Թվերի բաժանելիության նշաններ- սրանք կանոններ են, որոնք թույլ են տալիս համեմատաբար արագ, առանց բաժանելու պարզել, թե արդյոք այս թիվը բաժանվում է տվյալ թվի վրա առանց մնացորդի:
Ոմանք բաժանելիության նշաններբավականին պարզ, որոշ ավելի բարդ: Այս էջում դուք կգտնեք պարզ թվերի բաժանելիության երկու նշաններ, ինչպիսիք են, օրինակ, 2, 3, 5, 7, 11, և բաղադրյալ թվերի բաժանելիության նշաններ, օրինակ՝ 6 կամ 12։
Հույս, այս տեղեկությունըօգտակար կլինի ձեզ համար:
Ուրախ ուսուցում:

2-ի բաժանելիության ստուգում

Սա բաժանելիության ամենապարզ նշաններից մեկն է։ Այն հնչում է այսպես՝ եթե բնական թվի նշումն ավարտվում է զույգ թվանշանով, ապա այն զույգ է (առանց մնացորդի բաժանվում է 2-ի), իսկ եթե բնական թվի նշումն ավարտվում է կենտ թվանշանով, ապա այս թիվը կենտ է։ .
Այլ կերպ ասած, եթե թվի վերջին թվանշանն է 2 , 4 , 6 , 8 կամ 0 - թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե ոչ, ապա այն չի բաժանվում
Օրինակ՝ թվեր՝ 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 բաժանվում են 2-ի, քանի որ զույգ են:
Թվեր՝ 23 5 , 137 , 2303
Դրանք 2-ի չեն բաժանվում, քանի որ կենտ են։

3-ի բաժանելիության ստուգում

Բաժանելիության այս նշանը բոլորովին այլ կանոններ ունի՝ եթե թվի թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի, ապա թիվը բաժանվում է 3-ի; Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը չի բաժանվում 3-ի, ապա այդ թիվը չի բաժանվում 3-ի։
Սա նշանակում է, որ հասկանալու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, պարզապես պետք է գումարել այն կազմող թվերը։
3987-ը և 141-ը բաժանվում են 3-ի, քանի որ առաջին դեպքում 3+9+8+7=. 27 (27:3=9 - բաժանվում է 3-ի), իսկ երկրորդում՝ 1+4+1= 6 (6:3=2 - նույնպես բաժանվում է 3-ի):
Բայց թվերը՝ 235 և 566, չեն բաժանվում 3-ի, քանի որ 2+3+5= 10 և 5+6+6= 17 (և մենք գիտենք, որ ոչ 10-ը, ոչ 17-ը չեն բաժանվում 3-ի առանց մնացորդի):

4-ի բաժանելիության ստուգում

Բաժանելիության այս նշանն ավելի բարդ կլինի։ Եթե ​​թվի վերջին 2 թվանշանները կազմում են 4-ի բաժանվող թիվ կամ այն ​​00-ի է, ապա այդ թիվը բաժանվում է 4-ի, հակառակ դեպքում տվյալ թիվն առանց մնացորդի չի բաժանվում 4-ի։
Օրինակ՝ 1 00 և 3 64 բաժանվում են 4-ի, քանի որ առաջին դեպքում թիվը վերջանում է 00 , իսկ երկրորդում՝ վրա 64 , որն իր հերթին առանց մնացորդի բաժանվում է 4-ի (64:4=16)
Թվեր 3 57 և 8 86 չեն բաժանվում 4-ի, քանի որ ոչ մեկը 57 ոչ էլ 86 չեն բաժանվում 4-ի, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն համապատասխանում բաժանելիության այս չափանիշին:

Բաժանելիության թեստ 5-ի վրա

Եվ կրկին ունենք բաժանելիության բավականին պարզ նշան. եթե բնական թվի նշումն ավարտվում է 0 կամ 5 թվով, ապա այս թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 5-ի։ Եթե թվի նշումն ավարտվում է մեկ այլ թվանշանով, ապա թիվն առանց մնացորդի չի բաժանվում 5-ի։
Սա նշանակում է, որ թվանշաններով ավարտվող ցանկացած թվեր 0 Եվ 5 օրինակ 1235 թ 5 և 43 0 , ընկնում են կանոնի տակ և բաժանվում են 5-ի։
Իսկ, օրինակ, 1549 թ 3 և 56 4 չեն ավարտվում 5 կամ 0 թվով, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող բաժանվել 5-ի առանց մնացորդի:

Թեստ 6-ի բաժանելիության համար

Մեր առջև ունենք 6-ի բաղադրյալ թիվը, որը 2 և 3 թվերի արտադրյալն է։ Հետևաբար, 6-ի բաժանելիության նշանը նույնպես բաղադրյալ է. որպեսզի թիվը բաժանվի 6-ի, այն պետք է համապատասխանի երկու նշանի։ Միևնույն ժամանակ բաժանելիություն. 2-ի և 3-ի բաժանելիության նշան: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 4-ի նման բաղադրյալ թիվը ունի բաժանելիության անհատական ​​նշան, քանի որ այն ինքնին 2-ի արտադրյալն է: Բայց վերադառնանք 6-ի բաժանելիության թեստին։
138 և 474 թվերը զույգ են և համապատասխանում են 3-ի բաժանելիության չափանիշներին (1+3+8=12, 12:3=4 և 4+7+4=15, 15:3=5), ինչը նշանակում է, որ դրանք բաժանելի են։ 6-ով. Բայց 123-ը և 447-ը, թեև դրանք բաժանվում են 3-ի (1+2+3=6, 6:3=2 և 4+4+7=15, 15:3=5), բայց կենտ են, որը. նշանակում է, որ դրանք չեն համապատասխանում 2-ի բաժանելիության չափանիշին, հետևաբար չեն համապատասխանում 6-ի բաժանելիության չափանիշին:

Թեստ 7-ի բաժանելիության համար

Բաժանելիության այս թեստն ավելի բարդ է. թիվը բաժանվում է 7-ի, եթե այս թվի տասնյակների թվից վերջին թվանշանը երկու անգամ հանելու արդյունքը բաժանվում է 7-ի կամ հավասար է 0-ի:
Դա բավականին շփոթեցնող է հնչում, բայց գործնականում դա պարզ է: Ինքներդ տեսեք՝ համարը 95 9-ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77-ը բաժանվում է 7-ի առանց մնացորդի): Ավելին, եթե փոխակերպման ընթացքում ստացված թվի հետ կապված դժվարություններ են առաջանում (դրա չափերի պատճառով դժվար է հասկանալ՝ այն բաժանվում է 7-ի, թե ոչ, ապա այս ընթացակարգը կարելի է շարունակել այնքան անգամ, որքան անհրաժեշտ կհամարեք):
Օրինակ, 45 5 և 4580 1-ն ունի 7-ի բաժանելիության հատկություն: Առաջին դեպքում ամեն ինչ բավականին պարզ է. 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Երկրորդ դեպքում մենք կանենք սա. 4580 -2*1=4580-2=4578. Մեզ համար դժվար է հասկանալ՝ արդյոք 457 8-ը 7-ով, ուստի եկեք կրկնենք գործընթացը. 457 -2*8=457-16=441։ Եվ կրկին կօգտագործենք բաժանելիության թեստը, քանի որ մեր առջև դեռևս եռանիշ թիվ կա 44 1. Այսպիսով, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, այսինքն. 42-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 7-ի, ինչը նշանակում է, որ 45801-ը բաժանվում է 7-ի։
Ահա թվերը 11 1 և 34 5-ը չի բաժանվում 7-ի, քանի որ 11 -2*1=11-2=9 (9-ը չի բաժանվում 7-ի) և 34 -2*5=34-10=24 (24-ն առանց մնացորդի չի բաժանվում 7-ի):

8-ի բաժանելիության թեստ

8-ի բաժանելիության թեստը հնչում է այսպես՝ եթե վերջին 3 թվանշանները կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ, կամ այն ​​000 է, ապա տվյալ թիվը բաժանվում է 8-ի։
Թվեր 1 000 կամ 1 088 բաժանվում է 8-ի. առաջինն ավարտվում է 000 , երկրորդ 88 :8=11 (առանց մնացորդի բաժանվում է 8-ի):
Եվ ահա 1 թվերը 100 կամ 4 757 չեն բաժանվում 8-ի, քանի որ թվերը 100 Եվ 757 առանց մնացորդի չեն բաժանվում 8-ի:

Բաժանելիության ստուգում 9-ի վրա

Բաժանելիության այս նշանը նման է 3-ի բաժանելիության նշանին. եթե թվի թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի, ապա թիվը բաժանվում է 9-ի; Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը չի բաժանվում 9-ի, ապա այդ թիվը չի բաժանվում 9-ի։
Օրինակ՝ 3987-ը և 144-ը բաժանվում են 9-ի, քանի որ առաջին դեպքում 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - առանց մնացորդի բաժանվում է 9-ի), իսկ երկրորդում՝ 1+4+4=. 9 (9:9=1 - նույնպես բաժանվում է 9-ի):
Բայց թվերը՝ 235 և 141, չեն բաժանվում 9-ի, քանի որ 2+3+5= 10 և 1+4+1= 6 (և մենք գիտենք, որ ոչ 10-ը, ոչ 6-ը չեն բաժանվում 9-ի առանց մնացորդի):

10, 100, 1000 և այլ թվային միավորների բաժանման նշաններ

Ես միավորեցի այս բաժանելիության նշանները, քանի որ դրանք կարելի է նկարագրել նույն կերպ. թիվը բաժանվում է թվանշանի միավորի, եթե թվի վերջում զրոների թիվը մեծ է կամ հավասար է տվյալ թվանշանային միավորի զրոների թվին։ .
Այսինքն, օրինակ, ունենք հետևյալ թվերը՝ 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . որոնցից բոլորը բաժանվում են 1-ի 0 ; 46400 և 867 000 բաժանվում են նաև 1-ի 00 ; եւ դրանցից միայն մեկն է 867 000 բաժանվում է 1-ի 000 .
Ցանկացած թվեր, որոնք ունեն ավելի քիչ հետևող զրո, քան թվանշանային միավորը, չեն բաժանվում այդ թվային միավորի վրա, օրինակ՝ 600 30 և 7 93 անբաժանելի 1 00 .

Բաժանելիության թեստ 11-ի վրա

Որպեսզի պարզեք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 11-ի, անհրաժեշտ է ստանալ այս թվի զույգ և կենտ թվերի գումարների տարբերությունը։ Եթե ​​այս տարբերությունը հավասար է 0-ի կամ առանց մնացորդի բաժանվում է 11-ի, ապա ինքնին թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 11-ի։
Ավելի պարզ դարձնելու համար ես առաջարկում եմ դիտել օրինակներ. 2 35 4-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4-ը նույնպես բաժանվում է 11-ի, քանի որ ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ահա 1 1 1 կամ 4 35 4-ը չի բաժանվում 11-ի, քանի որ առաջին դեպքում ստանում ենք (1+1)- 1 =1, իսկ երկրորդում ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Բաժանելիության թեստ 12-ի վրա

12 թիվը բաղադրյալ է։ Նրա բաժանելիության նշանը միաժամանակ 3-ի և 4-ի բաժանելիության նշաններին համապատասխանությունն է։
Օրինակ՝ 300-ը և 636-ը համապատասխանում են և՛ 4-ի վրա բաժանվածության նշաններին (վերջին 2 թվանշանները զրո են կամ բաժանվում են 4-ի), և՛ բաժանելիության նշաններին 3-ի վրա (ինչպես առաջին, այնպես էլ երրորդ թվերի թվանշանների գումարը բաժանվում է): 3-ի վրա), բայց վերջապես նրանք առանց մնացորդի բաժանվում են 12-ի։
Բայց 200-ը կամ 630-ը չեն բաժանվում 12-ի, քանի որ առաջին դեպքում թիվը բավարարում է միայն 4-ի բաժանելիության չափանիշին, իսկ երկրորդում՝ միայն 3-ի բաժանելիության չափանիշին, բայց ոչ երկու չափանիշներին միաժամանակ։

Բաժանելիության թեստ 13-ի վրա

13-ի բաժանելիության նշանն այն է, որ եթե 4-ով բազմապատկած այս թվի միավորներին ավելացված տասնյակների թիվը 13-ի բազմապատիկ է կամ հավասար է 0-ի, ապա այդ թիվը ինքնին բաժանվում է 13-ի։
Օրինակ վերցնենք 70 2. Այսպիսով, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 13-ի), ինչը նշանակում է. 70 2-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 13-ի։ Մեկ այլ օրինակ է թիվ 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10։ 130 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 13-ի, ինչը նշանակում է, որ տվյալ թիվը համապատասխանում է 13-ի բաժանելիության չափանիշին։
Եթե ​​վերցնենք թվերը 12 5 կամ 21 2, ապա մենք ստանում ենք 12 +4*5=32 և 21 +4*2=29 համապատասխանաբար, և ոչ 32-ը, ոչ 29-ը առանց մնացորդի չեն բաժանվում 13-ի, ինչը նշանակում է, որ տրված թվերն առանց մնացորդի չեն բաժանվում 13-ի։

Թվերի բաժանելիությունը

Ինչպես երևում է վերը նշվածից, կարելի է ենթադրել, որ որևէ մեկին բնական թվերԴուք կարող եք ընտրել բաժանելիության ձեր անհատական ​​նշանը կամ «բաղադրյալ» նշանը, եթե թիվը մի քանի տարբեր թվերի բազմապատիկ է: Բայց ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, ընդհանուր առմամբ, որքան մեծ է թիվը, այնքան ավելի բարդ է նրա նշանը: Հնարավոր է, որ բաժանելիության չափանիշը ստուգելու համար ծախսված ժամանակը կարող է հավասար կամ ավելի մեծ լինել, քան բուն բաժանումը: Այդ պատճառով մենք սովորաբար օգտագործում ենք բաժանելիության ամենապարզ նշանները։

Հոդվածում քննարկվում է ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու հայեցակարգը։ Ապացուցենք մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմը և դիտարկենք դիվիդենտների և բաժանարարների, թերի քանորդների և մնացորդների կապերը։ Եկեք նայենք կանոններին ամբողջ թվերը մնացորդներով բաժանելիս՝ մանրամասն դիտարկելով դրանք օրինակներով։ Լուծման վերջում մենք ստուգում ենք կատարելու։

Ամբողջ թվերի մնացորդներով բաժանման ընդհանուր պատկերացում

Ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդով համարվում է ընդհանրացված բաժանում բնական թվերի մնացորդով։ Դա արվում է, քանի որ բնական թվերը ամբողջ թվերի բաղադրիչ են:

Կամայական թվի մնացորդով բաժանումը ասում է, որ a ամբողջ թիվը բաժանվում է զրոյից տարբերվող b թվի: Եթե ​​b = 0, ապա մի բաժանեք մնացորդի հետ:

Ինչպես բնական թվերը մնացորդով բաժանելը, ամբողջ թվերը a և b բաժանվում են, իսկ b-ով ոչ զրոյի, c-ի և d-ի: Այս դեպքում a-ն և b-ն կոչվում են դիվիդենտ և բաժանարար, իսկ d-ն բաժանման մնացորդն է, c-ն ամբողջ կամ թերի քանորդ է:

Եթե ​​ենթադրենք, որ մնացորդը ամբողջություն չէ բացասական թիվ, ապա դրա արժեքը մեծ չէ b թվի մոդուլից։ Գրենք այսպես՝ 0 ≤ d ≤ b. Անհավասարությունների այս շղթան օգտագործվում է 3 կամ ավելի թվեր համեմատելիս։

Եթե ​​c-ն թերի քանորդ է, ապա d-ն a ամբողջ թիվը b-ի բաժանելու մնացորդն է, որը կարելի է հակիրճ ձևակերպել՝ a: b = c (մնացորդը d):

a թվերը b-ի բաժանելիս մնացորդը կարող է լինել զրո, ապա ասում են, որ a-ն ամբողջությամբ բաժանվում է b-ի, այսինքն՝ առանց մնացորդի։ Առանց մնացորդի բաժանումը համարվում է բաժանման հատուկ դեպք։

Եթե ​​զրոն բաժանենք ինչ-որ թվի, ապա ստացվում է զրո։ Բաժանման մնացորդը նույնպես զրո կլինի։ Սա կարելի է հետևել զրոն ամբողջ թվի վրա բաժանելու տեսությունից:

Այժմ նայենք ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու իմաստին։

Հայտնի է, որ դրական ամբողջ թվերը բնական թվեր են, ապա մնացորդով բաժանելիս կստացվի նույն նշանակությունը, ինչ բնական թվերը մնացորդով բաժանելիս։

Բացասական a ամբողջ թիվը բաժանելը դրական ամբողջ թվի վրա իմաստ ունի: Դիտարկենք մի օրինակ։ Պատկերացրեք մի իրավիճակ, երբ մենք ունենք ապրանքների պարտք a-ի չափով, որը պետք է մարի b անձի կողմից: Դրան հասնելու համար բոլորը պետք է հավասարապես նպաստեն: Յուրաքանչյուրի համար պարտքի չափը որոշելու համար պետք է ուշադրություն դարձնել մասնավոր s-ի արժեքին: Մնացած d-ը ցույց է տալիս, որ պարտքերը մարելուց հետո ապրանքների քանակը հայտնի է:

Եկեք նայենք խնձորի օրինակին. Եթե ​​2 հոգի պարտք են 7 խնձոր. Եթե ​​հաշվենք, որ բոլորը պետք է վերադարձնեն 4 խնձոր, լրիվ հաշվարկից հետո կմնա 1 խնձոր։ Գրենք սա որպես հավասարություն՝ (− 7) : 2 = − 4 (t. 1-ից) ։

Ցանկացած a թիվ ամբողջ թվի վրա բաժանելն իմաստ չունի, բայց դա հնարավոր է որպես տարբերակ։

Մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմ

Մենք պարզեցինք, որ a-ն շահաբաժինն է, ապա b-ն բաժանարարն է, c-ն մասնակի քանորդն է, իսկ d-ն մնացորդն է: Նրանք կապված են միմյանց հետ: Մենք ցույց կտանք այս կապը՝ օգտագործելով a = b · c + d հավասարությունը: Նրանց միջև կապը բնութագրվում է մնացորդի հետ բաժանելիության թեորեմով։

Թեորեմ

Ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել միայն ամբողջ և ոչ զրոյական b թվի միջոցով՝ a = b · q + r, որտեղ q և r որոշ ամբողջ թվեր են: Այստեղ մենք ունենք 0 ≤ r ≤ b:

Ապացուցենք a = b · q + r գոյության հնարավորությունը։

Ապացույց

Եթե ​​կան երկու a և b թվեր, և a-ն առանց մնացորդի բաժանվում է b-ի, ապա սահմանումից բխում է, որ կա q թիվ, և a = b · q հավասարությունը ճիշտ կլինի։ Այնուհետև հավասարությունը կարելի է ճշմարիտ համարել՝ a = b · q + r r = 0-ի համար:

Այնուհետև անհրաժեշտ է q վերցնել այնպիսին, որ տրված է b · q անհավասարությամբ< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Ունենք, որ a − b · q արտահայտության արժեքը մեծ է զրոյից և մեծ չէ b թվի արժեքից, հետևում է, որ r = a − b · q։ Մենք գտնում ենք, որ a թիվը կարող է ներկայացվել a = b · q + r ձևով:

Այժմ մենք պետք է դիտարկենք a = b · q + r ներկայացնելը b-ի բացասական արժեքների համար:

Թվի մոդուլը ստացվում է դրական, այնուհետև մենք ստանում ենք a = b · q 1 + r, որտեղ q 1 արժեքը որոշ ամբողջ թիվ է, r-ն ամբողջ թիվ է, որը համապատասխանում է 0 ≤ r պայմանին:< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Եզակիության ապացույց

Ենթադրենք, որ a = b q + r, q և r 0 ≤ r պայմանով ամբողջ թվեր են:< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1Եվ r 1որոշ թվեր են, որտեղ q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Երբ անհավասարությունը հանվում է ձախ և աջ կողմերից, ապա ստանում ենք 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, որը համարժեք է r - r 1 = b · q 1 - q: Քանի որ մոդուլն օգտագործվում է, մենք ստանում ենք հավասարություն r - r 1 = b · q 1 - q:

Տրված պայմանն ասում է, որ 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что քԵվ q 1- ամբողջ, և q ≠ q 1, ապա q 1 - q ≥ 1: Այստեղից մենք ունենք, որ b · q 1 - q ≥ b. Ստացված անհավասարությունները r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Հետևում է, որ a թիվը այլ կերպ չի կարող ներկայացվել, բացի a = b · q + r գրելուց։

Շահաբաժնի, բաժանարարի, մասնակի քանորդի և մնացորդի հարաբերությունը

Օգտագործելով a = b · c + d հավասարությունը, կարող եք գտնել a անհայտ դիվիդենտը, երբ հայտնի է b բաժանարարը c թերի քանորդով և d մնացորդով:

Օրինակ 1

Որոշե՛ք շահաբաժինը, եթե բաժանելիս ստանում ենք՝ 21, մասնակի գործակիցը 5 է, իսկ մնացորդը՝ 12։

Լուծում

a շահաբաժինն անհրաժեշտ է հաշվարկել հայտնի բաժանարարով b = − 21, թերի քանորդով c = 5 և մնացորդով d = 12։ Մենք պետք է դիմենք a = b · c + d հավասարությանը, այստեղից ստանում ենք a = (− 21) · 5 + 12: Եթե ​​հետևենք գործողությունների հերթականությանը, ապա - 21-ը բազմապատկում ենք 5-ով, որից հետո ստանում ենք (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93։

Պատասխան. - 93 .

Բաժանարարի և մասնակի քանորդի և մնացորդի միջև կապը կարելի է արտահայտել՝ օգտագործելով հավասարությունները՝ b = (a − d) : c , c = (a − d) : b և d = a − b · c : Նրանց օգնությամբ մենք կարող ենք հաշվարկել բաժանարարը, մասնակի քանորդը և մնացորդը: Սա հանգում է նրան, որ անընդհատ մնացորդ գտնելը a ամբողջ թիվը b-ի վրա բաժանելիս հայտնի դիվիդենտով, բաժանարարով և մասնակի գործակցով: Կիրառվում է d = a − b · c բանաձևը: Եկեք մանրամասն քննարկենք լուծումը:

Օրինակ 2

Գտե՛ք մնացորդը՝ 19-ը ամբողջ թիվը 3-ի վրա բաժանելիս՝ հայտնի թերի քանորդով, որը հավասար է -7-ի:

Լուծում

Բաժանման մնացորդը հաշվարկելու համար մենք կիրառում ենք d = a − b · c ձևի բանաձև: Ըստ պայմանի, բոլոր տվյալները հասանելի են՝ a = − 19, b = 3, c = − 7: Այստեղից ստանում ենք d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (տարբերությունը − 19 − (− 21) Այս օրինակը հաշվարկված է. օգտագործելով հանման կանոնը բացասական ամբողջ թիվ:

Պատասխան. 2 .

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը բնական թվեր են: Այստեղից բխում է, որ բաժանումը կատարվում է ըստ բնական թվերի մնացորդով բաժանման բոլոր կանոնների։ Բնական թվերի մնացորդի հետ բաժանման արագությունը կարևոր է, քանի որ դրա վրա են հիմնված ոչ միայն դրական թվերի բաժանումը, այլև կամայական ամբողջ թվերի բաժանման կանոնները։

Բաժանման ամենահարմար մեթոդը սյունակն է, քանի որ մնացորդով թերի կամ պարզապես գործակից ստանալն ավելի հեշտ և արագ է: Եկեք նայենք լուծմանը ավելի մանրամասն:

Օրինակ 3

14671 թիվը բաժանեք 54-ի։

Լուծում

Այս բաժանումը պետք է կատարվի սյունակում.

Այսինքն՝ մասնակի գործակիցը հավասար է 271-ի, իսկ մնացորդը՝ 37։

Պատասխան. 14671՝ 54 = 271։ (հանգիստ 37)

Մնացորդով դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոն, օրինակներ

Դրական թվի մնացորդի հետ բացասական ամբողջ թվով բաժանում կատարելու համար անհրաժեշտ է ձևակերպել կանոն.

Սահմանում 1

a դրական ամբողջ թիվը բացասական b թվի վրա բաժանելու թերի քանորդից ստացվում է մի թիվ, որը հակառակ է a թվերի մոդուլները b-ի բաժանելու ոչ լրիվ գործակցին։ Այնուհետև մնացորդը հավասար է մնացորդին, երբ a-ն բաժանվում է b-ի:

Այսպիսով, մենք ունենք, որ դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ոչ լրիվ գործակիցը համարվում է ոչ դրական ամբողջ թիվ:

Մենք ստանում ենք ալգորիթմ.

• շահաբաժնի մոդուլը բաժանում ենք բաժանարարի մոդուլի վրա, այնուհետև ստանում ենք թերի քանորդ և
• մնացորդ;
• Գրենք ստացածի հակառակ թիվը։

Դիտարկենք դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ալգորիթմի օրինակը։

Օրինակ 4

Մնացած 17-ի հետ բաժանեք 5-ի:

Լուծում

Կիրառենք մնացորդով դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ալգորիթմը։ Անհրաժեշտ է 17-ը բաժանել - 5 մոդուլի։ Այստեղից ստանում ենք, որ մասնակի գործակիցը հավասար է 3-ի, իսկ մնացորդը հավասար է 2-ի։

Մենք ստանում ենք, որ անհրաժեշտ թիվը 17-ը 5 = - 3-ի բաժանելուց 2-ի հավասար մնացորդով:

Պատասխան. 17: (− 5) = − 3 (մնացյալ 2):

Օրինակ 5

Դուք պետք է բաժանեք 45-ը - 15-ի:

Լուծում

Անհրաժեշտ է բաժանել թվերի մոդուլը: 45 թիվը բաժանենք 15-ի, առանց մնացորդի ստանում ենք 3-ի գործակիցը։ Սա նշանակում է, որ 45 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 15-ի։ Պատասխանն է՝ 3, քանի որ բաժանումն իրականացվել է մոդուլով։

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Պատասխան. 45: (− 15) = − 3 .

Մնացորդով բաժանման կանոնի ձևակերպումը հետևյալն է.

Սահմանում 2

Բացասական a ամբողջ թիվը դրական b-ի վրա բաժանելիս թերի c գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է կիրառել տրված թվի հակառակը և նրանից հանել 1-ը, այնուհետև d-ի մնացորդը կհաշվարկվի բանաձևով՝ d = a −: բ · գ.

Կանոնից ելնելով կարող ենք եզրակացնել, որ բաժանելիս ստանում ենք ոչ բացասական ամբողջ թիվ։ Լուծման ճշգրտությունն ապահովելու համար օգտագործեք a-ը b-ի մնացորդի հետ բաժանելու ալգորիթմը.

• գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները.
• բաժանել մոդուլ;
• գրի՛ր տրված թվի հակառակը և հանի՛ր 1;
• օգտագործել d = a − b · c մնացորդի բանաձևը:

Եկեք նայենք լուծման օրինակին, որտեղ օգտագործվում է այս ալգորիթմը:

Օրինակ 6

Գտե՛ք բաժանման մասնակի գործակիցը և մնացորդը՝ 17-ը 5-ի:

Լուծում

Տրված թվերը մոդուլով ենք բաժանում. Մենք գտնում ենք, որ բաժանելիս գործակիցը 3 է, իսկ մնացորդը՝ 2։ Քանի որ մենք ստացել ենք 3, հակառակը 3 է: Պետք է հանել 1:

− 3 − 1 = − 4 .

Ցանկալի արժեքը հավասար է - 4-ի:

Մնացորդը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է a = − 17, b = 5, c = − 4, ապա d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Սա նշանակում է, որ բաժանման թերի գործակիցը 4 թիվն է՝ 3-ի հավասար մնացորդով։

Պատասխան.(− 17) : 5 = − 4 (մնաց 3)։

Օրինակ 7

Բացասական ամբողջ թիվը՝ 1404, բաժանեք դրական 26-ի:

Լուծում

Անհրաժեշտ է բաժանել ըստ սյունակի և մոդուլի։

Ստացանք թվերի մոդուլների բաժանումն առանց մնացորդի։ Սա նշանակում է, որ բաժանումը կատարվում է առանց մնացորդի, իսկ ցանկալի գործակիցը = - 54:

Պատասխան. (− 1 404) : 26 = − 54 .

Բաժանման կանոն մնացորդով բացասական ամբողջ թվերի համար, օրինակներ

Անհրաժեշտ է ձևակերպել բացասական ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման կանոն։

Սահմանում 3

Բացասական a ամբողջ թիվը բացասական b թվի վրա b բաժանելուց թերի c գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է կատարել մոդուլային հաշվարկներ, ապա ավելացնել 1, այնուհետև կարող ենք կատարել հաշվարկներ՝ օգտագործելով d = a − b · c բանաձևը։

Դրանից բխում է, որ բացասական ամբողջ թվերի բաժանման ոչ լրիվ գործակիցը կլինի դրական թիվ։

Եկեք ձեւակերպենք այս կանոնըալգորիթմի տեսքով.

• գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները.
• բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլի վրա, որպեսզի ստացվի ոչ լրիվ քանորդ
• մնացորդ;
• թերի գործակցին ավելացնելով 1;
• մնացորդի հաշվարկ՝ հիմնվելով d = a − b · c բանաձևի վրա:

Դիտարկենք այս ալգորիթմը՝ օգտագործելով օրինակ:

Օրինակ 8

Գտե՛ք մասնակի քանորդը և մնացորդը 17-ը 5-ի բաժանելիս:

Լուծում

Լուծման ճիշտության համար կիրառում ենք մնացորդով բաժանման ալգորիթմը։ Նախ, բաժանեք թվերի մոդուլը: Դրանից մենք ստանում ենք, որ մասնակի քանորդը = 3, իսկ մնացորդը 2 է: Ըստ կանոնի՝ պետք է ավելացնել թերի քանորդը և 1։ Մենք ստանում ենք, որ 3 + 1 = 4: Այստեղից ստանում ենք, որ տրված թվերը բաժանելու մասնակի գործակիցը հավասար է 4-ի։

Մնացածը հաշվարկելու համար մենք կօգտագործենք բանաձևը. Պայմանով ունենք, որ a = − 17, b = − 5, c = 4, ապա, օգտագործելով բանաձեւը, ստանում ենք d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3։ Պահանջվող պատասխանը, այսինքն՝ մնացորդը, հավասար է 3-ի, իսկ մասնակի գործակիցը հավասար է 4-ի։

Պատասխան.(− 17) : (− 5) = 4 (մնաց 3)։

Ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքի ստուգում

Թվերը մնացորդի հետ բաժանելուց հետո դուք պետք է ստուգեք: Այս ստուգումը ներառում է 2 փուլ. Նախ, d մնացորդը ստուգվում է ոչ բացասական լինելու համար, 0 ≤ d պայմանը բավարարվում է< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 9

Բաժանումը կատարվում է՝ 521-ը 12-ի վրա։ Գործակիցը 44 է, մնացորդը՝ 7։ Կատարել ստուգում.

Լուծում

Քանի որ մնացորդը դրական թիվ է, դրա արժեքը փոքր է բաժանարարի մոդուլից։ Բաժանարարը - 12 է, ինչը նշանակում է, որ նրա մոդուլը 12 է: Դուք կարող եք անցնել հաջորդ ստուգման կետին:

Պայմաններով ունենք, որ a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7։ Այստեղից մենք հաշվարկում ենք b · c + d, որտեղ b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521։ Դրանից բխում է, որ հավասարությունը ճիշտ է։ Ստուգումն անցել է։

Օրինակ 10

Կատարեք բաժանման ստուգում (− 17). 5 = − 3 (մնացորդը՝ 2): Ճի՞շտ է արդյոք հավասարությունը։

Լուծում

Առաջին փուլի իմաստն այն է, որ անհրաժեշտ է ստուգել ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդով։ Այստեղից պարզ է դառնում, որ գործողությունը սխալ է կատարվել, քանի որ տրված է - 2-ի հավասար մնացորդ։ Մնացածը բացասական թիվ չէ։

Մենք ունենք, որ երկրորդ պայմանը կատարվում է, բայց ոչ բավարար այս դեպքի համար։

Պատասխան.Ոչ

Օրինակ 11

19 թիվը բաժանվեց 3-ի։ Մասնակի գործակիցը 7 է, իսկ մնացորդը՝ 1։ Ստուգեք՝ արդյոք այս հաշվարկը ճիշտ է կատարվել։

Լուծում

Տրվում է 1-ի հավասար մնացորդ: Նա դրական է: Արժեքը փոքր է բաժանարար մոդուլից, ինչը նշանակում է, որ ավարտվում է առաջին փուլը: Անցնենք երկրորդ փուլին։

Հաշվենք b · c + d արտահայտության արժեքը։ Պայմանով մենք ունենք b = − 3, c = 7, d = 1, ինչը նշանակում է փոխարինել թվային արժեքներ, ստանում ենք b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 ։ Հետևում է, որ a = b · c + d հավասարությունը չի պահպանվում, քանի որ պայմանը տալիս է a = - 19:

Այստեղից հետևում է, որ բաժանումը կատարվել է սխալմամբ։

Պատասխան.Ոչ

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք ամբողջ թվերի բաժանումը մնացորդի հետ. Սկսենք ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու ընդհանուր սկզբունքից, ձևակերպենք և ապացուցենք մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմը և հետևենք դիվիդենտի, բաժանարարի, անավարտ քանորդի և մնացորդի միջև կապերին։ Այնուհետև մենք ուրվագծելու ենք այն կանոնները, որոնցով ամբողջ թվերը բաժանվում են մնացորդով և կքննարկենք այս կանոնների կիրառումը օրինակներ լուծելիս: Դրանից հետո մենք կսովորենք, թե ինչպես ստուգել ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքը։

Էջի նավարկություն.

Ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու ընդհանուր պատկերացում

Որպես ընդհանրացում կդիտարկենք մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանումը Բաժանում բնական թվերի մնացորդներով. Սա այն պատճառով ամբողջ թվերեն անբաժանելի մասն է ամբողջ թվեր.

Սկսենք այն տերմիններից և նշանակումներից, որոնք օգտագործվում են նկարագրության մեջ:

Բնական թվերի մնացորդով բաժանման հետ անալոգիայով կենթադրենք, որ a և b երկու ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման արդյունքը (b-ն հավասար չէ զրոյի) երկու ամբողջ թիվ է c և d: Կոչվում են a և b թվերը բաժանելիԵվ բաժանարարհամապատասխանաբար, դ թիվը՝ մնացածը a-ն b-ի բաժանելուց, և c ամբողջ թիվը կոչվում է թերի մասնավոր(կամ պարզապես մասնավոր, եթե մնացորդը զրո է):

Համաձայնենք ենթադրել, որ մնացորդ կա ոչ բացասական ամբողջ թիվ, և դրա արժեքը չի գերազանցում b-ն, այսինքն՝ (անհավասարությունների նմանատիպ շղթաների հանդիպեցինք, երբ խոսում էինք համեմատելով երեք կամ ավելի ամբողջ թվեր).

Եթե ​​c թիվը թերի քանորդ է, իսկ d թիվը a ամբողջ թիվը b-ի վրա բաժանելու մնացորդն է, ապա այս փաստը համառոտ կգրենք որպես a:b=c (մնացորդ d) ձևի հավասարություն։

Նկատի ունեցեք, որ a ամբողջ թիվը ամբողջ b-ի բաժանելիս մնացորդը կարող է լինել զրո: Այս դեպքում ասում ենք, որ a-ն բաժանվում է b-ի առանց հետքի(կամ ամբողջությամբ) Այսպիսով, ամբողջ թվերի բաժանում առանց մնացորդիամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու հատուկ դեպք է։

Արժե նաև ասել, որ զրոն ինչ-որ ամբողջ թվի վրա բաժանելիս միշտ գործ ունենք առանց մնացորդի բաժանման, քանի որ այս դեպքում գործակիցը հավասար կլինի զրոյի (տես տեսության բաժինը. զրոն բաժանելով ամբողջ թվով), իսկ մնացորդը նույնպես կլինի զրո։

Մենք որոշել ենք տերմինաբանությունը և նշումը, հիմա եկեք հասկանանք ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու իմաստը:

Բացասական a ամբողջ թիվը բաժանելով ամբողջ թվի դրական թիվ b-ին նույնպես կարելի է իմաստ տալ. Դա անելու համար հաշվի առեք բացասական ամբողջ թիվ՝ որպես պարտք. Պատկերացնենք այս իրավիճակը։ Պարտքը, որը կազմում է առարկաները, պետք է մարվի բ մարդկանց կողմից՝ կատարելով հավասար ներդրում: Անավարտ c գործակցի բացարձակ արժեքը այս դեպքում կորոշի այս մարդկանցից յուրաքանչյուրի պարտքի չափը, իսկ մնացորդը d ցույց կտա, թե քանի ապրանք կմնա պարտքը վճարելուց հետո: Օրինակ բերենք. Ասենք 2 հոգի 7 խնձոր պարտք ունի։ Եթե ​​ենթադրենք, որ նրանցից յուրաքանչյուրը 4 խնձորի պարտք ունի, ապա պարտքը վճարելուց հետո նրանց կմնա 1 խնձոր։ Այս իրավիճակը համապատասխանում է հավասարությանը (−7):2=−4 (մնաց 1):

Մենք որևէ նշանակություն չենք տա կամայական ամբողջ թվի մնացորդով a բացասական ամբողջ թվով բաժանմանը, բայց մենք վերապահում ենք նրա գոյության իրավունքը:

Մնացորդով ամբողջ թվերի բաժանելիության թեորեմ

Երբ խոսեցինք բնական թվերը մնացորդով բաժանելու մասին, պարզեցինք, որ a, բաժանարար b, մասնակի քանորդ c և մնացորդը d կապվում են a=b·c+d հավասարությամբ։ a, b, c և d ամբողջ թվերն ունեն նույն հարաբերությունները: Այս կապը հաստատվում է հետևյալ կերպ մնացորդով բաժանելիության թեորեմ.

Թեորեմ.

Ցանկացած ամբողջ a կարող է եզակի կերպով ներկայացված լինել ամբողջ և ոչ զրոյական b թվի միջոցով a=b·q+r ձևով, որտեղ q և r որոշ ամբողջ թվեր են, և .

Ապացույց.

Նախ ապացուցում ենք a=b·q+r ներկայացնելու հնարավորությունը։

Եթե ​​a և b ամբողջ թվերն այնպիսին են, որ a-ն բաժանվում է b-ի, ապա ըստ սահմանման գոյություն ունի q այնպիսի ամբողջ թիվ, որ a=b·q: Այս դեպքում գործում է a=b·q+r հավասարությունը r=0-ում:

Այժմ մենք կենթադրենք, որ b-ն դրական ամբողջ թիվ է։ Ընտրենք q ամբողջ թիվ, որպեսզի b·q արտադրյալը չգերազանցի a թիվը, իսկ b·(q+1) արտադրյալն արդեն մեծ լինի a-ից։ Այսինքն՝ q վերցնում ենք այնպես, որ b q անհավասարությունները

Մնում է ապացուցել a=b·q+r բացասական b-ի համար ներկայացնելու հնարավորությունը:

Քանի որ b թվի մոդուլն այս դեպքում դրական թիվ է, ապա կա մի ներկայացում, որտեղ q 1-ը որոշ ամբողջ թիվ է, իսկ r-ը մի ամբողջ թիվ է, որը բավարարում է պայմանները: Այնուհետև, վերցնելով q=−q 1, ստանում ենք այն ներկայացումը, որը մեզ անհրաժեշտ է a=b·q+r բացասական b-ի համար:

Անցնենք եզակիության ապացույցին։

Ենթադրենք, որ բացի a=b·q+r-ից, q և r-ն ամբողջ թվեր են և , կա ևս մեկ ներկայացում a=b·q 1 +r 1, որտեղ q 1 և r 1 որոշ ամբողջ թվեր են, և q 1 ≠ ք և.

Երկրորդ հավասարության ձախ և աջ կողմերը, համապատասխանաբար, առաջին հավասարության ձախ և աջ կողմերից հանելուց հետո ստանում ենք 0=b·(q−q 1)+r−r 1, որը համարժեք է r− հավասարությանը։ r 1 =b·(q 1−q) . Այնուհետև ձևի հավասարություն , իսկ թվերի մոդուլի հատկությունների շնորհիվ՝ հավասարությունը .

Պայմաններից կարելի է եզրակացնել, որ. Քանի որ q և q 1-ը ամբողջ թվեր են, իսկ q≠q 1, ուրեմն եզրակացնում ենք, որ . Ստացված անհավասարություններից և հետևում է, որ ձևի հավասարություն անհնար է մեր ենթադրությամբ: Հետեւաբար, a=b·q+r-ից բացի a թվի այլ ներկայացում չկա։

Հարաբերությունները շահաբաժնի, բաժանարարի, մասնակի քանորդի և մնացորդի միջև

a=b·c+d հավասարությունը թույլ է տալիս գտնել a անհայտ դիվիդենտը, եթե հայտնի են b բաժանարարը, c մասնակի քանորդը և d մնացորդը: Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ.

Ո՞րն է շահաբաժնի արժեքը, եթե −21 ամբողջ թվի վրա բաժանելիս ստացվում է 5-ի թերի գործակից և 12-ի մնացորդ:

Լուծում.

Մենք պետք է հաշվարկենք a շահաբաժինը, երբ հայտնի են b=−21 բաժանարարը, c=5 մասնակի քանորդը և մնացորդը՝ d=12։ Դառնալով a=b·c+d հավասարությանը` ստանում ենք a=(−21)·5+12: Դիտարկելով՝ մենք նախ −21 և 5 ամբողջ թվերը բազմապատկում ենք տարբեր նշաններով ամբողջ թվերի բազմապատկման կանոնը, որից հետո կատարում ենք տարբեր նշաններով ամբողջ թվերի ավելացում(−21)·5+12=−105+12=−93 .

Պատասխան.

−93 .

Շահաբաժնի, բաժանարարի, մասնակի քանորդի և մնացորդի միջև կապերն արտահայտվում են նաև b=(a−d):c, c=(a−d):b և d=a−b·c ձևի հավասարություններով։ Այս հավասարությունները թույլ են տալիս հաշվարկել համապատասխանաբար բաժանարարը, մասնակի քանորդը և մնացորդը: Մենք հաճախ ստիպված կլինենք գտնել մնացորդը a ամբողջ թիվը ամբողջ b-ի վրա բաժանելիս, երբ հայտնի են դիվիդենտը, բաժանարարը և մասնակի քանորդը՝ օգտագործելով d=a−b·c բանաձևը։ Հետագա հարցերից խուսափելու համար եկեք դիտարկենք մնացորդը հաշվարկելու օրինակ:

Օրինակ.

Գտեք մնացորդը −19 ամբողջ թիվը 3-ի վրա բաժանելիս, եթե գիտեք, որ մասնակի գործակիցը հավասար է −7-ի։

Լուծում.

Բաժանման մնացորդը հաշվարկելու համար օգտագործում ենք d=a−b·c ձևի բանաձև։ Պայմանից ունենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները a=−19, b=3, c=−7։ Ստանում ենք d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (տարբերությունը հաշվել ենք −19−(−21)՝ օգտագործելով. բացասական ամբողջ թիվը հանելու կանոն).

Պատասխան.

Բաժանում դրական ամբողջ թվերի մնացորդներով, օրինակներ

Ինչպես արդեն մեկ անգամ չէ, որ նշել ենք, դրական ամբողջ թվերը բնական թվեր են։ Այսպիսով, դրական ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանումն իրականացվում է բնական թվերի մնացորդով բաժանման բոլոր կանոնների համաձայն։ Շատ կարևոր է, որ կարողանանք հեշտությամբ կատարել Բաժանում բնական թվերի մնացորդներով, քանի որ հենց դրա հիմքում ընկած է ոչ միայն դրական ամբողջ թվերի բաժանումը, այլև կամայական ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման բոլոր կանոնների հիմքը։

Մեր տեսանկյունից դա ամենահարմարն է կատարել բաժանում ըստ սյունակի, այս մեթոդը թույլ է տալիս ստանալ և՛ անավարտ քանորդը (կամ պարզապես քանորդը), և՛ մնացորդը։ Դիտարկենք դրական ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման օրինակ:

Օրինակ.

Մնացած 14671-ի հետ բաժանել 54-ի։

Լուծում.

Եկեք այս դրական ամբողջ թվերը բաժանենք սյունակով.

Մասնակի գործակիցը հավասար է 271-ի, իսկ մնացորդը հավասար է 37-ի։

Պատասխան.

14 671:54=271 (հանգստ. 37) .

Մնացորդով դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոն, օրինակներ

Եկեք ձևակերպենք մի կանոն, որը թույլ է տալիս կատարել դրական ամբողջ թվի մնացորդի բաժանում բացասական ամբողջ թվի վրա:

A դրական ամբողջ թիվը բացասական b-ի վրա բաժանելու մասնակի գործակիցը a-ն b-ի մոդուլի վրա բաժանելու մասնակի գործակցի հակառակն է, իսկ a-ին b-ի բաժանման մնացորդը հավասար է բաժանման մնացորդին:

Այս կանոնից հետևում է, որ դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու մասնակի գործակիցը հավասար է. ոչ դրական ամբողջ թիվ.

Նշված կանոնը վերափոխենք ալգորիթմի՝ մնացորդով դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու համար.

• Շահաբաժնի մոդուլը բաժանում ենք բաժանարարի մոդուլի վրա՝ ստանալով մասնակի քանորդը և մնացորդը։ (Եթե մնացորդը հավասար է զրոյի, ապա սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, իսկ հակառակ նշաններով ամբողջ թվերը բաժանելու կանոնի համաձայն՝ պահանջվող գործակիցը հավասար է մոդուլների բաժանումից ստացված քանորդին հակառակ թվին։ )
• Գրում ենք ստացված թերի գործակցի հակառակ թիվը և մնացորդը։ Այս թվերը, համապատասխանաբար, սկզբնական դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու անհրաժեշտ քանորդն են և մնացորդը։

Բերենք դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ալգորիթմի օգտագործման օրինակ։

Օրինակ.

Դրական 17-ի մնացորդը բաժանեք −5 բացասական ամբողջ թվի վրա:

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք մնացորդով դրական ամբողջ թիվը բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելու ալգորիթմը։

Բաժանելով

Թիվ, հակառակ թիվ 3-ը −3 է: Այսպիսով, 17-ը −5-ի բաժանելու պահանջվող մասնակի գործակիցը −3 է, իսկ մնացորդը՝ 2։

Պատասխան.

17 :(−5)=−3 (մնաց 2).

Օրինակ.

Բաժանել 45-ը −15-ով:

Լուծում.

Շահաբաժնի և բաժանարարի մոդուլներն են՝ համապատասխանաբար 45 և 15։ 45 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 15-ի, իսկ գործակիցը 3 է։ Հետևաբար, 45 դրական ամբողջ թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է −15 բացասական ամբողջ թվի վրա, իսկ քանորդը հավասար է 3-ի հակառակ թվին, այսինքն՝ −3։ Իսկապես, ըստ Տարբեր նշաններով ամբողջ թվեր բաժանելու կանոնմենք ունենք .

Պատասխան.

45:(−15)=−3 .

Բացասական ամբողջ թվի մնացորդով բաժանում դրական ամբողջ թվի վրա, օրինակներ

Տանք մնացորդով բացասական ամբողջ թիվը դրական ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոնի ձևակերպումը։

Բացասական a ամբողջ թիվը դրական b-ի վրա բաժանելուց c թերի գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է սկզբնական թվերի մոդուլները բաժանելուց վերցնել թերի գործակցի հակառակ թիվը և դրանից հանել մեկը, որից հետո հաշվարկվում է d մնացորդը: օգտագործելով d=a−b·c բանաձեւը։

Մնացորդով բաժանման այս կանոնից հետևում է, որ բացասական ամբողջ թիվը դրական ամբողջ թվի վրա բաժանելու մասնակի գործակիցը բացասական ամբողջ թիվ է։

Նշված կանոնից հետևում է մնացորդի հետ բացասական a ամբողջ թիվը դրական b-ի վրա բաժանելու ալգորիթմը.

• Գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները:
• Շահաբաժնի մոդուլը բաժանում ենք բաժանարարի մոդուլի վրա՝ ստանալով մասնակի քանորդը և մնացորդը։ (Եթե մնացորդը զրո է, ապա սկզբնական ամբողջ թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, և պահանջվող քանորդը հավասար է մոդուլի բաժանման գործակցին հակառակ թվին։)
• Ստացված թերի գործակիցին հակառակ թիվը գրում ենք և դրանից հանում 1 թիվը։ Հաշվարկված թիվը c ցանկալի մասնակի գործակիցն է սկզբնական բացասական ամբողջ թիվը դրական ամբողջ թվի վրա բաժանելուց:

Եկեք վերլուծենք օրինակի լուծումը, որտեղ մենք օգտագործում ենք գրավոր բաժանման ալգորիթմը մնացորդով։

Օրինակ.

Գտե՛ք մասնակի քանորդը և մնացորդը −17 բացասական ամբողջ թիվը 5-ի դրական ամբողջ թվի վրա բաժանելիս:

Լուծում.

−17 դիվիդենտի մոդուլը հավասար է 17-ի, իսկ 5 բաժանարարի մոդուլը հավասար է 5-ի։

Բաժանելով 17-ը 5-ով ստանում ենք մասնակի գործակիցը 3, իսկ մնացածը՝ 2։

3-ի հակառակը −3 է։ −3-ից հանել մեկը՝ −3−1=−4: Այսպիսով, պահանջվող մասնակի գործակիցը հավասար է −4-ի։

Մնում է հաշվել մնացորդը։ Մեր օրինակում a=−17, b=5, c=−4, ապա d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3. .

Այսպիսով, −17 բացասական ամբողջ թիվը 5-ի վրա բաժանելու մասնակի գործակիցը −4 է, իսկ մնացորդը՝ 3։

Պատասխան.

(−17):5=−4 (մնաց 3) .

Օրինակ.

Բացասական −1404 թիվը բաժանեք 26-ի դրական ամբողջ թվի վրա:

Լուծում.

Շահաբաժնի մոդուլը 1404 է, բաժանարարինը՝ 26։

1404-ը բաժանեք 26-ի՝ օգտագործելով սյունակ.

Քանի որ դիվիդենտի մոդուլը բաժանվում է առանց մնացորդի բաժանարարի մոդուլի, սկզբնական ամբողջ թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, իսկ ցանկալի քանորդը հավասար է 54-ի հակառակ թվին, այսինքն՝ −54։

Պատասխան.

(−1 404):26=−54 .

Բաժանման կանոն մնացորդով բացասական ամբողջ թվերի համար, օրինակներ

Ձևակերպենք բացասական ամբողջ թվերի մնացորդով բաժանման կանոնը.

Բացասական a ամբողջ թիվը բացասական b թվի վրա բաժանելուց c թերի գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է հաշվել սկզբնական թվերի մոդուլները բաժանելուց թերի գործակիցը և դրան ավելացնել մեկը, որից հետո d մնացորդը հաշվարկվում է d բանաձևով: =a−b·c.

Այս կանոնից հետևում է, որ բացասական ամբողջ թվերի բաժանման մասնակի գործակիցը դրական ամբողջ թիվ է։

Բացասական ամբողջ թվերը բաժանելու ալգորիթմի տեսքով վերաշարադրենք նշված կանոնը.

• Գտնել դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները:
• Շահաբաժնի մոդուլը բաժանում ենք բաժանարարի մոդուլի վրա՝ ստանալով մասնակի քանորդը և մնացորդը։ (Եթե մնացորդը զրո է, ապա սկզբնական ամբողջ թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, և պահանջվող քանորդը հավասար է բաժանարարի մոդուլի քանորդին, որը բաժանվում է բաժանարարի մոդուլի վրա)։
• Ստացված թերի գործակցին ավելացնում ենք մեկ, այս թիվը սկզբնական բացասական ամբողջ թվերի բաժանումից ցանկալի թերի քանորդն է:
• Մնացածը հաշվում ենք d=a−b·c բանաձևով։

Դիտարկենք բացասական ամբողջ թվերի բաժանման ալգորիթմի օգտագործումը օրինակ լուծելիս։

Օրինակ.

Գտե՛ք մասնակի քանորդը և մնացորդը −17 բացասական ամբողջ թիվը −5 բացասական ամբողջ թվի վրա բաժանելիս:

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք համապատասխան բաժանման ալգորիթմը մնացորդով:

Շահաբաժնի մոդուլը 17 է, բաժանարարինը՝ 5։

Բաժանում 17-ը 5-ից տալիս է մասնակի քանորդը 3, իսկ մնացածը 2:

3-ի ոչ լրիվ գործակցին գումարում ենք մեկը՝ 3+1=4։ Հետևաբար, −17-ը −5-ի բաժանելու պահանջվող մասնակի գործակիցը հավասար է 4-ի։

Մնում է հաշվել մնացորդը։ Այս օրինակում a=−17, b=−5, c=4, ապա d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3. .

Այսպիսով, −17 բացասական ամբողջ թիվը −5 բացասական ամբողջ թվի բաժանելու մասնակի գործակիցը 4 է, իսկ մնացորդը՝ 3։

Պատասխան.

(−17):(−5)=4 (մնաց 3) .

Ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքի ստուգում

Ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելուց հետո օգտակար է ստուգել արդյունքը։ Ստուգումն իրականացվում է երկու փուլով. Առաջին փուլում ստուգվում է, թե արդյոք մնացորդը d-ն ոչ բացասական թիվ է, ինչպես նաև ստուգվում է՝ արդյոք պայմանը բավարարված է։ Եթե ​​ստուգման առաջին փուլի բոլոր պայմանները բավարարված են, ապա կարող եք անցնել ստուգման երկրորդ փուլին, հակառակ դեպքում կարելի է պնդել, որ մնացորդով բաժանելիս ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել։ Երկրորդ փուլում ստուգվում է a=b·c+d հավասարության վավերականությունը։ Եթե ​​այս հավասարությունը ճիշտ է, ապա մնացորդով բաժանումը ճիշտ է կատարվել, հակառակ դեպքում ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել։

Դիտարկենք այն օրինակների լուծումները, որոնցում ստուգվում է ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու արդյունքը։

Օրինակ.

−521 թիվը −12-ի բաժանելիս մասնակի գործակիցը եղել է 44, իսկ մնացածը՝ 7, ստուգե՛ք արդյունքը։

Լուծում. −2 b=−3-ի համար, c=7, d=1: Մենք ունենք b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Այսպիսով, a=b·c+d հավասարությունը սխալ է (մեր օրինակում a=−19):

Ուստի մնացորդով բաժանումը սխալ է կատարվել։

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.
15:5=3
Այս օրինակում բնական թիվը բաժանեցինք 15 ամբողջությամբ 3-ով, առանց մնացորդի:

Երբեմն բնական թիվը չի կարելի ամբողջությամբ բաժանել։ Օրինակ, հաշվի առեք խնդիրը.
Պահարանում կար 16 խաղալիք։ Խմբում հինգ երեխա կար։ Յուրաքանչյուր երեխա վերցրեց նույն թվով խաղալիքներ: Քանի՞ խաղալիք ունի յուրաքանչյուր երեխա:

Լուծում:
16 թիվը սյունակի միջոցով բաժանում ենք 5-ի և ստանում ենք.

Մենք գիտենք, որ 16-ը չի կարելի բաժանել 5-ի։ Մոտակա փոքր թիվը, որը բաժանվում է 5-ի, 15-ն է՝ 1-ի մնացորդով։ 15 թիվը կարող ենք գրել 5⋅3։ Արդյունքում (16 – շահաբաժին, 5 – բաժանարար, 3 – ոչ լրիվ քանորդ, 1 – մնացորդ): Ստացել է բանաձեւը բաժանում մնացորդովորը կարելի է անել լուծումը ստուգելը.

ա= բ⋅ գ+ դ
ա - բաժանելի,
բ - բաժանարար,
գ - թերի գործակից,
դ - մնացորդը.

Պատասխան՝ յուրաքանչյուր երեխա կվերցնի 3 խաղալիք և կմնա մեկ խաղալիք:

Բաժանման մնացորդը

Մնացորդը միշտ պետք է փոքր լինի բաժանարարից:

Եթե ​​բաժանման ժամանակ մնացորդը զրո է, ապա դա նշանակում է, որ դիվիդենտը բաժանվում է ամբողջությամբկամ առանց մնացորդի բաժանարարի վրա։

Եթե ​​բաժանման ժամանակ մնացորդը մեծ է բաժանարարից, դա նշանակում է, որ հայտնաբերված թիվը ամենամեծը չէ։ Կա ավելի մեծ թիվ, որը կբաժանի դիվիդենտը, իսկ մնացորդը փոքր կլինի բաժանարարից:

Հարցեր «Բաժանում մնացորդով» թեմայով.
Կարո՞ղ է մնացորդը մեծ լինել բաժանարարից:
Պատասխան՝ ոչ։

Կարո՞ղ է մնացորդը հավասար լինել բաժանարարին:
Պատասխան՝ ոչ։

Ինչպե՞ս գտնել շահաբաժինը՝ օգտագործելով թերի քանորդը, բաժանարարը և մնացորդը:
Պատասխան. Բանաձևի մեջ փոխարինում ենք մասնակի քանորդի, բաժանարարի և մնացորդի արժեքները և գտնում ենք շահաբաժինը: Բանաձև:
a=b⋅c+d

Օրինակ #1:
Կատարե՛ք բաժանում մնացորդով և ստուգե՛ք՝ ա) 258:7 բ) 1873:8

Լուծում:
ա) բաժանել ըստ սյունակի.

258 - շահաբաժին,
7 - բաժանարար,
36 – թերի գործակից,
6 - մնացորդ: Մնացածը փոքր է 6-ի բաժանարարից<7.

7⋅36+6=252+6=258

բ) բաժանել ըստ սյունակի.

1873 – բաժանելի,
8 - բաժանարար,
234 – թերի գործակից,
1 - մնացորդ: Մնացածը փոքր է բաժանարար 1-ից<8.

Եկեք այն փոխարինենք բանաձևով և ստուգենք, թե արդյոք ճիշտ ենք լուծել օրինակը.
8⋅234+1=1872+1=1873

Օրինակ #2:
Ի՞նչ մնացորդներ են ստացվում բնական թվերը բաժանելիս՝ ա) 3 բ) 8.

Պատասխան.
ա) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար՝ 3-ից: Մեր դեպքում մնացորդը կարող է լինել 0, 1 կամ 2:
բ) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար փոքր է 8-ից։ Մեր դեպքում մնացորդը կարող է լինել 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 կամ 7։

Օրինակ #3:
Ո՞րն է ամենամեծ մնացորդը, որը կարելի է ստանալ բնական թվերը բաժանելիս՝ ա) 9 բ) 15.

Պատասխան.
ա) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար փոքր է 9-ից: Բայց մենք պետք է նշենք ամենամեծ մնացորդը: Այսինքն՝ բաժանարարին ամենամոտ թիվը։ Սա 8 թիվն է։
բ) Մնացորդը փոքր է բաժանարարից, հետևաբար՝ փոքր է 15-ից։ Բայց մենք պետք է նշենք ամենամեծ մնացորդը։ Այսինքն՝ բաժանարարին ամենամոտ թիվը։ Այս թիվը 14 է։

Օրինակ #4:
Գտե՛ք շահաբաժինը՝ ա) ա:6=3(հանգիստ.4) բ) գ:24=4(հանգիստ.11)

Լուծում:
ա) Լուծեք բանաձևով.
a=b⋅c+d
(a – շահաբաժին, բ – բաժանարար, c – մասնակի քանորդ, դ – մնացորդ):
ա:6=3(հանգիստ.4)
(ա – շահաբաժին, 6 – բաժանարար, 3 – մասնակի քանորդ, 4 – մնացորդ): Եկեք թվերը փոխարինենք բանաձևով.
a=6⋅3+4=22
Պատասխան՝ a=22

բ) Լուծեք բանաձևով.
a=b⋅c+d
(a – շահաբաժին, բ – բաժանարար, c – մասնակի քանորդ, դ – մնացորդ):
s:24=4(հանգիստ.11)
(գ – շահաբաժին, 24 – բաժանարար, 4 – մասնակի քանորդ, 11 – մնացորդ:) Թվերը փոխարինենք բանաձևով.
с=24⋅4+11=107
Պատասխան՝ c=107

Առաջադրանք.

Լար 4 մ. պետք է կտրել 13 սմ կտորների։ Քանի՞ այդպիսի կտոր կլինի:

Լուծում:
Նախ անհրաժեշտ է մետրերը վերածել սանտիմետրերի:
4մ.=400սմ.
Մենք կարող ենք բաժանել սյունակով կամ մեր մտքում ստանում ենք.
400:13=30 (մնաց 10)
Եկեք ստուգենք.
13⋅30+10=390+10=400

Պատասխան՝ Դուք կստանաք 30 հատ և կմնա 10 սմ մետաղալար։