Ինտեգրում - MT1205. մաթեմատիկական վերլուծություն տնտեսագետների համար - բիզնես ինֆորմատիկա. Որոշ կոտորակների ինտեգրում: Կոտորակների ինտեգրման կանոնների լուծման մեթոդներ և տեխնիկա

Կոտորակը կոչվում է ճիշտ, եթե համարիչի ամենաբարձր աստիճանը փոքր է հայտարարի ամենաբարձր աստիճանից։ Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրալն ունի ձև.

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման բանաձևը կախված է հայտարարի բազմանդամի արմատներից։ Եթե ​​$ ax^2+bx+c $ բազմանդամն ունի.

1. Միայն բարդ արմատներ, այնուհետև պետք է դրանից հանել ամբողջական քառակուսի՝ $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Տարբեր իրական արմատներ $ x_1 $ և $ x_2 $, ապա պետք է ընդլայնել ինտեգրալը և գտնել $ A $ և $ B $ անորոշ գործակիցները. $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Մեկ բազմակի արմատ $ x_1 $, այնուհետև մենք ընդլայնում ենք ինտեգրալը և գտնում ենք $ A $ և $ B $ անորոշ գործակիցները հետևյալ բանաձևի համար. $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Եթե ​​կոտորակն է սխալ, այսինքն՝ համարիչի ամենաբարձր աստիճանը մեծ է կամ հավասար է հայտարարի ամենաբարձր աստիճանին, այնուհետև նախ այն պետք է իջեցվի մինչև ճիշտձև՝ բազմանդամը համարիչից բաժանելով հայտարարի բազմանդամի վրա։ IN այս դեպքումՌացիոնալ կոտորակի ինտեգրման բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Լուծումների օրինակներ

Այս թեմայում ներկայացված նյութը հիմնված է «Ռացիոնալ կոտորակներ. Ռացիոնալ կոտորակների տարրալուծումը տարրական (պարզ) կոտորակների» թեմայում ներկայացված տեղեկատվության վրա։ Խստորեն խորհուրդ եմ տալիս, որ նախքան ընթերցանությանն անցնելը, գոնե շրջանցեք այս թեման: այս նյութից. Բացի այդ, մեզ անհրաժեշտ կլինի անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ:

Մի երկու տերմին հիշեցնեմ. Դրանք քննարկվել են համապատասխան թեմայում, ուստի այստեղ սահմանափակվեմ համառոտ ձևակերպմամբ.

Երկու $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ երկու բազմանդամների հարաբերությունը կոչվում է ռացիոնալ ֆունկցիա կամ ռացիոնալ կոտորակ։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է ճիշտ, եթե $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется սխալ.

Տարրական (ամենապարզ) ռացիոնալ կոտորակները չորս տեսակի ռացիոնալ կոտորակներ են.

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Նշում (ցանկալի է տեքստի ավելի ամբողջական ընկալման համար) ցույց տալ/թաքցնել

Ինչու՞ է անհրաժեշտ $p^2-4q պայմանը:< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Օրինակ՝ $x^2+5x+10$ արտահայտության համար ստանում ենք՝ $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$։ Քանի որ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Ի դեպ, այս ստուգման համար ամենևին էլ պարտադիր չէ, որ $x^2$-ից առաջ գործակիցը հավասար լինի 1-ի։ Օրինակ՝ $5x^2+7x-3=0$-ի դեպքում ստանում ենք $D=7^։ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109։ Քանի որ $D > 0$, $5x^2+7x-3$ արտահայտությունը կարող է ֆակտորիզացվել:

Գտնվում են ռացիոնալ կոտորակների օրինակներ (պատշաճ և ոչ պատշաճ), ինչպես նաև ռացիոնալ կոտորակի տարրականի տարրալուծման օրինակներ։ Այստեղ մեզ կհետաքրքրեն միայն դրանց ինտեգրման հարցերը։ Սկսենք տարրական կոտորակների ինտեգրումից։ Այսպիսով, վերը նշված տարրական կոտորակների չորս տեսակներից յուրաքանչյուրը հեշտ է ինտեգրվել՝ օգտագործելով ստորև բերված բանաձևերը: Հիշեցնեմ, որ (2) և (4) տիպերի կոտորակները ինտեգրելիս ենթադրվում է $n=2,3,4,\ldots$։ (3) և (4) բանաձևերը պահանջում են $p^2-4q պայմանի կատարում< 0$.

\սկիզբ(հավասարում) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(հավասարում)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ի համար կատարվում է $t=x+\frac(p)(2)$ փոխարինումը, որից հետո ստացված միջակայքը. բաժանված է երկուսի. Առաջինը կհաշվարկվի՝ մուտքագրելով դիֆերենցիալ նշանի տակ, իսկ երկրորդը կունենա $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ ձևը։ Այս ինտեգրալը վերցված է ռեցիդիվի կապի միջոցով

\սկիզբ(հավասարում) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\վերջ (հավասարում)

Նման ինտեգրալի հաշվարկը քննարկվում է թիվ 7 օրինակում (տես երրորդ մասը)։

Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների (ռացիոնալ կոտորակների) հաշվարկման սխեման.

1. Եթե ​​ինտեգրանդը տարրական է, ապա կիրառեք (1)-(4) բանաձևերը։
2. Եթե ​​ինտեգրանդը տարրական չէ, ապա այն ներկայացրեք որպես տարրական կոտորակների գումար, այնուհետև ինտեգրեք (1)-(4) բանաձևերով։

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման վերը նշված ալգորիթմն ունի անհերքելի առավելություն՝ այն ունիվերսալ է։ Նրանք. օգտագործելով այս ալգորիթմը կարող եք ինտեգրվել ցանկացածռացիոնալ կոտորակ. Այդ իսկ պատճառով անորոշ ինտեգրալում փոփոխականների գրեթե բոլոր փոփոխությունները (Էյլեր, Չեբիշև, համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում) կատարվում են այնպես, որ այս փոփոխությունից հետո մենք ստանում ենք ռացիոնալ կոտորակ միջակայքի տակ։ Եվ հետո կիրառեք ալգորիթմը դրա վրա: Մենք կվերլուծենք այս ալգորիթմի ուղղակի կիրառությունը՝ օգտագործելով օրինակներ՝ փոքրիկ նշում կատարելուց հետո։

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Սկզբունքորեն, այս ինտեգրալը հեշտ է ձեռք բերել առանց բանաձևի մեխանիկական կիրառման: Եթե ​​ինտեգրալ նշանից հանենք $7$ հաստատունը և հաշվի առնենք, որ $dx=d(x+9)$, ապա կստանանք.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Մանրամասն տեղեկությունների համար խորհուրդ եմ տալիս նայել թեմային։ Այն մանրամասն բացատրում է, թե ինչպես են լուծվում նման ինտեգրալները։ Ի դեպ, բանաձևը ապացուցվում է նույն փոխակերպումներով, որոնք կիրառվել են այս պարբերությունում այն ​​«ձեռքով» լուծելիս։

2) Կրկին երկու ճանապարհ կա՝ օգտագործեք պատրաստի բանաձևը կամ արեք առանց դրա: Եթե ​​կիրառում եք բանաձևը, ապա պետք է հաշվի առնել, որ $x$-ի դիմաց (թիվ 4) գործակիցը պետք է հանվի։ Դա անելու համար եկեք պարզապես փակագծերից հանենք այս չորսը.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\աջ)\աջ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\ձախ(x+\frac(19)(4)\աջ)^8): $$

Այժմ ժամանակն է կիրառել բանաձևը.

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\աջ)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\ձախ(x+\frac(19)(4) \աջ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \աջ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \աջ )^7)+C. $$

Դուք կարող եք անել առանց բանաձևի օգտագործման. Եվ նույնիսկ առանց փակագծերից հանելու մշտական ​​$4$: Եթե ​​հաշվի առնենք, որ $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, ապա կստանանք.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Նման ինտեգրալների հայտնաբերման մանրամասն բացատրությունները տրված են «Ինտեգրում փոխարինմամբ (փոխարինում դիֆերենցիալ նշանի տակ)» թեմայում:

3) Պետք է ինտեգրենք $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ կոտորակը։ Այս կոտորակն ունի $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ կառուցվածքը, որտեղ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$։ Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ սա իսկապես երրորդ տիպի տարրական մասն է, դուք պետք է ստուգեք, որ $p^2-4q պայմանը բավարարված է:< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Եկեք լուծենք նույն օրինակը, բայց առանց պատրաստի բանաձև օգտագործելու։ Փորձենք մեկուսացնել հայտարարի ածանցյալը համարիչում։ Ինչ է սա նշանակում? Մենք գիտենք, որ $(x^2+10x+34)"=2x+10$: Դա $2x+10$ արտահայտությունն է, որը մենք պետք է առանձնացնենք համարիչում: Առայժմ համարիչը պարունակում է ընդամենը $4x+7$, բայց սա երկար չի տևի։ Եկեք համարիչին կիրառենք հետևյալ փոխակերպումը.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Այժմ համարիչում հայտնվում է պահանջվող $2x+10$ արտահայտությունը։ Իսկ մեր ինտեգրալը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx: $$

Եկեք բաժանենք ինտեգրանդը երկու մասի: Դե, և, համապատասխանաբար, ինքնին ինտեգրալը նույնպես «երկկողմանված» է.

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \աջ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34): $$

Եկեք նախ խոսենք առաջին ինտեգրալի մասին, այսինքն. մոտ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$: Քանի որ $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ուրեմն ինտեգրանդի համարիչը պարունակում է հայտարարի դիֆերենցիալը: Մի խոսքով, փոխարենը. $( 2x+10)dx$ արտահայտության մեջ գրում ենք $d(x^2+10x+34)$։

Հիմա մի քանի խոսք ասենք երկրորդ ինտեգրալի մասին։ Եկեք հայտարարի մեջ ընտրենք ամբողջական քառակուսի` $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$: Բացի այդ, մենք հաշվի ենք առնում $dx=d(x+5)$: Այժմ մեր նախկինում ստացված ինտեգրալների գումարը կարող է վերաշարադրվել մի փոքր այլ ձևով.

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))(x+5)^2+ 9): $$

Եթե ​​առաջին ինտեգրալում կատարենք $u=x^2+10x+34$-ի փոխարինումը, ապա այն կստանա $\int\frac(du)(u)$ ձևը և կարելի է ստանալ՝ պարզապես կիրառելով երկրորդ բանաձևը. . Ինչ վերաբերում է երկրորդ ինտեգրալին, ապա դրա համար իրագործելի է $u=x+5$ փոփոխությունը, որից հետո այն կստանա $\int\frac(du)(u^2+9)$ ձևը։ Սա ամենամաքուր տասնմեկերորդ բանաձևն է անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից։ Այսպիսով, վերադառնալով ինտեգրալների գումարին, մենք ունենք.

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ստացանք նույն պատասխանը, ինչ բանաձեւը կիրառելիս, ինչը, խիստ ասած, զարմանալի չէ։ Ընդհանուր առմամբ, բանաձևն ապացուցվում է նույն մեթոդներով, որոնք մենք օգտագործել ենք այս ինտեգրալը գտնելու համար։ Կարծում եմ, որ ուշադիր ընթերցողն այստեղ կարող է ունենալ մեկ հարց, ուստի ես այն կձևակերպեմ.

Հարց թիվ 1

Եթե ​​անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից երկրորդ բանաձեւը կիրառենք $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ ինտեգրալին, ապա կստանանք հետևյալը.

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Ինչու՞ լուծման մեջ մոդուլ չկար:

Պատասխան թիվ 1 հարցին

Հարցը միանգամայն բնական է. Մոդուլը բացակայում էր միայն այն պատճառով, որ $x^2+10x+34$ ցանկացած $x\in R$ արտահայտությունը զրոյից մեծ է: Սա բավականին հեշտ է ցույց տալ մի քանի ձևով. Օրինակ, քանի որ $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ և $(x+5)^2 ≥ 0$, ապա $(x+5)^2+9 > 0$ . Դուք կարող եք այլ կերպ մտածել՝ չօգտագործելով ամբողջական քառակուսի ընտրությունը: Քանի որ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ ցանկացած $x\in R$-ի համար (եթե այս տրամաբանական շղթան զարմանալի է, խորհուրդ եմ տալիս նայել քառակուսի անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդին)։ Ամեն դեպքում, քանի որ $x^2+10x+34 > 0$, ապա $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, այսինքն. Մոդուլի փոխարեն կարող եք օգտագործել սովորական փակագծեր։

Թիվ 1 օրինակի բոլոր կետերը լուծված են, մնում է պատասխանը գրել։

Պատասխանել:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ինտեգրալը:

Առաջին հայացքից $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ինտեգրանդ կոտորակը շատ նման է երրորդ տիպի տարրական կոտորակին, այսինքն. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$-ով: Թվում է, թե միակ տարբերությունը $3$ գործակիցն է $x^2$-ի դիմաց, բայց գործակիցը հեռացնելու համար երկար ժամանակ չի պահանջվում (այն փակագծերից դուրս դնել): Այնուամենայնիվ, այս նմանությունն ակնհայտ է. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ կոտորակի համար $p^2-4q պայմանը պարտադիր է.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$-ից առաջ մեր գործակիցը հավասար չէ մեկի, հետևաբար ստուգեք $p^2-4q պայմանը< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, հետևաբար $3x^2-5x-2$ արտահայտությունը կարող է ֆակտորիզացվել։ Սա նշանակում է, որ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ կոտորակը երրորդ տիպի տարրական կոտորակն չէ, և կիրառեք $\int\frac(7x+12)(3x^2-): ) ինտեգրալ 5x-2)dx$ բանաձեւին հնարավոր չէ։

Դե, եթե տրված ռացիոնալ կոտորակը տարրական կոտորակ չէ, ապա այն պետք է ներկայացվի որպես տարրական կոտորակների գումար և հետո ինտեգրվի։ Մի խոսքով, օգտվեք արահետից: Ինչպես տարրականի տարրալուծել ռացիոնալ կոտորակը, մանրամասն գրված է: Սկսենք՝ գործակցելով հայտարարը.

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ վերջ (հավասարեցված)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\աջ)\աջ)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2): $$

Ներկայացնում ենք ենթամիջանկյալ կոտորակը հետևյալ ձևով.

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\աջ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Այժմ $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ կոտորակը տարրալուծենք տարրականների.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\ձախ(x+\frac(1)(3)\աջ))(\ձախ(x+) \frac(1)(3)\աջ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ճիշտ): $$

$A$ և $B$ գործակիցները գտնելու համար կա երկու ստանդարտ եղանակ՝ չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ և մասնակի արժեքների փոխարինման եղանակ։ Եկեք կիրառենք մասնակի արժեքի փոխարինման մեթոդը՝ փոխարինելով $x=2$ և ապա $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\աջ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\աջ)+B\ձախ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Քանի որ գործակիցները գտնվել են, մնում է միայն գրել ավարտված ընդլայնումը.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2): $$

Սկզբունքորեն, դուք կարող եք թողնել այս գրառումը, բայց ինձ դուր է գալիս ավելի ճշգրիտ տարբերակ.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2): $$

Վերադառնալով սկզբնական ինտեգրալին, մենք փոխարինում ենք դրա արդյունքում առաջացած ընդլայնումը: Այնուհետև ինտեգրալը երկուսի ենք բաժանում և յուրաքանչյուրի համար կիրառում ենք բանաձևը։ Ես նախընտրում եմ անմիջապես տեղադրել հաստատունները ինտեգրալ նշանից դուրս.

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\աջ)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\աջ)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Պատասխանել$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\աջ| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\int\frac(x^2-38x+157)(x-1)(x+4)(x-9))dx$ ինտեգրալը:

Մենք պետք է ինտեգրենք $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ կոտորակը: Համարիչը պարունակում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամ, իսկ հայտարարը՝ երրորդ աստիճանի բազմանդամ։ Քանի որ բազմանդամի աստիճանը համարիչում փոքր է, քան հայտարարի բազմանդամի աստիճանը, այսինքն. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9): $$

Մեզ մնում է միայն տրված ինտեգրալը բաժանել երեքի և կիրառել բանաձեւը յուրաքանչյուրի վրա։ Ես նախընտրում եմ անմիջապես տեղադրել հաստատունները ինտեգրալ նշանից դուրս.

$$ \int\frac(x^2-38x+157)(x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Պատասխանել$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Այս թեմայի օրինակների վերլուծության շարունակությունը գտնվում է երկրորդ մասում:

Հիշեցնենք, որ կոտորակային-ռացիոնալկոչվում են $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x) ձևի ֆունկցիաներ, ընդհանուր դեպքում $$-ը երկու բազմանդամների %%P_n(x)%% և % հարաբերակցությունն է։ %Q_m(x)% %.

Եթե ​​%%m > n \geq 0%%, ապա կանչվում է ռացիոնալ կոտորակը ճիշտ, հակառակ դեպքում՝ սխալ։ Օգտագործելով բազմանդամների բաժանման կանոնը, ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես %%P_(n - m)%% %%n - m%% աստիճանի բազմանդամի գումար և որոշ պատշաճ կոտորակի գումար, այսինքն. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ որտեղ աստիճանը %%l%% %%P_l(x)%% բազմանդամից փոքր է %%n%% բազմանդամի %%Q_n(x)%% աստիճանից:

Այսպիսով, անորոշ ինտեգրալՌացիոնալ ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի անորոշ ինտեգրալների գումար։

Ինտեգրալներ պարզ ռացիոնալ կոտորակներից

Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների շարքում առանձնանում են չորս տեսակ, որոնք դասակարգվում են որպես պարզ ռացիոնալ կոտորակներ:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\ցուցադրման ոճ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\ցուցադրման ոճ \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

որտեղ %%k > 1%% ամբողջ թիվ է, իսկ %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. քառակուսի հավասարումներիրական արմատներ չունեն:

Առաջին երկու տեսակների կոտորակների անորոշ ինտեգրալների հաշվարկը

Առաջին երկու տիպի կոտորակների անորոշ ինտեգրալների հաշվարկը դժվարություններ չի առաջացնում՝ $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \վերջ (զանգված) $$

Երրորդ տիպի կոտորակների անորոշ ինտեգրալների հաշվարկ

Մենք նախ փոխակերպում ենք երրորդ տիպի կոտորակը` նշելով կատարյալ քառակուսին հայտարարի մեջ. $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ սկսած %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, որը մենք նշում ենք %%a^2%%: Փոխարինելով նաև %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, փոխակերպում ենք հայտարարը և գրում ենք երրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը $$ \begin(զանգված) տեսքով. )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \վերջ (զանգված) $$

Օգտագործելով անորոշ ինտեգրալի գծայինությունը՝ վերջին ինտեգրալը ներկայացնում ենք երկուսի գումարով և դրանցից առաջինում ներկայացնում ենք %%t%% դիֆերենցիալ նշանի տակ՝ $$ \begin(array)(ll) \int \frac: (At + (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \ձախ(B - \frac(pA)(2)\աջ)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\աջ))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \ձախ| t^2 + a^2\աջ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \վերջ (զանգված) $$

Վերադառնալով սկզբնական փոփոխականին %%x%%, արդյունքում, երրորդ տիպի մասի համար մենք ստանում ենք $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \ձախ| x^2 + px + q\աջ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ որտեղ %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %:

4-րդ տիպի ինտեգրալի հաշվարկը դժվար է և, հետևաբար, ներառված չէ այս դասընթացում:

Նախքան կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու համար պարզ կոտորակների ինտեգրումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում անցնել «Կոտորակների տարրալուծումը պարզի» բաժինը:

Օրինակ 1

Գտնենք ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x անորոշ ինտեգրալը:

Լուծում

Ընտրենք ամբողջ մասը՝ բազմանդամը բազմանդամի վրա սյունակով բաժանելով՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ ինտեգրանդի համարիչի աստիճանը հավասար է հայտարարի աստիճանին.

Հետևաբար 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x: Մենք ստացել ենք ճիշտ ռացիոնալ կոտորակը` 2 x + 3 x 3 + x, որն այժմ կքայքայենք պարզ կոտորակների` 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1: Հետևաբար,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Մենք ստացել ենք երրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակի ինտեգրալը։ Դուք կարող եք վերցնել այն, տեղադրելով այն դիֆերենցիալ նշանի տակ:

Քանի որ d x 2 + 1 = 2 x d x, ապա 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1: Ահա թե ինչու
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 l x n + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Հետևաբար,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , որտեղ C = - C 1

Եկեք նկարագրենք չորս տեսակներից յուրաքանչյուրի պարզ կոտորակների ինտեգրման մեթոդները:

Առաջին տիպի A x - a պարզ կոտորակների ինտեգրում

Այս խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք ուղղակի ինտեգրման մեթոդը.

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Օրինակ 2

Գտե՛ք y = 3 2 x - 1 ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը։

Լուծում

Օգտագործելով ինտեգրման կանոնը, հակաածանցյալի հատկությունները և հակաածանցյալների աղյուսակը, գտնում ենք անորոշ ինտեգրալը ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C.

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Պատասխան՝ ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Երկրորդ տեսակի A x - a n պարզ կոտորակների ինտեգրում

Ուղղակի ինտեգրման մեթոդը կիրառելի է նաև այստեղ՝ ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է գտնել ∫ d x 2 x - 3 7 անորոշ ինտեգրալը։

Լուծում

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Պատասխան.∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Երրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Առաջին քայլը ∫ M x + N x 2 + p x + q անորոշ ինտեգրալը որպես գումար ներկայացնելն է.

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Առաջին ինտեգրալը վերցնելու համար մենք օգտագործում ենք դիֆերենցիալ նշանի հավաքագրման մեթոդը.

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x - 2 + p x + p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Ահա թե ինչու,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Ստացանք ∫ d x x 2 + p x + q ինտեգրալը: Փոխակերպենք դրա հայտարարը.

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Հետևաբար,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Երրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրման բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է գտնել ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x անորոշ ինտեգրալը:

Լուծում

Եկեք կիրառենք բանաձևը.

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Երկրորդ լուծումն այսպիսի տեսք ունի.

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = փոխարկելի արժեք = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Պատասխան՝ ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

M x + N (x 2 + p x + q) չորրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակների ինտեգրումը n, D = p 2 - 4 q.< 0

Առաջին հերթին մենք կատարում ենք դիֆերենցիալ նշանի հանում.

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Այնուհետև մենք գտնում ենք J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ձևի ինտեգրալը՝ օգտագործելով կրկնության բանաձևերը։ Կրկնվող բանաձևերի մասին տեղեկություններ կարելի է գտնել «Ինտեգրում կրկնվող բանաձևերի օգտագործմամբ» թեմայում:

Մեր խնդիրը լուծելու համար J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 ձևի հերթական բանաձևը 4 q հարմար է - p 2 · J n - 1:

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել ∫ d x x 5 x 2 - 1 անորոշ ինտեգրալը։

Լուծում

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Այս տեսակի ինտեգրանդի համար մենք կօգտագործենք փոխարինման մեթոդը: Ներկայացնենք նոր փոփոխական x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Մենք ստանում ենք.

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Հասանք չորրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը գտնելուն։ Մեր դեպքում մենք ունենք գործակիցներ M = 0, p = 0, q = 1, N = 1և n = 3: Մենք կիրառում ենք կրկնվող բանաձևը.

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Հակադարձ փոխարինումից հետո z = x 2 - 1 մենք ստանում ենք արդյունքը.
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Պատասխան.∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալ հաշվարկում կոտորակի ինտեգրման հարմար բանաձև չկա: Եվ հետևաբար, կա մի տխուր միտում. որքան բարդ է կոտորակը, այնքան ավելի դժվար է գտնել դրա ինտեգրալը: Այս առումով դուք պետք է դիմեք տարբեր հնարքների, որոնց մասին հիմա կպատմեմ։ Պատրաստված ընթերցողները կարող են անմիջապես օգտվել բովանդակություն:

• Պարզ կոտորակների դիֆերենցիալ նշանի հաշվարկման եղանակը

Արհեստական ​​համարիչի փոխակերպման մեթոդ

Օրինակ 1

Ի դեպ, դիտարկվող ինտեգրալը կարող է լուծվել նաև փոփոխական մեթոդի փոփոխությամբ՝ նշելով, բայց լուծումը գրելը շատ ավելի երկար կլինի։

Օրինակ 2

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը: Կատարել ստուգում.

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Պետք է նշել, որ փոփոխական փոխարինման մեթոդն այստեղ այլևս չի աշխատի:

Ուշադրություն, կարևոր. Թիվ 1, 2 օրինակները բնորոշ են և հաճախակի են լինում. Մասնավորապես, նման ինտեգրալներ հաճախ առաջանում են այլ ինտեգրալների լուծման ժամանակ, մասնավորապես, իռացիոնալ ֆունկցիաների (արմատների) ինտեգրման ժամանակ։

Դիտարկվող տեխնիկան գործում է նաև գործում եթե համարիչի ամենաբարձր աստիճանը մեծ է հայտարարի ամենաբարձր աստիճանից.

Օրինակ 3

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը: Կատարել ստուգում.

Մենք սկսում ենք ընտրել համարիչը:

Համարիչի ընտրության ալգորիթմը մոտավորապես այսպիսին է.

1) Համարիչում ես պետք է կազմակերպեմ, բայց այնտեղ: Ինչ անել? Դնում եմ փակագծերում և բազմապատկում.

2) Հիմա ես փորձում եմ բացել այս փակագծերը, ի՞նչ է ստացվում։ . Հմմ... դա ավելի լավ է, բայց ի սկզբանե համարիչում երկու չկա: Ինչ անել? Դուք պետք է բազմապատկեք հետևյալով.

3) Կրկին բացում եմ փակագծերը. Եվ ահա առաջին հաջողությունը։ Պարզվեց ճիշտ! Բայց խնդիրն այն է, որ լրացուցիչ ժամկետ է հայտնվել։ Ինչ անել? Որպեսզի արտահայտությունը չփոխվի, ես պետք է նույնը ավելացնեմ իմ կառուցմանը.
. Կյանքն ավելի հեշտ է դարձել. Հնարավո՞ր է նորից կազմակերպել համարիչով։

4) Հնարավոր է. Արի փորձենք: . Բացեք երկրորդ կիսամյակի փակագծերը.
. Կներեք, բայց նախորդ քայլում ես իրականում ունեի, ոչ: Ինչ անել? Դուք պետք է բազմապատկեք երկրորդ անդամը հետևյալով.

5) Կրկին ստուգելու համար բացում եմ փակագծերը երկրորդ տերմինում.
. Հիմա նորմալ է՝ բխում է 3-րդ կետի վերջնական կառուցումից։ Բայց նորից կա մի փոքրիկ «բայց», ավելորդ տերմին է հայտնվել, ինչը նշանակում է, որ ես պետք է ավելացնեմ իմ արտահայտությանը.

Եթե ​​ամեն ինչ ճիշտ է արված, ապա բոլոր փակագծերը բացելիս պետք է ստանանք ինտեգրանի սկզբնական համարիչը։ Մենք ստուգում ենք.
Գլխարկ.

Այսպիսով.

Պատրաստ. Վերջին տերմինում ես օգտագործեցի ֆունկցիան դիֆերենցիալի տակ ներառելու մեթոդը:

Եթե ​​գտնենք պատասխանի ածանցյալը և արտահայտությունը հասցնենք ընդհանուր հայտարարի, ապա կստանանք հենց սկզբնական ինտեգրման ֆունկցիան։ Գումարի տարրալուծման դիտարկված մեթոդը ոչ այլ ինչ է, քան արտահայտությունը ընդհանուր հայտարարի բերելու հակադարձ գործողություն:

Նման օրինակներում համարիչն ընտրելու ալգորիթմը լավագույնս կատարվում է սևագրի տեսքով: Որոշ հմտություններով այն կաշխատի մտավոր: Հիշում եմ մի ռեկորդային դեպք, երբ կատարում էի 11-րդ ուժի սելեկցիա, և համարիչի ընդլայնումը վերցրեց Վերդի գրեթե երկու տող։

Օրինակ 4

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը: Կատարել ստուգում.

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։

Պարզ կոտորակների դիֆերենցիալ նշանի հաշվարկման եղանակը

Եկեք անցնենք հաջորդ տեսակի կոտորակների դիտարկմանը:
, , , (գործակիցները և հավասար չեն զրոյի):

Փաստորեն, դասում արդեն նշվել է արկսինի և արկտանգենտի մի երկու դեպք Փոփոխական փոփոխության մեթոդ անորոշ ինտեգրալում. Նման օրինակները լուծվում են ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ ներառելով և աղյուսակի միջոցով ինտեգրվելով։ Ահա երկար և բարձր լոգարիթմներով ավելի բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Այստեղ խորհուրդ է տրվում վերցնել ինտեգրալների աղյուսակը և տեսնել, թե ինչ բանաձևեր և Ինչպեսփոխակերպում է տեղի ունենում. Նշում, ինչպես և ինչուԱյս օրինակների քառակուսիները ընդգծված են: Մասնավորապես, օրինակ 6-ում մենք նախ պետք է ներկայացնենք հայտարարը ձևով , ապա այն բերեք դիֆերենցիալ նշանի տակ։ Եվ այս ամենը պետք է արվի, որպեսզի օգտագործվի ստանդարտ աղյուսակային բանաձեւը .

Ինչո՞ւ նայեք, փորձեք ինքներդ լուծել թիվ 7, 8 օրինակները, մանավանդ որ դրանք բավականին կարճ են.

Օրինակ 7

Օրինակ 8

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Եթե ​​ձեզ հաջողվի ստուգել այս օրինակները, ապա մեծ հարգանք՝ ձեր տարբերակման հմտությունները գերազանց են:

Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ

Ձևի ինտեգրալներ (գործակիցները և հավասար չեն զրոյի) լուծվում են ամբողջական քառակուսի արդյունահանման մեթոդ, որն արդեն հայտնվել է դասում Գրաֆիկների երկրաչափական վերափոխումները.

Փաստորեն, նման ինտեգրալները կրճատվում են մինչև չորս աղյուսակային ինտեգրալներից մեկը, որը մենք հենց նոր նայեցինք: Եվ դա ձեռք է բերվում օգտագործելով ծանոթ կրճատված բազմապատկման բանաձևերը.

Բանաձևերը կիրառվում են հենց այս ուղղությամբ, այսինքն՝ մեթոդի գաղափարը արտահայտություններն արհեստականորեն կազմակերպելն է կամ հայտարարի մեջ, այնուհետև դրանք համապատասխանաբար փոխակերպել որևէ մեկին:

Օրինակ 9

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ամենապարզ օրինակը, որի մեջ տերմինով – միավոր գործակից(և ոչ թե ինչ-որ թիվ կամ մինուս):

Եկեք նայենք հայտարարին, այստեղ ամբողջ գործն ակնհայտորեն պատահականության է հասնում։ Եկեք սկսենք փոխարկել հայտարարը.

Ակնհայտ է, որ դուք պետք է գումարեք 4: Եվ, որպեսզի արտահայտությունը չփոխվի, հանեք նույն չորսը.

Այժմ կարող եք կիրառել բանաձևը.

Փոխակերպումն ավարտվելուց հետո ՄԻՇՏՑանկալի է կատարել հակառակ քայլը՝ ամեն ինչ լավ է, սխալներ չկան։

Հարցի օրինակի վերջնական ձևավորումը պետք է նման լինի հետևյալին.

Պատրաստ. Ամփոփելով «անվճարը» բարդ գործառույթդիֆերենցիալ նշանի տակ՝ սկզբունքորեն կարելի է անտեսել

Օրինակ 10

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է, պատասխանը դասի վերջում է

Օրինակ 11

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Ի՞նչ անել, երբ առջևում մինուս կա: Այս դեպքում մենք պետք է փակագծերից հանենք մինուսը և տերմինները դասավորենք մեզ անհրաժեշտ հերթականությամբ. Մշտական(«երկու» այս դեպքում) մի դիպչիր!

Հիմա փակագծերում ավելացնում ենք մեկը։ Արտահայտությունը վերլուծելով՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ փակագծերից դուրս պետք է ավելացնել մեկը.

Այստեղ մենք ստանում ենք բանաձևը, կիրառեք.

ՄԻՇՏՄենք ստուգում ենք նախագիծը.
, ինչն էր պետք ստուգել։

Մաքուր օրինակը մոտավորապես այսպիսի տեսք ունի.

Առաջադրանքն ավելի բարդացնելով

Օրինակ 12

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Այստեղ տերմինն այլևս ոչ թե միավորի գործակից է, այլ «հինգ»։

(1) Եթե կա at հաստատուն, ապա անմիջապես այն հանում ենք փակագծերից։

(2) Ընդհանուր առմամբ, միշտ ավելի լավ է այս հաստատունը տեղափոխել ինտեգրալից դուրս, որպեսզի այն չխանգարի:

(3) Ակնհայտ է, որ ամեն ինչ կհանգեցնի բանաձևին. Մենք պետք է հասկանանք տերմինը, այն է՝ ստանալ «երկուսը»

(4) Այո, . Սա նշանակում է, որ մենք ավելացնում ենք արտահայտությանը և հանում նույն կոտորակը:

(5) Այժմ ընտրեք ամբողջական քառակուսի: Ընդհանուր դեպքում մենք նույնպես պետք է հաշվարկենք, բայց այստեղ մենք ունենք երկար լոգարիթմի բանաձևը , իսկ գործողությունը կատարելը իմաստ չունի, ինչու պարզ կդառնա ստորև։

(6) Փաստորեն, մենք կարող ենք կիրառել բանաձևը , միայն «X»-ի փոխարեն ունենք , որը չի ժխտում աղյուսակի ինտեգրալի վավերականությունը։ Խիստ ասած, մեկ քայլ բաց է թողնվել՝ ինտեգրումից առաջ ֆունկցիան պետք է ներառվեր դիֆերենցիալ նշանի տակ. , բայց, ինչպես ես բազմիցս նշել եմ, դա հաճախ անտեսվում է։

(7) Արմատի տակ գտնվող պատասխանում խորհուրդ է տրվում ընդլայնել բոլոր փակագծերը.

Դժվա՞ր: Սա ինտեգրալ հաշվարկի ամենադժվար մասը չէ: Չնայած դիտարկվող օրինակները այնքան էլ բարդ չեն, որքան պահանջում են լավ հաշվողական տեխնիկա:

Օրինակ 13

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Պատասխանը դասի վերջում է:

Կան հայտարարի մեջ արմատներով ինտեգրալներ, որոնք փոխարինման միջոցով վերածվում են դիտարկված տեսակի ինտեգրալների, որոնց մասին կարող եք կարդալ հոդվածում։ Բարդ ինտեգրալներ, բայց այն նախատեսված է շատ պատրաստված ուսանողների համար։

Համարիչը դիֆերենցիալ նշանի տակ ընդունելը

Սա դասի վերջին մասն է, սակայն այս տեսակի ինտեգրալները բավականին տարածված են: Եթե ​​հոգնած եք, գուցե ավելի լավ է վաղը կարդա՞ք։ ;)

Այն ինտեգրալները, որոնք մենք կդիտարկենք, նման են նախորդ պարբերության ինտեգրալներին, ունեն ձև՝ or (գործակիցներ , և հավասար չեն զրոյի):

Այսինքն՝ մենք այժմ ունենք գծային ֆունկցիա համարիչում։ Ինչպե՞ս լուծել նման ինտեգրալները: