Առցանց հաշվիչ.
Եռանկյունների լուծում.

Եռանկյունի լուծումը նշանակում է գտնել նրա բոլոր վեց տարրերը (այսինքն՝ երեք կողմերը և երեք անկյունները) ցանկացած երեք տրված տարրերից, որոնք սահմանում են եռանկյունը:

Այս մաթեմատիկական ծրագիրը գտնում է \(c\), անկյունները \(\alpha \) և \(\beta \) օգտատիրոջ կողմից նշված կողմերից \(a, b\) և նրանց միջև \(\gamma \)

Ծրագիրը ոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այլեւ ցուցադրում է լուծում գտնելու գործընթացը։

Այս առցանց հաշվիչը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար միջնակարգ դպրոցներնախապատրաստվելիս թեստերև քննություններ՝ միասնական պետական ​​քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, որպեսզի ծնողները վերահսկեն մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է դաստիարակ վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել հնարավորինս արագ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկայի՞ն, թե՞ հանրահաշիվին։ Այս դեպքում կարող եք նաև օգտվել մեր ծրագրերից՝ մանրամասն լուծումներով։

Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ վերապատրաստումը ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի համար, մինչդեռ բարձրանում է կրթության մակարդակը խնդիրների լուծման ոլորտում:

Եթե ​​ծանոթ չեք թվերի մուտքագրման կանոններին, խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրանց։

Թվեր մուտքագրելու կանոններ

Թվերը կարելի է նշել ոչ միայն որպես ամբողջ թվեր, այլև որպես կոտորակներ։
Տասնորդական կոտորակների ամբողջ և կոտորակային մասերը կարելի է բաժանել կամ կետով կամ ստորակետով:
Օրինակ, կարող եք մուտք գործել տասնորդականներայսպես 2,5 կամ այնքան 2,5

Մուտքագրեք \(a, b\) կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը \(\գամմա \) Լուծել եռանկյունը

Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Ձեր դիտարկիչում JavaScript-ն անջատված է:
Որպեսզի լուծումը հայտնվի, դուք պետք է միացնեք JavaScript-ը:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:

Որովհետեւ Խնդիրը լուծելու պատրաստ շատ մարդիկ կան, ձեր հարցումը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյանից լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...

Եթե ​​դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի փոքր տեսություն.

Սինուսների թեորեմա

Թեորեմ

Եռանկյան կողմերը համաչափ են հակառակ անկյունների սինուսներին.
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Կոսինուսների թեորեմ

Թեորեմ
ABC եռանկյան մեջ թողնենք AB = c, BC = a, CA = b: Հետո
Եռանկյան քառակուսի կողմը գումարին հավասարմյուս երկու կողմերի քառակուսիները հանած այս կողմերի արտադրյալի կրկնապատիկը` բազմապատկած նրանց միջև անկյան կոսինուսով:
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Եռանկյունների լուծում

Եռանկյունի լուծում նշանակում է գտնել նրա բոլոր վեց տարրերը (այսինքն՝ երեք կողմերը և երեք անկյունները) ցանկացած երեք տրված տարրերից, որոնք սահմանում են եռանկյունը:

Դիտարկենք երեք խնդիր, որոնք ներառում են եռանկյունի լուծում: Այս դեպքում ABC եռանկյան կողմերի համար կօգտագործենք հետևյալ նշումը՝ AB = c, BC = a, CA = b:

Եռանկյունի լուծում՝ օգտագործելով երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը

Տրված է՝ \(a, b, \անկյուն C\): Գտեք \(c, \անկյուն A, \անկյուն B\)

Լուծում
1. Օգտագործելով կոսինուսների թեորեմը՝ գտնում ենք \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Օգտվելով կոսինուսի թեորեմից՝ ունենք.
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\անկյուն B = 180^\circ -\անկյուն A -\անկյուն C\)

Եռանկյունի կողքի և հարակից անկյունների լուծում

Տրված է՝ \(a, \անկյուն B, \անկյուն C\): Գտեք \(\անկյուն A, b, c\)

Լուծում
1. \(\անկյուն A = 180^\circ -\անկյուն B -\անկյուն C\)

2. Օգտվելով սինուսների թեորեմից՝ հաշվարկում ենք b և c.
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Եռանկյունի լուծում երեք կողմերից

Տրված է՝ \(a, b, c\): Գտեք \(\անկյուն A, \անկյուն B, \անկյուն C\)

Լուծում
1. Օգտվելով կոսինուսների թեորեմից՝ ստանում ենք.
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Օգտագործելով \(\cos A\) մենք գտնում ենք \(\անկյուն A\) միկրոհաշվիչի կամ աղյուսակի միջոցով:

2. Նմանապես մենք գտնում ենք B անկյունը:
3. \(\անկյուն C = 180^\circ -\անկյուն A -\անկյուն B\)

Եռանկյունի լուծում՝ օգտագործելով երկու կողմ և հայտնի կողմի հակառակ անկյուն

Տրված է՝ \(a, b, \անկյուն A\): Գտեք \(c, \անկյուն B, \անկյուն C\)

Լուծում
1. Օգտվելով սինուսների թեորեմից՝ գտնում ենք \(\sin B\) ստանում ենք.
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Ներկայացնենք նշումը՝ \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \): Կախված D թվից, հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.
Եթե ​​D > 1, ապա այդպիսի եռանկյուն գոյություն չունի, քանի որ \(\sin B\) չի կարող լինել 1-ից մեծ
Եթե ​​D = 1, կա եզակի \(\անկյուն B: \քառյակ \sin B = 1 \Աջ սլաք \անկյուն B = 90^\circ \)
Եթե ​​D Եթե D 2. \(\անկյուն C = 180^\circ -\անկյուն A -\անկյուն B\)

3. Օգտվելով սինուսների թեորեմից՝ հաշվարկում ենք c կողմը.
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Գրքեր (դասագրքեր) Միասնական պետական ​​քննության և միասնական պետական ​​քննության թեստերի ամփոփագրեր առցանց Խաղեր, հանելուկներ Գործառույթների գծապատկերների գծագրում Ռուսաց լեզվի ուղղագրական բառարան Պատանեկան ժարգոնային բառարան Ռուսական դպրոցների կատալոգ Ռուսաստանի միջնակարգ ուսումնական հաստատությունների կատալոգ Ռուսական բուհերի կատալոգ Ցուցակ առաջադրանքների

Մաթեմատիկայի մեջ եռանկյունը դիտարկելիս մեծ ուշադրություն է դարձվում նրա կողմերին։ Քանի որ այս տարրերը կազմում են այս երկրաչափական պատկերը: Եռանկյան կողմերը օգտագործվում են երկրաչափության բազմաթիվ խնդիրներ լուծելու համար։

Հայեցակարգի սահմանում

Երեք կետերը միացնող հատվածները, որոնք միևնույն գծի վրա չեն գտնվում, կոչվում են եռանկյան կողմեր: Քննարկվող տարրերը սահմանափակում են հարթության մի մասը, որը կոչվում է տվյալ երկրաչափական պատկերի ինտերիեր։

Մաթեմատիկոսներն իրենց հաշվարկներում թույլ են տալիս ընդհանրացումներ երկրաչափական պատկերների կողմերի վերաբերյալ։ Այսպիսով, այլասերված եռանկյունում նրա երեք հատվածները գտնվում են մեկ ուղիղ գծի վրա:

Հայեցակարգի բնութագրերը

Եռանկյան կողմերի հաշվարկը ներառում է նկարի բոլոր մյուս պարամետրերի որոշումը: Իմանալով այս հատվածներից յուրաքանչյուրի երկարությունը՝ կարող եք հեշտությամբ հաշվարկել եռանկյան պարագիծը, մակերեսը և նույնիսկ անկյունները:

Բրինձ. 1. Կամայական եռանկյուն.

Տրված պատկերի կողմերը գումարելով՝ կարող եք որոշել պարագիծը։

P=a+b+c, որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերն են

Իսկ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար պետք է օգտագործել Հերոնի բանաձևը.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է:

Տրված երկրաչափական պատկերի անկյունները հաշվարկվում են կոսինուսի թեորեմի միջոցով։

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Իմաստը

Այս երկրաչափական պատկերի որոշ հատկություններ արտահայտվում են եռանկյան կողմերի հարաբերությամբ.

• Եռանկյան ամենափոքր կողմի դիմաց նրա ամենափոքր անկյունն է:
• Քննարկվող երկրաչափական պատկերի արտաքին անկյունը ստացվում է կողմերից մեկը երկարացնելու միջոցով։
• Դեմ հավասար անկյուններեռանկյունն ունի հավասար կողմեր.
• Ցանկացած եռանկյունում կողմերից մեկը միշտ ավելի մեծ է, քան մյուս երկու հատվածների տարբերությունը։ Եվ այս թվի ցանկացած երկու կողմերի գումարն ավելի մեծ է, քան երրորդը:

Երկու եռանկյունների հավասարության նշաններից մեկը երկրաչափական պատկերի բոլոր կողմերի գումարի հարաբերությունն է։ Եթե ​​այս արժեքները նույնն են, ապա եռանկյունները հավասար կլինեն:

Եռանկյան որոշ հատկություններ կախված են նրա տեսակից։ Հետեւաբար, նախ պետք է հաշվի առնել այս գործչի կողմերի կամ անկյունների չափը:

Եռանկյունների ձևավորում

Եթե ​​խնդրո առարկա երկրաչափական պատկերի երկու կողմերը նույնն են, ապա այս եռանկյունը կոչվում է հավասարաչափ:

Բրինձ. 2. Հավասարաչափ եռանկյուն.

Երբ եռանկյան բոլոր հատվածները հավասար են, ստացվում է հավասարակողմ եռանկյուն:

Բրինձ. 3. Հավասարակողմ եռանկյուն.

Ավելի հարմար է ցանկացած հաշվարկ իրականացնել այն դեպքերում, երբ կամայական եռանկյունը կարող է դասակարգվել որպես հատուկ տեսակի: Քանի որ այդ դեպքում այս երկրաչափական գործչի պահանջվող պարամետրը գտնելը զգալիորեն կպարզեցվի։

Չնայած ճիշտ ընտրված եռանկյունաչափական հավասարումը թույլ է տալիս լուծել բազմաթիվ խնդիրներ, որոնցում դիտարկվում է կամայական եռանկյուն:

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Երեք հատվածները, որոնք միացված են կետերով և չեն պատկանում նույն ուղիղ գծին, կազմում են եռանկյուն: Այս կողմերը կազմում են երկրաչափական հարթություն, որն օգտագործվում է տարածքը որոշելու համար։ Օգտագործելով այս հատվածները, դուք կարող եք գտնել գործչի շատ կարևոր բնութագրեր, ինչպիսիք են պարագիծը և անկյունները: Եռանկյան կողմի հարաբերակցությունը օգնում է գտնել դրա տեսակը: Տվյալ երկրաչափական գործչի որոշ հատկություններ կարող են օգտագործվել միայն այն դեպքում, եթե հայտնի են նրա յուրաքանչյուր կողմի չափերը:

Թեստ թեմայի շուրջ

Հոդվածների վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.3. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 142:

Երկրաչափության մեջ հաճախ հանդիպում են խնդիրներ՝ կապված եռանկյունների կողմերի հետ։ Օրինակ, հաճախ անհրաժեշտ է գտնել եռանկյան կողմը, եթե մյուս երկուսը հայտնի են:

Եռանկյունները հավասարաչափ են, հավասարակողմ և անհավասար: Ամբողջ բազմազանությունից առաջին օրինակի համար կընտրենք ուղղանկյունը (այդպիսի եռանկյունում անկյուններից մեկը 90° է, նրան հարող կողմերը կոչվում են ոտքեր, իսկ երրորդը՝ հիպոթենուս)։

Արագ նավարկություն հոդվածի միջոցով

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարությունը

Խնդրի լուծումը բխում է մեծ մաթեմատիկոս Պյութագորասի թեորեմից. Այն ասում է, որ ոտքերի քառակուսիների գումարը ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է նրա հիպոթենուսի քառակուսուն՝ a²+b²=c²

• Գտե՛ք ոտքի երկարության քառակուսին a;
• Գտե՛ք b ոտքի քառակուսին;
• Մենք դրանք միասին ենք դնում;
• Ստացված արդյունքից արդյունահանում ենք երկրորդ արմատը։

Օրինակ՝ a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Այսինքն՝ այս եռանկյան հիպոթենուսի երկարությունը 5 է։

Եթե ​​եռանկյունը չունի ուղիղ անկյուն, ապա երկու կողմերի երկարությունները բավարար չեն։ Դրա համար անհրաժեշտ է երրորդ պարամետր՝ սա կարող է լինել անկյուն, եռանկյան բարձրություն, դրանում ներգծված շրջանագծի շառավիղ և այլն։

Եթե ​​պարագիծը հայտնի է

Այս դեպքում խնդիրն ավելի պարզ է. Պարագիծը (P) եռանկյան բոլոր կողմերի գումարն է՝ P=a+b+c։ Այսպիսով, լուծելով պարզ մաթեմատիկական հավասարում, մենք ստանում ենք արդյունքը.

Օրինակ՝ P=18, a=7, b=6, c=?

1) Մենք լուծում ենք հավասարումը` բոլոր հայտնի պարամետրերը տեղափոխելով հավասար նշանի մի կողմ.

2) Փոխարինեք արժեքները դրանց փոխարեն և հաշվարկեք երրորդ կողմը.

c=18-7-6=5, ընդհանուր՝ եռանկյան երրորդ կողմը 5 է։

Եթե ​​անկյունը հայտնի է

Եռանկյան երրորդ կողմը հաշվելու համար տրված անկյունը և երկու այլ կողմերը, լուծումը հանգում է եռանկյունաչափական հավասարման հաշվարկին: Իմանալով եռանկյան կողմերի և անկյան սինուսի հարաբերությունները՝ հեշտ է հաշվարկել երրորդ կողմը։ Դա անելու համար հարկավոր է երկու կողմերը քառակուսի դնել և դրանց արդյունքները միասին ավելացնել: Այնուհետև ստացված արտադրյալից հանեք կողմերի արտադրյալը՝ բազմապատկված անկյան կոսինուսով. C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Եթե ​​տարածքը հայտնի է

Այս դեպքում մեկ բանաձեւ չի անի.

1) Նախ հաշվարկեք sin γ՝ արտահայտելով այն եռանկյան մակերեսի բանաձևից.

sin γ= 2S/(a*b)

2) կողմից հետեւյալ բանաձեւըհաշվարկել նույն անկյան կոսինուսը.

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Եվ կրկին օգտագործում ենք սինուսների թեորեմը.

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Փոխարինելով փոփոխականների արժեքները այս հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք խնդրի պատասխանը։

Եռանկյունի սահմանում

Եռանկյուն- Սա երկրաչափական պատկեր, որը ձևավորվում է երեք հատվածների հատման արդյունքում, որոնց ծայրերը նույն ուղիղ գծի վրա չեն ընկած։ Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք կողմ, երեք գագաթ և երեք անկյուն:

Առցանց հաշվիչ

Կան եռանկյուններ տարբեր տեսակներ. Օրինակ՝ կա հավասարակողմ եռանկյուն (մեկը, որի բոլոր կողմերը հավասար են), հավասարաչափ (դրա մեջ երկու կողմերը հավասար են) և ուղղանկյուն եռանկյուն (որում անկյուններից մեկն ուղիղ է, այսինքն՝ հավասար է 90 աստիճանի)։

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել տարբեր ճանապարհներկախված նրանից, թե նկարի որ տարրերն են հայտնի խնդրի պայմաններից՝ լինի դա անկյունները, երկարությունները, թե նույնիսկ եռանկյունու հետ կապված շրջանների շառավիղները: Եկեք նայենք յուրաքանչյուր մեթոդին առանձին օրինակներով:

Եռանկյունի մակերեսի բանաձև՝ հիմնված դրա հիմքի և բարձրության վրա

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ ա ⋅հ,

Ա ա ա- եռանկյունի հիմքը;
ժ ժ հ- տրված հիմքի վրա գծված եռանկյան բարձրությունը ա.

Օրինակ

Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե նրա հիմքի երկարությունը հայտնի է, հավասար է 10 (սմ) և այս հիմքի վրա գծված բարձրությունը հավասար է 5 (սմ):

Լուծում

A = 10 a = 10 ա =1 0
h = 5 h=5 h =5

Մենք դա փոխարինում ենք տարածքի բանաձևով և ստանում.
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (տես քառ.)

Պատասխան. 25 (սմ. քառ.)

Եռանկյունի մակերեսի բանաձև՝ հիմնված բոլոր կողմերի երկարությունների վրա

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

Ա, բ, գ ա, բ, գ ա, բ, գ- եռանկյունու կողմերի երկարությունները;
p p էջ- եռանկյան բոլոր կողմերի գումարի կեսը (այսինքն՝ եռանկյան պարագծի կեսը).

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac (1) (2) (a + b + c)p =2 1 ​ (a +բ+գ)

Այս բանաձեւը կոչվում է Հերոնի բանաձեւը.

Օրինակ

Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե հայտնի են նրա երեք կողմերի երկարությունները՝ հավասար 3 (սմ), 4 (սմ), 5 (սմ):

Լուծում

A = 3 a = 3 ա =3
b = 4 b=4 բ =4
c = 5 c=5 գ =5

Եկեք գտնենք պարագծի կեսը p p էջ:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Այնուհետև, ըստ Հերոնի բանաձևի, եռանկյան մակերեսը հետևյալն է.

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (տես քառ.)

Պատասխան՝ 6 (տես քառակուսի)

Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է մեկ կողմ և երկու անկյուն

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\բետա+\գամմա))S=2 ա 2 ​ ⋅ մեղք (β + γ)մեղք β մեղք γ ​ ,

Ա ա ա- եռանկյունու կողմի երկարությունը;
β , γ \բետա, \գամմա β , γ - կողքին հարող անկյունները ա ա ա.

Օրինակ

Տրվում է եռանկյան մի կողմը, որը հավասար է 10 (սմ) և երկու հարակից 30 աստիճանի անկյունները: Գտեք եռանկյան մակերեսը:

Լուծում

A = 10 a = 10 ա =1 0
β = 3 0 ∘ \բետա=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Ըստ բանաձևի.

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(2)\c2t) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ մոտ 14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ մեղք (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) մեղք 3 0 ∘ մեղք 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (տես քառ.)

Պատասխան. 14.4 (տես քառ.)

Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսի բանաձևը և շրջանագծի շառավիղը

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c) (4R)S=4Rա ⋅ բ ⋅ գ​ ,

Ա, բ, գ ա, բ, գ ա, բ, գ- եռանկյունու կողմերը;
Ռ Ռ Ռ- եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:

Օրինակ

Վերցնենք թվերը մեր երկրորդ խնդրից և դրանց ավելացնենք շառավիղը Ռ Ռ Ռշրջանակներ. Թող այն հավասար լինի 10 (սմ.):

Լուծում

A = 3 a = 3 ա =3
b = 4 b=4 բ =4
c = 5 c=5 գ =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (տես քառ.)

Պատասխան. 1,5 (սմ2)

Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան տարածքի և ներգծված շրջանագծի շառավիղի բանաձևը

S = p ⋅ r S=p\cdot rՍ= էջ⋅ r,

p pէջ- եռանկյան պարագծի կեսը.

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)էջ= 2 ա+ բ+ գ​ ,

ա, բ, գ ա, բ, գա, բ, գ- եռանկյունու կողմերը;
r rr- եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը:

Օրինակ

Ներգրված շրջանագծի շառավիղը թող լինի 2 (սմ): Նախորդ խնդրից կվերցնենք կողմերի երկարությունները։

Լուծում

$ա=3b\; =\; 4\; b=4բ=4c\; =\; 5\; c=5գ=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$էջ=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12Ս= 6 ⋅ 2 = 1 2 (տես քառ.)

Պատասխան. 12 (սմ. քառ.)

Երկու կողմերի վրա հիմնված եռանկյունի տարածքի և նրանց միջև եղած անկյան բանաձևը

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\ալֆա)Ս= 2 1 ​ ⋅ բ⋅ գ⋅ մեղք(α ) ,

բ, գ բ, գբ, գ- եռանկյունու կողմերը;

α\ալֆաα - կողմերի միջև անկյուն բ բբԵվ գ գգ.

Օրինակ

Եռանկյան կողմերը 5 (սմ) և 6 (սմ) են, նրանց միջև անկյունը 30 աստիճան է։ Գտեք եռանկյան մակերեսը:

Լուծում

$բ=5c\; =\; 6\; c=6գ=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash ալֆա=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5Ս= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ մեղք(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (տես քառ.)

Պատասխան. 7,5 (սմ. քառ.)

Մուտքագրեք հայտնի եռանկյունու տվյալները

Կողք ա

Կողք բ

Կողմը գ

A անկյունը աստիճաններով

B անկյունը աստիճաններով

C անկյունը աստիճաններով

Միջին կողմում ա

Միջին կողմը բ

Միջին կողմը գ

Բարձրությունը կողմում ա

Բարձրությունը կողմում b

Բարձրությունը կողմում c

Ա գագաթի կոորդինատները

X Յ

B vertex կոորդինատները

X Յ

Գ գագաթի կոորդինատները

X Յ

Եռանկյան մակերեսը Ս

Եռանկյան կողմերի կիսաշրջագիծ p

Ձեզ ենք ներկայացնում հաշվիչ, որը թույլ է տալիս հաշվարկել բոլոր հնարավոր...

Ցանկանում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն փաստի վրա, որ Սա ունիվերսալ բոտ է:Այն հաշվարկում է կամայական եռանկյունու բոլոր պարամետրերը՝ կամայականով տրված պարամետրեր. Նման բոտ ոչ մի տեղ չեք գտնի:

Գիտե՞ք կողմն ու երկու բարձրությունը։ թե՞ երկու կողմ և միջնագիծ: Կամ երկու անկյան կիսանդրին և եռանկյան հիմքը։

Ցանկացած հարցումների դեպքում մենք կարող ենք ստանալ եռանկյունի պարամետրերի ճիշտ հաշվարկ:

Ձեզ հարկավոր չէ բանաձևեր փնտրել և ինքներդ կատարել հաշվարկները։ Ձեզ համար ամեն ինչ արդեն արվել է։

Ստեղծեք հարցում և ստացեք ճշգրիտ պատասխան:

Ցուցադրվում է կամայական եռանկյուն: Անմիջապես պարզաբանենք, թե ինչպես և ինչ է նշված, որպեսզի ապագայում հաշվարկներում շփոթություններ և սխալներ չլինեն։

Ցանկացած անկյան հակառակ կողմերը նույնպես կոչվում են միայն փոքր տառով. Այսինքն՝ A-ի հակառակ անկյունը եռանկյան կողմն է, C կողմը հակառակ C անկյունն է։

ma-ն a-ի վրա ընկնող մեդինան է, համապատասխանաբար, կան նաև mb և mc միջնագծեր, որոնք ընկնում են համապատասխան կողմերի վրա:

lb-ն բիսեկտորն է, որն ընկնում է b կողմում, համապատասխանաբար կան նաև la և lc կիսադիրներ, որոնք ընկնում են համապատասխան կողմերի վրա։

hb-ն b կողմում ընկնող բարձրությունն է, համապատասխանաբար կան նաև հա և hc համապատասխան կողմերի վրա ընկնող բարձրություններ։

Դե, երկրորդը, հիշեք, որ եռանկյունը այն գործիչն է, որի մեջ կա հիմնարարկանոն.

Ցանկացած(!) երկու կողմերի գումարը պետք է ավելի մեծ լինիերրորդ.

Այսպիսով, մի զարմացեք, եթե սխալ եք ստանում Պ Նման տվյալների համար եռանկյուն գոյություն չունի երբ փորձում ենք հաշվարկել 3, 3 և 7 կողմերով եռանկյան պարամետրերը.

Շարահյուսություն

Նրանց համար, ովքեր թույլ են տալիս XMPP հաճախորդներ, խնդրանքը սա է<список параметров>

Կայքի օգտվողների համար ամեն ինչ արվում է այս էջում:

Պարամետրերի ցանկ - պարամետրեր, որոնք հայտնի են, բաժանված են ստորակետերով

պարամետրը գրված է այսպես պարամետր = արժեք

Օրինակ, եթե հայտնի է 10 արժեք ունեցող a կողմը, ապա գրում ենք a=10

Ընդ որում, արժեքները կարող են լինել ոչ միայն իրական թվի տեսքով, այլ նաև, օրինակ, որպես որևէ արտահայտության արդյունք.

Եվ ահա այն պարամետրերի ցանկը, որոնք կարող են հայտնվել հաշվարկներում:

Կողք Ա

Կողք բ

Կողմը գ

Կիսաշրջագծային պ

Անկյուն Ա

Անկյուն Բ

Անկյուն C

Եռանկյան մակերեսը Ս

Հասակը հա կողմում ա

Բարձրությունը hb կողմում b

Բարձրությունը hc կողմում c

Միջին մա կողքի ա

Միջին mb դեպի կողմը բ

Միջին mc դեպի կողմը c

Գագաթային կոորդինատներ (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Օրինակներ

մենք գրում ենք treug a=8;C=70;ha=2

Եռանկյունի պարամետրերը ըստ տրված պարամետրերի

Կողք a = 8

Կողք b = 2.1283555449519

Կողք c = 7,5420719851515

Կիսաշրջագծային p = 8.8352137650517

Անկյուն A = 2,1882518638666 աստիճաններով 125,37759631119

Անկյուն B = 2,873202966917 աստիճաններով 164,62240368881

Անկյուն C = 1,221730476396 70 աստիճանով

S = 8 եռանկյան մակերեսը

Հասակը հա կողմում a = 2

Բարձրությունը hb կողմում b = 7,5175409662872

Բարձրությունը hc կողմում c = 2.1214329472723

Միջին ma յուրաքանչյուր կողմում a = 3,8348889915443

Միջին mb մեկ կողմում b = 7,7012304590352

Միջին mc յուրաքանչյուր կողմում c = 4,4770789813853

Այսքանը, եռանկյունու բոլոր պարամետրերը:

Հարցն այն է, թե ինչու ենք կողմն անվանել Ա, բայց չէ Վկամ Հետ? Սա չի ազդում որոշման վրա։ Գլխավորը դիմանալն է այն պայմանին, որն արդեն նշեցի» Ցանկացած անկյան հակառակ կողմերը կոչվում են նույնը, միայն փոքր տառով«Եվ հետո ձեր մտքում եռանկյունի նկարեք և կիրառեք այն տրված հարցին:

Դրա փոխարեն կարելի էր վերցնել Ա Վ, բայց հետո հարակից անկյունը չի լինի ՀԵՏԱ Ալավ, բարձրությունը կլինի hb. Ստուգելու դեպքում արդյունքը նույնը կլինի։

Օրինակ, այսպես (xa,ya) =3.4 (xb,yb) =-6.14 (xc,yc)=-6,-3

հարցում գրել treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

և մենք ստանում ենք

Եռանկյունի պարամետրերը ըստ տրված պարամետրերի

Կողք a = 17

Կողք b = 11.401754250991

Կողք c = 13.453624047073

Կիսաշրջագծային p = 20,927689149032

Անկյուն A = 1,4990243938603 աստիճաններով 85,887771155351

Անկյուն B = 0,73281510178655 աստիճաններով 41,987212495819

Անկյուն C = 0,90975315794426 աստիճաններով 52,125016348905

S եռանկյան մակերեսը = 76,5

Հասակը հա կողմում a = 9

Բարձրությունը hb կողմում b = 13.418987695398

Բարձրությունը hc կողմում c = 11.372400437582

Միջին ma յուրաքանչյուր կողմում a = 9,1241437954466

Միջին mb մեկ կողմում b = 14,230249470757

Միջին mc յուրաքանչյուր կողմում c = 12,816005617976

Ուրախ հաշվարկներ!!