Միապաղաղության և ծայրահեղ կետերի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն: Դաս «միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն»

Ծայրահեղություն և ուռուցիկություն.

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտներ

Սահմանում.Կրիտիկական կետգործառույթները ժամը = զ(X) այն կետն է, որտեղ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:

Թեորեմ.Եթե ​​(ա; բ) միջակայքում ածանցյալը դրական/բացասական, ապա ֆունկցիան մեծանում/նվազում է այս միջակայքում:

Թեորեմ.Եթե ​​կրիտիկական կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը «+»-ից «−»-ի («−»-ից «+»), ապա − ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետն է։

Սահմանում.Գործառույթ կանչեց ուռուցիկ վեր (ներքև)(a; b) միջակայքում, եթե այս միջակայքում գրաֆիկի կետերը գտնվում են այս կետերում կառուցված շոշափողների տակ (վերևում): Թեքման կետֆունկցիայի գրաֆիկի մի կետ է, որը այն բաժանում է ուռուցիկության տարբեր ուղղություններ ունեցող մասերի։

Օրինակ 2.3.

Ուսումնասիրել գործառույթը միապաղաղության և ծայրահեղության, ուռուցիկության համար:

1. Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիան միապաղաղության և ծայրահեղության համար:

Եկեք նկարենք ( բրինձ. 2.1).

դու

x

−

−

+

y

թողարկում ներքեւ

թողարկում վերև

թողարկում ներքեւ

Բրինձ. 2.2. Ուռուցիկության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն

Հաշվենք գրաֆիկի թեքման կետերի օրդինատները.

Թեքման կետերի կոորդինատները՝ (0; 0), (1; −1):

2.32. Ուսումնասիրեք գործառույթը միապաղաղության և ծայրահեղության համար.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Գտեք ֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները.

1) ընդմիջման վրա;

2) ինտերվալի վրա [−1; 1];

3) ինտերվալի վրա [−4; 4];

4) ինտերվալի վրա [−2; 1].

2.34. Արտադրության ծախսերը C (cu) կախված են արտադրանքի ծավալից X(միավորներ). Գտեք արտադրության ամենաբարձր ծախսերը, եթե Xփոխվում է ընդմիջման ընթացքում: Գտեք արժեքը X, որի դեպքում շահույթը կլինի առավելագույնը, եթե արտադրության միավորի վաճառքից ստացված հասույթը հավասար է 15 c.u. ե.

2.35. Պահանջվում է 512 մ2 մակերեսով ուղղանկյուն հողամաս հատկացնել, պարսպապատել և պարիսպով բաժանել երեք հավասար մասերի՝ տեղամասի կողմերից մեկին զուգահեռ։ Որքա՞ն պետք է լինի տեղանքի չափը, որպեսզի ցանկապատի համար օգտագործվի նվազագույն քանակությամբ նյութ:

2.36. Հաշվի առնելով ուղղանկյուն պատուհանի պարագիծը, գտե՛ք դրա չափերը, որպեսզի այն ներթափանցի առավելագույն քանակությամբ լույս:

2.37. Գտեք առավելագույն շահույթը, եթե եկամուտը R և ծախսերը C որոշվում են բանաձևերով X- վաճառված ապրանքների քանակը.

2.38. Արտադրության ծավալի կախվածությունը Վկապիտալ ծախսերից TOորոշվում է գործառույթով
Գտեք փոփոխության միջակայքը TO, որտեղ կապիտալ ծախսերի ավելացումն անարդյունավետ է։

2.39. Ծախսերի ֆունկցիան ունի ձևի. Արտադրության միավորի վաճառքից եկամուտը հավասար է 200-ի: Գտեք արտադրողի համար արտադրանքի օպտիմալ արժեքը:

2.40. Արդյունքների ծավալի (դրամական միավորներով) կախվածությունը կապիտալ ծախսերից որոշվում է ֆունկցիայով Գտեք արժեքների այն միջակայքը, որի դեպքում կապիտալ ծախսերի ավելացումն անարդյունավետ է:

2.41. Ենթադրվում է, որ գովազդի ծախսերից (միլիոն ռուբլի) վաճառքի աճը որոշվում է հարաբերակցությամբ. Արտադրության միավորի վաճառքից եկամուտը հավասար է 20 հազար ռուբլու: Գտեք գովազդային ծախսերի մակարդակը, որով ընկերությունը կստանա առավելագույն շահույթ:

2.42. Ռեսուրսային միավորներով արտադրանքի արտադրությունից եկամուտը հավասար է Ռեսուրսային միավորի արժեքը 10 դեն է։ միավորներ Որքա՞ն ռեսուրս պետք է գնել, որպեսզի շահույթը լինի առավելագույնը:

2.43. Արժեքի ֆունկցիան ունի ձև Արտադրության միավորի վաճառքից ստացված եկամուտը 50 է: Գտեք առավելագույն շահույթի արժեքը, որը կարող է ստանալ արտադրողը:

2.44. Մենաշնորհի եկամտի կախվածությունը արտադրանքի քանակից սահմանվում է հետևյալ կերպ. Այս միջակայքում ծախսերի ֆունկցիան ունի ձև. Գտեք մենաշնորհի ելքի օպտիմալ արժեքը:

2.45. Մենաշնորհ արտադրողի արտադրանքի գինը սահմանվում է նշված հարաբերակցության համաձայն . Արտադրանքի արտադրանքի ո՞ր արժեքի դեպքում դրա վաճառքից ստացված եկամուտը կլինի ամենամեծը:

2.46. Ծախսերի ֆունկցիան ունի հետևյալ ձևը ժամը ժամը . Ներկայում արտադրության մակարդակը Ինչ պայմանով պարամետրի վրա էջԱրդյո՞ք ընկերության համար ձեռնտու է կրճատել արտադրանքը, եթե արտադրանքի միավորի վաճառքից ստացված եկամուտը 50 է:

Դաս և ներկայացում հանրահաշիվից 10-րդ դասարանում «Ֆունկցիայի հետազոտություն միապաղաղության համար. Հետազոտության ալգորիթմ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ Integral առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Հանրահաշվական խնդիրներ պարամետրերով, 9–11 դասարաններ
Ծրագրային միջավայր «1C: Mathematical Constructor 6.1»

Այն, ինչ մենք կուսումնասիրենք.
1. Նվազող և մեծացնող ֆունկցիաներ.
2. Գործառույթի ածանցյալի և միապաղաղության կապը:
3. Երկու կարևոր թեորեմ միապաղաղության մասին.
4. Օրինակներ.

Տղերք, ավելի վաղ մենք նայեցինք շատ տարբեր գործառույթներ և գծեցինք դրանք: Հիմա եկեք ներմուծենք նոր կանոններ, որոնք գործում են բոլոր այն գործառույթների համար, որոնք մենք դիտարկել ենք և կշարունակենք դիտարկել:

Գործառույթների նվազում և ավելացում

Դիտարկենք ֆունկցիաների մեծացման և նվազման հայեցակարգը: Տղերք, ինչ է գործառույթը:

Ֆունկցիան y= f(x) համապատասխանությունն է, որտեղ x-ի յուրաքանչյուր արժեք կապված է y-ի մեկ արժեքի հետ:

Դիտարկենք մի քանի ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Մեր գրաֆիկը ցույց է տալիս՝ որքան մեծ է x, այնքան փոքր է y: Այսպիսով, եկեք սահմանենք նվազող ֆունկցիա: Ֆունկցիան կոչվում է նվազող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

Եթե ​​x2 > x1, ապա f(x2) Այժմ նայենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկին.
Այս գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ որքան մեծ է x, այնքան մեծ է y-ը: Այսպիսով, եկեք սահմանենք աճող ֆունկցիա: Ֆունկցիան կոչվում է աճող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:
Եթե ​​x2 > x1, ապա f(x2 > f(x1) կամ՝ որքան մեծ է x, այնքան մեծ է y:

Եթե ​​ֆունկցիան որոշակի ընդմիջումով մեծանում կամ նվազում է, ապա ասում են այն միապաղաղ է այս միջակայքում.

Գործառույթի ածանցյալի և միապաղաղության կապը

Տղերք, հիմա եկեք մտածենք, թե ինչպես կարող եք կիրառել ածանցյալ հասկացությունը ֆունկցիայի գրաֆիկներն ուսումնասիրելիս: Եկեք գծենք աճող դիֆերենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ և գծենք մեր գրաֆիկին մի քանի շոշափող:

Եթե ​​նայեք մեր շոշափողներին կամ տեսողականորեն գծեք որևէ այլ շոշափող, ապա կնկատեք, որ շոշափողի և x առանցքի դրական ուղղության անկյունը սուր կլինի: Սա նշանակում է, որ շոշափողը դրական թեքություն ունի։ Շոշափող թեքություն արժեքին հավասարածանցյալ շոշափման կետի աբսցիսայում։ Այսպիսով, ածանցյալի արժեքը դրական է մեր գրաֆիկի բոլոր կետերում: Աճող ֆունկցիայի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը՝ f"(x) ≥ 0, x ցանկացած կետի համար:

Տղերք, հիմա եկեք նայենք որոշ նվազող ֆունկցիայի գրաֆիկին և կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողներ:

Եկեք նայենք շոշափողներին և տեսողականորեն գծենք ցանկացած այլ շոշափող: Կնկատենք, որ շոշափողի և x առանցքի դրական ուղղության անկյունը բութ է, ինչը նշանակում է, որ շոշափողը բացասական թեքություն ունի: Այսպիսով, ածանցյալի արժեքը բացասական է մեր գրաֆիկի բոլոր կետերում: Նվազող ֆունկցիայի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը՝ f"(x) ≤ 0, x ցանկացած կետի համար:

Այսպիսով, ֆունկցիայի միապաղաղությունը կախված է ածանցյալի նշանից.

Եթե ​​ֆունկցիան մեծանում է ինտերվալի վրա և ունի ածանցյալ այս միջակայքում, ապա այս ածանցյալը բացասական չի լինի:

Եթե ​​ֆունկցիան ինտերվալի վրա նվազում է և այս ինտերվալի վրա ունի ածանցյալ, ապա այս ածանցյալը դրական չի լինի:

Կարևոր, որպեսզի այն ինտերվալները, որոնց վրա մենք դիտարկում ենք ֆունկցիան, բաց են։

Միապաղաղության երկու կարևոր թեորեմ

Թեորեմ 1. Եթե f'(x) ≥ 0 անհավասարությունը գործում է X բաց միջակայքի բոլոր կետերում (և ածանցյալի հավասարությունը զրոյին կա՛մ չի գործում, կա՛մ պահպանվում է, այլ միայն վերջավոր կետերի վրա), ապա y= f(x) ֆունկցիան մեծանում է X միջակայքում:

Թեորեմ 2. Եթե f'(x) ≤ 0 անհավասարությունը գործում է X բաց միջակայքի բոլոր կետերում (և ածանցյալի հավասարությունը զրոյին կա՛մ չի գործում, կա՛մ պահպանվում է, այլ միայն վերջավոր միավորների վրա), ապա y= f(x) ֆունկցիան նվազում է X միջակայքում:

Թեորեմ 3. Եթե ​​բաց միջակայքի բոլոր կետերում X հավասարությունը
f’(x)= 0, ապա y= f(x) ֆունկցիան հաստատուն է այս միջակայքում։

Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրության օրինակներ

1) Ապացուցեք, որ y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա։

Լուծում. Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= 7 6 + 15x 4 + 2: Քանի որ x-ի աստիճանը զույգ է, ուժային ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ: Այնուհետև y" > 0 ցանկացած x-ի համար, ինչը նշանակում է թեորեմ. 1, մեր ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային գծի երկայնքով:

2) Ապացուցեք, որ ֆունկցիան նվազող է՝ y= sin(2x) - 3x:

Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= 2cos(2x) - 3:
Եկեք լուծենք անհավասարությունը.
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Որովհետեւ -1 ≤ cos(x) ≤ 1, ինչը նշանակում է, որ մեր անհավասարությունը բավարարված է ցանկացած x-ի համար, ապա թեորեմ 2-ով y= sin(2x) - 3x ֆունկցիան նվազում է:

3) Քննեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y= x 2 + 3x - 1:

Լուծում. Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= 2x + 3:
Եկեք լուծենք անհավասարությունը.
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Այնուհետև մեր ֆունկցիան մեծանում է x ≥ -3/2-ի համար, և նվազում է x ≤ -3/2-ով:
Պատասխան՝ x ≥ -3/2-ի դեպքում ֆունկցիան մեծանում է, x ≤ -3/2-ի դեպքում ֆունկցիան նվազում է:

4) Քննեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y= $\sqrt(3x - 1)$։

Լուծում. Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$:
Եկեք լուծենք անհավասարությունը՝ $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0:

Մեր անհավասարությունը մեծ է կամ հավասար է զրոյի.
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Եկեք լուծենք անհավասարությունը.
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0:
Բայց դա անհնար է, քանի որ Քառակուսի արմատսահմանվում է միայն դրական արտահայտությունների համար, ինչը նշանակում է, որ մեր ֆունկցիան չունի նվազող միջակայքեր:
Պատասխան՝ x ≥ 1/3-ի դեպքում ֆունկցիան մեծանում է:

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

ա) Ապացուցե՛ք, որ y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային ուղիղով:
բ) Ապացուցեք, որ ֆունկցիան նվազող է՝ y= cos(5x) - 7x։
գ) Քննեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5:
դ) Ուսումնասիրեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y = $\frac(3x-1)(3x+1)$:

Մենք առաջին անգամ հանդիպեցինք հանրահաշվի 7-րդ դասարանում: Նայելով ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ մենք հանեցինք համապատասխան տեղեկատվությունը. եթե, ձախից աջ շարժվելով գրաֆիկի երկայնքով, մենք միևնույն ժամանակ շարժվում ենք ներքևից վեր (կարծես բարձրանալով բլուր), ապա ֆունկցիան հայտարարում ենք. լինել աճող (նկ. 124); եթե շարժվում ենք վերևից ներքև (իջնում ​​ենք բլուրով), ապա ֆունկցիան հայտարարում ենք նվազող (նկ. 125):

Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկոսներին այնքան էլ դուր չի գալիս ֆունկցիայի հատկությունների ուսումնասիրման այս մեթոդը։ Նրանք կարծում են, որ հասկացությունների սահմանումները չպետք է հիմնված լինեն գծագրի վրա. գրաֆիկա. Եկեք խիստ սահմանումներ տանք մեծացող և նվազող ֆունկցիաների հասկացություններին։

Սահմանում 1. y = f(x) ֆունկցիան ասում են, որ մեծանում է X միջակայքում, եթե x 1 անհավասարությունից< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Սահմանում 2. y = f(x) ֆունկցիան ասում են, որ նվազում է X միջակայքում, եթե x 1 անհավասարությունը< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует անհավասարություն f(x 1) > f(x 2):

Գործնականում ավելի հարմար է օգտագործել հետևյալ ձևակերպումները.

ֆունկցիան մեծանում է, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին.
ֆունկցիան նվազում է, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

Օգտագործելով այս սահմանումները և § 33-ում հաստատված թվային անհավասարությունների հատկությունները, մենք կկարողանանք հիմնավորել նախկինում ուսումնասիրված ֆունկցիաների ավելացման կամ նվազման վերաբերյալ եզրակացությունները:

1. Գծային ֆունկցիա y = kx +m

Եթե ​​k > 0, ապա ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ ընթացքում (նկ. 126); եթե կ< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Ապացույց. Թող f(x) = kx +m: Եթե ​​x 1< х 2 и k >Ահ, ուրեմն, ըստ 3 թվային անհավասարությունների հատկության (տես § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. գծային y = kx+ m ֆունկցիաներ:

Եթե ​​x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , իսկ ըստ հատկության 2-ի՝ kx 1 > kx 2-ից հետեւում է, որ kx 1 + m> kx 2 + i.e.

Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). Սա նշանակում է y = f(x) ֆունկցիայի նվազում, այսինքն՝ y = kx + m գծային ֆունկցիան:

Եթե ​​ֆունկցիան մեծանում է (նվազում) իր սահմանման ողջ տիրույթում, ապա այն կարելի է անվանել աճող (նվազող)՝ առանց միջակայքը նշելու։ Օրինակ, y = 2x - 3 ֆունկցիայի մասին կարող ենք ասել, որ այն մեծանում է ամբողջ թվային տողի երկայնքով, բայց կարող ենք նաև ավելի կարճ ասել. y = 2x - 3 - աճող
ֆունկցիան։

2. y = x2 ֆունկցիա

1. Դիտարկենք y = x 2 ֆունկցիան ճառագայթի վրա։ Վերցնենք երկու ոչ դրական x 1 և x 2 թվեր, որ x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Քանի որ - x 1 և - x 2 թվերը ոչ բացասական են, ապա վերջին անհավասարության երկու կողմերը քառակուսի դնելով, մենք ստանում ենք նույն նշանակության անհավասարություն (-x 1) 2 > (-x 2) 2, այսինքն. Սա նշանակում է, որ f(x 1) > f(x 2):

Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).

Հետեւաբար, y = x 2 ֆունկցիան նվազում է ճառագայթի վրա (- 00, 0] (նկ. 128):

1. Դիտարկենք ֆունկցիա (0, + 00):
Թող x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x 2).

Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2). Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան նվազում է բաց ճառագայթի վրա (0, + 00) (նկ. 129):

2. Դիտարկենք ֆունկցիա (-oo, 0): Թող x 1< х 2 , х 1 и х 2 - բացասական թվեր. Այնուհետև - x 1 > - x 2, և վերջին անհավասարության երկու կողմերն էլ դրական թվեր են, և հետևաբար (մենք կրկին օգտագործեցինք օրինակ 1-ում ապացուցված անհավասարությունը § 33-ից): Հաջորդը մենք ունենք, որտեղից ենք մենք ստանում:

Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) այսինքն. ֆունկցիան նվազում է բաց ճառագայթում (- 00 , 0)

Սովորաբար «աճող ֆունկցիա» և «նվազող ֆունկցիա» տերմինները համակցվում են միապաղաղ ֆունկցիա ընդհանուր անվան տակ, իսկ մեծացման և նվազման ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը կոչվում է միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն։

Լուծում.

1) Եկեք գծենք y = 2x2 ֆունկցիան և վերցնենք այս պարաբոլայի ճյուղը x-ում< 0 (рис. 130).

2) Կառուցեք և ընտրեք դրա հատվածը հատվածի վրա (նկ. 131):

3) Կառուցենք հիպերբոլա և ընտրենք դրա մասը բաց ճառագայթի վրա (4, + 00) (նկ. 132):
4) Եկեք պատկերենք բոլոր երեք «կտորները» մեկ կոորդինատային համակարգում. սա y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն է (նկ. 133):

Կարդանք y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։

1. Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։

2. y = 0 x = 0-ում; y > 0 x > 0-ի համար:

3. Ճառագայթի վրա ֆունկցիան նվազում է (-oo, 0], հատվածի վրա մեծանում է, ճառագայթի վրա նվազում է, հատվածի վրա ուռուցիկ է դեպի վեր, ճառագայթի վրա՝ դեպի ներքև)