1°

1°. Մակերեւույթի հստակ սահմանման դեպքում շոշափող հարթության և նորմալի հավասարումները:

Դիտարկենք երկու փոփոխականի ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալների երկրաչափական կիրառություններից մեկը։ Թողեք գործառույթը զ = զ (x ;y)տարբերվող կետում (x 0; y 0)որոշ տարածք ԴÎ Ռ 2. Եկեք կտրենք մակերեսը Ս,գործառույթը ներկայացնելը z,ինքնաթիռներ x = x 0Եվ y = y 0(նկ. 11):

Ինքնաթիռ X = x 0հատում է մակերեսը Սինչ-որ գծի երկայնքով z 0 (y),որի հավասարումը ստացվում է սկզբնական ֆունկցիայի արտահայտության մեջ փոխարինելով z ==զ (x ;y)փոխարեն Xթվեր x 0.Կետ M 0 (x 0;y 0,զ (x 0;y 0))պատկանում է կորին z 0 (y).Տարբերակելի ֆունկցիայի շնորհիվ զկետում Մ 0ֆունկցիան z 0 (y)կետում նույնպես տարբերվում է y =y 0:Հետեւաբար, այս պահին ինքնաթիռում x = x 0դեպի կորը z 0 (y)կարելի է շոշափել լ 1.

Բաժնի համար նմանատիպ հիմնավորումների իրականացում ժամը = y 0,եկեք շոշափենք լ 2դեպի կորը z 0 (x)կետում X = x 0 -Ուղղակի 1 1 Եվ 1 2 սահմանել կոչվող ինքնաթիռը շոշափող հարթությունմակերեսին Սկետում Մ 0.

Եկեք ստեղծենք դրա հավասարումը. Քանի որ ինքնաթիռն անցնում է կետով Մո(x 0;y 0;z 0),ապա դրա հավասարումը կարելի է գրել այսպես

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

որը կարելի է վերաշարադրել այսպես.

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(հավասարումը բաժանելով -C-ի և նշանակելով ).

Մենք կգտնենք Ա 1և Բ 1.

Շոշափող հավասարումներ 1 1 Եվ 1 2 նման լինել

համապատասխանաբար.

Շոշափող լ 1ընկած է հարթությունում a , հետևաբար, բոլոր կետերի կոորդինատները լ 1բավարարել (1) հավասարումը. Այս փաստը կարելի է գրել համակարգի տեսքով

Որոշելով այս համակարգը B 1-ի նկատմամբ՝ մենք ստանում ենք այն: Կատարելով շոշափողի նմանատիպ հիմնավորում. լ 3, դա հեշտ է հաստատել։

Արժեքների փոխարինում Ա 1և B 1-ը (1) հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք պահանջվող շոշափող հարթության հավասարումը.

Մի կետով անցնող գիծ Մ 0և մակերեսի այս կետում կառուցված շոշափող հարթությանը ուղղահայաց կոչվում է դրա նորմալ.

Օգտագործելով ուղիղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը, հեշտ է ստանալ կանոնական նորմալ հավասարումներ.

Մեկնաբանություն.Շոշափող հարթության և մակերեսին նորմալ բանաձևերը ստացվում են մակերեսի սովորական, այսինքն՝ ոչ հատուկ կետերի համար: Կետ Մ 0մակերեսը կոչվում է հատուկ,եթե այս պահին բոլոր մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի կամ դրանցից գոնե մեկը գոյություն չունի: Մենք նման կետեր չենք համարում։

Օրինակ. Գրի՛ր շոշափող հարթության և դրա կետի մակերեսին նորմալի հավասարումները M(2; -1; 1):

Լուծում. Եկեք գտնենք այս ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները և դրանց արժեքները M կետում

Այստեղից, կիրառելով (2) և (3) բանաձևերը, կունենանք. z-1=2(x-2)+2(y+1)կամ 2х+2у-z-1=0- շոշափող հարթության հավասարումը և - նորմալ հավասարումներ.

2°. Մակերեւույթի անուղղակի սահմանման դեպքում շոշափող հարթության և նորմալի հավասարումները:

Եթե ​​մակերեսը Ստրված է հավասարմամբ Զ (x ; y;զ)= 0, այնուհետև (2) և (3) հավասարումները՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ մասնակի ածանցյալները կարելի է գտնել որպես իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալներ։

Նորմալ հարթության հավասարում

1.

4.

Շոշափող հարթությունը և մակերեսը նորմալ են

Թող տրվի որոշակի մակերես, A-ն մակերեսի ֆիքսված կետն է, իսկ B-ն մակերեսի փոփոխական կետն է,

(նկ. 1):

Ոչ զրոյական վեկտոր

→

n

կանչեց նորմալ վեկտորմակերեսին A կետում, եթե

լիմ B → A j = π 2 .

Մակերեւութային F (x, y, z) = 0 կետը կոչվում է սովորական, եթե այս կետում

1. մասնակի ածանցյալները F " x , F " y , F " z շարունակական են.
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0:

Եթե ​​այս պայմաններից գոնե մեկը խախտված է, ապա մակերեսային կետը կոչվում է մակերեսի հատուկ կետ .

Թեորեմ 1.Եթե ​​M ​​(x 0 , y 0 , z 0 ) մակերեսի սովորական կետն է F (x , y , z) = 0 , ապա վեկտորը

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → ես + F "y (x 0, y 0, z 0) → ժ + F "z (x 0, y 0, z 0) → կ

(1)

նորմալ է այս մակերեսին M կետում (x 0, y 0, z 0):

Ապացույցգրքում տրված Ի.Մ. Պետրուշկո, Լ.Ա. Կուզնեցովա, Վ.Ի. Պրոխորենկոն, Վ.Ֆ. Սաֆոնովա «Դասընթաց բարձրագույն մաթեմատիկաԻնտեգրալ հաշվարկ: Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ: Դիֆերենցիալ հավասարումներ. M.: Հրատարակչություն MPEI, 2002 (էջ 128):

Նորմալ մակերեսինինչ-որ պահի կա մի ուղիղ գիծ, ​​որի ուղղության վեկտորը նորմալ է մակերեսին այս կետում և որն անցնում է այս կետով:

Կանոնական նորմալ հավասարումներկարող է ներկայացվել ձևով

x − x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Շոշափող հարթությունորոշակի կետում մակերեսին մի հարթություն է, որն անցնում է այս կետով, այս կետում մակերեսին նորմալին ուղղահայաց:

Այս սահմանումից բխում է, որ շոշափող հարթության հավասարումըունի ձև.

(3)

Եթե ​​մակերևույթի մի կետը եզակի է, ապա այդ կետում մակերեսին նորմալ վեկտորը կարող է գոյություն չունենալ, և, հետևաբար, մակերեսը չի կարող ունենալ նորմալ և շոշափող հարթություն:

Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը

Թող z = f (x, y) ֆունկցիան տարբերելի լինի a կետում (x 0, y 0): Դրա գրաֆիկը մակերեսն է

f (x, y) − z = 0։

Եկեք դնենք z 0 = f (x 0 , y 0 ): Այնուհետեւ A կետը (x 0 , y 0 , z 0 ) պատկանում է մակերեսին։

F (x, y, z) = f (x, y) − z ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներն են.

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

և A կետում (x 0 , y 0 , z 0 )

1. դրանք շարունակական են;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0:

Հետևաբար, A-ն F մակերեսի սովորական կետն է (x, y, z) և այս կետում կա մակերեսին շոշափող հարթություն: Համաձայն (3) շոշափողի հարթության հավասարումն ունի ձև.

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0։

Շոշափող հարթության վրա կետի ուղղահայաց տեղաշարժը a (x 0, y 0) կետից կամայական p (x, y) կետ տեղափոխելիս B Q է (նկ. 2): Դիմումների համապատասխան աճն է

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Այստեղ աջ կողմում կա դիֆերենցիալ դ z ֆունկցիա z = f (x, y) a կետում (x 0, x 0): Հետևաբար,
դ f (x 0, y 0): (x, y) կետում (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) կետում շոշափող հարթության կետի կիրառման ավելացումն է f ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Դիֆերենցիալի սահմանումից հետևում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկի P կետի և շոշափող հարթության Q կետի միջև հեռավորությունը անվերջ ավելի մեծ է. բարձր կարգքան p կետից a կետ հեռավորությունը:

Ինչ-որ մի կետում և ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ, որոնցից գոնե մեկը չի անհետանում, ապա այս կետի հարևանությամբ (1) հավասարմամբ սահմանված մակերեսը կլինի. ճիշտ մակերեսը.

Բացի վերը նշվածից հստակեցման անուղղակի ձևմակերեսը կարող է սահմանվել ակնհայտորեն, եթե փոփոխականներից մեկը, օրինակ z, կարող է արտահայտվել մյուսներով.

Կա նաեւ պարամետրայինհանձնարարության եղանակը. Այս դեպքում մակերեսը որոշվում է հավասարումների համակարգով.

Պարզ մակերեսի հայեցակարգը

Ավելի ճիշտ՝ պարզ մակերես կոչվում է միավոր քառակուսու ինտերիերի հոմեոմորֆ քարտեզագրման (այսինքն՝ մեկ առ մեկ և փոխադարձաբար շարունակական քարտեզագրման) պատկեր։ Այս սահմանմանը կարելի է տալ վերլուծական արտահայտություն։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ ունեցող u և v հարթության վրա տրվի քառակուսի, որի ներքին կետերի կոորդինատները բավարարում են 0 անհավասարությունները։< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для տարբեր կետեր(u, v) և (u", v") տարբեր համապատասխան կետեր էին (x, y, z) և (x", y", z"):

Օրինակ պարզ մակերեսկիսագնդ է: Ամբողջ ոլորտը չէ պարզ մակերես. Սա պահանջում է մակերես հասկացության հետագա ընդհանրացում:

Տարածության ենթաբազմություն, որի յուրաքանչյուր կետ ունի հարևանություն, որն է պարզ մակերես, կանչեց ճիշտ մակերեսը .

Մակերեւույթը դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ

Հելիկոիդ

Կատենոիդ

Մետրիկը եզակիորեն չի որոշում մակերեսի ձևը: Օրինակ, հելիկոիդի և կատենոիդի մետրիկը, համապատասխանաբար պարամետրացված, համընկնում է, այսինքն, նրանց շրջանների միջև կա համապատասխանություն, որը պահպանում է բոլոր երկարությունները (իզոմետրիա): Այն հատկությունները, որոնք պահպանվում են իզոմետրիկ փոխակերպումների տակ, կոչվում են ներքին երկրաչափությունմակերեսներ. Ներքին երկրաչափությունը կախված չէ մակերևույթի դիրքից տարածության մեջ և չի փոխվում, երբ այն թեքվում է առանց լարվածության կամ սեղմման (օրինակ, երբ գլանը թեքվում է կոնի մեջ):

Մետրային գործակիցները որոշում են ոչ միայն բոլոր կորերի երկարությունները, այլև ընդհանուր առմամբ մակերեսի ներսում կատարված բոլոր չափումների արդյունքները (անկյուններ, տարածքներ, կորություն և այլն): Հետեւաբար, այն ամենը, ինչ կախված է միայն մետրիկից, վերաբերում է ներքին երկրաչափությանը:

Նորմալ և նորմալ հատված

Նորմալ վեկտորներ մակերեսային կետերում

Մակերեւույթի հիմնական բնութագրիչներից մեկն այն է նորմալ- տվյալ կետում շոշափող հարթությանը ուղղահայաց միավոր վեկտոր.

.

Նորմալի նշանը կախված է կոորդինատների ընտրությունից։

Նորմալ պարունակող հարթության մի հատվածը (տվյալ կետում) մակերեսի վրա կազմում է որոշակի կոր, որը կոչվում է. նորմալ հատվածմակերեսներ. Նորմալ հատվածի հիմնական նորմալը համընկնում է մակերեսի նորմալի հետ (մինչև նշան):

Եթե ​​մակերեսի կորը նորմալ հատված չէ, ապա դրա հիմնական նորմալը մակերեսի նորմալի հետ կազմում է θ անկյուն։ Հետո կորություն կկորի հետ կապված կոր կ nնորմալ հատված (նույն շոշափողով) Մյունյեի բանաձևով.

Մակերեւույթի որոշման տարբեր մեթոդների համար նորմալ միավորի վեկտորի կոորդինատները տրված են աղյուսակում.

	Նորմալ կոորդինատներ մակերեսային կետում
անուղղակի հանձնարարություն
հստակ հանձնարարություն
պարամետրային ճշգրտում

կորություն

Մակերեւույթի տվյալ կետում տարբեր ուղղությունների համար ստացվում է նորմալ հատվածի տարբեր կորություն, որը կոչվում է նորմալ կորություն; նրան նշանակվում է գումարած նշան, եթե կորի հիմնական նորմալը գնում է նույն ուղղությամբ, ինչ նորմալը դեպի մակերես, կամ մինուս նշան, եթե նորմերի ուղղությունները հակառակ են:

Ընդհանուր առմամբ, մակերեսի յուրաքանչյուր կետում կան երկու ուղղահայաց ուղղություններ ե 1 և ե 2, որտեղ նորմալ կորությունը վերցնում է նվազագույն և առավելագույն արժեքներ. այս ուղղությունները կոչվում են հիմնական. Բացա

Բացասական (ձախ), զրոյական (կենտրոն) և դրական (աջ) կորություն ունեցող մակերեսներ:

Հիմնական ուղղություններով նորմալ կորությունները կոչվում են հիմնական թեքությունները; եկեք դրանք նշանակենք κ 1 և κ 2։ Չափ:

Կ= κ 1 կ 2

կանչեց Գաուսի կորություն, ամբողջական կորությունկամ պարզապես կորությունմակերեսներ. Կա նաև տերմինը կորության սկալյար, որը ենթադրում է կորության թենզորի ոլորման արդյունք. այս դեպքում կորության սկալյարը երկու անգամ ավելի մեծ է, քան Գաուսի կորությունը:

Գաուսի կորությունը կարող է հաշվարկվել մետրիկի միջոցով և, հետևաբար, մակերեսների ներքին երկրաչափության օբյեկտ է (նկատի ունեցեք, որ հիմնական կորերը չեն պատկանում ներքին երկրաչափությանը): Դուք կարող եք դասակարգել մակերևույթի կետերը՝ հիմնվելով կորության նշանի վրա (տես նկարը): Ինքնաթիռի կորությունը զրո է։ R շառավղով գնդիկի կորությունն ամենուր հավասար է։ Գոյություն ունի նաև մշտական ​​բացասական կորության մակերես՝ պսևդոսֆերա։

Գեոդեզիական գծեր, գեոդեզիական կորություն

Մակերեւույթի կորը կոչվում է գեոդեզիական գիծ, կամ պարզապես գեոդեզիական, եթե իր բոլոր կետերում կորի հիմնական նորմալը համընկնում է մակերեսի նորմալի հետ։ Օրինակ՝ հարթության վրա գեոդեզիկան ուղիղ գծեր և ուղիղ գծերի հատվածներ են, գնդիկի վրա՝ մեծ շրջանակները և դրանց հատվածները։

Համարժեք սահմանում. գեոդեզիական գծի համար նրա հիմնական նորմալի պրոյեկցիան թրթռացող հարթության վրա զրոյական վեկտորն է: Եթե ​​կորը գեոդեզիական չէ, ապա նշված պրոյեկցիան զրոյական չէ. դրա երկարությունը կոչվում է գեոդեզիական կորություն կ էմակերեսի վրա կորություն: Կա հարաբերություն.

,

Որտեղ կ- այս կորի կորությունը, կ n- նրա նորմալ հատվածի կորությունը նույն շոշափողով.

Գեոդեզիական գծերը վերաբերում են ներքին երկրաչափությանը: Եկեք թվարկենք դրանց հիմնական հատկությունները.

• միջոցով այս կետըմակերեսների տվյալ ուղղությամբ կա մեկ և միայն մեկ գեոդեզիական:
• Մակերեւույթի բավական փոքր տարածքի վրա երկու կետեր միշտ կարող են միացված լինել գեոդեզիքով, ընդ որում, միայն մեկով: Բացատրություն. Գնդի վրա հակառակ բևեռները միացված են անսահման թվով միջօրեականներով, և երկու մերձավոր կետերը կարող են կապված լինել ոչ միայն մեծ շրջանագծի մի հատվածով, այլև ամբողջական շրջանագծին դրա ավելացմամբ, այնպես որ եզակիությունը պահպանվում է միայն։ փոքրի մեջ.
• Գեոդեզիան ամենակարճ ճանապարհն է: Ավելի խիստ՝ մակերեսի փոքր հատվածի վրա տրված կետերի միջև ամենակարճ ճանապարհն ընկած է գեոդեզիքի երկայնքով:

Քառակուսի

Մակերեւույթի մեկ այլ կարևոր հատկանիշ է քառակուսի, որը հաշվարկվում է բանաձևով.

2 փոփոխականներից կազմված ֆունկցիայի գրաֆիկը z = f(x,y) մակերևույթ է, որը նախագծված է XOY հարթության վրա՝ D ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում:
Հաշվի առեք մակերեսը σ , տրված է z = f(x,y) հավասարմամբ, որտեղ f(x,y) դիֆերենցիալ ֆունկցիա է, և թող M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) լինի ֆիքսված կետ σ մակերեսի վրա, այսինքն. z 0 = f(x 0,y 0): Նպատակը. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է գտնելու համար շոշափող հարթության և մակերեսի նորմալ հավասարումներ. Լուծումը կազմված է Word ձևաչափով: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել կորի շոշափողի հավասարումը (y = f(x)), ապա դուք պետք է օգտվեք այս ծառայությունից:

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:

1. Բոլոր փոփոխականներն արտահայտվում են x,y,z միջոցով

Մակերեւույթին շոշափող հարթություն σ իր կետում Մ 0-ն այն հարթությունն է, որում գտնվում են մակերեսի վրա գծված բոլոր կորերի շոշափողները σ կետի միջոցով Մ 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) կետում z = f(x,y) հավասարմամբ սահմանված մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը ունի ձև.

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Վեկտորը կոչվում է մակերեսային նորմալ վեկտոր σ M 0 կետում: Նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է շոշափող հարթությանը:
Նորմալ մակերեսին σ կետում Մ 0-ն ուղիղ գիծ է, որն անցնում է այս կետով և ունի N վեկտորի ուղղությունը:
Մակերեւույթի նորմալ հավասարումները, որոնք սահմանված են z = f(x,y) հավասարմամբ M 0 կետում (x 0 ,y 0 ,z 0), որտեղ z 0 = f(x 0 ,y 0), ունեն ձևը.

Օրինակ թիվ 1. Մակերեւույթը տրվում է x 3 +5y հավասարմամբ։ Գտե՛ք շոշափողի հարթության հավասարումը M 0 կետում (0;1):
Լուծում. Շոշափող հավասարումները գրենք ընդհանուր ձևով՝ z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Ըստ խնդրի պայմանների՝ x 0 = 0, y 0 = 1, ապա z 0 = 5
Գտնենք z = x^3+5*y ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները.
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) կետում մասնակի ածանցյալների արժեքներն են.
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք M 0 կետի մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը. z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) կամ -5 y+z = 0:

Օրինակ թիվ 2. Մակերեւույթը սահմանվում է անուղղակիորեն y 2 -1/2 * x 3 -8z: Գտե՛ք շոշափող հարթության հավասարումը M 0 կետում (1;0;1):
Լուծում. Գտնել ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները: Քանի որ ֆունկցիան անուղղակիորեն նշված է, մենք փնտրում ենք ածանցյալներ՝ օգտագործելով բանաձևը.

Մեր գործառույթի համար.

Ապա.

M կետում 0 (1,0,1) մասնակի ածանցյալների արժեքները.
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք M 0 կետում մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը. z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) կամ 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Օրինակ. Մակերեւույթ σ տրված է հավասարմամբ զ= y/x + xy – 5x 3. Գտե՛ք շոշափող հարթության և մակերեսին նորմալի հավասարումը σ կետում Մ 0 (x 0 ,y 0 ,զ 0), իրեն պատկանող, եթե x 0 = –1, y 0 = 2.
Գտնենք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները զ= զ(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
զ ե ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3) y = 1/x + x.
Կետ Մ 0 (x 0 ,y 0 ,զ 0) պատկանում է մակերեսին σ , այնպես որ մենք կարող ենք հաշվարկել զ 0՝ փոխարինելով տրվածը x 0 = –1 և y 0 = 2 մակերեսային հավասարման մեջ.

զ= y/x + xy – 5x 3

զ 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Կետում Մ 0 (–1, 2, 1) մասնակի ածանցյալ արժեքներ.
f x' ( Մ 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; զ ե ( Մ 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Օգտագործելով բանաձևը (5) մենք ստանում ենք մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը σ կետում Մ 0:
զ – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) զ – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + զ + 10 = 0.
Օգտագործելով (6) բանաձևը, մենք ստանում ենք մակերևույթի նորմալի կանոնական հավասարումները σ կետում Մ 0: .
Պատասխաններ՝ շոշափող հարթության հավասարումը՝ 15 x + 2y + զ+ 10 = 0; նորմալ հավասարումներ. .

Օրինակ թիվ 1. Տրվում է z=f(x,y) ֆունկցիա և երկու կետ՝ A(x 0, y 0) և B(x 1, y 1): Պահանջվում է. 1) հաշվարկել B կետում ֆունկցիայի z 1 արժեքը. 2) հաշվարկել B կետում ֆունկցիայի z 1-ի մոտավոր արժեքը՝ ելնելով A կետի ֆունկցիայի z 0 արժեքից՝ A կետից B կետ տեղափոխվելիս ֆունկցիայի աճը փոխարինելով դիֆերենցիալով. 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) կետում ստեղծել z = f(x,y) մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը:
Լուծում.
Շոշափող հավասարումները գրենք ընդհանուր ձևով.
z - z 0 = f" x (x 0,y 0,z 0)(x - x 0) + f"y (x 0,y 0,z 0)(y - y 0)
Ըստ խնդրի պայմանների՝ x 0 = 1, y 0 = 2, ապա z 0 = 25
Գտնենք z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) կետում մասնակի ածանցյալների արժեքներն են.
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք M 0 կետում մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը.
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
կամ
-26 x-36 y+z+73 = 0

Օրինակ թիվ 2. Գրե՛ք շոշափող հարթության և էլիպսային պարաբոլոիդին նորմալ հավասարումները z = 2x 2 + y 2 կետում (1;-1;3):

Շոշափող հարթությունները մեծ դեր են խաղում երկրաչափության մեջ։ Շոշափող հարթությունների կառուցումը գործնական նշանակություն ունի, քանի որ դրանց առկայությունը հնարավորություն է տալիս շփման կետում որոշել նորմալի ուղղությունը դեպի մակերես: Այս խնդիրը լայնորեն կիրառվում է ինժեներական պրակտիկայում: Շոշափող հարթություններն օգտագործվում են նաև էսքիզներ կառուցելու համար։ երկրաչափական ձևեր, սահմանափակված փակ մակերեսներով։ Տեսականորեն, մակերեսին շոշափող հարթություններն օգտագործվում են դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ՝ շփման կետի տարածքում մակերեսի հատկությունները ուսումնասիրելու համար։

Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Մակերեւույթին շոշափող հարթությունը պետք է դիտարկել որպես հատվածի հարթության սահմանափակող դիրք (ըստ կորի շոշափող գծի, որը նաև սահմանվում է որպես հատվածի սահմանային դիրք):

Մակերեւույթի տվյալ կետում մակերևույթին շոշափող հարթությունը բոլոր ուղիղ գծերի ամբողջությունն է՝ տվյալ կետի միջոցով մակերեսին գծված շոշափողներ:

Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ ապացուցված է, որ սովորական կետում գծված մակերևույթի բոլոր շոշափումները համահարթակ են (պատկանում են նույն հարթությանը):

Եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է ուղիղ գիծ գծել մակերեսին շոշափող: Մակերեւույթի վրա նշված M կետում β մակերևույթին t շոշափողը (նկ. 203) ներկայացնում է l j հատվածի սահմանային դիրքը, որը հատում է մակերեսը երկու կետերում (MM 1, MM 2, ..., MM n), երբ հատման կետերը համընկնում են (M ≡ M n , l n ≡ l M): Ակնհայտորեն (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, քանի որ g ⊂ β. Վերոնշյալից հետևում է հետևյալ սահմանումը. Մակերեւույթին շոշափող ուղիղ գիծ է, որը շոշափում է մակերեսին պատկանող ցանկացած կորի.

Քանի որ հարթությունը սահմանվում է երկու հատվող ուղիղ գծերով, տվյալ կետում մակերևույթին շոշափող հարթություն սահմանելու համար բավական է այս կետով գծել մակերեսին պատկանող երկու կամայական գիծ (ցանկալի է պարզ ձևով) և կառուցել շոշափողներ նրանցից յուրաքանչյուրը այս գծերի հատման կետում: Կառուցված տանգենսները եզակիորեն որոշում են շոշափող հարթությունը: Տրված M կետում β մակերևույթին α հարթություն գծելու տեսողական պատկերը տրված է Նկ. 204. Այս պատկերը ցույց է տալիս նաև β մակերեսի նորմալ n-ը:

Տվյալ կետում մակերեսին նորմալը շոշափող հարթությանը ուղղահայաց և շոշափման կետով անցնող ուղիղ գիծ է։

Նորմալով անցնող հարթության հետ մակերեսի հատման գիծը կոչվում է մակերեսի նորմալ հատված։ Կախված մակերևույթի տեսակից, շոշափող հարթությունը կարող է ունենալ մեկ կամ շատ կետեր (գիծ) մակերեսի հետ։ Շոշափման գիծը կարող է միաժամանակ լինել հարթության հետ մակերեսի հատման գիծ:

Կան նաև դեպքեր, երբ մակերևույթի վրա կան կետեր, որոնցում անհնար է շոշափել մակերեսին. այդպիսի կետերը կոչվում են եզակի: Որպես եզակի կետերի օրինակ կարելի է բերել իրանի մակերևույթի հետադարձ եզրին կամ իր առանցքի հետ շրջադարձային մակերևույթի միջօրեականի հատման կետը, եթե միջօրեականն ու առանցքը աջ կողմում չեն հատվում։ անկյունները.

Հպման տեսակները կախված են մակերեսի կորության բնույթից:

Մակերեւույթի կորություն

Մակերեւույթի կորության հարցերն ուսումնասիրել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆ.Դյուպենը (1784-1873), ով առաջարկել է մակերեսի նորմալ հատվածների կորության փոփոխությունները պատկերելու տեսողական եղանակ։

Դա անելու համար M կետում դիտարկվող մակերեսին շոշափող հարթության մեջ (նկ. 205, 206) շոշափումների վրա դրվում են հատվածներ, որոնք հավասար են այս հատվածների կորության համապատասխան շառավիղների արժեքների քառակուսի արմատներին: նորմալ հատվածները այս կետի երկու կողմերում: Մի շարք կետեր - հատվածների ծայրերը սահմանում են կորը, որը կոչվում է Դյուփենի ցուցիչ. Դյուփինի ցուցիչի կառուցման ալգորիթմը (նկ. 205) կարելի է գրել.

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

որտեղ R-ը կորության շառավիղն է:

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) Dupin ցուցանիշն է:

Եթե ​​մակերևույթի Դյուպինի ցուցիչը էլիպս է, ապա M կետը կոչվում է էլիպս, իսկ մակերեսը՝ էլիպսիկ կետերով մակերես։(նկ. 206): Այս դեպքում շոշափող հարթությունը մակերեսի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, և մակերեսին պատկանող և դիտարկվող կետում հատվող բոլոր ուղիղները գտնվում են շոշափող հարթության մի կողմում։ Էլիպսաձև կետերով մակերևույթների օրինակներ են՝ հեղափոխության պարաբոլոիդ, հեղափոխության էլիպսոիդ, գնդիկ (այս դեպքում Դյուփինի ցուցիչը շրջանագիծ է և այլն):

Իրանի մակերեսին շոշափող հարթություն գծելիս ինքնաթիռը կդիպչի այս մակերեսին ուղիղ գեներատրիսի երկայնքով: Այս գծի կետերը կոչվում են պարաբոլիկ, իսկ մակերեսը պարաբոլիկ կետերով մակերես է. Դյուփենի ցուցիչն այս դեպքում երկու զուգահեռ ուղիղ է (նկ. 207*):

Նկ. 208-ը ցույց է տալիս մի մակերես, որը բաղկացած է կետերից, որոնցում

* Երկրորդ կարգի կորը՝ պարաբոլան, որոշակի պայմաններում կարող է բաժանվել երկու իրական զուգահեռ ուղիղների, երկու երևակայական զուգահեռ ուղիղների, երկու համընկնող գծերի։ Նկ. 207 մենք գործ ունենք երկու իրական զուգահեռ գծերի հետ։

Ցանկացած շոշափող հարթություն հատում է մակերեսը։ Նման մակերեսը կոչվում է հիպերբոլիկ, իսկ դրան պատկանող կետերն են հիպերբոլիկ կետեր. Դյուպենի ցուցիչ այս դեպքում- հիպերբոլիա.

Մակերեւույթը, որի բոլոր կետերը հիպերբոլիկ են, ունի թամբի տեսք (թեք հարթություն, մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ, պտույտի գոգավոր մակերեսներ և այլն)։

Մեկ մակերեսը կարող է ունենալ կետեր տարբեր տեսակներ, օրինակ, իրանի մակերեսի մոտ (նկ. 209) M կետը էլիպսաձեւ է. N կետը պարաբոլիկ է; K կետը հիպերբոլիկ է:

Դիֆերենցիալ երկրաչափության ընթացքում ապացուցված է, որ նորմալ հատվածները, որոնցում կորության արժեքները K j = 1/ R j (որտեղ R j-ը դիտարկվող հատվածի կորության շառավիղն է) ունեն ծայրահեղ արժեքներ, գտնվում են երկու մասում: փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ.

Նման կորություններ K 1 = 1 / R max. K 2 = 1/R min կոչվում են հիմնական արժեքներ, իսկ H = (K 1 + K 2)/2 և K = K 1 K 2 արժեքները, համապատասխանաբար, մակերեսի միջին կորությունն են և ընդհանուրը ( Գաուսյան) մակերևույթի կորությունը դիտարկվող կետում: Էլիպսիկ կետերի համար K > 0, հիպերբոլիկ կետերը K

Մոնժի գծապատկերի վրա մակերևույթի վրա շոշափող հարթություն նշելը

Ներքևում վրա կոնկրետ օրինակներՄենք ցույց կտանք հարթության շոշափող մակերեսի կառուցումը էլիպսային (օրինակ 1), պարաբոլիկ (օրինակ 2) և հիպերբոլիկ (օրինակ 3) կետերով։

ՕՐԻՆԱԿ 1. Կառուցեք α հարթություն, որը շոշափում է β պտույտի մակերեսին էլիպսիկ կետերով: Դիտարկենք այս խնդրի լուծման երկու տարբերակ՝ ա) M ∈ β կետ և բ) M ∉ β կետ.

Տարբերակ ա (նկ. 210):

Շոշափող հարթությունը որոշվում է t 1 և t 2 երկու շոշափողներով, որոնք գծված են M կետում β մակերեսի զուգահեռին և միջօրեականին:

t 1 շոշափողի պրոեկցիաները β մակերեսի h զուգահեռին կլինեն t" 1 ⊥ (S"M") և t" 1 || x առանցք M կետով անցնող β մակերեսի d միջօրեականին t" 2 շոշափողի հորիզոնական պրոյեկցիան կհամընկնի միջօրեականի հորիզոնական պրոյեկցիայի հետ: t" 2 շոշափողի ճակատային պրոյեկցիան գտնելու համար միջօրեական հարթությունը γ(γ. ∋ M) տեղափոխվում է γ դիրք՝ պտտվելով β 1 մակերեսի առանցքի շուրջ՝ π 2 հարթությանը զուգահեռ։ Այս դեպքում M → M 1 կետը (M" 1, M" 1) շոշափող t" 2 rarr; t" 2 1 որոշվում է (M" 1 S"): Եթե ​​մենք այժմ γ 1 հարթությունը վերադարձնենք իր սկզբնական դիրքին, ապա S" կետը կմնա իր տեղում (որպես պտտման առանցքին պատկանող), իսկ M" 1 → M" և t" 2 շոշափողի ճակատային պրոյեկցիան. որոշվի (M" S")

Երկու t 1 և t 2 շոշափողներ, որոնք հատվում են M ∈ β կետում, սահմանում են α հարթություն, որը շոշափում է β մակերեսին:

Տարբերակ բ (նկ. 211)

Մակերեւույթին չպատկանող կետով անցնող մակերևույթին շոշափող հարթություն կառուցելու համար պետք է ելնել հետևյալ նկատառումներից. էլիպսիկ կետերից բաղկացած մակերևույթից դուրս գտնվող կետի միջով կարող են գծվել մակերեսին շոշափող շատ հարթություններ: Այս մակերեսների ծրարը կլինի ինչ-որ կոնաձև մակերես: Հետևաբար, եթե չկան լրացուցիչ հրահանգներ, ապա խնդիրն ունի բազմաթիվ լուծումներ և այս դեպքում վերածվում է տվյալ մակերևույթի β շոշափող կոնաձև մակերևույթի գծմանը:

Նկ. 211-ում պատկերված է β գնդին գ շոշափող կոնաձեւ մակերեսի կառուցումը: Ցանկացած α հարթություն, որը շոշափում է γ կոնաձև մակերևույթը, շոշափում է β մակերեսին:

M» և M» կետերից γ մակերևույթի պրոյեկցիաներ կառուցելու համար մենք շոշափում ենք h» և f» շրջանակներին՝ ոլորտի պրոյեկցիաները: Նշեք հպման կետերը 1 (1" և 1"), 2 (2" և 2"), 3 (3" և 3") և 4 (4" և 4"): Շրջանակի հորիզոնական պրոյեկցիա - կոնաձև մակերևույթի և գնդիկի շոշափման գիծը նախագծված է [1"2"]-ի մեջ, որպեսզի գտնենք էլիպսի այն կետերը, որոնցում այս շրջանագիծը կպրոյեկտվի ելուստների ճակատային հարթության վրա, մենք կօգտագործենք. ոլորտի զուգահեռները.

Նկ. 211 Այս կերպ որոշվում են E և F (E" և F") կետերի ճակատային ելուստները: Ունենալով γ կոնաձև մակերես, մենք նրան շոշափում ենք α շոշափող հարթություն: Գրաֆիկայի բնույթն ու հաջորդականությունը

Այն կոնստրուկցիաները, որոնք պետք է արվեն դրա համար, տրված են հետևյալ օրինակում։

ՕՐԻՆԱԿ 2 Կառուցեք α հարթություն, որը շոշափում է β մակերեսին պարաբոլիկ կետերով

Ինչպես օրինակ 1-ում, մենք դիտարկում ենք երկու լուծում. ա) N ∈ β կետ; բ) N ∉ β կետ

Տարբերակ ա (նկ. 212):

Կոնաձեւ մակերեսը վերաբերում է պարաբոլիկ կետերով մակերևույթներին (տե՛ս նկ. 207): Կոնաձև մակերեսին շոշափող հարթությունը դիպչում է դրան ուղիղ գծով: Այն կառուցելու համար անհրաժեշտ է.

1) տրված N կետի միջով նկարեք գեներատոր SN (S"N" և S"N");

2) d ուղեցույցով նշել գեներատորիսի (SN) հատման կետը. (SN) ∩ d = A;

3) կփչի նաև A կետում t-ին d-ին շոշափողին:

Generatrix (SA) և այն հատող շոշափող t-ը սահմանում են α հարթությունը, որը շոշափում է β կոնաձև մակերեսին տվյալ N* կետում:

α հարթություն գծելու համար, որը շոշափում է β կոնաձև մակերեսին և անցնում է N կետով, չի պատկանում.

* Քանի որ β մակերևույթը բաղկացած է պարաբոլիկ կետերից (բացառությամբ S գագաթի), նրան α շոշափող հարթությունը ընդհանուր կլինի ոչ թե մեկ N կետ, այլ ուղիղ գիծ (SN):

սեղմելով տվյալ մակերեսը, անհրաժեշտ է.

1) տրված N կետի և կոնաձև մակերեսի S գագաթի միջով անցեք a (a" և a") ուղիղ գիծ.

2) որոշել այս ուղիղ գծի հորիզոնական հետքը H a.

3) H a-ի միջոցով գծեք h 0β կորի t" 1 և t" 2 շոշափողները - կոնաձև մակերեսի հորիզոնական հետքը.

4) A (A» և A») և B (B» և B») շոշափող կետերը միացնել S (S» և S» կոնաձև մակերեսի գագաթին):

t 1, (AS) և t 2, (BS) հատվող ուղիղները որոշում են α 1 և α 2 շոշափող հարթությունները։

ՕՐԻՆԱԿ 3. Կառուցեք α հարթություն, որը շոշափում է β մակերեսին հիպերբոլիկ կետերով:

K կետը (նկ. 214) գտնվում է գլոբոիդի մակերեսին (օղակի ներքին մակերեսը)։

α շոշափող հարթության դիրքը որոշելու համար անհրաժեշտ է.

1) K կետով զուգահեռ անցկացրեք β h(h, h") մակերեսին.

2) K» կետի միջով նկարիր t» 1 շոշափող (t» 1 ≡ h»);

3) միջօրեական հատվածին շոշափողի ելուստների ուղղությունները որոշելու համար անհրաժեշտ է K կետով և մակերեսի առանցքով գծել γ հարթությունը, t" 2 հորիզոնական պրոյեկցիան կհամընկնի h 0γ-ի հետ, կառուցել. t» 2 շոշափողի ճակատային պրոյեկցիան, մենք նախ թարգմանում ենք γ հարթությունը՝ պտտելով այն պտտման մակերևույթի առանցքի շուրջ մինչև γ 1 || π 2. Այս դեպքում միջօրեական հատվածը γ հարթության վրա կհավասարեցվի ճակատային պրոյեկցիայի ձախ եզրագծի աղեղին` կիսաշրջան g»:

Միջօրեական հատվածի կորին պատկանող K կետը (K", K") կտեղափոխվի K 1 դիրք (K" 1, K" 1): K" 1-ի միջով գծում ենք t" 2 1 շոշափողի ճակատային պրոյեկցիան՝ զուգորդված γ 1 հարթության հետ || π 2 դիրքը և նշեք դրա հատման կետը S պտտման առանցքի ճակատային պրոյեկցիայի հետ: Մենք γ 1 հարթությունը վերադարձնում ենք իր սկզբնական դիրքին, կետ K" 1 → K" (կետ S" 1 ≡ S"): t" 2 շոշափողի ճակատային պրոյեկցիան որոշվում է K" և S" կետերով:

t 1 և t 2 շոշափողները սահմանում են α շոշափելի հարթությունը, որը հատում է β մակերեսը l կորի երկայնքով:

ՕՐԻՆԱԿ 4. K կետում β մակերևույթին շոշափող α հարթություն կառուցեք: K կետը գտնվում է պտույտի մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի մակերեսի վրա (նկ. 215):

Այս խնդիրը կարելի է լուծել՝ հավատարիմ մնալով նախորդ օրինակում օգտագործված ալգորիթմին, սակայն հաշվի առնելով, որ պտույտի մեկ թերթիկի հիպերբոլոիդի մակերեսը կառավարվող մակերես է, որն ունի ուղղագիծ գեներատորների երկու ընտանիք, և յուրաքանչյուրը մեկ գեներատորի. ընտանիքը հատում է մյուս ընտանիքի բոլոր գեներատորներին (տե՛ս § 32, նկ. 138): Այս մակերևույթի յուրաքանչյուր կետի միջով կարելի է գծել երկու հատվող ուղիղ գծեր՝ գեներատորներ, որոնք միաժամանակ շոշափելու են պտույտի մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի մակերեսին։

Այս շոշափողները սահմանում են շոշափող հարթությունը, այսինքն՝ պտույտի մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի մակերեսին շոշափող հարթությունը հատում է այս մակերեսը g 1 և g 2 ուղիղ գծերի երկայնքով։ Այս ուղիղների պրոյեկցիաներ կառուցելու համար բավական է K կետի հորիզոնական պրոյեկցիան և t"1 և t"2 շոշափողները հասցնել հորիզոնական:

d" 2 շրջանագծի tal պրոյեկցիա - պտույտի մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի մակերեսի կոկորդը; որոշեք 1" և 2 կետերը, որոնցում t" 1 և t" 2 հատում են մեկը և ուղղորդող d 1 մակերեսները: 1"-ից և 2"-ից մենք գտնում ենք 1" և 2", որոնք K"-ի հետ միասին որոշում են պահանջվող գծերի ճակատային ելուստները։