Ինտեգրալները և դրանց հատկությունները: Անորոշ ինտեգրալի հիմնական հատկությունները. Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

Թողեք գործառույթը y = զ(x) սահմանվում է միջակայքում [ ա, բ ], ա < բ. Եկեք կատարենք հետևյալ գործողությունները.

1) եկեք բաժանենք [ ա, բ] կետեր ա = x 0 < x 1 < ... < x ես- 1 < x ես < ... < x n = բ վրա nմասնակի հատվածներ [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ես- 1 , x ես ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) մասնակի հատվածներից յուրաքանչյուրում [ x ես- 1 , x ես ], ես = 1, 2, ... n, ընտրեք կամայական կետ և հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքը այս կետում. զ(z i ) ;

3) գտնել աշխատանքները զ(z i ) · Δ x ես , որտեղ է մասնակի հատվածի երկարությունը [ x ես- 1 , x ես ], ես = 1, 2, ... n;

4) եկեք դիմենք ինտեգրալ գումարգործառույթները y = զ(x) հատվածում [ ա, բ ]:

ՀԵՏ երկրաչափական կետՏեսողական տեսանկյունից այս σ գումարը ուղղանկյունների մակերեսների գումարն է, որոնց հիմքերը մասնակի հատվածներ են [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ես- 1 , x ես ], ..., [x n- 1 , x n ], իսկ բարձրությունները հավասար են զ(զ 1 ) , զ(զ 2 ), ..., զ(z n) համապատասխանաբար (նկ. 1): Նշենք ըստ λ ամենաերկար մասնակի հատվածի երկարությունը.

5) գտե՛ք ինտեգրալ գումարի սահմանը, երբ λ → 0.

Սահմանում.Եթե ​​կա ինտեգրալ գումարի (1) վերջավոր սահման, և դա կախված չէ հատվածի բաժանման եղանակից [ ա, բ] դեպի մասնակի հատվածներ, ոչ էլ կետերի ընտրությունից z iդրանց մեջ, ապա այս սահմանը կոչվում է որոշակի ինտեգրալֆունկցիայից y = զ(x) հատվածում [ ա, բ] և նշվում է

Այսպիսով,

Այս դեպքում գործառույթը զ(x) կոչվում է ինտեգրելիվրա [ ա, բ]։ Թվեր աԵվ բկոչվում են համապատասխանաբար ինտեգրման ստորին և վերին սահմաններ. զ(x) – ինտեգրացիոն ֆունկցիա, զ(x ) dx- ինտեգրալ արտահայտություն, x- ինտեգրման փոփոխական; գծի հատված [ ա, բ] կոչվում է ինտեգրման միջակայք։

Թեորեմ 1.Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ], ապա այն ինտեգրելի է այս միջակայքում:

Ինտեգրման միևնույն սահմաններով որոշակի ինտեգրալը հավասար է զրոյի.

Եթե ա > բ, ապա, ըստ սահմանման, մենք ենթադրում ենք

2. Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը

Թող հատվածը [ ա, բ] նշված է շարունակական ոչ բացասական ֆունկցիա y = զ(x ) . Curvilinear trapezoidվերևում սահմանափակված ֆունկցիայի գրաֆիկով պատկեր է y = զ(x), ներքևից՝ Օքսի առանցքի երկայնքով, դեպի ձախ և աջ՝ ուղիղ գծեր x = aԵվ x = b(նկ. 2):

Ոչ բացասական ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ y = զ(x) երկրաչափական տեսանկյունից մակերեսին հավասարկորագիծ trapezoid վերևում սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով y = զ(x) , ձախ և աջ – գծային հատվածներ x = aԵվ x = b, ներքևից՝ Ox առանցքի մի հատված։

3. Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

1. Իմաստը որոշակի ինտեգրալկախված չէ ինտեգրման փոփոխականի նշանակումից.

2. Որոշակի ինտեգրալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

3. Երկու ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի որոշակի ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիաների որոշակի ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

4. Եթե գործառույթը y = զ(x) ինտեգրելի է [ ա, բ] Եվ ա < բ < գ, Դա

5. (միջին արժեքի թեորեմ). Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ], ապա այս հատվածի վրա կա այնպիսի կետ, որ

4. Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւ

Թեորեմ 2.Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ] Եվ Ֆ(x) նրա հակաածանցյալներից որևէ մեկն է այս հատվածում, ապա վավեր է հետևյալ բանաձևը.

որը կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.Տարբերություն Ֆ(բ) - Ֆ(ա) սովորաբար գրվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ խորհրդանիշը կոչվում է կրկնակի նիշ:

Այսպիսով, բանաձևը (2) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Օրինակ 1.Հաշվել ինտեգրալը

Լուծում. Ինտեգրադի համար զ(x ) = x 2 կամայական հակաածանցյալն ունի ձև

Քանի որ ցանկացած հակաածանցյալ կարող է օգտագործվել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևում, ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք վերցնում ենք հակաածանցյալը, որն ունի ամենապարզ ձևը.

5. Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում

Թեորեմ 3.Թողեք գործառույթը y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ]։ Եթե:

1) գործառույթ x = φ ( տ) և դրա ածանցյալ φ "( տ) շարունակական են համար;

2) ֆունկցիայի արժեքների մի շարք x = φ ( տ) համար է հատվածը [ ա, բ ];

3) φ ( ա) = ա, φ ( բ) = բ, ապա բանաձեւը վավեր է

որը կոչվում է Որոշակի ինտեգրալում փոփոխականը փոխելու բանաձև .

Ի տարբերություն անորոշ ինտեգրալ, Վ այս դեպքում ոչ անհրաժեշտվերադառնալ սկզբնական ինտեգրման փոփոխականին - բավական է միայն գտնել α և β ինտեգրման նոր սահմաններ (դրա համար անհրաժեշտ է լուծել փոփոխականի համար տհավասարումներ φ ( տ) = աև φ ( տ) = բ).

Փոխարինման փոխարեն x = φ ( տ) կարող եք օգտագործել փոխարինումը տ = է(x) . Այս դեպքում փոփոխականի վրա ինտեգրման նոր սահմաններ գտնելը տպարզեցնում է՝ α = է(ա) , β = է(բ) .

Օրինակ 2. Հաշվել ինտեգրալը

Լուծում. Ներկայացնենք նոր փոփոխական՝ օգտագործելով բանաձևը. Հավասարության երկու կողմերը քառակուսելով՝ ստանում ենք 1 + x = տ 2 , որտեղ x = տ 2 - 1, dx = (տ 2 - 1)"dt= 2tdt. Մենք գտնում ենք ինտեգրման նոր սահմաններ: Դա անելու համար եկեք փոխարինենք հին սահմանները բանաձևով x = 3 և x = 8. Ստանում ենք՝ , որտեղից տ= 2 և α = 2; , որտեղ տ= 3 և β = 3: Այսպիսով,

Օրինակ 3.Հաշվիր

Լուծում. Թող u= մատյան x, Հետո, v = x. Ըստ բանաձևի (4)

Հակաածանցյալ և անորոշ ինտեգրալ:

F(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալը (a; b) միջակայքում F(x) ֆունկցիան է, որ հավասարությունը պահպանվում է տվյալ միջակայքից ցանկացած x-ի համար:

Եթե ​​հաշվի առնենք այն փաստը, որ C հաստատունի ածանցյալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարությունը ճիշտ է. . Այսպիսով, f(x) ֆունկցիան ունի հակաածանցյալների մի շարք F(x)+C, կամայական C հաստատունի համար, և այդ հակաածանցյալները տարբերվում են միմյանցից կամայական հաստատուն արժեքով։

f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալների ամբողջ բազմությունը կոչվում է այս ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ և նշվում է. .

Արտահայտությունը կոչվում է ինտեգրանդ, իսկ f(x)-ը՝ ինտեգրանդ։ Ինտեգրանդը ներկայացնում է f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։

Անհայտ ֆունկցիայի հայտնաբերման գործողությունը՝ հաշվի առնելով նրա դիֆերենցիալը, կոչվում է անորոշ ինտեգրացիա, քանի որ ինտեգրման արդյունքը ոչ թե մեկ ֆունկցիա է F(x), այլ նրա հակաածանցյալների մի շարք F(x)+C։

Սեղանի ինտեգրալներ

Ինտեգրալների ամենապարզ հատկությունները

1. Ինտեգրման արդյունքի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին:

2. Դիֆերենցիալ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ գումարին հավասարֆունկցիան ինքնին և կամայական հաստատուն։

3. Գործակիցը կարելի է հանել անորոշ ինտեգրալի նշանից։

4. Գործառույթների գումարի/տարբերության անորոշ ինտեգրալը հավասար է ֆունկցիաների անորոշ ինտեգրալների գումարին/տարբերությանը։

Պարզաբանման համար տրված են անորոշ ինտեգրալի առաջին և երկրորդ հատկությունների միջանկյալ հավասարությունները։

Երրորդ և չորրորդ հատկություններն ապացուցելու համար բավական է գտնել հավասարումների աջ կողմի ածանցյալները.

Այս ածանցյալները հավասար են ինտեգրանդներին, ինչը ապացույց է առաջին հատկության շնորհիվ։ Այն օգտագործվում է նաև վերջին անցումներում։

Այսպիսով, ինտեգրման խնդիրը տարբերակման խնդրի հակառակն է, և այս խնդիրների միջև կա շատ սերտ կապ.

առաջին հատկությունը թույլ է տալիս ստուգել ինտեգրումը: Կատարված ինտեգրման ճիշտությունը ստուգելու համար բավական է հաշվարկել ստացված արդյունքի ածանցյալը։ Եթե ​​տարբերակման արդյունքում ստացված ֆունկցիան պարզվի, որ հավասար է ինտեգրմանը, դա կնշանակի, որ ինտեգրումը ճիշտ է իրականացվել.

Անորոշ ինտեգրալի երկրորդ հատկությունը թույլ է տալիս գտնել նրա հակաածանցյալը ֆունկցիայի հայտնի դիֆերենցիալից: Անորոշ ինտեգրալների ուղղակի հաշվարկը հիմնված է այս հատկության վրա։

1.4.Ինտեգրման ձևերի անփոփոխություն.

Ինվարիանտ ինտեգրումը ֆունկցիաների ինտեգրման տեսակ է, որոնց արգումենտները խմբի տարրեր են կամ միատարր տարածության կետեր (նման տարածության ցանկացած կետ կարող է փոխանցվել մյուսին խմբի տվյալ գործողությամբ):

f(x) ֆունկցիան կրճատվում է մինչև f.w դիֆերենցիալ ձևի ինտեգրալը հաշվարկելը, որտեղ

Ստորև տրված է r(x)-ի հստակ բանաձևը: Պայմանագրի պայմանն ունի ձևը .

այստեղ Tg նշանակում է հերթափոխի օպերատոր X-ի վրա՝ օգտագործելով gՕG՝ Tgf(x)=f(g-1x): Թող X=G լինի տոպոլոգիա, խումբ, որը գործում է իր վրա ձախ տեղաշարժերով: Ես եւ. գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե G-ն տեղական կոմպակտ է (մասնավորապես, I.I. անսահման չափերի խմբերի վրա գոյություն չունի): I.-ի ենթաբազմության համար և. cA բնորոշ ֆունկցիան (հավասար է 1-ի A-ի վրա և 0-ի A-ից դուրս) սահմանում է ձախ Xaar չափը m(A): Այս չափման որոշիչ հատկությունը նրա անփոփոխությունն է ձախ տեղաշարժերի տակ. m(g-1A)=m(A) բոլոր gՕG-ի համար: Խմբի վրա ձախ Haar չափումը եզակիորեն սահմանվում է մինչև դրական սկալյար գործոն: Եթե ​​Haar չափը m հայտնի է, ապա I. և. f ֆունկցիան տրվում է բանաձևով . Ճիշտ Haar չափումը ունի նմանատիպ հատկություններ: Գոյություն ունի շարունակական հոմոմորֆիզմ (քարտեզ, որը պահպանում է խմբի հատկությունը) G խմբի DG խմբի (բազմապատկման առումով) դիրքում: թվեր, որոնց համար

որտեղ dmr-ն և dmi-ն աջ և ձախ Haar չափերն են: Կանչվում է DG(g) ֆունկցիան G խմբի մոդուլը: Եթե , ապա կոչվում է G խումբ: միաձույլ; այս դեպքում աջ և ձախ Haar չափումները համընկնում են։ Կոմպակտ, կիսահասարակ և ոչ հզոր (մասնավորապես՝ կոմուտատիվ) խմբերը միաձույլ են։ Եթե ​​G-ն n-չափական Lie խումբ է, իսկ q1,...,qn-ը հիմք է G-ի ձախ անփոփոխ 1-ձևերի տարածության մեջ, ապա G-ի վրա ձախ Haar չափը տրվում է n-ի ձևով: Տեղական կոորդինատներում հաշվարկի համար

ձևավորում է qi, կարող եք օգտագործել G խմբի ցանկացած մատրիցային իրականացում. 1-ձևի մատրիցը g-1dg մնում է անփոփոխ, և դրա գործակիցը: ձախ ինվարիանտ սկալյար 1-ձևեր են, որոնցից ընտրվում է պահանջվող հիմքը։ Օրինակ՝ GL(n, R) ամբողջական մատրիցային խումբը միամոդուլային է, և դրա վրա Haar չափը տրված է ձևով։ Թող X=G/H միատարր տարածություն է, որի համար տեղային կոմպակտ G խումբը փոխակերպման խումբ է, իսկ H փակ ենթախումբը՝ որոշակի կետի կայունացուցիչ։ Որպեսզի i.i-ն գոյություն ունենա X-ում, անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր hՕH-ների համար պահպանվի DG(h)=DH(h) հավասարությունը: Մասնավորապես, դա ճիշտ է այն դեպքում, երբ H-ն կոմպակտ է կամ կիսահասարակ։ Ի–ի ամբողջական տեսությունը և. գոյություն չունի անվերջ չափերի բազմազանության վրա:

Փոփոխականների փոխարինում:

Ինտեգրալների լուծումը հեշտ խնդիր է, բայց միայն ընտրյալների համար: Այս հոդվածը նրանց համար է, ովքեր ցանկանում են սովորել հասկանալ ինտեգրալները, բայց ոչինչ չգիտեն կամ գրեթե ոչինչ չգիտեն դրանց մասին: Ինտեգրալ... Ինչու՞ է դա անհրաժեշտ: Ինչպե՞ս հաշվարկել այն: Որո՞նք են որոշակի և անորոշ ինտեգրալները:

Եթե ​​ինտեգրալի միակ օգտագործումը, որը դուք գիտեք, դա դժվարամատչելի վայրերից ինչ-որ օգտակար բան ստանալու համար ինտեգրալ պատկերակի ձևով հյուսված կարթ օգտագործելն է, ապա բարի գալուստ: Պարզեք, թե ինչպես լուծել ամենապարզ և այլ ինտեգրալները, և ինչու չեք կարող առանց դրա մաթեմատիկայից:

Մենք ուսումնասիրում ենք հայեցակարգը « անբաժանելի »

Ինտեգրումը հայտնի էր դեռևս Հին Եգիպտոս. Իհարկե, ոչ իր ժամանակակից տեսքով, բայց դեռ. Այդ ժամանակից ի վեր մաթեմատիկոսները բազմաթիվ գրքեր են գրել այս թեմայով: Հատկապես աչքի ընկան Նյուտոն Եվ Լայբնիցը , բայց իրերի էությունը չի փոխվել։

Ինչպե՞ս հասկանալ ինտեգրալները զրոյից: Ոչ մի դեպքում! Այս թեման հասկանալու համար ձեզ դեռևս անհրաժեշտ կլինի հիմունքների հիմնական ըմբռնում: մաթեմատիկական վերլուծություն. Ինտեգրալները հասկանալու համար անհրաժեշտ տեղեկությունների մասին մենք արդեն ունենք մեր բլոգում։

Անորոշ ինտեգրալ

Եկեք որոշակի գործառույթ ունենանք f(x) .

Անորոշ ինտեգրալ ֆունկցիա f(x) այս ֆունկցիան կոչվում է F(x) , որի ածանցյալը հավասար է ֆունկցիային f(x) .

Այլ կերպ ասած, ինտեգրալը հակադարձ ածանցյալ է կամ հակաածանցյալ: Ի դեպ, թե ինչպես, կարդացեք մեր հոդվածում:

Հակաածանցյալ գոյություն ունի բոլոր շարունակական ֆունկցիաների համար: Նաև հակաածանցյալին հաճախ ավելացվում է հաստատուն նշան, քանի որ այն ֆունկցիաների ածանցյալները, որոնք տարբերվում են հաստատունով, համընկնում են։ Ինտեգրալը գտնելու գործընթացը կոչվում է ինտեգրացիա։

Պարզ օրինակ.

Անընդհատ հակաածանցյալները չհաշվելու համար տարրական գործառույթներ, հարմար է դրանք ամփոփել աղյուսակում և օգտագործել պատրաստի արժեքներ։

Ուսանողների համար ինտեգրալների ամբողջական աղյուսակ

Որոշակի ինտեգրալ

Երբ գործ ունենք ինտեգրալ հասկացության հետ, գործ ունենք անվերջ փոքր մեծությունների հետ։ Ինտեգրալը կօգնի հաշվարկել գործչի մակերեսը, ոչ միատեսակ մարմնի զանգվածը, անհավասար շարժման ընթացքում անցած հեռավորությունը և շատ ավելին: Պետք է հիշել, որ ինտեգրալը անսահման մեծ թվով անվերջ փոքր անդամների գումարն է։

Որպես օրինակ, պատկերացրեք ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Ինչպե՞ս գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի մակերեսը: Օգտագործելով ինտեգրալ: Եկեք բաժանենք կորագիծ տրապիզը, որը սահմանափակված է կոորդինատային առանցքներով և ֆունկցիայի գրաֆիկով, անվերջ փոքր հատվածների։ Այս կերպ գործիչը կբաժանվի բարակ սյունակների։ Սյուների տարածքների գումարը կլինի trapezoid-ի տարածքը: Բայց հիշեք, որ նման հաշվարկը մոտավոր արդյունք կտա։ Այնուամենայնիվ, որքան փոքր և նեղ հատվածները, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի հաշվարկը: Եթե ​​դրանք փոքրացնենք այնքան, որ երկարությունը ձգվի զրոյի, ապա հատվածների տարածքների գումարը կձգտի նկարի մակերեսին: Սա որոշակի ինտեգրալ է, որը գրված է այսպես.

a և b կետերը կոչվում են ինտեգրման սահմաններ:

« Անբաժանելի »

Իմիջայլոց! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ

Կեղծիքների համար ինտեգրալների հաշվարկման կանոններ

Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները

Ինչպե՞ս լուծել անորոշ ինտեգրալ: Այստեղ կանդրադառնանք անորոշ ինտեգրալի հատկություններին, որոնք օգտակար կլինեն օրինակներ լուծելիս։

• Ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանտին.

• Հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանի տակից.

• Գումարի ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին։ Սա ճիշտ է նաև տարբերության համար.

Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները

• Գծայինություն:

• Ինտեգրացիայի նշանը փոխվում է, եթե փոխվում են ինտեգրման սահմանները.

• ժամը ցանկացածմիավորներ ա, բԵվ Հետ:

Մենք արդեն պարզել ենք, որ որոշակի ինտեգրալը գումարի սահմանն է։ Բայց ինչպե՞ս ստանալ կոնկրետ արժեք օրինակ լուծելիս: Դրա համար կա Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Ինտեգրալների լուծման օրինակներ

Ստորև կդիտարկենք անորոշ ինտեգրալը և լուծումներով օրինակներ։ Առաջարկում ենք ինքներդ պարզել լուծման բարդությունները, իսկ եթե ինչ-որ բան անհասկանալի է, հարցեր տվեք մեկնաբանություններում:

Նյութն ամրապնդելու համար դիտեք տեսանյութ, թե ինչպես են գործնականում լուծվում ինտեգրալները: Մի հուսահատվեք, եթե ինտեգրալը միանգամից չտրվի։ Կապվեք ուսանողների համար մասնագիտական ​​ծառայության հետ, և փակ մակերեսի վրա գտնվող ցանկացած եռակի կամ կոր ինտեգրալ ձեր ուժերի սահմաններում կլինի:

Այս հոդվածում մանրամասն խոսվում է որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունների մասին: Դրանք ապացուցված են՝ օգտագործելով Ռիմանի և Դարբուի ինտեգրալի հայեցակարգը: Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկը տեղի է ունենում 5 հատկության շնորհիվ. Մնացածները օգտագործվում են տարբեր արտահայտություններ գնահատելու համար:

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկություններին անցնելուց առաջ անհրաժեշտ է համոզվել, որ a-ն չի գերազանցում b-ն։

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

x = a-ով սահմանված y = f (x) ֆունկցիան նման է արդար հավասարությանը ∫ a a f (x) d x = 0:

Ապացույց 1

Այստեղից մենք տեսնում ենք, որ համընկնող սահմաններով ինտեգրալի արժեքը հավասար է զրոյի։ Սա Ռիմանի ինտեգրալի հետևանքն է, քանի որ յուրաքանչյուր ինտեգրալ գումար σ ցանկացած բաժանման համար միջակայքում [a; a ] և ζ i կետերի ցանկացած ընտրություն հավասար է զրոյի, քանի որ x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2, . . . , n, ինչը նշանակում է, որ մենք գտնում ենք, որ ինտեգրալ ֆունկցիաների սահմանը զրո է։

Սահմանում 2

Գործառույթի համար, որն ինտեգրելի է [a; b ] , ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x պայմանը բավարարված է։

Ապացույց 2

Այլ կերպ ասած, եթե դուք փոխում եք ինտեգրման վերին և ստորին սահմանները, ինտեգրալի արժեքը կփոխվի հակառակ արժեքի: Այս հատկությունը վերցված է Ռիմանի ինտեգրալից։ Այնուամենայնիվ, հատվածի բաժանման համարակալումը սկսվում է x = b կետից:

Սահմանում 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x կիրառվում է y = f (x) և y = g (x) տիպի ինտեգրելի ֆունկցիաների նկատմամբ, որոնք սահմանված են [ a ; բ ] .

Ապացույց 3

Գրե՛ք y = f (x) ± g (x) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը՝ ζ i կետերի տրված ընտրությամբ հատվածների բաժանելու համար. σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

որտեղ σ f և σ g y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաների ինտեգրալ գումարներն են հատվածը բաժանելու համար: Սահմանին անցնելուց հետո λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 մենք ստանում ենք, որ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Ռիմանի սահմանումից այս արտահայտությունը համարժեք է։

Սահմանում 4

Ընդլայնելով հաստատուն գործոնը որոշակի ինտեգրալի նշանից այն կողմ: Ինտեգրված ֆունկցիա [a; b ] կամայական k արժեքով ունի ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ձևի արդար անհավասարություն:

Ապացույց 4

Որոշակի ինտեգրալ հատկության ապացույցը նման է նախորդին.

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Սահմանում 5

Եթե ​​y = f (x) ձևի ֆունկցիան ինտեգրելի է x միջակայքում ∈ x, b ∈ x-ով, ապա մենք ստանում ենք, որ ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d. x.

Ապացույց 5

Գույքը համարվում է վավեր c ∈ a; b, c ≤ a-ի և c ≥ b-ի համար: Ապացույցը նման է նախորդ հատկություններին.

Սահմանում 6

Երբ ֆունկցիան կարող է ինտեգրելի լինել [a; b ], ապա դա հնարավոր է ցանկացած ներքին հատվածի համար c; d ∈ a ; բ.

Ապացույց 6

Ապացույցը հիմնված է Darboux հատկության վրա. եթե կետերը ավելացվեն հատվածի գոյություն ունեցող բաժանմանը, ապա ստորին Darboux-ի գումարը չի նվազի, իսկ վերինը՝ չի ավելանա:

Սահմանում 7

Երբ ֆունկցիան ինտեգրելի է [a; b ] f-ից (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ցանկացած արժեքի համար x ∈ a ; b , ապա մենք ստանում ենք, որ ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 :

Հատկությունը կարելի է ապացուցել՝ օգտագործելով Ռիմանի ինտեգրալի սահմանումը. հատվածի բաժանման կետերի ցանկացած ընտրության և ζ i կետերի ցանկացած ինտեգրալ գումար՝ պայմանով, որ f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ոչ բացասական է։ .

Ապացույց 7

Եթե ​​y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրելի են [ a ; b ], ապա վավեր են համարվում հետևյալ անհավասարությունները.

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; բ

Հայտարարության շնորհիվ մենք գիտենք, որ ինտեգրումը թույլատրելի է։ Այս եզրակացությունը կօգտագործվի այլ հատկությունների ապացուցման համար:

Սահմանում 8

Ինտեգրելի ֆունկցիայի համար y = f (x) [ a ; b ] մենք ունենք ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ձևի արդար անհավասարություն:

Ապացույց 8

Մենք ունենք, որ - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Նախորդ հատկությունից մենք գտանք, որ անհավասարությունը կարող է ինտեգրվել տերմին առ անդամ և այն համապատասխանում է անհավասարության՝ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x : Այս կրկնակի անհավասարությունը կարելի է գրել մեկ այլ ձևով՝ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x:

Սահմանում 9

Երբ y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրված են [ a ; b ] g (x)-ի համար ≥ 0 ցանկացած x ∈ a ; b , մենք ստանում ենք m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x, որտեղ m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Ապացույց 9

Ապացուցումն իրականացվում է նույն ձևով. M և m-ը համարվում են y = f (x) ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները, որոնք սահմանված են [a; b ] , ապա m ≤ f (x) ≤ M . Անհրաժեշտ է կրկնակի անհավասարությունը բազմապատկել y = g (x) ֆունկցիայով, որը տալիս է արժեքը. կրկնակի անհավասարություն m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Անհրաժեշտ է այն ինտեգրել [a; b ] , այնուհետև մենք ստանում ենք ապացուցման ենթակա պնդումը:

Հետևանք. g (x) = 1-ի համար անհավասարությունը ստանում է m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Առաջին միջին բանաձևը

y = f (x) համար ինտեգրելի [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) կա μ ∈ m թիվ; M , որը համապատասխանում է ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Հետևանք. Երբ y = f (x) ֆունկցիան շարունակական է [ a ; b ], ապա կա c ∈ a թիվը; b, որը բավարարում է ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Առաջին միջին բանաձևը ընդհանրացված ձևով

Երբ y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրելի են [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) , և g (x) > 0 x ∈ a արժեքի համար; բ. Այստեղից մենք ունենք, որ կա μ ∈ m թիվ; M , որը բավարարում է ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x.

Երկրորդ միջին բանաձևը

Երբ y = f (x) ֆունկցիան ինտեգրելի է [ a ; b ], և y = g (x) միապաղաղ է, ապա կա մի թիվ, որը c ∈ a; b , որտեղ մենք ստանում ենք ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Դիֆերենցիալ հաշվարկում խնդիրը լուծվում է. Այս ֆունկցիայի տակ ƒ(x) գտեք նրա ածանցյալը(կամ դիֆերենցիալ): Ինտեգրալ հաշվարկը լուծում է հակադարձ խնդիրը՝ գտե՛ք F(x) ֆունկցիան՝ իմանալով դրա ածանցյալը F "(x)=ƒ(x) (կամ դիֆերենցիալ): Փնտրվող F(x) ֆունկցիան կոչվում է ƒ(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալ: )

Կանչվում է F(x) ֆունկցիան հակաածանցյալƒ(x) ֆունկցիան (a; b), եթե որևէ x-ի համար (a; b) հավասարությունը

F "(x)=ƒ(x) (կամ dF(x)=ƒ(x)dx):

Օրինակ, y = x 2, x є R ֆունկցիայի հակաածանցյալը ֆունկցիան է, քանի որ.

Ակնհայտ է, որ ցանկացած գործառույթ նույնպես հակաածանցյալ է լինելու

որտեղ C-ն հաստատուն է, քանի որ

Թեորեմ 29. 1. Եթե F(x) ֆունկցիան (a;b) ƒ(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա ƒ(x)-ի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը տրվում է F(x)+ բանաձևով։ C, որտեղ C-ն հաստատուն թիվ է:

▲ F(x)+C ֆունկցիան ƒ(x) հակաածանցյալն է:

Իրոք, (F(x)+C) " =F" (x)=ƒ(x):

Թող Ф(х) լինի ƒ(x) ֆունկցիայի այլ հակաածանցյալ, որը տարբերվում է F(x-ից), այսինքն. Ф"(x)=ƒ(х): Այնուհետև ցանկացած x є (а; բ) մենք ունենք.

Իսկ սա նշանակում է (տես Հետևություն 25.1), որ

որտեղ C-ն հաստատուն թիվ է: Հետևաբար, Ф(x)=F(x)+С.▼

Բոլոր հակաածանցյալ ֆունկցիաների բազմությունը F(x)+С ƒ(x)-ի համար կոչվում է ƒ(x) ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալև նշանակվում է ∫ ƒ(x) dx նշանով։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Այստեղ կոչվում է ƒ(x): ինտեգրացիոն ֆունկցիա, ƒ(x)dx — ինտեգրալ արտահայտություն, X - ինտեգրման փոփոխական, ∫ -անորոշ ինտեգրալի նշան.

Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու գործողությունը կոչվում է այս ֆունկցիայի ինտեգրում։

Երկրաչափական առումով անորոշ ինտեգրալը «զուգահեռ» կորերի ընտանիք է y=F(x)+C (C-ի յուրաքանչյուր թվային արժեքը համապատասխանում է ընտանիքի որոշակի կորին) (տե՛ս նկ. 166): Յուրաքանչյուր հակաածանցյալի (կորի) գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալ կոր.

Արդյո՞ք յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի անորոշ ինտեգրալ:

Կա մի թեորեմ, որը նշում է, որ «ամեն մի շարունակական ֆունկցիա այս միջակայքում ունի հակաածանցյալ» և, հետևաբար, անորոշ ինտեգրալ։

Եկեք նշենք անորոշ ինտեգրալի մի շարք հատկություններ, որոնք բխում են դրա սահմանումից:

1. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրալին, իսկ անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրալին.

դ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Իրոք, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x):

Այս հատկության շնորհիվ ինտեգրման ճիշտությունը ստուգվում է տարբերակմամբ։ Օրինակ՝ հավասարությունը

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

ճիշտ է, քանի որ (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4:

2. Որոշակի ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին.

∫dF(x)= F(x)+C.

Իսկապես,

3. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

α ≠ 0 հաստատուն է:

Իսկապես,

(դնել C 1 / a = C.)

4. Վերջավոր թվով շարունակական ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի անորոշ ինտեգրալը հավասար է ֆունկցիաների գումարելիների ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

Թող F"(x)=ƒ(x) և G"(x)=g(x): Հետո

որտեղ C 1 ± C 2 = C.

5. (Ինտեգրման բանաձեւի անփոփոխություն):

Եթե , որտեղ u=φ(x) շարունակական ածանցյալով կամայական ֆունկցիա է։

▲ Թող x լինի անկախ փոփոխական, ƒ(x) - շարունակական գործառույթիսկ F(x) նրա հակագենն է: Հետո

Այժմ սահմանենք u=φ(x), որտեղ φ(x)-ը շարունակաբար տարբերվող ֆունկցիա է: Դիտարկենք բարդ ֆունկցիան F(u)=F(φ(x)): Ֆունկցիայի առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխության պատճառով (տե՛ս էջ 160) ունենք.

Այստեղից ▼

Այսպիսով, անորոշ ինտեգրալի բանաձևը մնում է ուժի մեջ՝ անկախ նրանից, թե ինտեգրման փոփոխականը անկախ փոփոխականն է, թե նրա որևէ ֆունկցիա, որն ունի շարունակական ածանցյալ։

Այսպիսով, բանաձեւից x-ը u-ով (u=φ(x)) փոխարինելով՝ ստանում ենք

Մասնավորապես,

Օրինակ 29.1.Գտե՛ք ինտեգրալը

որտեղ C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Օրինակ 29.2.Գտեք ամբողջական լուծումը.

• 29.3. Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

Օգտվելով այն հանգամանքից, որ ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ գործողություն է, կարելի է ստանալ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ՝ շրջելով դիֆերենցիալ հաշվարկի համապատասխան բանաձևերը (դիֆերենցիալների աղյուսակ) և օգտագործելով անորոշ ինտեգրալի հատկությունները։

Օրինակ, որովհետեւ

d(sin u)=cos u . դու

Աղյուսակում մի շարք բանաձևերի ածանցումը տրվելու է ինտեգրման հիմնական մեթոդները դիտարկելիս:

Ստորև բերված աղյուսակի ինտեգրալները կոչվում են աղյուսակային: Նրանք պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ինտեգրալ հաշվարկում տարրական ֆունկցիաների հակաածանցյալներ գտնելու պարզ և համընդհանուր կանոններ չկան, ինչպես դիֆերենցիալ հաշվում։ Հակաածանցյալներ գտնելու մեթոդները (այսինքն՝ ֆունկցիայի ինտեգրում) կրճատվում են՝ ցույց տալու այն տեխնիկան, որը տվյալ (փնտրվող) ինտեգրալը բերում է աղյուսակայինին: Ուստի անհրաժեշտ է իմանալ աղյուսակի ինտեգրալները և կարողանալ ճանաչել դրանք։

Նկատի ունեցեք, որ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակում ինտեգրման փոփոխականը կարող է նշանակել ինչպես անկախ փոփոխական, այնպես էլ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա (ըստ ինտեգրման բանաձևի ինվարիանտության հատկության):

Ստորև բերված բանաձևերի վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ վերցնելով աջ կողմի դիֆերենցիալը, որը հավասար կլինի բանաձևի ձախ կողմի ինտեգրմանը:

Եկեք ապացուցենք, օրինակ, 2-րդ բանաձևի վավերականությունը: 1/u ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է զրոյից բացի բոլոր արժեքների համար:

Եթե ​​u > 0, ապա ln|u|=lnu, ապա Ահա թե ինչու

Եթե ​​դու<0, то ln|u|=ln(-u). НоՄիջոցներ

Այսպիսով, բանաձև 2-ը ճիշտ է: Նմանապես, եկեք ստուգենք 15-րդ բանաձևը.

Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ

Ընկերներ! Հրավիրում ենք քննարկելու։ Եթե ​​ունեք ձեր կարծիքը, գրեք մեզ մեկնաբանություններում։