Բացահայտեք հավասարության ֆունկցիայի օրինակները: Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ: Պարբերական ֆունկցիաներ. Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Նպատակները:

• ձևավորել ֆունկցիայի հավասարության և տարօրինակության հայեցակարգը, սովորեցնել այդ հատկությունները որոշելու և օգտագործելու կարողությունը, երբ ֆունկցիոնալ հետազոտություն, դավադրություն;
• զարգացնել ուսանողների ստեղծագործական գործունեությունը, տրամաբանական մտածողություն, համեմատելու, ընդհանրացնելու ունակություն;
• զարգացնել քրտնաջան աշխատանք և մաթեմատիկական մշակույթ; զարգացնել հաղորդակցման հմտությունները .

Սարքավորումներ՝ մուլտիմեդիա տեղադրում, ինտերակտիվ տախտակ, Ձեռնարկ.

Աշխատանքի ձևեր՝ ճակատային և խմբային որոնման և հետազոտական ​​գործունեության տարրերով:

Տեղեկատվության աղբյուրներ.

1. Հանրահաշիվ 9-րդ դասարան Ա.Գ.Մորդկովիչ. Դասագիրք.
2. Հանրահաշիվ 9-րդ դասարան Ա.Գ.Մորդկովիչ. Խնդիրների գիրք.
3. Հանրահաշիվ 9-րդ դաս. Աշակերտների ուսուցման և զարգացման առաջադրանքներ. Բելենկովա Է.Յու. Լեբեդինցևա Է.Ա.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ

1. Կազմակերպչական պահ

Դասի նպատակների և խնդիրների սահմանում:

2. Տնային աշխատանքների ստուգում

Թիվ 10.17 (9-րդ դասարանի խնդրագիրք. Ա.Գ. Մորդկովիչ).

Ա) ժամը = զ(X), զ(X) =

բ) զ (–2) = –3; զ (0) = –1; զ(5) = 69;

գ) 1. Դ( զ) = [– 2; + ∞)
2. E( զ) = [– 3; + ∞)
3. զ(X) = 0 ժամը X ~ 0,4
4. զ(X) >0 ժամը X > 0,4 ; զ(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Ֆունկցիան մեծանում է X € [– 2; + ∞)
6. Գործառույթը սահմանափակված է ներքևից։
7. ժամընաիմ = – 3, ժամըՆաիբը գոյություն չունի
8. Ֆունկցիան շարունակական է։

(Դուք օգտագործե՞լ եք ֆունկցիաների հետազոտման ալգորիթմ): Սլայդ.

2. Եկեք ստուգենք աղյուսակը, որը ձեզ խնդրել են սլայդից:

Լրացրեք աղյուսակը
	Դոմեն	Գործառույթների զրոներ	Նշանի կայունության միջակայքերը		Գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները Oy-ի հետ
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U (2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U (2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U (2;∞)	x € (–5; 2)

3. Գիտելիքների թարմացում

- Գործառույթները տրված են:
– Նշեք յուրաքանչյուր գործառույթի սահմանման շրջանակը:
– Համեմատե՛ք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի արժեքը յուրաքանչյուր զույգ արգումենտ արժեքների համար՝ 1 և – 1; 2 և - 2.
– Սահմանման տիրույթում նշված գործառույթներից որի՞ համար են գործում հավասարությունները զ(– X) = զ(X), զ(– X) = – զ(X)? (մուտքագրեք ստացված տվյալները աղյուսակում) Սլայդ

		զ(1) և զ(– 1)	զ(2) և զ(– 2)	գրաֆիկներ	զ(– X) = –զ(X)	զ(– X) = զ(X)
1. զ(X) =
2. զ(X) = X 3
3. զ(X) = | X |
4.զ(X) = 2X – 3
5. զ(X) =	X ≠ 0
6. զ(X)=	X > –1		և սահմանված չէ

4. Նոր նյութ

– Այս աշխատանքը կատարելիս, տղերք, մենք բացահայտեցինք ֆունկցիայի մեկ այլ հատկություն՝ ձեզ անծանոթ, բայց ոչ պակաս կարևոր, քան մյուսները՝ սա է ֆունկցիայի հավասարությունն ու տարօրինակությունը: Գրեք դասի թեման՝ «Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ», մեր խնդիրն է սովորել որոշել ֆունկցիայի հավասարությունն ու տարօրինակությունը, պարզել այս հատկության նշանակությունը ֆունկցիաների ուսումնասիրության և գրաֆիկների գծագրման մեջ:
Այսպիսով, եկեք դասագրքում գտնենք սահմանումները և կարդանք (էջ 110) . Սլայդ

Def. 1 Գործառույթ ժամը = զ (X), որը սահմանված է X բազմության վրա կոչվում է նույնիսկ, եթե ինչ-որ արժեքի համար XЄ X-ը կատարվում է հավասարություն f(–x)= f(x). Բերեք օրինակներ։

Def. 2 Գործառույթ y = f(x), սահմանված X բազմության վրա կոչվում է տարօրինակ, եթե ինչ-որ արժեքի համար XЄ X գործում է f(–х)= –f(х) հավասարությունը։ Բերեք օրինակներ։

Որտե՞ղ հանդիպեցինք «զույգ» և «կենտ» տերմիններին:
Ի՞նչ եք կարծում, այս գործառույթներից ո՞րն է լինելու զույգ։ Ինչո՞ւ։ Որո՞նք են տարօրինակ: Ինչո՞ւ։
Ձևի ցանկացած գործառույթի համար ժամը= x n, Որտեղ n– ամբողջ թիվ, կարելի է պնդել, որ ֆունկցիան կենտ է, երբ n– կենտ և ֆունկցիան զույգ է, երբ n- նույնիսկ.
- Դիտել գործառույթները ժամը= և ժամը = 2X– 3-ը ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ, քանի որ հավասարությունները չեն բավարարվում զ(– X) = – զ(X), զ(– X) = զ(X)

Գործառույթի զույգ կամ կենտ լինելու ուսումնասիրությունը կոչվում է ֆունկցիայի հավասարության ուսումնասիրություն: Սլայդ

1-ին և 2-րդ սահմանումներում մենք խոսում էինք x և – x ֆունկցիայի արժեքների մասին, դրանով իսկ ենթադրվում է, որ ֆունկցիան նույնպես սահմանված է արժեքով. Xև ժամը – X.

Def 3. Եթե թվային բազմությունը իր յուրաքանչյուր x տարրի հետ պարունակում է նաև հակադիր տարր –x, ապա բազմությունը. Xկոչվում է սիմետրիկ բազմություն:

Օրինակներ.

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) սիմետրիկ բազմություններ են, իսկ , [–5;4]-ը ասիմետրիկ են:

– Նույնիսկ ֆունկցիաները ունե՞ն սահմանման տիրույթ, որը սիմետրիկ բազմություն է: Տարօրինակնե՞րը:
- Եթե D ( զ) ասիմետրիկ բազմություն է, ապա ո՞րն է ֆունկցիան։
– Այսպիսով, եթե ֆունկցիան ժամը = զ(X) – զույգ կամ կենտ, ապա դրա սահմանման տիրույթը D( զ) սիմետրիկ բազմություն է։ Արդյո՞ք ճիշտ է հակառակ պնդումը. եթե ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ բազմություն է, ապա այն զույգ է, թե՞ կենտ:
– Սա նշանակում է, որ սահմանման տիրույթի սիմետրիկ բազմության առկայությունը անհրաժեշտ պայման է, բայց ոչ բավարար:
– Այսպիսով, ինչպե՞ս եք ուսումնասիրում ֆունկցիան հավասարության համար: Փորձենք ստեղծել ալգորիթմ։

Սլայդ

Պարիտետի համար ֆունկցիան ուսումնասիրելու ալգորիթմ

1. Որոշեք՝ արդյոք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է։ Եթե ​​ոչ, ապա ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ: Եթե ​​այո, ապա անցեք ալգորիթմի 2-րդ քայլին:

2. Գրիր արտահայտություն համար զ(–X).

3. Համեմատեք զ(–X).Եվ զ(X):

• Եթե զ(–X).= զ(X), ապա ֆունկցիան հավասար է.
• Եթե զ(–X).= – զ(X), ապա ֆունկցիան կենտ է.
• Եթե զ(–X) ≠ զ(X) Եվ զ(–X) ≠ –զ(X), ապա ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Օրինակներ.

Ուսումնասիրեք ա) ֆունկցիան հավասարության համար ժամը= x 5 +; բ) ժամը= ; V) ժամը= .

Լուծում.

ա) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), սիմետրիկ բազմություն։

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => ֆունկցիա h(x) = x 5 + կենտ.

բ) y =,

ժամը = զ(X), D(f) = (–∞; –9): (–9; +∞), ասիմետրիկ բազմություն, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

V) զ(X) =, y = f (x),

1) D ( զ) = (–∞; 3] ≠ ; բ) (∞; –2), (–4; 4]?

Տարբերակ 2

1. Արդյո՞ք տրված բազմությունը սիմետրիկ է՝ ա) [–2;2]; բ) (∞; 0], (0; 7) ?

Ա); բ) y = x (5 – x 2): 2. Ուսումնասիրեք հավասարության ֆունկցիան.

ա) y = x 2 (2x – x 3), բ) y =

3. Նկ. կառուցվել է գրաֆիկ ժամը = զ(X), բոլորի համար X, բավարարելով պայմանը X? 0.
Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան ժամը = զ(X), Եթե ժամը = զ(X) հավասարաչափ ֆունկցիա է։

3. Նկ. կառուցվել է գրաֆիկ ժամը = զ(X), բոլոր x-ի համար, որոնք բավարարում են x պայմանը: 0.
Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան ժամը = զ(X), Եթե ժամը = զ(X) կենտ ֆունկցիա է։

Գործընկերների կարծիքը սլայդում:

6. Տնային առաջադրանք՝ թիվ 11.11, 11.21, 11.22;

Պարիտետային հատկության երկրաչափական նշանակության ապացույց:

***(Պետական ​​միասնական քննության տարբերակի նշանակում).

1. y = f(x) կենտ ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա։ x փոփոխականի ցանկացած ոչ բացասական արժեքի համար այս ֆունկցիայի արժեքը համընկնում է g ֆունկցիայի արժեքի հետ ( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7): Գտեք h(h) ֆունկցիայի արժեքը X) = ժամը X = 3.

7. Ամփոփում

Ֆունկցիան մաթեմատիկական ամենակարևոր հասկացություններից մեկն է։ Ֆունկցիան y փոփոխականի կախվածությունն է x փոփոխականից, եթե x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է y-ի մեկ արժեքին։ x փոփոխականը կոչվում է անկախ փոփոխական կամ արգումենտ։ y փոփոխականը կոչվում է կախյալ փոփոխական։ Անկախ փոփոխականի բոլոր արժեքները (փոփոխական x) կազմում են ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը: Բոլոր արժեքները, որոնք ստանում է կախված փոփոխականը (փոփոխական y) կազմում են ֆունկցիայի տիրույթը:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսաները հավասար են փաստարկի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներին, այսինքն՝ x փոփոխականի արժեքները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, իսկ y փոփոխականի արժեքները՝ օրդինատների առանցքի երկայնքով: Ֆունկցիան գծագրելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ֆունկցիայի հատկությունները: Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները կքննարկվեն ստորև:

Ֆունկցիայի գծապատկեր ստեղծելու համար խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեր ծրագիրը՝ Graphing functions առցանց: Եթե ​​այս էջի նյութն ուսումնասիրելիս հարցեր ունեք, միշտ կարող եք դրանք ուղղել մեր ֆորումում: Նաև ֆորումում նրանք կօգնեն ձեզ լուծել խնդիրներ մաթեմատիկայի, քիմիայի, երկրաչափության, հավանականությունների տեսության և շատ այլ առարկաներից:

Ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները.

1) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը և ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը.

Ֆունկցիայի տիրույթը x (փոփոխական x) փաստարկի բոլոր վավեր իրական արժեքների բազմությունն է, որի համար սահմանված է y = f(x) ֆունկցիան:
Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական y արժեքների բազմությունն է, որն ընդունում է ֆունկցիան:

Տարրական մաթեմատիկայի մեջ ֆունկցիաները ուսումնասիրվում են միայն իրական թվերի բազմության վրա։

2) ֆունկցիայի զրոներ.

X-ի արժեքները, որոնց համար y=0 կոչվում են ֆունկցիայի զրոներ. Սրանք ֆունկցիայի գրաֆիկի Ox առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսներն են։

3) ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը.

Ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքեր - կոչվում են x արժեքների այնպիսի ընդմիջումներ, որոնց վրա y ֆունկցիայի արժեքները կա՛մ միայն դրական են, կա՛մ միայն բացասական: ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը:

4) ֆունկցիայի միապաղաղություն.

Աճող ֆունկցիան (որոշակի ընդմիջումով) այն ֆունկցիան է, որում այս միջակայքից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:

Նվազող ֆունկցիան (որոշակի ընդմիջումով) այն ֆունկցիան է, որի արգումենտի ավելի մեծ արժեքը այս միջակայքից համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

5) ֆունկցիայի հավասարություն (տարօրինակություն).

Զույգ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ և ցանկացած x-ի համար f(-x) = f(x): Ժամանակացույց նույնիսկ գործառույթսիմետրիկ օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, իսկ սահմանման տիրույթից ցանկացած x-ի համար f(-x) = - f(x) հավասարությունը ճշմարիտ է: Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Նույնիսկ գործառույթ
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ, այսինքն՝ եթե a կետը պատկանում է սահմանման տիրույթին, ապա -a կետը նույնպես պատկանում է սահմանման տիրույթին։
2) ցանկացած արժեքի համար x f(-x)=f(x)
3) Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ:
2) սահմանման տիրույթին պատկանող x արժեքի համար բավարարվում է f(-x)=-f(x) հավասարությունը.
3) Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ (0; 0):

Ամեն ֆունկցիա չէ, որ զույգ է կամ կենտ: Գործառույթներ ընդհանուր տեսարանոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:

6) Սահմանափակ և անսահմանափակ գործառույթներ.

Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակված, եթե կա այդպիսին դրական թիվ M այնպիսին, որ |f(x)| ≤ M x-ի բոլոր արժեքների համար: Եթե ​​այդպիսի թիվ գոյություն չունի, ապա ֆունկցիան անսահմանափակ է։

7) ֆունկցիայի պարբերականությունը.

F(x) ֆունկցիան պարբերական է, եթե կա ոչ զրոյական T թիվ, որ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից ցանկացած x-ի համար գործում է հետևյալը. f(x+T) = f(x): Սա ամենափոքր թիվըկոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։ Բոլորը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներպարբերական են։ (Եռանկյունաչափական բանաձևեր):

F ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե կա այնպիսի թիվ, որ սահմանման տիրույթից ցանկացած x-ի համար գործում է f(x)=f(x-T)=f(x+T) հավասարությունը: T-ն ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է:

Յուրաքանչյուր պարբերական ֆունկցիա ունի անսահման թվով պարբերություններ: Գործնականում սովորաբար համարվում է ամենափոքր դրական շրջանը:

Պարբերական ֆունկցիայի արժեքները կրկնվում են ժամանակաշրջանին հավասար ընդմիջումից հետո: Սա օգտագործվում է գրաֆիկներ կառուցելիս:

2020 թվականի հուլիսին ՆԱՍԱ-ն արշավ է սկսում դեպի Մարս։ ՏիեզերանավՄարս կմատակարարի էլեկտրոնային կրիչ՝ արշավախմբի բոլոր գրանցված մասնակիցների անուններով:

Եթե ​​այս գրառումը լուծեց ձեր խնդիրը կամ պարզապես հավանեցիք այն, կիսվեք դրա հղումով ձեր ընկերների հետ սոցիալական ցանցերում։

Այս կոդի ընտրանքներից մեկը պետք է պատճենվի և տեղադրվի ձեր վեբ էջի կոդի մեջ, նախընտրելի է պիտակների միջև և կամ պիտակից անմիջապես հետո: Ըստ առաջին տարբերակի՝ MathJax-ն ավելի արագ է բեռնվում և ավելի քիչ դանդաղեցնում էջի արագությունը։ Բայց երկրորդ տարբերակը ավտոմատ կերպով վերահսկում և բեռնում է MathJax-ի վերջին տարբերակները: Եթե ​​տեղադրեք առաջին կոդը, այն պետք է պարբերաբար թարմացվի: Եթե ​​տեղադրեք երկրորդ կոդը, էջերը ավելի դանդաղ կբեռնվեն, բայց ձեզ հարկավոր չի լինի մշտապես վերահսկել MathJax-ի թարմացումները։

MathJax-ին միացնելու ամենադյուրին ճանապարհը Blogger-ում կամ WordPress-ում է՝ կայքի կառավարման վահանակում ավելացրեք վիջեթ, որը նախատեսված է երրորդ կողմի JavaScript կոդը տեղադրելու համար, պատճենեք վերը ներկայացված ներբեռնման կոդի առաջին կամ երկրորդ տարբերակը դրա մեջ և տեղադրեք վիջեթը ավելի մոտ: մինչև կաղապարի սկիզբը (ի դեպ, դա ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ, քանի որ MathJax-ի սցենարը բեռնված է ասինխրոն կերպով): Այսքանը: Այժմ սովորեք MathML-ի, LaTeX-ի և ASCIIMathML-ի նշագրման շարահյուսությունը և պատրաստ եք տեղադրել մաթեմատիկական բանաձևերդեպի ձեր կայքի վեբ էջերը:

Եվս մեկ Ամանոր... ցրտաշունչ եղանակ և ձյան փաթիլներ պատուհանի ապակու վրա... Այս ամենն ինձ դրդեց նորից գրել... ֆրակտալների մասին, և այն, ինչ գիտի Վոլֆրամ Ալֆան դրա մասին։ Այս թեմայով կա մի հետաքրքիր հոդված, որը պարունակում է երկչափ ֆրակտալ կառուցվածքների օրինակներ։ Այստեղ մենք կանդրադառնանք ավելին բարդ օրինակներեռաչափ ֆրակտալներ.

Ֆրակտալը տեսողականորեն կարող է ներկայացվել (նկարագրվել) որպես երկրաչափական պատկեր կամ մարմին (նշանակում է, որ երկուսն էլ մի շարք են, այս դեպքում, մի շարք կետեր), որոնց դետալներն ունեն նույն ձևը, ինչ բուն գործիչը։ Այսինքն՝ սա ինքնանման կառույց է, որի մանրամասներն ուսումնասիրելով մեծացնելու դեպքում կտեսնենք նույն ձևը, ինչ առանց խոշորացման։ Մինչդեռ սովորականի դեպքում երկրաչափական պատկեր(ոչ ֆրակտալ), երբ մեծացնենք, կտեսնենք մանրամասներ, որոնք ավելի պարզ ձև ունեն, քան բուն գործիչը: Օրինակ, բավականաչափ բարձր խոշորացման դեպքում էլիպսի մի մասը նման է ուղիղ գծի հատվածի: Դա տեղի չի ունենում ֆրակտալների դեպքում. դրանց ցանկացած աճի դեպքում մենք նորից նույնը կտեսնենք բարդ ձև, որը կկրկնվի նորից ու նորից յուրաքանչյուր բարձրացման հետ։

Ֆրակտալների գիտության հիմնադիր Բենուա Մանդելբրոտն իր հոդվածում գրել է «Ֆրակտալները և արվեստը գիտության անունով». կմեծացվի ամբողջի չափով, այն կհայտնվի որպես ամբողջություն՝ կա՛մ ճշգրիտ, կա՛մ գուցե թեթև դեֆորմացիայով»։

- (մաթ.) y = f (x) ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ եթե այն չի փոխվում, երբ անկախ փոփոխականը փոխում է միայն նշանը, այսինքն՝ եթե f (x) = f (x): Եթե ​​f (x) = f (x), ապա f (x) ֆունկցիան կոչվում է կենտ: Օրինակ, y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F (x) = f (x) հավասարությունը բավարարող ֆունկցիա։ Տես Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ... Սովետական ​​մեծ հանրագիտարան

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

Հատուկ գործառույթներ, որոնք ներմուծել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է.Մաթյոն 1868 թվականին էլիպսաձև թաղանթի տատանումների վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս։ Մ.ֆ. օգտագործվում են նաև էլիպսաձև գլանում էլեկտրամագնիսական ալիքների տարածումն ուսումնասիրելիս ... Սովետական ​​մեծ հանրագիտարան

«Մեղքի» հարցումը վերահղված է այստեղ. տես նաև այլ իմաստներ։ «վրկ» հարցումը վերահղված է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ։ «Sine» հարցումը վերահղված է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ... Վիքիպեդիա

Ֆունկցիան կոչվում է զույգ (կենտ), եթե որևէ մեկը և հավասարությունը

.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
.

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Օրինակ 6.2. Ստուգեք՝ ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ

1)
; 2)
; 3)
.

Լուծում.

1) Ֆունկցիան սահմանվում է, երբ
. Մենք կգտնենք
.

Նրանք.
. Սա նշանակում է, որ այս ֆունկցիան հավասար է:

2) Ֆունկցիան սահմանվում է, երբ

Նրանք.
. Այսպիսով, այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

3) ֆունկցիան սահմանված է , այսինքն. Համար

,
. Հետևաբար ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ: Դա անվանենք ընդհանուր ձևի ֆունկցիա։

3. Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն.

Գործառույթ
կոչվում է աճող (նվազող) որոշակի ընդմիջումով, եթե այս միջակայքում փաստարկի յուրաքանչյուր մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:

Որոշակի միջակայքում աճող (նվազող) ֆունկցիաները կոչվում են միատոն:

Եթե ​​ֆունկցիան
տարբերվող միջակայքում
և ունի դրական (բացասական) ածանցյալ
, ապա ֆունկցիան
ավելանում (նվազում է) այս միջակայքում:

Օրինակ 6.3. Գտե՛ք ֆունկցիաների միապաղաղության միջակայքերը

1)
; 3)
.

Լուծում.

1) Այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա: Գտնենք ածանցյալը։

Ածանցյալը հավասար է զրոյի, եթե
Եվ
. Սահմանման տիրույթը թվային առանցքն է՝ բաժանված կետերով
,
ընդմիջումներով: Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում:

2) Այս ֆունկցիան սահմանվում է, եթե
կամ

.

Յուրաքանչյուր միջակայքում որոշում ենք քառակուսի եռանդամի նշանը։

Այսպիսով, ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը

Գտնենք ածանցյալը
,
, Եթե
, այսինքն.
, Բայց
. Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում
.

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է միջակայքում
. Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջման ընթացքում
.

4. Էքստրեմումի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն.

Կետ
կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետ
, եթե կա կետի նման հարեւանություն դա բոլորի համար է
այս հարևանությամբ անհավասարությունը պահպանվում է

.

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ծայրահեղ կետեր:

Եթե ​​ֆունկցիան
կետում ունի էքստրեմում, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի (անհրաժեշտ պայման է ծայրահեղության գոյության համար)։

Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը զրոյական է կամ գոյություն չունի, կոչվում են կրիտիկական:

5. Բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար.

Կանոն 1. Եթե ​​անցման ժամանակ (ձախից աջ) կրիտիկական կետով ածանցյալ
փոխում է նշանը «+»-ից «–», այնուհետև կետում ֆունկցիան
ունի առավելագույնը; եթե «–»-ից մինչև «+», ապա նվազագույնը. Եթե
նշան չի փոխում, ուրեմն էքստրեմում չկա.

Կանոն 2. Թողեք կետում
ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը
հավասար է զրոյի
, իսկ երկրորդ ածանցյալը գոյություն ունի և տարբերվում է զրոյից։ Եթե
, Դա - առավելագույն միավոր, եթե
, Դա - ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

Օրինակ 6.4. Ուսումնասիրեք առավելագույն և նվազագույն գործառույթները.

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Լուծում.

1) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է միջակայքում
.

Գտնենք ածանցյալը
և լուծիր հավասարումը
, այսինքն.
.Այստեղից
- կրիտիկական կետեր.

Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում,
.

Կետերով անցնելիս
Եվ
ածանցյալը նշանը փոխում է «–»-ից «+», հետևաբար՝ համաձայն 1-ին կանոնի
- նվազագույն միավորներ.

Կետով անցնելիս
ածանցյալը նշանը փոխում է «+»-ից «–», այսպես
- առավելագույն միավոր.

,
.

2) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Գտնենք ածանցյալը
.

Լուծելով հավասարումը
, մենք կգտնենք
Եվ
- կրիտիկական կետեր. Եթե ​​հայտարարը
, այսինքն.
, ուրեմն ածանցյալը գոյություն չունի։ Այսպիսով,
- երրորդ կրիտիկական կետը. Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը ընդմիջումներով:

Հետևաբար, ֆունկցիան կետում նվազագույն է
, առավելագույնը միավորներով
Եվ
.

3) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական, եթե
, այսինքն. ժամը
.

Գտնենք ածանցյալը

.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Կետերի հարևանություններ
չեն պատկանում սահմանման տիրույթին, հետևաբար ծայրահեղ չեն։ Այսպիսով, եկեք քննենք կրիտիկական կետերը
Եվ
.

4) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է միջակայքում
. Օգտագործենք 2-րդ կանոնը. Գտիր ածանցյալը
.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը
և որոշեք դրա նշանը կետերում

Կետերում
ֆունկցիան ունի նվազագույնը:

Կետերում
ֆունկցիան ունի առավելագույնը.