Ինտեգրալներ կեղծամների համար՝ ինչպես լուծել, հաշվարկի կանոններ, բացատրություն։ Անորոշ ինտեգրալի հիմնական հատկությունները Բազմապատկման անորոշ ինտեգրալների հատկությունները

Այս հոդվածում մենք կթվարկենք որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները։ Այս հատկությունների մեծ մասն ապացուցված է Ռիմանի և Դարբուի որոշակի ինտեգրալի հասկացությունների հիման վրա:

Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկը շատ հաճախ կատարվում է օգտագործելով առաջին հինգ հատկությունները, ուստի անհրաժեշտության դեպքում մենք կանդրադառնանք դրանց: Որոշակի ինտեգրալի մնացած հատկությունները հիմնականում օգտագործվում են տարբեր արտահայտություններ գնահատելու համար։

Նախքան առաջ անցնելը Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները, համաձայնենք, որ a-ն չի գերազանցում b-ն։

x = a-ով սահմանված y = f(x) ֆունկցիայի համար հավասարությունը ճշմարիտ է:

Այսինքն՝ ինտեգրման նույն սահմաններով որոշակի ինտեգրալի արժեքը հավասար է զրոյի։ Այս հատկությունը Ռիմանի ինտեգրալի սահմանման հետևանք է, քանի որ այս դեպքում յուրաքանչյուր ինտեգրալ գումար ինտերվալի ցանկացած բաժանման և կետերի ցանկացած ընտրության համար հավասար է զրոյի, քանի որ, հետևաբար, ինտեգրալ գումարների սահմանը զրո է։

Ինտերվալի վրա ինտեգրվող ֆունկցիայի համար, .

Այլ կերպ ասած, երբ ինտեգրման վերին և ստորին սահմանները փոխվում են տեղերը, որոշակի ինտեգրալի արժեքը փոխվում է հակառակը: Որոշակի ինտեգրալի այս հատկությունը բխում է նաև Ռիմանի ինտեգրալի հայեցակարգից, միայն հատվածի բաժանման համարակալումը պետք է սկսվի x = b կետից։

y = f(x) և y = g(x) միջակայքում ինտեգրվող ֆունկցիաների համար:

Ապացույց.

Գրենք ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը հատվածի տրված բաժանման և կետերի տվյալ ընտրության համար.

որտեղ և են y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների ինտեգրալ գումարները համապատասխանաբար հատվածի տվյալ բաժանման համար:

Գնա դեպի սահմանը ժամը մենք ստանում ենք, որ Ռիմանի ինտեգրալի սահմանմամբ համարժեք է ապացուցված սեփականության հայտարարությանը:

Որոշակի ինտեգրալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը։ Այսինքն՝ y = f(x) ֆունկցիայի համար, որը ինտեգրելի է միջակայքի և կամայական k թվի վրա, գործում է հետևյալ հավասարությունը. .

Որոշակի ինտեգրալի այս հատկության ապացույցը բացարձակապես նման է նախորդին.


Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի X միջակայքում, և իսկ հետո .

Այս հատկությունը ճշմարիտ է և՛ և՛, և՛ համար:

Ապացուցումը կարող է իրականացվել որոշիչ ինտեգրալի նախորդ հատկությունների հիման վրա։

Եթե ​​ֆունկցիան ինտեգրելի է ինտերվալի վրա, ապա այն ինտեգրելի է ցանկացած ներքին ինտերվալի վրա:

Ապացույցը հիմնված է Դարբուի գումարների հատկության վրա. եթե հատվածի գոյություն ունեցող բաժանմանը ավելացվեն նոր կետեր, ապա ստորին Դարբուի գումարը չի նվազի, իսկ վերինը՝ չի ավելանա։

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է արգումենտի միջակայքում և ցանկացած արժեքի համար, ապա .

Այս հատկությունն ապացուցվում է Ռիմանի ինտեգրալի սահմանման միջոցով. հատվածի բաժանման կետերի ցանկացած ընտրության և մոտ կետերի ցանկացած ինտեգրալ գումար կլինի ոչ բացասական (ոչ դրական):

Հետևանք.

y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների համար, որոնք ինտեգրվում են ինտերվալի վրա, գործում են հետևյալ անհավասարությունները.


Այս հայտարարությունը նշանակում է, որ անհավասարությունների ինտեգրումը թույլատրելի է։ Մենք կօգտագործենք այս եզրակացությունը՝ ապացուցելու հետևյալ հատկությունները.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի ինտերվալի վրա, ապա անհավասարությունը պահպանվում է .

Ապացույց.

Ակնհայտ է, որ . Նախորդ հատկության մեջ պարզեցինք, որ անհավասարությունը կարող է ինտեգրվել տերմին առ տերմին, հետևաբար, դա ճիշտ է. . Այս կրկնակի անհավասարությունը կարելի է գրել այսպես .

Թող y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաները ինտեգրելի լինեն արգումենտի միջակայքում և ցանկացած արժեքի համար, ապա , Որտեղ Եվ .

Ապացուցումն իրականացվում է նույն կերպ. Քանի որ m-ը և M-ն ամենափոքրն են և ամենաբարձր արժեքը y = f(x) ֆունկցիան հատվածի վրա, ապա . Կրկնակի անհավասարությունը բազմապատկելով ոչ բացասական y = g(x) ֆունկցիայով մեզ տանում է հետևյալը. կրկնակի անհավասարություն. Ինտեգրելով այն միջակայքում, մենք հասնում ենք ապացուցվող հայտարարությանը:

Հետևանք.

Եթե ​​վերցնենք g(x) = 1, ապա անհավասարությունը ստանում է ձև .

Առաջին միջին բանաձևը.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի միջակայքում, Եվ , ապա կա այնպիսի թիվ, որ .

Հետևանք.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան ինտերվալի վրա շարունակական է, ապա կա այնպիսի թիվ, որ .

Միջին արժեքի առաջին բանաձևը ընդհանրացված ձևով.

Թող y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաները ինտեգրելի լինեն միջակայքում, Եվ , և g(x) > 0 փաստարկի ցանկացած արժեքի համար: Հետո կա այնպիսի թիվ, որ .

Երկրորդ միջին բանաձևը.

Եթե ​​ինտերվալի վրա y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է, իսկ y = g(x) միապաղաղ է, ապա գոյություն ունի այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը .

Դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական խնդիրըածանցյալը գտնելն է զ'(x)կամ դիֆերենցիալ df=զ'(x)dxգործառույթները զ(x).Ինտեգրալ հաշվարկում հակադարձ խնդիրը լուծված է։ Ըստ տրված գործառույթը զ(x) պետք է գտնել նման գործառույթ F(x),Ինչ F'(x)=զ(x)կամ dF (x) =F'(x)dx=զ(x)dx.

Այսպիսով, ինտեգրալ հաշվարկի հիմնական խնդիրըֆունկցիայի վերականգնումն է F(x)այս ֆունկցիայի հայտնի ածանցյալով (դիֆերենցիալով): Ինտեգրալ հաշվարկը բազմաթիվ կիրառություններ ունի երկրաչափության, մեխանիկայի, ֆիզիկայի և տեխնոլոգիայի մեջ: Այն տալիս է ընդհանուր մեթոդգտնելով տարածքներ, ծավալներ, ծանրության կենտրոններ և այլն:

Սահմանում. ԳործառույթF(x), , կոչվում է ֆունկցիայի հակաածանցյալզ(x) X բազմության վրա, եթե այն տարբերելի է որևէ ևF'(x) =զ(x) կամdF (x) =զ(x)dx.

Թեորեմ. Ցանկացած շարունակական տող միջակայքում [ա;բ] ֆունկցիանզ(x) ունի հակաածանցյալ այս հատվածի վրաF(x).

Թեորեմ. ԵթեF 1 (x) ևF 2 (x) - նույն ֆունկցիայի երկու տարբեր հակաածանցյալներզ(x) x բազմության վրա, ապա դրանք միմյանցից տարբերվում են հաստատուն անդամով, այսինքն.F 2 (x) =F 1x)+C, որտեղ C-ն հաստատուն է.

Ոչ որոշակի ինտեգրալ, նրա հատկությունները.

Սահմանում. ԱմբողջականությունF(x)+Բոլոր հակաածանցյալ ֆունկցիաներիցզ(x) X բազմության վրա կոչվում է անորոշ ինտեգրալ և նշվում.

- (1)

Բանաձևում (1) զ(x)dxկանչեց ինտեգրալ,զ(x) – ինտեգրացիոն ֆունկցիա, x – ինտեգրման փոփոխական,Ա C - ինտեգրման հաստատուն:

Եկեք նայենք հատկություններին անորոշ ինտեգրալ, բխելով դրա սահմանումից։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին, անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանդին.

Եվ .

2. Որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալ գումարին հավասարայս ֆունկցիան և կամայական հաստատունը՝

3. Ա (a≠0) հաստատուն գործակիցը կարելի է հանել որպես անորոշ ինտեգրալի նշան.

4. Վերջավոր թվով ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիաների ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

5. ԵթեF(x) – ֆունկցիայի հակաածանցյալզ(x), ապա.

6 (ինտեգրման բանաձևերի անփոփոխություն): Ինտեգրման ցանկացած բանաձև պահպանում է իր ձևը, եթե ինտեգրման փոփոխականը փոխարինվում է այս փոփոխականի որևէ տարբերակելի ֆունկցիայով.

Որտեղu-ը տարբերվող ֆունկցիա է:

Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ.

Եկեք տանք Ֆունկցիաների ինտեգրման հիմնական կանոնները.

Եկեք տանք Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ.(Նշեք, որ այստեղ, ինչպես դիֆերենցիալ հաշվարկում, տառը uկարող է նշանակվել որպես անկախ փոփոխական (u=x), և անկախ փոփոխականի ֆունկցիա (u=դուք (x)).)

(n≠-1): (a >0, a≠1): (a≠0). (a≠0). (|ու| > |ա|):(|ու|< |a|).

1–17 ինտեգրալները կոչվում են աղյուսակային.

Ինտեգրալների աղյուսակում վերը նշված որոշ բանաձևեր, որոնք ածանցյալների աղյուսակում չունեն իրենց անալոգը, ստուգվում են՝ տարբերելով դրանց աջ կողմերը։

Փոփոխականի փոփոխություն և ինտեգրում ըստ մասերի անորոշ ինտեգրալում:

Ինտեգրում փոխարինմամբ (փոփոխական փոխարինում): Թող անհրաժեշտ լինի հաշվարկել ինտեգրալը

, որը աղյուսակային չէ։ Փոխարինման մեթոդի էությունն այն է, որ ինտեգրալում փոփոխականը Xփոխարինել փոփոխականով տըստ բանաձևի x=φ(տ),որտեղ dx=φ’(տ)dt.

Թեորեմ. Թողեք գործառույթըx=φ(t) սահմանվում և տարբերվում է որոշակի T բազմության վրա, և թող X լինի այս ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը, որի վրա սահմանված է ֆունկցիանզ(x). Ապա եթե X բազմության վրա ֆունկցիանզ(

Հակաածանցյալ և անորոշ ինտեգրալ։

F(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալը (a; b) միջակայքում F(x) ֆունկցիան է, որ հավասարությունը պահպանվում է տվյալ միջակայքից ցանկացած x-ի համար:

Եթե ​​հաշվի առնենք այն փաստը, որ C հաստատունի ածանցյալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարությունը ճիշտ է. . Այսպիսով, f(x) ֆունկցիան ունի հակաածանցյալների բազմություն F(x)+C, կամայական C հաստատունի համար, և այդ հակաածանցյալները տարբերվում են միմյանցից կամայական հաստատուն արժեքով։

f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալների ամբողջ բազմությունը կոչվում է այս ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ և նշվում է. .

Արտահայտությունը կոչվում է ինտեգրանդ, իսկ f(x)-ը՝ ինտեգրանդ։ Ինտեգրանդը ներկայացնում է f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։

Անհայտ ֆունկցիայի հայտնաբերման գործողությունը՝ հաշվի առնելով դրա դիֆերենցիալը, կոչվում է անորոշ ինտեգրում, քանի որ ինտեգրման արդյունքը ոչ թե F(x) մեկ ֆունկցիան է, այլ նրա հակաածանցյալների F(x)+C բազմությունը։

Սեղանի ինտեգրալներ

Ինտեգրալների ամենապարզ հատկությունները

1. Ինտեգրման արդյունքի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին:

2. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է բուն ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին։

3. Գործակիցը կարելի է հանել անորոշ ինտեգրալի նշանից։

4. Գործառույթների գումարի/տարբերության անորոշ ինտեգրալը հավասար է ֆունկցիաների անորոշ ինտեգրալների գումարին/տարբերությանը։

Պարզաբանման համար տրված են անորոշ ինտեգրալի առաջին և երկրորդ հատկությունների միջանկյալ հավասարությունները։

Երրորդ և չորրորդ հատկություններն ապացուցելու համար բավական է գտնել հավասարումների աջ կողմի ածանցյալները.

Այս ածանցյալները հավասար են ինտեգրանդներին, ինչը ապացույց է առաջին հատկության շնորհիվ։ Այն օգտագործվում է նաև վերջին անցումներում։

Այսպիսով, ինտեգրման խնդիրը տարբերակման խնդրի հակառակն է, և այս խնդիրների միջև շատ սերտ կապ կա.

Առաջին հատկությունը թույլ է տալիս ստուգել ինտեգրումը: Կատարված ինտեգրման ճիշտությունը ստուգելու համար բավական է հաշվարկել ստացված արդյունքի ածանցյալը։ Եթե ​​տարբերակման արդյունքում ստացված ֆունկցիան պարզվի, որ հավասար է ինտեգրմանը, դա կնշանակի, որ ինտեգրումը ճիշտ է իրականացվել.

Անորոշ ինտեգրալի երկրորդ հատկությունը թույլ է տալիս գտնել նրա հակաածանցյալը ֆունկցիայի հայտնի դիֆերենցիալից: Անորոշ ինտեգրալների ուղղակի հաշվարկը հիմնված է այս հատկության վրա։

1.4.Ինտեգրման ձևերի անփոփոխություն.

Ինվարիանտ ինտեգրումը ֆունկցիաների ինտեգրման տեսակ է, որոնց արգումենտները խմբի տարրեր են կամ միատարր տարածության կետեր (նման տարածության ցանկացած կետ կարող է փոխանցվել մյուսին խմբի տվյալ գործողությամբ):

f(x) ֆունկցիան կրճատվում է մինչև f.w դիֆերենցիալ ձևի ինտեգրալը հաշվարկելը, որտեղ

Ստորև տրված է r(x)-ի հստակ բանաձևը: Պայմանագրի պայմանն ունի ձևը .

այստեղ Tg նշանակում է հերթափոխի օպերատոր X-ի վրա՝ օգտագործելով gՕG՝ Tgf(x)=f(g-1x): Թող X=G լինի տոպոլոգիա, խումբ, որը գործում է իր վրա ձախ տեղաշարժերով: I. և. գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե G-ն տեղական կոմպակտ է (մասնավորապես, I.I. անսահման չափերի խմբերի վրա գոյություն չունի): I.-ի ենթաբազմության համար և. cA բնորոշ ֆունկցիան (հավասար է 1-ի A-ի վրա և 0-ի A-ից դուրս) սահմանում է ձախ Xaar չափը m(A): Այս չափման որոշիչ հատկությունը նրա անփոփոխությունն է ձախ տեղաշարժերի տակ. m(g-1A)=m(A) բոլոր gՕG-ի համար: Խմբի վրա ձախ Haar չափումը եզակիորեն սահմանված է մինչև դրական սկալյար գործոն: Եթե ​​Haar չափը m հայտնի է, ապա I. և. f ֆունկցիան տրվում է բանաձևով . Ճիշտ Haar չափումը ունի նմանատիպ հատկություններ: Գոյություն ունի շարունակական հոմոմորֆիզմ (քարտեզ, որը պահպանում է խմբի հատկությունը) G խմբի DG խմբի (բազմապատկման առումով) դիրքում: թվեր, որոնց համար

որտեղ dmr-ն և dmi-ն աջ և ձախ Haar չափերն են: Կանչվում է DG(g) ֆունկցիան G խմբի մոդուլը: Եթե , ապա կոչվում է G խումբ: միաձույլ; այս դեպքում աջ և ձախ Haar չափումները համընկնում են։ Կոմպակտ, կիսահասարակ և ոչ հզոր (մասնավորապես՝ կոմուտատիվ) խմբերը միաձույլ են։ Եթե ​​G-ն n-չափական Lie խումբ է, իսկ q1,...,qn-ը հիմք է G-ի ձախ անփոփոխ 1-ձևերի տարածության մեջ, ապա G-ի վրա ձախ Haar չափը տրվում է n-ի ձևով: Տեղական կոորդինատներում հաշվարկի համար

ձևավորում է qi, կարող եք օգտագործել G խմբի ցանկացած մատրիցային իրականացում. 1-ձևի մատրիցը g-1dg մնում է անփոփոխ, և դրա գործակիցը: ձախ ինվարիանտ սկալյար 1-ձևեր են, որոնցից ընտրվում է պահանջվող հիմքը։ Օրինակ՝ GL(n, R) ամբողջական մատրիցային խումբը միամոդուլային է, և դրա վրա Haar չափը տրված է ձևով։ Թող X=G/H միատարր տարածություն է, որի համար տեղային կոմպակտ G խումբը փոխակերպման խումբ է, իսկ H փակ ենթախումբը՝ որոշակի կետի կայունացուցիչ։ Որպեսզի i.i-ն գոյություն ունենա X-ի վրա, անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր hՕH-ի համար լինի DG(h)=DH(h): Մասնավորապես, դա ճիշտ է այն դեպքում, երբ H-ն կոմպակտ է կամ կիսահասարակ։ Ի–ի ամբողջական տեսությունը և. գոյություն չունի անվերջ չափերի բազմազանության վրա:

Փոփոխականների փոխարինում:

Այս հատկությունները օգտագործվում են ինտեգրալը փոխակերպելու համար՝ այն տարրական ինտեգրալներից մեկին նվազեցնելու և հետագա հաշվարկի համար։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրալին.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանտին.

3. Որոշակի ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին.

4. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

Ավելին, a ≠ 0

5. Գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

6. Սեփականությունը 4 և 5 հատկությունների համակցություն է.

Ավելին, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Անորոշ ինտեգրալի անփոփոխ հատկություն.

Եթե, ապա

8. Գույք:

Եթե, ապա

Փաստորեն, այս հատկությունը փոփոխական փոփոխության մեթոդի օգտագործմամբ ինտեգրման հատուկ դեպք է, որն ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ բաժնում։

Դիտարկենք օրինակ.

Սկզբում կիրառեցինք հատկությունը 5, հետո հատկություն 4, հետո օգտագործեցինք հակաածանցյալների աղյուսակը և ստացանք արդյունքը։

Մեր առցանց ինտեգրալ հաշվիչի ալգորիթմը աջակցում է վերը թվարկված բոլոր հատկություններին և կարող է հեշտությամբ գտնել մանրամասն լուծումձեր ինտեգրալի համար:

Ինտեգրալների լուծումը հեշտ խնդիր է, բայց միայն ընտրյալների համար: Այս հոդվածը նրանց համար է, ովքեր ցանկանում են սովորել հասկանալ ինտեգրալները, բայց ոչինչ չգիտեն կամ գրեթե ոչինչ չգիտեն դրանց մասին: Ինտեգրալ... Ինչու՞ է դա անհրաժեշտ: Ինչպե՞ս հաշվարկել այն: Որո՞նք են որոշակի և անորոշ ինտեգրալները:

Եթե ​​ինտեգրալի միակ օգտագործումը, որը դուք գիտեք, դա դժվարամատչելի վայրերից ինչ-որ օգտակար բան ստանալու համար ինտեգրալ պատկերակի ձևով հյուսված կարթ օգտագործելն է, ապա բարի գալուստ: Պարզեք, թե ինչպես լուծել ամենապարզ և այլ ինտեգրալները, և ինչու չեք կարող առանց դրա մաթեմատիկայից:

Մենք ուսումնասիրում ենք հայեցակարգը « ինտեգրալ »

Ինտեգրումը հայտնի էր դեռևս Հին Եգիպտոս. Իհարկե, ոչ իր ժամանակակից տեսքով, բայց դեռ. Այդ ժամանակից ի վեր մաթեմատիկոսները բազմաթիվ գրքեր են գրել այս թեմայով: Հատկապես աչքի ընկան Նյուտոն Եվ Լայբնիցը , բայց իրերի էությունը չի փոխվել։

Ինչպե՞ս հասկանալ ինտեգրալները զրոյից: Ոչ մի կերպ: Այս թեման հասկանալու համար ձեզ դեռևս անհրաժեշտ կլինի հիմունքների հիմնական ըմբռնում: մաթեմատիկական վերլուծություն. Ինտեգրալները հասկանալու համար անհրաժեշտ սահմանաչափերի և ածանցյալների մասին մեր բլոգում արդեն ունենք տեղեկատվություն։

Անորոշ ինտեգրալ

Եկեք որոշակի գործառույթ ունենանք f(x) .

Անորոշ ինտեգրալ ֆունկցիա f(x) այս ֆունկցիան կոչվում է F(x) , որի ածանցյալը հավասար է ֆունկցիային f(x) .

Այլ կերպ ասած, ինտեգրալը հակադարձ ածանցյալ է կամ հակաածանցյալ: Ի դեպ, կարդացեք մեր հոդվածը, թե ինչպես հաշվարկել ածանցյալները:

Հակածանցյալը գոյություն ունի բոլորի համար շարունակական գործառույթներ. Նաև հակաածանցյալին հաճախ ավելացվում է հաստատուն նշան, քանի որ այն ֆունկցիաների ածանցյալները, որոնք տարբերվում են հաստատունով, համընկնում են։ Ինտեգրալը գտնելու գործընթացը կոչվում է ինտեգրացիա։

Պարզ օրինակ.

Անընդհատ հակաածանցյալները չհաշվելու համար տարրական գործառույթներ, հարմար է դրանք ամփոփել աղյուսակում և օգտագործել պատրաստի արժեքներ։

Ուսանողների համար ինտեգրալների ամբողջական աղյուսակ

Որոշակի ինտեգրալ

Երբ գործ ունենք ինտեգրալ հասկացության հետ, գործ ունենք անվերջ փոքր մեծությունների հետ։ Ինտեգրալը կօգնի հաշվարկել գործչի մակերեսը, ոչ միատեսակ մարմնի զանգվածը, անհավասար շարժման ընթացքում անցած հեռավորությունը և շատ ավելին: Պետք է հիշել, որ ինտեգրալը անսահման մեծ թվով անվերջ փոքր անդամների գումարն է։

Որպես օրինակ, պատկերացրեք ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Ինչպե՞ս գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի մակերեսը: Օգտագործելով ինտեգրալ: Եկեք բաժանենք կորագիծ տրապիզը, որը սահմանափակված է կոորդինատային առանցքներով և ֆունկցիայի գրաֆիկով, անվերջ փոքր հատվածների։ Այս կերպ գործիչը կբաժանվի բարակ սյունակների։ Սյուների տարածքների գումարը կլինի trapezoid-ի տարածքը: Բայց հիշեք, որ նման հաշվարկը մոտավոր արդյունք կտա։ Այնուամենայնիվ, որքան փոքր և նեղ հատվածները, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի հաշվարկը: Եթե ​​դրանք փոքրացնենք այնքան, որ երկարությունը ձգվի զրոյի, ապա հատվածների տարածքների գումարը կձգտի նկարի մակերեսին: Սա որոշակի ինտեգրալ է, որը գրված է այսպես.

a և b կետերը կոչվում են ինտեգրման սահմաններ:

« Ինտեգրալ »

Ի դեպ! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ ցանկացած տեսակի աշխատանք

Կեղծիքների համար ինտեգրալների հաշվարկման կանոններ

Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները

Ինչպե՞ս լուծել անորոշ ինտեգրալ: Այստեղ կանդրադառնանք անորոշ ինտեգրալի հատկություններին, որոնք օգտակար կլինեն օրինակներ լուծելիս։

• Ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանտին.

• Հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանի տակից.

• Գումարի ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին։ Սա ճիշտ է նաև տարբերության համար.

Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները

• Գծայինություն:

• Ինտեգրացիայի նշանը փոխվում է, եթե փոխվում են ինտեգրման սահմանները.

• ժամը ցանկացածմիավորներ ա, բԵվ Հետ:

Մենք արդեն պարզել ենք, որ որոշակի ինտեգրալը գումարի սահմանն է։ Բայց ինչպե՞ս ստանալ կոնկրետ արժեք օրինակ լուծելիս: Դրա համար կա Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Ինտեգրալների լուծման օրինակներ

Ստորև կդիտարկենք անորոշ ինտեգրալը և լուծումներով օրինակներ։ Առաջարկում ենք ինքներդ պարզել լուծման բարդությունները, իսկ եթե ինչ-որ բան անհասկանալի է, հարցեր տվեք մեկնաբանություններում:

Նյութն ամրապնդելու համար դիտեք տեսանյութ, թե ինչպես են գործնականում լուծվում ինտեգրալները: Մի հուսահատվեք, եթե ինտեգրալը միանգամից չտրվի։ Կապվեք պրոֆեսիոնալ ուսանողական ծառայության հետ և ցանկացած եռակի կամ տողային ինտեգրալփակ մակերեսի վրա դուք կկարողանաք դա անել: