Ֆրանսիացի մաթեմատիկոսը լուծել է ինքնաթիռի սալիկապատման խնդիրը. Անլուծելի խնդիրների օրինակներ. սալիկապատման խնդիրն այնուհետև ամբողջ եռաչափ ծավալը լցված է այս հարթություններով, ինչպես որ գրքերը լցվում են խորանարդ տուփով: Այս մեթոդը կոչվում է օգնության մեթոդ:

Ինքնաթիռը հեշտ է հարթել կանոնավոր եռանկյուններից, քառակուսիներից կամ վեցանկյուններից պատրաստված մանրահատակով (տակ. սալիկապատումՄենք հասկանում ենք այս դասավորությունը, երբ յուրաքանչյուր գործչի գագաթները կիրառվում են միայն հարևան թվերի գագաթների վրա, և չկա իրավիճակ, երբ գագաթը կիրառվում է կողմի վրա): Նման սալիկապատման օրինակները ներկայացված են Նկ. 1.

Ոչ մի այլ ճիշտ n-Հնարավոր չի լինի հարթությունը ծածկել անկյուններով առանց բացերի և համընկնումների: Ահա թե ինչպես դա բացատրել: Ինչպես հայտնի է, ցանկացածի ներքին անկյունների գումարը n-գոնը հավասար է ( n– 2) 180°. Քանի որ բոլոր անկյունները ճիշտ են n-գոնները նույնական են, ապա յուրաքանչյուր անկյան աստիճանի չափումը . Եթե ​​ինքնաթիռը կարելի է սալիկապատել նման թվերով, ապա յուրաքանչյուր գագաթում այն ​​զուգակցվում է կբազմանկյուններ (ոմանց համար կ) Այս գագաթի անկյունների գումարը պետք է լինի 360°, հետևաբար. Մի քանի պարզ փոխակերպումներից հետո այս հավասարությունը վերածվում է հետևյալի. Բայց, ինչպես հեշտ է ստուգել, ​​վերջին հավասարումն ունի ընդամենը երեք զույգ լուծում, եթե ենթադրենք, որ nԵվ կ բնական թվեր: կ = 3, n = 6; կ = 4, n= 4 կամ կ = 6, n= 3. Այս զույգ թվերը համապատասխանում են Նկ. 1 սալիկապատ.

Ի՞նչ այլ բազմանկյուններ կարելի է օգտագործել հարթությունը առանց բացերի կամ համընկնումների սալիկապատելու համար:

Առաջադրանք

ա) Ապացուցեք, որ ցանկացած եռանկյունի կարելի է օգտագործել հարթությունը սալիկապատելու համար:

բ) Ապացուցեք, որ ցանկացած քառանկյուն (ինչպես ուռուցիկ, այնպես էլ ոչ ուռուցիկ) կարելի է օգտագործել հարթությունը սալիկապատելու համար:

գ) Բերեք հնգանկյունի օրինակ, որը կարող է օգտագործվել ինքնաթիռը սալիկապատելու համար:

դ) Բերե՛ք վեցանկյունի օրինակ, որը հնարավոր չէ օգտագործել հարթությունը սալիկապատելու համար:

ե) Օրինակ բերեք n- քառակուսի ցանկացածի համար n> 6, որը կարող է օգտագործվել հարթությունը հարթելու համար:

Հուշում 1

ա), գ), ե) կետերում կարող եք փորձել միանման պատկերներից «շերտեր» անել, որոնք այնուհետ հեշտությամբ կարող են օգտագործվել ամբողջ հարթությունը հարթելու համար:

Քայլ բ). Երկու միանման քառանկյունները ծալեք վեցանկյունի մեջ, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են: Այս վեցանկյուններով ինքնաթիռը սալիկապատելը բավականին հեշտ է:

Կետ դ). օգտագործել այն փաստը, որ յուրաքանչյուր գագաթի անկյունների գումարը պետք է հավասար լինի 360°-ի:

Հուշում 2

ե) կետում կարող եք փորձել գործել այլ կերպ.

Լուծում

Պատասխանների օրինակները ներկայացված են նկարներում:

գ) Տան տեսքով հնգանկյունը կանի.

դ) Նման վեցանկյուններով ինքնաթիռ հարթել հնարավոր չի լինի. պարզապես նման վեցանկյան ոչ մի հատված ամբողջությամբ չի տեղավորվի «կտրված» անկյունում: Սա հստակ տեսանելի է բջիջներում.

Դուք կարող եք գալ բազմաթիվ այլ վեցանկյունների, որոնք չեն կարող օգտագործվել ինքնաթիռը սալիկապատելու համար:

ե) Ահա տասներորդականի օրինակ, որը կարող է օգտագործվել ինքնաթիռը սալիկապատելու համար: Սալիկապատման այս մեթոդը ստացվել է որպես սովորական քառակուսի վանդակի փոփոխություն (տես նկ. 1, iiպայմանից):

Հետբառ

Միանման ֆիգուրներով ինքնաթիռը առանց բացերի կամ համընկնումների սալիկապատելու խնդիրը հայտնի է եղել հնագույն ժամանակներից։ Դրա առանձնահատուկ դեպքերից է այն հարցը, թե ինչ կարող են լինել մանրահատակները (այսինքն՝ ինքնաթիռի սալիկապատումը կանոնավոր բազմանկյուններ, և պարտադիր չէ, որ նույնը) և, մասնավորապես, ճիշտ մանրահատակ: Ճիշտ մանրահատակն ունի հետևյալ հատկությունը՝ զուգահեռ փոխանցումների օգնությամբ (հերթափոխ առանց պտույտի), որոնք մանրահատակը փոխանցում են իր մեջ, կարելի է նախապես ընտրված հանգույցը համատեղել ցանկացած այլ մանրահատակի հանգույցի հետ։ Նկ. Պայմաններից 1-ը ցույց է տալիս ճիշտ մանրահատակները։

Դժվար չէ ապացուցել, որ կան սովորական մանրահատակի միայն 11 տարբեր տեսակներ (տե՛ս միատեսակ սալիկապատերի ցանկը): Սա ապացուցված է մոտավորապես նույն կերպ, ինչպես մենք ապացուցեցինք խնդրի հայտարարության մեջ, որ միանման կանոնավոր բազմանկյուններից կա միայն երեք տեսակի մանրահատակ. յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանկյունի անկյունների աստիճանի չափումները հայտնի են, պարզապես անհրաժեշտ է դրանք ընտրել այնպես, որ ընդհանուրը 360° է, և դա արվում է պարզապես տարբերակների փոքր թվարկմամբ: Կան բազմաթիվ հնագույն խճանկարներ, որոնք հիմնված են այս մանրահատակի հատակների վրա:

Կավից, քարից և ապակուց պատրաստված խճանկարները (և փայտից ու սալիկներից պատրաստված մանրահատակները) այս տեսության ամենահայտնի և հասկանալի կիրառությունն են կյանքում։ Մեզանից շատերը կարող են դա հաստատել՝ մտնելով մեր խոհանոց կամ լոգարան: Ապագա դիզայներները հատուկ ուսումնասիրում են մաթեմատիկական մանրահատակները, քանի որ դրանք և դրանց տատանումները հաճախ օգտագործվում են ճարտարապետության և ձևավորման մեջ:

Բնության մեջ հանդիպում են նաև տեսարաններ: Բացի հայտնի մեղրախորիսխից, ամենավառ օրինակներն են երկրաբանական կազմավորումներՍտոլբչատի հրվանդանի վրա (Կունաշիր կղզի, Կուրիլյան կղզիների մեծ լեռնաշղթան) և Հյուսիսային Իռլանդիայում գտնվող «Հսկաների ճանապարհը»:

Մեր խնդրի ընդհանրացում՝ տարածության սալիկապատում, բյուրեղագիտության ժամանակակից կարևոր ճյուղ, որը կարևոր դեր է խաղում ինտեգրված օպտիկայի և լազերային ֆիզիկայի մեջ:

Տարօրինակ կերպով, մինչև համեմատաբար վերջերս հայտնի էին միայն պարբերական շարադրանքները (որոնք լիովին համատեղելի են իրենց հետ որոշակի տեղաշարժից և դրա կրկնություններից հետո): Սակայն 1974 թվականին անգլիացի գիտնական Ռոջեր Պենրոուզը հանդես եկավ ոչ պարբերական սալիկներով, որոնք այժմ նրա անունով կոչվում են Penrose tilings։ Հետագայում (1984 թ.) նմանատիպ ոչ պարբերական կառույցներ հայտնաբերվեցին ք

Մտածել աներևակայելին և համոզվել, որ այն դեռ կարելի է մտածել, երկրաչափության երևույթ է։

Ա.Դ.Ալեքսանդրով

Դասարան: 8-9

Նպատակները:

• Նոր մաթեմատիկական առարկաների և մաթեմատիկական հասկացությունների վերաբերյալ ուսանողների պատկերացումների ձևավորում և զարգացում.
• Զարգացում ստեղծագործական հետաքրքրությունմաթեմատիկայի նկատմամբ։
• Ուսանողների մաթեմատիկական հորիզոնների ընդլայնում.
• Միասին աշխատելիս բարի կամքի և փոխօգնության խթանում:

Արտադպրոցական գործունեության նպատակները.

• Մաթեմատիկական գիտելիքների գործնական կիրառում նոր մաթեմատիկական օբյեկտների ուսումնասիրության մեջ:
• Զարգացում տրամաբանական մտածողությունև հետազոտական ​​հմտություններ:
• Ժամանակակից գիտության մեջ ձեռք բերված նոր գիտելիքների կիրառման ներածություն.
• Հարցերի առաջադրում թեմայի հետագա ուսումնասիրության համար:

Պատրաստում:աշխատել խմբերով, յուրաքանչյուր խումբ պատրաստում է կանոնավոր բազմանկյունների մոդելներ, ինչպես նաև կամայական եռանկյունների և քառանկյունների պատճեններ:

Ուսանողների աշխատանքի կազմակերպման ձևերը.ճակատային, խմբակային։

Ուսուցչի աշխատանքի կազմակերպման ձևերը.ղեկավարություն, կազմակերպչական, համակարգող։

Տեխնիկական պայմաններ:մուլտիմեդիա գրասենյակ.

Օգտագործված սարքավորումներ.համակարգիչ, պրոյեկտոր, էկրան, CD.

Ներկայացում «Մանրահատակներ՝ բազմանկյուններով ինքնաթիռի սալիկապատում».

Դասի առաջընթացը.

Մանրահատակները հնագույն ժամանակներից գրավել են մարդկանց ուշադրությունը։ Նրանք ծածկում էին հատակները, ծածկում սենյակների պատերը, զարդարում շենքերի ճակատները, օգտագործվում էին դեկորատիվ և կիրառական արվեստում։
Թեև մանրահատակի ուսումնասիրությունը ներառված չէ դպրոցական մաթեմատիկայի ուսումնական ծրագրում, այս թեմայի նկատմամբ հետաքրքրությունը առաջացավ դպրոցական մի պարզ խնդիր լուծելուց հետո. ինքնաթիռի ցանկացած հատված»։ Ի՞նչ այլ բազմանկյուններ կարելի է օգտագործել հարթությունը սալիկապատելու համար:

Ճիշտ մանրահատակ

ՄանրահատակՍա կոչվում է բազմանկյուն հարթության սալիկապատում, որտեղ ամբողջ հարթությունը ծածկված է այս բազմանկյուններով, և ցանկացած երկու բազմանկյուն կամ ունեն ընդհանուր կողմ, կամ ունեն ընդհանուր գագաթ, կամ չունեն ընդհանուր կետեր:

Մանրահատակը կոչվում է ճիշտ, եթե այն կազմված է հավասար կանոնավոր բազմանկյուններից։
Ճիշտ մանրահատակի օրինակները հայտնի էին պյութագորացիներին: Հարթությունը լրացնում են՝ քառակուսիներով, հավասարակողմ եռանկյուններով, կանոնավոր վեցանկյուններով։

Առաջադրանք ուսանողների համար.Կանոնավոր պոլիգոնների առկա մոդելներից պատրաստել սովորական մանրահատակ:

Եկեք համոզվենք, որ ոչ մի այլ կանոնավոր բազմանկյուն մանրահատակ չի կազմում: Եվ այստեղ մեզ անհրաժեշտ է բազմանկյունի անկյունների գումարի բանաձևը։ Եթե ​​մանրահատակը պատրաստված է n-գոններ, ապա մանրահատակի յուրաքանչյուր գագաթում կլինի կոնվերգենցիա k = 360°/ ա n բազմանկյուններ, որտեղ ա n – անկյունը ճիշտ է n-գոն: Դա հեշտ է գտնել ա 3 = 60°, ա 4 = 90°, ա 5 = 108°, ա 6 = 120 ° և 120 °<ա n < 180° при n > 7. Հետևաբար, 360°-ը հավասարապես բաժանվում է ա n միայն այն ժամանակ, երբ n = 3; 4; 6.
Հետաքրքիր է, որ կանոնավոր եռանկյան շարքում քառակուսի և կանոնավոր վեցանկյուն, հաշվի առնելով պարագիծը, վեցանկյունն ունի ամենամեծ մակերեսը։ Այս հանգամանքը բնության մեջ բերում է նրան, որ մեղուների մեղրախորիսխները ունեն կանոնավոր վեցանկյունների ձև, քանի որ մեղուները մեղրախորիսխներ կառուցելիս բնազդաբար փորձում են դրանք հնարավորինս տարողունակ դարձնել՝ հնարավորինս քիչ մոմ օգտագործելով։

Կիսականոնավոր մանրահատակ։

Եկեք ընդլայնենք կանոնավոր բազմանկյուններից մանրահատակների կառուցման մեթոդները՝ թույլ տալով օգտագործել տարբեր թվով կողմերով կանոնավոր բազմանկյուններ, բայց այնպես, որ յուրաքանչյուր գագաթի շուրջ կանոնավոր բազմանկյունները դասավորված լինեն նույն հերթականությամբ։ Նման մանրահատակները կոչվում են կիսականոնավոր.

Ուսանողի առաջադրանքՕգտագործեք կանոնավոր պոլիգոնների առկա մոդելները կիսականոնավոր մանրահատակի հատակներ ստեղծելու համար:

Կիսականոնավոր մանրահատակների քանակը պարզելու համար անհրաժեշտ է վերլուծել ընդհանուր գագաթի շուրջ կանոնավոր բազմանկյունների դասավորության հնարավոր դեպքերը։ Դա անելու համար նշենք ըստ ա 1 , ա 2 ... կանոնավոր բազմանկյունների անկյուններն են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ: Դասավորենք դրանք աճման կարգով ա 1 < a 2 < … Հաշվի առնելով, որ բոլոր նման անկյունների գումարը պետք է հավասար լինի 360°-ի, մենք կկազմենք աղյուսակ, որը պարունակում է անկյունների հնարավոր հավաքածուներ և կնշենք համապատասխան մանրահատակները։
Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ կա 11 կանոնավոր և կիսասովորական մանրահատակ։

Planigons

Դիտարկենք ևս մեկ ընդհանրացում՝ կամայական բազմանկյունի կրկնօրինակներից պատրաստված մանրահատակները, որոնք ճիշտ են «եզրերի երկայնքով» (այսինքն, որոնք ցանկացած սալիկը փոխակերպում են որևէ այլի): Այն բազմանկյունները, որոնք կարող են լինել սալիկներ այս մանրահատակների մեջ, կոչվում են planigons.
Հասկանալի է, որ հարթությունը կարելի է դասավորել կամայական եռանկյան կրկնօրինակներով, բայց ավելի քիչ ակնհայտ է, որ կամայական քառանկյունը հարթանկյուն է: Նույնը վերաբերում է ցանկացած վեցանկյունի, որի հակառակ կողմերը հավասար են և զուգահեռ:

Ուսանողի առաջադրանքԿատարեք մանրահատակներ կամայական եռանկյունների և քառանկյունների առկա պատճեններից:

Վերը քննարկված բոլոր մանրահատակները պարբերական են, այսինքն՝ դրանցից յուրաքանչյուրում հնարավոր է ընտրել (և նույնիսկ շատ առումներով) մի քանի սալիկներից կազմված տարածք, որից զուգահեռ տեղաշարժերով ստացվում է ամբողջ մանրահատակը։
Գիտնականների հետաքրքրությունը նման կառույցների նկատմամբ բացատրվում է նրանով, որ պարբերական սալիկապատումները, հատկապես տարածական սալիկապատերը, մոդելավորում են բյուրեղային կառույցներ։

Հարց ապագայի համար.Կա՞ն ոչ պարբերական սալիկապատումներ։

Եզրակացության փոխարեն

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում ձեր սեփական մանրահատակների ստեղծումը՝ ինքնաթիռը միանման ֆիգուրներով (մանրահատակի տարրերով) լցնելը՝ օգտագործելով, օրինակ, առանցքային համաչափությունը և զուգահեռ թարգմանությունը: Հիմնական բանը այն է, որ շինարարությունը հիմնված է պոլիգոնի վրա, որը հավասար է մանրահատակի տարրին:

Տնային աշխատանք.Ստեղծեք ձեզ դուր եկած մանրահատակը՝ օգտագործելով ցանկացած միջոց՝ գունավոր թղթից մինչև համակարգչային տեխնիկա:

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. Աթանասյան Լ.Ս.և ուրիշներ, 7-9 – Մ.: Կրթություն, 2010 թ.
2. Աթանասյան Լ.Ս.և այլն: Երկրաչափություն. Ավելացնել: գլուխներ դպրոցի համար դասագիրք 8-րդ դասարան՝ Դասագիրք. ձեռնարկ դպրոցի աշակերտների համար. և կլ. խորությամբ ուսումնասիրված մաթեմատիկա։ - Մ.: Կրթություն, 1996:
3. Աթանասյան Լ.Ս.և այլն: Երկրաչափություն. Ավելացնել: գլուխներ դպրոցի համար դասագիրք 9-րդ դասարան՝ Դասագիրք. ձեռնարկ դպրոցի աշակերտների համար. եւ cl. խորությամբ ուսումնասիրված մաթեմատիկա։ - Մ.: Կրթություն, 1997:
4. Կոլմոգորով Ա.Ն.Կանոնավոր բազմանկյուններից պատրաստված մանրահատակներ։//Կվանտ, 1970, թիվ 3։
5. Սմիրնով Վ.Ա.Համակարգիչն օգնում է երկրաչափությանը //Մաթեմատիկա. Շաբաթական ուսումնական և մեթոդական հար. գազի նկատմամբ «Սեպտեմբերի առաջին». – 2003 թ., թիվ 21։
6. Սովերտկով Պ.Ի.եւ ուրիշներ Երկրաչափական մանրահատակ համակարգչի էկրանին։//Ինֆորմատիկա եւ կրթություն, 2000 թ., թիվ 9։
7. Հանրագիտարան երեխաների համար. Տ.11.Մաթեմատիկա/գլխ. խմբագիր. Մ.Դ.Աքսենովա. – Մ.: Ավանտա+, 2008:

Կխոսենք ինքնաթիռի սալիկապատման մասին։ Tessellation-ը ամբողջ հարթության ծածկույթն է՝ չհամընկնող ձևերով: Հավանաբար, սալահատակի նկատմամբ հետաքրքրությունը սկզբում առաջացել է խճանկարների, զարդանախշերի և այլ նախշերի կառուցման հետ կապված։ Հայտնի են բազմաթիվ զարդանախշեր՝ կազմված կրկնվող մոտիվներից։ Ամենապարզ սալիկապատումներից մեկը ներկայացված է Նկար 1-ում:

Հարթությունը ծածկված է զուգահեռագծերով, և բոլոր զուգահեռագծերը նույնական են։ Այս սալիկապատման ցանկացած զուգահեռագիծ կարելի է ձեռք բերել վարդագույն զուգահեռագծից՝ վերջինս տեղափոխելով վեկտորով (վեկտորները և որոշվում են ընտրված զուգահեռագծի եզրերով, n-ն և m-ը ամբողջ թվեր են): Հարկ է նշել, որ ամբողջ սալիկապատումը որպես ամբողջություն փոխակերպվում է ինքն իրեն, երբ տեղափոխվում է վեկտորով (կամ): Այս հատկությունը կարող է ընդունվել որպես սահմանում. այն է, որ պարբերական սալիկապատումը պարբերակներով սալիկապատում է, որը փոխակերպվում է ինքն իրեն, երբ տեղափոխվում է վեկտորով և վեկտորով: Պարբերական սալիկապատումը կարող է բավականին բարդ լինել, դրանցից մի քանիսը շատ գեղեցիկ են:

Ինքնաթիռի քվազեպարբերական սալիկապատում

Ինքնաթիռի հետաքրքիր և ոչ պարբերական տեսարաններ կան։ 1974 թ Անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Պենրոուզը հայտնաբերել է ինքնաթիռի քվազեպարբերական սալիկները։ Այս սալիկապատերի հատկությունները բնականաբար ընդհանրացնում են պարբերականների հատկությունները։ Նման սալիկապատման օրինակ ներկայացված է Նկար 2-ում:

Ամբողջ ինքնաթիռը ծածկված է ռոմբուսներով։ Ադամանդների միջև բացեր չկան: Ցանկացած ռոմբի թեսսելլացիա կարելի է ձեռք բերել՝ օգտագործելով միայն երկու թեսսելլացիաներ՝ օգտագործելով տեղաշարժեր և պտույտներ: Սա նեղ ռոմբ է (36 0, 144 0) և լայն ռոմբ (72 0, 108 0), ցույց է տրված Նկար 3-ում: Ռոմբներից յուրաքանչյուրի կողքերի երկարությունը 1 է: Այս սալիկապատումը պարբերական չէ, ակնհայտ է: ոչ մի տեղաշարժի տակ չի փոխակերպվում ինքն իրեն: Այնուամենայնիվ, այն ունի որոշ կարևոր հատկություն, որն ավելի է մոտեցնում պարբերական սալիկապատմանը և ստիպում նրան կոչել քվազեպարբերական։ Բանն այն է, որ քվազեպարբերական սալիկապատման ցանկացած վերջավոր հատված տեղի է ունենում անթիվ անգամ ամբողջ սալիկապատման ընթացքում: Այս սալիկապատումն ունի 5-րդ կարգի համաչափության առանցք, մինչդեռ պարբերական սալիկապատման համար նման առանցքներ գոյություն չունեն:

Ինքնաթիռի մեկ այլ քառասերբերական սալիկապատում, որը կառուցվել է Պենրոուզի կողմից, ներկայացված է Նկար 4-ում: Ամբողջ հարթությունը ծածկված է հատուկ տեսակի չորս բազմանկյուններով: Սա աստղ է, ռոմբուս, կանոնավոր հնգանկյուն:

Ա) Գնաճի և գնանկման փոխարկում

Վերևում ներկայացված քվազեպարբերական սալիկապատման երեք օրինակներից յուրաքանչյուրը հարթության ծածկույթ է՝ օգտագործելով վերջավոր թվով թվերի թարգմանություններ և պտույտներ: Այս ծածկույթը չի փոխակերպվում իր մեջ որևէ տեղաշարժի տակ, ծածկույթի որևէ վերջավոր մաս տեղի է ունենում ամբողջ ծածկույթի ընթացքում, ընդ որում, նույնքան հաճախ ամբողջ հարթությունում: Վերևում նկարագրված սալիկներն ունեն որոշակի հատուկ հատկություն, որը Փենրոուզը անվանել է գնաճ: Այս հատկության ուսումնասիրությունը թույլ է տալիս մեզ հասկանալ այս ծածկույթների կառուցվածքը: Ավելին, գնաճը կարող է օգտագործվել Penrose օրինաչափությունների կառուցման համար: Գնաճը կարելի է առավել հստակ պատկերացնել Ռոբինզոնի եռանկյունների օրինակով: Ռոբինզոնի եռանկյունները երկու հավասարաչափ եռանկյուններ են՝ P, Q՝ համապատասխանաբար (36 0, 72 0, 72 0) և (108 0, 36 0, 36 0) անկյուններով և կողմերի երկարությամբ, ինչպես Նկար 6-ում: Այստեղ φ ոսկե հարաբերակցությունն է.

Այս եռանկյունները կարելի է կտրել ավելի փոքրերի, որպեսզի նոր (փոքր) եռանկյուններից յուրաքանչյուրը նմանվի սկզբնականներից մեկին: Կտրումը ներկայացված է Նկար 7-ում. ac ուղիղ գիծը անկյան բիսեկտորն է, իսկ ae, ab և ac հատվածները հավասար են: Հեշտ է տեսնել, որ acb և ace եռանկյունը համահունչ են և նման են P եռանկյունին, իսկ cde եռանկյունը նման է Q եռանկյունին: Եռանկյունը Q-ն կտրված է այսպես: gh հատվածի երկարությունը հավասար է ih հատվածի երկարությանը (և հավասար է 1-ի): Եռանկյունը igh նման է P եռանկյունին, իսկ igf եռանկյունը նման է Q եռանկյունին: Նոր եռանկյունների գծային չափերը t անգամ փոքր են, քան սկզբնականները: Այս հատումը կոչվում է դեֆլյացիա:

Հակադարձ փոխակերպումը` սոսնձումը, կոչվում է ինֆլյացիա:

Նկարը ցույց է տալիս, որ երկու P - եռանկյուններից և մեկ Q - եռանկյունից մենք կարող ենք սոսնձել P - եռանկյունին, իսկ P և Q եռանկյունից կարող ենք սոսնձել Q եռանկյունին: Նոր (սոսնձված) եռանկյունները ունեն գծային չափեր t անգամ ավելի մեծ, քան սկզբնական եռանկյունները:

Այսպիսով, մենք ներմուծել ենք գնաճի և գնանկման փոխակերպումներ հասկացությունը։ Ակնհայտ է, որ գնաճի տրանսֆորմացիան կարող է կրկնվել. Սա կհանգեցնի զույգ եռանկյունների, որոնց չափերը t 2 անգամ ավելի մեծ են, քան սկզբնականները: Հերթականորեն կիրառելով ինֆլյացիոն փոխակերպումները՝ ըստ ցանկության կարող եք ստանալ զույգ եռանկյուններ մեծ չափս. Այսպիսով, դուք կարող եք հարթել ամբողջ ինքնաթիռը:

Կարելի է ցույց տալ, որ Ռոբինզոնի եռանկյունիներով վերը նկարագրված սալիկապատումը պարբերական չէ

Ապացույց

Ներկայացնենք այս պնդման ապացույցը։ Վիճենք հակասությամբ. Ենթադրենք, որ Ռոբինզոնի եռանկյուններով հարթության սալիկապատումը պարբերական է u և w կետերով: Հարթությունը ծածկենք u, w կողմերով զուգահեռագրությունների ցանցով P-ով նշենք այն եռանկյունների թիվը, որոնց ներքևի ձախ գագաթը (մեր ցանցի համեմատ) գտնվում է ստվերային զուգահեռագծի մեջ։ Նույն կերպ սահմանենք q թիվը։ (Ընտրված p+q եռանկյունները կազմում են տվյալ պարբերական սալիկապատման, այսպես կոչված, հիմնարար շրջանը:) Դիտարկենք R շառավղով շրջանագիծ O կենտրոնով: Եկեք PR-ով նշանակենք (իրականում QR) P-եռանկյունների թիվը (համապատասխանաբար, Q-): եռանկյուններ) այս շրջանի ներսում ընկած:

Ապացուցենք դա

1) Իրոք, R շառավղով շրջանը հատող եռանկյունների թիվը համաչափ է R-ին, մինչդեռ R շառավղով շրջանագծի ներսում գտնվող եռանկյունների թիվը համամասնական է R 2-ին: Հետևաբար, սահմանում P - եռանկյունների թվի հարաբերակցությունը շրջանագծի մեջ գտնվող Q - եռանկյունների թվին հավասար է այս հարաբերակցությանը հիմնարար տարածաշրջանում:

Եկեք հիմա վերցնենք մեր թեսելը և կատարենք դեֆլյացիոն փոխակերպումներ: Այնուհետև սկզբնական հիմնարար տարածաշրջանում կլինեն pґ = 2p + q ավելի փոքր P - եռանկյուններ և qґ = p + q ավելի փոքր Q - եռանկյուններ: Եկեք pґR-ով և qґR-ով նշենք R շառավղով շրջանագծի փոքր եռանկյունների թիվը: Այժմ հեշտ է ստանալ հակասություն: Փաստորեն,

= = = = (L'Hopital-ի կանոն)

որտեղից՝ լուծելով հավասարումը

p/q=(2p+q)/(p+q),

մինչդեռ p-ն և q-ն ամբողջ թվեր են: Հակասությունը ցույց է տալիս, որ Ռոբինզոնի եռանկյունիներով սալիկապատումը պարբերական չէ։

Պարզվում է, որ Ռոբինզոնի եռանկյունների այս ծածկը միակը չէ։ Ռոբինզոնի եռանկյունիներով ինքնաթիռի անսահման շատ տարբեր քվազպարբերական ծածկույթներ կան: Կոպիտ ասած, այս երևույթի պատճառը կայանում է նրանում, որ դեֆլյացիայի ժամանակ Նկար 7-ում տրված բիսեկտորը կարելի է նկարել b գագաթից, այլ ոչ թե a գագաթից: Օգտագործելով այս կամայականությունը՝ կարելի է հասնել, օրինակ, որ եռանկյուններով ծածկույթը վերածվի ռոմբուսներով եռանկյունների ծածկույթի։

Բ) Երկակիության փոխակերպում

Վերևում տրված քվազեպարբերական սալիկապատերի կառուցման մեթոդը կարծես գուշակություն է: Այնուամենայնիվ, գոյություն ունի քվազեպարբերական ծածկույթներ կառուցելու կանոնավոր եղանակ: Սա երկակի փոխակերպման մեթոդ է, որի գաղափարը պատկանում է հոլանդացի մաթեմատիկոս դե Բրաունին։

Բացատրենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով հարթության ռոմբուսներով փոխարինումը կառուցելու օրինակը (տես նկ. 3): Նախ, եկեք կառուցենք G ցանց: Դա անելու համար վերցրեք կանոնավոր հնգանկյուն և համարակալեք նրա կողմերը (j = 1,2,3,4,5; Նկար 10): Դիտարկենք j համարակալված կողմը: Կառուցենք այս կողմին զուգահեռ ուղիղների անսահման բազմություն, այնպես, որ երկու մոտակա ուղիղների միջև հեռավորությունը հավասար լինի 1-ի։

Եկեք հնգանկյան կողմերից յուրաքանչյուրի համար կատարենք նմանատիպ շինարարություն. Կգծենք ուղիղ գծեր, որպեսզի հատվեն միայն զույգերով։ Արդյունքը գծերի շարք է, որը պարբերական չէ (նկ. 9) Այս բազմության տողերը կնշանակվեն l տառերով: Վերհամարակալենք երկու ինդեքսներով տողերը՝ l j (n): Այստեղ j-ը ցույց է տալիս ուղղի ուղղությունը (հնգանկյան որ կողմին է այն զուգահեռ): Ամբողջ n թիվը տարբեր զուգահեռ գծեր է, անցնում է բոլոր ամբողջ արժեքներով (և դրական, և բացասական): Այս գծերի բազմությունը հարթությունը բաժանում է բազմանկյունների անսահման բազմության։ Այս բազմանկյունները կոչվում են ցանցային դեմքեր: Բազմանկյունների կողմերը մենք կանվանենք ցանցի եզրեր, իսկ բազմանկյունների գագաթները՝ ցանցի գագաթներ։ (Նմանապես Q քվազեպարբերական ծածկույթի համար. ռոմբները Q-ի երեսներն են, ռոմբների կողմերը՝ Q-ի եզրերը, ռոմբուսների գագաթները՝ Q-ի գագաթները)

Այսպիսով, կառուցվում է G ցանցը: Այժմ կատարենք երկակիության փոխակերպումը։ Ցանց G-ի յուրաքանչյուր երեսը համեմատելի է Q քվազեպարբերական ծածկույթի գագաթի հետ (ռոմբի գագաթ): Գագերը նշում ենք տառերով (դրանք վեկտորներ են)։ Նախ, ցանցի յուրաքանչյուր M երեսը կապում ենք հինգ ամբողջ թվերի հետ n j = (M), j - 1,2, ....5 հետևյալ կանոնի համաձայն. M-ի ներքին կետերը գտնվում են l j (n) որոշ ուղղի և դրան զուգահեռ l j (n+1) ուղիղի միջև:

Այս ամբողջ թվով n-ը մենք կհամապատասխանենք M-ի երեսներին: Քանի որ ցանցն ունի հինգ ուղղություններ, ապա այս կերպ մենք կհամապատասխանենք G ցանցի յուրաքանչյուր M-ի հինգ ամբողջ թիվ n j (M): Քվազիպարբերական ծածկույթի գագաթը Q: , որը համապատասխանում է G ցանցի տրված M երեսին, կառուցված է հետևյալ կերպ.

(M) = n 1 (M) + + … +

Ահա միավոր երկարության վեկտորը, որն ուղղված է կանոնավոր հնգանկյան կենտրոնից մինչև j կողմի կեսը: Այսպիսով, ցանցի յուրաքանչյուր երեսի հետ կապեցինք ծածկող գագաթ: Այս կերպ մենք կարող ենք կառուցել Q-ի բոլոր գագաթները:

Այժմ եկեք միացնենք մի քանի գագաթներ ուղիղ գծերի հատվածներով: Սրանք կլինեն ծածկույթի Q եզրերը (ռոմբուսների կողմերը): Դա անելու համար հաշվի առեք M1 և M2 զույգ դեմքերը, որոնք ունեն ընդհանուր եզր: Մենք կապելու ենք ծածկույթի գագաթները, որոնք համապատասխանում են այս երեսներին և հատվածներով:

Հետո պարզվում է, որ տարբերությունը

Գուցե հավասար լինի տասը վեկտորից միայն մեկին:

Այսպիսով, ցանցի յուրաքանչյուր եզր կապված է ծածկույթի երեսի հետ Q: Յուրաքանչյուր ցանցային գագաթ կապված է ծածկույթի երեսի հետ Q (ռոմբուս): Դիտարկենք դրանց համապատասխան չորս ծածկող գագաթները (M R): Տարբերության հատկությունից (2) հետևում է, որ այս գագաթներով անցնող ծածկույթի եզրերը կազմում են ռոմբի սահմանը։ Կառուցվում է հարթության քառասերբերական ծածկույթ ռոմբուսներով։

Մենք նկարազարդել ենք երկակի փոխակերպման մեթոդը: Սա ընդհանուր մեթոդքվազեպարբերական ծածկույթների մեթոդի կառուցում. Այս կառուցվածքում կանոնավոր հնգանկյունը կարող է փոխարինվել ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունով։ Արդյունքը կլինի նոր քվազի պարբերական ծածկույթ: Երկակի փոխակերպման մեթոդը կիրառելի է նաև տարածության մեջ քվազեպարբերական կառուցվածքներ կառուցելու համար։

Բ) Եռաչափ տարածության քվազեպարբերական լրացում

Գոյություն ունի Penrose-ի նախշերի եռաչափ ընդհանրացում։ Եռաչափ տարածությունը կարելի է լրացնել հատուկ տեսակի զուգահեռականներով։ Զուգահեռաձիգները չունեն ընդհանուր ներքին կետեր և նրանց միջև բացեր չկան։ Այս լցոնման յուրաքանչյուր զուգահեռականիպեդ կարելի է ձեռք բերել միայն երկու զուգահեռականից՝ օգտագործելով տեղաշարժեր և պտույտներ: Սրանք այսպես կոչված Ամման-Մաքայի զուգահեռականներն են։ Զուգահեռակետը սահմանելու համար բավական է նշել մեկ գագաթից դուրս եկող երեք եզր։ Առաջին Amman-Mackay parallelepiped-ի համար այս վեկտորներն ունեն ձևը.

= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)

Իսկ երկրորդ զուգահեռականի համար.

= (0; -1; f), = (f; 0;1), = (0;1; f)

Այս զուգահեռականներով լցոնումը ոչ մի տեղաշարժի դեպքում ինքն իրեն չի փոխակերպվում, այնուամենայնիվ, դրա ցանկացած վերջավոր հատված տեղի է ունենում ամբողջ լցոնման ընթացքում անթիվ անգամ: Տիեզերքի լրացումը այս զուգահեռականներով կապված է իկոսաեդրոնի համաչափությունների հետ։ Իկոսաեդրոնը պլատոնական պինդ է: Նրա յուրաքանչյուր դեմքը կանոնավոր եռանկյուն է: Սիկոսահեդրոնն ունի 12 գագաթ, 20 դեմք և 30 եզր

Դիմում

Պարզվեց, որ արագ սառեցված ալյումին-մանգանի հալոցքը (հայտնաբերվել է 1984 թվականին) ունի հենց այս համաչափությունները։ Եվ ոչ միայն այս նյութը, այլ իրական քվազիկրիստալներ են հայտնաբերվել, դրանց փորձարարական և տեսական ուսումնասիրությունժամանակակից գիտության առաջնագծում է։

Սենսացիա մաթեմատիկայի աշխարհում. Հայտնաբերվել է նոր տեսակի հնգանկյուններ, որոնք ծածկում են ինքնաթիռն առանց ընդմիջումների և առանց համընկնումների։

Սա նման հնգանկյունների միայն 15-րդ տեսակն է և առաջինը, որը հայտնաբերվել է վերջին 30 տարվա ընթացքում։

Ինքնաթիռը ծածկված է ցանկացած ձևի եռանկյուններով և քառանկյուններով, սակայն հնգանկյուններով ամեն ինչ շատ ավելի բարդ և հետաքրքիր է։ Կանոնավոր հնգանկյունները չեն կարող ծածկել ինքնաթիռը, բայց որոշ անկանոն հնգանկյուններ կարող են ծածկել: Նման թվերի որոնումը հարյուր տարվա ընթացքում ամենահետաքրքիրներից էր։ մաթեմատիկական խնդիրներ. Որոնումը սկսվեց 1918 թվականին, երբ մաթեմատիկոս Կարլ Ռեյնհարդը հայտնաբերեց առաջին հինգ հարմար թվերը։

Երկար ժամանակ ենթադրվում էր, որ Ռեյնհարդը հաշվարկել է բոլոր հնարավոր բանաձևերը, և որ այլևս նման հնգանկյուններ չկան, բայց 1968 թվականին մաթեմատիկոս Ռ.Բ. Քերշները գտավ ևս երեքը, իսկ Ռիչարդ Ջեյմսը 1975 թվականին նրանց թիվը հասցրեց ինը: Նույն թվականին 50-ամյա ամերիկացի տնային տնտեսուհի և մաթեմատիկայի էնտուզիաստ Մարջորի Ռայսը մշակեց իր սեփական նշագրման մեթոդը և մի քանի տարվա ընթացքում հայտնաբերեց ևս չորս հնգանկյուն: Ի վերջո, 1985 թվականին Ռոլֆ Սթայնը թվերի թիվը հասցրեց տասնչորսի:

Պենտագոնները մնում են միակ գործիչը, որի շուրջ անորոշությունն ու առեղծվածը մնում են: 1963 թվականին ապացուցվեց, որ ինքնաթիռը ծածկող վեցանկյունների ընդամենը երեք տեսակ կա։ Ուռուցիկ յոթանկյունների, ութանկյունների և այլնի մեջ այդպիսի եռանկյուններ չկան։ Սակայն Պենտագոնների դեպքում դեռ ամեն ինչ լիովին պարզ չէ։

Մինչ օրս հայտնի էր նման հնգանկյունների ընդամենը 14 տեսակ։ Դրանք ներկայացված են նկարազարդման մեջ: Դրանցից յուրաքանչյուրի բանաձևերը տրված են հղումով։

30 տարի ոչ ոք չկարողացավ որևէ նոր բան գտնել, և վերջապես երկար սպասված հայտնագործությունը։ Այն պատրաստվել է Վաշինգտոնի համալսարանի մի խումբ գիտնականների կողմից՝ Քեյսի Մանը, Ջենիֆեր ՄաքԼաուդը և Դեյվիդ ֆոն Դերաուն: Ահա թե ինչպիսի տեսք ունի փոքրիկ գեղեցիկ տղան.

«Մենք հայտնաբերեցինք ձևը համակարգչային որոնման միջոցով մեծ, բայց սահմանափակ թվով տատանումների միջոցով», - ասում է Քեյսի Մաննը: «Իհարկե, մենք շատ հուզված ենք և մի փոքր զարմացած, որ կարողացանք հայտնաբերել նոր տեսակի հնգանկյուն»:

Բացահայտումը զուտ վերացական է թվում, բայց իրականում այն ​​կարող է գտնել գործնական կիրառություն. Օրինակ, հարդարման սալիկների արտադրության մեջ:

Ինքնաթիռը ծածկող նոր հնգանկյունների որոնումները, անշուշտ, կշարունակվեն։

Ինչու՞ են որոշ մարդու օրգաններ գալիս զույգերով (օրինակ՝ թոքեր, երիկամներ), իսկ մյուսները՝ մեկ օրինակով:

Կաուստիկները ամենուր տարածված օպտիկական մակերեսներ են և կորեր, որոնք ստեղծված են լույսի արտացոլման և բեկման արդյունքում: Կաուստիկները կարող են նկարագրվել որպես գծեր կամ մակերեսներ, որոնց երկայնքով լույսի ճառագայթները կենտրոնացած են:

Շաբաթ Գ.Բ.

Այժմ մենք գիտենք Տիեզերքի կառուցվածքի մասին նույնքան, որքան հին մարդիկ գիտեին Երկրի մակերեսի մասին: Ավելի ճիշտ, մենք գիտենք, որ Տիեզերքի փոքր մասը, որը հասանելի է մեր դիտարկումներին, կառուցված է այնպես, ինչպես եռաչափ Էվկլիդյան տարածության մի փոքր մասը: Այլ կերպ ասած, մենք ապրում ենք եռաչափ բազմազանության վրա (3-բազմապատիկ):

Վիկտոր Լավրուս

Մարդն իր շուրջը գտնվող առարկաները տարբերում է իրենց ձևով: Օբյեկտի ձևի նկատմամբ հետաքրքրությունը կարող է թելադրված լինել կենսական անհրաժեշտությամբ, կամ այն ​​կարող է առաջանալ ձևի գեղեցկությամբ։ Ձևը, որի կառուցման հիմքում ընկած է համաչափության և ոսկե հարաբերակցության համադրությունը, նպաստում է տեսողական լավագույն ընկալմանը և գեղեցկության ու ներդաշնակության զգացողության առաջացմանը։ Ամբողջը միշտ կազմված է մասերից, տարբեր չափերի մասերը որոշակի հարաբերությունների մեջ են միմյանց և ամբողջի հետ։ Ոսկե հարաբերակցության սկզբունքը ամբողջի և նրա մասերի կառուցվածքային և գործառական կատարելության բարձրագույն դրսևորումն է արվեստի, գիտության, տեխնիկայի և բնության մեջ:

«Չափերը» վավերագրական ֆիլմը երկու ժամ մաթեմատիկա է, որը աստիճանաբար ձեզ տանում է չորրորդ հարթություն:

Սերգեյ Ստաֆեև

Հին ժողովուրդների ամենագիտելիքային խնդիրը տարածության և ժամանակի մեջ կողմնորոշումն էր։ Այդ նպատակով մարդկությունը անհիշելի ժամանակներից կանգնեցրել է բազմաթիվ մեգալիթյան կառույցներ՝ կրոմլեխներ, դրոմոսներ, դոլմեններ և մենհիրներ։ Ստեղծվել են անհավանական հնարամիտ սարքեր, որոնք հնարավորություն են տալիս րոպեների ճշգրտությամբ հաշվել ժամանակը կամ պատկերացնել ուղղությունները կես աստիճանից ոչ ավելի սխալմամբ։ Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես բոլոր մայրցամաքներում մարդիկ թակարդներ ստեղծեցին արևի ճառագայթների համար, կառուցեցին տաճարներ՝ ասես «կապված» աստղագիտական ​​ուղղությունների վրա, թեք թունելներ փորեցին ցերեկային աստղադիտման համար կամ կանգնեցրին գոմոնների օբելիսկներ: Անհավատալի է, որ մեր հեռավոր նախնիներին, օրինակ, հաջողվել է հետևել ոչ միայն արեգակնային կամ լուսնային ստվերներին, այլև նույնիսկ Վեներայի ստվերին: