Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը: Երկրաչափության հիմունքներ. Ուղղանկյուն եռանկյան լուծում Գտնել ոտք ուղղանկյուն եռանկյան մեջ

Օգտագործելով հաշվիչ, քաղեք Քառակուսի արմատհիպոթենուսի քառակուսու և հայտնի ոտքի տարբերությունից՝ նույնպես քառակուսի։ Ոտքը ուղղանկյուն եռանկյան կողմն է, որը կից ուղիղ անկյան վրա: Այս արտահայտությունը գալիս է Պյութագորասի թեորեմից, որն ասում է, որ եռանկյան հիպոթենուսի քառակուսին գումարին հավասարոտքերի քառակուսիներ.

Նախքան նայենք ոտք գտնելու տարբեր եղանակներին ուղղանկյուն եռանկյուն, եկեք օգտագործենք որոշ նշում: Ստուգեք, թե թվարկված դեպքերից որն է համապատասխանում ձեր առաջադրանքի պայմանին և, կախված դրանից, հետևեք համապատասխան պարբերությանը։ Պարզիր, թե ինչ քանակություններ գիտես տվյալ եռանկյունում: Ոտքը հաշվարկելու համար օգտագործեք հետևյալ արտահայտությունը՝ a=sqrt(c^2-b^2), եթե գիտեք հիպոթենուսի և մյուս ոտքի արժեքները:

Այս երկրաչափական պատկերի կողմերի և անկյունների հարաբերությունները մանրամասն քննարկվում են եռանկյունաչափության մաթեմատիկական դիսցիպլինում։ Այս հավասարումը կիրառելու համար հարկավոր է իմանալ ուղղանկյուն եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունը:

Հաշվե՛ք ոտքերից մեկի երկարությունը, եթե հայտնի են հիպոթենուսի և մյուս ոտքի չափերը: Եթե ​​խնդիրը սահմանում է հիպոթենուսը և դրան հարող սուր անկյուններից մեկը, օգտագործեք Բրադիսի աղյուսակները:

Ներքին եռանկյունը նման կլինի արտաքինին, քանի որ միջին գծերը զուգահեռ են ոտքերին և հիպոթենուսին և համապատասխանաբար հավասար են դրանց կեսերին: Քանի որ հիպոթենուսը անհայտ է, գտնել միջին գիծ M_c դուք պետք է փոխարինեք Պյութագորասի թեորեմի ռադիկալը:

Հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմն է։ Այն գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց: Հիպոթենուսի երկարությունը կարելի է գտնել տարբեր ճանապարհներ. Եթե ​​հայտնի է երկու ոտքերի երկարությունը, ապա դրա չափը հաշվարկվում է Պյութագորասի թեորեմի միջոցով՝ երկու ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուին։ Իմանալով, որ բոլոր անկյունների գումարը 180° է, հանե՛ք ճիշտ անկյունը և արդեն հայտնիը:

Ուղղանկյուն եռանկյունու պարամետրերը հաշվարկելիս կարևոր է ուշադրություն դարձնել հայտնի արժեքներին և լուծել խնդիրը՝ օգտագործելով ամենապարզ բանաձևը: Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ է ուղղանկյուն եռանկյունը: Ուղղանկյուն եռանկյունն է երկրաչափական պատկերերեք հատվածներից, որոնք միացնում են կետերը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, և այս նկարի անկյուններից մեկը 90 աստիճան է: Ոտքի երկարությունը պարզելու մի քանի եղանակ կա:

Բանաձև՝ c²=a²+b², որտեղ c-ն հիպոթենուսն է, a-ն և b-ը՝ ոտքերը

Եթե ​​մենք գիտենք հիպոթենուսը և ոտքը, ապա մենք կարող ենք գտնել անհայտ ոտքի երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը: Հնչում է այսպես. «Հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին»։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով ոտք գտնելու չորս տարբերակ կա՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս։ Անկյունի (sin) սինուսը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին: Բանաձև՝ sin=a/c, որտեղ a-ն տրված անկյան դիմաց գտնվող ոտքն է, իսկ c-ը՝ հիպոթենուսը:

Ուղղանկյուն եռանկյունների անսովոր հատկությունները հայտնաբերել է հին հույն գիտնական Պյութագորասը, ով հայտնաբերել է, որ նման եռանկյունների հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին։

Բարձրությունը եռանկյան ցանկացած գագաթից դեպի հակառակ կողմը (կամ դրա շարունակությունը՝ բութ անկյուն ունեցող եռանկյան համար) ձգվող ուղղահայացն է։ Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է ուղղանկյուն: Եթե ​​դա կամայական ուղղանկյուն եռանկյուն է, ապա բավարար տվյալներ չկան։

Օգտակար է նաև իմանալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները 30, 45, 60, 90, 180 աստիճանի ամենատարածված անկյունների համար: Եթե ​​պայմանները նշում են ոտքերի չափերը, գտե՛ք հիպոթենուսի երկարությունը: Կյանքում մենք հաճախ ստիպված կլինենք գործ ունենալ մաթեմատիկական խնդիրներԴպրոցում, համալսարանում, այնուհետև օգնել ձեր երեխային տնային աշխատանքում:

Այնուհետև մենք փոխակերպում ենք բանաձևը և ստանում՝ a=sin*c

Ստորև բերված աղյուսակը կօգնի մեզ լուծել խնդիրները: Դիտարկենք այս տարբերակները: Հետաքրքիր առանձնահատուկ դեպք է, երբ սուր անկյուններից մեկը հավասար է 30 աստիճանի։

Որոշ մասնագիտությունների տեր մարդիկ ամեն օր կհանդիպեն մաթեմատիկայի հետ:

Դուք կարող եք նաև գտնել անհայտ ոտք, եթե հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյան ցանկացած այլ կողմ և ցանկացած սուր անկյուն: Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան կողմը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը: Նաև ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը կարելի է գտնել ըստ տարբեր բանաձեւերկախված հայտնի փոփոխականների քանակից:

Նախքան եռանկյան հիպոթենուսը գտնելը, դուք պետք է հասկանաք, թե ինչ հատկանիշներ ունի այս պատկերը: Դիտարկենք հիմնականները.

1. Ուղղանկյուն եռանկյունում երկու սուր անկյուններն էլ գումարվում են մինչև 90º:
2. 30º անկյան դիմաց ընկած ոտքը հավասար կլինի հիպոթենուսի ½ չափի:
3. Եթե ​​ոտքը հավասար է հիպոթենուսի ½-ին, ապա երկրորդ անկյունը կունենա նույն արժեքը՝ 30º:

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հիպոթենուսը գտնելու մի քանի եղանակ կա: Առավելագույնը պարզ լուծումոտքերի միջոցով հաշվարկ է: Ենթադրենք, դուք գիտեք A և B կողմերի արժեքները: Այնուհետև օգնության է գալիս Պյութագորասի թեորեմը, որը մեզ ասում է, որ եթե կողմի յուրաքանչյուր արժեքը քառակուսի դարձնենք և ամփոփենք ստացված տվյալները, մենք կպարզենք, թե որն է հիպոթենուսը: հավասար է. Այսպիսով, մենք պարզապես պետք է հանենք քառակուսի արմատի արժեքը.

Օրինակ, եթե ոտքը A = 3 սմ և ոտքը B = 4 սմ, ապա հաշվարկը կունենա հետևյալ տեսքը.

Ինչպե՞ս գտնել հիպոթենուսը անկյան տակ:

Մեկ այլ միջոց՝ պարզելու, թե որն է հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ, տրված անկյան միջոցով հաշվարկելն է: Դա անելու համար մենք պետք է ստացենք արժեքը սինուսային բանաձևի միջոցով: Ենթադրենք, մենք գիտենք ոտքի չափը (A) և հակառակ անկյան արժեքը (α): Այնուհետեւ ամբողջ լուծույթը պարունակվում է մեկ բանաձեւով՝ C=A/sin(α):

Օրինակ, եթե ոտքի երկարությունը 40 սմ է, իսկ անկյունը 45°, ապա հիպոթենուսի երկարությունը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ.

Դուք կարող եք նաև որոշել ցանկալի արժեքը կոսինուսի միջոցով տրված անկյուն. Ենթադրենք, մենք գիտենք մեկ ոտքի (B) և կից սուր անկյան (α) արժեքը: Այնուհետև խնդիրը լուծելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինի մեկ բանաձև՝ C=B/ cos(α):

Օրինակ, եթե ոտքի երկարությունը 50 սմ է, իսկ անկյունը 45 °, ապա հիպոթենուսը կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, մենք դիտարկեցինք հիպոթենուսը եռանկյունու մեջ պարզելու հիմնական ուղիները: Խնդիրը լուծելիս կարևոր է կենտրոնանալ առկա տվյալների վրա, այնուհետև անհայտ քանակությունը գտնելը բավականին պարզ կլինի։ Պետք է միայն մի երկու բանաձև իմանալ, և խնդիրների լուծման գործընթացը կդառնա պարզ և հաճելի։

Ուղղանկյուն եռանկյունը պարունակում է մեծ թվով կախվածություններ: Սա այն դարձնում է գրավիչ օբյեկտ բոլոր տեսակի համար երկրաչափական խնդիրներ. Ամենատարածված խնդիրներից մեկը հիպոթենուսի հայտնաբերումն է:

