցիայի թեստ Ռադիկալ Կոշիի կոնվերգենցիայի թեստ Ինտեգրալ Քոշիի կոնվերգենցիայի թեստ

Դ'Ալեմբերի թեստի կիրառման հիմնական նախադրյալները հետևյալն են.

2) Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է ֆակտորիան. Մենք նորից դասարանում սրերը խաչեցինք ֆակտորալների հետ Թվերի հաջորդականությունը և դրա սահմանը. Այնուամենայնիվ, չի խանգարի նորից տարածել ինքնուրույն հավաքված սփռոցը.

…

…

Բացի այդ, շարքի ընդհանուր տերմինում կարող են միաժամանակ առաջանալ և՛ աստիճանը, և՛ ֆակտորիանը. կարող է լինել երկու ֆակտորիլ, երկու աստիճան, կարևոր է, որ լինի գոնե մի բանդիտարկված կետերը, և դա հենց Դ'Ալեմբերի նշանն օգտագործելու նախապայմանն է:

Դ'Ալեմբերի նշանը: Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Եթե կա սահմանափակում հաջորդ ժամկետի և նախորդի հարաբերակցության վրա՝ , ապա.
ա) Երբ շարք համընկնում է. Մասնավորապես, շարքը համընկնում է .
բ) Երբ շարք տարբերվում է. Մասնավորապես, շարքը տարբերվում է .
գ) Երբ նշանը պատասխան չի տալիս. Դուք պետք է օգտագործեք մեկ այլ նշան. Ամենից հաճախ մեկը ստացվում է այն դեպքում, երբ փորձում են կիրառել դ'Ալեմբերի թեստը, որտեղ անհրաժեշտ է կիրառել սահմանափակող համեմատության թեստը։

Իսկ հիմա երկար սպասված օրինակները.

Օրինակ 1

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

համընկնում է.

Օրինակ 2

Վերցնենք նմանատիպ շարք և ուսումնասիրենք այն կոնվերգենցիայի համար

Նախ ամբողջական լուծումը, հետո մեկնաբանություններ.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

Իրականում, նման «հեյքը» կարող էր իրականացվել օրինակ թիվ 1-ում, սակայն 2-րդ աստիճանի բազմանդամի համար նման լուծումը դեռևս ինչ-որ տեղ անարժանապատիվ է թվում: Անձամբ ես այսպես եմ անում. եթե կա առաջին կամ երկրորդ աստիճանի բազմանդամ (կամ բազմանդամներ), ես օգտագործում եմ «երկար» մեթոդը օրինակ 1-ի լուծման համար: Եթե հանդիպեմ 3-րդ և ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամին, ես օգտագործում եմ «Տուրբո» մեթոդը նման է օրինակ 2-ին:

Օրինակ 3

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում թվերի հաջորդականության մասին:
(4) Մենք կտրում ենք այն ամենը, ինչ հնարավոր է կտրել:
(5) Մենք հաստատունը տեղափոխում ենք սահմանային նշանից այն կողմ: Բացեք համարիչի փակագծերը:
(6) Մենք վերացնում ենք անորոշությունը ստանդարտ ձևով՝ համարիչն ու հայտարարը բաժանելով «en»-ի ամենաբարձր հզորությանը:

Օրինակ 5

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում

Օրինակ 6

Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Նմուշի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է.

Դ'Ալեմբերի թեստի կիրառման հիմնական նախադրյալները հետևյալն են.

1) Շարքի ընդհանուր տերմինը (շարքի «լցոնում») ներառում է որոշակի թվեր, օրինակ՝ , և այլն։ Ընդ որում, ամենևին էլ կարևոր չէ, թե որտեղ են գտնվում այդ գործառույթները՝ համարիչի՞, թե՞ հայտարարի մեջ, կարևորն այն է, որ դրանք կան այնտեղ։

2) Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է ֆակտորիան. Ի՞նչ է ֆակտորիալը:

…

…

3) եթե շարքի ընդհանուր տերմինում կա «գործոնների շղթա», օրինակ. . Այս դեպքը հազվադեպ է:

Առանց սահմանի ըմբռնման և անորոշությունը բացահայտելու կարողության, ցավոք, չի կարելի առաջ գնալ:

Օրինակ:
Լուծում:Մենք տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինում մենք ունենք , և դա հաստատ նախապայման է դ'Ալեմբերի թեստն օգտագործելու համար:

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

համընկնում է.

Ռադիկալ Կոշի նշան.

! Հետաքրքիր է նշել, որ եթե Կոշիի թեստը մեզ պատասխան չի տալիս շարքի մերձեցման հարցին, ապա Դ'Ալեմբերի թեստը նույնպես մեզ պատասխան չի տա։ Բայց եթե դ'Ալեմբերի թեստը պատասխան չտա, ապա Կոշիի թեստը կարող է «աշխատել»: Այսինքն՝ Կոշի նշանն այս առումով ավելի ուժեղ նշան է։

!!! Ե՞րբ պետք է օգտագործել արմատական Կոշի նշանը:Ռադիկալ Կոշի թեստը սովորաբար օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ շարքի ընդհանուր տերմինը ԼԻՈՎաստիճանի մեջ է կախված «en»-ից. Կամ երբ «լավ» արմատը հանվում է շարքի ընդհանուր անդամից: Կան նաև էկզոտիկ դեպքեր, բայց մենք չենք անհանգստանա դրանց մասին։

Օրինակ:Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Լուծում:Մենք տեսնում ենք, որ շարքի ընդհանուր տերմինը ամբողջությամբ կախված է հզորությունից, ինչը նշանակում է, որ մենք պետք է օգտագործենք արմատական Կոշի թեստը.

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում է.

Ինտեգրալ Կոշի թեստ.

Կոշիի ինտեգրալ թեստը կիրառելու համար դուք պետք է քիչ թե շատ վստահ լինեք ածանցյալներ, ինտեգրալներ գտնելու հարցում, ինչպես նաև ունենաք հաշվարկման հմտություն. ոչ պատշաճ ինտեգրալառաջին տեսակ.

Կձևակերպեմ իմ բառերով (հասկանալու համար):

Ինտեգրալ Քոշիի թեստ.Եկեք դիտարկենք դրական թվերի շարք. Այս շարքը համընկնում կամ շեղվում է համապատասխան ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ միասին:

! !! Կոշիի ինտեգրալ թեստի օգտագործման հիմնական նախադրյալն էայն փաստն է, որ շարքի ընդհանուր տերմինում կա որոշակի ֆունկցիա և դրա ածանցյալը:

Օրինակ:Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Լուծում:Թեմայից ԱծանցյալԴուք հավանաբար հիշում եք սեղանի ամենապարզ բանը.

Ինչպե՞ս օգտագործել ինտեգրալ հատկանիշը: Նախ վերցնում ենք ինտեգրալ պատկերակը և վերագրում վերին և ստորին սահմանները շարքի «հաշվիչից». Այնուհետև ինտեգրալի տակ վերագրում ենք շարքի «լցումը» «X» տառով.

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք ոչ պատշաճ ինտեգրալը: Այս դեպքում հնարավոր է երկու դեպք.

1) Եթե պարզվի, որ ինտեգրալը համընկնում է, ապա մեր շարքը նույնպես կմիանա:

2) Եթե պարզվի, որ ինտեգրալը շեղվում է, ապա մեր շարքը նույնպես կշեղվի։

Մենք օգտագործում ենք ինտեգրալ նշանը.

Ինտեգրանդ ֆունկցիան միացված է շարունակական

Այսպիսով, ուսումնասիրվող շարքը տարբերվում էհամապատասխան ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ միասին։

Օրինակ:Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում:նախ ստուգենք մի շարքի մերձեցման անհրաժեշտ նշան. Սա ոչ թե ձևականություն է, այլ հիանալի հնարավորություն՝ «փոքր արյունահեղությամբ» օրինակով զբաղվելու։

Թվերի հաջորդականությունավելի բարձր աճի կարգը, քան , հետևաբար , այսինքն՝ բավարարված է կոնվերգենցիայի անհրաժեշտ նշանը, և շարքը կարող է կամ համընկնել կամ շեղվել։

Այսպիսով, դուք պետք է օգտագործեք ինչ-որ նշան: Բայց ո՞ր մեկը։ Համեմատության սահմանըակնհայտորեն չի տեղավորվում, քանի որ լոգարիթմը սեղմվել է շարքի ընդհանուր տերմինի մեջ, d'Alembert-ի և Cauchy-ի նշաններընույնպես արդյունքի չեն հանգեցնում։ Եթե ունենայինք, ապա գոնե կարող էինք դուրս գալ անբաժանելի հատկանիշ.

«Տեսարանի զննում»-ը ենթադրում է դիվերգենտ շարք (ընդհանրացված ներդաշնակ շարքի դեպք), բայց նորից հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս հաշվի առնել լոգարիթմը համարիչում։

Մնում է համեմատության առաջին նշանը՝ հիմնված անհավասարությունների վրա, որը հաճախ հաշվի չի առնվում և փոշի է հավաքում հեռավոր դարակի վրա։ Եկեք ավելի մանրամասն նկարագրենք շարքը.

Հիշեցնեմ, որ անսահմանափակ աճ թվերի հաջորդականություն:

Եվ, սկսած թվից, անհավասարությունը կբավարարվի.

այսինքն՝ շարքի անդամները կլինեն նույնիսկ ավելի շատհամապատասխան անդամներ տարբերվող շարք.

Արդյունքում սերիալն այլ ելք չի մնում, քան ցրվելը։

Թվային շարքի կոնվերգենցիան կամ շեղումը կախված է նրա «անսահման պոչից» (մնացորդ): Մեր դեպքում մենք կարող ենք անտեսել այն փաստը, որ անհավասարությունը ճիշտ չէ առաջին երկու թվերի համար. սա չի ազդում եզրակացության վրա:

Ավարտված օրինակը պետք է նման լինի հետևյալին.

Եկեք համեմատենք այս շարքը տարբերվող շարքի հետ:
Բոլոր թվերի համար, սկսած , անհավասարությունը բավարարված է, հետևաբար, ըստ համեմատության չափանիշի, ուսումնասիրվող շարքը. տարբերվում է.

Փոխարինվող տողեր. Լայբնիցի նշանը. Լուծումների օրինակներ.

Ի՞նչ է այլընտրանքային շարքը:Սա պարզ է կամ գրեթե պարզ է հենց անունից: Պարզապես մի պարզ օրինակ.

Եկեք նայենք շարքը և նկարագրենք այն ավելի մանրամասն.

Հավասարեցումը տալիս է բազմապատկիչ. եթե զույգ, ապա կլինի գումարած նշան, եթե կենտ, կլինի մինուս նշան:

Որոգայթը «խաբեությունն» է՝ , , և այլն։ - նման բազմապատկիչներ նշանի փոփոխություն չտրամադրել. Միանգամայն պարզ է, որ ցանկացած բնականի համար՝ , , .

Ինչպե՞ս ուսումնասիրել այլընտրանքային շարքը կոնվերգենցիայի համար:Օգտագործեք Լայբնիցի թեստը:

Լայբնիցի թեստըԵթե փոփոխվող շարքում երկու պայման կա. 1) շարքի պայմանները միապաղաղ նվազում են բացարձակ արժեքով: 2) ընդհանուր անդամի սահմանը մոդուլում հավասար է զրոյի, ապա շարքը զուգակցվում է, և այս շարքի գումարի մոդուլը չի գերազանցում առաջին անդամի մոդուլը։

Համառոտ տեղեկատվություն մոդուլի մասին.

Ի՞նչ է նշանակում «մոդուլ»: Մոդուլը, ինչպես հիշում ենք դպրոցից, «ուտում» է մինուս նշանը։ Եկեք վերադառնանք շարքին . Մտավոր ջնջիր բոլոր նշանները ռետինով և եկեք նայենք թվերին. Մենք դա կտեսնենք ամեն հաջորդշարքի անդամ պակասքան նախորդը։

Հիմա մի քիչ միապաղաղության մասին.

Սերիալի անդամներ խիստ միապաղաղմոդուլի նվազում, եթե շարքի ԱՄԵՆ ՀԱՋՈՐԴ անդամը մոդուլՆախորդից քիչ՝ . Շարքի համար Նվազման խիստ միապաղաղությունը կատարվում է, այն կարելի է մանրամասն նկարագրել.

Կամ կարելի է հակիրճ ասել՝ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ մոդուլպակաս, քան նախորդը.

Սերիալի անդամներ ոչ խիստ միապաղաղմոդուլի նվազում, եթե շարքի մոդուլի ՅՈՒՐԱՔԱՆՉՅՈՒՐ ՀԵՏԵՎՈՐԴ անդամը նախորդից ՄԵԾ ՉԻ. Դիտարկենք մի շարք ֆակտորալով. Այստեղ կա թույլ միապաղաղություն, քանի որ շարքի առաջին երկու անդամները նույնական են մոդուլով: Այսինքն՝ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ մոդուլոչ ավելի, քան նախորդը.

Օրինակ:Քննեք շարքը կոնվերգենցիայի համար

Լուծում:Շարքի ընդհանուր տերմինը ներառում է գործոն, ինչը նշանակում է, որ դուք պետք է օգտագործեք Լայբնիցի չափանիշը

1) Շարքի ստուգում միապաղաղ նվազման համար.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –առաջին պայմանը չի կատարվում

2) – երկրորդ պայմանը նույնպես չի կատարվում.

Եզրակացություն. շարքը տարբերվում է:

Սահմանում:Եթե շարքը համընկնում է Լայբնիցի չափանիշի համաձայն, և մոդուլներից կազմված շարքը նույնպես համընկնում է, ապա ասում են, որ շարքը. բացարձակապես համընկնում է.

Եթե շարքը համընկնում է Լայբնիցի չափանիշի համաձայն, և մոդուլներից կազմված շարքը շեղվում է, ապա շարքը կոչվում է. պայմանականորեն համընկնում է.

Եթե մոդուլներից կազմված շարքը համընկնում է, ապա այս շարքը նույնպես համընկնում է:

Հետևաբար, փոփոխական կոնվերգենտ շարքը պետք է ուսումնասիրվի բացարձակ կամ պայմանական կոնվերգենցիայի համար:

Օրինակ:

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.

1) Շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով ավելի քիչ է, քան նախորդը. – առաջին պայմանը կատարվում է.

2) – երկրորդ պայմանը նույնպես բավարարված է.

Եզրակացություն. շարքը համընկնում է:

Եկեք ստուգենք պայմանական կամ բացարձակ կոնվերգենցիան:

Եկեք մի շարք մոդուլներ պատրաստենք. կրկին մենք պարզապես հեռացնում ենք բազմապատկիչը, որն ապահովում է նշանների փոփոխություն.
– շեղվում է (ներդաշնակ շարք):

Այսպիսով, մեր շարքը բացարձակ կոնվերգենտ չէ.
Շարք ուսումնասիրվող պայմանականորեն համընկնում է.

Օրինակ:Քննեք մի շարք պայմանական կամ բացարձակ կոնվերգենցիայի համար

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի չափանիշը.
1) Փորձենք գրել շարքի առաջին մի քանի տերմինները.

…?!

Եթե at-ի համարիչն ավելի արագ է աճում, քան գործոնը, ապա . Եթե անվերջության դեպքում ֆակտորիանն ավելի արագ է աճում, քան համարիչը, ապա այն, ընդհակառակը, սահմանը «կբերի» զրոյի. . Կամ գուցե այս սահմանը հավասար է ինչ-որ ոչ զրոյական թվի: կամ . Փոխարենը, դուք կարող եք փոխարինել հազարերորդ աստիճանի ինչ-որ բազմանդամ, սա կրկին չի փոխի իրավիճակը. վաղ թե ուշ ֆակտորիանը դեռ «կհասցնի» նման սարսափելի բազմանդամին: Գործոնային աճի ավելի բարձր կարգ.

– Ֆակտորիալն ավելի արագ է աճում, քան ցանկացած քանակի արտադրանքէքսպոնենցիալ և ուժային հաջորդականություններ(մեր դեպքը):

– Ցանկացածէքսպոնենցիալ հաջորդականությունն ավելի արագ է աճում, քան ցանկացած ուժային հաջորդականություն, օրինակ՝ , . Էքսպոնենցիալ հաջորդականություն աճի ավելի բարձր կարգքան ցանկացած ուժային հաջորդականություն. Ֆակտորյալի նման, էքսպոնենցիալ հաջորդականությունը «քաշում է» ցանկացած հզորության հաջորդականության կամ բազմանդամների ցանկացած թվի արտադրյալը. .

– Գործոնայինից ավելի «ուժեղ» բան կա՞։ Կերե՛ք Հզորության էքսպոնենցիալ հաջորդականությունը («en» մինչև «en» ուժը) աճում է ավելի արագ, քան գործոնայինը. Գործնականում դա հազվադեպ է, բայց տեղեկատվությունը ավելորդ չի լինի:

Օգնության ավարտը

Այսպիսով, ուսումնասիրության երկրորդ կետը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
2) , քանի որ աճի կարգը ավելի բարձր է, քան .
Շարքի պայմանները նվազում են մոդուլում, սկսած ինչ-որ թվից, այս դեպքում շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ բացարձակ արժեքով պակաս է նախորդից, հետևաբար նվազումը միապաղաղ է։

Եզրակացություն: շարքը համընկնում է:

Մենք ուսումնասիրում ենք շարքը բացարձակ կամ պայմանական կոնվերգենցիայի համար.

Եվ ահա Դ’Ալեմբերի նշանն արդեն աշխատում է.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, շարքը համընկնում է:

Շարք ուսումնասիրվող բացարձակապես համընկնում է.

Վերլուծված օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ (մենք օգտագործում ենք բավարար չափանիշ՝ փոփոխական շարքի կոնվերգենցիայի համար)։

Փոխարինվող շարքի կոնվերգենցիայի բավարար նշան.Եթե տվյալ շարքի տերմինների բացարձակ արժեքներից կազմված շարքը համընկնում է, ապա տվյալ շարքը նույնպես համընկնում է:

Երկրորդ ճանապարհը.

Քննեք մի շարք պայմանական կամ բացարձակ կոնվերգենցիայի համար

Լուծում : Մենք ուսումնասիրում ենք շարքը բացարձակ կոնվերգենցիայի համար.

Մենք օգտագործում ենք d'Alembert նշանը.

Այսպիսով, շարքը համընկնում է:
Հիմք ընդունելով հերթափոխային շարքի մերձեցման բավարար չափանիշ՝ շարքն ինքնին համընկնում է։

Եզրակացություն: Ուսումնական շարք բացարձակապես համընկնում է.

Հաշվել տրված ճշտությամբ շարքի գումարըՄենք կօգտագործենք հետևյալ թեորեմը.

Թող փոխարինող շարքը ստորագրի բավարարում է Լայբնիցի չափանիշի պայմանները և թող - իր nմասնակի գումարը: Այնուհետև շարքը համընկնում է և դրա գումարի մոտավոր հաշվարկման սխալը Սբացարձակ արժեքով չի գերազանցում առաջին մերժված անդամի մոդուլը.