Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով գրաֆիկը: Ստացվում է, որ նայելով գրաֆիկին, մենք կարող ենք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է, մասնավորապես.

• ֆունկցիայի տիրույթ
• ֆունկցիայի տիրույթ
• ֆունկցիայի զրոներ
• աճման և նվազման ընդմիջումներով
• առավելագույն և նվազագույն միավորներ
• սեգմենտի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը:

Եկեք պարզաբանենք տերմինաբանությունը.

Աբսցիսսակետի հորիզոնական կոորդինատն է:
ձեռնադրել- ուղղահայաց կոորդինատ.
Abscissa առանցք- հորիզոնական առանցքը, որն առավել հաճախ կոչվում է առանցք:
Y առանցք- ուղղահայաց առանցք կամ առանցք.

Փաստարկ- անկախ փոփոխական, որից կախված են ֆունկցիայի արժեքները: Առավել հաճախ նշվում է.
Այլ կերպ ասած, մենք ընտրում ենք, ֆունկցիաները փոխարինում բանաձևի մեջ և ստանում:

Դոմենգործառույթներ - այն (և միայն այդ) փաստարկների արժեքների հավաքածու, որոնց համար գոյություն ունի գործառույթը:
Նշվում է՝ կամ .

Մեր նկարում ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հատվածն է։ Հենց այս հատվածի վրա է գծվում ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Սա միակ տեղն է, որտեղ գոյություն ունի այս գործառույթը:

Ֆունկցիոնալ տիրույթայն արժեքների բազմությունն է, որը վերցնում է փոփոխականը: Մեր գործչի մեջ սա հատված է՝ ամենացածրից մինչև ամենաբարձր արժեքը:

Գործառույթների զրոներ- կետեր, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը զրո է, այսինքն. Մեր նկարում սրանք կետեր են և .

Ֆունկցիոնալ արժեքները դրական ենորտեղ. Մեր պատկերում սրանք ընդմիջումներն են և .
Ֆունկցիայի արժեքները բացասական ենորտեղ. Մեզ համար սա միջակայքն է (կամ ընդմիջումը) մինչև .

Հիմնական հասկացություններ - աճող և նվազող գործառույթորոշ հավաքածուի վրա: Որպես բազմություն, դուք կարող եք վերցնել հատված, միջակայք, միջակայքերի միություն կամ ամբողջ թվային տողը:

Գործառույթ ավելանում է

Այսինքն՝ որքան շատ, այնքան ավելի, այսինքն՝ գրաֆիկը գնում է դեպի աջ և վեր։

Գործառույթ նվազում էբազմության վրա, եթե որևէ մեկի համար և պատկանում է բազմությանը, անհավասարությունը ենթադրում է անհավասարություն:

Նվազող ֆունկցիայի համար ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է փոքր արժեքին: Գրաֆիկը գնում է դեպի աջ և ներքև:

Մեր նկարում ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում և նվազում է ընդմիջումներով և .

Եկեք սահմանենք, թե ինչ է դա ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն միավորները.

Առավելագույն միավոր- սա սահմանման տիրույթի ներքին կետն է, այնպիսին, որ ֆունկցիայի արժեքը նրանում ավելի մեծ է, քան դրան բավական մոտ բոլոր կետերում:
Այլ կերպ ասած, առավելագույն կետը այն կետն է, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը ավելինքան հարևաններում։ Սա տեղական «բլուր» է գծապատկերում:

Մեր նկարում կա առավելագույն միավոր:

Նվազագույն միավոր- սահմանման տիրույթի ներքին կետ, այնպիսին, որ ֆունկցիայի արժեքը նրանում փոքր է, քան դրան բավական մոտ բոլոր կետերում:
Այսինքն՝ նվազագույն կետն այնպիսին է, որ ֆունկցիայի արժեքը նրանում փոքր է, քան իր հարեւաններում։ Սա լոկալ «անցք» է գրաֆիկի վրա:

Մեր նկարում կա նվազագույն կետ.

Կետը սահմանն է: Այն սահմանման տիրույթի ներքին կետ չէ և, հետևաբար, չի համապատասխանում առավելագույն կետի սահմանմանը: Ի վերջո, նա ձախ կողմում հարևաններ չունի: Նույն կերպ, մեր գծապատկերում չի կարող նվազագույն միավոր լինել։

Առավելագույն և նվազագույն միավորները միասին կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը. Մեր դեպքում սա և .

Ինչ անել, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել, օրինակ. նվազագույն գործառույթհատվածի վրա? IN այս դեպքումպատասխան՝. Որովհետեւ նվազագույն գործառույթդրա արժեքն է նվազագույն կետում:

Նմանապես, մեր գործառույթի առավելագույնը . Այն հասնում է կետին:

Կարելի է ասել, որ ֆունկցիայի ծայրահեղությունները հավասար են և .

Երբեմն խնդիրները պահանջում են գտնել ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքներըտվյալ հատվածի վրա։ Պարտադիր չէ, որ դրանք համընկնեն ծայրահեղությունների հետ։

Մեր դեպքում ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքըհատվածի վրա հավասար է և համընկնում է ֆունկցիայի նվազագույնի հետ: Բայց դրա ամենամեծ արժեքը այս հատվածում հավասար է . Այն հասնում է հատվածի ձախ վերջում:

Ամեն դեպքում՝ ամենամեծ ու ամենափոքր արժեքները շարունակական գործառույթհատվածի վրա ձեռք են բերվում կամ ծայրամասային կետերում կամ հատվածի ծայրերում:

Այն մեթոդական նյութմիայն հղման համար է և վերաբերում է թեմաների լայն շրջանակին: Հոդվածը ներկայացնում է հիմնական տարրական գործառույթների գրաֆիկների ակնարկ և համարում է ամենակարևոր խնդիրը. ինչպես ճիշտ և արագ կառուցել գրաֆիկ. Բարձրագույն մաթեմատիկա սովորելու ընթացքում առանց հիմնական գրաֆիկների իմացության տարրական գործառույթներԴժվար կլինի, ուստի շատ կարևոր է հիշել, թե ինչ տեսք ունեն պարաբոլայի, հիպերբոլայի, սինուսի, կոսինուսի և այլնի գրաֆիկները և հիշել ֆունկցիայի որոշ արժեքներ։ Մենք կխոսենք նաև հիմնական գործառույթների որոշ հատկությունների մասին:

Ես չեմ հավակնում նյութերի ամբողջականության և գիտական ​​ամբողջականության, շեշտը դրվելու է առաջին հերթին պրակտիկայի վրա. մարդ հանդիպում է բառացիորեն ամեն քայլափոխի, բարձրագույն մաթեմատիկայի ցանկացած թեմայում. Դիմերային գծապատկերներ: Կարելի էր այդպես ասել։

Ընթերցողների բազմաթիվ խնդրանքների պատճառով սեղմվող բովանդակության աղյուսակ:

Բացի այդ, թեմայի վերաբերյալ կա ծայրահեղ կարճ ամփոփագիր
– տիրապետեք 16 տեսակի գծապատկերների՝ ուսումնասիրելով վեց էջ:

Լուրջ, վեց, նույնիսկ ես զարմացա։ Այս ամփոփագիրը պարունակում է բարելավված գրաֆիկա և հասանելի է անվանական վճարով, ցուցադրական տարբերակը կարելի է դիտել: Հարմար է ֆայլը տպել այնպես, որ գրաֆիկները միշտ ձեռքի տակ լինեն։ Շնորհակալություն նախագծին աջակցելու համար:

Եվ եկեք սկսենք անմիջապես.

Ինչպե՞ս ճիշտ կառուցել կոորդինատային առանցքները:

Գործնականում թեստերը գրեթե միշտ սովորողները լրացնում են առանձին տետրերում՝ շարված քառակուսու մեջ: Ինչու՞ են ձեզ անհրաժեշտ վանդակավոր գծանշումներ: Ի վերջո, աշխատանքը, սկզբունքորեն, կարելի է կատարել A4 թերթիկների վրա: Իսկ վանդակն անհրաժեշտ է հենց գծագրերի որակյալ և ճշգրիտ ձևավորման համար։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած գծագիր սկսվում է կոորդինատային առանցքներ .

Գծագրերը կարող են լինել երկչափ կամ եռաչափ:

Նախ դիտարկենք երկչափ դեպքը Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

1) Գծի՛ր կոորդինատային առանցքներ. Առանցքը կոչվում է x առանցք , իսկ առանցքն է y առանցք . Մենք միշտ փորձում ենք նկարել դրանք կոկիկ և ոչ ծուռ. Նետերը նույնպես չպետք է նմանվեն Պապ Կառլոյի մորուքին:

2) առանցքները ստորագրում ենք «X» և «Y» մեծ տառերով: Մի մոռացեք կացինները պիտակավորել.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով. նկարել զրո և երկու միավոր. Գծանկար կատարելիս ամենահարմար և հաճախ օգտագործվող սանդղակն է՝ 1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում գծագրություն) - հնարավորության դեպքում կպցրե՛ք դրան։ Այնուամենայնիվ, ժամանակ առ ժամանակ պատահում է, որ գծագիրը չի տեղավորվում նոթատետրի թերթիկի վրա, այնուհետև մենք նվազեցնում ենք սանդղակը. 1 միավոր = 1 բջիջ (նկար աջ կողմում): Հազվադեպ է, բայց պատահում է, որ գծագրի մասշտաբը պետք է էլ ավելի կրճատվի (կամ մեծացվի)

«Գնդացիր»-ի ՊԱՐՏԻՔ ՉԻ…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…:Համար կոորդինատային հարթությունդա Դեկարտի հուշարձան չէ, իսկ ուսանողը աղավնի չէ։ Մենք դնում ենք զրոԵվ երկու միավոր առանցքների երկայնքով. Երբեմն փոխարենմիավորներ, հարմար է «նշել» այլ արժեքներ, օրինակ, «երկու» աբսցիսայի առանցքի վրա և «երեք» օրդինատների առանցքի վրա, և այս համակարգը (0, 2 և 3) նույնպես եզակիորեն կսահմանի կոորդինատների ցանցը:

Ավելի լավ է գնահատել գծագրի գնահատված չափերը Նկարը կառուցելուց առաջ. Այսպիսով, օրինակ, եթե առաջադրանքը պահանջում է , , գագաթներով եռանկյունի նկարել, ապա լիովին պարզ է, որ 1 միավոր = 2 բջիջ հայտնի սանդղակը չի աշխատի։ Ինչո՞ւ։ Եկեք նայենք կետին. այստեղ դուք ստիպված կլինեք չափել տասնհինգ սանտիմետր ներքև, և, ակնհայտորեն, գծագիրը չի տեղավորվի (կամ հազիվ տեղավորվի) նոթատետրի թերթիկի վրա: Հետեւաբար, մենք անմիջապես ընտրում ենք ավելի փոքր սանդղակ `1 միավոր = 1 բջիջ:

Ի դեպ, սանտիմետրերի և նոթատետրի բջիջների մասին: Ճի՞շտ է, որ նոթատետրի 30 բջիջը պարունակում է 15 սանտիմետր: Զվարճանալու համար ձեր նոթատետրում քանոնով չափեք 15 սանտիմետր: ԽՍՀՄ-ում դա կարող էր ճիշտ լինել... Հետաքրքիր է նշել, որ եթե այս նույն սանտիմետրերը չափեք հորիզոնական և ուղղահայաց, արդյունքները (բջիջներում) տարբեր կլինեն: Խիստ ասած՝ ժամանակակից նոթատետրերը ոչ թե վանդակավոր են, այլ ուղղանկյուն։ Սա կարող է անհեթեթ թվալ, բայց նման իրավիճակներում, օրինակ, կողմնացույցով շրջան նկարելը շատ անհարմար է։ Անկեղծ ասած, նման պահերին սկսում ես մտածել ընկեր Ստալինի կոռեկտության մասին, ով ճամբարներ էր ուղարկվել արտադրության մեջ հաքերային աշխատանքի համար, էլ չասած հայրենական ավտոմոբիլային արդյունաբերության, ինքնաթիռների վայր ընկնելու կամ էլեկտրակայանների պայթեցման մասին:

Խոսելով որակի մասին, կամ գրենական պիտույքների վերաբերյալ հակիրճ առաջարկություն: Այսօր վաճառվող նոթատետրերի մեծ մասը, մեղմ ասած, լրիվ խայտառակություն է: Այն պատճառով, որ դրանք թրջվում են և ոչ միայն գելային գրիչներից, այլ նաև գնդիկավոր գրիչներից: Թղթի վրա փող են խնայում։ Գրանցման համար թեստերԵս խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել նոթատետրեր Արխանգելսկի Ցելյուլոզ և Թուղթ գործարանից (18 թերթ, ցանց) կամ «Պյատերոչկա», թեև դա ավելի թանկ է: Ցանկալի է ընտրել գելային գրիչ, նույնիսկ ամենաէժան չինական գել լիցքավորելը շատ ավելի լավ է, քան գնդիկավոր գրիչը, որը կամ կեղտոտում է կամ պատռում թուղթը: Միակ «մրցակցային» գնդիկավոր գրիչը, որը կարող եմ հիշել, Էրիխ Կրաուզեն է: Նա գրում է հստակ, գեղեցիկ և հետևողական՝ լինի լրիվ միջուկով, թե գրեթե դատարկ:

ԼրացուցիչՈւղղանկյուն կոորդինատային համակարգի տեսլականը վերլուծական երկրաչափության աչքերով ներկայացված է հոդվածում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը, մանրամասն տեղեկություններկոորդինատային քառորդների մասին կարելի է գտնել դասի երկրորդ պարբերությունում Գծային անհավասարություններ.

3D պատյան

Այստեղ գրեթե նույնն է:

1) Գծի՛ր կոորդինատային առանցքներ. Ստանդարտ: առանցք կիրառել – ուղղված դեպի վեր, առանցք – ուղղված դեպի աջ, առանցք – ուղղված դեպի ներքև դեպի ձախ խստորեն 45 աստիճանի անկյան տակ:

2) Նշեք կացինները.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով: Առանցքի երկայնքով սանդղակը երկու անգամ փոքր է մյուս առանցքների երկայնքով սանդղակից. Նաև նշեք, որ ճիշտ գծագրում ես օգտագործել եմ ոչ ստանդարտ «խազ» առանցքի երկայնքով (այս հնարավորությունն արդեն նշվել է վերևում). Իմ տեսանկյունից սա ավելի ճշգրիտ, արագ և գեղագիտական ​​հաճելի է. կարիք չկա մանրադիտակի տակ փնտրել բջջի կեսը և «քանդակել» կոորդինատների ծագմանը մոտ միավոր:

Եռաչափ գծանկար կատարելիս կրկին առաջնահերթություն տվեք մասշտաբին
1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում նկարված):

Ինչի՞ համար են այս բոլոր կանոնները: Կանոնները ստեղծված են խախտելու համար։ Դա այն է, ինչ ես հիմա կանեմ: Փաստն այն է, որ հոդվածի հետագա գծագրերը կկատարվեն իմ կողմից Excel-ում, և կոորդինատային առանցքները սխալ տեսք կունենան տեսանկյունից: ճիշտ դիզայն. Ես կարող էի ձեռքով նկարել բոլոր գրաֆիկները, բայց իրականում սարսափելի է դրանք նկարելը, քանի որ Excel-ը չի ցանկանում դրանք շատ ավելի ճշգրիտ գծել:

Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հատկությունները

Հավասարմամբ տրված է գծային ֆունկցիա. Գծային ֆունկցիաների գրաֆիկն է ուղիղ. Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ երկու կետ.

Օրինակ 1

Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտնենք երկու կետ. Որպես կետերից մեկը ձեռնտու է ընտրել զրոն։

Եթե, ապա

Վերցնենք մեկ այլ կետ, օրինակ՝ 1.

Եթե, ապա

Առաջադրանքները կատարելիս կետերի կոորդինատները սովորաբար ամփոփվում են աղյուսակում.

Եվ արժեքներն իրենք են հաշվարկվում բանավոր կամ սևագրի, հաշվիչի վրա:

Գտնվել է երկու կետ, եկեք նկարենք.

Գծանկար պատրաստելիս մենք միշտ ստորագրում ենք գրաֆիկայի վրա.

Օգտակար կլինի հիշել գծային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես դրել ստորագրությունները, Ստորագրությունները չպետք է թույլ տան գծանկարն ուսումնասիրելիս անհամապատասխանություններ. Այս դեպքում չափազանց անցանկալի էր ստորագրություն դնել գծերի հատման կետի կողքին կամ գծապատկերների միջև ներքևի աջ մասում։

1) () ձևի գծային ֆունկցիան կոչվում է ուղիղ համեմատականություն։ Օրինակ, . Ուղղակի համաչափության գրաֆիկը միշտ անցնում է սկզբնաղբյուրով: Այսպիսով, ուղիղ գիծ կառուցելը պարզեցված է, բավական է գտնել ընդամենը մեկ կետ:

2) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ: Ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցվում է անմիջապես՝ առանց կետեր գտնելու։ Այսինքն՝ մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «y-ը միշտ հավասար է –4-ի՝ x-ի ցանկացած արժեքի համար»:

3) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ: Անմիջապես գծագրվում է նաև ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «x-ը միշտ y-ի ցանկացած արժեքի համար հավասար է 1-ի»:

Ոմանք կհարցնեն՝ ինչո՞ւ հիշել 6-րդ դասարանը։ Դա այդպես է, միգուցե այդպես է, բայց պրակտիկայի տարիների ընթացքում ես հանդիպել եմ մի լավ տասնյակ ուսանողների, ովքեր շփոթված էին գծապատկեր ստեղծելու առաջադրանքով, ինչպես կամ:

Ուղիղ գիծ կառուցելը գծանկարներ կատարելիս ամենատարածված գործողությունն է:

Ուղիղ գիծը մանրամասն քննարկվում է վերլուծական երկրաչափության ընթացքում, և հետաքրքրվողները կարող են հղում կատարել հոդվածին. Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.

Քառակուսի, խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկ, բազմանդամի գրաֆիկ

Պարաբոլա. Ժամանակացույց քառակուսի ֆունկցիա () ներկայացնում է պարաբոլա: Դիտարկենք հայտնի դեպքը.

Հիշենք ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը. – հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը: Թե ինչու է դա այդպես, կարելի է գտնել ածանցյալի տեսական հոդվածում և ֆունկցիայի ծայրահեղությունների մասին դասում: Միևնույն ժամանակ, եկեք հաշվարկենք համապատասխան «Y» արժեքը.

Այսպիսով, գագաթը գտնվում է կետում

Այժմ մենք գտնում ենք այլ կետեր՝ միաժամանակ օգտագործելով պարաբոլայի համաչափությունը: Հարկ է նշել, որ ֆունկցիան – նույնիսկ չէ, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չեղարկեց պարաբոլայի համաչափությունը։

Ինչ կարգով գտնել մնացած միավորները, կարծում եմ վերջնական աղյուսակից պարզ կլինի.

Այս շինարարական ալգորիթմը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «մաքոքային» կամ «ետ ու առաջ» սկզբունք Անֆիսա Չեխովայի հետ:

Եկեք նկարենք.

Քննված գծապատկերներից մեկ այլ օգտակար հատկություն է մտքում գալիս.

Քառակուսային ֆունկցիայի համար () ճշմարիտ է հետևյալը.

Եթե ​​, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր.

Եթե ​​, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև.

Կորի մասին խորը գիտելիքներ կարելի է ստանալ Հիպերբոլա և պարաբոլա դասում։

Ֆունկցիայի միջոցով տրվում է խորանարդ պարաբոլա. Ահա դպրոցից ծանոթ նկար.

Թվարկենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Այն ներկայացնում է պարաբոլայի ճյուղերից մեկը։ Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս դեպքում առանցքն է ուղղահայաց ասիմպտոտ ժամը հիպերբոլայի գրաֆիկի համար:

Կոպիտ սխալ կլինի, եթե գծագիր կազմելիս անզգույշ թույլ տաք, որ գրաֆիկը հատվի ասիմպտոտի հետ:

Նաև միակողմանի սահմանները մեզ ասում են, որ հիպերբոլան վերևից չի սահմանափակվումԵվ չի սահմանափակվում ներքևից.

Դիտարկենք ֆունկցիան անվերջության մեջ. այսինքն, եթե մենք սկսենք առանցքի երկայնքով շարժվել դեպի ձախ (կամ աջ) դեպի անվերջություն, ապա «խաղերը» կլինեն կարգավորված քայլով։ անսահման մոտմոտենալ զրոյին, և, համապատասխանաբար, հիպերբոլայի ճյուղերին անսահման մոտմոտենալ առանցքին.

Այսպիսով, առանցքը հորիզոնական ասիմպտոտ ֆունկցիայի գրաֆիկի համար, եթե «x»-ը հակված է գումարած կամ մինուս անսահմանության:

Ֆունկցիան է տարօրինակ, և, հետևաբար, հիպերբոլան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Այս փաստը ակնհայտ է գծագրից, բացի այդ, այն հեշտությամբ ստուգվում է վերլուծական եղանակով. .

() ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացնում է հիպերբոլայի երկու ճյուղ.

Եթե ​​, ապա հիպերբոլան գտնվում է առաջին և երրորդ կոորդինատային քառորդներում(տես վերևի նկարը):

Եթե ​​, ապա հիպերբոլան գտնվում է երկրորդ և չորրորդ կոորդինատային քառորդներում.

Հիպերբոլայի բնակության նշված օրինաչափությունը հեշտ է վերլուծել գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների տեսանկյունից:

Օրինակ 3

Կառուցեք հիպերբոլայի աջ ճյուղը

Մենք օգտագործում ենք կետային կառուցման մեթոդը, և ձեռնտու է ընտրել արժեքները, որպեսզի դրանք բաժանվեն մի ամբողջի վրա.

Եկեք նկարենք.

Դժվար չի լինի կառուցել հիպերբոլայի ձախ ճյուղը, այստեղ կօգնի ֆունկցիայի տարօրինակությունը: Կոպիտ ասած՝ կետային կառուցման աղյուսակում յուրաքանչյուր թվին մտովի ավելացնում ենք մինուս, դնում ենք համապատասխան կետերը և գծում երկրորդ ճյուղը։

Դիտարկվող գծի մասին մանրամասն երկրաչափական տեղեկատվություն կարելի է գտնել Հիպերբոլա և պարաբոլա հոդվածում։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

IN այս պարբերությունըԵս անմիջապես կդիտարկեմ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, քանի որ բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում 95% դեպքերում ի հայտ է գալիս էքսպոնենցիալը։

Հիշեցնեմ, որ սա իռացիոնալ թիվ է․ Երեք միավոր, հավանաբար, բավական է.

Առայժմ թողնենք ֆունկցիայի գրաֆիկը, ավելի ուշ:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Ֆունկցիաների գրաֆիկները և այլն, սկզբունքորեն նույն տեսքն ունեն:

Պետք է ասեմ, որ երկրորդ դեպքը գործնականում ավելի քիչ է լինում, բայց լինում է, ուստի հարկ համարեցի այն ներառել այս հոդվածում։

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք բնական լոգարիթմով ֆունկցիա:
Եկեք կետ առ կետ նկարենք.

Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչ է լոգարիթմը, դիմեք ձեր դպրոցական դասագրքերին:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Դոմեն:

Արժեքների միջակայք.

Ֆունկցիան վերևից սահմանափակված չէ. թեև դանդաղ, բայց լոգարիթմի ճյուղը բարձրանում է մինչև անսահմանություն:
Եկեք քննենք աջ կողմում զրոյին մոտ ֆունկցիայի վարքագիծը. . Այսպիսով, առանցքը ուղղահայաց ասիմպտոտ քանի որ ֆունկցիայի գրաֆիկը, քանի որ «x»-ն աջից զրոյի է ձգտում:

Պարտադիր է իմանալ և հիշել լոգարիթմի բնորոշ արժեքը: .

Սկզբունքորեն, լոգարիթմի գծապատկերը հիմքի նկատմամբ նույն տեսքն ունի. Ավելին, որքան մեծ է հիմքը, այնքան ավելի հարթ կլինի գրաֆիկը։

Մենք գործը չենք քննարկի, ես չեմ հիշում, թե վերջին անգամ երբ եմ նման հիմքով գրաֆիկ կառուցել։ Իսկ լոգարիթմը կարծես թե շատ հազվադեպ հյուր է բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում։

Այս պարբերության վերջում ես կասեմ ևս մեկ փաստ. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա և լոգարիթմական ֆունկցիա- Երկուսը փոխադարձ են հակադարձ գործառույթներ . Եթե ​​ուշադիր նայեք լոգարիթմի գրաֆիկին, կարող եք տեսնել, որ սա նույն ցուցիչն է, պարզապես այն գտնվում է մի փոքր այլ կերպ:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ

Որտեղի՞ց է սկսվում եռանկյունաչափական տանջանքները դպրոցում: Ճիշտ. Սինուսից

Եկեք գծենք ֆունկցիան

Այս տողը կոչվում է սինուսոիդ.

Հիշեցնեմ, որ «pi»-ն իռացիոնալ թիվ է.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս ֆունկցիան է պարբերականժամանակաշրջանով: Ինչ է դա նշանակում? Եկեք նայենք հատվածին. Դրանից ձախ և աջ անվերջ կրկնվում է գրաֆիկի ճիշտ նույն հատվածը:

Դոմեն, այսինքն՝ «x»-ի ցանկացած արժեքի համար կա սինուսային արժեք։

Արժեքների միջակայք. Ֆունկցիան է սահմանափակ, այսինքն՝ բոլոր «խաղերը» խստորեն տեղավորվում են հատվածում։
Սա տեղի չի ունենում, կամ, ավելի ճիշտ, լինում է, բայց այս հավասարումները լուծում չունեն։

1. Կոտորակային գծային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը

y = P(x) / Q(x) ձևի ֆունկցիան, որտեղ P(x) և Q(x) բազմանդամներ են, կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա:

Դուք հավանաբար արդեն ծանոթ եք ռացիոնալ թվերի հասկացությանը: Նմանապես ռացիոնալ գործառույթներֆունկցիաներ են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես երկու բազմանդամների քանորդ:

Եթե ​​կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան երկու գծային ֆունկցիաների՝ առաջին աստիճանի բազմանդամների քանորդն է, այսինքն. ձևի գործառույթը

y = (ax + b) / (cx + d), ապա այն կոչվում է կոտորակային գծային:

Նկատի ունեցեք, որ y = (ax + b) / (cx + d) ֆունկցիայում c ≠ 0 (հակառակ դեպքում ֆունկցիան դառնում է գծային y = ax/d + b/d) և a/c ≠ b/d (հակառակ դեպքում՝ ֆունկցիան հաստատուն է): Գծային կոտորակային ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր իրական թվերի համար, բացառությամբ x = -d/c: Կոտորակի գծային ֆունկցիաների գրաֆիկները իրենց ձևով չեն տարբերվում ձեր իմացած y = 1/x գրաֆիկից: Կոչվում է կորը, որը y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլիա. X-ի բացարձակ արժեքի անսահմանափակ աճի դեպքում y = 1/x ֆունկցիան անսահմանափակ բացարձակ արժեքով նվազում է, և գրաֆիկի երկու ճյուղերն էլ մոտենում են աբսցիսային՝ աջը մոտենում է վերևից, իսկ ձախը՝ ներքևից: Այն գծերը, որոնց դեպի հիպերբոլային մոտեցման ճյուղերը կոչվում են իր ասիմպտոտներ.

Օրինակ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3):

Լուծում.

Ընտրենք ամբողջ մասը՝ (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3):

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով՝ 3 միավոր հատվածով շեղվել դեպի աջ՝ ձգվելով Oy առանցքի երկայնքով 7 անգամ և տեղաշարժվել 2-ով։ միավորի հատվածները դեպի վեր:

Ցանկացած y = (ax + b) / (cx + d) կոտորակը կարելի է գրել նույն կերպ՝ ընդգծելով «ամբողջական մասը»: Հետևաբար, բոլոր կոտորակային գծային ֆունկցիաների գրաֆիկները հիպերբոլաներ են, որոնք տարբեր ձևերով տեղաշարժվում են կոորդինատային առանցքների երկայնքով և ձգվում Oy առանցքի երկայնքով։

Ցանկացած կամայական կոտորակային-գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ կառուցելու համար ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ փոխակերպել այս ֆունկցիան սահմանող կոտորակը: Քանի որ մենք գիտենք, որ գրաֆիկը հիպերբոլա է, բավական կլինի գտնել այն ուղիղները, որոնց մոտենում են նրա ճյուղերը՝ x = -d/c և y = a/c հիպերբոլայի ասիմպտոտները:

Օրինակ 2.

Գտե՛ք y = (3x + 5)/(2x + 2) ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները։

Լուծում.

Ֆունկցիան սահմանված չէ, x = -1-ում: Սա նշանակում է, որ x = -1 ուղիղ գիծը ծառայում է որպես ուղղահայաց ասիմպտոտ: Հորիզոնական ասիմպտոտը գտնելու համար պարզենք, թե ինչ արժեքներ են մոտենում y(x) ֆունկցիայի արժեքներին, երբ x արգումենտը մեծանում է բացարձակ արժեքով:

Դա անելու համար կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք x-ի.

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x):

Որպես x → ∞ կոտորակը կձգտի 3/2-ի: Սա նշանակում է, որ հորիզոնական ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է y = 3/2:

Օրինակ 3.

Գծապատկերե՛ք y = (2x + 1)/(x + 1) ֆունկցիան:

Լուծում.

Ընտրենք կոտորակի «ամբողջ մասը».

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով՝ 1 միավորով տեղափոխում դեպի ձախ, սիմետրիկ ցուցադրում Ox-ի նկատմամբ և տեղաշարժ 2 միավոր հատված դեպի վեր Oy առանցքի երկայնքով:

D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞) տիրույթ:

Արժեքների միջակայք E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞):

Առանցքներով հատման կետեր. c Oy: (0; 1); գ Եզ՝ (-1/2; 0): Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր միջակայքում:

Պատասխան՝ Նկար 1.

2. Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիա

Դիտարկենք y = P(x) / Q(x) ձևի կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա, որտեղ P(x) և Q(x) առաջինից բարձր աստիճանի բազմանդամներ են:

Նման ռացիոնալ գործառույթների օրինակներ.

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) կամ y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3):

Եթե ​​y = P(x) / Q(x) ֆունկցիան ներկայացնում է առաջինից բարձր աստիճանի երկու բազմանդամների քանորդը, ապա դրա գրաֆիկը, որպես կանոն, ավելի բարդ կլինի, և երբեմն դժվար է այն ճշգրիտ կառուցել: , բոլոր մանրամասներով։ Այնուամենայնիվ, հաճախ բավական է օգտագործել այնպիսի տեխնիկա, ինչպիսին մենք արդեն ներկայացրել ենք վերևում:

Թող կոտորակը լինի պատշաճ կոտորակ (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t):

Ակնհայտ է, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ որպես տարրական կոտորակների գրաֆիկների գումար:

Կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաների գրաֆիկների գծում

Դիտարկենք կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի գծապատկերներ կառուցելու մի քանի եղանակ:

Օրինակ 4.

Գծե՛ք y = 1/x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք y = x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը y = 1/x 2-ի գրաֆիկ կառուցելու համար և օգտագործում ենք գրաֆիկները «բաժանելու» տեխնիկան։

Դոմեն D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞):

Արժեքների միջակայք E(y) = (0; +∞):

Առանցքների հետ հատման կետեր չկան։ Ֆունկցիան հավասար է. Բոլոր x-ի համար մեծանում է միջակայքից (-∞; 0), x-ի համար նվազում է 0-ից մինչև +∞:

Պատասխան՝ Նկար 2.

Օրինակ 5.

Գծապատկերե՛ք y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) ֆունկցիան:

Լուծում.

D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞) տիրույթ:

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Այստեղ մենք օգտագործեցինք ֆակտորիզացիայի, կրճատման և գծային ֆունկցիայի կրճատման տեխնիկան։

Պատասխան՝ Նկար 3.

Օրինակ 6.

Գծապատկերե՛ք y = (x 2 – 1)/(x2 + 1) ֆունկցիան:

Լուծում.

Սահմանման տիրույթը D(y) = R է: Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ: Նախքան գրաֆիկ կառուցելը, դարձյալ փոխակերպենք արտահայտությունը՝ ընդգծելով ամբողջ մասը.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1):

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի բանաձևում ամբողջական մասի մեկուսացումը հիմնականներից մեկն է գրաֆիկներ կառուցելիս։

Եթե ​​x → ±∞, ապա y → 1, այսինքն. ուղիղ գիծը y = 1 հորիզոնական ասիմպտոտ է:

Պատասխան՝ Նկար 4.

Օրինակ 7.

Դիտարկենք y = x/(x 2 + 1) ֆունկցիան և փորձենք ճշգրիտ գտնել դրա ամենամեծ արժեքը, այսինքն. գրաֆիկի աջ կեսի ամենաբարձր կետը: Այս գրաֆիկը ճշգրիտ կառուցելու համար այսօրվա գիտելիքները բավարար չեն: Ակնհայտ է, որ մեր կորը չի կարող շատ բարձր «բարձրանալ», քանի որ հայտարարը արագորեն սկսում է «գերազանցել» համարիչը: Տեսնենք, արդյոք ֆունկցիայի արժեքը կարող է հավասար լինել 1-ի: Դա անելու համար մենք պետք է լուծենք x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը չունի իրական արմատներ: Սա նշանակում է, որ մեր ենթադրությունը ճիշտ չէ։ Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը գտնելու համար պետք է պարզել, թե ամենամեծ A-ում A = x/(x 2 + 1) հավասարումը լուծում կունենա: Նախնական հավասարումը փոխարինենք քառակուսայինով. Аx 2 – x + А = 0: Այս հավասարումը լուծում ունի, երբ 1 – 4А 2 ≥ 0: Այստեղից մենք գտնում ենք. ամենաբարձր արժեքը A = 1/2:

Պատասխան. Նկար 5, առավելագույնը y(x) = ½:

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես գծապատկերել ֆունկցիաները:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Ազգային հետազոտական ​​համալսարան

Կիրառական երկրաբանության բաժին

Վերացական ին բարձրագույն մաթեմատիկա

Թեմայի շուրջ՝ «Հիմնական տարրական գործառույթներ.

դրանց հատկությունները և գրաֆիկները»

Ավարտված:

Ստուգվում:

ուսուցիչ

Սահմանում. Գործառույթ, տրված բանաձևով y=a x (որտեղ a>0, a≠1) կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա a հիմքով:

Եկեք ձևակերպենք հիմնական հատկությունները էքսպոնենցիալ ֆունկցիա:

1. Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է (R):

2. Շրջանակ - բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունը (R+):

3. a > 1-ի համար ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային տողի երկայնքով; 0-ին<а<1 функция убывает.

4. Ընդհանուր ձեւի ֆունկցիա է։

, xՕ [-3;3] ինտերվալի վրա, xՕ միջակայքի վրա [-3;3]

y(x)=x n ձևի ֆունկցիան, որտեղ n-ը ОR թիվն է, կոչվում է ուժային ֆունկցիա։ n թիվը կարող է ընդունել տարբեր արժեքներ՝ և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային, և՛ զույգ, և՛ կենտ: Կախված դրանից, ուժային ֆունկցիան կունենա այլ ձև: Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, որոնք ուժային ֆունկցիաներ են և արտացոլում են այս տեսակի կորի հիմնական հատկությունները հետևյալ հերթականությամբ. - խորանարդ պարաբոլա) և ֆունկցիա y=√x (x ½-ի հզորությանը) (ֆունկցիա կոտորակային ցուցիչով), ֆունկցիա բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով (հիպերբոլա):

Հզորության գործառույթ y=x²

1. D(x)=R – ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա;

2. E(y)= և մեծանում է միջակայքում

Հզորության գործառույթ y=x³

1. y=x³ ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է խորանարդ պարաբոլա։ Հզորության y=x³ ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

2. D(x)=R – ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա;

3. E(y)=(-∞;∞) – ֆունկցիան ընդունում է բոլոր արժեքները իր սահմանման տիրույթում;

4. Երբ x=0 y=0 – ֆունկցիան անցնում է O(0;0) կոորդինատների սկզբնակետով:

5. Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

6. Ֆունկցիան կենտ է (սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ):

, xՕ միջակայքի վրա [-3;3]

Կախված x³-ի դիմաց թվային գործակիցից՝ ֆունկցիան կարող է լինել կտրուկ/հարթ և աճող/նվազող:

Հզորության ֆունկցիա բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով.

Եթե ​​n աստիճանը կենտ է, ապա նման հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հիպերբոլա։ Ամբողջ թիվ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) ցանկացած n-ի համար;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), եթե n-ը կենտ թիվ է; E(y)=(0;∞), եթե n-ը զույգ թիվ է;

3. Ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում, եթե n-ը կենտ թիվ է; ֆունկցիան մեծանում է (-∞;0) միջակայքում և նվազում է (0;∞) միջակայքում, եթե n-ը զույգ թիվ է:

4. Ֆունկցիան կենտ է (սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ), եթե n-ը կենտ թիվ է; ֆունկցիան զույգ է, եթե n-ը զույգ թիվ է:

5. Ֆունկցիան անցնում է (1;1) և (-1;-1) կետերով, եթե n-ը կենտ թիվ է, և (1;1) և (-1;1) կետերով, եթե n-ը զույգ թիվ է:

, xՕ միջակայքի վրա [-3;3]

Հզորության ֆունկցիա կոտորակային ցուցիչով

Հզորության ֆունկցիան կոտորակային ցուցիչով (նկար) ունի նկարում ներկայացված ֆունկցիայի գրաֆիկը: Կոտորակի ցուցիչով հզորության ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1. D(x) ОR, եթե n-ը կենտ թիվ է, իսկ D(x)= , xՕ ինտերվալի վրա, xՕ միջակայքի վրա [-3;3]

y = log a x լոգարիթմական ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1. D(x)О (0; + ∞) սահմանման տիրույթը:

2. Արժեքների միջակայք E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ (ընդհանուր ձևի):

4. Ֆունկցիան աճում է (0; + ∞) միջակայքում a > 1-ի համար, նվազում է (0; + ∞) 0-ի համար:< а < 1.

y = log a x ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ y = a x ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ օգտագործելով y = x ուղիղ գծի նկատմամբ համաչափության փոխակերպումը: Նկար 9-ը ցույց է տալիս լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը a > 1-ի համար, և Նկար 10-ը 0-ի համար:< a < 1.

; xՕ միջակայքի վրա; xՕ միջակայքի վրա

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ֆունկցիաները կոչվում են. եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x ֆունկցիաները կենտ են, իսկ y = cos x ֆունկցիան զույգ է:

y ֆունկցիան = sin(x):

1. Սահմանման տիրույթ D(x) ОR.

2. Արժեքների միջակայք E(y) О [ - 1; 1].

3. Ֆունկցիան պարբերական է. հիմնական ժամանակաշրջանը 2պ է։

4. Ֆունկցիան կենտ է:

5. Ֆունկցիան մեծանում է [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] և նվազում է [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Օ Զ.

y = sin (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 11-ում: