Երկու հավասար մրցակիցներ շախմատ են խաղում։ Համարժեք փոխակերպումներ. Բանաձևերի պարզեցում. Կատարյալ նորմալ ձևեր
Սահմանում. Երկու հավասարումներ f 1 (x) = g 1 (x) և f 2 (x) = g 2 (x) կոչվում են համարժեք, եթե դրանց արմատների բազմությունները համընկնում են:
Օրինակ, հավասարումները x 2 - 9 = 0 և (2 X + 6)(X- 3) = 0-ը համարժեք են, քանի որ երկուսն էլ որպես արմատ ունեն 3 և -3 թվերը: Հավասարումներ (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 և x 2+ 1 = 0, քանի որ երկուսն էլ արմատ չունեն, այսինքն. դրանց արմատների հավաքածուները համընկնում են:
Սահմանում. Հավասարումը համարժեք հավասարմամբ փոխարինելը կոչվում է համարժեք փոխակերպում:
Այժմ պարզենք, թե ինչպիսի փոխակերպումներ են թույլ տալիս ստանալ համարժեք հավասարումներ:
Թեորեմ 1.Թող հավասարումը f(x) և g(x)սահմանված է հավաքածուի վրա և հ(x) նույն բազմության վրա սահմանված արտահայտություն է։ Հետո հավասարումները f(x) = g(x)(1) և f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) համարժեք են։
Ապացույց. Նշենք ըստ T 1 -(1) հավասարման լուծումների հավաքածու և միջով T 2 -(2) հավասարման լուծումների հավաքածու. Այդ դեպքում (1) և (2) հավասարումները համարժեք կլինեն, եթե T 1 = T 2.Սա ստուգելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ ցանկացած արմատ Տ 1(2) հավասարման արմատն է և, ընդհակառակը, ցանկացած արմատ Տ 2(1) հավասարման արմատն է։
Թող թիվը Ա- (1) հավասարման արմատը. Հետո ա? T 1,և երբ փոխարինվում է (1) հավասարմամբ, այն վերածում է իրական թվային հավասարության f(a) = g(a), և արտահայտությունը h(x)վերածվում է թվային արտահայտության հ(ա), ինչն իմաստ ունի նկարահանման հրապարակում X.Հավելենք ճշմարիտ հավասարության երկու կողմերին էլ f(a) = g(a)թվային արտահայտություն հ(ա) Ըստ իրական թվային հավասարումների հատկությունների, մենք ստանում ենք իրական թվային հավասարություն f(a) + h(ա) =g(a) + h(ա), որը ցույց է տալիս, որ թիվը Ա(2) հավասարման արմատն է։
Այսպիսով, ապացուցված է, որ (1) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ նույնպես (2) հավասարման արմատ է, այսինքն. Տ 1Հետ Տ 2.
Թող հիմա Ա -(2) հավասարման արմատը. Հետո Ա? Տ 2և երբ փոխարինվում է (2) հավասարման մեջ, այն վերածում է իրական թվային հավասարության f(a) + h(ա) =g(a) + h(ա) Այս հավասարության երկու կողմերին էլ ավելացնենք թվային արտահայտությունը. հ(ա), Մենք ստանում ենք իրական թվային հավասարություն f(x) = g(x),ինչը ցույց է տալիս, որ թիվը Ա -(1) հավասարման արմատը.
Այսպիսով, ապացուցված է, որ (2) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ նույնպես (1) հավասարման արմատ է, այսինքն. Տ 2Հետ Տ 1.
Որովհետեւ Տ 1Հետ Տ 2Եվ Տ 2Հետ T 1,ապա հավասար բազմությունների սահմանմամբ Տ 1= Տ 2, ինչը նշանակում է, որ (1) և (2) հավասարումները համարժեք են։
Այս թեորեմը կարող է ձևակերպվել այլ կերպ. եթե հավասարման երկու կողմերն էլ ունեն սահմանման տիրույթ Xավելացնում ենք նույն արտահայտությունը նույն բազմության վրա սահմանված փոփոխականով, այնուհետև ստանում ենք տրվածին համարժեք նոր հավասարում։
Այս թեորեմից հետևում են հետևությունները, որոնք օգտագործվում են հավասարումներ լուծելիս.
1. Եթե հավասարման երկու կողմերին գումարենք նույն թիվը, ապա կստանանք տրվածին համարժեք հավասարում։
2. Եթե որևէ տերմին (թվային արտահայտություն կամ փոփոխականով արտահայտություն) փոխանցվում է հավասարման մի մասից մյուսին` տերմինի նշանը փոխելով հակառակի, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք հավասարում։
Թեորեմ 2.Թող հավասարումը f(x) = g(x)սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ h (x) -արտահայտություն, որը սահմանված է նույն հավաքածուի վրա և չի անհետանում որևէ արժեքի համար Xշատերից X.Հետո հավասարումները f(x) = g(x)Եվ f(x) h(x) =g(x) ժ(x) համարժեք են։
Այս թեորեմի ապացույցը նման է 1-ին թեորեմի ապացույցին։
Թեորեմ 2-ը կարելի է տարբեր կերպ ձևակերպել. եթե հավասարման երկու կողմերն էլ ունեն տիրույթ Xբազմապատկելով նույն արտահայտությամբ, որը սահմանված է նույն բազմության վրա և չի անհետանում դրա վրա, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք նոր հավասարում։
Այս թեորեմից հետևում է հետևություն. Եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն (կամ բաժանվեն) նույն թվով, բացի զրոյից, ապա ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։
Հավասարումների լուծում մեկ փոփոխականում
Եկեք լուծենք 1-ին հավասարումը. x/3 = x/6, x ? Ռև մենք հիմնավորելու ենք բոլոր այն փոխակերպումները, որոնք կանենք լուծման գործընթացում։
| Փոխակերպումներ | Փոխակերպման հիմնավորում |
| 1. Հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունները բերենք ընդհանուր հայտարարի. (6-2). X)/ 6 = X/6 | Մենք կատարեցինք հավասարման ձախ կողմի արտահայտության նույնական փոխակերպում: |
| 2. Վերցնենք ընդհանուր հայտարարը՝ 6-2 X = X | Մենք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեցինք 6-ով (թեորեմ 2) և ստացանք այս մեկին համարժեք հավասարում։ |
| 3. -2x արտահայտությունը հավասարման աջ կողմ ենք փոխանցում հակառակ նշանով՝ 6 = X+2X. | Օգտագործեցինք 1-ին թեորեմի հետևանքը և ստացանք նախորդին և, հետևաբար, տրվածին համարժեք հավասարում։ |
| 4. Համանման տերմիններ ներկայացնում ենք հավասարման աջ կողմում՝ 6 = 3 X. | Կատարել է արտահայտության ինքնության վերափոխում: |
| 5. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 3-ի. X = 2. | Մենք օգտագործեցինք 2-րդ թեորեմի հետևանքը և ստացանք նախորդին համարժեք հավասարում, հետևաբար և այս մեկին. |
Քանի որ բոլոր փոխակերպումները, որոնք մենք կատարել ենք այս հավասարումը լուծելիս, համարժեք էին, կարող ենք ասել, որ 2-ը այս հավասարման արմատն է:
Եթե հավասարման լուծման գործընթացում չկատարվեն 1-ին և 2-րդ թեորեմների պայմանները, ապա կարող են առաջանալ արմատների կորուստ կամ առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Հետևաբար, ավելի պարզը ստանալու համար հավասարումը վերափոխելիս կարևոր է ապահովել, որ դրանք տանեն տրվածին համարժեք հավասարման։
Դիտարկենք, օրինակ, հավասարումը x(x - 1) = 2x, x? Ռ. Բաժանենք երկու մասերն էլ X, մենք ստանում ենք հավասարումը X - 1 = 2, որտեղից X= 3, այսինքն՝ այս հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ թիվ 3: Բայց արդյոք սա ճի՞շտ է: Հեշտ է տեսնել, որ եթե այս հավասարման մեջ փոփոխականի փոխարեն Xփոխարինելով 0-ը, այն վերածվում է իրական թվային հավասարության 0·(0 - 1) = 2·0: Սա նշանակում է, որ 0-ն այս հավասարման արմատն է, որը մենք կորցրել ենք փոխակերպումներ կատարելիս։ Եկեք վերլուծենք դրանք։ Առաջին բանը, որ մենք արեցինք, հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանեցինք X,դրանք. բազմապատկված արտահայտությամբ 1/ x, բայց ժամը X= Օ՜, իմաստ չունի: Հետևաբար, մենք չկատարեցինք 2-րդ թեորեմի պայմանը, որը հանգեցրեց արմատի կորստի։
Համոզվելու համար, որ այս հավասարման արմատների բազմությունը բաղկացած է երկու 0 և 3 թվերից, ներկայացնում ենք մեկ այլ լուծում. Տեղափոխենք 2 արտահայտությունը Xաջից ձախ. x (x- 1) - 2x = 0: Եկեք այն հանենք հավասարման ձախ կողմի փակագծերից Xև տվեք նմանատիպ տերմիններ. x(x - 3) = 0. Երկու գործակիցների արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, հետևաբար. x= 0 կամ X- 3 = 0. Այստեղից տեսնում ենք, որ այս հավասարման արմատները 0 և 3 են:
Մաթեմատիկայի սկզբնական դասընթացում տեսական հիմքՀավասարումների լուծումը գործողությունների բաղադրիչների և արդյունքների հարաբերությունն է: Օրինակ՝ լուծել հավասարումը ( X·9):24 = 3 հիմնավորված է հետևյալ կերպ. Քանի որ անհայտը դիվիդենտում է, շահաբաժին գտնելու համար անհրաժեշտ է բաժանարարը բազմապատկել գործակցով. X·9 = 24·3, կամ X· 9 = 72:
Անհայտ գործոնը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրանքը բաժանել հայտնի գործակցի վրա. x = 72։9 կամ x = 8, հետևաբար, այս հավասարման արմատը 8 թիվն է:
Զորավարժություններ
1 . Որոշեք, թե հետևյալ գրառումներից որոնք են մեկ փոփոխականի հավասարումներ.
Ա) ( X-3) 5 = 12 X; դ) 3 + (12-7) 5 = 16;
բ) ( X-3) 5 = 12; դ) ( X-3)· y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; ե) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Հավասարում 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 սահմանված է հավաքածուի վրա բնական թվեր. Բացատրեք, թե ինչու 1 թիվը այս հավասարման արմատն է, բայց 2-ը և -1-ը դրա արմատները չեն:
3. Հավասարման մեջ ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 մեկ թիվը ջնջվում է և փոխարինվում է կետերով: Գտե՛ք ջնջված թիվը, եթե գիտեք, որ այս հավասարման արմատը 2 թիվն է։
4. Ձևակերպեք այն պայմանները, որոնց դեպքում.
ա) 5 թիվը հավասարման արմատն է f (x) = g (x);
բ) 7 թիվը հավասարման արմատը չէ f(x) = g(x).
5. Որոշի՛ր, թե հետևյալ զույգ հավասարումներից որն է համարժեք իրական թվերի բազմության վրա.
ա) 3 + 7 X= -4 և 2(3 + 7լ X) = -8;
6)3 + 7X= -4 և 6 + 7 X = -1;
գ) 3 + 7 X= -4 և լ X + 2 = 0.
6. Ձևակերպե՛ք հավասարումների համարժեքության հարաբերության հատկությունները. Դրանցից որո՞նք են օգտագործվում հավասարումը լուծելու գործընթացում:
7. Լուծե՛ք հավասարումները (բոլորը տրված են իրական թվերի բազմության վրա) և հիմնավորե՛ք դրանց պարզեցման գործընթացում կատարված բոլոր փոխակերպումները.
ա) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
բ) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
ժամը 2-ին X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Ուսանողը լուծեց 5-րդ հավասարումը X + 15 = 3 X+ 9 հետևյալ կերպ՝ ես ձախ կողմում փակագծերից հանեցի 5 թիվը, իսկ աջում՝ 3, և ստացա հավասարումը. 5 (x+ 3) = 3(X+ 3) և այնուհետև երկու կողմերը բաժանեց արտահայտության X+ 3. Ես ստացա 5 = 3 հավասարությունը և եզրակացրեցի, որ այս հավասարումը արմատներ չունի: Աշակերտը ճի՞շտ է:
9. Լուծե՛ք 2/(2-) հավասարումը x) – ½ = 4/((2- x)x); X? Ռ. Արդյո՞ք 2 համարը այս հավասարման արմատն է:
10. Լուծե՛ք հավասարումները՝ օգտագործելով բաղադրիչների և գործողությունների արդյունքների միջև կապը.
Ա) ( X+ 70) 4 = 328; գ) (85 X + 765): 170 = 98;
բ) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Խնդիրներ լուծել թվաբանական և հանրահաշվական մեթոդներով.
ա) Առաջին դարակում 16-ով ավելի գիրք կա, քան երկրորդում: Եթե յուրաքանչյուր դարակից հանեք 3 գիրք, ապա առաջին դարակում մեկուկես անգամ ավելի շատ գիրք կլինի, քան երկրորդում։ Քանի՞ գիրք կա յուրաքանչյուր դարակում:
բ) Հեծանվորդը ճամբարի վայրից մինչև կայարան ամբողջ տարածությունը՝ 26 կմ, անցել է 1 ժամ 10 րոպեում։ Այս ժամանակի առաջին 40 րոպեների ընթացքում նա վարել է մեկ արագությամբ, իսկ մնացած ժամանակը՝ 3 կմ/ժ պակաս արագությամբ։ Գտեք հեծանվորդի արագությունը ճանապարհորդության առաջին հատվածում:
Բաժին 2. Բանաձևերի տրամաբանական համարժեքություն. Առաջարկվող հանրահաշվի բանաձևերի նորմալ ձևեր
Համարժեքության հարաբերություն
Օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակները՝ կարող եք սահմանել, թե մուտքագրված փոփոխականների ճշմարտության արժեքների որ հավաքածուների համար բանաձևը կընդունի ճշմարիտ կամ կեղծ արժեք (ինչպես նաև համապատասխան տրամաբանական կառուցվածք ունեցող հայտարարություն), որը բանաձևեր կլինեն տավտոլոգիաներ կամ հակասություններ, և նաև որոշել, թե արդյոք երկու տրված բանաձևեր համարժեք։
Տրամաբանության մեջ երկու նախադասությունները համարժեք են, եթե երկուսն էլ ճիշտ են կամ սխալ: Այս արտահայտության մեջ «միաժամանակ» բառը երկիմաստ է: Այսպիսով, «Վաղը կլինի երեքշաբթի» և «Երեկ կիրակի էր» նախադասությունների համար այս բառը բառացի նշանակություն ունի. երկուշաբթի երկուսն էլ ճիշտ են, իսկ շաբաթվա մնացած օրերին երկուսն էլ կեղծ են: Հավասարումների համար» x = 2«Եվ» 2x = 4««միաժամանակ» նշանակում է «փոփոխականի նույն արժեքներով»: «Վաղը անձրև է գալու» և «Ճիշտ չէ, որ վաղը անձրև չի գա» կանխատեսումները միաժամանակ կհաստատվեն (պարզվում է, որ ճիշտ է) կամ չեն հաստատվելու (պարզվում է, որ կեղծ է): Ըստ էության, սա նույն կանխատեսումն է՝ արտահայտված երկու տարբեր ձևերով, որոնք կարող են ներկայացվել բանաձևերով. XԵվ . Այս բանաձևերը և՛ ճշմարիտ են, և՛ կեղծ: Ստուգելու համար բավական է ստեղծել ճշմարտության աղյուսակ.
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Մենք տեսնում ենք, որ առաջին և վերջին սյունակներում ճշմարտության արժեքները համընկնում են: Բնական է նման բանաձեւերը, ինչպես նաեւ համապատասխան նախադասությունները համարժեք համարելը։
F 1 և F 2 բանաձևերը համարվում են համարժեք, եթե դրանց համարժեքը տավտոլոգիա է:
Երկու բանաձևերի համարժեքությունը գրված է հետևյալ կերպ. (կարդալ՝ բանաձև F 1համարժեք է բանաձևին F 2).
Կան երեք եղանակներ ստուգելու, թե արդյոք բանաձևերը համարժեք են. 2) յուրաքանչյուր բանաձևի համար ստեղծեք ճշմարտության աղյուսակ և համեմատեք վերջնական արդյունքները. եթե ստացված սյունակներում՝ փոփոխական արժեքների նույն հավաքածուներով երկու բանաձևերի ճշմարտացիության արժեքները հավասար են, ապա բանաձևերը համարժեք են. 3) օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ.
Օրինակ 2.1:Պարզեք, թե արդյոք բանաձեւերը համարժեք են՝ 1) , ; 2), .
1) Համարժեքությունը որոշելու համար օգտագործենք առաջին մեթոդը, այսինքն՝ կպարզենք՝ արդյոք բանաձևերի համարժեքությունը նույնպես տավտոլոգիա է։
Եկեք ստեղծենք համարժեք բանաձև. Ստացված բանաձևը պարունակում է երկու տարբեր փոփոխականներ ( ԱԵվ IN) և 6 գործողություն՝ 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Սա նշանակում է, որ համապատասխան ճշմարտության աղյուսակը կունենա 5 տող և 8 սյունակ.
| Ա | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Ճշմարտության աղյուսակի վերջին սյունակից պարզ է դառնում, որ կառուցված համարժեքությունը տավտոլոգիա է և, հետևաբար, .
2) Բանաձևերի համարժեքությունը պարզելու համար մենք օգտագործում ենք երկրորդ մեթոդը, այսինքն՝ յուրաքանչյուր բանաձևի համար կազմում ենք ճշմարտության աղյուսակ և համեմատում ստացված սյունակները։ ( Մեկնաբանություն. Երկրորդ մեթոդը արդյունավետ օգտագործելու համար անհրաժեշտ է, որ բոլոր կազմված ճշմարտության աղյուսակները սկսվեն նույն կերպ, այսինքն փոփոխական արժեքների հավաքածուները նույնն էին համապատասխան տողերում .)
Բանաձևը պարունակում է երկու տարբեր փոփոխականներ և 2 գործողություն, ինչը նշանակում է, որ համապատասխան ճշմարտության աղյուսակն ունի 5 տող և 4 սյունակ.
| Ա | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Բանաձևը պարունակում է երկու տարբեր փոփոխականներ և 3 գործողություններ, ինչը նշանակում է, որ համապատասխան ճշմարտության աղյուսակը ունի 5 տող և 5 սյունակ.
| Ա | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Համեմատելով կազմված ճշմարտության աղյուսակների ստացված սյունակները (քանի որ աղյուսակները սկսվում են նույնը, մենք չենք կարող ուշադրություն դարձնել փոփոխական արժեքների բազմություններին), տեսնում ենք, որ դրանք չեն համընկնում և, հետևաբար, բանաձևերը համարժեք չեն ():
Արտահայտությունը բանաձև չէ (քանի որ «» նշանը որևէ տրամաբանական գործողության չի վերաբերում): Այն արտահայտում է վերաբերմունքըբանաձևերի միջև (ինչպես նաև թվերի միջև հավասարություն, տողերի միջև զուգահեռություն և այլն):
Համարժեքության հարաբերության հատկությունների թեորեմը վավեր է.
Թեորեմ 2.1.Առաջադրված հանրահաշվի բանաձևերի միջև համարժեքության կապը.
1) ռեֆլեքսորեն.
2) սիմետրիկ՝ եթե , ապա ;
3) անցումային՝ եթե և , ապա .
Տրամաբանության օրենքներ
Առաջարկային տրամաբանական բանաձևերի համարժեքները հաճախ կոչվում են տրամաբանության օրենքները. Մենք թվարկում ենք դրանցից ամենակարևորները.
1. – ինքնության օրենք.
2. – բացառված միջինի օրենք
3. – հակասության օրենք
4. – դիսյունցիա զրոյի հետ
5. – զրոյի հետ կապ
6. – տարանջատում միասնությունից
7. – մեկի հետ կապ
8. – կրկնակի ժխտման օրենք
9. – կապի փոխադարձություն
10. – դիզյունցիայի փոխադարձություն
11. – կապի ասոցիատիվություն
12. – դիզյունցիայի ասոցիատիվություն
13. – կապի բաշխվածություն
14. – դիսյունցիայի բաշխվածություն
15. – անզորության օրենքներ
16. 
; 
- կլանման օրենքները
17. 
; 
- Դե Մորգանի օրենքները
18. 
– օրենք, որն արտահայտում է ենթատեքստ անջատման միջոցով
19. 
- հակադրման օրենքը
20. – այլ տրամաբանական գործողություններով համարժեքություն արտահայտող օրենքներ
Տրամաբանության օրենքներն օգտագործվում են բարդ բանաձևերը պարզեցնելու և բանաձևերի նույնական ճշմարտությունը կամ կեղծիքն ապացուցելու համար։
Համարժեք փոխակերպումներ. Պարզեցնող բանաձևեր
Եթե միևնույն բանաձևը որևէ փոփոխականի փոխարեն ամենուր փոխարինվի համարժեք բանաձևերով, ապա նոր ստացված բանաձևերը նույնպես կստացվեն համարժեք՝ ըստ փոխարինման կանոնի։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր համարժեքից կարելի է ստանալ այնքան նոր համարժեքներ, որքան ցանկանում եք:
Օրինակ 1:Եթե փոխարենը Դե Մորգանի օրենքում Xփոխարինել, իսկ փոխարենը Յփոխարինող, մենք ստանում ենք նոր համարժեք: Ստացված համարժեքության վավերականությունը կարելի է հեշտությամբ ստուգել ճշմարտության աղյուսակի միջոցով:
Եթե որևէ բանաձև, որը բանաձևի մաս է կազմում Ֆփոխարինել բանաձևին համարժեք բանաձևով, ապա ստացված բանաձևը համարժեք կլինի բանաձևին. Ֆ.
Այնուհետև օրինակ 2-ի բանաձևի համար կարող են կատարվել հետևյալ փոխարինումները.
- կրկնակի ժխտման օրենքը;
- Դե Մորգանի օրենքը;
- կրկնակի ժխտման օրենքը;
- ասոցիատիվության օրենք;
- անզորության օրենքը.
Համարժեքության հարաբերության անցողիկ հատկությամբ կարող ենք փաստել, որ 
.
Մեկ բանաձևի փոխարինումը դրան համարժեք այլ բանաձևով կոչվում է համարժեք փոխակերպում բանաձեւեր.
Տակ պարզեցում Բանաձևերը, որոնք չեն պարունակում ենթատեքստ և համարժեքության նշաններ, հասկացվում են որպես համարժեք փոխակերպում, որը հանգեցնում է բանաձևի, որը չի պարունակում ոչ տարրական բանաձևերի ժխտում (մասնավորապես՝ կրկնակի բացասական) կամ ընդհանուր առմամբ պարունակում է ավելի փոքր թվով կապի և դիսյունկցիոն նշաններ, քան բնօրինակը.
Օրինակ 2.2.Եկեք պարզեցնենք բանաձևը 
.
Առաջին քայլում մենք կիրառեցինք այն օրենքը, որը փոխակերպում է ենթատեքստը դիզյունցիայի: Երկրորդ քայլում մենք կիրառեցինք կոմուտատիվ օրենքը։ Երրորդ քայլին մենք կիրառեցինք անիմաստության օրենքը։ Չորրորդը Դե Մորգանի օրենքն է։ Եվ հինգերորդը կրկնակի ժխտման օրենքն է։
Ծանոթագրություն 1. Եթե որոշակի բանաձևը տավտոլոգիա է, ապա դրան համարժեք ցանկացած բանաձև նույնպես տավտոլոգիա է:
Այսպիսով, համարժեք փոխակերպումները կարող են օգտագործվել նաև որոշ բանաձևերի նույնական ճշմարտությունն ապացուցելու համար։ Սրա համար այս բանաձեւըանհրաժեշտ է համարժեք փոխակերպումներով տանել բանաձևերից մեկին, որոնք տավտոլոգիաներ են։
Ծանոթագրություն 2. Որոշ տավտոլոգիաներ և համարժեքներ միավորվում են զույգերի մեջ (հակասության օրենքը և այլընտրանքային, կոմուտատիվ, ասոցիատիվ օրենքները և այլն)։ Այս նամակագրությունները բացահայտում են այսպես կոչված երկակիության սկզբունքը .
Կոչվում են երկու բանաձևեր, որոնք չեն պարունակում ենթատեքստ և համարժեքության նշաններ երկակի , եթե դրանցից յուրաքանչյուրը կարելի է ձեռք բերել մյուսից՝ նշանները համապատասխանաբար փոխարինելով .
Երկակիության սկզբունքը սահմանում է հետևյալը.
Թեորեմ 2.2:Եթե երկու բանաձևեր, որոնք չեն պարունակում ենթատեքստ և համարժեքության նշաններ, համարժեք են, ապա դրանց երկակի բանաձևերը նույնպես համարժեք են։
Նորմալ ձևեր
Նորմալ ձևբանաձև գրելու շարահյուսական միանշանակ ձև է, որն իրականացնում է տվյալ ֆունկցիան։
Օգտագործելով տրամաբանության հայտնի օրենքները՝ ցանկացած բանաձև կարող է վերածվել ձևի համարժեք բանաձևի 
, որտեղ և յուրաքանչյուրը կա՛մ փոփոխական է, կա՛մ փոփոխականի ժխտում, կա՛մ փոփոխականների միացում կամ դրանց ժխտում: Այլ կերպ ասած, ցանկացած բանաձև կարող է վերածվել պարզ ստանդարտ ձևի համարժեք բանաձևի, որը լինելու է տարրերի դիսյունկցիան, որոնցից յուրաքանչյուրը առանձին տարբեր տրամաբանական փոփոխականների միացում է` ժխտման նշանով կամ առանց դրա:
Օրինակ 2.3:Մեծ բանաձևերում կամ բազմաթիվ փոխակերպումների ժամանակ ընդունված է բաց թողնել կապի նշանը (բազմապատկման նշանի անալոգիայով). Մենք տեսնում ենք, որ կատարված փոխակերպումներից հետո բանաձևը երեք շաղկապների դիսյունցիա է։
Այս ձևը կոչվում է տարանջատող նորմալ ձև (DNF): Անհատական DNF տարրը կոչվում է տարրական կապ կամ միավորի բաղկացուցիչը:
Նմանապես, ցանկացած բանաձև կարող է կրճատվել մինչև համարժեք բանաձև, որը կլինի տարրերի միացում, որոնցից յուրաքանչյուրը կլինի տրամաբանական փոփոխականների դիսյունկցիան՝ ժխտման նշանով կամ առանց դրա: Այսինքն, յուրաքանչյուր բանաձև կարող է կրճատվել ձևի համարժեք բանաձևի 
, որտեղ և յուրաքանչյուրը կա՛մ փոփոխական է, կա՛մ փոփոխականի ժխտում, կա՛մ փոփոխականների բաժանում կամ դրանց ժխտում: Այս ձևը կոչվում է կոնյունկտիվ նորմալ ձև
(KNF):
Օրինակ 2.4:
CNF-ի առանձին տարր կոչվում է տարրական տարանջատում կամ զրոյի բաղադրիչ։
Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր բանաձև ունի անսահման շատ DNF և CNF:
Օրինակ 2.5:Եկեք գտնենք մի քանի DNF բանաձևի համար 
.
Կատարյալ նորմալ ձևեր
SDNF-ը (կատարյալ DNF) DNF է, որտեղ յուրաքանչյուր տարրական կապ պարունակում է բոլոր տարրական պնդումները կամ դրանց ժխտումները մեկ անգամ, տարրական կապերը չեն կրկնվում:
SKNF-ը (կատարյալ CNF) CNF-ն է, որտեղ յուրաքանչյուր տարրական անջատում պարունակում է բոլոր տարրական հայտարարությունները կամ դրանց ժխտումները մեկ անգամ, տարրական անջատումները չեն կրկնվում:
Օրինակ 2.6: 1) – SDNF
2) 1 - SKNF
Եկեք ձեւակերպենք բնորոշ հատկանիշներ SDNF (SKNF):
1) դիսյունցիայի (կապակցման) բոլոր անդամները տարբեր են.
2) յուրաքանչյուր կապի (դիսյունկցիա) բոլոր անդամները տարբեր են.
3) ոչ մի կապ (անջատում) չի պարունակում և՛ փոփոխական, և՛ դրա ժխտում.
4) Յուրաքանչյուր կապ (disjunction) պարունակում է բնօրինակ բանաձեւում ներառված բոլոր փոփոխականները:
Ինչպես տեսնում ենք, բնորոշ հատկանիշները (բայց ոչ ձևերը) բավարարում են երկակիության սահմանումը, ուստի բավական է հասկանալ մեկ ձևը, որպեսզի սովորենք, թե ինչպես ստանալ երկուսն էլ:
DNF-ից (CNF)՝ օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ, կարելի է հեշտությամբ ստանալ SDNF (SKNF): Քանի որ կատարյալ նորմալ ձևեր ստանալու կանոնները նույնպես երկակի են, մենք մանրամասն կվերլուծենք SDNF-ի ստացման կանոնը և կձևակերպենք ինքներդ SCNF ստանալու կանոնը՝ օգտագործելով երկակիության սահմանումը:
Ընդհանուր կանոնբանաձևը բերելով SDNF՝ օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ.
Բանաձևը տալու համար Ֆ, որը նույնական կեղծ չէ, SDNF-ին բավական է.
1) տանել նրան ինչ-որ DNF-ի.
2) հեռացնել փոփոխականը պարունակող դիսյունցիայի պայմանները դրա ժխտման հետ միասին (եթե այդպիսիք կան).
3) հեռացնել բաժանման բոլոր նույնական պայմանները, բացառությամբ մեկի (եթե այդպիսիք կան).
4) հեռացնել բոլոր միանման անդամները, բացառությամբ մեկի, յուրաքանչյուր կապի (եթե այդպիսիք կան).
5) եթե որևէ շաղկապ չի պարունակում փոփոխական սկզբնական բանաձևում ներառված փոփոխականներից, ապա այս կապին ավելացրեք տերմին և կիրառեք համապատասխան բաշխիչ օրենքը.
6) եթե ստացված անջատումը պարունակում է նույնական տերմիններ, օգտագործեք դեղատոմս 3:
Ստացված բանաձեւը այս բանաձեւի SDNF-ն է:
Օրինակ 2.7:Եկեք գտնենք SDNF և SCNF բանաձևի համար 
.
Քանի որ այս բանաձևի DNF-ն արդեն գտնվել է (տես Օրինակ 2.5), մենք կսկսենք ստանալ SDNF.
2) ստացված դիզյունցիայում փոփոխականներ չկան դրանց ժխտումների հետ մեկտեղ.
3) բաժանման մեջ միանման անդամներ չկան.
4) ոչ մի կապում նույնական փոփոխականներ չկան.
5) առաջին տարրական կապը պարունակում է սկզբնական բանաձևում ներառված բոլոր փոփոխականները, իսկ երկրորդ տարրական կապում բացակայում է փոփոխականը. զ, ուստի եկեք դրան անդամ ավելացնենք և կիրառենք բաշխման օրենքը.
6) հեշտ է նկատել, որ անջատման մեջ հայտնվել են նույնական տերմիններ, ուստի մենք հանում ենք մեկը (դեղատոմս 3).
3) հանել նույնական անջատումներից մեկը. 
;
4) մնացած անջատումները չունեն նույնական տերմիններ.
5) տարրական անջատումներից և ոչ մեկը չի պարունակում սկզբնական բանաձևում ներառված բոլոր փոփոխականները, ուստի եկեք դրանցից յուրաքանչյուրը լրացնենք կապով.
6) ստացված շաղկապում չկան նույնական դիսյունկցիաներ, հետևաբար գտնված կապակցական ձևը կատարյալ է:
Քանի որ ընդհանուր առմամբ SKNF և SDNF բանաձևերը Ֆ 8 անդամ, ապա, ամենայն հավանականությամբ, ճիշտ են գտնվել։
Յուրաքանչյուր իրագործելի (կեղծելի) բանաձև ունի մեկ եզակի SDNF և մեկ եզակի SCNF: Տավտոլոգիան չունի SKNF, բայց հակասությունը չունի SKNF:
Սահմանում.Երկու տրամաբանական հանրահաշիվ բանաձևեր Ա և Բկոչվում են համարժեք,եթե նրանք վերցնում են նույն տրամաբանական արժեքները տարրական հայտարարությունների բանաձևերում ներառված արժեքների ցանկացած հավաքածուի վրա:
Բանաձևերի համարժեքությունը կնշենք նշանով և նշումով Ա INնշանակում է, որ բանաձեւերը Ա և Բհամարժեք են։
Օրինակ, բանաձևերը համարժեք են.
A բանաձևը կոչվում է նույնական ճշմարիտ (կամ նույնաբանություն), եթե այն վերցնում է 1 արժեքը դրանում ներառված փոփոխականների բոլոր արժեքների համար:
Օրինակ, բանաձևերը նույնպես ճշմարիտ են , .
Բանաձև Ականչեց նույնապես կեղծ,եթե այն վերցնում է 0 արժեքը դրանում ներառված փոփոխականների բոլոր արժեքների համար:
Օրինակ, բանաձեւը նույնական կեղծ է:
Հասկանալի է, որ համարժեքության կապը ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցումային։
Համարժեքություն և համարժեք հասկացությունների միջև կա հետևյալ կապը՝ եթե բանաձևերը ԱԵվ INհամարժեք են, ապա բանաձեւը Ա IN- տավտոլոգիա, և հակառակը, եթե բանաձևը Ա IN- տավտոլոգիա, ապա բանաձեւեր ԱԵվ INհամարժեք են։
Տրամաբանության հանրահաշվի ամենակարևոր համարժեքները կարելի է բաժանել երեք խմբի.
1. Հիմնական համարժեքներ.
Եկեք ապացուցենք կլանման օրենքներից մեկը. Դիտարկենք բանաձևը . Եթե այս բանաձեւում Ա= 1, ապա, ակնհայտորեն, և այնուհետև որպես երկու ճշմարիտ պնդումների միացում: Եկեք հիմա բանաձևում A x = 0. Բայց հետո, կապակցման գործողության սահմանմամբ, շաղկապը նույնպես կեղծ կլինի. . Այսպիսով, բոլոր դեպքերում բանաձևի արժեքները Ահամապատասխանել արժեքներին Ա,եւ, հետեւաբար Ա x.
2. Որոշ տրամաբանական գործողություններ արտահայտող համարժեքներ մյուսների միջոցով.
Հասկանալի է, որ 5-րդ և 6-րդ համարժեքները ստացվում են համապատասխանաբար 3-րդ և 4-րդ համարժեքներից, եթե վերցնենք ժխտումները վերջինիս երկու մասերից և օգտագործենք կրկնակի ժխտումը հանելու օրենքը։ Այսպիսով, առաջին չորս համարժեքները ապացույցի կարիք ունեն։ Փաստենք դրանցից երկուսը` առաջինն ու երրորդը:
Քանի որ նույն տրամաբանական արժեքներով XԵվ ժամըեթե , , , բանաձևերը ճշմարիտ են, ապա կապը նույնպես ճշմարիտ կլինի 
.
Հետևաբար, այս դեպքում համարժեքության երկու կողմերն էլ ունեն նույն իրական արժեքները։
Թող հիմա XԵվ ժամըունեն տարբեր տրամաբանական արժեքներ: Այնուհետև համարժեքությունը և երկու հետևանքներից մեկը կամ կեղծ կլինի: Միեւնույն ժամանակ
կապը կեղծ կլինի . Այսպիսով, այս դեպքում համարժեքության երկու կողմերն էլ ունեն նույն տրամաբանական իմաստը։
Դիտարկենք համարժեքությունը 3. Եթե XԵվ ժամըմիևնույն ժամանակ վերցրեք իրական արժեքներ, այդ դեպքում կապը ճշմարիտ կլինի x&yև կապի կեղծ ժխտումը: Միևնույն ժամանակ, և և կլինի կեղծ, և հետևաբար դիզյունցիան նույնպես կեղծ կլինի .
Եկեք հիմա փոփոխականներից գոնե մեկը Xկամ ժամըգնահատում է կեղծ. Այդ դեպքում կապը կեղծ կլինի x&yև դրա իսկական ժխտումը։ Միևնույն ժամանակ, փոփոխականներից առնվազն մեկի ժխտումը ճշմարիտ կլինի, հետևաբար դիսյունցիան նույնպես ճշմարիտ կլինի .
Հետևաբար, բոլոր դեպքերում 3-ի համարժեքության երկու կողմերն էլ ընդունում են նույն տրամաբանական արժեքները:
2-րդ և 4-րդ համարժեքներն ապացուցվում են նույն ձևով:
Այս խմբի համարժեքներից հետևում է, որ տրամաբանության հանրահաշիվում ցանկացած բանաձև կարող է փոխարինվել համարժեք բանաձևով, որը պարունակում է ընդամենը երկու տրամաբանական գործողություն՝ կապ և ժխտում կամ դիսյունկցիա և ժխտում։
Տրամաբանական գործողությունների հետագա վերացում հնարավոր չէ։ Այսպիսով, եթե մենք օգտագործում ենք միայն շաղկապ, ապա այնպիսի բանաձև, ինչպիսին է ժխտումը Xչի կարող արտահայտվել կապի օպերատորի միջոցով:
Այնուամենայնիվ, կան գործողություններ, որոնցով կարելի է արտահայտել մեր օգտագործած հինգ տրամաբանական գործողություններից որևէ մեկը: Նման վիրահատությունը, օրինակ, «Շեֆերի կաթված» վիրահատությունն է։ Այս գործողությունը նշվում է խորհրդանիշով x|yև որոշվում է հետևյալ ճշմարտության աղյուսակով.
| x | y | x|y |
Ակնհայտ է, որ կան համարժեքներ.
2) x&y (x|y)|(x|y).
Այս երկու համարժեքներից հետևում է, որ տրամաբանության հանրահաշիվում ցանկացած բանաձև կարող է փոխարինվել համարժեք բանաձևով, որը պարունակում է միայն «Schaeffer stroke» գործողությունը։
Նշենք, որ.
Գործողությունը կարող է մուտքագրվել նույն կերպ 
.
3. Տրամաբանության հանրահաշվի հիմնական օրենքներն արտահայտող համարժեքներ.
1. x&y y&x -կապի փոխադարձություն.
2. x ժամը y X- դիզյունցիայի փոխադարձություն.
3. x&(y&y) (x&y)&z- կապի ասոցիատիվություն.
4. X(y z ) (X y) z-ը դիզյունցիայի ասոցիատիվությունն է:
5. x&(y զ) (x&y) (x&z)- կապի բաշխվածությունը դիսյունցիայի նկատմամբ:
6. X (y&z) (X y)& (xզ ) - դիսյունցիայի բաշխվածությունը կապի նկատմամբ:
Փաստենք թվարկված օրենքներից վերջինը. Եթե X= 1, ապա բանաձեւերը ճշմարիտ կլինեն X (y&զ), X y, xզ . Բայց այդ դեպքում կապը նույնպես ճշմարիտ կլինի (X y)& (xզ ). Այսպիսով, երբ X= 1, 6-ի համարժեքության երկու կողմերն էլ վերցնում են նույն տրամաբանական արժեքները (ճշմարիտ):
Թող հիմա x = 0. Հետո X (y&z) y&z, x ժամը ժամըԵվ x z z , և, հետևաբար, կապը X (y&z) y&z. Հետևաբար, այստեղ 6-ի համարժեքության երկու կողմերն էլ համարժեք են նույն բանաձևին y&z,և հետևաբար վերցրեք նույն տրամաբանական արժեքները:
§ 5. Բանաձեւերի համարժեք փոխակերպումներ
Օգտագործելով I, II և III խմբերի համարժեքները, կարող եք բանաձևի մի մասը կամ բանաձևը փոխարինել համարժեք բանաձևով: Բանաձևերի նման փոխակերպումները կոչվում են համարժեք։
Համարժեք փոխակերպումները օգտագործվում են համարժեքներն ապացուցելու, բանաձևերը տվյալ ձևի բերելու, բանաձևերը պարզեցնելու համար։
Բանաձև Ահամարվում է ավելի պարզ, քան իր համարժեք բանաձևը IN,եթե այն պարունակում է ավելի քիչ տառեր, ավելի քիչ տրամաբանական գործողություններ: Այս դեպքում համարժեքության և ենթատեքստի գործողությունները սովորաբար փոխարինվում են անջատման և կապակցման գործողություններով, իսկ ժխտումը դասակարգվում է որպես տարրական հայտարարություններ։ Դիտարկենք մի շարք օրինակներ։
1. Ապացուցել համարժեքությունը 
.
Օգտագործելով I, II և III խմբերի համարժեքները
2.
Պարզեցրեք բանաձևը 
.
Եկեք գրենք համարժեք բանաձևերի շղթա.
3. Ապացուցե՛ք բանաձեւի նույնական ճշմարտությունը
Եկեք գրենք համարժեք բանաձևերի շղթա.
Բուլյան հանրահաշիվ
III խմբի համարժեքները ցույց են տալիս, որ տրամաբանության հանրահաշիվն ունի փոխադարձ և ասոցիատիվ օրենքներ՝ կապված կապի և դիսյունկցիայի գործողությունների հետ, և կապի բաշխիչ օրենքը դիսյունկցիայի վերաբերյալ, նույն օրենքները կիրառվում են նաև թվերի հանրահաշվում: Ուստի նույն փոխակերպումները կարելի է կատարել տրամաբանության հանրահաշվի բանաձևերի վրա, որոնք կատարվում են թվերի հանրահաշիվում (փակագծեր բացել, փակագծերի մեջ դնել, փակագծերից դուրս դնել ընդհանուր գործակից)։
Բայց տրամաբանության հանրահաշիվում հնարավոր են այլ փոխակերպումներ՝ հիմնվելով համարժեքների օգտագործման վրա.
Այս հատկանիշը մեզ թույլ է տալիս հասնել հեռուն գնացող ընդհանրացումների։
Դիտարկենք ոչ դատարկ հավաքածուն Մցանկացած բնույթի տարրեր ( x,y,z,...} , որոնցում սահմանվում են «=» (հավասար) հարաբերությունը և երեք գործողություն՝ «+» (գումարում), «» (բազմապատկում) և «-» (ժխտում)՝ հաշվի առնելով հետևյալ աքսիոմները.
Փոխադարձ օրենքներ.
1 ա. x + y = y + x, 1բ. X y = y X.
Ասոցիացիայի օրենքներ.
2 ա. x + (y + z)= (x + y) + z, 2բ. X (y z) = (x y) զ.
Բաշխման օրենքներ.
3 ա. (x + y) z = (xզ ) + (y է) 3բ. (x y) + z = (x+z) (y + z):
Անզորության օրենքներ.
4 ա. x + x = x, 4բ. X x = x.
Կրկնակի ժխտման օրենքը.
Դե Մորգանի օրենքները.
6 ա. , 6բ . .
Կլանման օրենքները.
7 ա. x + (y X)= X, 7բ. X (y + x) = x.
Այնքան շատ Մկանչեց Բուլյան հանրահաշիվ.
Եթե հիմնական տարրերի տակ x, y, z, ...Եթե «+», « », «-» գործողություններով նկատի ունենք համապատասխանաբար դիսյունցիա, կապ, ժխտում, իսկ հավասարության նշանը համարվում է համարժեքության նշան, ապա I, II և III խմբերի համարժեքներից. , Բուլյան հանրահաշվի բոլոր աքսիոմները բավարարված են։
Այն դեպքերում, երբ աքսիոմների որոշակի համակարգի համար հնարավոր է ընտրել կոնկրետ առարկաներ և նրանց միջև կոնկրետ հարաբերություններ, որպեսզի բոլոր աքսիոմները բավարարվեն, ասում են, որ այն գտնվել է. մեկնաբանություն(կամ մոդել)աքսիոմների այս համակարգի.
Սա նշանակում է, որ տրամաբանության հանրահաշիվը Բուլյան հանրահաշվի մեկնաբանությունն է։ Բուլյան հանրահաշիվը այլ մեկնաբանություններ ունի։ Օրինակ, եթե հիմնական տարրերի տակ x, y, z, ...հավաքածուներ Մբազմություններ նկատի ունենք, համապատասխանաբար «+», « », «-» միություն, հատում, գումարում, իսկ հավասար նշանով` բազմությունների հավասար նշան, ապա գալիս ենք բազմությունների հանրահաշիվին: Դժվար չէ ստուգել, որ բազմությունների հանրահաշիվում Բուլի հանրահաշվի բոլոր աքսիոմները բավարարված են։
Բուլյան հանրահաշվի տարբեր մեկնաբանությունների թվում կան տեխնիկական բնույթի մեկնաբանություններ։ Նրանցից մեկը կքննարկվի ստորև: Ինչպես ցույց կտանք, այն կարևոր դեր է խաղում ժամանակակից ավտոմատացման մեջ:
Տրամաբանական հանրահաշիվ ֆունկցիաներ
Ինչպես արդեն նշվեց, տրամաբանական հանրահաշվի բանաձևի իմաստը լիովին կախված է այս բանաձևում ներառված հայտարարությունների իմաստներից: Հետևաբար, տրամաբանության հանրահաշվի բանաձևը իրենում ներառված տարրական պնդումների ֆունկցիա է։
Օրինակ՝ բանաձևը ֆունկցիա է
երեք փոփոխական f(x,y,z):Այս ֆունկցիայի առանձնահատկությունն այն է, որ նրա արգումենտները վերցնում են երկու արժեքներից մեկը՝ զրո կամ մեկ, և միևնույն ժամանակ ֆունկցիան ընդունում է նաև երկու արժեքներից մեկը՝ զրո կամ մեկ։
Սահմանում. Տրամաբանական հանրահաշիվ ֆունկցիահեկտար փոփոխականներ (կամ Բուլյան ֆունկցիա)կոչվում է ha փոփոխականների ֆունկցիա, որտեղ յուրաքանչյուր փոփոխական ընդունում է երկու արժեք՝ 0 և 1, իսկ ֆունկցիան կարող է վերցնել միայն երկու արժեքներից մեկը՝ 0 կամ 1։
Հասկանալի է, որ տրամաբանության հանրահաշվի նույնական ճշմարիտ և նույնական կեղծ բանաձևերը ներկայացնում են մշտական գործառույթներ, և երկու համարժեք բանաձևեր արտահայտում են նույն ֆունկցիան։
Եկեք պարզենք, թե որքան է n փոփոխականի ֆունկցիաների թիվը։ Ակնհայտ է, որ տրամաբանության հանրահաշիվի յուրաքանչյուր ֆունկցիա (ինչպես նաև տրամաբանության հանրահաշվի բանաձևը) կարելի է ճշտել ճշմարտության աղյուսակի միջոցով, որը կպարունակի 2n տող։ Հետևաբար, n փոփոխականների յուրաքանչյուր ֆունկցիա վերցնում է 2 n արժեք՝ բաղկացած զրոներից և մեկներից: Այսպիսով, n փոփոխականների ֆունկցիան ամբողջությամբ որոշվում է զրոների և 2 n երկարությամբ միավորների արժեքների բազմությամբ: տրամաբանության հանրահաշվի տարբեր գործառույթներ Պփոփոխականները հավասար են.
Մասնավորապես, կան մեկ փոփոխականի չորս տարբեր գործառույթներ, և երկու փոփոխականների տասնվեց տարբեր գործառույթներ: Գրենք տրամաբանության հանրահաշվի բոլոր գործառույթները մեկում Եվերկու փոփոխական.
Դիտարկենք ճշմարտության աղյուսակ մեկ փոփոխականի տարբեր գործառույթների համար: Այն ակնհայտորեն նման է.
| x | f 1 (x) | f2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Այս աղյուսակից հետևում է, որ մեկ փոփոխականի երկու ֆունկցիաները հաստատուն կլինեն. f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, ա f2 (x) X,Եվ f 3 (x) .
Երկու փոփոխականների բոլոր հնարավոր ֆունկցիաների ճշմարտության աղյուսակը ունի հետևյալ ձևը.
f i = f i (x,y)
| x | y | զ 1 | զ 2 | զ 3 | զ 4 | զ 5 | զ 6 | զ 7 | զ 8 | զ 9 | զ 10 | զ 11 | զ 12 | զ 13 | զ 14 | զ 15 | զ 16 |
Հասկանալի է, որ այս ֆունկցիաների վերլուծական արտահայտությունները կարելի է գրել այսպես.
Թույլ տալով անցնել լուծվող հավասարումից դեպի այսպես կոչված համարժեք հավասարումներԵվ հետևողական հավասարումներ, որի լուծումներից կարելի է որոշել սկզբնական հավասարման լուծումը։ Այս հոդվածում մենք մանրամասն կվերլուծենք, թե որ հավասարումները կոչվում են համարժեք և որոնք՝ հետևողական, կտանք համապատասխան սահմանումներ, կտանք բացատրական օրինակներ և կբացատրենք, թե ինչպես կարելի է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով համարժեք հավասարման և համարժեք հավասարման հայտնի արմատները։ .
Համարժեք հավասարումներ, սահմանում, օրինակներ
Եկեք սահմանենք համարժեք հավասարումներ:
Սահմանում
Համարժեք հավասարումներ- սրանք հավասարումներ են, որոնք ունեն նույն արմատները կամ չունեն արմատներ:
Մաթեմատիկայի տարբեր դասագրքերում տրված են իմաստով նույն, բայց ձևակերպմամբ մի փոքր տարբեր սահմանումներ, օրինակ.
Սահմանում
Կոչվում են f(x)=g(x) և r(x)=s(x) երկու հավասարումները համարժեք, եթե դրանք ունեն նույն արմատները (կամ, մասնավորապես, եթե երկու հավասարումներն էլ արմատ չունեն):
Սահմանում
Նույն արմատներն ունեցող հավասարումները կոչվում են համարժեք հավասարումներ. Արմատ չունեցող հավասարումները նույնպես համարվում են համարժեք։
Նույն արմատներ ասելով նկատի ունի հետևյալը. եթե ինչ-որ թիվ համարժեք հավասարումներից մեկի արմատն է, ապա այն նաև այս հավասարումներից որևէ մեկի արմատն է, և համարժեք հավասարումներից ոչ մեկը չի կարող ունենալ արմատ, որը չհամապատասխանի: դրանցից որևէ մեկի արմատը.այս հավասարումները.
Բերենք համարժեք հավասարումների օրինակներ։ Օրինակ, երեք հավասարումներ 4 x = 8, 2 x = 4 և x = 2 համարժեք են: Իրոք, նրանցից յուրաքանչյուրն ունի մեկ արմատ 2, ուստի դրանք համարժեք են ըստ սահմանման: Մեկ այլ օրինակ՝ x·0=0 և 2+x=x+2 երկու հավասարումներ համարժեք են, դրանց լուծումների բազմությունները համընկնում են՝ և՛ առաջինի, և՛ երկրորդի արմատը ցանկացած թիվ է։ Երկու x=x+5 և x 4 =−1 հավասարումները նույնպես համարժեք հավասարումների օրինակներ են, նրանք երկուսն էլ իրական լուծումներ չունեն:
Պատկերն ամբողջացնելու համար արժե բերել անհավասար հավասարումների օրինակներ։ Օրինակ, x=2 և x 2 =4 հավասարումները համարժեք չեն, քանի որ երկրորդ հավասարումն ունի −2 արմատ, որը առաջին հավասարման արմատը չէ։ Հավասարումները և նույնպես համարժեք չեն, քանի որ երկրորդ հավասարման արմատները ցանկացած թվեր են, իսկ զրո թիվը առաջին հավասարման արմատը չէ:
Համարժեք հավասարումների սահմանված սահմանումը վերաբերում է ինչպես մեկ փոփոխականով, այնպես էլ մեծ թվով փոփոխականներով հավասարումների: Այնուամենայնիվ, երկու, երեք և այլն հավասարումների համար: փոփոխականներ, սահմանման մեջ «արմատներ» բառը փոխարինել «լուծումներ» բառով: Այսպիսով,
Սահմանում
Համարժեք հավասարումներ- սրանք հավասարումներ են, որոնք ունեն նույն լուծումները կամ չունեն:
Եկեք ցույց տանք մի քանի փոփոխականներով համարժեք հավասարումների օրինակ։ x 2 +y 2 +z 2 =0 և 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - ահա երեք x, y և z փոփոխականներով համարժեք հավասարումների օրինակ, նրանք երկուսն էլ ունեն յուրահատուկ լուծում (0, 0 , 0): Բայց x+y=5 և x·y=1 երկու փոփոխականներով հավասարումները համարժեք չեն, քանի որ, օրինակ, x=2, y=3 արժեքների զույգը լուծում է առաջին հավասարման (այս արժեքները փոխարինելիս. Առաջին հավասարման մեջ մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն 2+3=5), բայց երկրորդի լուծում չէ (այս արժեքները երկրորդ հավասարման մեջ փոխարինելիս ստանում ենք սխալ հավասարություն 2·3=1):
Հետևանքների հավասարումներ
Ահա հետևողական հավասարումների սահմանումները դպրոցական դասագրքերից.
Սահմանում
Եթե f(x)=g(x) հավասարման յուրաքանչյուր արմատ միաժամանակ p(x)=h(x) հավասարման արմատ է, ապա p(x)=h(x) հավասարումը կոչվում է. հետևանքհավասարումներ f(x)=g(x) .
Սահմանում
Եթե առաջին հավասարման բոլոր արմատները երկրորդ հավասարման արմատներ են, ապա երկրորդ հավասարումը կոչվում է. հետևանքառաջին հավասարումը.
Բերենք հետևողական հավասարումների մի քանի օրինակ։ x 2 =3 2 հավասարումը x−3=0 հավասարման հետեւանք է։ Իրոք, երկրորդ հավասարումն ունի մեկ արմատ x=3, այս արմատը նաև x 2 =3 2 հավասարման արմատն է, հետևաբար, ըստ սահմանման, x 2 =3 2 հավասարումը x−3= հավասարման հետևանք է։ 0. Մեկ այլ օրինակ՝ (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 հավասարումը հավասարման հետևանք է. 
, քանի որ երկրորդ հավասարման բոլոր արմատները (դրանցից երկուսը կա, սրանք 2-ն են և 3-ը) ակնհայտորեն առաջին հավասարման արմատներն են։
Եզրակացական հավասարման սահմանումից հետևում է, որ բացարձակապես ցանկացած հավասարում հետևանք է որևէ արմատ չունեցող հավասարման:
Արժե նշել մի քանի բավականին ակնհայտ հետևանքներ համարժեք հավասարումների սահմանումից և հետևողական հավասարման սահմանումից.
- Եթե երկու հավասարումներ համարժեք են, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը մյուսի հետևանք է։
- Եթե երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրը մյուսի հետևանք է, ապա այդ հավասարումները համարժեք են:
- Երկու հավասարումներ համարժեք են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից յուրաքանչյուրը մյուսի հետևանք է:
1. Երկու հավասար խաղացողներ խաղում են այնպիսի խաղ, որում ոչ-ոքիներ չկան: Ո՞րն է հավանականությունը, որ առաջին խաղացողը հաղթի. ա) երկու խաղից մեկը: բ) չորսից երկուսը. գ) վեցից երեքը.
Պատասխան.Ա) ; բ) ; V)
3. Հատված ԱԲբաժանված է կետով ՀԵՏ 2:1 հարաբերակցությամբ։ Այս հատվածի վրա պատահականորեն նետվում են չորս միավոր: Գտե՛ք հավանականությունը, որ դրանցից երկուսը կլինեն C կետից ձախ, իսկ երկուսը` աջ:
Պատասխան.
4. Գտե՛ք հավանականությունը, որ A իրադարձությունը տեղի կունենա ուղիղ 70 անգամ 243 փորձարկումներում, եթե յուրաքանչյուր փորձարկումից այս իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,25 է:
Պատասխան. .
5. Տղա ունենալու հավանականությունը 0,515 է։ Գտեք հավանականությունը, որ 100 նորածինների մեջ կլինեն հավասար թվով տղաներ և աղջիկներ։
Պատասխան. 0,0782
6. Խանութը ստացել է 500 շիշ ապակե տարաներով։ Փոխադրման ժամանակ ցանկացած շիշ կոտրվելու հավանականությունը 0,003 է։ Գտեք հավանականությունը, որ խանութը կստանա կոտրված շշեր. ա) ուղիղ երկու; բ) երկուսից պակաս. գ) առնվազն երկու. դ) առնվազն մեկը:
Պատասխան.ա) 0,22; բ) 0,20; գ) 0,80; դ) 0,95
7. Ավտոմոբիլային գործարանը արտադրում է մեքենաների 80%-ը՝ առանց էական թերությունների։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գործարանից ավտոբորսա առաքված 600 մեքենաների մեջ լինի առնվազն 500 մեքենա՝ առանց էական թերությունների։
Պատասխան. 0,02.
8. Քանի՞ անգամ պետք է մետաղադրամը նետել այնպես, որ 0,95 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ զինանշանի տեսքի հարաբերական հաճախականությունը կշեղվի հավանականությունից։ Ռ=0,5 զինանշանի տեսքը մեկ մետաղադրամ նետելու դեպքում 0,02-ից ոչ ավել:
Պատասխան՝ n ≥ 2401.
9. 100 անկախ իրադարձություններից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հաստատուն է և հավասար էջ=0.8. Գտեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը կհայտնվի. ա) առնվազն 75 անգամ և ոչ ավելի, քան 90 անգամ. բ) առնվազն 75 անգամ. գ) ոչ ավելի, քան 74 անգամ:
Պատասխան.ա Բ Գ) .
10. Անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,2 է: Գտեք, թե իրադարձության պատահման հարաբերական հաճախականության ինչ շեղում նրա հավանականությունից կարելի է ակնկալել 0,9128 հավանականությամբ 5000 փորձարկումներով:
Պատասխան.
11. Քանի՞ անգամ պետք է մետաղադրամը նետել այնպես, որ 0,6 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ զինանշանի տեսքի հարաբերական հաճախականության շեղումը հավանականությունից. էջ=0,5-ը բացարձակ արժեքով կլինի 0,01-ից ոչ ավելի:
Պատասխան՝ n = 1764.
12. Իրադարձության առաջացման հավանականությունը 10000 անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում 0,75 է: Գտեք հավանականությունը, որ իրադարձության տեղի ունենալու հարաբերական հաճախականությունը բացարձակ արժեքով իր հավանականությունից կշեղվի ոչ ավելի, քան 0,01:
Պատասխան. .
13. Անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,5 է: Գտեք փորձությունների քանակը n, որի դեպքում 0,7698 հավանականությամբ մենք կարող ենք ակնկալել, որ իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը բացարձակ արժեքով իր հավանականությունից կշեղվի 0,02-ից ոչ ավելի։
Բեռնվում է...