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյունը այն եռանկյունն է, որը պարունակում է ուղիղ անկյուն, այսինքն. 90 աստիճանի անկյուն։ Միայն ուղղանկյուն եռանկյունում կարելի է արտահայտել եռանկյունաչափական ֆունկցիաներկողմերի չափերի միջոցով: Կամայական եռանկյունում պետք է լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ կատարվեն:
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ երեք բարձրություններից երկուսը համընկնում են կողմերի հետ, կոչվում են ոտքեր: Երրորդ կողմը կոչվում է հիպոթենուս: Հիպոթենուսի վրա գծված բարձրությունը միակն է այս տեսակի եռանկյունու մեջ, որը պահանջում է լրացուցիչ կառուցում:

Բրինձ. 1. Եռանկյունների տեսակները.

Ուղղանկյուն եռանկյունը չի կարող ունենալ բութ անկյուններ: Ինչպես անհնար է երկրորդ ուղիղ անկյան գոյությունը։ Այս դեպքում խախտվում է եռանկյան անկյունների գումարի նույնականությունը, որը միշտ հավասար է 180 աստիճանի։

Հիպոթենուզա

Եկեք անմիջապես անցնենք եռանկյան հիպոթենուսին: Հիպոթենուսը եռանկյան ամենաերկար կողմն է։ Հիպոթենուզը միշտ ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոտք, բայց այն միշտ փոքր է ոտքերի գումարից: Սա եռանկյունի անհավասարության թեորեմի հետևանքն է։

Թեորեմն ասում է, որ եռանկյան մեջ ոչ մի կողմ չի կարող մեծ լինել մյուս երկուսի գումարից։ Գոյություն ունի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը կամ երկրորդ մասը. եռանկյան մեջ, մեծ կողմի դիմաց, մեծ անկյունն է և հակառակը:

Բրինձ. 2. Ուղղանկյուն եռանկյուն.

Ուղղանկյուն եռանկյունում մեծ անկյունը ճիշտ անկյունն է, քանի որ արդեն նշված պատճառներով չի կարող լինել երկրորդ ուղիղ կամ բութ անկյուն: Սա նշանակում է, որ ավելի մեծ կողմը միշտ գտնվում է ճիշտ անկյան դիմաց:

Թվում է, թե անհասկանալի է, թե ինչու է ուղղանկյուն եռանկյունին արժանի իր յուրաքանչյուր կողմի համար առանձին անուն: Փաստորեն, հավասարաչափ եռանկյունում կողմերն ունեն նաև իրենց անունները՝ կողմեր ​​և հիմքեր: Բայց հենց ոտքերի և հիպոթենուսների համար է, որ ուսուցիչները հատկապես սիրում են դյութներ տալ: Ինչո՞ւ։ Սա մի կողմից հարգանքի տուրք է հին հույների՝ մաթեմատիկայի գյուտարարների հիշատակին։ Հենց նրանք են ուսումնասիրել ուղղանկյուն եռանկյունները և այս գիտելիքների հետ մեկտեղ թողել տեղեկատվության մի ամբողջ շերտ, որի վրա կարելի է կառուցել ժամանակակից գիտ. Մյուս կողմից, այս անվանումների առկայությունը մեծապես հեշտացնում է թեորեմների և եռանկյունաչափական ինքնությունների ձևակերպումը։

Պյութագորասի թեորեմ

Եթե ​​ուսուցիչը հարցնում է ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի բանաձեւի մասին, ապա 90% հավանականություն կա, որ նա նկատի ունի Պյութագորասի թեորեմը: Թեորեմն ասում է՝ ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին։

Բրինձ. 3. Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուզա։

Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան հստակ և հակիրճ է ձևակերպված թեորեմը: Նման պարզության հնարավոր չէ հասնել առանց հիպոթենուսի և ոտքի հասկացությունների օգտագործման:

Թեորեմն ունի հետևյալ բանաձևը.

$c^2=b^2+a^2$ – որտեղ c-ն հիպոթենուսն է, a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերն են:

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Մենք խոսեցինք այն մասին, թե ինչ է ուղղանկյուն եռանկյունը: Մենք պարզեցինք, թե ինչու են ի սկզբանե հորինվել ոտքերի և հիպոթենուսի անունները։ Մենք պարզեցինք հիպոթենուսի որոշ հատկություններ և տվեցինք եռանկյան հիպոթենուսի երկարության բանաձևը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։

Թեստ թեմայի շուրջ

Հոդվածների վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.6. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 213։

Եռանկյունը երկրաչափական թիվ է, որը բաղկացած է երեք հատվածներից, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա: Եռանկյուն կազմող կետերը կոչվում են նրա կետեր, իսկ հատվածները՝ կողք կողքի։

Կախված եռանկյան տեսակից (ուղղանկյուն, մոնոխրոմ և այլն), կարող եք հաշվարկել եռանկյան կողմը տարբեր ձևերով՝ կախված մուտքային տվյալներից և խնդրի պայմաններից։

Արագ նավարկություն հոդվածի համար

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը հաշվարկելու համար օգտագործվում է Պյութագորասի թեորեմը, որը նշում է, որ հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին։

Եթե ​​ոտքերը նշում ենք «a» և «b», իսկ հիպոթենուսը՝ «c», ապա էջերը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով.

Եթե ​​հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյան (a և b) սուր անկյունները, ապա նրա կողմերը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով.

Կտրված եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ եռանկյուն, որի երկու կողմերը նույնն են:

Ինչպես գտնել հիպոթենուսը երկու ոտքերում

Եթե ​​«a» տառը նույնական է նույն էջի հետ, «b»-ն հիմքն է, «b»-ն՝ հիմքի հակառակ անկյունը, «a»-ն հարակից անկյունն է՝ էջերը հաշվարկելու համար։ հետևյալ բանաձևերը:

Երկու անկյուն և մի կողմ

Եթե ​​որևէ եռանկյան մեկ էջ (c) և երկու անկյուն (a և b) հայտնի են, մնացած էջերը հաշվարկելու համար օգտագործվում է սինուսի բանաձևը.

Դուք պետք է գտնեք երրորդ արժեքը y = 180 - (a + b), քանի որ

եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է;

Երկու կողմ և անկյուն

Եթե ​​հայտնի են եռանկյան երկու կողմերը (a և b) և նրանց միջև եղած անկյունը (y), ապա կոսինուսի թեորեմը կարող է օգտագործվել երրորդ կողմը հաշվարկելու համար:

Ինչպես որոշել ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը

Եռանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որից մեկը 90 աստիճան է, իսկ մյուս երկուսը սուր են։ հաշվարկ պարագծայինայդպիսին եռանկյունկախված դրա մասին հայտնի տեղեկատվության քանակից։

Ձեզ դա պետք կգա

• Կախված դեպքից՝ հմտանում է եռանկյան 2 երեք կողմերը, ինչպես նաև նրա սուր անկյուններից մեկը։

հրահանգներ

առաջինՄեթոդ 1. Եթե բոլոր երեք էջերը հայտնի են եռանկյունԱյնուհետև, անկախ նրանից՝ ուղղահայաց, թե ոչ եռանկյուն, պարագիծը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝ P = A + B + C, որտեղ հնարավոր է, c-ն հիպոթենուսն է. a-ն և b-ն ոտքեր են:

երկրորդՄեթոդ 2.

Եթե ​​ուղղանկյունն ունի միայն երկու կողմ, ապա օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը. եռանկյունկարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ P = v (a2 + b2) + a + b կամ P = v (c2 - b2) + b + c:

երրորդՄեթոդ 3. Ենթադրենք հիպոթենուսը c և սուր անկյուն: Հաշվի առնելով ուղղանկյուն եռանկյունը, պարագիծը հնարավոր կլինի գտնել այսպես՝ P = (1 + մեղ.

չորրորդՄեթոդ 4. Ասում են, որ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ մեկ ոտքի երկարությունը հավասար է a-ի և, ընդհակառակը, ունի սուր անկյուն։ Հետո հաշվարկիր պարագծայինՍա եռանկյունկիրականացվի ըստ բանաձևի՝ P = a * (1 / tg?

1/որդի? + 1)

հինգերորդներըՄեթոդ 5.

Առցանց եռանկյունի հաշվարկ

Թող մեր ոտքը տանի և ներառվի դրա մեջ, ապա միջակայքը կհաշվարկվի հետևյալ կերպ՝ P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Առնչվող տեսանյութեր

Պյութագորասի թեորեմը բոլոր մաթեմատիկայի հիմքն է։ Որոշում է իրական եռանկյան կողմերի հարաբերությունները: Այժմ այս թեորեմի 367 ապացույց կա:

հրահանգներ

առաջինՊյութագորասի թեորեմի դասական դպրոցական ձևակերպումը հնչում է այսպես. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

Երկու Կատետների ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսը գտնելու համար դուք պետք է դիմեք ոտքերի երկարությունների քառակուսի, հավաքեք դրանք և վերցնեք գումարի քառակուսի արմատը: Նրա հայտարարության սկզբնական ձևակերպման մեջ շուկան հիմնված է հիպոթենուսի վրա, որը հավասար է Քեյթի կողմից արտադրված 2 քառակուսիների քառակուսիների գումարին։ Այնուամենայնիվ, ժամանակակից հանրահաշվական ձևակերպումը չի պահանջում տիրույթի ներկայացում:

երկրորդՕրինակ, ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ոտքերը 7 սմ և 8 սմ են:

Այնուհետև, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, քառակուսի հիպոթենուսը հավասար է R + S = 49 + 64 = 113 սմ, հիպոթենուսը հավասար է 113 թվի քառակուսի արմատին։

Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններ

Արդյունքը անհիմն թիվ էր։

երրորդԵթե ​​եռանկյունները 3-րդ և 4-րդ ոտքերն են, ապա հիպոթենուս = 25 = 5: Երբ վերցնում եք քառակուսի արմատը, դուք ստանում եք. բնական թիվ. 3, 4, 5 թվերը կազմում են Պիգագորայի եռյակ, քանի որ բավարարում են x կապը: +Y? = Z, որը բնական է:

Պյութագորասյան եռյակի այլ օրինակներ են՝ 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41։

չորրորդԱյս դեպքում, եթե ոտքերը միմյանց հետ նույնական են, Պյութագորասի թեորեմը վերածվում է ավելի պարզունակ հավասարման։ Օրինակ, ենթադրենք, որ նման սլաքը հավասար է A թվին, և հիպոթենուսը սահմանվում է C-ի համար, իսկ հետո c. = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Այս դեպքում ձեզ պետք չէ Ա.

հինգերորդներըՊյութագորասի թեորեմը հատուկ դեպք է, որն ավելի մեծ է, քան ընդհանուր կոսինուսի թեորեմը, որը հաստատում է եռանկյան երեք կողմերի միջև կապը դրանցից երկուսի միջև եղած ցանկացած անկյան համար:

Հուշում 2. Ինչպես որոշել հիպոթենուսը ոտքերի և անկյունների համար

Հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյան այն կողմն է, որը հակառակ է 90 աստիճանի անկյան:

հրահանգներ

առաջինՀայտնի կաթետերների, ինչպես նաև ուղղանկյուն եռանկյունու սուր անկյունի դեպքում հիպոթենուսը կարող է ունենալ ոտքի և այս անկյան կոսինուսի/սինուսի հարաբերակցությանը հավասար չափս, եթե անկյունը հակադիր էր / e ներառում է. = C1 (կամ C2) / մեղք, H = C1 (կամ C2?) / cos?. Օրինակ. Թող ABC տրվի անկանոն եռանկյուն AB հիպոթենուսով և C ուղղանկյունով:

Թող B լինի 60 աստիճան, իսկ A-ն 30 աստիճան: BC ցողունի երկարությունը 8 սմ է, պետք է գտնել AB հիպոթենուսի երկարությունը։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել վերը նշված մեթոդներից մեկը՝ AB = BC / cos60 = 8 սմ AB = BC / sin30 = 8 սմ:

Հիպոթենուսը ուղղանկյան ամենաերկար կողմն է եռանկյուն. Այն գտնվում է ուղիղ անկյան տակ։ Ուղղանկյան հիպոթենուսը գտնելու մեթոդ եռանկյունկախված աղբյուրի տվյալներից:

հրահանգներ

առաջինԵթե ​​ձեր ոտքերը ուղղահայաց են եռանկյուն, ապա ուղղանկյան հիպոթենուսի երկարությունը եռանկյունկարելի է հայտնաբերել Պյութագորասի անալոգով - հիպոթենուսի երկարության քառակուսին հավասար է ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարին. c2 = a2 + b2, որտեղ a և b աջ ոտքերի երկարությունն են: եռանկյուն .

երկրորդԵթե ​​ոտքերից մեկը հայտնի է և գտնվում է սուր անկյան տակ, ապա հիպոթենուսը գտնելու բանաձևը կախված կլինի տակի առկայությունից կամ բացակայությունից: որոշակի անկյունհայտնի ոտքի նկատմամբ՝ հարևան (ոտքը գտնվում է մոտ), կամ հակառակը (հակառակ դեպքը գտնվում է նեգո։ Նշված անկյան V-ն հավասար է կոսինուսի անկյան տակ գտնվող ոտքի հիպոթենուզայի բաժնին. a = a / cos; E, մյուս կողմից, հիպոթենուսը նույնն է, ինչ սինուսոիդային անկյունների հարաբերակցությունը. da = a / sin:

Առնչվող տեսանյութեր

Օգտակար խորհուրդներ
Անկյունային եռանկյունի, որի կողմերը կապված են 3:4:5, կոչվում է եգիպտական ​​դելտա, քանի որ այդ պատկերները լայնորեն օգտագործվել են Հին Եգիպտոսի ճարտարապետների կողմից:

Սա նաև Ջերոյի եռանկյունների ամենապարզ օրինակն է, որտեղ էջերը և տարածքը ներկայացված են ամբողջ թվերով։

Եռանկյունը կոչվում է այն ուղղանկյուն, որի անկյունը 90° է: Աջ անկյունին հակառակ կողմը կոչվում է հիպոթենուս, մյուսը՝ ոտքեր։

Եթե ​​ցանկանում եք պարզել, թե ինչպես է ուղղանկյուն եռանկյունը ձևավորվում կանոնավոր եռանկյունների որոշ հատկություններով, մասնավորապես այն փաստը, որ սուր անկյունների գումարը 90° է, որն օգտագործվում է, և այն փաստը, որ հակառակ ոտքի երկարությունը հիպոթենուսի կեսն է։ 30° է։

Արագ նավարկություն հոդվածի համար

Կտրված եռանկյուն

Հավասար եռանկյան հատկություններից մեկն այն է, որ նրա երկու անկյունները հավասար են:

Ուղղանկյուն համաչափ եռանկյան անկյունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ, որ.

• Սա ավելի վատ չէ, քան 90 °:
• Սուր անկյունների արժեքները որոշվում են բանաձևով. (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, այսինքն.

  α և β անկյունները հավասար են 45°:

Եթե ​​սուր անկյուններից մեկի հայտնի արժեքը հայտնի է, ապա մյուսը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ β = 180º-90º-α կամ α = 180º-90º-β:

Այս հարաբերակցությունը առավել հաճախ օգտագործվում է, եթե անկյուններից մեկը 60° կամ 30° է:

Հիմնական հասկացություններ

Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է։

Քանի որ դա մեկ մակարդակ է, երկուսը մնում են սուր:

Հաշվեք եռանկյունը առցանց

Եթե ​​ցանկանում եք գտնել դրանք, դուք պետք է իմանաք, որ.

այլ մեթոդներ

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների արժեքները կարելի է հաշվարկել միջինից՝ եռանկյան հակառակ կողմի մի կետից գծով, իսկ բարձրությունը՝ ուղիղ գծով ուղղահայաց է, որը գծված է հիպոթենուսից ուղիղ անկյան տակ։ .

Թող միջինը տարածվի աջ անկյունից մինչև հիպոթենուսի կեսը, և թող h լինի բարձրությունը: Այս դեպքում պարզվում է, որ.

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s):
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Երկու էջ

Եթե ​​հիպոթենուսի և ոտքից մեկի երկարությունները հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյունում կամ երկու կողմերում, ապա եռանկյունաչափական նույնականությունները օգտագործվում են սուր անկյունների արժեքները որոշելու համար.

• α = arcsin (a / c), β = arcsin (b / c):
• α = arcos (b / c), β = arcos (a / c):
• α = արկտան (ա / բ), β = արկտան (բ / ա):

Ուղղանկյուն եռանկյան երկարությունը

Եռանկյան մակերեսը և մակերեսը

պարագծային

Ցանկացած եռանկյան շրջագիծը հավասար է երեք կողմերի երկարությունների գումարին։ Ընդհանուր բանաձևեռանկյուն եռանկյուն գտնելու համար.

որտեղ P եռանկյան շրջագիծն է, նրա կողմերի a, b և c:

Հավասար եռանկյունու պարագիծկարելի է գտնել՝ հաջորդաբար համատեղելով նրա կողմերի երկարությունները կամ կողքի երկարությունը 2-ով բազմապատկելով և հիմքի երկարությունը արտադրանքին ավելացնելով։

Հավասարակշռության եռանկյունի գտնելու ընդհանուր բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

որտեղ P-ը հավասար եռանկյան պարագիծն է, բայց կամ b, b հիմքն է:

Հավասարակողմ եռանկյան պարագիծկարելի է գտնել՝ հաջորդաբար համադրելով նրա կողմերի երկարությունները կամ ցանկացած էջի երկարությունը 3-ով բազմապատկելով։

Հավասարակողմ եռանկյունների եզրագիծը գտնելու ընդհանուր բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

որտեղ P-ը հավասարակողմ եռանկյան պարագիծն է, a-ն նրա ցանկացած կողմն է:

շրջան

Եթե ​​ցանկանում եք չափել եռանկյան մակերեսը, կարող եք այն համեմատել զուգահեռագծի հետ։ Դիտարկենք ABC եռանկյունը.

Եթե ​​վերցնենք նույն եռանկյունը և ֆիքսենք այնպես, որ ստանանք զուգահեռագիծ, ապա կստանանք այս եռանկյունի նույն բարձրությամբ և հիմքով զուգահեռագիծ.

Այս դեպքում եռանկյունների ընդհանուր կողմը միասին ծալվում է կաղապարված զուգահեռագծի անկյունագծով։

Զուգահեռագծի հատկություններից. Հայտնի է, որ զուգահեռագծի անկյունագծերը միշտ բաժանվում են երկու հավասար եռանկյունների, ապա յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը հավասար է զուգահեռագծի միջակայքի կեսին։

Քանի որ զուգահեռագծի մակերեսը նույնն է, ինչ նրա հիմքի բարձրության արտադրյալը, եռանկյան մակերեսը հավասար կլինի այս արտադրյալի կեսին: Այսպիսով, ΔABC-ի համար տարածքը կլինի նույնը

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը.

Երկու նույնական ուղղանկյուն եռանկյունները կարող են թեքվել ուղղանկյունի մեջ, եթե այն հենվում է նրանց վրա, որը միմյանց հիպոթենուս է:

Քանի որ ուղղանկյան մակերեսը համընկնում է հարակից կողմերի մակերեսին, այս եռանկյան մակերեսը նույնն է.

Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է ոտքերի արտադրյալին, որը բաժանվում է 2-ի:

Այս օրինակներից կարելի է եզրակացնել, որ յուրաքանչյուր եռանկյունու մակերեսը նույնն է, ինչ երկարության արտադրյալը, իսկ բարձրությունը կրճատվում է մինչև 2-ի բաժանված ենթաշերտը։

Եռանկյան մակերեսը գտնելու ընդհանուր բանաձևը նման կլինի հետևյալին.

որտեղ S-ը եռանկյան մակերեսն է, բայց դրա հիմքը, բայց բարձրությունն ընկնում է ներքևի մասում a.

Ուղղանկյուն եռանկյունների մասին թեմա ուսումնասիրելուց հետո ուսանողները հաճախ մոռանում են դրանց մասին բոլոր տեղեկությունները: Այդ թվում՝ ինչպես գտնել հիպոթենուսը, էլ չասած, թե դա ինչ է։

Եվ ապարդյուն։ Որովհետև ապագայում ուղղանկյան անկյունագիծը հենց այս հիպոթենուսն է, և այն պետք է գտնել: Կամ շրջանագծի տրամագիծը համընկնում է եռանկյան ամենամեծ կողմի հետ, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է։ Եվ դա անհնար է գտնել առանց այս իմացության:

Եռանկյան հիպոթենուսը գտնելու մի քանի տարբերակ կա։ Մեթոդի ընտրությունը կախված է քանակների խնդրի սկզբնական տվյալների հավաքածուից։

Մեթոդ թիվ 1. երկու կողմերն էլ տրվում են

Սա ամենահիշվող մեթոդն է, քանի որ այն օգտագործում է Պյութագորասի թեորեմը։ Միայն երբեմն ուսանողները մոռանում են, որ այս բանաձևն օգտագործվում է հիպոթենուսի քառակուսին գտնելու համար: Սա նշանակում է, որ կողմն ինքնին գտնելու համար հարկավոր է վերցնել քառակուսի արմատը: Հետևաբար, հիպոթենուսի բանաձևը, որը սովորաբար նշվում է «c» տառով, կունենա հետևյալ տեսքը.

c = √ (a 2 + b 2), որտեղ «a» և «b» տառերը ներկայացնում են ուղղանկյուն եռանկյան երկու ոտքերը:

Մեթոդ թիվ 2. հայտնի է ոտքը և դրան հարող անկյունը

Որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել հիպոթենուսը, դուք պետք է հիշեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Մասնավորապես կոսինուս. Հարմարության համար կենթադրենք, որ տրված են «a» ոտքը և նրան հարող α անկյունը։

Այժմ մենք պետք է հիշենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան անկյան կոսինուսը հավասար է երկու կողմերի հարաբերությանը: Համարիչը կպարունակի ոտքի արժեքը, իսկ հայտարարը` հիպոթենուսը: Այստեղից հետևում է, որ վերջինս կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

c = a / cos α.

Մեթոդ թիվ 3. տրվում է ոտք և անկյուն, որը գտնվում է դրա դիմաց

Բանաձևերում չշփոթվելու համար եկեք ներկայացնենք այս անկյան նշանակումը՝ β, իսկ կողմը թողնենք նույն «a»-ն: Այս դեպքում ձեզ անհրաժեշտ կլինի մեկ այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիա՝ սինուս:

Ինչպես նախորդ օրինակում, սինուսը հավասար է ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությանը: Այս մեթոդի բանաձևը հետևյալն է.

c = a / sin β.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում չշփոթվելու համար կարող եք հիշել մի պարզ մնեմոնիկ. եթե խնդիրը վերաբերում է PR-ին. Օհակառակ անկյունը, ապա դուք պետք է օգտագործեք այն Եվլավ, եթե - oh pr Եվպառկած, ապա դեպի Օսինուս. Ուշադրություն դարձրեք առաջին ձայնավորներին հիմնաբառեր. Նրանք կազմում են զույգեր o-iկամ և մոտ.

Մեթոդ թիվ 4. շրջագծված շրջանագծի շառավղով

Այժմ, որպեսզի պարզեք, թե ինչպես գտնել հիպոթենուսը, դուք պետք է հիշեք շրջանագծի հատկությունը, որը շրջագծված է ուղղանկյուն եռանկյունու շուրջ: Այն ասվում է հետևյալ կերպ. Շրջանի կենտրոնը համընկնում է հիպոթենուսի կեսին: Այլ կերպ ասած՝ ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմը հավասար է շրջանագծի անկյունագծին։ Այսինքն՝ կրկնակի շառավիղը։ Այս խնդրի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

c = 2 * r, որտեղ r տառը նշանակում է հայտնի շառավիղը։

Սրանք բոլոր հնարավոր ուղիներն են ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը գտնելու համար: Օգտագործեք յուրաքանչյուրում կոնկրետ առաջադրանքՁեզ անհրաժեշտ է այն մեթոդը, որն առավել հարմար է տվյալների հավաքածուի համար:

Օրինակ թիվ 1 առաջադրանքը

Վիճակը. ուղղանկյուն եռանկյունում միջնագիծը գծված է երկու կողմերից: Ավելի մեծ կողմի վրա գծվածի երկարությունը √52 է։ Մյուս մեդիանն ունի √73 երկարություն: Դուք պետք է հաշվարկեք հիպոթենուսը:

Քանի որ միջինները գծված են եռանկյունու մեջ, նրանք ոտքերը բաժանում են երկու հավասար հատվածների: Պատճառաբանելու և հիպոթենուսը գտնելու հարմարության համար անհրաժեշտ է ներկայացնել մի քանի նշում: Թող մեծ ոտքի երկու կեսերը նշանակվեն «x» տառով, իսկ մյուսը՝ «y»:

Այժմ մենք պետք է դիտարկենք երկու ուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնց հիպոթենուսները հայտնի միջնորդներն են: Նրանց համար անհրաժեշտ է երկու անգամ գրել Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը.

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Այս երկու հավասարումները կազմում են երկու անհայտ ունեցող համակարգ: Դրանք լուծելուց հետո հեշտ կլինի գտնել սկզբնական եռանկյունու ոտքերը և դրանցից նրա հիպոթենուսը:

Նախ պետք է ամեն ինչ բարձրացնել երկրորդ իշխանության վրա: Պարզվում է:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73:

Երկրորդ հավասարումից պարզ է դառնում, որ y 2 = 73 - 4x 2: Այս արտահայտությունը պետք է փոխարինվի առաջինով և հաշվարկվի «x»:

4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52:

Փոխակերպումից հետո.

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 կամ 15x 2 = 240:

Վերջին x = √16 = 4 արտահայտությունից:

Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել «y»:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9:

Ըստ պայմանների՝ ստացվում է, որ սկզբնական եռանկյունու ոտքերը հավասար են 6-ի և 8-ի: Սա նշանակում է, որ կարելի է օգտագործել առաջին մեթոդի բանաձևը և գտնել հիպոթենուսը.

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

ՊատասխանելՀիպոթենուզը հավասար է 10-ի:

Օրինակ թիվ 2 առաջադրանքը

Պայման. հաշվե՛ք 41-ի ավելի կարճ կողմ ունեցող ուղղանկյան մեջ գծված անկյունագիծը: Եթե հայտնի է, որ այն անկյունը բաժանում է 2-ից 1-ի հարաբերականների:

Այս խնդրի դեպքում ուղղանկյան անկյունագիծը 90º եռանկյան ամենաերկար կողմն է: Այսպիսով, ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչպես գտնել հիպոթենուսը:

Խնդիրը անկյունների մասին է։ Սա նշանակում է, որ դուք պետք է օգտագործեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող բանաձեւերից մեկը։ Նախ անհրաժեշտ է որոշել սուր անկյուններից մեկի չափը:

Թող պայմանում քննարկված անկյուններից փոքրը նշանակվի α: Այնուհետև ուղիղ անկյունը, որը բաժանվում է անկյունագծով, հավասար կլինի 3α-ի: Դրա մաթեմատիկական նշումը հետևյալն է.

Այս հավասարումից հեշտ է որոշել α. Այն հավասար կլինի 30º-ի։ Ավելին, այն ընկած կլինի ուղղանկյան փոքր կողմի հակառակ կողմում: Հետեւաբար, ձեզ անհրաժեշտ կլինի թիվ 3 մեթոդում նկարագրված բանաձեւը:

Հիպոթենուսը հավասար է ոտքի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերությանը, այսինքն.

41 / մեղք 30º = 41 / (0,5) = 82:

Պատասխան. Հիպոթենուսը 82 է: