Կոմպլեքս թիվը z =x + i * y ձևի թիվ է, որտեղ x և y-ն իրական են թվեր, և i = երևակայական միավոր (այսինքն թիվ, որի քառակուսին -1 է): Ներկայացուցչությունը սահմանելու համար փաստարկհամապարփակ թվեր, դուք պետք է նայեք բարդ թվին բևեռային կոորդինատային համակարգում գտնվող բարդ հարթության վրա:

Հրահանգներ

1. Հարթությունը, որի վրա ներկայացված են բարդ համալիրներ թվեր, կոչվում է բարդ։ Այս հարթության վրա հորիզոնական առանցքը զբաղեցնում է ռեալը թվեր(x), իսկ ուղղահայաց առանցքը երևակայական է թվեր(y): Նման հարթության վրա թիվը տրվում է երկու կոորդինատներով z = (x, y): Բևեռային կոորդինատային համակարգում կետի կոորդինատներն են մոդուլը և փաստարկը: Մոդուլը հեռավորությունն է |z| մի կետից մինչև ծագում. Արդյո՞ք անկյունը կոչվում է փաստարկ: կետն ու կոորդինատային նախաբանը կապող վեկտորի և կոորդինատային համակարգի հորիզոնական առանցքի միջև (տես նկարը):

2. Նկարը ցույց է տալիս, որ համալիր մոդուլը թվեր z = x + i * y-ը գտնում ենք Պյութագորասի թեորեմի միջոցով՝ |z| = ? (x^2 + y^2): Լրացուցիչ փաստարկ թվեր z-ը հայտնաբերվում է որպես եռանկյան սուր անկյուն՝ sin, cos, tan:sin եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների միջոցով: =y/? (x^2 + y^2), cos ? = x / ? (x^2 + y^2), tg ? = y/x.

3. Ասենք, թող տրվի z = 5 * (1 + ?3 * i) թիվը։ Նախ ընտրեք իրական և երևակայական մասերը՝ z = 5 +5 * ?3 * i. Ստացվում է, որ իրական մասը x = 5 է, իսկ երևակայական մասը y = 5 * ?3: Հաշվել մոդուլը թվեր|զ| = ?(25 + 75) = ?100 =10: Հաջորդը, գտե՛ք անկյան սինուսը: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Այնտեղից մենք ստանում ենք փաստարկը թվեր z-ը հավասար է 30°-ի:

4. Օրինակ 2. Թող տրվի z = 5 * i թիվը: Նկարից դուք կարող եք տեսնել, որ անկյունը. = 90 °: Ստուգեք այս արժեքը՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևը: Գրի՛ր սրա կոորդինատները թվերբարդ հարթության վրա՝ z = (0, 5): Մոդուլ թվեր|զ| = 5. tg անկյան շոշափող. = 5 / 5 = 1. Ի՞նչ է հետևում այնտեղից: = 90 °:

5. Օրինակ 3. Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք 2 կոմպլեքս թվերի գումարի փաստարկը z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i: Ըստ գումարման կանոնների՝ դուք ավելացնում եք այս երկու բարդույթները թվեր z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Այնուհետև, ըստ վերը նշված գծապատկերի, հաշվարկեք փաստարկը՝ tg? = 9/3 = 3:

Նշում!
Եթե ​​z = 0 թիվը, ապա դրա համար փաստարկի արժեքը սահմանված չէ:

Օգտակար խորհուրդ
Կոմպլեքս թվի արգումենտի արժեքը որոշվում է 2 * ? * k, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է: Փաստարկի իմաստը. այնպիսին է, որ -?

Սահմանում 8.3 (1).

Երկարությունը |z| z = (x,y) վեկտորը կոչվում է z = x + yi կոմպլեքս թվի մոդուլ

Քանի որ եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը չի գերազանցում նրա երկու մյուս կողմերի երկարությունների գումարը, իսկ եռանկյան երկու կողմերի երկարությունների տարբերության բացարձակ արժեքը ոչ պակաս է, քան երրորդ կողմի երկարությունը. , ապա ցանկացած երկու կոմպլեքս թվերի համար z 1 և z 2 անհավասարությունները պահպանվում են

Սահմանում 8.3 (2).

Կոմպլեքս թվի փաստարկ. Եթե ​​φ-ն իրական առանցքի հետ ոչ զրոյական z վեկտորի կազմած անկյունն է, ապա ձևի ցանկացած անկյուն (φ + 2πn, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է և միայն այս տեսակի անկյունը, նույնպես կլինի անկյուն, որը ձևավորվում է. z վեկտորը իրական առանցքով:

Իրական առանցքով z = = (x, y) ոչ զրոյական վեկտորով կազմված բոլոր անկյունների բազմությունը կոչվում է z = x + yi բարդ թվի արգումենտ և նշանակվում է arg z-ով։ Այս բազմության յուրաքանչյուր տարր կոչվում է z թվի փաստարկի արժեք (նկ. 8.3(1)):

Բրինձ. 8.3 (1).

Քանի որ հարթության ոչ զրոյական վեկտորը եզակիորեն որոշվում է իր երկարությամբ և x առանցքի հետ ձևավորված անկյան տակ, ապա զրոյից տարբեր երկու բարդ թվեր հավասար են, եթե և միայն եթե դրանց բացարձակ արժեքներն ու փաստարկները հավասար են:

Եթե, օրինակ, 0≤φ պայմանը դրվում է z թվի φ փաստարկի արժեքների վրա.<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Սահմանում 8.3.(3)

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձև. Կոմպլեքս թվի իրական և երևակայական մասերը z = x + уi ≠ 0 արտահայտվում են նրա մոդուլով r= |z| իսկ φ արգումենտը հետևյալն է (սինուսի և կոսինուսի սահմանումից).

Այս հավասարության աջ կողմը կոչվում է z կոմպլեքս թիվը գրելու եռանկյունաչափական ձև։ Մենք նաև կօգտագործենք այն z = 0-ի համար; այս դեպքում r = 0, իսկ φ-ն կարող է ընդունել ցանկացած արժեք՝ 0 թվի արգումենտը սահմանված չէ: Այսպիսով, յուրաքանչյուր բարդ թիվ կարելի է գրել եռանկյունաչափական տեսքով:

Պարզ է նաև, որ եթե z կոմպլեքս թիվը գրված է ձևով

ապա r թիվը նրա մոդուլն է, քանի որ

Եվ φ-ն իր արգումենտի արժեքներից մեկն է

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձևը կարող է հարմար լինել կոմպլեքս թվերը բազմապատկելիս, մասնավորապես, այն թույլ է տալիս պարզել բարդ թվերի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությունը:

Գտնենք բարդ թվերը եռանկյունաչափական ձևով բազմապատկելու և բաժանելու բանաձևեր։ Եթե

ապա ըստ բարդ թվերի բազմապատկման կանոնի (օգտագործելով գումարի սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը)

Այսպիսով, բարդ թվերը բազմապատկելիս դրանց բացարձակ արժեքները բազմապատկվում են, և արգումենտները ավելացվում են.

Այս բանաձևը հաջորդաբար կիրառելով n բարդ թվերի վրա՝ մենք ստանում ենք

Եթե ​​բոլոր n թվերը հավասար են, մենք ստանում ենք

Որտեղ համար

կատարվեց

Այսպիսով, բարդ թվի համար, որի բացարձակ արժեքը 1 է (հետևաբար, այն ունի ձև

Այս հավասարությունը կոչվում է Moivre-ի բանաձեւերը

Այլ կերպ ասած, կոմպլեքս թվերը բաժանելիս դրանց մոդուլները բաժանվում են.

իսկ փաստարկները հանվում են:

Օրինակներ 8.3 (1).

C բարդ հարթության վրա գծե՛ք հետևյալ պայմանները բավարարող կետերի մի շարք.

Որը ներկայացնում է $z=a+bi$ տրված կոմպլեքս թիվը կոչվում է տվյալ կոմպլեքս թվի մոդուլ։

Տրված բարդ թվի մոդուլը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Օրինակ 1

Հաշվե՛ք տրված կոմպլեքս թվերի մոդուլը $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$։

$z=a+bi$ կոմպլեքս թվի մոդուլը հաշվում ենք $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $ բանաձեւով։

$z_(1) =13$ սկզբնական համալիր թվի համար մենք ստանում ենք $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

$\, z_(2) =4i$ սկզբնական համալիր համարի համար մենք ստանում ենք $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

$\, z_(3) =4+3i$ սկզբնական համալիր համարի համար մենք ստանում ենք $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Սահմանում 2

Իրական առանցքի և $\overrightarrow(OM) $ շառավղով վեկտորի դրական ուղղության $\varphi $ անկյունը, որը համապատասխանում է $z=a+bi$ տրված բարդ թվին, կոչվում է այս թվի արգումենտ և նշվում է $\arg z$-ով։

Ծանոթագրություն 1

Տրված կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգումենտը բացահայտորեն օգտագործվում են կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական կամ էքսպոնենցիալ ձևով ներկայացնելիս.

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - եռանկյունաչափական ձև;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - էքսպոնենցիալ ձև։

Օրինակ 2

Գրի՛ր կոմպլեքս թիվ եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերով՝ տրված հետևյալ տվյալներով՝ 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $:

1) Փոխարինեք $r=3;\varphi =\pi $ տվյալները համապատասխան բանաձևերում և ստացեք.

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - եռանկյունաչափական ձև

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - էքսպոնենցիալ ձև։

2) Փոխարինեք $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ տվյալները համապատասխան բանաձևերում և ստացեք.

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - եռանկյունաչափական ձև

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - էքսպոնենցիալ ձև։

Օրինակ 3

Որոշե՛ք տրված կոմպլեքս թվերի մոդուլը և արգումենտը.

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi)(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Մենք կգտնենք մոդուլը և փաստարկը՝ օգտագործելով բանաձևեր՝ համապատասխանաբար եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերով տրված կոմպլեքս թիվը գրելու համար։

\ \

1) Սկզբնական համալիր համարի համար $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ մենք ստանում ենք $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3)) $ սկզբնական համալիր համարի համար ստացեք $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi)(3) $:

3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ սկզբնական համալիր համարի համար մենք ստանում ենք $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ պի )(4) $.

4) Սկզբնական համալիր համարի համար $z=13\cdot e^(i\pi ) $ մենք ստանում ենք $r=13;\varphi =\pi $:

Տրված $z=a+bi$ կոմպլեքս թվի $\varphi $ փաստարկը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (բ)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Գործնականում տրված $z=a+bi$-ի արգումենտի արժեքը հաշվարկելու համար սովորաբար օգտագործվում է բանաձևը.

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ պի, ա

կամ լուծել հավասարումների համակարգ

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(զանգված)\աջ. $. (**)

Օրինակ 4

Հաշվի՛ր տրված կոմպլեքս թվերի արգումենտը՝ 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Քանի որ $z=3$, ուրեմն $a=3,b=0$։ Եկեք հաշվարկենք սկզբնական բարդ թվի արգումենտը՝ օգտագործելով (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Քանի որ $z=4i$, ուրեմն $a=0,b=4$։ Եկեք հաշվարկենք սկզբնական բարդ թվի արգումենտը՝ օգտագործելով (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Քանի որ $z=1+i$, ապա $a=1,b=1$: Եկեք հաշվարկենք սկզբնական համալիր թվի արգումենտը լուծելով համակարգը (**):

\[\ձախ\(\սկիզբ(զանգված)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(զանգված)\աջ: .\]

Եռանկյունաչափության դասընթացից հայտնի է, որ $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ առաջին կոորդինատային քառորդին համապատասխանող անկյան համար և հավասար է $\varphi =\frac. (\pi )( 4) $.

Քանի որ $z=-5$, ապա $a=-5,b=0$։ Եկեք հաշվարկենք սկզբնական բարդ թվի արգումենտը՝ օգտագործելով (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Քանի որ $z=-2i$, ապա $a=0,b=-2$: Եկեք հաշվարկենք սկզբնական բարդ թվի արգումենտը՝ օգտագործելով (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Ծանոթագրություն 2

$z_(3)$ թիվը ներկայացված է $(0;1)$ կետով, հետևաբար, համապատասխան շառավիղի վեկտորի երկարությունը հավասար է 1-ի, այսինքն. $r=1$, իսկ $\varphi =\frac(\pi )(2) $ արգումենտը՝ համաձայն Ծանոթագրություն 3-ի։

$z_(4)$ թիվը ներկայացված է $(0;-1)$ կետով, հետևաբար, համապատասխան շառավղային վեկտորի երկարությունը 1 է, այսինքն. $r=1$, իսկ $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ արգումենտը՝ համաձայն Ծանոթագրություն 3-ի:

$z_(5) $ թիվը ներկայացված է $(2;2)$ կետով, հետևաբար, համապատասխան շառավիղի վեկտորի երկարությունը հավասար է $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, այսինքն. $r=2\sqrt(2) $, իսկ $\varphi =\frac(\pi )(4) $ արգումենտը՝ ուղղանկյուն եռանկյունու հատկությամբ։

Կոմպլեքս թիվը z =x + i * y ձևի թիվ է, որտեղ x և y-ն իրական են թվեր, և i = երևակայական միավոր (այսինքն թիվ, որի քառակուսին -1 է): Հայեցակարգը սահմանելու համար փաստարկհամապարփակ թվեր, բևեռային կոորդինատային համակարգում բարդ հարթության վրա անհրաժեշտ է դիտարկել բարդ թիվ։

Հրահանգներ

Հարթությունը, որի վրա ներկայացված են բարդ համալիրներ թվեր, կոչվում է բարդ։ Այս հարթության վրա հորիզոնական առանցքը զբաղեցնում է ռեալը թվեր(x), իսկ ուղղահայաց առանցքը երևակայական է թվեր(y): Նման հարթության վրա թիվը տրվում է երկու կոորդինատներով z = (x, y): Բևեռային կոորդինատային համակարգում կետի կոորդինատներն են մոդուլը և փաստարկը: Մոդուլը հեռավորությունն է |z| մի կետից մինչև ծագում. Փաստարկը կետն ու սկզբնաղբյուրը կապող վեկտորի և կոորդինատային համակարգի հորիզոնական առանցքի անկյունն է (տես նկարը)։

Նկարը ցույց է տալիս, որ համալիր մոդուլը թվեր z = x + i * y-ը գտնում ենք Պյութագորասի թեորեմի միջոցով՝ |z| = ? (x^2 + y^2): Հաջորդ փաստարկը թվեր z-ը հայտնաբերվում է որպես եռանկյան սուր անկյուն՝ sin, cos, tg:sin = y/ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների միջոցով: (x^2 + y^2),
cos = x /? (x^2 + y^2),
tg = y / x.

Օրինակ, թող տրվի z = 5 * (1 + ?3 * i) թիվը։ Նախ ընտրեք իրական և երևակայական մասերը՝ z = 5 +5 * ?3 * i. Ստացվում է, որ իրական մասը x = 5 է, իսկ երևակայական մասը y = 5 * ?3: Հաշվել մոդուլը թվեր|զ| = ?(25 + 75) = ?100 =10: Հաջորդը, գտեք անկյան սինուսը. sin = 5 / 10 = 1 / 2: Սա տալիս է փաստարկը թվեր z-ը հավասար է 30°-ի:

Օրինակ 2. Թող տրվի z = 5 * i թիվը: Նկարը ցույց է տալիս, որ անկյունը = 90°: Ստուգեք այս արժեքը՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևը: Գրի՛ր սրա կոորդինատները թվերբարդ հարթության վրա՝ z = (0, 5): Մոդուլ թվեր|զ| = 5. tg անկյան շոշափող = 5 / 5 = 1. Հետևում է, որ = 90°:

Օրինակ 3. Թող անհրաժեշտ լինի գտնել երկու բարդ թվերի գումարի արգումենտը z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i: Ըստ գումարման կանոնների՝ դուք ավելացնում եք այս երկու բարդույթները թվեր z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Հաջորդը, օգտագործելով վերը նշված դիագրամը, հաշվարկեք փաստարկը. tg = 9 / 3 = 3: