Հետազոտական ​​գործառույթները առցանց լուծումների հաշվիչի միջոցով: Գործառույթներ. Հիմնական տեսակները, ժամանակացույցերը, հանձնարարության մեթոդները: Ֆունկցիայի ուսումնասիրություն և դրա զույգ կամ կենտ լինելը

Այսօր մենք ձեզ հրավիրում ենք մեզ հետ ուսումնասիրել և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ: Այս հոդվածը ուշադիր ուսումնասիրելուց հետո դուք ստիպված չեք լինի երկար քրտնել այս տեսակի առաջադրանքը կատարելու համար: Ֆունկցիայի գրաֆիկ ուսումնասիրելը և կառուցելը հեշտ չէ, դա ծավալուն աշխատանք է, որը պահանջում է առավելագույն ուշադրություն և հաշվարկների ճշգրտություն։ Նյութն ավելի հեշտ ընկալելի դարձնելու համար մենք քայլ առ քայլ կուսումնասիրենք նույն ֆունկցիան և կբացատրենք մեր բոլոր գործողություններն ու հաշվարկները։ Բարի գալուստ մաթեմատիկայի զարմանալի և հետաքրքրաշարժ աշխարհ: Գնա՛

Դոմեն

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և գծագրելու համար դուք պետք է իմանաք մի քանի սահմանումներ: Ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնական (հիմնական) հասկացություններից է։ Այն արտացոլում է մի քանի փոփոխականների (երկու, երեք կամ ավելի) կախվածությունը փոփոխությունների ժամանակ։ Ֆունկցիան ցույց է տալիս նաև բազմությունների կախվածությունը։

Պատկերացրեք, որ մենք ունենք երկու փոփոխական, որոնք ունեն որոշակի փոփոխությունների միջակայք: Այսպիսով, y-ը x-ի ֆունկցիան է, պայմանով, որ երկրորդ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է երկրորդի մեկ արժեքին: Այս դեպքում y փոփոխականը կախված է, և այն կոչվում է ֆունկցիա։ Ընդունված է ասել, որ x և y փոփոխականները գտնվում են այս կախվածության ավելի հստակության համար կառուցվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ի՞նչ է ֆունկցիայի գրաֆիկը: Սա կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կետերի հավաքածու է, որտեղ յուրաքանչյուր x արժեք համապատասխանում է մեկ y արժեքի: Գրաֆիկները կարող են տարբեր լինել՝ ուղիղ գիծ, ​​հիպերբոլա, պարաբոլա, սինուսային ալիք և այլն։

Առանց հետազոտության անհնար է գծապատկերել ֆունկցիան։ Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես կատարել հետազոտություն և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ: Ուսման ընթացքում շատ կարևոր է նշումներ կատարել: Դա շատ ավելի հեշտ կդարձնի առաջադրանքը հաղթահարելը: Առավել հարմար հետազոտական ​​պլան.

1. Դոմեն.
2. Շարունակականություն.
3. Զույգ կամ կենտ.
4. Պարբերականություն.
5. Ասիմպտոտներ.
6. Զրոներ.
7. Նշան կայունությունը:
8. Աճող ու նվազում.
9. Ծայրահեղություններ.
10. Ուռուցիկություն և գոգավորություն.

Սկսենք առաջին կետից. Գտնենք սահմանման տիրույթը, այսինքն՝ ինչ ինտերվալների վրա է գործում մեր ֆունկցիան՝ y=1/3(x^3-14x^2+49x-36): Մեր դեպքում ֆունկցիան գոյություն ունի x-ի ցանկացած արժեքի համար, այսինքն՝ սահմանման տիրույթը հավասար է R-ին։ Սա կարելի է գրել xÎR հետևյալ կերպ։

Շարունակականություն

Այժմ մենք կուսումնասիրենք անջատման ֆունկցիան։ Մաթեմատիկայի մեջ «շարունակություն» տերմինը առաջացել է շարժման օրենքների ուսումնասիրության արդյունքում։ Ի՞նչ է անսահման: Տարածություն, ժամանակ, որոշ կախվածություններ (օրինակ՝ S և t փոփոխականների կախվածությունը շարժման խնդիրներում), տաքացվող առարկայի ջերմաստիճանը (ջուր, տապակ, ջերմաչափ և այլն), շարունակական գիծ (այսինքն՝ մեկը, որը կարելի է նկարել առանց թերթիկի մատիտից բարձրացնելու):

Գրաֆիկը համարվում է շարունակական, եթե այն ինչ-որ պահի չի կոտրվում: Նման գրաֆիկի ամենաակնառու օրինակներից մեկը սինուսոիդն է, որը կարող եք տեսնել այս հատվածի նկարում։ Ֆունկցիան շարունակական է x0 կետում, եթե բավարարված են մի շարք պայմաններ.

• ֆունկցիան սահմանվում է տվյալ կետում.
• աջ և ձախ սահմանները մի կետում հավասար են.
• սահմանը հավասար է x0 կետի ֆունկցիայի արժեքին:

Եթե ​​գոնե մեկ պայման չկատարվի, ֆունկցիան ձախողվում է: Իսկ այն կետերը, որտեղ ֆունկցիան ընդհատվում է, սովորաբար կոչվում են ընդմիջման կետեր: Գործառույթի օրինակ, որը «կկոտրվի», երբ գրաֆիկորեն ցուցադրվի, հետևյալն է. y=(x+4)/(x-3): Ընդ որում, y x = 3 կետում գոյություն չունի (քանի որ անհնար է բաժանել զրոյի):

Մեր ուսումնասիրած ֆունկցիայում (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) ամեն ինչ պարզվեց, քանի որ գրաֆիկը շարունակական է լինելու։

Զույգ, կենտ

Այժմ ուսումնասիրեք գործառույթը հավասարության համար: Նախ, մի փոքր տեսություն. Զույգ ֆունկցիան այն է, որը բավարարում է f(-x)=f(x) պայմանը x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար (արժեքների միջակայքից): Օրինակները ներառում են.

• մոդուլ x (գրաֆիկը նման է լուսաբացին, գրաֆիկի առաջին և երկրորդ քառորդների կիսորդը);
• x քառակուսի (պարաբոլա);
• կոսինուս x (կոսինուս).

Նկատի ունեցեք, որ այս բոլոր գրաֆիկները սիմետրիկ են, երբ դիտարկվում են y առանցքի (այսինքն, y առանցքի) նկատմամբ:

Այդ դեպքում ո՞րն է կոչվում կենտ ֆունկցիա: Սրանք այն գործառույթներն են, որոնք բավարարում են պայմանը՝ f(-x)=-f(x) x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Օրինակներ.

• հիպերբոլա;
• խորանարդ պարաբոլա;
• սինուսոիդ;
• շոշափող և այլն:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս գործառույթները սիմետրիկ են կետի (0:0), այսինքն՝ սկզբնակետի նկատմամբ: Ելնելով հոդվածի այս հատվածում ասվածից՝ զույգ և կենտ ֆունկցիան պետք է ունենա հատկություն՝ x-ը պատկանում է սահմանումների բազմությանը և -x-ը նույնպես։

Եկեք քննենք ֆունկցիան հավասարության համար: Մենք տեսնում ենք, որ նա չի համապատասխանում նկարագրություններից ոչ մեկին: Ուստի մեր ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Ասիմպտոտներ

Սկսենք սահմանումից. Ասիմպտոտը կոր է, որը հնարավորինս մոտ է գրաֆիկին, այսինքն՝ որոշակի կետից հեռավորությունը ձգտում է զրոյի: Ընդհանուր առմամբ, կան երեք տեսակի ասիմպտոտներ.

• ուղղահայաց, այսինքն՝ y առանցքին զուգահեռ;
• հորիզոնական, այսինքն, x առանցքի զուգահեռ;
• հակված.

Ինչ վերաբերում է առաջին տեսակին, ապա այս տողերը պետք է փնտրել որոշ կետերում.

• բացը;
• սահմանման տիրույթի ծայրերը:

Մեր դեպքում ֆունկցիան շարունակական է, իսկ սահմանման տիրույթը հավասար է R-ին։ Հետևաբար, ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան։

Ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ, որը բավարարում է հետևյալ պահանջը՝ եթե x-ը հակված է անվերջության կամ մինուս անսահմանության, իսկ սահմանը հավասար է որոշակի թվի (օրինակ՝ a): Այս դեպքում y=a-ն հորիզոնական ասիմպտոտն է: Մեր ուսումնասիրած ֆունկցիայում հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան։

Շեղ ասիմպտոտը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե բավարարված են երկու պայման.

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Այնուհետև այն կարելի է գտնել՝ օգտագործելով y=kx+b բանաձևը: Կրկին, մեր դեպքում չկան թեք ասիմպտոտներ:

Գործառույթների զրոներ

Հաջորդ քայլը ֆունկցիայի գրաֆիկը զրոների համար ուսումնասիրելն է։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ ֆունկցիայի զրոները գտնելու հետ կապված առաջադրանքը տեղի է ունենում ոչ միայն ֆունկցիայի գրաֆիկը ուսումնասիրելիս և կառուցելիս, այլ նաև որպես ինքնուրույն առաջադրանք և որպես անհավասարություններ լուծելու միջոց: Ձեզանից կարող է պահանջվել գտնել ֆունկցիայի զրոները գրաֆիկի վրա կամ օգտագործել մաթեմատիկական նշում:

Այս արժեքները գտնելը կօգնի ձեզ ավելի ճշգրիտ պատկերել ֆունկցիան: Պարզ բառերով, ֆունկցիայի զրոն x փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում y = 0: Եթե ​​դուք փնտրում եք գրաֆիկի վրա ֆունկցիայի զրոները, ապա պետք է ուշադրություն դարձնեք այն կետերին, որոնցում գրաֆիկը հատվում է x առանցքի հետ։

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել հետևյալ հավասարումը y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0։ Անհրաժեշտ հաշվարկները կատարելուց հետո ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

Նշան կայունությունը

Հետազոտության և ֆունկցիայի (գրաֆիկի) կառուցման հաջորդ փուլը հաստատուն նշանի միջակայքերի հայտնաբերումն է։ Սա նշանակում է, որ մենք պետք է որոշենք, թե որ ինտերվալներում է ֆունկցիան ստանում դրական արժեք, իսկ որ ընդմիջումներում՝ բացասական։ Վերջին բաժնում հայտնաբերված զրոյական գործառույթները կօգնեն մեզ դա անել: Այսպիսով, մենք պետք է ուղիղ գիծ կառուցենք (գրաֆիկից անջատված) և ֆունկցիայի զրոները բաշխենք դրա երկայնքով ճիշտ հաջորդականությամբ՝ փոքրից մինչև ամենամեծը: Այժմ դուք պետք է որոշեք, թե ստացված միջակայքներից որն ունի «+» նշանը, իսկ որը՝ «-»:

Մեր դեպքում ֆունկցիան դրական արժեք է ընդունում ընդմիջումներով.

• 1-ից 4;
• 9-ից մինչև անսահմանություն:

Բացասական նշանակություն.

• մինուս անսահմանությունից մինչև 1;
• 4-ից 9-ը:

Սա բավականին հեշտ է որոշել: Ինտերվալից ցանկացած թիվ փոխարինիր ֆունկցիայի մեջ և տես, թե պատասխանն ինչ նշան ունի (մինուս կամ գումարած):

Գործառույթների ավելացում և նվազում

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և կառուցելու համար մենք պետք է իմանանք, թե գրաֆիկը որտեղ է մեծանալու (Oy առանցքի երկայնքով դեպի վեր) և որտեղ է ընկնում (սողում y առանցքի երկայնքով ներքև):

Ֆունկցիան աճում է միայն այն դեպքում, եթե x փոփոխականի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է y-ի ավելի մեծ արժեքին: Այսինքն, x2-ը մեծ է x1-ից, իսկ f(x2)-ը մեծ է f(x1-ից): Իսկ մենք լրիվ հակառակ երեւույթ ենք դիտում նվազող ֆունկցիայով (որքան շատ x, այնքան քիչ y): Աճման և նվազման միջակայքերը որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել հետևյալը.

• սահմանման տիրույթ (մենք արդեն ունենք);
• ածանցյալ (մեր դեպքում՝ 1/3 (3x^2-28x+49);
• լուծել 1/3(3x^2-28x+49)=0 հավասարումը.

Հաշվարկներից հետո մենք ստանում ենք արդյունքը.

Մենք ստանում ենք. ֆունկցիան մեծանում է մինուս անվերջությունից մինչև 7/3 և 7-ից մինչև անվերջություն միջակայքում, իսկ 7/3-ից մինչև 7 միջակայքում նվազում է:

Ծայրահեղություններ

Ուսումնասիրվող y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ֆունկցիան շարունակական է և գոյություն ունի x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար։ Ծայրահեղ կետը ցույց է տալիս տվյալ ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը: Մեր դեպքում դրանք չկան, ինչը մեծապես հեշտացնում է շինարարության խնդիրը: Հակառակ դեպքում, դրանք կարելի է գտնել նաև ածանցյալ ֆունկցիայի միջոցով: Գտնվելուց հետո մի մոռացեք դրանք նշել գծապատկերում:

Ուռուցիկություն և գոգավորություն

Մենք շարունակում ենք հետագայում ուսումնասիրել y(x) ֆունկցիան: Այժմ մենք պետք է ստուգենք այն ուռուցիկության և գոգավորության համար: Այս հասկացությունների սահմանումները բավականին դժվար է հասկանալ, ավելի լավ է ամեն ինչ վերլուծել օրինակներով: Թեստի համար ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե այն չնվազող ֆունկցիա է: Համաձայնեք, սա անհասկանալի է։

Մենք պետք է գտնենք երկրորդ կարգի ֆունկցիայի ածանցյալը: Ստանում ենք՝ y=1/3(6x-28): Հիմա աջ կողմը հավասարեցնենք զրոյի և լուծենք հավասարումը։ Պատասխան՝ x=14/3: Մենք գտանք թեքության կետը, այսինքն՝ այն վայրը, որտեղ գրաֆիկը ուռուցիկությունից անցնում է գոգավորության կամ հակառակը։ Մինուս անվերջությունից մինչև 14/3 միջակայքում ֆունկցիան ուռուցիկ է, իսկ 14/3-ից մինչև գումարած անվերջություն՝ գոգավոր։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ գրաֆիկի թեքման կետը պետք է լինի հարթ և փափուկ, չպետք է լինի սուր անկյուններ:

Լրացուցիչ կետերի սահմանում

Մեր խնդիրն է ուսումնասիրել և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Մենք ավարտել ենք ուսումնասիրությունը, ֆունկցիայի գրաֆիկ ստեղծելն այժմ դժվար չէ: Կոորդինատային հարթության վրա կորի կամ ուղիղ գծի ավելի ճշգրիտ և մանրամասն վերարտադրման համար կարող եք գտնել մի քանի օժանդակ կետեր: Դրանք բավականին հեշտ է հաշվարկել։ Օրինակ՝ վերցնում ենք x=3, լուծում ենք ստացված հավասարումը և գտնում y=4։ Կամ x=5, և y=-5 և այլն: Դուք կարող եք վերցնել այնքան լրացուցիչ միավոր, որքան անհրաժեշտ է շինարարության համար: Նրանցից առնվազն 3-5-ը հայտնաբերված են:

Գրաֆիկի գծում

Մենք պետք է ուսումնասիրեինք ֆունկցիան (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y: Հաշվարկների ընթացքում բոլոր անհրաժեշտ նշանները կատարվել են կոորդինատային հարթության վրա։ Մնում է միայն գրաֆիկ կառուցել, այսինքն՝ միացնել բոլոր կետերը։ Կետերը միացնելը պետք է լինի հարթ և ճշգրիտ, սա հմտության հարց է. մի փոքր պրակտիկա և ձեր ժամանակացույցը կատարյալ կլինի:

Հարմար է իրականացնել գործառույթների ամբողջական ուսումնասիրություն և դրանց գրաֆիկները կառուցել հետևյալ սխեմայով.

1) գտնել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը.

2) պարզել ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ, պարբերական.

3) ուսումնասիրել շարունակականությունը, գտնել ընդմիջման կետերը և պարզել ընդմիջումների բնույթը.

4) գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները.

5) ուսումնասիրել ֆունկցիայի միապաղաղությունը և գտնել դրա ծայրահեղությունները.

6) գտնել թեքության կետերը, սահմանել ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը.

7) նշանակել ֆունկցիայի գրաֆիկի լրացուցիչ կետեր, օրինակ՝ դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Յուրաքանչյուր կետի արդյունքը պետք է անմիջապես արտացոլվի գրաֆիկի վրա և համապատասխանի նախորդ կետերի ուսումնասիրության արդյունքներին:

Օրինակ 1.

Կատարեք ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն և գծեք գրաֆիկ:

1. Ֆունկցիան սահմանվում է xÎ (-¥; 1) È (-1; +¥) ընդմիջումներով:

2. Ֆունկցիան չի կարող լինել զույգ կամ կենտ, քանի որ նրա սահմանման տիրույթը սիմետրիկ չէ 0-ի նկատմամբ։ Հետևաբար, այս ֆունկցիան ունի ընդհանուր ձև, այսինքն. չունի հավասարության սեփականություն. Նաև ֆունկցիան պարբերական չէ։

Հիշենք սահմանումները.

Ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ, եթե երկու պայման կա.

ա) նրա սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ,

բ) բոլոր արժեքների համար Xսահմանման տիրույթից հավասարությունը բավարարվում է։

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկն առանցքի նկատմամբ ունի առանցքի համաչափություն OY.

Ֆունկցիան կոչվում է տարօրինակ, Եթե

ա) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ,

բ) «x» սահմանման տիրույթից դուրս:

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը կենտրոնական համաչափություն ունի ծագման վերաբերյալ:

Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե կա թիվ Տ> 0 այնպես, որ հավասարությունը պահպանվի « Xսահմանման տիրույթից։

T թիվը կոչվում է գործառույթի ժամանակահատվածը, և բավական է նրա գրաֆիկը կառուցել ցանկացած երկարության միջակայքի վրա Տ, և այնուհետև պարբերաբար շարունակեք սահմանման ողջ տարածքում:

3. Ֆունկցիան շարունակական է բոլոր xÎ (-¥; -1) È (-1; +¥) համար:

Այս ֆունկցիան տարրական է, որը ձևավորվում է երկու շարունակական հիմնական տարրական ֆունկցիաներ բաժանելով և . Հետևաբար, ըստ շարունակական ֆունկցիաների հատկությունների, տվյալ ֆունկցիան շարունակական է այն բոլոր կետերում, որտեղ այն սահմանվում է։

Կետ x = -1ընդմիջման կետն է, քանի որ այս ֆունկցիան դրանում սահմանված չէ։ Անդադարության բնույթը (տեսակը) որոշելու համար եկեք հաշվարկենք. Հետեւաբար, երբ x = -1ֆունկցիան ունի անվերջ ընդհատում (երկրորդ տեսակի ընդհատում):

4. Ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտներ.

Ուղղահայաց ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է x = -1(սա բխում է ֆունկցիայի դադարի ուսումնասիրությունից):

Մենք փնտրում ենք թեք ասիմպտոտներ հավասարման միջոցով, որտեղ

Այսպիսով, թեք ասիմպտոտի հավասարումն է (x® ±¥-ում):

5. Մենք որոշում ենք ֆունկցիայի միապաղաղությունն ու ծայրահեղությունը՝ օգտագործելով նրա առաջին ածանցյալը.

Կրիտիկական կետերը որոշվում են հետևյալ պայմաններից.

y max =y(-3)= .

6. Երկրորդ ածանցյալով գտնում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը, նրա թեքման կետերը.

Շեղման համար կասկածելի միավորները որոշվում են հետևյալ պայմաններից.

Բավարար պայմաններ ուռուցիկության, գոգավորության և թեքման կետերի համար.

Կետ O (0; 0)գրաֆիկի թեքման կետն է:

Հաճախ առաջին և երկրորդ ածանցյալների օգտագործմամբ ֆունկցիայի ուսումնասիրության արդյունքները ներկայացված են ընդհանուր աղյուսակի տեսքով, որն արտացոլում է ֆունկցիայի գրաֆիկի հիմնական հատկությունները.

Ֆունկցիայի ուսումնասիրության բոլոր ստացված արդյունքները արտացոլված են դրա գրաֆիկում:

Օրինակ 2.

OOF՝ xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ;+¥):

Ֆունկցիան կենտ է, քանի որ դրա սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է զրոյի և « XÎ OOF գործում է հետևյալ հավասարությունը.

Հետևաբար, ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի սկզբնավորման կենտրոնական համաչափություն։

Ֆունկցիան շարունակական է բոլոր xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥), քանի որ տարրական ֆունկցիան շարունակական է իր OOF-ի վրա: x=- և x= կետերը անվերջ դադարի կետեր են, քանի որ.

Գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտները ուղիղ գծեր են x = -Եվ x =.

Շեղ ասիմպտոտներ՝ , որտեղ

= = 0 .

Սա թեք ասիմպտոտի հավասարումն է։

Ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը, դրա ծայրահեղությունները:

Ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմանները.

Þ x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = -3- կրիտիկական կետեր.

Բավարար պայմաններ միապաղաղության և ծայրահեղության համար.

y max =y(-3)= ;

y min =y(3)= .

Ուռուցիկության, ֆունկցիայի գրաֆիկի գոգավորության և թեքման կետերի միջակայքերը.

Կետ x = 0կասկածելի է կռանալու համար.

Բավարար պայմաններ.

O (0; 0) կետը թեքության կետ է:

Տվյալ ֆունկցիայի համար գրաֆիկի հիմնական հատկությունների ընդհանուր աղյուսակը կարող է կազմվել միայն xՕ-ի համար։ Եթե ​​կոտորակի դիմաց կա «−» նշան, այն վերագրիր համարիչին։ Մի տարվեք գործակիցների չափազանց բարձր և ցածր արժեքներով։ Հիշեք, որ «անսահմանությունը» էկրանին չի տեղավորվի։

ա = բ = գ = դ =

n = մ =

Եկեք կիրառենք այս սխեման գործառույթի համար

y = _____ 2x 3 x 2 − 4

(ա = 2; բ = 0; գ = 1; դ = −4; n = 3; մ = 2).

1. Ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ կետերի x = ±2, որի դեպքում կոտորակի հայտարարը դառնում է զրո: Այսպիսով, դրա սահմանման տիրույթը
Դ (զ ) = (−∞;−2)∪(−2;+2)∪(+2;+∞) .

2. Ֆունկցիան տարօրինակ է, քանի որ
,
հետևաբար, դրա գրաֆիկը սիմետրիկ կլինի ծագման նկատմամբ, ուստի բավական է ուսումնասիրել ֆունկցիան միջակայքում. 2) /(a) և f(b) թվերը նշանով հակառակ են. 3) [a, 6] հատվածի վրա կան f"(x) և f"(x) ածանցյալներ, որոնք պահպանում են հաստատուն նշան այս հատվածի վրա. . 1) և 2 պայմաններից, Բոլզանո-Կոշիի թեորեմի (էջ 220) ուժով հետևում է, որ f(x) ֆունկցիան անհետանում է առնվազն մեկ կետում £ € (a, b), այսինքն՝ հավասարումը (1): ունի առնվազն մեկ իրական արմատ £ միջակայքում (a, 6): Քանի որ, 3-րդ պայմանի ուժով, f(x) ածանցյալը [a, b\-ի վրա պահպանում է հաստատուն նշան, ապա f(x)-ը միապաղաղ է [a, b]-ի և հետևաբար (a, b) հավասարման միջակայքում։ (1) ունի միայն մեկ իրական արմատ. Եկեք դիտարկենք (I) հավասարման այս մեկ իրական արմատի £ € (a, 6) մոտավոր արժեքը ցանկացած աստիճանի ճշգրտությամբ: Հնարավոր է չորս դեպք (նկ. 40) 1) Նկար 40 Որոշակիության համար ընդունենք այն դեպքը, երբ f\ x) > 0, f"(x) > 0 հատվածի վրա [a, 6) (նկ. 41): Եկեք միացնենք A(a, f(a)) և B(b, f(b)) կետերը A B ակորդով: Սա ուղիղ գծի հատված է, որն անցնում է A և B կետերով, որի հավասարումը aj կետում է. որը AB ակորդը հատում է Ox առանցքը, գտնվում է ai-ի միջև (և ավելի լավ մոտարկում է a-ին: y = 0 սահմանելով (2), մենք գտնում ենք, որ Նկար 41-ից հեշտ է նկատել, որ a\ կետը միշտ կլինի գտնվում է այն կողմում, որտեղից f(x) և f"( x) նշանները հակադիր են: Այժմ գծենք շոշափող y = f(x) կորի վրա B(b, f(b)) կետում, այսինքն. ^AB աղեղի վերջում, որի դեպքում f(x) և f(i)-ն ունեն նույն նշանը: Սա էական պայման է. առանց դրա շոշափողի հատման կետը Ox առանցքի հետ չի կարող մոտավորություն տալ: ընդհանրապես ցանկալի արմատին: b\ կետը, որի շոշափողը հատում է Ox առանցքը, գտնվում է £-ի և b-ի միջև նույն կողմում, որը և 6-ը և լավագույն մոտավորությունն է, որին b: Այս շոշափողը որոշվում է հավասարումը Ենթադրելով (3) y = 0, մենք գտնում ենք b\. Ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման սխեման. մենք ունենք Թող նախապես տրվի £ արմատի C մոտարկման բացարձակ սխալը։ aj-ի և 6-ի մոտավոր արժեքների բացարձակ սխալի համար՝ £ արմատը, կարող ենք վերցնել |6i - ai| արժեքը: Եթե ​​այս սխալը մեծ է թույլատրելիից, ապա հատվածը որպես սկզբնական վերցնելով՝ կգտնենք արմատի հետևյալ մոտարկումները, որտեղ. Շարունակելով այս գործընթացը՝ մենք ստանում ենք մոտավոր արժեքների երկու հաջորդականություն՝ (an) և (bn) հաջորդականությունները միապաղաղ են և սահմանափակ և, հետևաբար, ունեն սահմաններ։ Թող Կարելի է ցույց տալ, որ եթե վերը նշված պայմանները բավարարված են, 1 հավասարման միակ արմատին / Օրինակ: Գտեք արմատը (հավասարում r2 - 1 = 0 հատվածի վրա: Այսպիսով, բոլոր պայմանները բավարարված են մեկ արմատի գոյությունն ապահովելու համար (հավասարում x2 - 1 = 0 հատվածի վրա և մեթոդը պետք է աշխատի: 8 մեր դեպքում a = 0, b = 2. Երբ n = I (4) և (5)-ից մենք գտնում ենք, երբ n = 2 մենք ստանում ենք, որը մոտարկում է արմատի ճշգրիտ արժեքին (բացարձակ սխալով) Վարժություններ Կառուցեք ֆունկցիաների գրաֆիկներ. Գտեք ֆունկցիաների ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները տվյալ հատվածների վրա. Հետազոտեք ֆունկցիաների վարքագիծը տվյալ կետերի մոտակայքում՝ օգտագործելով ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ. Պատասխաններ