Այն մեթոդական նյութմիայն հղման համար է և վերաբերում է թեմաների լայն շրջանակին: Հոդվածը ներկայացնում է հիմնական տարրական գործառույթների գրաֆիկների ակնարկ և համարում է ամենակարևոր խնդիրը. ինչպես ճիշտ և արագ կառուցել գրաֆիկ. Ուսումնասիրության ընթացքում բարձրագույն մաթեմատիկաառանց հիմնական ժամանակացույցի իմացության տարրական գործառույթներԴժվար կլինի, ուստի շատ կարևոր է հիշել, թե ինչ տեսք ունեն պարաբոլայի, հիպերբոլայի, սինուսի, կոսինուսի և այլնի գրաֆիկները և հիշել ֆունկցիայի որոշ արժեքներ։ Մենք կխոսենք նաև հիմնական գործառույթների որոշ հատկությունների մասին:

Ես չեմ հավակնում նյութերի ամբողջականության և գիտական ​​ամբողջականության, շեշտը դրվելու է առաջին հերթին պրակտիկայի վրա. մարդ հանդիպում է բառացիորեն ամեն քայլափոխի, բարձրագույն մաթեմատիկայի ցանկացած թեմայում. Դիմերային գծապատկերներ: Կարելի էր այդպես ասել։

Ընթերցողների բազմաթիվ խնդրանքների պատճառով սեղմվող բովանդակության աղյուսակ:

Բացի այդ, թեմայի վերաբերյալ կա ծայրահեղ կարճ ամփոփագիր
– տիրապետեք 16 տեսակի գծապատկերների՝ ուսումնասիրելով վեց էջ:

Լուրջ, վեց, նույնիսկ ես զարմացա։ Այս ամփոփագիրը պարունակում է բարելավված գրաֆիկա և հասանելի է անվանական վճարով, ցուցադրական տարբերակը կարելի է դիտել: Հարմար է ֆայլը տպել այնպես, որ գրաֆիկները միշտ ձեռքի տակ լինեն։ Շնորհակալություն նախագծին աջակցելու համար:

Եվ եկեք սկսենք անմիջապես.

Ինչպե՞ս ճիշտ կառուցել կոորդինատային առանցքները:

Գործնականում թեստերը գրեթե միշտ սովորողները լրացնում են առանձին տետրերում՝ շարված քառակուսու մեջ: Ինչու՞ են ձեզ անհրաժեշտ վանդակավոր գծանշումներ: Ի վերջո, աշխատանքը, սկզբունքորեն, կարելի է կատարել A4 թերթիկների վրա: Իսկ վանդակն անհրաժեշտ է հենց գծագրերի որակյալ և ճշգրիտ ձևավորման համար։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած գծագիր սկսվում է կոորդինատային առանցքներ .

Գծագրերը կարող են լինել երկչափ կամ եռաչափ:

Նախ դիտարկենք երկչափ դեպքը Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

1) Գծի՛ր կոորդինատային առանցքներ. Առանցքը կոչվում է x առանցք , իսկ առանցքն է y առանցք . Մենք միշտ փորձում ենք նկարել դրանք կոկիկ և ոչ ծուռ. Նետերը նույնպես չպետք է նմանվեն Պապ Կառլոյի մորուքին:

2) առանցքները ստորագրում ենք «X» և «Y» մեծ տառերով: Մի մոռացեք կացինները պիտակավորել.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով. նկարել զրո և երկու միավոր. Գծանկար կատարելիս ամենահարմար և հաճախ օգտագործվող սանդղակն է՝ 1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում գծագրություն) - հնարավորության դեպքում կպցրե՛ք դրան։ Այնուամենայնիվ, ժամանակ առ ժամանակ պատահում է, որ գծագիրը չի տեղավորվում նոթատետրի թերթիկի վրա, այնուհետև մենք նվազեցնում ենք սանդղակը. 1 միավոր = 1 բջիջ (նկար աջ կողմում): Հազվադեպ է, բայց պատահում է, որ գծագրի մասշտաբը պետք է էլ ավելի կրճատվի (կամ մեծացվի)

«Գնդացիր»-ի ՊԱՐՏԻՔ ՉԻ…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…:Համար կոորդինատային հարթությունդա Դեկարտի հուշարձան չէ, իսկ ուսանողը աղավնի չէ։ Մենք դնում ենք զրոԵվ երկու միավոր առանցքների երկայնքով. Երբեմն փոխարենմիավորներ, հարմար է «նշել» այլ արժեքներ, օրինակ, «երկու» աբսցիսայի առանցքի վրա և «երեք» օրդինատների առանցքի վրա, և այս համակարգը (0, 2 և 3) նույնպես եզակիորեն կսահմանի կոորդինատների ցանցը:

Ավելի լավ է գնահատել գծագրի գնահատված չափերը Նկարը կառուցելուց առաջ. Այսպիսով, օրինակ, եթե առաջադրանքը պահանջում է , , գագաթներով եռանկյունի նկարել, ապա լիովին պարզ է, որ 1 միավոր = 2 բջիջ հայտնի սանդղակը չի աշխատի։ Ինչո՞ւ։ Եկեք նայենք կետին. այստեղ դուք ստիպված կլինեք չափել տասնհինգ սանտիմետր ներքև, և, ակնհայտորեն, գծագիրը չի տեղավորվի (կամ հազիվ տեղավորվի) նոթատետրի թերթիկի վրա: Հետեւաբար, մենք անմիջապես ընտրում ենք ավելի փոքր սանդղակ `1 միավոր = 1 բջիջ:

Ի դեպ, սանտիմետրերի և նոթատետրի բջիջների մասին: Ճի՞շտ է, որ նոթատետրի 30 բջիջը պարունակում է 15 սանտիմետր: Զվարճանալու համար ձեր նոթատետրում քանոնով չափեք 15 սանտիմետր: ԽՍՀՄ-ում դա կարող էր ճիշտ լինել... Հետաքրքիր է նշել, որ եթե այս նույն սանտիմետրերը չափեք հորիզոնական և ուղղահայաց, արդյունքները (բջիջներում) տարբեր կլինեն: Խիստ ասած՝ ժամանակակից նոթատետրերը ոչ թե վանդակավոր են, այլ ուղղանկյուն։ Սա կարող է անհեթեթ թվալ, բայց նման իրավիճակներում, օրինակ, կողմնացույցով շրջան նկարելը շատ անհարմար է։ Անկեղծ ասած, նման պահերին սկսում ես մտածել ընկեր Ստալինի կոռեկտության մասին, ով ճամբարներ էր ուղարկվել արտադրության մեջ հաքերային աշխատանքի համար, էլ չասած հայրենական ավտոմոբիլային արդյունաբերության, ինքնաթիռների վայր ընկնելու կամ էլեկտրակայանների պայթեցման մասին:

Խոսելով որակի մասին, կամ գրենական պիտույքների վերաբերյալ հակիրճ առաջարկություն: Այսօր վաճառվող նոթատետրերի մեծ մասը, մեղմ ասած, լրիվ խայտառակություն է: Այն պատճառով, որ դրանք թրջվում են և ոչ միայն գելային գրիչներից, այլ նաև գնդիկավոր գրիչներից: Թղթի վրա փող են խնայում։ Գրանցման համար թեստերԵս խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել նոթատետրեր Արխանգելսկի Ցելյուլոզ և Թուղթ գործարանից (18 թերթ, ցանց) կամ «Պյատերոչկա», թեև դա ավելի թանկ է: Ցանկալի է ընտրել գելային գրիչ, նույնիսկ ամենաէժան չինական գել լիցքավորելը շատ ավելի լավ է, քան գնդիկավոր գրիչը, որը կամ կեղտոտում է կամ պատռում թուղթը: Միակ «մրցակցային» գնդիկավոր գրիչը, որը կարող եմ հիշել, Էրիխ Կրաուզեն է: Նա գրում է հստակ, գեղեցիկ և հետևողական՝ լինի լրիվ միջուկով, թե գրեթե դատարկ:

ԼրացուցիչՈւղղանկյուն կոորդինատային համակարգի տեսլականը վերլուծական երկրաչափության աչքերով ներկայացված է հոդվածում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը, կոորդինատային եռամսյակների մասին մանրամասն տեղեկություններ կարելի է գտնել դասի երկրորդ պարբերությունում Գծային անհավասարություններ.

3D պատյան

Այստեղ գրեթե նույնն է:

1) Գծի՛ր կոորդինատային առանցքներ. Ստանդարտ: առանցք կիրառել – ուղղված դեպի վեր, առանցք – ուղղված դեպի աջ, առանցք – ուղղված դեպի ներքև դեպի ձախ խստորեն 45 աստիճանի անկյան տակ:

2) Նշեք կացինները.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով: Առանցքի երկայնքով սանդղակը երկու անգամ փոքր է մյուս առանցքների երկայնքով սանդղակից. Նաև նշեք, որ ճիշտ գծագրում ես օգտագործել եմ ոչ ստանդարտ «խազ» առանցքի երկայնքով (այս հնարավորությունն արդեն նշվել է վերևում). Իմ տեսանկյունից սա ավելի ճշգրիտ, արագ և գեղագիտական ​​հաճելի է. կարիք չկա մանրադիտակի տակ փնտրել բջջի կեսը և «քանդակել» կոորդինատների ծագմանը մոտ միավոր:

Եռաչափ գծանկար կատարելիս կրկին առաջնահերթություն տվեք մասշտաբին
1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում նկարված):

Ինչի՞ համար են այս բոլոր կանոնները: Կանոնները ստեղծված են խախտելու համար։ Դա այն է, ինչ ես հիմա կանեմ: Փաստն այն է, որ հոդվածի հետագա գծագրերը կկատարվեն իմ կողմից Excel-ում, և կոորդինատային առանցքները սխալ տեսք կունենան տեսանկյունից: ճիշտ դիզայն. Ես կարող էի ձեռքով նկարել բոլոր գրաֆիկները, բայց իրականում սարսափելի է դրանք նկարելը, քանի որ Excel-ը չի ցանկանում դրանք շատ ավելի ճշգրիտ գծել:

Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հատկությունները

Հավասարմամբ տրված է գծային ֆունկցիա. Գծային ֆունկցիաների գրաֆիկն է ուղիղ. Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ երկու կետ.

Օրինակ 1

Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտնենք երկու կետ. Որպես կետերից մեկը ձեռնտու է ընտրել զրոն։

Եթե, ապա

Վերցնենք մեկ այլ կետ, օրինակ՝ 1.

Եթե, ապա

Առաջադրանքները կատարելիս կետերի կոորդինատները սովորաբար ամփոփվում են աղյուսակում.

Եվ արժեքներն իրենք են հաշվարկվում բանավոր կամ սևագրի, հաշվիչի վրա:

Գտնվել է երկու կետ, եկեք նկարենք.

Գծանկար պատրաստելիս մենք միշտ ստորագրում ենք գրաֆիկայի վրա.

Օգտակար կլինի հիշել գծային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես դրել ստորագրությունները, Ստորագրությունները չպետք է թույլ տան գծանկարն ուսումնասիրելիս անհամապատասխանություններ. IN այս դեպքումՉափազանց անցանկալի էր ստորագրություն դնել գծերի հատման կետի կողքին կամ գծապատկերների միջև ներքևի աջ մասում։

1) () ձևի գծային ֆունկցիան կոչվում է ուղիղ համեմատականություն։ Օրինակ, . Ուղղակի համաչափության գրաֆիկը միշտ անցնում է սկզբնաղբյուրով: Այսպիսով, ուղիղ գիծ կառուցելը պարզեցված է, բավական է գտնել ընդամենը մեկ կետ:

2) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ: Ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցվում է անմիջապես՝ առանց կետեր գտնելու։ Այսինքն՝ մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «y-ը միշտ հավասար է –4-ի՝ x-ի ցանկացած արժեքի համար»:

3) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ: Անմիջապես գծագրվում է նաև ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «x-ը միշտ y-ի ցանկացած արժեքի համար հավասար է 1-ի»:

Ոմանք կհարցնեն՝ ինչո՞ւ հիշել 6-րդ դասարանը։ Դա այդպես է, միգուցե այդպես է, բայց պրակտիկայի տարիների ընթացքում ես հանդիպել եմ մի լավ տասնյակ ուսանողների, ովքեր շփոթված էին գծապատկեր ստեղծելու առաջադրանքով, ինչպես կամ:

Ուղիղ գիծ կառուցելը գծանկարներ կատարելիս ամենատարածված գործողությունն է:

Ուղիղ գիծը մանրամասն քննարկվում է վերլուծական երկրաչափության ընթացքում, և հետաքրքրվողները կարող են հղում կատարել հոդվածին. Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.

Քառակուսի, խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկ, բազմանդամի գրաֆիկ

Պարաբոլա. Ժամանակացույց քառակուսի ֆունկցիա () ներկայացնում է պարաբոլա: Դիտարկենք հայտնի դեպքը.

Հիշենք ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը. – հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը: Թե ինչու է դա այդպես, կարելի է սովորել ածանցյալի մասին տեսական հոդվածից և ֆունկցիայի ծայրահեղությունների վերաբերյալ դասից: Միևնույն ժամանակ, եկեք հաշվարկենք համապատասխան «Y» արժեքը.

Այսպիսով, գագաթը գտնվում է կետում

Այժմ մենք գտնում ենք այլ կետեր՝ միաժամանակ օգտագործելով պարաբոլայի համաչափությունը: Հարկ է նշել, որ ֆունկցիան – նույնիսկ չէ, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չեղարկեց պարաբոլայի համաչափությունը։

Ինչ կարգով գտնել մնացած միավորները, կարծում եմ վերջնական աղյուսակից պարզ կլինի.

Այս շինարարական ալգորիթմը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «մաքոքային» կամ «ետ ու առաջ» սկզբունք Անֆիսա Չեխովայի հետ:

Եկեք նկարենք.

Քննված գծապատկերներից մեկ այլ օգտակար հատկություն է մտքում գալիս.

Քառակուսային ֆունկցիայի համար () ճշմարիտ է հետևյալը.

Եթե ​​, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր.

Եթե ​​, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև.

Կորի մասին խորը գիտելիքներ կարելի է ստանալ Հիպերբոլա և պարաբոլա դասում։

Ֆունկցիայի միջոցով տրվում է խորանարդ պարաբոլա. Ահա դպրոցից ծանոթ նկար.

Թվարկենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Այն ներկայացնում է պարաբոլայի ճյուղերից մեկը։ Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս դեպքում առանցքն է ուղղահայաց ասիմպտոտ ժամը հիպերբոլայի գրաֆիկի համար:

Կոպիտ սխալ կլինի, եթե գծագիր կազմելիս անզգույշ թույլ տաք, որ գրաֆիկը հատվի ասիմպտոտի հետ:

Նաև միակողմանի սահմանները մեզ ասում են, որ հիպերբոլան վերևից չի սահմանափակվումԵվ չի սահմանափակվում ներքևից.

Դիտարկենք ֆունկցիան անվերջության մեջ. այսինքն, եթե մենք սկսենք առանցքի երկայնքով շարժվել դեպի ձախ (կամ աջ) դեպի անվերջություն, ապա «խաղերը» կլինեն կարգավորված քայլով։ անսահման մոտմոտենալ զրոյին, և, համապատասխանաբար, հիպերբոլայի ճյուղերին անսահման մոտմոտենալ առանցքին.

Այսպիսով, առանցքը հորիզոնական ասիմպտոտ ֆունկցիայի գրաֆիկի համար, եթե «x»-ը հակված է գումարած կամ մինուս անսահմանության:

Ֆունկցիան է տարօրինակ, և, հետևաբար, հիպերբոլան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Այս փաստը ակնհայտ է գծագրից, բացի այդ, այն հեշտությամբ ստուգվում է վերլուծական եղանակով. .

() ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացնում է հիպերբոլայի երկու ճյուղ.

Եթե ​​, ապա հիպերբոլան գտնվում է առաջին և երրորդ կոորդինատային քառորդներում(տես վերևի նկարը):

Եթե ​​, ապա հիպերբոլան գտնվում է երկրորդ և չորրորդ կոորդինատային քառորդներում.

Հիպերբոլայի բնակության նշված օրինաչափությունը հեշտ է վերլուծել գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների տեսանկյունից:

Օրինակ 3

Կառուցեք հիպերբոլայի աջ ճյուղը

Մենք օգտագործում ենք կետային կառուցման մեթոդը, և ձեռնտու է ընտրել արժեքները, որպեսզի դրանք բաժանվեն մի ամբողջի վրա.

Եկեք նկարենք.

Դժվար չի լինի կառուցել հիպերբոլայի ձախ ճյուղը, այստեղ կօգնի ֆունկցիայի տարօրինակությունը: Կոպիտ ասած՝ կետային կառուցման աղյուսակում յուրաքանչյուր թվին մտովի ավելացնում ենք մինուս, դնում ենք համապատասխան կետերը և գծում երկրորդ ճյուղը։

Դիտարկվող գծի մասին մանրամասն երկրաչափական տեղեկատվություն կարելի է գտնել Հիպերբոլա և պարաբոլա հոդվածում։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

IN այս պարբերությունըԵս անմիջապես կդիտարկեմ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, քանի որ բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում 95% դեպքերում ի հայտ է գալիս էքսպոնենցիալը։

Հիշեցնեմ, որ սա իռացիոնալ թիվ է․ Երեք միավոր, հավանաբար, բավական է.

Առայժմ թողնենք ֆունկցիայի գրաֆիկը, ավելի ուշ:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Ֆունկցիաների գրաֆիկները և այլն, սկզբունքորեն նույն տեսքն ունեն:

Պետք է ասեմ, որ երկրորդ դեպքը գործնականում ավելի քիչ է լինում, բայց լինում է, ուստի հարկ համարեցի այն ներառել այս հոդվածում։

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք բնական լոգարիթմով ֆունկցիա:
Եկեք կետ առ կետ նկարենք.

Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչ է լոգարիթմը, դիմեք ձեր դպրոցական դասագրքերին:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Դոմեն:

Արժեքների միջակայք.

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերևից. , թեկուզ դանդաղ, բայց լոգարիթմի ճյուղը բարձրանում է դեպի անսահմանություն։
Եկեք քննենք աջ կողմում զրոյին մոտ ֆունկցիայի վարքագիծը. . Այսպիսով, առանցքը ուղղահայաց ասիմպտոտ քանի որ ֆունկցիայի գրաֆիկը, քանի որ «x»-ն աջից զրոյի է ձգտում:

Պարտադիր է իմանալ և հիշել լոգարիթմի բնորոշ արժեքը: .

Սկզբունքորեն, լոգարիթմի գծապատկերը հիմքի նկատմամբ նույն տեսքն ունի. Ավելին, որքան մեծ է հիմքը, այնքան ավելի հարթ կլինի գրաֆիկը։

Մենք գործը չենք քննարկի, ես չեմ հիշում, թե վերջին անգամ երբ եմ նման հիմքով գրաֆիկ կառուցել։ Իսկ լոգարիթմը կարծես թե շատ հազվադեպ հյուր է բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում։

Այս պարբերության վերջում ես կասեմ ևս մեկ փաստ. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա և լոգարիթմական ֆունկցիա- սրանք երկու փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ են. Եթե ​​ուշադիր նայեք լոգարիթմի գրաֆիկին, կարող եք տեսնել, որ սա նույն ցուցիչն է, պարզապես այն գտնվում է մի փոքր այլ կերպ:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ

Որտեղի՞ց է սկսվում եռանկյունաչափական տանջանքները դպրոցում: Ճիշտ. Սինուսից

Եկեք գծենք ֆունկցիան

Այս տողը կոչվում է սինուսոիդ.

Հիշեցնեմ, որ «pi»-ն իռացիոնալ թիվ է.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս ֆունկցիան է պարբերականժամանակաշրջանով: Ինչ է դա նշանակում? Եկեք նայենք հատվածին. Դրանից ձախ և աջ անվերջ կրկնվում է գրաֆիկի ճիշտ նույն հատվածը:

Դոմեն, այսինքն՝ «x»-ի ցանկացած արժեքի համար կա սինուսային արժեք։

Արժեքների միջակայք. Ֆունկցիան է սահմանափակ, այսինքն՝ բոլոր «խաղերը» խստորեն տեղավորվում են հատվածում։
Սա տեղի չի ունենում, կամ, ավելի ճիշտ, լինում է, բայց այս հավասարումները լուծում չունեն։

1. Կոտորակային գծային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը

y = P(x) / Q(x) ձևի ֆունկցիան, որտեղ P(x) և Q(x) բազմանդամներ են, կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա:

Դուք հավանաբար արդեն ծանոթ եք ռացիոնալ թվերի հասկացությանը: Նմանապես ռացիոնալ գործառույթներֆունկցիաներ են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես երկու բազմանդամների քանորդ:

Եթե ​​կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան երկու գծային ֆունկցիաների՝ առաջին աստիճանի բազմանդամների քանորդն է, այսինքն. ձևի գործառույթը

y = (ax + b) / (cx + d), ապա այն կոչվում է կոտորակային գծային:

Նկատի ունեցեք, որ y = (ax + b) / (cx + d) ֆունկցիայում c ≠ 0 (հակառակ դեպքում ֆունկցիան դառնում է գծային y = ax/d + b/d) և a/c ≠ b/d (հակառակ դեպքում՝ ֆունկցիան հաստատուն է): Գծային կոտորակային ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր իրական թվերի համար, բացառությամբ x = -d/c: Կոտորակի գծային ֆունկցիաների գրաֆիկները իրենց ձևով չեն տարբերվում ձեր իմացած y = 1/x գրաֆիկից: Կոչվում է կորը, որը y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլիա. X-ի բացարձակ արժեքի անսահմանափակ աճի դեպքում y = 1/x ֆունկցիան անսահմանափակ բացարձակ արժեքով նվազում է, և գրաֆիկի երկու ճյուղերն էլ մոտենում են աբսցիսային՝ աջը մոտենում է վերևից, իսկ ձախը՝ ներքևից: Այն գծերը, որոնց դեպի հիպերբոլային մոտեցման ճյուղերը կոչվում են իր ասիմպտոտներ.

Օրինակ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3):

Լուծում.

Ընտրենք ամբողջ մասը՝ (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3):

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով՝ 3 միավոր հատվածով շեղվել դեպի աջ՝ ձգվելով Oy առանցքի երկայնքով 7 անգամ և տեղաշարժվել 2-ով։ միավորի հատվածները դեպի վեր:

Ցանկացած y = (ax + b) / (cx + d) կոտորակը կարելի է գրել նույն կերպ՝ ընդգծելով «ամբողջական մասը»: Հետևաբար, բոլոր կոտորակային գծային ֆունկցիաների գրաֆիկները հիպերբոլաներ են, որոնք տարբեր ձևերով տեղաշարժվում են կոորդինատային առանցքների երկայնքով և ձգվում Oy առանցքի երկայնքով։

Ցանկացած կամայական կոտորակային-գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ կառուցելու համար ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ փոխակերպել այս ֆունկցիան սահմանող կոտորակը: Քանի որ մենք գիտենք, որ գրաֆիկը հիպերբոլա է, բավական կլինի գտնել այն ուղիղները, որոնց մոտենում են նրա ճյուղերը՝ x = -d/c և y = a/c հիպերբոլայի ասիմպտոտները:

Օրինակ 2.

Գտե՛ք y = (3x + 5)/(2x + 2) ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները։

Լուծում.

Ֆունկցիան սահմանված չէ, x = -1-ում: Սա նշանակում է, որ x = -1 ուղիղ գիծը ծառայում է որպես ուղղահայաց ասիմպտոտ: Հորիզոնական ասիմպտոտը գտնելու համար պարզենք, թե ինչ արժեքներ են մոտենում y(x) ֆունկցիայի արժեքներին, երբ x արգումենտը մեծանում է բացարձակ արժեքով:

Դա անելու համար կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք x-ի.

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x):

Որպես x → ∞ կոտորակը կձգտի 3/2-ի: Սա նշանակում է, որ հորիզոնական ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է y = 3/2:

Օրինակ 3.

Գծապատկերե՛ք y = (2x + 1)/(x + 1) ֆունկցիան:

Լուծում.

Ընտրենք կոտորակի «ամբողջ մասը».

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով՝ 1 միավորով տեղափոխում դեպի ձախ, սիմետրիկ ցուցադրում Ox-ի նկատմամբ և տեղաշարժ 2 միավոր հատված դեպի վեր Oy առանցքի երկայնքով:

D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞) տիրույթ:

Արժեքների միջակայք E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞):

Առանցքներով հատման կետեր. c Oy: (0; 1); գ Եզ՝ (-1/2; 0): Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր միջակայքում:

Պատասխան՝ Նկար 1.

2. Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիա

Դիտարկենք y = P(x) / Q(x) ձևի կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա, որտեղ P(x) և Q(x) առաջինից բարձր աստիճանի բազմանդամներ են:

Նման ռացիոնալ գործառույթների օրինակներ.

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) կամ y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3):

Եթե ​​y = P(x) / Q(x) ֆունկցիան ներկայացնում է առաջինից բարձր աստիճանի երկու բազմանդամների քանորդը, ապա դրա գրաֆիկը, որպես կանոն, ավելի բարդ կլինի, և երբեմն դժվար է այն ճշգրիտ կառուցել: , բոլոր մանրամասներով։ Այնուամենայնիվ, հաճախ բավական է օգտագործել այնպիսի տեխնիկա, ինչպիսին մենք արդեն ներկայացրել ենք վերևում:

Թող կոտորակը լինի պատշաճ կոտորակ (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t):

Ակնհայտ է, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ որպես տարրական կոտորակների գրաֆիկների գումար:

Կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաների գրաֆիկների գծում

Դիտարկենք կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի գծապատկերներ կառուցելու մի քանի եղանակ:

Օրինակ 4.

Գծե՛ք y = 1/x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք y = x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը y = 1/x 2-ի գրաֆիկ կառուցելու համար և օգտագործում ենք գրաֆիկները «բաժանելու» տեխնիկան։

Դոմեն D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞):

Արժեքների միջակայք E(y) = (0; +∞):

Առանցքների հետ հատման կետեր չկան։ Ֆունկցիան հավասար է. Բոլոր x-ի համար մեծանում է միջակայքից (-∞; 0), x-ի համար նվազում է 0-ից մինչև +∞:

Պատասխան՝ Նկար 2.

Օրինակ 5.

Գծապատկերե՛ք y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) ֆունկցիան:

Լուծում.

D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞) տիրույթ:

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Այստեղ մենք օգտագործեցինք ֆակտորիզացիայի, կրճատման և գծային ֆունկցիայի կրճատման տեխնիկան։

Պատասխան՝ Նկար 3.

Օրինակ 6.

Գծապատկերե՛ք y = (x 2 – 1)/(x2 + 1) ֆունկցիան:

Լուծում.

Սահմանման տիրույթը D(y) = R է: Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ: Նախքան գրաֆիկ կառուցելը, դարձյալ փոխակերպենք արտահայտությունը՝ ընդգծելով ամբողջ մասը.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1):

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի բանաձևում ամբողջական մասի մեկուսացումը հիմնականներից մեկն է գրաֆիկներ կառուցելիս։

Եթե ​​x → ±∞, ապա y → 1, այսինքն. ուղիղ գիծը y = 1 հորիզոնական ասիմպտոտ է:

Պատասխան՝ Նկար 4.

Օրինակ 7.

Դիտարկենք y = x/(x 2 + 1) ֆունկցիան և փորձենք ճշգրիտ գտնել դրա ամենամեծ արժեքը, այսինքն. գրաֆիկի աջ կեսի ամենաբարձր կետը: Այս գրաֆիկը ճշգրիտ կառուցելու համար այսօրվա գիտելիքները բավարար չեն: Ակնհայտ է, որ մեր կորը չի կարող շատ բարձր «բարձրանալ», քանի որ հայտարարը արագորեն սկսում է «գերազանցել» համարիչը: Տեսնենք, արդյոք ֆունկցիայի արժեքը կարող է հավասար լինել 1-ի: Դա անելու համար մենք պետք է լուծենք x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը չունի իրական արմատներ: Սա նշանակում է, որ մեր ենթադրությունը ճիշտ չէ։ Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը գտնելու համար պետք է պարզել, թե ամենամեծ A-ում A = x/(x 2 + 1) հավասարումը լուծում կունենա: Եկեք փոխարինենք սկզբնական հավասարումը քառակուսայինով. Ax 2 – x + A = 0: Այս հավասարումը լուծում ունի, երբ 1 – 4A 2 ≥ 0: Այստեղից մենք գտնում ենք ամենամեծ արժեքը A = 1/2:

Պատասխան. Նկար 5, առավելագույնը y(x) = ½:

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես գծապատկերել ֆունկցիաները:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Մաթեմատիկայի ամենահայտնի էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաներից մեկը էքսպոնենտն է։ Այն ներկայացնում է Էյլերի թիվը, որը բարձրացված է նշված հզորությանը: Excel-ում կա առանձին օպերատոր, որը թույլ է տալիս հաշվարկել այն։ Տեսնենք, թե ինչպես այն կարող է օգտագործվել գործնականում:

Ցուցանիշը Էյլերի թիվն է, որը բարձրացված է տրված հզորության: Էյլերի թիվը ինքնին մոտավորապես 2,718281828 է: Երբեմն այն նաև կոչվում է Նապիերի համար: Ցուցանիշի ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը.

որտեղ e-ը Էյլերի թիվն է, իսկ n-ը՝ բարձրացման աստիճանը:

Excel-ում այս ցուցանիշը հաշվարկելու համար օգտագործվում է առանձին օպերատոր. ԺԱՄԱՆԱԿ. Բացի այդ, այս գործառույթը կարող է ցուցադրվել որպես գրաֆիկ: Այս գործիքների հետ աշխատելու մասին մենք կխոսենք հետագա:

Մեթոդ 1. Հաշվեք ցուցիչը՝ ձեռքով մուտքագրելով ֆունկցիան

EXP (համար)

Այսինքն, այս բանաձեւը պարունակում է միայն մեկ փաստարկ. Դա հենց այն ուժն է, որին պետք է բարձրացնել Էյլերի թիվը: Այս փաստարկը կարող է ձևի լինել թվային արժեք, և վերցրեք ցուցիչ պարունակող բջիջի հղումի ձև:

Մեթոդ 2. Function Wizard-ի օգտագործումը

Չնայած ցուցիչի հաշվարկման շարահյուսությունը չափազանց պարզ է, որոշ օգտվողներ նախընտրում են օգտագործել Function Wizard. Եկեք նայենք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով:

Եթե ​​որպես արգումենտ օգտագործվում է ցուցիչ պարունակող բջջային հղումը, ապա դուք պետք է կուրսորը տեղադրեք դաշտում "Թիվ"և պարզապես ընտրեք թերթիկի այդ բջիջը: Դրա կոորդինատները անմիջապես կցուցադրվեն դաշտում: Դրանից հետո արդյունքը հաշվարկելու համար սեղմեք կոճակը "ԼԱՎ".

Մեթոդ 3. գծագրում

Բացի այդ, Excel-ում հնարավոր է կառուցել գրաֆիկ՝ հիմք ընդունելով աստիճանի հաշվարկից ստացված արդյունքները։ Գրաֆիկ կառուցելու համար թերթիկը պետք է արդեն ունենա տարբեր հզորությունների ցուցիչի հաշվարկված արժեքներ: Նրանք կարող են հաշվարկվել վերը նկարագրված մեթոդներից մեկի միջոցով:

y (x) = e x, որի ածանցյալը հավասար է բուն ֆունկցիային։

Ցուցանիշը նշվում է որպես , կամ :

Համար էլ

Ցուցանիշի աստիճանի հիմքն է համարը ե. Սա իռացիոնալ թիվ է։ Մոտավորապես հավասար է
ե ≈ 2,718281828459045...

e թիվը որոշվում է հաջորդականության սահմանով։ Սա այսպես կոչված երկրորդ հրաշալի սահմանը:
.

E թիվը կարող է ներկայացվել նաև որպես շարք.
.

Էքսպոնենցիալ գրաֆիկ

Էքսպոնենցիալ գրաֆիկ, y = e x.

Գրաֆիկը ցույց է տալիս էքսպոնենցիալը եմի աստիճանի X.
y (x) = e x
Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ ցուցիչը միապաղաղ մեծանում է:

Բանաձևեր

Հիմնական բանաձևերը նույնն են, ինչ համար էքսպոնենցիալ ֆունկցիահոսանքի բազայով էլ.

;
;
;

Ա աստիճանի կամայական հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի արտահայտությունը էքսպոնենցիալի միջոցով.
.

Մասնավոր արժեքներ

Թող y (x) = e x. Հետո
.

Ցուցանիշի հատկություններ

Ցուցանիշն ունի հզորության բազա ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկություններ ե > 1 .

Դոմեն, արժեքների հավաքածու

Ցուցանիշ y (x) = e xսահմանված բոլոր x-ի համար:
Դրա սահմանման տիրույթը.
- ∞ < x + ∞ .
Դրա բազմաթիվ իմաստները.
0 < y < + ∞ .

Ծայրահեղություններ, աճող, նվազում

Էքսպոնենցիալը միապաղաղ աճող ֆունկցիա է, ուստի այն չունի ծայրահեղություններ: Նրա հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

Հակադարձ ֆունկցիա

Ցուցանիշի հակադարձը բնական լոգարիթմն է։
;
.

Ցուցանիշի ածանցյալ

Ածանցյալ եմի աստիճանի Xհավասար է եմի աստիճանի X :
.
n-րդ կարգի ածանցյալ.
.
Բանաձևերի ստացում > > >

Անբաժանելի

Կոմպլեքս թվեր

Գործողություններ հետ բարդ թվերիրականացվում է օգտագործելով Էյլերի բանաձևերը:
,
որտեղ է երևակայական միավորը.
.

Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների միջոցով

; ;
.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ օգտագործող արտահայտություններ

; ;
;
.

Power շարքի ընդլայնում

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.