Աշխարհագրական կոորդինատները. Երկրի ձևն ու չափը. կոորդինատային համակարգեր. Բարձրություններ

Բևեռային կոորդինատային համակարգ որոշվում է որոշակի կետ նշելով Օ, կոչվում է բևեռ, որը բխում է ճառագայթի այս կետից Օ.Ա.(նշվում է նաև որպես Եզ), կոչվում է բևեռային առանցք և երկարությունների փոփոխման սանդղակ։ Բացի այդ, բևեռային կոորդինատային համակարգը նշելիս պետք է որոշվի, թե որ կետի շուրջ է պտտվում Օհամարվում են դրական (գծագրերում ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտույտները սովորաբար համարվում են դրական):

Այսպիսով, եկեք ընտրենք որոշակի կետ հարթության վրա (վերևում գտնվող նկարը) Օ(բևեռ) և դրանից բխող որոշ ճառագայթ Եզ. Բացի այդ, մենք նշում ենք սանդղակի միավորը: Կետի բևեռային կոորդինատները Մկոչվում են երկու թվեր ρ և φ, որոնցից առաջինը (բևեռային շառավիղը ρ) հավասար է կետի հեռավորությանը. Մբևեռից Օ, իսկ երկրորդը (բևեռային անկյուն φ, որը նաև կոչվում է ամպլիտուդ) այն անկյունն է, որով ճառագայթը պետք է պտտվի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ Եզնախքան ճառագայթի հետ հավասարեցնելը Օ.Մ.

Վերջակետ Մբևեռային կոորդինատներով ρ և φ նշանակվում են խորհրդանիշով Մ(ρ, φ) .

Բևեռային կոորդինատների և դեկարտյան կոորդինատների կապը

Եկեք տեղադրենք կապը կետի բևեռային կոորդինատների և նրա դեկարտյան կոորդինատների միջև . Կենթադրենք, որ դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ծագումը բևեռում է, իսկ աբսցիսայի դրական կիսաառանցքը համընկնում է բևեռային առանցքի հետ։ Թող կետը Մունի դեկարտյան կոորդինատներ xԵվ yև բևեռային կոորդինատները ρ և φ. Հետո

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Կետի ρ և φ բևեռային կոորդինատները Մորոշվում են նրա դեկարտյան կոորդինատներով հետևյալ կերպ.

Ֆ անկյան արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել նշանները xԵվ y, որոշեք այն քառորդը, որում գտնվում է կետը Մ, և, բացի այդ, օգտվել այն հանգամանքից, որ φ անկյան շոշափողը հավասար է .

Վերոնշյալ բանաձևերը կոչվում են դեկարտյանից բևեռային կոորդինատների անցման բանաձևեր։

Բևեռային կոորդինատային համակարգի կետերի հետ կապված խնդիրներ

Օրինակ 1.

Ա(3; π /4) ;

Բ(2; -π /2) ;

Գ(3; -π /3) .

Գտեք բևեռային առանցքի շուրջ այս կետերին համաչափ կետերի բևեռային կոորդինատները:

Լուծում. Համաչափությամբ ճառագայթի երկարությունը չի փոխվում: Հետևաբար, բևեռային առանցքի նկատմամբ սիմետրիկ կետի համար առաջին կոորդինատը՝ ճառագայթի երկարությունը, կլինի նույնը, ինչ տվյալ կետի համար։ Ինչպես երևում է դասի սկզբի նկարից, բևեռային առանցքի նկատմամբ սիմետրիկ կետ կառուցելիս այս կետը պետք է պտտվի բևեռային առանցքի շուրջը նույն φ անկյան տակ։ Հետևաբար, բևեռային կոորդինատային համակարգում սիմետրիկ կետի երկրորդ կոորդինատը կլինի սկզբնական կետի անկյունը՝ վերցված հակառակ նշանով, այսինքն՝ -φ։ Այսպիսով, բևեռային առանցքի նկատմամբ տրվածին համաչափ կետի բևեռային կոորդինատները կտարբերվեն միայն երկրորդ կոորդինատում, և այս կոորդինատը կունենա հակառակ նշանը։ Պահանջվող սիմետրիկ կետերի բևեռային կոորդինատները կլինեն հետևյալը.

Ա»(3; -π /4) ;

Բ»(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

Օրինակ 2.Բևեռային կոորդինատային համակարգում կետերը տրվում են հարթության վրա

Ա(1; π /4) ;

Բ(5; π /2) ;

Գ(2; -π /3) .

Գտե՛ք բևեռի նկատմամբ այս կետերին սիմետրիկ կետերի բևեռային կոորդինատները:

Լուծում. Համաչափությամբ ճառագայթի երկարությունը չի փոխվում: Հետևաբար, բևեռի նկատմամբ սիմետրիկ կետի համար առաջին կոորդինատը՝ ճառագայթի երկարությունը, կլինի նույնը, ինչ տվյալ կետի համար։ Բևեռի նկատմամբ սիմետրիկ կետ ստացվում է ելակետը 180 աստիճանով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելով, այսինքն՝ անկյան տակ։ π . Հետևաբար, բևեռի նկատմամբ տրվածին սիմետրիկ կետի երկրորդ կոորդինատը հաշվարկվում է որպես. φ + π (եթե արդյունքը հայտարարից մեծ է, ապա ստացված թվից հանեք մեկ լրիվ պտույտ, այսինքն՝ 2. π ) Մենք ստանում ենք բևեռի նկատմամբ տվյալներին համաչափ կետերի հետևյալ կոորդինատները.

Ա»(1; 3π /4) ;

Բ»(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

Օրինակ 3.Բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռը համընկնում է դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների սկզբնավորման հետ, իսկ բևեռային առանցքը համընկնում է աբսցիսայի դրական կիսաառանցքի հետ։ Միավորները տրված են բևեռային կոորդինատային համակարգում

Ա(6; π /2) ;

Բ(5; 0) ;

Գ(2; π /4) .

Գտե՛ք այս կետերի դեկարտյան կոորդինատները:

Լուծում. Բևեռային կոորդինատներից դեկարտին անցնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևեր.

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Մենք ստանում ենք այս կետերի հետևյալ դեկարտյան կոորդինատները.

Ա(0; 6) ;

Բ(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

Օրինակ 4.Բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռը համընկնում է դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների սկզբնավորման հետ, իսկ բևեռային առանցքը համընկնում է աբսցիսայի դրական կիսաառանցքի հետ։ Միավորները տրված են դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում

Ա(0; 5) ;

Բ(-3; 0) ;

Գ(√3; 1) .

Գտե՛ք այս կետերի բևեռային կոորդինատները:

Տեղագրության մեջ օգտագործվող կոորդինատային համակարգեր՝ աշխարհագրական, հարթ ուղղանկյուն, բևեռային և երկբևեռ կոորդինատներ, դրանց էությունը և օգտագործումը

Կոորդինատներկոչվում են անկյունային և գծային մեծություններ (թվեր), որոնք որոշում են կետի դիրքը ցանկացած մակերեսի կամ տարածության վրա։

Տեղագրության մեջ օգտագործվում են կոորդինատային համակարգեր, որոնք հնարավորություն են տալիս առավել պարզ և միանշանակ որոշել Երկրի մակերևույթի կետերի դիրքը ինչպես գետնի վրա ուղղակի չափումների արդյունքներից, այնպես էլ քարտեզների միջոցով: Նման համակարգերը ներառում են աշխարհագրական, հարթ ուղղանկյուն, բևեռային և երկբևեռ կոորդինատները:

Աշխարհագրական կոորդինատները(նկ.1) - անկյունային արժեքներլայնություն (Y) և երկայնություն (L), որոնք որոշում են օբյեկտի դիրքը երկրի մակերևույթի վրա՝ կապված կոորդինատների սկզբնակետի հետ՝ պարզ (Գրինվիչի) միջօրեականի հատման կետը հասարակածի հետ։ Քարտեզի վրա աշխարհագրական ցանցը նշվում է քարտեզի շրջանակի բոլոր կողմերի մասշտաբով: Շրջանակի արևմտյան և արևելյան կողմերը միջօրեական են, իսկ հյուսիսային և հարավային կողմերը՝ զուգահեռներ։ Քարտեզի թերթիկի անկյուններում գրված են շրջանակի կողմերի հատման կետերի աշխարհագրական կոորդինատները։

Բրինձ. 1. Երկրի մակերեւույթի աշխարհագրական կոորդինատների համակարգ

Աշխարհագրական կոորդինատների համակարգում Երկրի մակերևույթի ցանկացած կետի դիրքը կոորդինատների սկզբնաղբյուրի նկատմամբ որոշվում է անկյունային չափերով։ Մեր երկրում և շատ այլ երկրներում որպես սկիզբ ընդունվում է պարզ (Գրինվիչի) միջօրեականի հատման կետը հասարակածի հետ։ Այսպիսով, մեր ամբողջ մոլորակի համար միատեսակ լինելով, աշխարհագրական կոորդինատների համակարգը հարմար է խնդիրները լուծելու համար՝ որոշելով. փոխադարձ դիրքորոշումառարկաներ, որոնք գտնվում են միմյանցից զգալի հեռավորության վրա.

Հետևաբար, ռազմական գործերում այս համակարգը օգտագործվում է հիմնականում մարտական ​​զենքի օգտագործման հետ կապված հաշվարկներ կատարելու համար։ երկար միջակայքօրինակ՝ բալիստիկ հրթիռներ, ավիացիան և այլն։

Հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներ(Նկար 2) - գծային մեծություններ, որոնք որոշում են օբյեկտի դիրքը հարթության վրա՝ համեմատած կոորդինատների ընդունված սկզբնակետի հետ՝ երկու փոխադարձ ուղղահայաց գծերի հատում ( կոորդինատային առանցքներ X և Y):

Տեղագրության մեջ յուրաքանչյուր 6 աստիճանի գոտի ունի ուղղանկյուն կոորդինատների իր համակարգը։ X առանցքը գոտու առանցքային միջօրեականն է, Y առանցքը հասարակածն է, իսկ առանցքային միջօրեականի հատման կետը հասարակածի հետ կոորդինատների սկզբնաղբյուրն է։

Բրինձ. 2. Քարտեզների վրա հարթ ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգ

Հարթ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը զոնալ է. այն սահմանվում է յուրաքանչյուր վեց աստիճանի գոտու համար, որին բաժանվում է Երկրի մակերևույթը, երբ այն պատկերում են Գաուսյան պրոյեկցիայի քարտեզների վրա, և նախատեսված է ցույց տալու երկրի մակերևույթի կետերի պատկերների դիրքը հարթության վրա (քարտեզ) այս պրոյեկցիայում: .

Գոտում կոորդինատների սկզբնաղբյուրը առանցքային միջօրեականի հասարակածի հետ հատման կետն է, որի նկատմամբ գոտու մյուս բոլոր կետերի դիրքը որոշվում է գծային չափով։ Գոտու ծագումը և դրա կոորդինատային առանցքները երկրագնդի մակերեսի վրա զբաղեցնում են խիստ սահմանված դիրք։ Ուստի յուրաքանչյուր գոտու հարթ ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգը կապված է ինչպես մյուս բոլոր գոտիների կոորդինատների, այնպես էլ աշխարհագրական կոորդինատների համակարգի հետ։

Գծային մեծությունների օգտագործումը կետերի դիրքը որոշելու համար հարթ ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգը շատ հարմար է դարձնում հաշվարկներ կատարելու համար ինչպես գետնի վրա, այնպես էլ քարտեզի վրա աշխատելիս: Ուստի այս համակարգը առավել լայնորեն կիրառվում է զորքերի շրջանում։ Ուղղանկյուն կոորդինատները ցույց են տալիս տեղանքի կետերի դիրքը, դրանց մարտական ​​կազմավորումները և թիրախները և դրանց օգնությամբ որոշում են օբյեկտների հարաբերական դիրքը մեկ կոորդինատային գոտում կամ երկու գոտիների հարակից տարածքներում:

Բևեռային և երկբևեռ կոորդինատային համակարգերլոկալ համակարգեր են։ Ռազմական պրակտիկայում դրանք օգտագործվում են տեղանքի համեմատաբար փոքր տարածքներում որոշ կետերի դիրքը որոշելու համար, օրինակ՝ թիրախներ նշանակելիս, ուղենիշներ և թիրախներ նշելիս, տեղանքի դիագրամներ կազմելիս և այլն: Այս համակարգերը կարող են կապված լինել ուղղանկյուն և աշխարհագրական կոորդինատների համակարգեր։

Եթե ​​մենք ներդնենք կոորդինատային համակարգ հարթության վրա կամ եռաչափ տարածության մեջ, մենք կկարողանանք նկարագրել. երկրաչափական պատկերներև դրանց հատկությունները՝ օգտագործելով հավասարումներ և անհավասարումներ, այսինքն՝ մենք կկարողանանք օգտագործել հանրահաշվի մեթոդները։ Ուստի կոորդինատային համակարգի հայեցակարգը շատ կարևոր է:

Այս հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգը սահմանվում հարթության վրա և եռաչափ տարածության մեջ և կպարզենք, թե ինչպես են որոշվում կետերի կոորդինատները: Պարզության համար մենք տրամադրում ենք գրաֆիկական նկարազարդումներ:

Էջի նավարկություն.

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ հարթության վրա:

Ներկայացնենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա:

Դա անելու համար հարթության վրա գծեք երկու փոխադարձ ուղղահայաց գիծ և ընտրեք դրանցից յուրաքանչյուրի վրա դրական ուղղություն, նշելով այն սլաքով և ընտրեք դրանցից յուրաքանչյուրի վրա սանդղակ(երկարության միավոր): Այս ուղիղների հատման կետը նշանակենք O տառով և դիտարկենք այն Ելակետ. Այսպիսով, մենք ստացանք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգմակերեսի վրա.

Ընտրված սկզբնակետով O, ուղղություն և մասշտաբ ունեցող ուղիղ գծերից յուրաքանչյուրը կոչվում է կոորդինատային գիծկամ կոորդինատային առանցք.

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը սովորաբար նշվում է Oxy-ով, որտեղ Ox-ը և Oy-ը նրա կոորդինատային առանցքներն են: Ox առանցքը կոչվում է x առանցքև Oy առանցքը – y առանցք.

Հիմա եկեք պայմանավորվենք հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի պատկերի շուրջ։

Սովորաբար, Ox և Oy առանցքների երկարության չափման միավորը ընտրվում է նույնը և գծագրվում է սկզբից յուրաքանչյուր կոորդինատային առանցքի վրա դրական ուղղությամբ (նշվում է կոորդինատային առանցքների վրա գծիկով, իսկ միավորը գրված է կողքին. այն), աբսցիսայի առանցքն ուղղված է դեպի աջ, իսկ օրդինատների առանցքը՝ դեպի վեր։ Կոորդինատների առանցքների ուղղության բոլոր այլ տարբերակները կրճատվում են դեպի հնչեցվածը (Ox առանցք - դեպի աջ, Oy առանցք - վեր) կոորդինատների համակարգը պտտելով սկզբնաղբյուրի նկատմամբ որոշակի անկյան տակ և նայելով այն մյուս կողմից: ինքնաթիռի (անհրաժեշտության դեպքում):

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հաճախ անվանում են դեկարտյան, քանի որ այն առաջին անգամ մտցվել է ինքնաթիռում Ռենե Դեկարտի կողմից։ Նույնիսկ ավելի հաճախ, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ՝ բոլորը միասին դնելով:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ եռաչափ տարածության մեջ:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը Oxyz-ը նույն կերպ է դրված եռաչափ Էվկլիդյան տարածության մեջ, միայն վերցված են ոչ թե երկու, այլ երեք փոխադարձ ուղղահայաց գծեր։ Այլ կերպ ասած, Ox և Oy կոորդինատային առանցքներին ավելացվում է Oz կոորդինատային առանցք, որը կոչվում է. առանցք կիրառել.

Կախված կոորդինատային առանցքների ուղղությունից՝ եռաչափ տարածության մեջ առանձնանում են աջ և ձախ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր։

Եթե ​​դիտարկվում է Oz առանցքի դրական ուղղությունից և Ox առանցքի դրական ուղղությունից դեպի Oy առանցքի դրական ուղղությամբ ամենակարճ պտույտը տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ապա կոորդինատային համակարգը կոչվում է. ճիշտ.

Եթե ​​դիտարկվում է Oz առանցքի դրական ուղղությունից և Ox առանցքի դրական ուղղությունից դեպի Oy առանցքի դրական ուղղությամբ ամենակարճ պտույտը տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա կոորդինատային համակարգը կոչվում է. ձախ.

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի կետի կոորդինատները հարթության վրա:

Նախ դիտարկեք Ox կոորդինատային ուղիղը և դրա վրա վերցրեք M կետ:

Յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է այս կոորդինատային ուղղի մեկ M կետին: Օրինակ, մի կետ, որը գտնվում է կոորդինատային գծի վրա, սկզբնակետից դրական ուղղությամբ հեռավորության վրա, համապատասխանում է թվին, իսկ -3 թիվը համապատասխանում է բացասական ուղղությամբ սկզբնակետից 3 հեռավորության վրա գտնվող կետին: 0 թիվը համապատասխանում է մեկնարկային կետին:

Մյուս կողմից, Ox կոորդինատային ուղղի յուրաքանչյուր կետ M համապատասխանում է իրական թվի: Այս իրական թիվը զրո է, եթե M կետը համընկնում է սկզբնակետին (կետ O): Այս իրական թիվը դրական է և հավասար է OM հատվածի երկարությանը տվյալ սանդղակի վրա, եթե M կետը հանվում է սկզբնակետից դրական ուղղությամբ: Այս իրական թիվը բացասական է և հավասար է մինուս նշանով OM հատվածի երկարությանը, եթե M կետը սկզբից հանվում է բացասական ուղղությամբ։

Համարը կոչվում է համակարգելՄ կետերը կոորդինատային գծի վրա:

Այժմ դիտարկենք մի հարթություն՝ ներկայացված ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգով: Այս հարթության վրա նշենք կամայական M կետ:

Թող լինի M կետի պրոյեկցիան Ox ուղիղի վրա, իսկ M կետի պրոյեկցիան Oy կոորդինատային ուղղի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): Այսինքն, եթե M կետի միջով գծենք Ox և Oy կոորդինատային առանցքներին ուղղահայաց, ապա այս ուղիղների հատման կետերը Ox և Oy ուղիղների հետ համապատասխանաբար կետեր են և.

Թող թիվը համապատասխանի Ox կոորդինատային առանցքի մի կետի, իսկ թիվը՝ Oy առանցքի մի կետի:

Տրված ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում հարթության յուրաքանչյուր կետ M համապատասխանում է իրական թվերի եզակի դասավորված զույգին, որը կոչվում է. Մ կետի կոորդինատներըմակերեսի վրա. Կոորդինատը կոչվում է Մ կետի աբսցիսա, Ա - Մ կետի օրդինական.

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. իրական թվերի յուրաքանչյուր դասավորված զույգ համապատասխանում է տվյալ կոորդինատային համակարգում հարթության վրա գտնվող M կետին:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կետի կոորդինատները եռաչափ տարածության մեջ:

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են որոշվում M կետի կոորդինատները եռաչափ տարածության մեջ սահմանված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում։

Եկեք և լինեն M կետի կանխատեսումները համապատասխանաբար Ox, Oy և Oz կոորդինատային առանցքների վրա: Թող այս կետերը Ox, Oy և Oz կոորդինատային առանցքների վրա համապատասխանեն իրական թվերին և.

M կետի պրոյեկցիաները կոորդինատային առանցքների վրա կարելի է ստանալ նաև Ox, Oy և Oz ուղիղներին ուղղահայաց հարթություններ կառուցելով և անցնելով M կետով: Այս հարթությունները կհատեն Ox, Oy և Oz կոորդինատային գծերը համապատասխանաբար կետերում և համապատասխանաբար:

Տրված դեկարտյան կոորդինատային համակարգում եռաչափ տարածության յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է իրական թվերի դասավորված եռակի, որը կոչվում է. Մ կետի կոորդինատները, թվերը կոչվում են abscissa, օրդԵվ դիմելհամապատասխանաբար M կետերը: Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. իրական թվերի յուրաքանչյուր դասավորված եռակի տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում համապատասխանում է եռաչափ տարածության M կետին:

Մատենագիտություն.

• Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Պոզնյակ Է.Գ., Յուդինա Ի.Ի. Երկրաչափություն. 7-9-րդ դասարաններ. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար.
• Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Կիսելևա Լ.Ս., Պոզնյակ Է.Գ.. Երկրաչափություն. Դասագիրք միջնակարգ դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար.
• Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրահաշիվ. 7-րդ դասարան. Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար.

Տարածության մեջ կետի դիրքի որոշում

Այսպիսով, կետի դիրքը տարածության մեջ կարելի է որոշել միայն որոշ այլ կետերի նկատմամբ: Այն հարաբերական կետը, որի նկատմամբ դիտարկվում է այլ կետերի դիրքը, կոչվում է հղման կետ . Մենք կօգտագործենք նաև մեկ այլ անուն հղման կետի համար. դիտակետ . Սովորաբար հղման կետը (կամ դիտակետը) կապված է որոշների հետ կոորդինատային համակարգ , որը կոչվում է տեղեկատու համակարգ. Ընտրված հղման համակարգում յուրաքանչյուր կետի դիրքը որոշվում է ԵՐԵՔ կոորդինատներով:

Աջակողմյան դեկարտյան (կամ ուղղանկյուն) կոորդինատային համակարգ

Այս կոորդինատային համակարգը բաղկացած է երեք փոխադարձ ուղղահայաց ուղղահայաց գծերից, որոնք նաև կոչվում են կոորդինատային առանցքներ , հատվում է մեկ կետում (ծագում)։ Ծագման կետը սովորաբար նշվում է O տառով:

Կոորդինատային առանցքները կոչվում են.

1. Abscissa առանցք – նշանակված է որպես OX;

2. Y առանցք – նշվում է որպես OY;

3. Կիրառական առանցք – նշանակված է որպես OZ

Հիմա եկեք բացատրենք, թե ինչու է այս կոորդինատային համակարգը կոչվում աջակողմյան: Դիտարկենք XOY հարթությունը OZ առանցքի դրական ուղղությամբ, օրինակ Ա կետից, ինչպես ցույց է տրված նկարում։

Ենթադրենք, որ մենք սկսում ենք պտտել OX առանցքը O կետի շուրջ: Այսպիսով, ճիշտ կոորդինատային համակարգն ունի այնպիսի հատկություն, որ եթե նայեք XOY հարթությանը դրական կիսաառանցքի OZ-ի ցանկացած կետից (մեզ համար սա A կետն է) , ապա OX առանցքը 90-ով հակառակ ուղղությամբ պտտելիս նրա դրական ուղղությունը կհամընկնի OY առանցքի դրական ուղղության հետ։

Այս որոշումը կայացվել է ք գիտական ​​աշխարհ, ուղղակի պետք է ընդունել այն այնպես, ինչպես որ կա։

Այսպիսով, այն բանից հետո, երբ մենք որոշեցինք հղման համակարգը (մեր դեպքում, աջակողմյան դեկարտյան կոորդինատային համակարգը), ցանկացած կետի դիրքը նկարագրվում է նրա կոորդինատների արժեքների կամ, այլ կերպ ասած, արժեքների միջոցով: կոորդինատային առանցքների վրա այս կետի կանխատեսումները:

Գրված է այսպես՝ A(x, y, z), որտեղ x, y, z A կետի կոորդինատներն են։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կարելի է համարել երեք միմյանց ուղղահայաց հարթությունների հատման գծեր։

Հարկ է նշել, որ դուք կարող եք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը տարածության մեջ ուղղորդել ցանկացած ձևով, և պետք է կատարվի միայն մեկ պայման՝ կոորդինատների ծագումը պետք է համընկնի հղման կենտրոնի (կամ դիտակետի) հետ:

Գնդային կոորդինատային համակարգ

Տարածության մեջ կետի դիրքը կարելի է նկարագրել այլ կերպ. Ենթադրենք, որ մենք ընտրել ենք տարածության մի շրջան, որտեղ գտնվում է O հղման կետը (կամ դիտակետը), ինչպես նաև գիտենք հղման կետից մինչև որոշակի A կետ հեռավորությունը։ Եկեք այս երկու կետերը միացնենք OA ուղիղ գծով։ . Այս տողը կոչվում է շառավղով վեկտոր և նշվում է որպես r. Բոլոր կետերը, որոնք ունեն նույն շառավիղի վեկտորային արժեքը, գտնվում են մի գնդի վրա, որի կենտրոնը գտնվում է հղման կետում (կամ դիտակետում), և այս ոլորտի շառավիղը համապատասխանաբար հավասար է շառավղի վեկտորին։

Այսպիսով, մեզ համար ակնհայտ է դառնում, որ շառավղի վեկտորի արժեքը իմանալը մեզ համար միանշանակ պատասխան չի տալիս մեզ հետաքրքրող կետի դիրքի մասին։ Ձեզ անհրաժեշտ է ևս ԵՐԿՈՒ կոորդինատ, քանի որ կետի գտնվելու վայրը միանշանակ որոշելու համար կոորդինատների թիվը պետք է լինի ԵՐԵՔ:

Այնուհետև մենք կշարունակենք հետևյալ կերպ. մենք կկառուցենք երկու փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ, որոնք, բնականաբար, կտան հատման գիծ, ​​և այս ուղիղը կլինի անվերջ, քանի որ ինքնաթիռներն իրենք ոչնչով սահմանափակված չեն: Եկեք այս ուղղի վրա մի կետ դնենք և այն նշանակենք, օրինակ, որպես O1 կետ: Հիմա եկեք միավորենք այս O1 կետը ոլորտի կենտրոնի հետ՝ O կետի հետ և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում:

Եվ շատ հետաքրքիր պատկեր է ստացվում.

· Ե՛վ մեկը, և՛ մյուս ինքնաթիռները կլինեն կենտրոնական ինքնաթիռներ.

· Այս հարթությունների հատումը ոլորտի մակերեսի հետ նշանակվում է մեծ շրջանակներ

· Այս շրջանակներից մեկը՝ կամայականորեն, կկանչենք Հասարակած, ապա կկանչվի մյուս շրջանագիծը ԳԼԽԱՎՈՐ ՄԵՐԻԴԻԱՆ.

· Երկու հարթությունների հատման գիծը եզակիորեն կորոշի ուղղությունը ԳԼԽԱՎՈՐ ՄԵՐԻԴԻԱՆԻ ԳԾԵՐԸ.

Գնդի մակերևույթի հետ հիմնական միջօրեականի գծի հատման կետերը նշանակում ենք M1 և M2:

Ոլորտի կենտրոնով՝ հիմնական միջօրեականի հարթության O կետով, մենք ուղիղ գիծ ենք քաշում հիմնական միջօրեականի գծին ուղղահայաց։ Այս ուղիղ գիծը կոչվում է ԲԵՎԵՂ ԱՌԱՆՑՔ .

Բևեռային առանցքը կհատի ոլորտի մակերեսը երկու կոչվող կետերում ՈԼՈՐՏԻ ԲԵՎԵՆԵՐ.Եկեք այս կետերը նշանակենք որպես P1 և P2:

Տիեզերքում կետի կոորդինատների որոշում

Այժմ մենք կքննարկենք տարածության մեջ կետի կոորդինատների որոշման գործընթացը, ինչպես նաև անուններ կտանք այդ կոորդինատներին: Պատկերն ամբողջացնելու համար կետի դիրքը որոշելիս նշում ենք այն հիմնական ուղղությունները, որոնցից հաշվում են կոորդինատները, ինչպես նաև հաշվելիս դրական ուղղությունը։

1. Սահմանեք հղման կետի (կամ դիտակետի) դիրքը տարածության մեջ: Այս կետը նշենք Ո տառով։

2. Կառուցեք մի գնդիկ, որի շառավիղը հավասար է A կետի շառավիղի վեկտորի երկարությանը (A կետի շառավիղի վեկտորը O և A կետերի հեռավորությունն է): Գնդի կենտրոնը գտնվում է O հենակետային կետում։

3. Հասարակած հարթության, համապատասխանաբար՝ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԵՐԻԴԻԱՆԻ հարթության դիրքը սահմանում ենք: Հարկ է հիշեցնել, որ այս հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են և կենտրոնական են։

4. Այս հարթությունների հատումը ոլորտի մակերեսի հետ մեզ համար որոշում է հասարակածի շրջանագծի դիրքը, հիմնական միջօրեականի շրջանագիծը, ինչպես նաև հիմնական միջօրեականի և բևեռային առանցքի գծի ուղղությունը։

5. Որոշի՛ր բևեռային առանցքի բևեռների և հիմնական միջօրեական գծի բևեռների դիրքը: (Բևեռային առանցքի բևեռները բևեռային առանցքի հատման կետերն են ոլորտի մակերեսի հետ: Հիմնական միջօրեականի գծի բևեռները հիմնական միջօրեականի գծի հատման կետերն են ոլորտի մակերեսի հետ )

6. A կետի և բևեռային առանցքի միջով մենք կառուցում ենք հարթություն, որը կկոչենք A կետի միջօրեականի հարթություն։ Երբ այս հարթությունը հատվում է ոլորտի մակերևույթի հետ, կստացվի մեծ շրջան, որը կանվանենք՝ Ա կետի ՄԵՐԻԴԻԱՆ.

7. A կետի միջօրեականը ինչ-որ կետում հատելու է Հասարակածի շրջանագիծը, որը մենք կնշանակենք որպես E1:

8. E1 կետի դիրքը հասարակած շրջանագծի վրա որոշվում է M1 և E1 կետերի միջև պարփակված աղեղի երկարությամբ: Հետհաշվարկը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ է: M1 և E1 կետերի միջև պարփակված հասարակածային շրջանագծի աղեղը կոչվում է A կետի ԵՐԿԱՅՈՒԹՅՈՒՆ։ Երկայնությունը նշվում է տառով։  .

Ամփոփենք միջանկյալ արդյունքները։ Այս պահին մենք գիտենք ԵՐԵՔ կոորդինատներից երկուսը, որոնք նկարագրում են A կետի դիրքը տարածության մեջ. սա շառավիղի վեկտորն է (r) և երկայնությունը (): Այժմ մենք կորոշենք երրորդ կոորդինատը: Այս կոորդինատը որոշվում է իր միջօրեականի վրա A կետի դիրքով: Բայց այն ելակետի դիրքը, որտեղից կատարվում է հաշվումը, հստակ սահմանված չէ. մենք կարող ենք հաշվել սկսել ինչպես ոլորտի բևեռից (P1 կետ), այնպես էլ E1 կետից, այսինքն՝ միջօրեական գծերի հատման կետից։ Ա կետի և հասարակածի (կամ այլ կերպ ասած՝ հասարակածի գծից)։

Առաջին դեպքում միջօրեականի վրա A կետի դիրքը կոչվում է ԲԵՎԵՎԱԿԱՆ ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆ (նշվում է որպես. Ռ) և որոշվում է P1 կետի (կամ ոլորտի բևեռային կետի) և A կետի միջև պարփակված աղեղի երկարությամբ։ Հաշվարկն իրականացվում է միջօրեական գծի երկայնքով՝ P1 կետից մինչև A կետ։

Երկրորդ դեպքում, երբ հետհաշվարկը հասարակածի գծից է, Ա կետի դիրքը միջօրեական գծի վրա կոչվում է ԼԵՌՆՈՒԹՅՈՒՆ (նշվում է որպես.   և որոշվում է E1 կետի և A կետի միջև պարփակված աղեղի երկարությամբ։

Այժմ վերջապես կարող ենք ասել, որ A կետի դիրքը գնդաձև կոորդինատային համակարգում որոշվում է հետևյալով.

· Գնդի շառավիղի երկարությունը (r),

երկայնության աղեղի երկարությունը (),

Բևեռային հեռավորության աղեղի երկարությունը (p)

Այս դեպքում A կետի կոորդինատները կգրվեն հետևյալ կերպ՝ A(r, , p)

Եթե ​​մենք օգտագործում ենք այլ հղման համակարգ, ապա A կետի դիրքը գնդային կոորդինատային համակարգում որոշվում է հետևյալի միջոցով.

· Գնդի շառավիղի երկարությունը (r),

երկայնության աղեղի երկարությունը (),

· լայնության աղեղի երկարությունը ()

Այս դեպքում A կետի կոորդինատները կգրվեն հետևյալ կերպ՝ A(r, , )

Աղեղների չափման մեթոդներ

Հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս ենք չափում այս կամարները։ Ամենապարզ և բնական ճանապարհը աղեղների երկարություններն ուղղակիորեն չափելն է ճկուն քանոնով, և դա հնարավոր է, եթե ոլորտի չափը համեմատելի լինի մարդու չափի հետ։ Բայց ինչ անել, եթե այս պայմանը չկատարվի:

Այս դեպքում մենք կդիմենք ՀԱՐԱԲԵՐԱԿԱՆ աղեղի երկարության չափմանը: Մենք կվերցնենք շրջագիծը որպես ստանդարտ, մաս որն է մեզ հետաքրքրող աղեղը։ Ինչպե՞ս կարող եմ դա անել:

Կոորդինատների համակարգ- թվերի միջոցով տարածության մեջ կետեր նշելու միջոց: Տարածության ցանկացած կետ եզակիորեն որոշելու համար անհրաժեշտ թվերի քանակը որոշում է դրա չափը: Կոորդինատային համակարգի պարտադիր տարրն է ծագում- այն կետը, որտեղից հաշվվում են հեռավորությունները. Մյուս պահանջվող տարրը երկարության միավորն է, որը թույլ է տալիս չափել հեռավորությունները: Միաչափ տարածության բոլոր կետերը կարող են նշվել ընտրված սկզբնաղբյուրով՝ օգտագործելով մեկ թիվ: Երկչափ տարածության համար անհրաժեշտ է երկու թիվ, եռաչափ տարածության համար՝ երեք։ Այս թվերը կոչվում են կոորդինատները։

1. Պատմություն

Մարդկության պատմության մեջ կոորդինատային համակարգերի զարգացումը կապված է ինչպես մաթեմատիկական խնդիրների, այնպես էլ նավիգացիոն արվեստի գործնական խնդիրների հետ՝ հիմնված քարտեզագրության և աստղագիտության վրա։ Հայտնի համակարգկոորդինատները, ուղղանկյուն, առաջարկվել է Ռենե Դեկարտի կողմից թ. Եվրոպական մաթեմատիկայի բևեռային կոորդինատների համակարգի հայեցակարգը ձևավորվել է մոտավորապես այս ժամանակներում, բայց դրա մասին առաջին գաղափարները եղել են Հին Հունաստանում, միջնադարյան արաբ մաթեմատիկոսների մոտ, ովքեր մշակել են Քաաբայի ուղղությունը հաշվարկելու մեթոդներ:

Կոորդինատային համակարգերի հայեցակարգի առաջացումը հանգեցրեց երկրաչափության նոր բաժինների զարգացմանը՝ վերլուծական, պրոյեկտիվ, նկարագրական։

2. Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ

Մաթեմատիկայի մեջ ամենատարածված կոորդինատային համակարգը Դեկարտյան կոորդինատային համակարգն է, որն անվանվել է Ռենե Դեկարտի անունով։ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգը նշվում է սկզբնաղբյուրով և երեք վեկտորներով, որոնք որոշում են կոորդինատային առանցքների ուղղությունը։ Տարածության յուրաքանչյուր կետ նշվում է թվերով, որոնք համապատասխանում են այս կետից մինչև հեռավորությանը կոորդինատային ինքնաթիռներ.

Դեկարտյան համակարգի կոորդինատները խոռոչի վրա սովորաբար նշվում են տիեզերքում:

Տարբեր դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր փոխկապակցված են աֆինային փոխակերպումներով՝ տեղաշարժով և պտույտներով։

3. Կորագիծ կոորդինատային համակարգեր

Դեկարտյան կոորդինատների համակարգի հիման վրա կարելի է սահմանել կորագիծ կոորդինատային համակարգ, այսինքն, օրինակ, դեկարտյան կոորդինատների հետ կապված թվերի եռաչափ տարածության համար.

որտեղ բոլոր գործառույթները միարժեք են և շարունակաբար տարբերվում են, իսկ Յակոբյանը հետևյալն է.

Հարթության վրա կորագիծ կոորդինատային համակարգի օրինակ է բևեռային կոորդինատային համակարգը, որտեղ կետի դիրքը որոշվում է երկու թվով. կետը և ընտրված առանցքը: Կետի դեկարտյան և բևեռային կոորդինատները միմյանց հետ կապված են բանաձևերով.

Եռաչափ տարածության համար տարածված են գլանաձև և գնդաձև կոորդինատային համակարգերը: Այսպիսով, օդանավի դիրքը տիեզերքում կարելի է ճշտել երեք թվերով՝ բարձրություն, հեռավորություն Երկրի մակերևույթի այն կետից, որի վրայով նա թռչում է, և դեպի օդանավ ուղղության և դեպի հյուսիս ուղղության միջև ընկած անկյունը: Այս առաջադրանքը համապատասխանում է գլանաձև կոորդինատային համակարգին: Որպես այլընտրանք, ինքնաթիռի դիրքը կարող է որոշվել մինչև նրան հեռավորության վրա և երկու անկյուններով՝ բևեռային և ազիմուտալ: Այս առաջադրանքը համապատասխանում է գնդաձև կոորդինատային համակարգին:

Կոորդինատների համակարգերի բազմազանությունը չի սահմանափակվում թվարկվածներով: Կան բազմաթիվ կորագիծ կոորդինատային համակարգեր, որոնք հարմար են օգտագործման համար այս կամ այն ​​լուծելիս մաթեմատիկական խնդիր.

3.1. Հատկություններ

Հավասարումներից յուրաքանչյուրը նշում է կոորդինատային հարթություն.Երկու կոորդինատային հարթությունների հատումը տարբերի հետ եսհավաքածուներ կոորդինատային գիծ.Տիեզերքի յուրաքանչյուր կետ սահմանվում է երեք կոորդինատային հարթությունների հատումով:

Կորագիծ կոորդինատային համակարգերի կարևոր բնութագրիչները աղեղի տարրի երկարությունն են և դրանցում ծավալային տարրը։ Այս քանակները օգտագործվում են ինտեգրման մեջ: Աղեղի տարրի երկարությունը տրվում է քառակուսի ձևով.

Դրանք մետրային տենզորի բաղադրիչներն են։

Ծավալային տարրը հավասար է կորագիծ կոորդինատային համակարգում

Յակոբյան քառակուսին հավասար է մետրական տենզորի որոշիչին.

Կոորդինատային համակարգը կոչվում է ճիշտ,եթե դրանք դիպչում են կոորդինատային գծերին, ուղղվում են համապատասխան կոորդինատների աճի ուղղությամբ, ձևավորում են վեկտորների աջակողմյան եռյակ։

Վեկտորները կորագիծ կոորդինատային համակարգում նկարագրելիս հարմար է օգտագործել յուրաքանչյուր կետում սահմանված լոկալ հիմքը:

4. Աշխարհագրության մեջ

6. Ֆիզիկայի մեջ

Ֆիզիկական մարմինների շարժումը նկարագրելու համար ֆիզիկան օգտագործում է հասկացությունը