Շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ Դինամիկայի ներածություն. Հիմնական դրույթներ

ԴԻՆԱՄԻԿԱ

«Տեսական մեխանիկա» առարկայի էլեկտրոնային դասագիրք.

ուսանողների համար նամակագրության ձևվերապատրաստում

Համապատասխանում է Դաշնային կրթական ստանդարտին

(երրորդ սերունդ)

Սիդորով Վ.Ն., տեխնիկական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր

Յարոսլավլի պետական ​​տեխնիկական համալսարան

Յարոսլավլ, 2016 թ

Ներածություն………………………………………………………………………………………

Դինամիկա ……………………………………………………………………

1. Ներածություն դինամիկայի. Հիմնական դրույթներ ……………………………

1.1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ……………………………………

1.2. Նյուտոնի օրենքները և դինամիկայի խնդիրները……………………………………

1.3.Ուժերի հիմնական տեսակները…………………………………………………. ...........

Ձգողության ուժը……………………………………………………………………………

Ձգողականություն ………………………………………………………………

Շփման ուժ …………………………………………………………………

Առաձգական ուժ ……………………………………………………………

1.4.Դիֆերենցիալ հավասարումներշարժումները ……………………………

Կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ…………………..

Մեխանիկական շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

համակարգեր…………………………………………………………….

2. Դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներ…………………………. ……………………………

2.1. Թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին …………………………………………

2.2. Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ……………………

2.3. Անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ…………

Պահերի թեորեմ…………………………………………………………………………

Կոշտ մարմնի կինետիկ պահը …………………………………

Կոշտ մարմնի իներցիայի առանցքային պահը ………………………………..

Հյուգենս – Շտայներ – Էյլերի թեորեմ…………………………..

Կոշտ մարմնի պտտման շարժման դինամիկայի հավասարումը...

2.4. Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ…………………..

Թեորեմ նյութի կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին

միավորներ…………………………………………………………………

Թեորեմ մեխանիկական կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին

համակարգեր………………………………………………………………

Պինդ մարմնի կինետիկ էներգիայի հաշվարկման բանաձևեր

շարժման տարբեր դեպքերում ……………………………………………………………

Ուժերի աշխատանքի հաշվարկման օրինակներ……………………………………

2.5 Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը……………………………

Ներածություն

«Ով ծանոթ չէ մեխանիկայի օրենքներին

նա չի կարող ճանաչել բնությունը»

Գալիլեո Գալիլեյ

Մեխանիկայի կարևորությունը, դրա նշանակալի դերը արտադրության բարելավման, արդյունավետության բարձրացման, գիտատեխնիկական գործընթացի արագացման և գիտական ​​զարգացումների ներդրման, աշխատանքի արտադրողականության բարձրացման և արտադրանքի որակի բարձրացման գործում, ցավոք, բոլոր նախարարությունների և գերատեսչությունների ղեկավարները հստակ չեն հասկանում: , ավելի բարձր ուսումնական հաստատություններ, ինչպես նաև այն, ինչ ներկայացնում է մեր օրերի մեխանիկան /1/։Դա, որպես կանոն, դատվում է բոլոր բարձրագույն տեխնիկական ուսումնական հաստատություններում ուսումնասիրված տեսական մեխանիկայի բովանդակությամբ։

Ուսանողները պետք է իմանան, թե որքան կարևոր է տեսական մեխանիկան՝ որպես բարձրագույն կրթության հիմնարար ճարտարագիտական ​​առարկաներից մեկը, կարևորագույն բաժինների գիտական ​​հիմքը։ ժամանակակից տեխնոլոգիա, մաթեմատիկան ու ֆիզիկան կիրառական գիտությունների հետ կապող կամուրջ, ապագա մասնագիտության հետ։ Դասերի ժամանակ տեսական մեխանիկաԱռաջին անգամ ուսանողներին սովորեցնում են համակարգային մտածողություն և գործնական խնդիրներ դնելու և լուծելու կարողություն: Լուծե՛ք դրանք մինչև վերջ, մինչև թվային արդյունք։ Սովորեք վերլուծել լուծումը, սահմանել դրա կիրառելիության սահմանները և սկզբնաղբյուրի տվյալների ճշգրտության պահանջը:

Ուսանողների համար նույնքան կարևոր է իմանալ, որ տեսական մեխանիկան միայն ներածական է, թեև բացարձակապես անհրաժեշտ, ժամանակակից մեխանիկայի հսկայական շինության մի մասն այս հիմնարար գիտության լայն իմաստով: Որ այն կմշակվի մեխանիկայի այլ ճյուղերում՝ նյութերի ամրություն, թիթեղների և պատյանների տեսություն, թրթռումների տեսություն, կարգավորում և կայունություն, մեքենաների և մեխանիզմների կինեմատիկա և դինամիկա, հեղուկի և գազի մեխանիկա, քիմիական մեխանիկա։

Մեքենաշինության և գործիքաշինության, շինարարական արդյունաբերության և հիդրոտեխնիկայի, հանքաքարի արդյունահանման և վերամշակման, ածխի, նավթի և գազի, երկաթուղային և ավտոմոբիլային տրանսպորտի, նավաշինության, ավիացիայի և տիեզերական տեխնոլոգիաների բոլոր ոլորտներում ձեռքբերումները հիմնված են օրենքների խորը ըմբռնման վրա: մեխանիկա.

Դասագիրքը նախատեսված է տեխնիկական համալսարանի մեքենաշինության, հեռակա կուրսերի ավտոմեխանիկական մասնագիտությունների ուսանողների համար՝ ըստ կրճատ կուրսային ծրագրի:

Այսպիսով, մի քանի սահմանումներ.

Տեսական մեխանիկագիտություն է, որն ուսումնասիրում է նյութական առարկաների մեխանիկական շարժման և հավասարակշռության ընդհանուր օրենքները և նյութական առարկաների միջև առաջացած մեխանիկական փոխազդեցությունները։

Տակ նյութական առարկայի մեխանիկական շարժումհասկանալ իր դիրքի փոփոխություն այլ նյութական առարկաների նկատմամբ, որը տեղի է ունենում ժամանակի ընթացքում:

Տակ մեխանիկական փոխազդեցությունենթադրում են մարմինների այնպիսի գործողություններ միմյանց վրա, որոնց ընթացքում այդ մարմինների շարժումները փոխվում են, կամ նրանք իրենք են դեֆորմացվում (փոխում են իրենց ձևը):

Տեսական մեխանիկան բաղկացած է երեք բաժիններից՝ ստատիկա, կինեմատիկա և դինամիկա։

ԴԻՆԱՄԻԿԱ

Ներածություն դինամիկայի. Հիմնական դրույթներ

Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Եկեք ևս մեկ անգամ մի փոքր այլ ձևով ձևակերպենք դինամիկայի սահմանումը որպես մեխանիկայի մաս:

Դինամիկա – մեխանիկայի մի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է նյութական առարկաների շարժումը՝ հաշվի առնելով դրանց վրա ազդող ուժերը.

Որպես կանոն, դինամիկայի ուսումնասիրությունը սկսվում է ուսումնասիրությունից նյութական կետի դինամիկանիսկ հետո անցնել ուսումնասիրությանը մեխանիկական համակարգի դինամիկան.

Դինամիկայի այս բաժինների բազմաթիվ թեորեմների և օրենքների ձևակերպումների նմանության պատճառով անհարկի կրկնօրինակումներից խուսափելու և դասագրքի տեքստային ծավալը նվազեցնելու համար նպատակահարմար է դինամիկայի այս բաժինները ներկայացնել միասին:

Ներկայացնենք որոշ սահմանումներ.

Իներցիա (իներցիայի օրենքը) – Մարմինների հատկությունը՝ պահպանել հանգստի վիճակ կամ միատեսակ ուղղագիծ թարգմանական շարժում՝ դրա վրա այլ մարմինների ազդեցության բացակայության դեպքում (այսինքն՝ ուժերի բացակայության դեպքում).

Իներցիա - մարմինների կարողությունը դիմակայելու փորձերին՝ ուժերի օգնությամբ փոխելու իրենց հանգստի վիճակը կամ համազգեստը ուղղագիծ շարժում .

Իներցիայի քանակական չափանիշն է քաշը(մ). Զանգվածի չափանիշը կիլոգրամն է (կգ):

Այստեղից հետևում է, որ որքան իներտ է մարմինը, այնքան մեծ է նրա զանգվածը, այնքան քիչ է փոխվում նրա հանգստի վիճակը կամ միատեսակ շարժումը որոշակի ուժի ազդեցությամբ, այնքան քիչ է փոխվում մարմնի արագությունը, այսինքն. մարմինը ավելի լավ է դիմադրում ուժին: Եվ հակառակը, որքան փոքր է մարմնի զանգվածը, որքան փոխվում է նրա հանգստի վիճակը կամ միատեսակ շարժումը, այնքան փոխվում է մարմնի արագությունը, այսինքն. Մարմինը ավելի քիչ դիմացկուն է ուժի նկատմամբ։

Դինամիկայի օրենքներ և խնդիրներ

Ձևակերպենք նյութական կետի դինամիկայի օրենքները. Տեսական մեխանիկայի մեջ դրանք ընդունվում են որպես աքսիոմներ։ Այս օրենքների վավերականությունը պայմանավորված է նրանով, որ դրանց հիման վրա կառուցված է դասական մեխանիկայի ողջ շենքը, որի օրենքները կատարվում են մեծ ճշգրտությամբ։ Դասական մեխանիկայի օրենքների խախտումներ դիտվում են միայն բարձր արագություններում (ռելյատիվիստական ​​մեխանիկա) և մանրադիտակային մասշտաբով (քվանտային մեխանիկա)։

Ուժերի հիմնական տեսակները

Նախ ներկայացնենք բնության մեջ հայտնաբերված բոլոր ուժերի բաժանումը ակտիվ և ռեակտիվ (միացումների ռեակցիաներ):

Ակտիվ անվանեք ուժ, որը կարող է շարժման մեջ դնել մարմինը հանգստի վիճակում.

Արձագանք միացումն առաջանում է ոչ ազատ մարմնի վրա ակտիվ ուժի գործողության արդյունքում և խանգարում է մարմնի շարժմանը.. Փաստորեն, հետևաբար, լինելով ակտիվ ուժի հետևանք, արձագանք, հետևանք։

Դիտարկենք այն ուժերը, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են մեխանիկայի խնդիրներում:

Ձգողականություն

Երկու մարմինների միջև ձգողականության այս ուժը, որը որոշվում է համընդհանուր ձգողության օրենքով.

որտեղ է Երկրի մակերևույթի վրա ձգողականության արագացումը, թվով հավասար է≈ 9.8 մ/վ 2, մ- մարմնի կամ մեխանիկական համակարգի զանգված, որը սահմանվում է որպես համակարգի բոլոր կետերի ընդհանուր զանգված.

որտեղ է շառավիղի վեկտորը k-ախ համակարգի կետ. Զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները կարելի է ձեռք բերել՝ հավասարության երկու կողմերը (3.6) նախագծելով առանցքների վրա.

(7)

Շփման ուժ

Ինժեներական հաշվարկները հիմնված են փորձարարականորեն հաստատված օրենքների վրա, որոնք կոչվում են չոր շփման օրենքներ (քսումի բացակայության դեպքում), կամ Կուլոնի օրենքները:

· Երբ փորձում են մի մարմին տեղափոխել մյուսի մակերեսով, առաջանում է շփման ուժ ( ստատիկ շփման ուժ ), որի արժեքը կարող է արժեքներ վերցնել զրոյից մինչև որոշ սահմանափակող արժեք:

· Շփման վերջնական ուժի մեծությունը հավասար է անչափ, փորձնականորեն որոշված ​​շփման որոշ գործակցի արտադրյալին զնորմալ ճնշման ուժի վրա Ն, այսինքն.

.

(8)

· Ստատիկ շփման ուժի սահմանային արժեքին հասնելուց հետո, զուգավորման մակերեսների կպչուն հատկությունները սպառելուց հետո, մարմինը սկսում է շարժվել կրող մակերևույթի երկայնքով, իսկ շարժման դիմադրության ուժը գրեթե հաստատուն է և կախված չէ արագությունից: (խելամիտ սահմաններում): Այս ուժը կոչվում է սահող շփման ուժ և այն հավասար է ստատիկ շփման ուժի սահմանափակող արժեքին։

· մակերեսներ.

Ներկայացնենք շփման գործակիցների արժեքները որոշ մարմինների համար.

Աղյուսակ 1

Գլանվածքի շփում

Նկ.1

Երբ անիվը գլորվում է առանց սահելու (նկ. 1), հենարանի արձագանքը մի փոքր առաջ է շարժվում անիվի շարժման ուղղությամբ: Դրա պատճառը շփման գոտում անիվի նյութի և կրող մակերեսի ասիմետրիկ դեֆորմացիան է: Ուժի ազդեցությամբ ճնշումը շփման գոտու B եզրին մեծանում է, իսկ Ա եզրում նվազում է։ Արդյունքում ռեակցիան որոշակի քանակով տեղափոխվում է անիվի շարժման ուղղությամբ կ, կանչեց շարժակազմի շփման գործակիցը . Զույգ ուժեր գործում են անիվի վրա և պտտվող դիմադրության պահով՝ ուղղված անիվի պտույտին.

Հավասարակշռության պայմաններում միատեսակ գլորումներով, ուժի զույգերը և , հավասարակշռում են միմյանց. . (10)

Նյութերի մեծ մասի հարաբերակցությունը զգալիորեն պակաս է շփման գործակիցից զ.Դրանով է բացատրվում այն ​​փաստը, որ տեխնիկայում հնարավորության դեպքում նրանք ձգտում են սահելը փոխարինել գլանվածքով։

Էլաստիկ ուժ

Սա այն ուժն է, որով դեֆորմացված մարմինը ձգտում է վերադառնալ իր սկզբնական, չդեֆորմացված վիճակին: Եթե, օրինակ, մի զսպանակ եք ձգում որոշակի քանակությամբ λ , ապա առաձգական ուժը և դրա մոդուլը համապատասխանաբար հավասար են.

.

(11)

Վեկտորային հարաբերություններում մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ ուժն ուղղված է տեղաշարժից հակառակ ուղղությամբ: Մեծություն Հետկոչվում է " կոշտություն «և ունի N/m չափս.

Շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

Կետային շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

Վերադառնանք կետի դինամիկայի հիմնական օրենքի արտահայտմանը (3.2)՝ գրելով այն 1-ին և 2-րդ կարգերի վեկտորային դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքով (ենթակետը կհամապատասխանի ուժի թվին).

(17)

(18)

Համեմատենք, օրինակ, (15) և (17) հավասարումների համակարգերը։ Հեշտ է տեսնել, որ կոորդինատային առանցքներում կետի շարժման նկարագրությունը կրճատվում է մինչև 2-րդ կարգի 3 դիֆերենցիալ հավասարումներ, կամ (վերափոխումից հետո) մինչև 1-ին կարգի 6 հավասարումներ։ Միևնույն ժամանակ, բնական առանցքներում կետի շարժման նկարագրությունը կապված է հավասարումների խառը համակարգի հետ, որը բաղկացած է մեկ 1-ին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումից (արագության նկատմամբ) և երկու հանրահաշվական:

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ նյութական կետի շարժումը վերլուծելիս երբեմն ավելի հեշտ է լուծել դինամիկայի առաջին և երկրորդ խնդիրները՝ ձևակերպելով շարժման հավասարումները բնական առանցքներով..

Նյութական կետի դինամիկայի առաջին կամ ուղղակի խնդիրը ներառում է խնդիրներ, որոնցում, հաշվի առնելով կետի և նրա զանգվածի շարժման հավասարումները, անհրաժեշտ է գտնել դրա վրա ազդող ուժը (կամ ուժերը):

Նյութական կետի դինամիկայի երկրորդ կամ հակադարձ խնդիրը ներառում է խնդիրներ, որոնցում, ելնելով դրա զանգվածից, դրա վրա ազդող ուժից (կամ ուժերից) և հայտնի կինեմատիկական սկզբնական պայմաններից, անհրաժեշտ է որոշել նրա շարժման հավասարումները:

Հարկ է նշել, որ դինամիկայի 1-ին խնդիրը լուծելիս դիֆերենցիալ հավասարումները վերածվում են հանրահաշվականի, որոնց համակարգի լուծումը տրիվիալ խնդիր է։ Դինամիկայի 2-րդ խնդիրը լուծելիս դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ լուծելու համար անհրաժեշտ է ձևակերպել Քոշիի խնդիրը, այսինքն. հավասարումներին ավելացրեք այսպես կոչվածը «ծայրամասային» պայմաններ. Մեր դեպքում դրանք պայմաններ են, որոնք ժամանակի սկզբնական (վերջնական) պահին դնում են դիրքի և արագության սահմանափակումներ կամ այսպես կոչված։ «

Քանի որ գործողության և ռեակցիայի հավասարության օրենքի համաձայն, ներքին ուժերը միշտ զուգակցված են (գործում են երկու փոխազդող կետերից յուրաքանչյուրի վրա), դրանք հավասար են, հակառակ ուղղությամբ և գործում են այս կետերը միացնող ուղիղ գծով, ապա դրանց գումարը զույգերով։ հավասար է զրոյի։ Բացի այդ, այս երկու ուժերի մոմենտների գումարը ցանկացած կետի վերաբերյալ նույնպես զրո է։ Դա նշանակում է որ բոլոր ներքին ուժերի գումարըԵվ Մեխանիկական համակարգի բոլոր ներքին ուժերի մոմենտների գումարն առանձին հավասար է զրոյի:

,

(22)

.

(23)

Ահա, համապատասխանաբար, հիմնական վեկտորը և ներքին ուժերի հիմնական պահը, որոնք հաշվարկված են O կետի նկատմամբ:

(22) և (23) հավասարումները արտացոլում են Մեխանիկական համակարգի ներքին ուժերի հատկությունները .

Թող ոմանց համար կ- Մեխանիկական համակարգի նյութական կետը միաժամանակ գործում են ինչպես արտաքին, այնպես էլ ներքին ուժերը: Քանի որ դրանք կիրառվում են մեկ կետի վրա, դրանք կարող են փոխարինվել համապատասխանաբար արտաքին () և ներքին () ուժերի արդյունքներով: Այնուհետև դինամիկայի հիմնական օրենքը կՀամակարգի -րդ կետը կարելի է գրել այսպես , հետևաբար ամբողջ համակարգի համար կլինի.

(24)

Ֆորմալ առումով (24) հավասարումների թիվը համապատասխանում է թվին nմեխանիկական համակարգի կետերը.

Արտահայտությունները (24) ներկայացնում են համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ վեկտորի տեսքով , եթե արագացման վեկտորները փոխարինում են համապատասխանաբար արագության և շառավիղի վեկտորի առաջին կամ երկրորդ ածանցյալներով. Մեկ կետի (15) շարժման հավասարումների անալոգիայով այս վեկտորային հավասարումները կարող են փոխակերպվել 3-ի համակարգի։ n 2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներ

Ընդհանուր են նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի դինամիկայի այն թեորեմները, որոնք տալիս են օրենքներ, որոնք վավեր են նյութական առարկաների շարժման ցանկացած դեպքի համար իներցիոն հղման համակարգում:

Ընդհանուր առմամբ, այս թեորեմները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հետևանքներ են, որոնք նկարագրում են նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի շարժումը:

ԲԱԺԻՆ 3. ԴԻՆԱՄԻԿԱ.

Դինամիկա Նյութական մարմին- մարմին, որն ունի զանգված:

Նյութական կետ

Նյութ

Ա - բV -

Իներցիա

Մարմնի զանգված

Ուժ -

,

. Ա - բ- - էլեկտրական լոկոմոտիվի ձգողական ուժ; Վ- -

Համակարգ Իներցիոն

Շարժում Տիեզերք Ժամանակը

Համակարգ

ԹԵՄԱ 1

Առաջին օրենք(իներցիայի օրենք):

Մեկուսացված

Օրինակ: - մարմնի քաշը, -

- մեկնարկային արագություն):

Երկրորդ օրենք(դինամիկայի հիմնական օրենքը):

Մաթեմատիկորեն այս օրենքը արտահայտվում է վեկտորային հավասարությամբ

Արագացման ժամանակ կետի շարժումը հավասարաչափ փոփոխական է (նկ. 5: Ա -շարժում - դանդաղ; բ -շարժում - արագացված, . - կետային զանգված, - արագացման վեկտոր, - ուժի վեկտոր, - արագության վեկտոր):

Երբ - կետը շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ կամ երբ - այն հանգստի վիճակում է (իներցիայի օրենք): Երկրորդ օրենքը թույլ է տալիս կապ հաստատել մարմնի քաշը, գտնվում է երկրագնդի մակերևույթի մոտ և դրա քաշը , , որտեղ է ազատ անկման արագացումը:

Երրորդ օրենք(գործողության և ռեակցիայի հավասարության օրենքը):

Երկու նյութկետերը միմյանց վրա գործում են մեծությամբ հավասար ուժերով և ուղղված են այդ կետերը հակառակ ուղղություններով միացնող ուղիղ գծի երկայնքով:

Քանի որ ուժերը կիրառվում են տարբեր կետերի վրա, ուժերի համակարգը հավասարակշռված չէ (նկ. 6): Իր հերթին - փոխազդող կետերի զանգվածների հարաբերակցությունը հակադարձ համեմատական ​​է դրանց արագացումներին:

Չորրորդ օրենք(ուժերի գործողության անկախության օրենքը):

Արագացում,ստացված կետի կողմից, երբ դրա վրա միաժամանակ գործում են մի քանի ուժեր, հավասար է այն արագացումների երկրաչափական գումարին, որը կստանար կետը, երբ յուրաքանչյուր ուժ կիրառվեր դրա վրա առանձին:

Բացատրություն (նկ. 7):Արդյունքում ուժը սահմանվում է որպես . Քանի որ , Դա .

Երկրորդ (հակադարձ) խնդիր.

Իմանալով ընթացիկուժի կետի, նրա զանգվածի և շարժման սկզբնական պայմանների վրա, որոշեք կետի շարժման օրենքը կամ նրա ցանկացած այլ կինեմատիկական բնութագրիչ:

ՆախնականԴեկարտյան առանցքներում կետի շարժման պայմաններն են կետի կոորդինատները, , և սկզբնական արագության պրոյեկցիան այս առանցքների վրա, և կետի շարժման սկզբին համապատասխանող և զրոյի հավասար պահի պահին .

Այս տիպի խնդիրների լուծումը հանգում է նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների (կամ մեկ հավասարման) կազմմանը և դրանց հետագա լուծմանը՝ ուղղակի ինտեգրման միջոցով կամ օգտագործելով դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունը։

ԹԵՄԱ 2. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻՆ ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

2.1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Մեխանիկականնյութական կետերի համակարգը կամ համակարգը միմյանց հետ փոխազդող նյութական կետերի հավաքածու է:

Մեխանիկական համակարգերի օրինակներ.

1. նյութական մարմին, ներառյալ բացարձակ պինդ մարմինը, որպես փոխազդող նյութական մասնիկների հավաքածու. փոխկապակցված պինդ նյութերի մի շարք; Արեգակնային համակարգի մոլորակների մի շարք և այլն:

2. Թռչող թռչունների երամը մեխանիկական համակարգ չէ, քանի որ թռչունների միջև ուժային փոխազդեցություն չկա:

Անվճարմեխանիկական համակարգն այն համակարգն է, որում կետերի շարժման վրա կապեր չկան: Օրինակ:արեգակնային համակարգի մոլորակների շարժումը.

Անազատմեխանիկական համակարգ - համակարգ, որում կապերը դրվում են կետերի շարժման վրա: Օրինակ:մասերի շարժում ցանկացած մեխանիզմով, մեքենայով և այլն:

Ուժերի դասակարգում

Ոչ ազատ մեխանիկական համակարգի վրա ազդող ուժերի դասակարգումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ գծապատկերի տեսքով.

Արտաքինուժեր - ուժեր, որոնք գործում են տվյալ մեխանիկական համակարգի կետերի վրա այլ համակարգերից:

Ներքին- փոխազդեցության ուժերը մեկ մեխանիկական համակարգի կետերի միջև:

Համակարգի կամայական կետի վրա (նկ. 1) ազդում են՝ - արտաքին ուժերի արդյունքը (ինդեքս - առաջին տառ Ֆրանսերեն բառարտաքին - (արտաքին)); - ներքին ուժերի արդյունք (ինդեքս - interieur բառից - (ներքին)): Միացման ռեակցիայի նույն ուժը, կախված առաջադրանքի պայմաններից, կարող է լինել ինչպես արտաքին, այնպես էլ ներքին:

Ներքին ուժերի սեփականություն

և - մեխանիկական համակարգի փոխազդող կետերը (նկ. 2): Դինամիկայի 3-րդ օրենքի հիման վրա

Մյուս կողմից: . Հետևաբար, մեխանիկական համակարգի ներքին ուժերի հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը հավասար են զրոյի.

ԲԱԺԻՆ 3. ԴԻՆԱՄԻԿԱ.

ԴԱՍԱԿԱՆ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Դինամիկա- տեսական մեխանիկայի մի ճյուղ, որտեղ ուսումնասիրվում է շարժումը նյութական մարմիններ(կետ) կիրառական ուժերի ազդեցության տակ. Նյութական մարմին- մարմին, որն ունի զանգված:

Նյութական կետ- նյութական մարմին, որի կետերի շարժման տարբերությունն աննշան է. Սա կարող է լինել կամ մարմին, որի չափերը շարժման ընթացքում կարող են անտեսվել, կամ վերջավոր չափերի մարմին, եթե այն շարժվում է թարգմանաբար:

Նյութկետերը կոչվում են նաև մասնիկներ, որոնց մեջ են ամուրնրա որոշ դինամիկ բնութագրերի որոշման ժամանակ:

Նյութական կետերի օրինակներ (նկ. 1): Ա -Երկրի շարժումը Արեգակի շուրջ. Երկիրը նյութական կետ է. բ- կոշտ մարմնի թարգմանական շարժում. Պինդ մարմինը նյութական կետ է, քանի որ; V -մարմնի պտույտ առանցքի շուրջ. Մարմնի մասնիկը նյութական կետ է։

Իներցիա- նյութական մարմինների հատկությունը՝ կիրառական ուժերի ազդեցության տակ իրենց շարժման արագությունը փոխելու ավելի արագ կամ դանդաղ։

Մարմնի զանգվածսկալյար դրական մեծություն է, որը կախված է տվյալ մարմնում պարունակվող նյութի քանակից և որոշում է նրա իներցիայի չափը թարգմանական շարժման ժամանակ։ Դասական մեխանիկայի մեջ զանգվածը հաստատուն մեծություն է։

Ուժ- մարմինների կամ մարմնի (կետի) և դաշտի (էլեկտրական, մագնիսական և այլն) միջև մեխանիկական փոխազդեցության քանակական միջոց. Ուժը վեկտորային մեծություն է, որը բնութագրվում է մեծությամբ, կիրառման կետով և ուղղությամբ (գործողության գիծ) (նկ. 2: - կիրառման կետը ուժի գործողության գիծն է):

Դինամիկայի մեջ հաստատուն ուժերի հետ կան նաև փոփոխական ուժեր, որոնք կարող են կախված լինել ժամանակից, արագությունից , հեռավորությունից կամ այս քանակությունների ամբողջությունից, այսինքն.

Նման ուժերի օրինակները ներկայացված են Նկ. 3 . Ա -- մարմնի քաշը, - օդի դիմադրության ուժը; բ- - էլեկտրական լոկոմոտիվի ձգողական ուժ; Վ- - կենտրոնից վանելու կամ դեպի կենտրոն ձգող ուժը.

Համակարգհղում - կոորդինատային համակարգ, որը կապված է մարմնի հետ, որի նկատմամբ ուսումնասիրվում է մեկ այլ մարմնի շարժում: Իներցիոնհամակարգ - համակարգ, որում բավարարվում են դինամիկայի առաջին և երկրորդ օրենքները: Սա ֆիքսված կոորդինատային համակարգ է կամ համակարգ, որը շարժվում է միատեսակ և գծային թարգմանաբար:

Շարժումմեխանիկայի մեջ դա մարմնի դիրքի փոփոխություն է տարածության և ժամանակի մեջ։ Տիեզերքդասական մեխանիկայի մեջ՝ եռաչափ, էվկլիդեսյան երկրաչափության ենթակա։ Ժամանակը- սկալյար մեծություն, որը հավասարապես հանդիպում է ցանկացած հղման համակարգում:

Համակարգմիավորները ֆիզիկական մեծությունների չափման միավորների ամբողջություն են: Բոլոր մեխանիկական մեծությունները չափելու համար բավարար են երեք հիմնական միավորներ՝ երկարության, ժամանակի, զանգվածի կամ ուժի միավորներ: Սրանցից են բխում մեխանիկական մեծությունների չափման մյուս բոլոր միավորները։ Օգտագործվում են միավորների երկու տեսակի համակարգեր՝ SI միավորների միջազգային համակարգ (կամ ավելի փոքր՝ GHS) և միավորների տեխնիկական համակարգ՝ ICG։

ԹԵՄԱ 1. ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏԻ ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻՆ ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ.

1.1. Նյութական կետի դինամիկայի օրենքներ (Գալիլեո-Նյուտոնի օրենքներ)

Առաջին օրենք(իներցիայի օրենք):

Մեկուսացվածարտաքին ազդեցություններից նյութական կետը պահպանում է իր հանգստի վիճակը կամ շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ, մինչև կիրառվող ուժերը ստիպեն նրան փոխել այս վիճակը:

Այն շարժումը, որը կատարվում է կետի կողմից ուժերի բացակայության կամ ուժերի հավասարակշռված համակարգի գործողության ներքո, կոչվում է իներցիայով շարժում։

Օրինակ:մարմնի շարժումը հարթ (շփման ուժը զրոյական է) հորիզոնական մակերեսով (նկ. 4: - մարմնի քաշը, - նորմալ ինքնաթիռի ռեակցիա): Այդ ժամանակվանից.

Երբ մարմինը շարժվում է նույն արագությամբ; երբ մարմինը հանգստանում է ( - մեկնարկային արագություն):

Ռիկով Վ.Տ.

Ուսուցողական. - Կրասնոդար, Կուբանի պետական ​​համալսարան, 2006 թ. - 100 էջ: 25 ill. Դասախոսությունների դասընթացի առաջին մասը դասական համալսարանական կրթության ֆիզիկական մասնագիտությունների տեսական մեխանիկայի առաջադրանքներով:
Ձեռնարկը ներկայացնում է տեսական մեխանիկայի և շարունակական մեխանիկայի ուսումնամեթոդական համալիրի երկրորդ մասը: Այն պարունակում է դասախոսություններ տեսական մեխանիկայի և շարունակական մեխանիկայի դասընթացի երեք բաժինների համար՝ «Դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարում», «Շարժումը կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում» և «Կոշտ մարմնի պտտվող շարժում»։ Որպես ուսումնամեթոդական համալիրի մաս՝ ձեռնարկը պարունակում է վերահսկման առաջադրանքներ (թեստային տարբերակներ) և համակարգչային ամփոփիչ թեստավորման (քննության) հարցեր։ Այս դասընթացը համալրվում է էլեկտրոնային դասագրքով՝ դասախոսությունների հատվածներով (լազերային սկավառակի վրա):
Ձեռնարկը նախատեսված է բուհերի ֆիզիկայի և ֆիզիկա-տեխնիկական ֆակուլտետների 2-րդ և 3-րդ կուրսերի ուսանողների համար, այն կարող է օգտակար լինել տեսական և տեխնիկական մեխանիկայի հիմունքներն ուսումնասիրող տեխնիկական բուհերի ուսանողների համար: Բովանդակություն
Դինամիկայի հիմնարար դիֆերենցիալ հավասարում (Նյուտոնի երկրորդ օրենք)
Բաժնի կառուցվածքը
Նյութական կետի շարժման նկարագրությունը
Ուղղակի և հակադարձ դինամիկայի խնդիրներ
Իմպուլսի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից
Էներգիայի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից
Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից
Շարժման ինտեգրալներ

Թեստային առաջադրանք
Շարժում կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում
Բաժնի կառուցվածքը
Կենտրոնական սիմետրիկ դաշտի հայեցակարգը
Արագությունը կորագիծ կոորդինատներում
Արագացում կորագիծ կոորդինատներում
Արագություն և արագացում գնդաձև կոորդինատներում
Շարժման հավասարումներ կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում
Ոլորտի արագությունը և հատվածի արագացումը
Նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում և Կուլոնյան դաշտում
Երկու մարմնի խնդիրը նվազեցնելով մեկ մարմնի խնդրին: Նվազեցված զանգված
Ռադերֆորդի բանաձեւը
Թեստի թեստ՝ Արագություն և արագացում կորագիծ կոորդինատներում
Կոշտ մարմնի պտտվող շարժում
Բաժնի կառուցվածքը
Պինդ մարմնի հայեցակարգը. Պտտվող և թարգմանական շարժում
Պինդ մարմնի կինետիկ էներգիա
Իներցիայի տենզոր
Իներցիայի տենզորի իջեցում դեպի անկյունագծային ձև
Իներցիայի տենզորի անկյունագծային բաղադրիչների ֆիզիկական նշանակությունը
Շտայների թեորեմ իներցիայի տենզորի համար
Կոշտ մարմնի թափը
Պտտվող կոորդինատային համակարգում կոշտ մարմնի պտտվող շարժման հավասարումներ
Էյլերի անկյունները
Շարժումը ոչ իներցիոն հղման շրջանակներում
Թեստ թեմայի շուրջ՝ Կոշտ մարմնի պտտվող շարժում
Առաջարկվող ընթերցանություն
Դիմում
Դիմում
Որոշ հիմնական բանաձևեր և հարաբերություններ
Առարկայական ինդեքս

Դուք կարող եք գրել գրքի ակնարկ և կիսվել ձեր փորձով: Մյուս ընթերցողներին միշտ կհետաքրքրի ձեր կարծիքը ձեր կարդացած գրքերի վերաբերյալ: Անկախ նրանից, թե դուք սիրել եք գիրքը, թե ոչ, եթե դուք արտահայտեք ձեր անկեղծ և մանրամասն մտքերը, մարդիկ կգտնեն նոր գրքեր, որոնք հարմար են իրենց համար:

N k k = G F(t, r G (t) G, r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Կրասնոդար 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G, r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG ձեռնարկ) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Ռիկով Ռիկով Վ.Տ. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ Դասագիրք Դասախոսությունների նշումներ Թեստի առաջադրանքներ Վերջնական թեստավորման հարցեր (համակցված քննություն) Կրասնոդար 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 Գրախոս՝ ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր. գիտ., պրոֆեսոր, պետ. Կուբանի տեխնոլոգիական համալսարանի կառուցվածքային մեխանիկայի բաժին I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարում. Դասագիրք. նպաստ. Կրասնոդար - Կուբան. պետություն համալսարան, 2006. – 100 p. Իլ. 25. Մատենագիտություն 6 տիտղոս ISBN Ձեռնարկը ներկայացնում է տեսական մեխանիկայի և շարունակական մեխանիկայի ուսումնամեթոդական համալիրի երկրորդ մասը: Այն պարունակում է դասախոսություններ տեսական մեխանիկայի և շարունակական մեխանիկայի դասընթացի երեք բաժինների համար՝ «Դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարում», «Շարժումը կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում» և «Կոշտ մարմնի պտտվող շարժում»։ Որպես ուսումնամեթոդական համալիրի մաս՝ ձեռնարկը պարունակում է վերահսկման առաջադրանքներ (թեստային տարբերակներ) և համակարգչային ամփոփիչ թեստավորման (քննության) հարցեր։ Այս դասընթացը համալրվում է էլեկտրոնային դասագրքով՝ դասախոսությունների հատվածներով (լազերային սկավառակի վրա): Ձեռնարկը նախատեսված է բուհերի ֆիզիկայի և ֆիզիկատեխնիկական ֆակուլտետների 2-րդ և 3-րդ կուրսի ուսանողների համար, այն կարող է օգտակար լինել տեսական և տեխնիկական մեխանիկայի հիմունքներն ուսումնասիրող տեխնիկական բուհերի ուսանողների համար: Հրատարակված է Կուբանի պետական ​​համալսարանի ֆիզիկատեխնիկական ֆակուլտետի խորհրդի որոշմամբ UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Կուբանի պետական ​​համալսարան, 2006 ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ Նախաբան................ .......................................................... ....... 6 Բառարան ..................................... ........ ........................... 8 1. Դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումը (Նյուտոնի երկրորդ օրենք) .. ......... ................. 11 1.1. Բաժնի կառուցվածքը ...................................................... ... 11 1.2. Նյութական կետի շարժման նկարագրությունը......... 11 1.2.1. Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ........................ 12 1.2.2. Կետի շարժումը նկարագրելու բնական միջոց։ Ուղեկցող եռեյդրոն ..................................................... ... ................. 13 1.3. Դինամիկայի ուղղակի և հակադարձ խնդիրներ................................... 16 1.4. Իմպուլսի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից................................... ................................................. 21 1.5. Էներգիայի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից................................... ................................................. 24 1.6. Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից................................... ...................... 26 1.7. Շարժման ինտեգրալներ ..................................................... .... 27 1.8. Շարժումը ոչ իներցիոն հղման համակարգերում .......................................... .......................................... 28 1.9. Թեստային առաջադրանք ..................................................... ... 28 1.9.1. Խնդիր լուծելու օրինակ................................. 28 1.9.2. Թեստային առաջադրանքների տարբերակներ.............................. 31 1.10. Վերջնական հսկողության (քննական) թեստեր .................. 35 1.10.1. Դաշտ Ա ...................................................... ........ 35 1.10.2. Դաշտ Բ ...................................................... ........ 36 1.10.3. Դաշտ Գ ...................................................... ..... ............ 36 2. Շարժում կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում.......... 38 2.1. Բաժնի կառուցվածքը ...................................................... ... 38 2.2. Կենտրոնական սիմետրիկ դաշտի հայեցակարգը... 39 3 2.3. Արագությունը կորագիծ կոորդինատներում........... 39 2.4. Արագացում կորագիծ կոորդինատներում......... 40 2.5. Արագությունը և արագացումը գնդաձև կոորդինատներում .............................................. ................ ................... 41 2.6. Շարժման հավասարումներ կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում .......................................... .......... ..... 45 2.7. Ոլորտի արագություն և հատվածի արագացում...... 46 2.8. Նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում և Կուլոնյան դաշտում................................... 48 2.8.1. Արդյունավետ էներգիա ..................................................... ... 48 2.8.2. Հետագծի հավասարում ...................................................... .... 49 2.8.3. Հետագծի ձևի կախվածությունը ընդհանուր էներգիայից .............................. ........... .......... 51 2.9. Երկու մարմնի խնդիրը նվազեցնելով մեկ մարմնի խնդրին: Նվազեցված զանգված ..................................................... ......... 52 2.10. Ռադերֆորդի բանաձևը ...................................................... ... 54 2.11. Թեստ թեմայի շուրջ՝ Արագություն և արագացում կորագիծ կոորդինատներում................................. 58 2.11.1. Արագության և արագացման թեմայով թեստ ավարտելու օրինակ կորագիծ կոորդինատներում: ........................... 58 2.11.2. Թեստային առաջադրանքների տարբերակներ.......................... 59 2.12. Ավարտական ​​հսկողության (քննական) թեստեր .................. 61 2.12.1. Դաշտ Ա ...................................................... ........ 61 2.12.2. Դաշտ Բ ...................................................... ........ 62 2.12.3. Դաշտ Գ ...................................................... ..... ............ 63 3. Կոշտ մարմնի պտտական ​​շարժում ........................ ............. 65 3.1. Բաժնի կառուցվածքը ...................................................... ... 65 3.2. Պինդ մարմնի հայեցակարգը. Պտտման և փոխակերպման շարժում .............................................. ...... 66 3.3. Պինդ մարմնի կինետիկ էներգիա................... 69 3.4. Իներցիայի տենզոր ..................................................... ........ ..... 71 3.5. Իներցիայի տենզորի իջեցում անկյունագծային ձևի ...................................... ......... ..... 72 4 3.6. Իներցիայի թենզորի անկյունագծային բաղադրիչների ֆիզիկական նշանակությունը................................ ............. 74 3.7. Շտայների թեորեմ իներցիայի տենզորի համար.......... 76 3.8. Կոշտ մարմնի թափը................................... 78 3.9. Կոշտ մարմնի պտտվող շարժման հավասարումները պտտվող կոորդինատային համակարգում................................. ................................. 79 3.10. Էյլերի անկյունները ..................................................... ... .......... 82 3.11. Շարժումը ոչ իներցիոն հղման համակարգերում .......................................... .......... ................................. 86 3.12. Թեստ թեմայի շուրջ՝ Կոշտ մարմնի պտտվող շարժում................................. ............. .. 88 3.12.1. Վերահսկիչ առաջադրանքների կատարման օրինակներ ...................................... ...................... ...................... 88 3.12.2. Տնային թեստ................................... 92 3.13. Վերջնական հսկողության (քննական) թեստեր .................. 92 3.13.1. Դաշտ Ա ...................................................... ........ 92 3.13.2. Դաշտ Բ ...................................................... ........ 94 3.13.3. Դաշտ Գ ...................................................... ...... ............ 95 Խորհուրդ է տրվում կարդալ .............................. ...... .......... 97 Հավելված 1 .............................. ..... ...................... 98 Հավելված 2. Որոշ հիմնական բանաձեւեր և հարաբերություններ......... ...................................................... ...... ... 100 Առարկայական ինդեքս ................................... ............. ....... 102 5 ՆԱԽԱԲԱՆ Այս գիրքը «Տեսական մեխանիկա և շարունակական մեխանիկայի հիմունքներ» դասընթացի ուսումնամեթոդական համալիրի «ամուր բաղադրիչն է». որը պետական ​​կրթական չափորոշիչի մաս է կազմում՝ «ֆիզիկա»՝ 010701, «ռադիոֆիզիկա» և էլեկտրոնիկա»՝ 010801 մասնագիտություններով։ Դրա էլեկտրոնային տարբերակը (pdf ձևաչափ) տեղադրված է Կուբանի պետական ​​համալսարանի կայքում և Կուբանի պետական ​​համալսարանի ֆիզիկատեխնիկական ֆակուլտետի տեղական ցանցում։ Ընդհանուր առմամբ, մշակվել են տեսական մեխանիկայի և շարունակական մեխանիկայի հիմունքների ուսումնամեթոդական համալիրի չորս հիմնական մասեր: Վեկտորային և թենզորային վերլուծությունը՝ համալիրի առաջին մասը, նախատեսված է ամրապնդելու և մեծ մասամբ ձևավորելու հիմնական գիտելիքներ մաթեմատիկական հիմքերի ոլորտում ոչ միայն տեսական մեխանիկայի, այլև տեսական ֆիզիկայի ամբողջ դասընթացի մասին: Տեսական մեխանիկայի դասընթացն ինքնին բաժանված է երկու մասի, որոնցից մեկը պարունակում է դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարման՝ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի հիման վրա մեխանիկական խնդիրների լուծման մեթոդների ներկայացում։ Երկրորդ մասը վերլուծական մեխանիկայի հիմունքների ներկայացումն է (ուսումնամեթոդական համալիրի երրորդ մասը): Համալիրի չորրորդ մասը պարունակում է շարունակական մեխանիկայի հիմունքները: Համալիրի յուրաքանչյուր մաս և բոլորը միասին ապահովված են էլեկտրոնային վերապատրաստման դասընթացներով՝ փոփոխված բաղադրիչներով, որոնք HTML էջեր են, համալրված ակտիվ ուսուցման գործիքներով՝ վերապատրաստման ֆունկցիոնալ տարրեր: Այս գործիքները արխիվացված տեսքով տեղադրվում են KubSU-ի կայքում և բաշխվում լազերային սկավառակների վրա՝ կցված թղթային օրինակին կամ առանձին: Ի տարբերություն պինդ բաղադրիչների, էլեկտրոնային բաղադրիչները կենթարկվեն մշտական ​​փոփոխության՝ բարելավելու իրենց արդյունավետությունը: 6 Կրթահամալիրի «պինդ բաղադրիչի» հիմքը դասախոսական գրառումներն են՝ լրացված այս բաժնի հիմնական հասկացությունները բացատրող «բառարանով» և այբբենական ցուցիչով։ Այս ձեռնարկի երեք բաժիններից յուրաքանչյուրից հետո առաջարկվում է թեստային առաջադրանք՝ խնդիրների լուծման օրինակներով: Այս բաղադրիչի երկու հսկիչ առաջադրանքները կատարվում են տանը. սրանք առաջադրանքներ են 2-րդ և 3-րդ բաժինների համար: Առաջադրանք 3-ը ընդհանուր է բոլորի համար և ներկայացվում է ուսուցչին՝ գործնական պարապմունքների նոթատետրերում ստուգելու համար: Առաջադրանք 2-ում յուրաքանչյուր աշակերտ կատարում է 21 տարբերակներից մեկը՝ ուսուցչի հանձնարարությամբ: Առաջադրանք 1-ը լրացվում է դասարանում մեկ դասաժամի ընթացքում (զույգ) առանձին թղթի վրա և ներկայացվում ուսուցչին ստուգման: Եթե ​​առաջադրանքը չի ստացվում, ապա աշխատանքը կամ պետք է ուղղվի աշակերտի կողմից (տնային առաջադրանք), կամ նորից կատարվի այլ տարբերակով (դասասենյակային առաջադրանքներ): Վերջիններս կատարվում են դպրոցի գրաֆիկից դուրս՝ ուսուցչի առաջարկած ժամին։ Առաջարկվող մասը ուսումնական օգնություն Պարունակում է նաև օժանդակ նյութ. Հավելված 1-ում ներկայացված են մետրային տենզորի բաղադրիչները` 3-րդ թեստի միջանկյալ նպատակները, իսկ Հավելված 2-ում` հիմնական բանաձևերն ու հարաբերությունները, որոնց անգիրը պարտադիր է քննությունից բավարար գնահատական ​​ստանալու համար: Ձեռնարկի յուրաքանչյուր մասի յուրաքանչյուր բաժին ավարտվում է թեստային առաջադրանքներով՝ համակցված քննության անբաժանելի մաս, որի հիմքը համակարգչային թեստավորումն է՝ առաջարկվող ձևաթղթերի զուգահեռ լրացմամբ և համակարգչային գնահատումների և թեստավորման ձևի հիման վրա հաջորդող հարցազրույցը: Թեստի «B» դաշտը պահանջում է հակիրճ մուտքագրում մաթեմատիկական փոխակերպումների ձևի վերաբերյալ, որը տանում է դեպի պատասխանների հավաքածուում ընտրված տարբերակը: «C» դաշտում դուք պետք է գրեք բոլոր հաշվարկները ձևաթղթի վրա և մուտքագրեք թվային պատասխանը ստեղնաշարի վրա: 7 ԲԱՑԱՐԱՆ Ավելացման մեծությունը ֆիզիկական մեծություն է, որի արժեքը ամբողջ համակարգի համար հավասար է դրա արժեքների գումարին համակարգի առանձին մասերի համար: Պտտման շարժումը այն շարժումն է, որի դեպքում կոշտ մարմնի առնվազն մեկ կետի արագությունը զրո է: Երկրորդ փախուստի արագությունը չպտտվող մոլորակից մեկնարկի արագությունն է, որը տիեզերանավը դնում է պարաբոլիկ հետագծի վրա։ Նյութական կետի իմպուլսը կետի զանգվածի և դրա արագության արտադրյալն է։ Նյութական կետերի համակարգի իմպուլսը հավելումային մեծություն է, որը սահմանվում է որպես համակարգի բոլոր կետերի իմպուլսների գումար։ Շարժման ինտեգրալները մեծություններ են, որոնք պահպանվում են որոշակի պայմաններում և ստացվում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարման՝ երկրորդ կարգի հավասարումների համակարգի մեկ ինտեգրման արդյունքում։ Նյութական կետի կինետիկ էներգիան շարժման էներգիան է, որը հավասար է տվյալ կետին որոշակի արագություն հաղորդելու համար պահանջվող աշխատանքին: Նյութական կետերի համակարգի կինետիկ էներգիան հավելյալ մեծություն է, որը սահմանվում է որպես համակարգի բոլոր կետերի էներգիաների գումար։ Վեկտորի կովարիանտ բաղադրիչները վեկտորի ընդլայնման գործակիցներն են փոխադարձ հիմքի վեկտորների: Աֆինային կապի գործակիցները հիմքի վեկտորների ածանցյալների ընդլայնման գործակիցներն են հենց հիմքի վեկտորների նկատմամբ կոորդինատների նկատմամբ: Կորի կորությունը դիպչող շրջանագծի շառավիղի փոխադարձությունն է։ Արագությունների ակնթարթային կենտրոնը այն կետն է, որի արագությունը ժամանակի տվյալ պահին զրո է: 8 Հաստատուն ուժի մեխանիկական աշխատանքը ուժի և տեղաշարժի սկալյար արտադրյալն է: Մեխանիկական շարժումը ժամանակի ընթացքում տարածության մեջ մարմնի դիրքի փոփոխությունն է այլ մարմինների նկատմամբ: Դինամիկայի հակադարձ խնդիրն է՝ գտնել նյութական կետի շարժման հավասարումները՝ օգտագործելով տրված ուժերը (կոորդինատների, ժամանակի և արագության հայտնի ֆունկցիաները): Թարգմանական շարժումը շարժում է, որի դեպքում պինդ մարմնի մեջ հայտնաբերված ցանկացած ուղիղ գիծ շարժվում է իրեն զուգահեռ: Նյութական կետի պոտենցիալ էներգիան մարմինների կամ մարմնի մասերի դաշտային փոխազդեցության էներգիան է, որը հավասար է դաշտային ուժերի աշխատանքին տվյալ նյութական կետը տարածության տվյալ կետից կամայականորեն ընտրված զրոյական պոտենցիալ մակարդակ տեղափոխելու համար: Կրճատված զանգվածը հիպոթետիկ նյութական կետի զանգվածն է, որի շարժումը կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում վերածվում է երկու մարմնի խնդրի։ Դինամիկայի ուղղակի խնդիրն է որոշել նյութական կետի վրա ազդող ուժերը՝ օգտագործելով շարժման տրված հավասարումները։ Քրիստոֆելի սիմվոլները աֆինային կապի սիմետրիկ գործակիցներ են։ Զանգվածի կենտրոն (իներցիայի կենտրոն) համակարգ – տեղեկատու համակարգ, որտեղ մեխանիկական համակարգի իմպուլսը զրո է: Արագությունը վեկտորային մեծություն է, որը թվայինորեն հավասար է մեկ միավոր ժամանակի տեղաշարժին: Օսկուլացնող շրջանագիծն այն շրջանն է, որը երկրորդ կարգի կապ ունի կորի հետ, այսինքն. մինչև երկրորդ կարգի անվերջ փոքրերը, տվյալ կետի հարևանությամբ կորի և ոսկրացող շրջանագծի հավասարումները միմյանցից չեն տարբերվում։ 9 Ուղեկցող եռիեդրոն – միավոր վեկտորների եռապատիկ (շոշափող, նորմալ և երկնորմալ վեկտորներ), որոնք օգտագործվում են կետին ուղեկցող դեկարտյան կոորդինատների համակարգ ներմուծելու համար: Կոշտ մարմինը այն մարմինն է, որի հեռավորությունը երկու կետերի միջև չի փոխվում: Իներցիայի տենզորը երկրորդ կարգի սիմետրիկ տենզոր է, որի բաղադրիչները որոշում են կոշտ մարմնի իներցիոն հատկությունները պտտման շարժման նկատմամբ։ Հետագիծը տարածության մեջ շարժվող կետի հետք է: Շարժման հավասարումները հավասարումներ են, որոնք որոշում են կետի դիրքը տարածության մեջ ժամանակի կամայական պահին: Արագացումը վեկտորային մեծություն է, որը թվայինորեն հավասար է արագության փոփոխությանը մեկ միավոր ժամանակում: Նորմալ արագացումը արագությանը ուղղահայաց արագացում է, որը հավասար է կենտրոնաձիգ արագացմանը, երբ կետը շարժվում է տրված արագությամբ շրջանագծի երկայնքով, որը շփվում է հետագծի հետ: Կենտրոնական սիմետրիկ դաշտն այն դաշտն է, որում նյութական կետի պոտենցիալ էներգիան կախված է միայն «O» կենտրոնից r հեռավորությունից: Էներգիան մարմնի կամ մարմինների համակարգի աշխատանք կատարելու ունակությունն է: 10 1. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ (ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԵՐԿՐՈՐԴ ՕՐԵՆՔ) 1.1. «հետքեր» «ֆասադ» հատվածի կառուցվածքը դինամիկայի ուղիղ և հակադարձ խնդիրներ «ֆասադ» Նյութական կետի շարժման նկարագրություն «հետքեր» «հետքեր» «հետքեր» «ֆասադ» Իմպուլսի պահպանման օրենք «ֆասադ» բնական հավասարում. կորը «հետքեր» «ֆասադ» Փորձնական աշխատանք « հետքեր» «ֆասադ» Վերջնական հսկողության թեստեր «ֆասադ» Էներգիայի պահպանման օրենք «հետքեր» «հետքեր» «ֆասադ» Վեկտորային հանրահաշիվ «հետքեր» «հետքեր» «ֆասադ» Պահպանման օրենք անկյունային իմպուլսի Նկար 1 - 1-ին հատվածի հիմնական տարրերը: 2. Նյութական կետի շարժման նկարագրությունը Մեխանիկական շարժումը սահմանվում է որպես ժամանակի ընթացքում տարածության մեջ մարմնի դիրքի փոփոխություն այլ մարմինների նկատմամբ։ Այս սահմանումը երկու խնդիր է դնում. 1) մեթոդի ընտրություն, որով կարելի է տարբերակել տարածության մի կետը մյուսից. 2) մարմնի ընտրություն, որի նկատմամբ որոշվում է այլ մարմինների դիրքը. 11 1.2.1. Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ Առաջին խնդիրը կապված է կոորդինատային համակարգի ընտրության հետ: Եռաչափ տարածության մեջ տարածության յուրաքանչյուր կետ կապված է երեք թվերի հետ, որոնք կոչվում են կետի կոորդինատներ։ Առավել ակնհայտ են ուղղանկյուն ուղղանկյուն կոորդինատները, որոնք սովորաբար կոչվում են դեկարտյան (ֆրանսիացի գիտնական Ռենե Դեկարտի անունով)։ 1 Ռենե Դեկարտը առաջինն էր, ով ներկայացրեց մասշտաբի հայեցակարգը, որն ընկած է դեկարտյան կոորդինատային համակարգի կառուցման հիմքում։ Եռաչափ տարածության որոշակի կետում կառուցված են երեք փոխադարձ ուղղանկյուն, մեծությամբ նույնական i, j, k վեկտորներ, որոնք միևնույն ժամանակ մասշտաբային միավորներ են, այսինքն. դրանց երկարությունը (մոդուլը) ըստ սահմանման հավասար է չափման միավորին։ Թվային առանցքներն ուղղված են այս վեկտորների երկայնքով, որոնց վրա կետերը համապատասխանության են ենթարկվում տարածության կետերի հետ՝ «պրոյեկտավորելով»՝ կետից դեպի թվային առանցք ուղղահայաց գծելով, ինչպես ցույց է տրված Նկար 1-ում: Դեկարտյան կոորդինատներում նախագծման գործողությունը հանգեցնում է. ix, jy և kz վեկտորների գումարումը զուգահեռագծի կանոնի երկայնքով, որը այս դեպքում վերածվում է ուղղանկյունի. Արդյունքում, կետի դիրքը տարածության մեջ կարելի է որոշել օգտագործելով r = ix + jy + kz վեկտորը, որը կոչվում է «շառավիղի վեկտոր», քանի որ ի տարբերություն այլ վեկտորների, այս վեկտորի ծագումը միշտ համընկնում է կոորդինատների ծագման հետ։ Տարածության մեջ կետի դիրքի փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում հանգեցնում է x = x(t), y = y (t), z = z (t) կետի կոորդինատների ժամանակային կախվածության առաջացմանը 1 Լատինականացված անվանումը. Ռենե Դեկարտի Կարտեսիուսն է, հետևաբար գրականության մեջ կարելի է գտնել «Կարտեզյան կոորդինատներ» անվանումը։ 12 և շառավղով վեկտոր r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Այս ֆունկցիոնալ հարաբերությունները կոչվում են շարժման հավասարումներ կոորդինատային և վեկտորային ձևերով, համապատասխանաբար z kz k r jy i y j ix x Նկար 2 - Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ Կետի արագությունն ու արագացումը սահմանվում են որպես առաջին և երկրորդ ածանցյալներ շառավղի ժամանակի նկատմամբ։ վեկտոր v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Հետևյալ ամենուրեք մի կետ իսկ որոշակի մեծության նշանակումից բարձր կրկնակի կետը կնշանակի այս մեծության առաջին և երկրորդ ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ: 1.2.2. Կետի շարժումը նկարագրելու բնական միջոց։ Ուղեկցող եռիեդրոն r = r (t) հավասարումը սովորաբար կոչվում է պարամետրային ձևով կորի հավասարում: Շարժման հավասարումների դեպքում պարամետրը ժամանակն է։ Քանի որ ցանկացած շարժում 13 տեղի է ունենում որոշակի կորի երկայնքով, որը կոչվում է հետագիծ, ապա հետագծի (ուղու) հատված t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0, որը միապաղաղ ֆունկցիա է: կապված է այս շարժման ժամանակի հետ: Մարմնի անցած ճանապարհը կարելի է համարել որպես նոր պարամետր, որը սովորաբար կոչվում է «բնական» կամ «կանոնական» պարամետր: Համապատասխան կորի հավասարումը r = r(s) կոչվում է հավասարում կանոնական կամ բնական պարամետրիզացիայի մեջ։ τ m n Նկար 3 – Ուղեկցող եռեյդրոն վեկտոր dr ds-ը հետագծին շոշափող վեկտոր է (Նկար 3), որի երկարությունը հավասար է մեկի, քանի որ դր = դս. τ= 14 dτ-ից τ վեկտորին ուղղահայաց, այսինքն. ուղղորդված նորմալ դեպի հետագիծ: Այս վեկտորի ֆիզիկական (կամ, ավելի ճիշտ, ինչպես կտեսնենք հետագայում՝ երկրաչափական) նշանակությունը պարզելու համար, անցնենք t պարամետրի նկատմամբ տարբերակմանը՝ այն դիտարկելով որպես ժամանակ։ d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Այս հարաբերություններից վերջինը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 պայմաններ. 2 = 1 հետևում է, որ վեկտորը τ′ = որտեղ v aτ = τ v dv; τ= dt v v d 2r – ընդհանուր dt 2-րդ արագացման վեկտոր: Քանի որ ընդհանուր արագացումը հավասար է նորմալ (կենտրոնաձև) և շոշափելի արագացումների գումարին, մեր դիտարկած վեկտորը հավասար է արագացման նորմալ վեկտորին, որը բաժանված է արագության քառակուսու վրա: Շրջանակով շարժվելիս նորմալ արագացումը հավասար է շոշափող արագացմանը, իսկ վեկտորը a = an = n v2, R որտեղ n-ը շրջանագծի նորմալ վեկտորն է, իսկ R-ը շրջանագծի շառավիղն է: Հետևում է, որ τ′ վեկտորը կարող է ներկայացվել τ′ = Kn ձևով, որտեղ K = կորի կորությունն է՝ շփվող շրջանագծի շառավիղի փոխադարձը: Օսկուլացնող շրջանագիծը կոր է, որն ունի երկրորդ կարգի շփում տվյալ կորի հետ 15: Սա նշանակում է, որ սահմանափակվելով կորի հավասարումը հզորության շարքի մեջ ինչ-որ պահի ընդլայնելով երկրորդ կարգի անվերջ փոքրերին, մենք չենք կարողանա տարբերակել այս կորը շրջանագծից: n վեկտորը երբեմն կոչվում է հիմնական նորմալ վեկտոր: t շոշափող վեկտորից և նորմալ վեկտորից մենք կարող ենք կառուցել երկնորմալ վեկտոր m = [τ, n]: Երեք τ, n և m վեկտորները կազմում են աջ եռակի՝ ուղեկցող եռանկյուն, որի հետ կարելի է կապել կետին ուղեկցող դեկարտյան կոորդինատային համակարգը, ինչպես ցույց է տրված Նկար 3-ում: 1.3. Դինամիկայի ուղղակի և հակադարձ խնդիրներ 1632 թվականին Գալիլեո Գալիլեյը հայտնաբերեց օրենք, իսկ հետո 1687 թվականին Իսահակ Նյուտոնը ձևակերպեց օրենք, որը փոխեց փիլիսոփաների տեսակետները շարժման նկարագրության մեթոդների վերաբերյալ. կիրառական ուժերը ստիպում են փոխել». սա պետություն է»։ 1 Այս հայտնագործության նշանակությունը չի կարելի գերագնահատել։ Գալիլեոյից առաջ փիլիսոփաները կարծում էին, որ շարժման հիմնական բնութագիրը արագությունն է, և որպեսզի մարմինը շարժվի հաստատուն արագությամբ, պետք է կիրառվի հաստատուն ուժ։ Փաստորեն, փորձը կարծես թե հենց դա է ցույց տալիս. եթե մենք ուժ ենք կիրառում, մարմինը շարժվում է, եթե դադարում ենք կիրառել, մարմինը կանգ է առնում: Եվ միայն Գալիլեոն նկատեց, որ ուժ կիրառելով՝ մենք իրականում միայն հավասարակշռում ենք Երկրի վրա իրական պայմաններում գործող շփման ուժը՝ ի լրումն մեր ցանկության (և հաճախ՝ դիտարկմանը): Հետևաբար, ուժ է անհրաժեշտ ոչ թե արագությունը հաստատուն պահելու, այլ այն փոխելու համար, այսինքն. հաղորդում արագացում. 1 I. Նյուտոն. Բնափիլիսոփայության մաթեմատիկական սկզբունքները. 16 Ճիշտ է, Երկրի պայմաններում անհնար է գիտակցել մարմնի դիտարկումը, որի վրա այլ մարմիններ չեն ազդի, հետևաբար մեխանիկը ստիպված է ենթադրել հատուկ հղման համակարգերի առկայությունը (իներցիալ), որոնցում Նյուտոնի (Գալիլեոյի ) առաջին օրենքը պետք է կատարվի. 1 Նյուտոնի առաջին օրենքի մաթեմատիկական ձևակերպումը պահանջում է արագացմանը ուժի համաչափության հայտարարության ավելացում՝ որպես վեկտորային մեծություններ դրանց զուգահեռության հայտարարությամբ: Ի՞նչ F ∼W ⎫ F սկալար ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ որտեղ Δv d v d dr = = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Փորձը մեզ ասում է, որ սկալյար գործակիցը կարող է լինել մի մեծություն, որը սովորաբար կոչվում է մարմնի զանգված: Այսպիսով, Նյուտոնի առաջին օրենքի մաթեմատիկական արտահայտությունը, հաշվի առնելով նոր պոստուլատների ավելացումը, ստանում է F = mW ձև, 1 Բայց թե իրական մարմինների հետ կարող է կապված լինել նման հղման համակարգը, դեռևս պարզ չէ: Եթերի վարկածը (տես «Հարաբերականության տեսություն») կարող էր լուծել այս խնդիրը, սակայն Մայքելսոնի փորձի բացասական արդյունքը բացառեց այդ հնարավորությունը։ Այդուհանդերձ, մեխանիկային անհրաժեշտ են նման հղման շրջանակներ և պնդում է դրանց գոյությունը: 17, որը հայտնի է որպես Նյուտոնի երկրորդ օրենք։ Քանի որ արագացումը որոշվում է տվյալ կոնկրետ մարմնի համար, որի վրա կարող են ազդել մի քանի ուժեր, հարմար է գրել Նյուտոնի երկրորդ օրենքը n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) տեսքով: . a =1 Ուժը ընդհանուր դեպքում համարվում է որպես կոորդինատների, արագությունների և ժամանակի ֆունկցիա: Այս գործառույթը կախված է ժամանակից ինչպես բացահայտ, այնպես էլ անուղղակիորեն: Անուղղակի ժամանակից կախվածությունը նշանակում է, որ ուժը կարող է փոխվել շարժվող մարմնի կոորդինատների (ուժը կախված է կոորդինատներից) և արագությունից (ուժը կախված է արագությունից) փոփոխությունների պատճառով։ Ակնհայտ կախվածությունը ժամանակից հուշում է, որ եթե մարմինը գտնվում է հանգստի վիճակում տարածության տվյալ ֆիքսված կետում, ապա ուժը դեռևս փոխվում է ժամանակի ընթացքում։ Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Նյուտոնի երկրորդ օրենքը առաջացնում է երկու խնդիր՝ կապված երկու փոխադարձ հակադարձ մաթեմատիկական գործողությունների հետ՝ տարբերակում և ինտեգրում։ 1. Դինամիկայի ուղղակի խնդիր՝ օգտագործելով շարժման տրված r = r (t) հավասարումները, որոշե՛ք նյութական կետի վրա ազդող ուժերը։ Այս խնդիրը հիմնարար ֆիզիկայի խնդիր է, որի լուծումն ուղղված է մարմինների փոխազդեցությունը նկարագրող նոր օրենքներ և օրինաչափություններ գտնելուն։ Դինամիկայի ուղղակի խնդրի լուծման օրինակ է I. Newton-ի համընդհանուր ձգողության օրենքի ձևակերպումը, որը հիմնված է Կեպլերի էմպիրիկ օրենքների վրա, որոնք նկարագրում են Արեգակնային համակարգի մոլորակների դիտված շարժումը (տես բաժին 2): 2. Դինամիկայի հակադարձ խնդիր. տրված ուժերը (կոորդինատների, ժամանակի և արագության հայտնի ֆունկցիաները) գտնում են նյութական կետի շարժման հավասարումները: Սա կիրառական ֆիզիկայի խնդիր է։ Այս խնդրի տեսանկյունից Նյուտոնի երկրորդ 18 օրենքը երկրորդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ է d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1: 1) dt լուծումները, որոնք ժամանակի և ինտեգրման հաստատունների ֆունկցիաներն են: x = x (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,): Լուծումների անսահման շարքից կոնկրետ շարժմանը համապատասխան լուծում ընտրելու համար անհրաժեշտ է լրացնել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը սկզբնական պայմաններով (Կոշիի խնդիր)՝ ժամանակի ինչ-որ կետում (t = 0) սահմանել արժեքները։ կետի կոորդինատների և արագությունների՝ ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0): Ծանոթագրություն 1. Ի.Նյուտոնի օրենքներում ուժը հասկացվում է որպես մեծություն, որը բնութագրում է մարմինների փոխազդեցությունը, որի արդյունքում մարմինները դեֆորմացվում են կամ ձեռք են բերում արագացում։ Այնուամենայնիվ, հաճախ հարմար է դինամիկայի խնդիրը նվազեցնել ստատիկի խնդրին` ներկայացնելով, ինչպես Դ'Ալեմբերն արեց իր «Քամիների ընդհանուր պատճառի մասին դիսկուրսում» (1744 թ.), իներցիոն ուժ, որը հավասար է զանգվածի արտադրյալին. մարմինը և հղման համակարգի արագացումը, որում դիտարկվում է տվյալ մարմինը։ Ֆորմալ կերպով, սա կարծես I. New19-ի երկրորդ օրենքի աջ կողմը տեղափոխելն է ձախ կողմ և այս մասի «իներցիայի ուժ» անվանումը վերագրելը F + (− mW) = 0, կամ F + Fin = 0: Ստացված իներցիոն ուժը ակնհայտորեն չի բավարարում վերը նշված ուժի սահմանմանը: Այս առումով, իներցիոն ուժերը հաճախ կոչվում են «ֆիկտիվ ուժեր», հասկանալով, որ որպես ուժեր դրանք ընկալվում և չափվում են միայն ոչ իներցիոն դիտորդի կողմից, որը կապված է արագացող հղման համակարգի հետ: Այնուամենայնիվ, պետք է ընդգծել, որ ոչ իներցիոն դիտորդի համար իներցիոն ուժերը ընկալվում են որպես իրականում գործող ուժի հղման համակարգի բոլոր մարմինների վրա: Հենց այդ ուժերի առկայությունն է «բացատրում» մոլորակի անընդհատ ընկնող արբանյակում մարմինների հավասարակշռությունը (անկշռությունը) և (մասամբ) Երկրի վրա ազատ անկման արագացման կախվածությունը տարածքի լայնությունից: Դիտողություն 2. Նյուտոնի երկրորդ օրենքը՝ որպես երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, նույնպես կապված է այդ հավասարումների մեկ ինտեգրման խնդրի հետ։ Այս եղանակով ստացված մեծությունները կոչվում են շարժման ինտեգրալներ և ամենակարևորը դրանց հետ կապված երկու հանգամանք են. մեխանիկական համակարգի համար նման արժեքը դրա առանձին մասերի համապատասխան արժեքների գումարն է. 2) որոշակի ֆիզիկապես հասկանալի պայմաններում այդ քանակները չեն փոխվում, այսինքն. պահպանվում են՝ դրանով իսկ արտահայտելով մեխանիկայի պահպանման օրենքները։ 20 1.4. Իմպուլսի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից Դիտարկենք N նյութական կետերի համակարգը: Թող «a»-ն լինի կետի համարը: Եկեք յուրաքանչյուր կետի համար գրենք Նյուտոնի II օրենքը dv (1.2) ma a = Fa , dt որտեղ Fa-ն «ա» կետի վրա գործող բոլոր ուժերի արդյունքն է: Հաշվի առնելով, որ ma = const, բազմապատկելով dt-ով, ավելացնելով բոլոր N հավասարումները (1.2) և ինտեգրվելով t-ից t + Δt սահմաններում, մենք ստանում ենք N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = որտեղ v a t +Δt N. ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) t ժամանակի «a» կետի արագությունն է, իսկ ua = ra (t + Δt) «a» կետի արագությունն է t + Δt: Եկեք հետագայում պատկերացնենք «ա» կետի վրա գործող ուժերը որպես արտաքին Faex (արտաքին - արտաքին) և ներքին Fain (ներքին - ներքին) ուժերի գումար Fa = Fain + Faex: «ա» կետի փոխազդեցության ուժերը Համակարգում ընդգրկված այլ կետերի հետ կանվանենք ներքին, իսկ արտաքին՝ համակարգում չներառված կետերի հետ: Եկեք ցույց տանք, որ ներքին ուժերի գումարը անհետանում է Նյուտոնի երրորդ օրենքի պատճառով. ուժերը, որոնցով երկու մարմիններ գործում են միմյանց վրա, հավասար են մեծությամբ և հակառակ ուղղությամբ Fab = − Fab, եթե «a» և «b» կետերը պատկանում են ՀԱՄԱԿԱՐԳ. Փաստորեն, համակարգի այլ կետերից «ա» կետի վրա ազդող ուժը հավասար է 21 N Fain = ∑ Fab: b =1 Այնուհետեւ N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0: a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Այսպիսով, նյութական կետերի համակարգի վրա ազդող բոլոր ուժերի գումարը վերածվում է միայն արտաքին ուժերի գումարի: Արդյունքում ստանում ենք N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt ։ (1.3) – նյութական կետերի համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի իմպուլսին: Համակարգը կոչվում է փակ, եթե դրա վրա չեն գործում արտաքին ուժեր ∑F a =1 = 0: Այս դեպքում համակարգի ex a իմպուլսը չի փոխվում (պահպանվում է) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Սովորաբար այս պնդումը մեկնաբանվում է որպես իմպուլսի պահպանման օրենք: Այնուամենայնիվ, առօրյա խոսքում ինչ-որ բանի պահպանում ասելով նկատի ունենք ոչ թե այլ բանի մեջ այս բանի բովանդակության անփոփոխության մասին հայտարարություն, այլ հասկացողություն, թե ինչի է վերածվել այս բնօրինակը։ Եթե ​​գումարը ծախսվում է օգտակար բան գնելու վրա, ապա այն չի վերանում, այլ վերածվում է այս բանի։ Բայց եթե գնաճի պատճառով նրանց գնողունակությունը նվազել է, ապա փոխակերպումների շղթան հետագծելը շատ դժվար է ստացվում, ինչը չպահպանվելու զգացողություն է ստեղծում։ Իմպուլսի չափման արդյունքը, ինչպես ցանկացած կինեմատիկական մեծություն, կախված է հղման համակարգից, որում կատարվում են չափումները (տեղակայված են այս մեծությունը չափող ֆիզիկական գործիքները)։ 22 Դասական (ոչ հարաբերական) մեխանիկան, համեմատելով կինեմատիկական մեծությունների չափումների արդյունքները տարբեր հղման համակարգերում, լռելյայն ելնում է այն ենթադրությունից, որ իրադարձությունների միաժամանակության հայեցակարգը կախված չէ հղման համակարգից։ Դրա շնորհիվ կետի կոորդինատների, արագությունների և արագացումների միջև կապը, որը չափվում է անշարժ և շարժվող դիտորդի կողմից, երկրաչափական հարաբերություններ են (Նկար 4) dr du Արագություն u = = r և արագացում W = = u, չափված դիտորդ K-ով: սովորաբար կոչվում են բացարձակ դր» արագություն և արագացում։ Արագություն u′ = = r ′ և արագացում dt du′ W ′ = = u ′ , չափված դիտորդի կողմից K′ – հարաբերական արագություն և արագացում: Իսկ տեղեկատու համակարգի V արագությունը և արագացումը A շարժական են։ Mr′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Նկար 4 – Չափված մեծությունների համեմատություն Օգտագործելով արագության փոխակերպման օրենքը, որը հաճախ կոչվում է Գալիլեոյի արագության գումարման թեորեմ, մենք ստանում ենք իմպուլս. K և K′ N N N հղման համակարգերում չափվող նյութական կետերի համակարգի մի =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Հղման համակարգը, որտեղ մեխանիկական համակարգի իմպուլսը զրո է 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a կոչվում է զանգվածի կենտրոնի կամ իներցիայի կենտրոնի համակարգ։ Ակնհայտ է, որ նման հղման շրջանակի արագությունը հավասար է N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m: (1.5) a a =1 Քանի որ արտաքին ուժերի բացակայության դեպքում մեխանիկական համակարգի իմպուլսը չի փոխվում, ուրեմն զանգվածային համակարգի կենտրոնի արագությունը նույնպես չի փոխվում։ Ժամանակի ընթացքում ինտեգրելով (1.5), օգտվելով կոորդինատների ծագման ընտրության կամայականությունից (ինտեգրման հաստատունը հավասար ենք զրոյի), հասնում ենք մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի (իներցիայի կենտրոնի) որոշմանը։ N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1.6) a 1.5. Էներգիայի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից Դիտարկենք N նյութական կետերի համակարգը: Յուրաքանչյուր «ա» կետի համար մենք գրում ենք Նյուտոնի II օրենքը (1.2) և dr երկու մասերը սկալյար կերպով բազմապատկում ենք va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va, a ⎟ = Fa, va = ⎜ Fa կետի արագությամբ: , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Փոխակերպումներից հետո, երկու կողմերը բազմապատկելով dt-ով, ինտեգրվելով t1-ից t2 սահմաններում և ենթադրելով, որ ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1): ) , ua = va (t2) , ստանում ենք 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) ։ a a (1.7) ra Այնուհետև ներկայացնենք Fa ուժը որպես պոտենցիալ և ցրող ուժերի գումար Fa = Fapot + Faad: Դիսիպացիոն ուժերը նրանք են, որոնք հանգեցնում են մեխանիկական էներգիայի ցրման, այսինքն. այն վերածելով էներգիայի այլ տեսակների: Պոտենցիալ ուժերն են նրանք, որոնց աշխատանքը փակ օղակում զրո է: A = ∫ (Fapot, dra) = 0: (1.8) L Եկեք ցույց տանք, որ պոտենցիալ դաշտը գրադիենտ է, այսինքն. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Իրոք, համաձայն Սթոքսի թեորեմի, մենք կարող ենք գրել քրտինքը ∫ (Fa, dra) = ∫∫ (rot Fa, ds), L S, որտեղ S-ը մակերևույթն է. Եզրագծային L Նկար 5. S L Նկար 5 – Եզրագծային և մակերեսային Սթոքսի թեորեմը հանգեցնում է (1.9)-ի վավերականության ապացույցի՝ պայմանավորված ակնհայտ rot հարաբերությամբ Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t Այսինքն, եթե վեկտորային դաշտը արտահայտված է սկալյար ֆունկցիայի գրադիենտով, ապա փակ եզրագծի երկայնքով նրա աշխատանքը անպայման զրո է։ Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ եթե փակ եզրագծի երկայնքով վեկտորային դաշտի շրջանառությունը զրո է, ապա միշտ հնարավոր է գտնել համապատասխան սկալյար դաշտը, որի գրադիենտը տվյալ վեկտորային դաշտն է։ Հաշվի առնելով (1.9) հարաբերությունը (1.7) կարող է ներկայացվել որպես R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Ընդհանուր առմամբ ունենք N նման հավասարումներ. Այս բոլոր հավասարումները գումարելով՝ մենք ստանում ենք էներգիայի պահպանման օրենքը դասական մեխանիկայում 1. համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի փոփոխությունը հավասար է ցրող ուժերի աշխատանքին ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () Եթե կան չկան ցրող ուժեր, մեխանիկական համակարգի ընդհանուր (կինետիկ գումարած պոտենցիալ) էներգիան չի փոխվում («պահածոյացված») և համակարգը կոչվում է պահպանողական։ 1.6. Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի բխում դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումից Դիտարկենք N նյութական կետերի համակարգը: Յուրաքանչյուր «ա» կետի համար գրում ենք Նյուտոնի II օրենքը (1.2) և ձախ կողմերը վեկտորականորեն բազմապատկում ենք ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a կետի շառավղով վեկտորով: . dt ⎦ ⎣ 1 Մեխանիկական էներգիայի փոխակերպումների այս գաղափարը պարզվում է, որ համարժեք է օբյեկտիվ իրականությանը միայն այնքան ժամանակ, քանի դեռ մենք դիտարկում ենք այնպիսի երևույթներ, որոնք չեն ուղեկցվում նյութական նյութի դաշտային նյութի վերածմամբ և հակառակը: 26 K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) մեծությունը կոչվում է Ֆա ուժի մոմենտը սկզբի նկատմամբ։ Ակնհայտ կապի շնորհիվ d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎢ ⎢ ⎥ d d . ⎣ ⎣ դ ⎡ ⎣ ra , ma va ⎤⎦ = Ka . dt Ինչպես նախկինում, նման հավասարումների թիվը N է, և գումարելով դրանք, ստանում ենք dM =K, (1.12) dt, որտեղ N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 կոչվում է հավելումային մեծություն. մեխանիկական համակարգի անկյունային իմպուլսը. Եթե ​​համակարգի վրա ազդող ուժերի մոմենտը զրո է, ապա համակարգի անկյունային իմպուլսը պահպանվում է N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Շարժման ինտեգրալներ 1.4–1.6 պարբերություններում դիտարկվող մեծությունները, որոնք պահպանվում են որոշակի պայմաններում՝ իմպուլս, էներգիա և անկյունային իմպուլս, ստացվում են դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարման՝ շարժման հավասարման մեկ ինտեգրման արդյունքում, այսինքն. երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին ինտեգրալներն են։ Դրա պատճառով այս բոլոր ֆիզիկական մեծությունները սովորաբար կոչվում են շարժման ինտեգրալներ։ Հետագայում, երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարումների ուսումնասիրությանը նվիրված բաժնում (հավասարումներ, որոնցում փոխակերպվում է Նյուտոնի կոնֆիգուրացիայի տարածության երկրորդ օրենքը27), մենք ցույց կտանք, որ շարժման ինտեգրալները կարող են դիտվել որպես Նյուտոնյան տարածության և ժամանակի հատկությունների հետևանք։ . Էներգիայի պահպանման օրենքը ժամանակային սանդղակի միատարրության հետևանք է։ Իմպուլսի պահպանման օրենքը բխում է տարածության միատարրությունից, իսկ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը՝ տարածության իզոտրոպիայից։ 1.8. Շարժումը ոչ իներցիոն հղման համակարգերում 1.9. Թեստային առաջադրանք 1.9.1. Խնդրի լուծման օրինակ Գտե՛ք կետի շարժման հավասարումները C1 կենտրոնին ձգող ուժի և C2 կենտրոնի նկատմամբ վանող ուժի ազդեցությամբ՝ կենտրոնների հեռավորություններին համաչափ: Համամասնականության գործակիցները համապատասխանաբար հավասար են k1m և k2m, որտեղ m-ը M կետի զանգվածն է: Կենտրոնների կոորդինատները ժամանակի կամայական պահին որոշվում են հարաբերություններով՝ X1(t) = acoωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2 = 0; Z2 = Z1. Ժամանակի սկզբնական պահին կետն ուներ x = a կոորդինատներ; y = 0; z=0 և արագություն vx = vy = vz =0 բաղադրիչներով: Լուծե՛ք խնդիրը k1 > k2 պայմանով: Նյութական կետի շարժումը երկու ուժերի՝ F1 և F2 ազդեցությամբ (Նկար 5) որոշվում է դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարմամբ՝ Նյուտոնի երկրորդ օրենքով՝ mr = F1 + F2, որտեղ խորհրդանիշից երկու կետ վերև նշանակում է ժամանակի կրկնվող տարբերակում: . Ըստ խնդրի պայմանների՝ F1 և F2 ուժերը որոշվում են հարաբերություններով՝ 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2: Պահանջվող մեծությունը M կետի շառավղային վեկտորն է, հետևաբար r1 և r2 վեկտորները պետք է արտահայտվեն շառավիղի վեկտորի և հայտնի վեկտորների միջոցով R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin: ωt + k cosh λt և R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, որտեղ i, j, k-ը դեկարտյան կոորդինատային համակարգի հիմնական վեկտորներն են։ М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 «О»-ն կոորդինատների սկզբնաղբյուրն է, R1-ը և R2-ը՝ ձգող և վանող կենտրոնների շառավղային վեկտորները, r-ը՝ M կետի շառավիղ վեկտորը, r1 և r2-ը՝ դիրքը որոշող վեկտորներ։ M կետի կենտրոնների նկատմամբ: Նկար 6 – M կետ երկու կենտրոնների դաշտում Նկար 6-ից ստանում ենք r1 = r − R1 ; r2 = r - R2: Այս բոլոր հարաբերությունները փոխարինելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքով և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով m զանգվածի վրա՝ ստանում ենք երկրորդ կարգի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով. r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանների՝ k1 > k2, իմաստ ունի ներմուծել նշումը՝ k2 = k1 – k2 դրական արժեքը: Այնուհետև ստացված դիֆերենցիալ հավասարումը ստանում է ձև՝ r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt: Այս հավասարման լուծումը պետք է փնտրել ro + k 2 ro = 0 միատարր հավասարման ընդհանուր ro լուծման գումարի և անհամասեռ հավասարման rch հատուկ լուծման գումարի տեսքով: Ընդհանուր լուծում կառուցելու համար կազմում ենք λ2 + k2 = 0 բնորոշ հավասարումը, որի արմատները երևակայական են՝ λ1,2 = ± ik, որտեղ i = −1։ Դրա պատճառով միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը պետք է գրվի r = A cos kt + B sin kt ձևով, որտեղ A և B վեկտորային ինտեգրման հաստատուններ են: Առանձին լուծում կարելի է գտնել աջ կողմի ձևով՝ ներմուծելով α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −ω2α1 cos ωt − ω2α անորոշ գործակիցները։ 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Այս լուծումը փոխարինելով անհամասեռ հավասարման մեջ և հավասարեցնելով հավասարումների ձախ և աջ կողմերում նույնական ժամանակային ֆունկցիաների գործակիցները՝ մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ, որը որոշում է անորոշ գործակիցները. α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2: Այսպիսով, անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt: (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Ինտեգրման հաստատունները որոշվում են սկզբնական պայմաններից, որոնք կարելի է գրել վեկտորի տեսքով՝ r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0: Ինտեգրման հաստատունները որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ կետի արագությունը ժամանակի կամայական պահին ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j. cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Նախնական պայմանները փոխարինելով գտնված լուծույթով, ստանում ենք (t = 0) k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Եկեք այստեղից գտնենք ինտեգրման հաստատունները և դրանք փոխարինենք շարժման հավասարումների մեջ k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt): ω k + λ2 Այս արտահայտությունը ներկայացնում է շարժման պահանջվող հավասարումները վեկտորի տեսքով: Շարժման այս հավասարումները, ինչպես նաև դրանց որոնման ողջ գործընթացը կարելի է գրել դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա պրոյեկցիաներով։ + 1.9.2. Փորձարկման առաջադրանքների տարբերակներ Գտե՛ք նյութական կետի շարժման հավասարումները դեպի O1 կենտրոն ձգող ուժի և O2 կենտրոնից վանման ուժի ազդեցության տակ։ Ուժերը համամասնական են դեպի կենտրոնների հեռավորությունները, համաչափության գործակիցները համապատասխանաբար հավասար են k1m և k2m, որտեղ m կետի զանգվածն է։ 31 կենտրոնների կոորդինատները, սկզբնական պայմանները և գործակիցների վրա դրված պայմանները բերված են աղյուսակում։ Առաջին սյունակը պարունակում է տարբերակի համարը: Կենտ տարբերակներում դիտարկենք k1 > k2, կենտ տարբերակներում՝ k2 > k1: Վերահսկիչ առաջադրանքների տարբերակները տրված են Աղյուսակ 1-ում: Երկրորդ և երրորդ սյունակները ցույց են տալիս ձգող և վանող կենտրոնների կոորդինատները t ժամանակի կամայական պահին: Վերջին վեց սյունակները որոշում են նյութական կետի սկզբնական կոորդինատները և դրա սկզբնական արագության բաղադրիչները, որոնք անհրաժեշտ են ինտեգրման հաստատունները որոշելու համար։ Աղյուսակ 1. Փորձնական աշխատանքի տարբերակներ 1. a, b, c, R, λ և ω մեծությունները հաստատուն մեծություններ են Տարբերակ 1 1 Կենտրոնի կոորդինատները O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt; X 2 = X 1 + achλt; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Սկզբնական արժեքներ Y2 = Y1 + R sin ωt; λt 2 Կենտրոնի կոորդինատները O2 Y2 = Y1 + մոխիր λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Աղյուսակի շարունակություն 1 1 6 7 2 X 1 = մոխիր λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = մոխիր λt ; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3; Y1 = a + bt; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2; Y1 = ach λt; Z1 = մոխիր λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt; Z 2 = R sin ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = մոխիր λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt; Z1 = a + bt + ct 4. 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Աղյուսակի վերջը 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = մոխիր λt; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2; Y2 = Y1; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt; X 2 = X 1 + մոխիր λt; Y1 = 0; Y2 = a + bt; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = մեղք ωt; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4. 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt; Y1 = 0; Y2 = ashλt; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt; Y1 = 0; Y2 = aCosωt; Z1 = a + bt + ct 4. Z 2 = 0. X 1 = ashλt; X 2 = 0; Y1 = achλt; Y2 = a + bt + ct; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Գրականություն թեստային առաջադրանքի համար 1. Meshchersky I.V. Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու. M., 1986. P. 202. (Խնդիրներ No. 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63): 2. Օլխովսկի Ի.Ի. Տեսական մեխանիկայի դասընթաց ֆիզիկոսների համար. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Վերջնական հսկողության (քննական) թեստեր 1.10.1. Դաշտ Ա.1.1. Նյութական կետի դինամիկայի հիմնական դիֆերենցիալ հավասարումն ունի ձև... Ա.1.2. Դինամիկայի ուղղակի խնդիր լուծել նշանակում է... Ա1.3. Դինամիկայի հակադարձ խնդրի լուծումը նշանակում է... Ա.1.5. Նյութական կետերի համակարգի վրա ազդող ներքին ուժերի գումարը վերանում է... Ա.1.6. Ուժի ազդակն է... Ա.1.7. Իներցիայի համակարգի կենտրոնը հղման համակարգ է, որում Ա.1.8. Զանգվածի կենտրոնն է... Ա.1.9. Զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները որոշվում են A.1.10 բանաձևով: Իներցիայի կենտրոնի համակարգի արագությունը որոշվում է բանաձևով... Ա.1.11. Նյութական կետերի համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքը ամենաընդհանուր ձևով գրված է այսպես... Ա.1.12. Պոտենցիալ ուժային դաշտը որոշվում է հարաբերությամբ... (հիմնական սահմանում) Ա.1.13. Պոտենցիալ ուժային դաշտը որոշվում է հարաբերությամբ... (հիմնական սահմանման հետևանք) Ա.1.14. Եթե ​​F դաշտը պոտենցիալ է, ապա... Ա.1.15. Նյութական կետերի համակարգի անկյունային իմպուլսը մեծությունն է... Ա.1.16. Մեխանիկական համակարգի վրա ազդող ուժերի պահը կարող է որոշվել հարաբերությամբ... Ա.1.17. Եթե ​​մեխանիկական համակարգի վրա ազդող ուժերի պահը հավասար է զրոյի, ապա պահպանվում է ... A.1.18-ը: Եթե ​​մեխանիկական համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի գումարը հավասար է զրոյի, ապա պահպանվում է ... A.1.19-ը: Եթե ​​ցրիչ ուժերը չեն գործում մեխանիկական համակարգի վրա, ապա մնում է ... A.1.20: Մեխանիկական համակարգը կոչվում է փակ, եթե 35 1.10.2. Դաշտ B ua B.1.1. ∑ ∫ d (m d v) a a a va ինտեգրալը հաշվարկելու արդյունքը ... Բ.1.2. K հղման համակարգում մեխանիկական համակարգի իմպուլսը կապված է V արագությամբ իր հետ շարժվող K հենակետի իմպուլսի հետ ... B.1.3. Եթե ​​F = −∇Π, ապա... B.1.4. Փակ օղակի երկայնքով F = −∇Π ուժի աշխատանքը անհետանում է … d va2 B1-ի պատճառով: 5. Ժամանակի ածանցյալը հավասար է ... dt B.1.6. d իմպուլսի պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է ... dt 1.10.3. Դաշտ C.1.1. Եթե ​​m զանգվածի կետը շարժվում է այնպես, որ t պահին նրա կոորդինատները լինեն x = x(t), y = y(t), z = z (t), ապա դրա վրա գործում է F ուժ, բաղադրիչ Fx (Fy): , Fz) որը հավասար է... Գ.1.2. Եթե ​​կետը շարժվում է kmr ուժի ազդեցությամբ, և եթե t = 0-ում այն ​​ուներ կոորդինատներ (m) (x0, y0, z0) և արագություն (m/s) (Vx, Vy, Vz), ապա t = t1 s նրա կոորդինատը x հավասար կլինի...(m) C.1.3. A, b և c կողմերով ուղղանկյուն զուգահեռականի գագաթներում կան m1, m2, m3 և m4 կետային զանգվածներ: Գտե՛ք իներցիայի կենտրոնի կոորդինատը (xc, yc, zc): 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Նկար 7 – Գ.1.3 Գ.1.4 առաջադրանքի համար: Երկարությամբ ձողի խտությունը տատանվում է ըստ ρ = ρ(x) օրենքի։ Նման ձողի զանգվածի կենտրոնը գտնվում է սկզբնակետից հեռավորության վրա... Գ.1.5. F = (Fx, Fy, Fz) ուժը կիրառվում է x = a, y = b, z = c կոորդինատներով կետի վրա: Այս ուժի մոմենտի կանխատեսումները կոորդինատների սկզբնավորման նկատմամբ հավասար են... 37 2. ՇԱՐԺՈՒՄԸ ԿԵՆՏՐՈՆԱԿԱՆ ՍԻՄԵՏՐԻԿ ԴԱՇՏՈՒՄ 2.1. «Օգտագործում» բաժնի կառուցվածքը Արագություն և արագացում կորագիծ կոորդինատներում Տենսորի վերլուծություն «հետքեր» «օգտագործում» Կառավարման միավորի շարժման ինտեգրալներ «հետքեր» «օգտագործում» Ոլորտի արագություն Վեկտորային արտադրանք «հետքեր» «օգտագործում» Հետագծի հավասարում Որոշակի ինտեգրալ «հետքեր» « «օգտագործում է» «օգտագործում» «Ռադերֆորդի բանաձեւը Ստերադիան Նկար 8 - «Կենտրոնական սիմետրիկ դաշտ» բաժնի կառուցվածքը 38 2.2. Կենտրոնական սիմետրիկ դաշտի հասկացությունը Եկեք անվանենք կենտրոնական սիմետրիկ դաշտը, որտեղ նյութական կետի պոտենցիալ էներգիան կախված է միայն «O» կենտրոնից r հեռավորությունից: Եթե ​​դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը դրված է «O» կետում, ապա այդ հեռավորությունը կլինի կետի շառավիղի վեկտորի մոդուլը, այսինքն. P = P (r), r = x 2 + y 2 + z 2: Պոտենցիալ դաշտի սահմանմանը համապատասխան՝ կետի վրա գործում է ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er ուժը։ ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r Նման դաշտում պոտենցիալ հավասարաչափ մակերեսները П(r) = const համընկնում են կոորդինատային մակերեսների հետ r = const գնդաձև կոորդինատներով: Ուժը (2.1), որը դեկարտյան կոորդինատներում ունի երեք ոչ զրոյական բաղադրիչ, գնդաձև կոորդինատներում ունի միայն մեկ ոչ զրոյական բաղադրիչ՝ պրոյեկցիան հիմքի վեկտորի վրա: Վերոհիշյալ բոլորը մեզ ստիպում են դիմել գնդաձեւ կոորդինատներին, որոնց համաչափությունը համընկնում է ֆիզիկական դաշտի համաչափության հետ։ Գնդային կոորդինատները ուղղանկյուն կորագիծ կոորդինատների հատուկ դեպք են։ 2.3. Արագությունը կորագիծ կոորդինատներում Թող xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) լինեն դեկարտյան կոորդինատներ, և ξ = ξi(xk) կորագիծ կոորդինատներ. դեկարտյան կոորդինատների մեկ առ մեկ ֆունկցիաներ: Ըստ սահմանման՝ dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt, որտեղ ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 վեկտորները կազմում են. այսպես կոչված կոորդինատային (հոլոնոմական կամ ինտեգրվող) հիմք: Արագության վեկտորի քառակուսին հավասար է v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. Մեծություններ ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j ∂ξ j ∂ξ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ներկայացնում են մետրիկ տենզորի կովարիանտ բաղադրիչները։ Նյութական կետի կինետիկ էներգիան կորագիծ կոորդինատներում ստանում է mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j ձևը: (2.5) 2 2 2.4. Արագացում կորագիծ կոորդինատներում Կորագիծ կոորդինատներում ժամանակից են կախված ոչ միայն շարժվող կետի կոորդինատները, այլև դրա հետ շարժվող հիմքի վեկտորները, որոնց ընդլայնման գործակիցները արագության և արագացման չափված բաղադրիչներն են։ Այդ պատճառով կորագիծ կոորդինատներում տարբերակման են ենթարկվում ոչ միայն կետի կոորդինատները, այլ նաև հիմքի վեկտորները dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i: (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt Կոմպլեքս ֆունկցիայի տարբերակման կանոնով dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Վեկտորի ածանցյալը ի նկատմամբ. կոորդինատը նաև վեկտոր∂ei տորուս է, հետևաբար ինը վեկտորներից յուրաքանչյուրը կարող է ∂ξ j-ն ընդլայնվել հիմքի վեկտորների ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Ընդարձակման Գijk գործակիցները կոչվում են աֆինային միացման գործակիցներ։ Տարածությունները, որոնցում սահմանվում են աֆինային միացման գործակիցները, կոչվում են աֆինային կապի տարածություններ։ Այն տարածությունները, որոնցում աֆինային միացման գործակիցները հավասար են զրոյի, կոչվում են աֆինային տարածություններ։ Աֆինային տարածության մեջ, ամենաընդհանուր դեպքում, կարող են ներկայացվել միայն յուրաքանչյուր առանցքների երկայնքով կամայական սանդղակներով ուղղագիծ թեք կոորդինատներ: Նման տարածության հիմքի վեկտորները նրա բոլոր կետերում նույնն են: Եթե ​​ընտրվում է կոորդինատային հիմքը (2.3), ապա աֆինային կապի գործակիցները սիմետրիկ են ստացվում ենթագրերում և այս դեպքում դրանք կոչվում են Քրիստոֆելյան սիմվոլներ։ Քրիստոֆելի խորհրդանիշները կարող են արտահայտվել մետրիկ տենզորի բաղադրիչներով և դրանց կոորդինատային ածանցյալներով ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬: ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Gij մեծությունները մետրիկ տենզորի հակասական բաղադրիչներն են՝ մատրիցի հակադարձ տարրերը gij-ին: Արագացման վեկտորի ընդլայնման գործակիցները հիմնական հիմքի վեկտորներով Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt-ը ներկայացնում է արագացման վեկտորի հակասական բաղադրիչները: 2.5. Արագությունը և արագացումը գնդային կոորդինատներում Գնդային ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ կապված են դեկարտյան կոորդինատների հետ x, y և z հետևյալ հարաբերություններով (Նկար 9). x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ: . 41 z θ y r ϕ x x Նկար 9 – x, y, z դեկարտյան կոորդինատների կապը r, θ, ϕ գնդաձև կոորդինատների հետ: Մենք գտնում ենք մետրիկ տենզորի բաղադրիչները՝ փոխարինելով այս հարաբերությունները (2.4) արտահայտությամբ 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ∂x ∂ 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂y ∂ 2 +2 2 Z 2 + 2 ∂ 2 ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎜; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 3 = ∂ξ∂ξ ∂ξ 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 մեղք 2 θ. Մետրիկ տենզորի ոչ անկյունագծային բաղադրիչները հավասար են զրոյի, քանի որ գնդաձև կոորդինատները ուղղանկյուն կորագիծ կոորդինատներ են: Սա կարելի է ստուգել ուղղակի հաշվարկներով կամ հիմքի վեկտորների կոորդինատային գծերին շոշափողներ կառուցելով (Նկար 10): er eϕ θ eθ Նկար 10 - Կոորդինատների գծերը և հիմքի վեկտորները գնդաձև կոորդինատներում Բացի հիմնական և փոխադարձ հիմքերից, հաճախ օգտագործվում է այսպես կոչված ֆիզիկական հիմքը՝ կոորդինատային գծերին շոշափող միավոր վեկտորներ: Այս հիմքում վեկտորային բաղադրիչների ֆիզիկական չափերը, որոնք սովորաբար կոչվում են նաև ֆիզիկական, համընկնում են դրա մոդուլի չափի հետ, որը որոշում է հիմքի անվանումը։ Մետրիկ թենզորի ստացված բաղադրիչները փոխարինելով (2.5)-ով, մենք ստանում ենք նյութական կետի կինետիկ էներգիայի արտահայտությունը գնդային կոորդինատներում 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θφ2 : 2 2 Քանի որ գնդաձև կոորդինատներն արտացոլում են կենտրոնական սիմետրիկ դաշտի համաչափությունը, արտահայտությունը (2.10) օգտագործվում է կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում նյութական կետի շարժումը նկարագրելու համար: () 43 (2.9) բանաձևով արագացման հակասական բաղադրիչները գտնելու համար նախ պետք է գտնել մետրիկ տենզորի հակասական բաղադրիչները՝ որպես մատրիցի տարրեր, հակադարձ մատրիցա gij, իսկ հետո՝ Քրիստոֆելյան խորհրդանիշները՝ ըստ բանաձևերի (2.8): Քանի որ gij մատրիցը շեղանկյուն է ուղղանկյուն կոորդինատներում, նրա հակադարձ մատրիցի տարրերը (նաև անկյունագծային) պարզապես gij տարրերի հակադարձն են՝ g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Եկեք նախ պարզենք, թե Քրիստոֆելյան նշաններից որն է լինելու ոչ զրոյական: Դա անելու համար մենք գրում ենք (2.8) հարաբերակցությունը՝ վերնագիրը հավասարեցնելով 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬: 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Քանի որ մետրիկ տենզորի ոչ անկյունագծային բաղադրիչները հավասար են զրոյի, իսկ g11 = 1 բաղադրիչը (հաստատուն), փակագծերում տրված վերջին երկու անդամները դառնում են զրո, իսկ առաջին անդամը կլինի ոչ. զրո i = j = 2-ի և i = j = 3-ի համար: Այսպիսով, վերևում 1 ինդեքսով Քրիստոֆելյան նշաններից միայն Γ122 և Γ133 կլինեն ոչ զրոյական: Նմանապես, մենք գտնում ենք ոչ զրոյական Քրիստոֆելի խորհրդանիշներ՝ 2 և 3 ինդեքսներով վերևում: Ընդհանուր առմամբ կան 6 ոչ զրոյական Քրիստոֆելյան նշաններ. Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 =; Γ323 = Γ332 = ctgϑ: r (2.11) Փոխարինելով այս հարաբերությունները (1.3) արտահայտությամբ՝ մենք ստանում ենք հակառակ արագացման բաղադրիչներ գնդաձև կոորդինատներում. 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θφ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θφ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Շարժման հավասարումներ կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում Գնդային կոորդինատներում ուժի վեկտորն ունի միայն մեկ ոչ զրոյական բաղադրիչ d Π (r) (2.13) Fr = − dr Դրա շնորհիվ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը նյութական կետի համար ստանում է d Π (r) ձևը. ) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θφ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θφ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ = 0 r Բանաձեւը (2.15 ) ունի երկու մասնակի լուծում ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Այս լուծումներից առաջինը հակասում է կորագիծ կոորդինատների վրա դրված պայմանին. θ = 0-ում փոխակերպումների Յակոբյանը վերանում է J = g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 Հաշվի առնելով երկրորդ լուծումը (2.17), (2.14) և (2.16) հավասարումները ստանում են d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Հավասարումը (2.19) թույլ է տալիս առանձնացնել d ϕ dr = r ϕ փոփոխականները և առաջին ինտեգրալը r 2ϕ = C, (2.20), որտեղ C-ն ինտեգրման հաստատունն է: Հաջորդ պարբերությունում ցույց կտանք, որ այս հաստատունը կրկնապատիկ է ներկայացնում հատվածի արագությունը, և, հետևաբար, ինքնին ինտեգրալը (2.20) Կեպլերի երկրորդ օրենքը կամ տարածքի ինտեգրալն է։ (2.18) հավասարման առաջին ինտեգրալը գտնելու համար մենք փոխարինում ենք (2. 18) հարաբերություն (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ և առանձնացնել dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) փոփոխականները։ = 3 − r= 2 dr dr r m dr Ինտեգրման արդյունքում ստանում ենք ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 տ. մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը, որը հեշտ է ստուգել (2.17) և (2.20) (2.10) փոխարինելով: 2.7. Ոլորտի արագություն և հատվածի արագացում Ոլորտի արագություն – արժեք, թվային մակերեսին հավասար, ծածկված է կետի շառավղով վեկտորով մեկ միավոր ժամանակում dS σ= . dt Ինչպես երևում է Նկար 11-ից 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2, իսկ հատվածի արագությունը որոշվում է 1 (2.22) հարաբերությամբ σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦: 2 Գլանաձև կոորդինատներում հարթ շարժման դեպքում r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) ընդունում է i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C ձևը: (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Նկար 11 – Շառավիղի վեկտորով ծածկված տարածքը Այսպիսով, C ինտեգրման հաստատունը կրկնակի է հատվածի արագությունից: Հաշվելով (2.22) արտահայտության ժամանակային ածանցյալը՝ ստանում ենք հատվածի արագացումը 47 1 ⎡r , r ⎤ ։ (2.24) 2⎣ ⎦ Համաձայն Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, արտահայտությունը (2.24) ներկայացնում է ուժի պահի կեսը, որը բաժանվում է զանգվածի վրա, և այս պահը զրոյի վերածելը հանգեցնում է անկյունային իմպուլսի պահպանմանը (տես բաժին 1.2): Սեկտորի արագությունը անկյունային իմպուլսի կեսն է, որը բաժանվում է զանգվածի վրա: Այլ կերպ ասած, կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում շարժման հավասարումների առաջին ինտեգրալները կարելի է գրել առանց շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների հստակ ինտեգրման՝ հիմնվելով միայն այն փաստի վրա, որ 1) շարժումը տեղի է ունենում ցրող ուժերի բացակայության դեպքում. 2) ուժերի մոմենտը 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0: (2.25) մ-ը դառնում է զրո: σ= 2,8. Նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում և կուլոնյան դաշտում 2.8.1. Արդյունավետ էներգիա (2.21) հարաբերության փոփոխականները հեշտությամբ տարանջատվում են dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠, և ստացված կապը (2.26) կարող է վերլուծվել: Կուլոնյան և գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում պոտենցիալ էներգիան հակադարձ համեմատական ​​է α ⎧α > 0 կենտրոնի հեռավորությանը` ձգողական ուժին; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Ընդհանուր էներգիա M զանգվածով և R շառավղով մոլորակի մակերևույթի վրա գտնվող կետը որոշվում է mv 2 GMm α2 − = − հարաբերությամբ։ E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Կետի հետագիծը հիպերբոլա է: Կետի ընդհանուր էներգիան զրոյից մեծ է։ 2.9. Երկու մարմնի խնդիրը նվազեցնելով մեկ մարմնի խնդրին: Կրճատված զանգված Դիտարկենք երկու մարմինների շարժման խնդիրը միայն միմյանց հետ փոխազդեցության ուժի ազդեցության տակ (Նկար 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – կոորդինատների ծագում; m1 և m2 – փոխազդող մարմինների զանգվածներ Նկար 14 – Երկու մարմինների խնդիր Գրենք Նյուտոնի երկրորդ օրենքը մարմիններից յուրաքանչյուրի համար 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) r վեկտորի համար ունենք r = r2 − r1 . (2.36) Դնենք r1 և r2 վեկտորները r վեկտորի միջոցով արտահայտելու խնդիրը: Սրա համար միայն (2.36) հավասարումը բավարար չէ: Այս վեկտորների սահմանման մեջ անորոշությունը պայմանավորված է կոորդինատների ծագման ընտրության կամայականությամբ։ Առանց որևէ կերպ սահմանափակելու այս ընտրությունը, անհնար է եզակիորեն արտահայտել r1 և r2 վեկտորները r վեկտորի առումով։ Քանի որ կոորդինատների սկզբնավորման դիրքը պետք է որոշվի միայն այս երկու մարմինների դիրքով, իմաստ ունի այն միավորել համակարգի զանգվածի կենտրոնի (իներցիայի կենտրոնի) հետ, այսինքն. դրեք m1r1 + m2 r2 = 0: (2.37) Արտահայտելով r2 վեկտորը r1 վեկտորի միջոցով (2.37) և այն փոխարինելով (2.36)-ով, մենք ստանում ենք m2 m1 r1 = − r; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Այս հարաբերությունները փոխարինելով (2.35) երկու հավասարումների փոխարեն մենք ստանում ենք մեկ mr = F (r), որտեղ ներմուծվում է m մեծությունը, որը կոչվում է կրճատված զանգված մմ (2.38) m= 1 2: m1 + m2 Այսպիսով, երկու մարմինների շարժման խնդիրը միմյանց վրա փոխադարձ գործողության դաշտում կրճատվում է իներցիայի համակարգի կենտրոնում գտնվող կենտրոնական սիմետրիկ դաշտում նվազեցված զանգվածով կետի շարժման խնդրին: 53 2.10. Ռադերֆորդի բանաձևը Նախորդ պարբերության արդյունքների համաձայն՝ երկու մասնիկների բախման և դրանց հետագա շարժման խնդիրը կարող է կրճատվել մինչև անշարժ կենտրոնի կենտրոնական դաշտում մասնիկի շարժը։ Այս խնդիրը դիտարկվել է Է.Ռադերֆորդի կողմից՝ բացատրելու համար նյութի ատոմներով α-մասնիկների ցրման վերաբերյալ փորձի արդյունքները (Նկար 15): dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Նկար 15 – rm ϕ ϕ χ Անշարժ ատոմի կողմից α-մասնիկի ցրում Ատոմի կողմից շեղված մասնիկի հետագիծը պետք է լինի սիմետրիկ՝ ցրման կենտրոնից իջեցված հետագծին ուղղահայաց նկատմամբ ( ասիմպտոտներով ձևավորված անկյան կիսաչափ): Այս պահին մասնիկը գտնվում է կենտրոնից ամենակարճ հեռավորության վրա: հեռավորությունը, որի վրա գտնվում է α-մասնիկների աղբյուրը, շատ ավելի մեծ է, քան rm-ը, ուստի կարող ենք ենթադրել, որ մասնիկը շարժվում է անսահմանությունից։ Այս մասնիկի արագությունը անսահմանության մեջ նշված է Նկար 15-ում V∞-ով: Արագության վեկտորի V∞ գծի ρ հեռավորությունը ցրման կենտրոնով անցնող նրան զուգահեռ գծից կոչվում է հարվածի հեռավորություն։ Ցրված մասնիկների հետագծի ասիմպտոտից առաջացած χ անկյունը կենտրոնական գծով (միևնույն ժամանակ բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռային 54 առանցքը) կոչվում է ցրման անկյուն։ Փորձի առանձնահատկությունն այն է, որ ազդեցության հեռավորությունը սկզբունքորեն չի կարող որոշվել փորձի ընթացքում։ Չափումների արդյունք կարող է լինել միայն այն մասնիկների dN թիվը, որոնց ցրման անկյունները պատկանում են որոշակի միջակայքի [χ,χ + dχ]: Չի կարող որոշվել ոչ N մասնիկների N թիվը, որոնք ընկնում են միավոր ժամանակում, ոչ էլ դրանց հոսքի խտությունը n = (S-ն ընկնող ճառագայթի խաչմերուկի տարածքն է): Այդ պատճառով, այսպես կոչված, արդյունավետ ցրման խաչմերուկը dσ, որը սահմանված է (2.39) dN բանաձևով, համարվում է ցրման հատկանիշ: (2.39) dσ = n Պարզ հաշվարկի արդյունքում ստացված dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ արտահայտությունը կախված չէ ընկնող մասնիկների հոսքի խտությունից, բայց դեռ կախված է հարվածի հեռավորությունից։ Դժվար չէ տեսնել, որ ցրման անկյունը հարվածային հեռավորության միապաղաղ (միապաղաղ նվազող) ֆունկցիա է, որը թույլ է տալիս արդյունավետ ցրման խաչմերուկն արտահայտել հետևյալ կերպ՝ dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ : dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным գծային հավասարումներ երկրորդ կարգի, կամ օգտագործելով օժանդակ կոմպլեքս փոփոխական ω = ω1 + iω2: Այս հավասարումներից երկրորդը բազմապատկելով i = −1-ով և առաջինին գումարելով ω բարդ արժեքի համար ստանում ենք dω = iΩω հավասարումը, որի dt լուծումն ունի ω = AeiΩt ձևը, որտեղ A-ն ինտեգրման հաստատունն է։ Իրական և երևակայական մասերը հավասարեցնելով՝ ստանում ենք ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt: Անկյունային արագության վեկտորի պրոյեկցիան վերևի համաչափության առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա ω⊥ = ω12 + ω22 = հաստատուն, մեծությամբ կայուն մնալով, նկարագրում է անկյունային արագությամբ (3.26) x3 առանցքի շուրջ շրջանագիծը, որը կոչվում է անկյուն: առաջացման արագություն. 3.10. Էյլերի անկյունները Էյլերի թեորեմ. Կոշտ մարմնի կամայական պտույտը ֆիքսված կետի շուրջ կարող է իրականացվել 82 երեք հաջորդական պտույտներով երեք առանցքների շուրջ, որոնք անցնում են ֆիքսված կետով: Ապացույց. Ենթադրենք, որ մարմնի վերջնական դիրքը տրված և որոշվում է Oξηζ կոորդինատային համակարգի դիրքով (Նկար 25): Դիտարկենք Oxy և Oξηζ հարթությունների հատման ON ուղիղ գիծը: Այս ուղիղ գիծը կոչվում է հանգույցների գիծ: Եկեք ընտրենք դրական ուղղություն ON հանգույցների գծի վրա, որպեսզի ամենակարճ անցումը Oz առանցքից դեպի Oζ առանցք որոշվի դրական ուղղությամբ (ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ), երբ դիտարկվում է հանգույցների գծի դրական ուղղությամբ: z ζ ηθ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Նկար 25 – Էյլերի անկյուններ Առաջին պտույտը ըստ ϕ անկյան (անկյունը Ox առանցքի դրական ուղղությունների և հանգույցների գիծը ON) կատարվում է Oz առանցքի շուրջ: Առաջին պտույտից հետո Oξ առանցքը, որը ժամանակի սկզբնական պահին համընկել է Ox առանցքի հետ, կհամընկնի ON հանգույցների գծի հետ, Oη առանցքը՝ Oy ուղիղ գծի հետ։ Երկրորդ պտույտը θ անկյան տակ է։ հանգույցների գծի շուրջ: Երկրորդ պտույտից հետո Oξη հարթությունը կհամընկնի իր վերջնական դիրքի հետ: Ox առանցքը դեռ կհամընկնի ON հանգույցների գծի հետ, Oη առանցքը կհամընկնի 83 ուղիղ Oy-ի հետ: Oζ առանցքը կհամընկնի իր վերջնական դիրքի հետ: Երրորդ (վերջին) պտույտը կատարվում է Oζ առանցքի շուրջ ψ անկյունով: Շարժվող համակարգի առանցքի երրորդ պտույտից հետո կոորդինատները կվերցնեն իրենց վերջնական, կանխորոշված ​​դիրքը: Թեորեմն ապացուցված է: վերը նշվածից պարզ է, որ ϕ, θ և ψ անկյունները որոշում են մարմնի դիրքը, որը պտտվում է ֆիքսված կետի շուրջը: Այս անկյունները կոչվում են՝ ϕ - առաջացման անկյուն, θ - նուտացիայի անկյուն և ψ - անկյուն սեփական պտույտ: Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր պահ ժամանակը համապատասխանում է մարմնի որոշակի դիրքին և Էյլերի անկյունների որոշակի արժեքներին: Հետևաբար, Էյլերի անկյունները ժամանակի ֆունկցիաներ են ϕ = ϕ(t), θ = θ(t) և ψ = ψ(t) . Այս ֆունկցիոնալ կախվածությունները կոչվում են կոշտ մարմնի շարժման հավասարումներ ֆիքսված կետի շուրջ, քանի որ դրանք որոշում են նրա շարժման օրենքը: Պտտվող կոորդինատային համակարգում ցանկացած վեկտոր գրելու համար անհրաժեշտ է կոշտ մարմնի մեջ սառեցված պտտվող կոորդինատային համակարգի e1, e2, e3 վեկտորների միջոցով արտահայտել i, j, k անշարժ կոորդինատային համակարգի հիմքային վեկտորները։ Այդ նպատակով մենք ներկայացնում ենք երեք օժանդակ վեկտորներ. Հանգույցների գծի միավոր վեկտորը նշանակենք n-ով։ Եկեք կառուցենք երկու օժանդակ կոորդինատային տրիեդրա՝ n, n1, k և n, n2, k, որոնք ուղղված են որպես աջակողմյան կոորդինատային համակարգեր (Նկար 22), վեկտորով n1 ընկած է Oxy հարթության վրա, իսկ վեկտորը n2՝ Oξη հարթության վրա։ Եկեք արտահայտենք հանգստի վիճակում գտնվող կոորդինատային համակարգի միավոր վեկտորները այս օժանդակ վեկտորների միջոցով 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Օժանդակ վեկտորները, իրենց հերթին, հեշտությամբ կարող են արտահայտվել պտտվող կոորդինատային համակարգի վեկտորների միջոցով n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Փոխարինելով (3.27) (3.28)՝ մենք ստանում ենք վերջնական կապ անշարժ կոորդինատային համակարգի բազային վեկտորների և պտտվող կոորդինատային համակարգի հիմքային վեկտորների միջև i = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) cos ϕ − − [(e1): sin ψ + e2 cos ψ) cos θ - e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Այս փոխակերպումները կարող են գրվել մատրիցային ձևով L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23: L31 L32 L33 Պտտման մատրիցը որոշվում է L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ տարրերով; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Այնուհետև ընդհանուր ծագման շուրջ պտտման անկյունային արագության կամայական վեկտորի բաղադրիչները կարող են արտահայտվել կոշտ մարմնի մեջ սառեցված պտտվող կոորդինատային համակարգում անկյունային արագության բաղադրիչների միջոցով հետևյալ կերպ. L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21: L22 L31 L32 L23 . L33 Առաջադրանք. Գրե՛ք հակադարձ փոխակերպումները՝ անշարժ կոորդինատային համակարգից մինչև պտտվող կոորդինատային համակարգ։ 3.11. Շարժումը ոչ իներցիոն հղման համակարգերում 1-ին պարբերությունում: 4. Մենք դիտարկել ենք անցումը մեկ տեղեկատու համակարգից (K) մյուսին (K´), առաջինի համեմատ փոխադրաբար շարժվելով, կամայական «M» կետի շառավղային վեկտորները, որոնք չափվում են այս հղումային համակարգերում (այս դիտորդների կողմից) կապված են: հարաբերությամբ (Նկար 4, էջ 23) r = r′ + R . Եկեք հաշվարկենք, ինչպես պարագրաֆ 1.4-ում, dr dr ′ dR արտահայտության ժամանակային ածանցյալը, = + dt dt dt, այժմ ենթադրելով, որ տեղեկատու համակարգը K´ և դրա հետ կապված կոորդինատային համակարգը պտտվում են որոշակի անկյունային արագությամբ ω(t) . Թարգմանական շարժման դեպքում վերջին արտահայտության աջ կողմի առաջին անդամը M կետի արագությունն էր, որը չափվում էր K' դիտորդի կողմից: Պտտվող շարժման դեպքում ստացվում է, որ r վեկտորը չափվում է K' դիտորդով, իսկ ժամանակի ածանցյալը հաշվարկվում է դիտորդի կողմից: M կետի հարաբերական արագությունը մեկուսացնելու համար օգտագործում ենք (3.22) բանաձևը, որը որոշում է. փոխակերպվող շարժվող հղման շրջանակում վեկտորի ժամանակային ածանցյալի միջև կապը պտտվող հղման շրջանակում ածանցյալի հետ dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt որտեղ d ′r ′ u = dt Ժամանակի ածանցյալ, որը չափվում է դիտորդի K′-ի կողմից: Այսպիսով, որպես բևեռ ընտրելով K' համակարգի կոորդինատների ծագումը, որը որոշվում է R շառավղով վեկտորով, մենք ստանում ենք պտտվող կոորդինատային համակարգի արագությունների գումարման թեորեմը u = V + u' + [ω, r ′]: , (3.29), որտեղ նշումները համապատասխանում են 1.4 կետի նշումներին: (3.29) արտահայտության ժամանակային ածանցյալի հաշվարկը du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ ածանցյալի փոխակերպում. ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt մենք ստանում ենք կապը du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Այս արագացումների ընդհանուր անվանումները համապատասխանում են դրանց ֆիզիկական նշանակությանը. du Wabs = – M կետի արագացում, որը չափվում է դիտորդի կողմից հանգիստ վիճակում dt – բացարձակ արագացում; 87 dV ′ – դիտորդի K′-ի արագացում դիտորդի dt K-ի նկատմամբ – շարժական արագացում; d ′u′ Wrel = – M կետի արագացում, որը չափվում է K դիտորդի կողմից – հարաբերական արագացում; WCor = 2 [ω, u′] – արագացում, որն առաջանում է Wper-ի շարժման պատճառով = M կետի շարժում պտտվող հղման շրջանակում, անկյունային արագության վեկտորին ոչ զուգահեռ արագությամբ, – Coriolis արագացում; [ ε, r ′] – արագացում՝ K' հղման համակարգի պտտման շարժման անհավասարության պատճառով, չունի ընդհանուր ընդունված անվանում. Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – նորմալ կամ կենտրոնաձիգ արագացում, որի իմաստն ակնհայտ է դառնում պտտվող սկավառակի կոնկրետ դեպքում, երբ ω վեկտորը ուղղահայաց է r ′ վեկտորին: Իրոք, այս դեպքում Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – վեկտորը ուղղահայաց է (սովորաբար) գծային արագությանը երկայնքով: շառավիղը դեպի կենտրոն: 3.12. Փորձարկում

Գալիլեո-Նյուտոնի մեխանիկայի օրենքները

Դինամիկան հիմնված է օրենքների (աքսիոմների) վրա, որոնք մարդկային գործնական գործունեության ընդհանրացում են։ Այս օրենքներից տրամաբանորեն բխում են մեխանիկայի տարբեր սկզբունքներ: Այս օրենքները ընդհանրացվել են Գալիլեոյի և Նյուտոնի կողմից և ձևակերպվել նյութական կետի հետ կապված:

Նյուտոնի առաջին օրենքը(իներցիայի օրենք): Նյութական կետը, որի վրա չեն գործում ուժեր կամ գործում է ուժերի հավասարակշռության համակարգով, կարող է պահպանել իր հանգստի վիճակը կամ միատեսակ և գծային շարժումը:

Ե՛վ առաջին, և՛ երկրորդ դեպքում կետի արագացումը զրո է:Կետի այս կինեմատիկական վիճակը կոչվում է. իներցիոն.

Բոլոր տեղեկատու համակարգերը, որոնց նկատմամբ գործում է իներցիայի օրենքը, կոչվում են իներցիոն.

Նյուտոնի երկրորդ օրենքը(դինամիկայի հիմնական օրենքը): Նյութական կետի արագացումը իներցիոն հղման համակարգի նկատմամբ համաչափ է կետին կիրառվող ուժին և ուղղված է այս ուժի երկայնքով (նկ. 1):

Այս օրենքը կարող է արտահայտվել ձևով

(1)

Որտեղ մնյութական կետի իներցիոն հատկությունները բնութագրող դրական գործակիցը կոչվում է կետի զանգված։ Զանգվածը դասական մեխանիկայի մեջ համարվում է հաստատուն մեծություն։ SI զանգվածի միավորը կիլոգրամն է (կգ); - կետի արագացում; - կետի վրա կիրառվող ուժ.

Բրինձ. 1

Բրինձ. 2

Զանգվածը սովորաբար որոշվում է ձգողականության ուժով և Երկրի մակերևույթի վրա ձգողականության հետևանքով առաջացած արագացումով։ Համաձայն (1) մենք ունենք

Նյուտոնի երրորդ օրենքը(գործողության և ռեակցիայի ուժերի հավասարության մասին օրենքը): Երկու նյութական կետերի փոխազդեցության ուժերը մեծությամբ հավասար են, իսկ ուղղությամբ՝ հակառակ (նկ. 2), այսինքն.

Չորրորդ օրենք(ուժերի գործողության անկախության օրենքը): Մի քանի ուժերի միաժամանակյա գործողությամբ նյութական կետը ձեռք է բերում արագացում, որը հավասար է այն արագացումների երկրաչափական գումարին, որը նա ձեռք կբերի այդ ուժերից յուրաքանչյուրի ազդեցությամբ առանձին: Այսպիսով, նյութական կետի վրա կիրառվող ուժերը գործում են դրա վրա միմյանցից անկախ։

Թող ուժերի համակարգ կիրառվի նյութական կետի վրա այնուհետև, ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, յուրաքանչյուր ուժի գործողության արագացումը որոշվում է (1) արտահայտությամբ.

Արագացում բոլոր ուժերի միաժամանակյա գործողությամբ

(3)

Ամփոփելով (2) և օգտագործելով (3)՝ մենք ստանում ենք կետի դինամիկայի հիմնական հավասարումը.

Բայց կետը ձեռք է բերում նույն արագացումը մեկ ուժի ազդեցությամբ

Քանի որ ուժերի համակարգ և ուժը տալիս է նույն արագացումը կետին, ապա ուժերի այս համակարգը և ուժը համարժեք են:

Նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

3.1.2.1. Ազատ կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

Բրինձ. 3

Թող ազատ նյութական կետի վրա ազդի ուժերի համակարգ, որն ունի արդյունք, տես Նկ. 3. Այնուհետև դինամիկայի հիմնական օրենքի համաձայն.

(4)

Կետի արագացումը կարող է ներկայացվել որպես , հետևաբար հավասարությունը (4) ունի ձև.

. (5)

Հավասարումը (5) նյութական կետի շարժման վեկտորային դիֆերենցիալ հավասարումն է։ Եթե ​​այն նախագծենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա, ապա կստանանք նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ այս առանցքների վրա պրոյեկցիաներում.

Երբ կետը շարժվում է հարթության մեջ Օքսիհավասարումների համակարգը (6) ունի ձև.

Երբ կետը շարժվում է ուղիղ գծով առանցքի երկայնքով Եզմենք ստանում ենք շարժման մեկ դիֆերենցիալ հավասարում.

Նախագծելով հավասարություն (5) բնական կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ բնական կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում.

1.2.2. Ոչ ազատ կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

Ելնելով կապերից ազատվելու սկզբունքից՝ ոչ ազատ կետը կարող է վերածվել ազատ կետի՝ միացումների գործողությունը փոխարինելով դրանց ռեակցիաներով։ Թող լինի կապի ռեակցիաների արդյունքը, ապա կետի դինամիկայի հիմնական հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

(7)

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա նախագծելով (7)՝ մենք ստանում ենք ոչ ազատ կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ այս առանցքների վրա պրոյեկցիաներում.

Խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ է այս հավասարումներին ավելացնել սահմանափակող հավասարումներ:

Կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ բնական կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում.

1.2.3. Կետի հարաբերական շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

Կետերի դինամիկայի հիմնական հավասարումը վավեր է իներցիոն հղման համակարգի համար, որտեղ արագացումը բացարձակ է: Ըստ Կորիոլիսի թեորեմի՝ բացարձակ արագացում

որտեղ է շարժական շարժման արագացումը; – կետի հարաբերական արագացում շարժվող կոորդինատային համակարգի նկատմամբ. – Coriolis արագացում.

Բացարձակ արագացման արտահայտությունը փոխարինելով կետի դինամիկայի հիմնական հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք.

Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. - շարժական իներցիայի ուժ; – Coriolis իներցիոն ուժ.

Այնուհետև (9) հավասարումը ձև է ստանում

(10)

Ստացված հավասարությունն արտահայտում է դինամիկ Կորիոլի թեորեմը։

Կորիոլիսի թեորեմ. Նյութական կետի հարաբերական շարժումը կարելի է համարել բացարձակ, եթե կետի վրա ազդող ուժերին գումարվում են փոխանցման և Coriolis իներցիայի ուժերը։

Դիտարկենք կետի հարաբերական հավասարակշռության դեպքը Այնուհետեւ Coriolis արագացումը Փոխարինելով այս արժեքները (10) հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք կետի հարաբերական հավասարակշռության պայման.

Որպեսզի կետի հարաբերական շարժման դինամիկայի հիմնական օրենքը համընկնի նրա բացարձակ շարժման հիմնական օրենքի հետ, պետք է պահպանվեն հետևյալ պայմանները.

Այս պայմանը բավարարվում է, եթե շարժվող կոորդինատային համակարգը շարժվում է թարգմանաբար ուղիղ և հավասարաչափ Այս հղման համակարգերի, ինչպես նաև անշարժ համակարգերի առնչությամբ, երբ իներցիայի օրենքը կկատարվի. Հետևաբար, բոլոր հղման համակարգերը, որոնք շարժվում են թարգմանաբար, ուղղագիծ և միատեսակ, ինչպես նաև հանգստի վիճակում են իներցիոն.

Քանի որ դինամիկայի օրենքները նույնն են բոլոր իներցիոն հղման համակարգերում, ապա այս բոլոր համակարգերում մեխանիկական երևույթներն ընթանում են ճիշտ նույն կերպ, եթե նույն իրադարձությունն ընդունվի որպես հղման կետ: Սա հետևում է դասական մեխանիկայի հարաբերականության սկզբունքին։

Դասական մեխանիկայի հարաբերականության սկզբունքը.Ոչ մի մեխանիկական փորձ չի կարող հայտնաբերել հղման համակարգի իներցիոն շարժումը՝ դրա հետ մասնակցելով այս շարժմանը:

Նյութական կետի ազատ թրթռումներ: Մշտական ​​ուժի ազդեցությունը ազատ տատանումների վրա

Անվճար թրթռումներ(կամ ձեր սեփական տատանումներ) - սրանք տատանումներ ենտատանողական համակարգ, որն իրականացվում է միայն ի սկզբանե տրվող էներգիայի (պոտենցիալ կամ կինետիկ) շնորհիվ արտաքին ազդեցության բացակայության դեպքում

Ազատ թրթռումների դիֆերենցիալ հավասարումդիմադրության բացակայության դեպքում.

Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի այն ձևը, որտեղ

Այն դեպքում, երբ նյութական կետի վրա ազդող դիրքային ուժը ձգտում է վերադարձնել այն իր սկզբնական դիրքին, կետի շարժումը կրելու է տատանողական բնույթ։ Այս ուժը սովորաբար կոչվում է վերականգնող:

Վերականգնող ուժի ազդեցության տակ նյութական կետը շարժվում է սինուսոիդային օրենքի համաձայն, այսինքն. ներդաշնակ տատանողական շարժում.

P հաստատուն ուժը չի փոխում F վերականգնող ուժի ազդեցությամբ կետի կողմից կատարվող տատանումների բնույթը, այլ միայն ստատիկ շեղման չափով տեղափոխում է այս տատանումների կենտրոնը դեպի P ուժի գործողությունը։

Նյութական կետի շարժում ռեզոնանսային պայմաններում

Այն դեպքում, երբ, այսինքն. երբ խանգարող ուժի հաճախականությունը հավասար է բնական տատանումների հաճախականությանը, առաջանում է այսպես կոչված ռեզոնանսային երեւույթ։

Ռեզոնանսը հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճն է։ Առաջանում է, երբ բնական տատանումների հաճախականությունը համընկնում է շարժիչ ուժի հաճախականության հետ

Ռեզոնանսի ընթացքում հարկադիր տատանումների տիրույթը ժամանակի ընթացքում անորոշ կմեծանա

Արագությանը համաչափ դիմադրությամբ նյութական կետի հարկադիր տատանումներ:

Պտտվող շարժում

Այս դեպքում . Հետո

- մարմնի կինետիկ էներգիան պտտվող շարժման ժամանակ հավասար է մարմնի իներցիայի պահի արտադրյալի կեսին՝ պտտման առանցքի և նրա անկյունային արագության քառակուսու նկատմամբ։

Քենիգի թեորեմը

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիան զանգվածի կենտրոնի շարժման էներգիան է՝ գումարած շարժման էներգիան զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ.

T=T0+Tr(\ցուցադրման ոճ (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Որտեղ T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt-ը համակարգի ընդհանուր կինետիկ էներգիան է, (\displaystyle T_(0))T0-ը զանգվածի կենտրոնի շարժման կինետիկ էներգիան է, (\displaystyle T_(r))Tr-ը համակարգի հարաբերական կինետիկ էներգիան.

Այլ կերպ ասած, բարդ շարժման մեջ գտնվող մարմնի կամ մարմինների համակարգի ընդհանուր կինետիկ էներգիան հավասար է համակարգի էներգիայի գումարին թարգմանական շարժման մեջ և համակարգի էներգիային իր գնդային շարժման մեջ՝ զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ:

Ավելի ճշգրիտ ձևակերպում. ամբողջ համակարգի ընդհանուր կինետիկ էներգիան հավասար է համակարգի ամբողջ զանգվածի կինետիկ էներգիայի գումարին, որը կենտրոնացած է զանգվածի կենտրոնում և շարժվում է զանգվածի կենտրոնի արագությամբ, գումարած կինետիկ նույն համակարգի էներգիան իր հարաբերական համակարգում՝ զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ

Նկար 1 - Մարմնի ազատ անկում:

Քանի որ բեռը փոքր է, օդի դիմադրությունը բավականին փոքր է, իսկ այն հաղթահարելու էներգիան փոքր է և կարելի է անտեսել: Մարմնի արագությունը մեծ չէ և փոքր հեռավորության վրա չի հասնում այն ​​պահին, երբ այն հավասարակշռվում է օդի հետ շփման արդյունքում և արագացումը կանգ է առնում։

Գետնի հետ բախման պահին կինետիկ էներգիան առավելագույնն է։ Քանի որ մարմինն ունի իր առավելագույն արագությունը։ Իսկ պոտենցիալ էներգիան զրո է, քանի որ մարմինը հասել է երկրի մակերեսին, իսկ բարձրությունը զրոյական է։ Այսինքն, այն, ինչ տեղի է ունենում, այն է, որ առավելագույն պոտենցիալ էներգիան վերին կետում, երբ այն շարժվում է, վերածվում է կինետիկ էներգիայի, որն իր հերթին հասնում է առավելագույնի ստորին կետում: Բայց շարժման ընթացքում համակարգի բոլոր էներգիաների գումարը մնում է հաստատուն։ Քանի որ պոտենցիալ էներգիան նվազում է, կինետիկ էներգիան մեծանում է:

Իդեալական կապեր

Երբ կետը շարժվում է մակերևույթի կամ կորի երկայնքով, կապի ռեակցիան կարող է տրոհվել նորմալ և շոշափող բաղադրիչների: Ռեակցիայի շոշափող բաղադրիչը ներկայացնում է շփման ուժը: Որքան հարթ լինի մակերեսը կամ կորը, այնքան փոքր կլինի ռեակցիայի շոշափող բաղադրիչը: Եթե ​​մակերեսը կամ կորը լիովին հարթ է, ապա ռեակցիան նորմալ է մակերեսին

Իդեալական կապերկոչվում են առանց շփման կապեր, որոնց ռեակցիաները չունեն շոշափող բաղադրիչներ

Կապերից ազատվելու սկզբունքը, ըստ որի՝ ոչ ազատ մարմինը կարող է ազատ համարվել, եթե դեն նետենք նրա վրա ազդող կապերը և դրանք փոխարինենք ուժերով՝ կապերի ռեակցիաներով։

Հաղորդակցման ռեակցիաԱյն ուժը, որով տվյալ կապը գործում է մարմնի վրա՝ կանխելով նրա այս կամ այն ​​շարժումները, կոչվում է կապի ռեակցիա։ Հաղորդակցման ռեակցիաուղղված է հակառակ ուղղությամբ, որտեղ կապը խանգարում է մարմնի շարժմանը:

Կոշտ կնիք

Կոշտ ներկառուցման արձագանքը գտնելը հանգում է բաղադրիչների որոշմանը X ԱԵվ Յ Ականխելով ճառագայթի գծային շարժումը ուժերի գործողության հարթությունում և պահի հանրահաշվական արժեքը մ Ա, կանխելով ճառագայթի պտտումը դրա վրա կիրառվող ուժերի ազդեցության տակ:

Նկ.4

Լուծում.Այս խնդիրը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով ստատիկ հայտնի մեթոդները՝ կազմելով հավասարակշռության հավասարումներ: Բայց այս դեպքում դուք նախ պետք է գտնեք ձողերի ուժերը: Հնարավոր շարժումների սկզբունքը թույլ է տալիս գտնել ուժ Ֆավելի պարզ՝ օգտագործելով ստատիկական ընդհանուր հավասարումը։

Մենք ցույց ենք տալիս ակտիվ ուժեր և. Համակարգին տալիս ենք հնարավոր շարժում՝ ձողը պտտելով ԲԸանկյան տակ (նկ. 66): Քանի որ սահնակը կկատարի թարգմանական շարժում, նրա բոլոր կետերի շարժումները նույնը կլինեն.

Որտեղ ա=AO=BD.

Ստեղծում ենք աշխատանքի հավասարում. Անկյուն.

Հետևաբար մենք ստանում ենք. Այստեղից։

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը.

Համաձայն դ'Ալեմբերի սկզբունքի՝ որոշակի ուժերի ազդեցության տակ շարժվող նյութական համակարգը կարող է հավասարակշռված համարվել, եթե դրանց իներցիոն ուժերը կիրառվեն համակարգի բոլոր կետերի վրա։ Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտագործել հնարավոր շարժումների սկզբունքը։

Կետերի իներցիայի ուժերի աշխատանքների գումարը դրանց հնարավոր շարժումների վրա կավելացվի աշխատանքային հավասարմանը (1).

Կամ ըստ հնարավոր արագությունների սկզբունքի (2).

Այս հավասարումները կոչվում են դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը . Այն թույլ է տալիս լուծել բավականին բարդ նյութական համակարգերի շարժման ուսումնասիրության հետ կապված խնդիրների մեծ դաս:

(3) և (4) հավասարումները ցույց են տալիս, որ ժամանակի ցանկացած ֆիքսված պահին ակտիվ ուժերի և իներցիոն ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը ցանկացած վիրտուալ տեղաշարժի վրա հավասար է զրոյի, պայմանով, որ համակարգի վրա դրված են իդեալական և զսպող միացումներ:

Արժե ընդգծել այս մեթոդի մեկ այլ կարևոր առավելություն՝ դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը, - համակարգի շարժումն ուսումնասիրելիս բացառվում են (իդեալական) միացումների ռեակցիաները։

Երբեմն այս հավասարումը կարող է օգտագործվել մեխանիկական համակարգերի շարժումը ուսումնասիրելու համար և այն դեպքերում, երբ ոչ բոլոր միացումներն են իդեալական, օրինակ, երբ կապեր կան շփման հետ: Դրա համար անհրաժեշտ է ակտիվ ուժերին ավելացնել ռեակցիաների այն բաղադրիչները, որոնք առաջանում են շփման ուժերի առկայությամբ։

Նկ.11

Հավասարակշռությունը համարվում է կայուն, եթե այս դիրքում գտնվող մարմնին տրվում է ցածր արագություն կամ տեղաշարժվում է փոքր հեռավորության վրա, և այդ շեղումները ապագայում չեն ավելանում:

Կարելի է ապացուցել (Լագրանժ-Դիրիխլեի թեորեմ), որ եթե պահպանողական համակարգի հավասարակշռության դիրքում նրա պոտենցիալ էներգիան նվազագույն է, ապա այս հավասարակշռության դիրքը կայուն է։

Ազատության մեկ աստիճան ունեցող պահպանողական համակարգի համար նվազագույն պոտենցիալ էներգիայի պայմանը և, հետևաբար, հավասարակշռության դիրքի կայունությունը որոշվում է երկրորդ ածանցյալով, նրա արժեքը հավասարակշռության դիրքում,

Դասական մեխանիկայի օրենքներ. Նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարում.

Գոյություն ունեն այնպիսի հղման համակարգեր, որոնք կոչվում են իներցիոն, որոնց նկատմամբ նյութական կետերը, երբ դրանց վրա ուժեր չեն գործում (կամ փոխադարձ հավասարակշռված ուժեր), գտնվում են հանգստի կամ միատեսակ գծային շարժման վիճակում։

Իներցիալ հղման համակարգում հաստատուն զանգվածով նյութական կետի կողմից ստացված արագացումը ուղիղ համեմատական ​​է դրան կիրառվող բոլոր ուժերի արդյունքին և հակադարձ համեմատական ​​է նրա զանգվածին:

Նյութական կետերը փոխազդում են միմյանց հետ նույն բնույթի ուժերով, որոնք ուղղված են այդ կետերը միացնող ուղիղ գծի երկայնքով, որոնք հավասար են մեծությամբ և հակառակ ուղղությամբ:

ΣX = m (d 2 x / dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

որտեղ ΣX-ը և ΣY-ը համապատասխան կետի վրա գործող ուժերի կանխատեսումների հանրահաշվական գումարներն են կոորդինատային առանցքներ; x և y կետի ընթացիկ կոորդինատներն են:

Օգտագործելով ստացված դիֆերենցիալ կախվածությունները, լուծվում են դինամիկայի երկու հիմնական խնդիր.

• կետի տվյալ շարժման հիման վրա որոշվում են դրա վրա ազդող ուժերը.
• Իմանալով կետի վրա ազդող ուժերը՝ նրանք որոշում են նրա շարժումը։