Ինչպես որոշել շախմատի ակնկալիքը: Մաթեմատիկական ակնկալիքների բանաձև. Հավանականությունների տեսության հիմունքները

Դիսկրետի մաթեմատիկական ակնկալիք պատահական փոփոխականնրա բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է:

Թող պատահական փոփոխականը վերցնի միայն հավանականության արժեքները, որոնք համապատասխանաբար հավասար են: Այնուհետև պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշվում է հավասարությամբ:

Եթե ​​դիսկրետ պատահական փոփոխականը վերցնում է հնարավոր արժեքների հաշվելի շարք, ապա

Ավելին, մաթեմատիկական ակնկալիքը գոյություն ունի, եթե հավասարության աջ կողմի շարքը բացարձակապես համընկնում է:

Մեկնաբանություն. Սահմանումից հետևում է, որ դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը ոչ պատահական (հաստատուն) մեծություն է։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումը ընդհանուր դեպքում

Եկեք որոշենք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որի բաշխումը պարտադիր չէ, որ դիսկրետ լինի: Սկսենք ոչ բացասական պատահական փոփոխականների դեպքից։ Գաղափարը կլինի մոտավոր նման պատահական փոփոխականները՝ օգտագործելով դիսկրետները, որոնց համար մաթեմատիկական ակնկալիքն արդեն որոշված ​​է, և դնել մաթեմատիկական ակնկալիքը։ սահմանին հավասարԴիսկրետ պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքները, որոնք մոտավոր են դրան: Ի դեպ, սա շատ օգտակար ընդհանուր գաղափար է, այն է, որ որոշ բնութագիր սկզբում որոշվում է պարզ առարկաների համար, իսկ հետո ավելի բարդ օբյեկտների համար՝ դրանք ավելի պարզով մոտավորելով։

Լեմմա 1. Թող լինի կամայական ոչ բացասական պատահական փոփոխական: Այնուհետև կա դիսկրետ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն այնպիսին, որ

Ապացույց. Եկեք կիսաառանցքը բաժանենք հավասար երկարության հատվածների և որոշենք

Այնուհետև 1 և 2 հատկությունները հեշտությամբ հետևում են պատահական փոփոխականի սահմանմանը և

Լեմմա 2. Թող լինի ոչ բացասական պատահական փոփոխական և և երկու դիսկրետ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք ունեն 1-3 հատկություններ 1-ից 1-ից: Ապա

Ապացույց. Նկատի ունեցեք, որ ոչ բացասական պատահական փոփոխականների համար մենք թույլ ենք տալիս

3-րդ հատկության շնորհիվ հեշտ է տեսնել, որ կա հաջորդականություն դրական թվեր, այնպիսին է, որ

Դրանից բխում է, որ

Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքների հատկությունները դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար՝ մենք ստանում ենք

Անցնելով սահմանաչափին՝ ստանում ենք Լեմմա 2-ի հայտարարությունը:

Սահմանում 1. Թող լինի ոչ բացասական պատահական փոփոխական, - դիսկրետ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք ունեն 1-3 հատկություններ Լեմմա 1-ից: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը թիվն է:

Lemma 2-ը երաշխավորում է, որ դա կախված չէ մոտավոր հաջորդականության ընտրությունից:

Հիմա թող լինի կամայական պատահական փոփոխական: Եկեք սահմանենք

Սահմանումից և հեշտությամբ հետևում է դրան

Սահմանում 2. Կամայական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը թիվն է

Եթե ​​այս հավասարության աջ կողմի թվերից գոնե մեկը վերջավոր է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները

Գույք 1. Ակնկալվող արժեքըհաստատուն արժեքը հավասար է ինքնին հաստատունին.

Ապացույց. Մենք հաստատունը կդիտարկենք որպես դիսկրետ պատահական փոփոխական, որն ունի մեկ հնարավոր արժեք և ընդունում է այն հավանականությամբ, հետևաբար.

Դիտողություն 1. Եկեք սահմանենք հաստատուն փոփոխականի արտադրյալը դիսկրետ պատահական փոփոխականով որպես դիսկրետ պատահական, որի հնարավոր արժեքները հավասար են հաստատունի արտադրյալներին հնարավոր արժեքներով. հնարավոր արժեքների հավանականությունը հավասար է համապատասխան հնարավոր արժեքների հավանականությանը: Օրինակ, եթե հնարավոր արժեքի հավանականությունը հավասար է, ապա հավանականությունը, որ արժեքը կվերցնի արժեքը նույնպես հավասար է.

Հատկություն 2. Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

Ապացույց. Թող պատահական փոփոխականը տրվի հավանականության բաշխման օրենքով.

Հաշվի առնելով դիտողություն 1-ը՝ գրում ենք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը

Դիտողություն 2. Նախքան հաջորդ հատկությանը անցնելը, մենք նշում ենք, որ երկու պատահական փոփոխականները կոչվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի բաշխման օրենքը կախված չէ նրանից, թե ինչ հնարավոր արժեքներ է վերցրել մյուս փոփոխականը: Հակառակ դեպքում, պատահական փոփոխականները կախված են: Մի քանի պատահական փոփոխականներ կոչվում են փոխադարձ անկախ, եթե դրանցից որևէ քանակի բաշխման օրենքները կախված չեն նրանից, թե ինչ արժեքներ են վերցրել մնացած փոփոխականները:

Դիտողություն 3. Սահմանենք անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալը և որպես պատահական փոփոխական, որի հնարավոր արժեքները հավասար են յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքի արտադրյալներին յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքով, արտադրանքի հնարավոր արժեքների հավանականությունները հավասար են. գործոնների հնարավոր արժեքների հավանականությունների արտադրանքը: Օրինակ, եթե հնարավոր արժեքի հավանականությունը հավասար է, հնարավոր արժեքի հավանականությունը, ապա հնարավոր արժեքի հավանականությունը

Հատկություն 3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.

Ապացույց. Թող անկախ պատահական փոփոխականները որոշվեն իրենց հավանականության բաշխման օրենքներով.

Եկեք կազմենք բոլոր այն արժեքները, որոնք կարող է վերցնել պատահական փոփոխականը: Դա անելու համար եկեք բազմապատկենք բոլոր հնարավոր արժեքները յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքով; Արդյունքում մենք ստանում ենք և, հաշվի առնելով Դիտողություն 3-ը, գրում ենք բաշխման օրենքը՝ պարզության համար ենթադրելով, որ արտադրանքի բոլոր հնարավոր արժեքները տարբեր են (եթե դա այդպես չէ, ապա ապացույցն իրականացվում է նմանատիպ եղանակով):

Մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և դրանց հավանականությունների գումարին.

Հետևանք. Մի քանի փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին:

Հատկություն 4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին.

Ապացույց. Թող պատահական փոփոխականները որոշվեն հետևյալ բաշխման օրենքներով.

Եկեք կազմենք մեծության բոլոր հնարավոր արժեքները: Դա անելու համար մենք յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքին ավելացնում ենք յուրաքանչյուր հնարավոր արժեք. Պարզության համար ենթադրենք, որ այդ հնարավոր արժեքները տարբեր են (եթե դա այդպես չէ, ապա ապացույցն իրականացվում է նմանատիպ եղանակով), և մենք նշում ենք դրանց հավանականությունները, համապատասխանաբար, և

Արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է հնարավոր արժեքների արտադրյալների և դրանց հավանականությունների գումարին.

Եկեք ապացուցենք, որ իրադարձությունը, որը կվերցնի արժեք (այս իրադարձության հավանականությունը հավասար է) հանգեցնում է իրադարձություն, որը կընդունի արժեքը կամ (այդ իրադարձության հավանականությունը գումարման թեորեմով հավասար է), և հակառակը։ Այստեղից հետևում է, որ հավասարություններն ապացուցվում են նույն կերպ

Այս հավասարումների աջ կողմերը փոխարինելով (*) առնչությամբ՝ մենք ստանում ենք

կամ վերջապես

Տարբերություն և ստանդարտ շեղում

Գործնականում հաճախ անհրաժեշտ է գնահատել պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցրվածությունը նրա միջին արժեքի շուրջ: Օրինակ, հրետանու մեջ կարևոր է իմանալ, թե որքան մոտ է արկերը ընկնելու թիրախի մոտ, որը պետք է խոցվի:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ ցրվածությունը գնահատելու ամենահեշտ ձևը պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր շեղումները հաշվարկելն է և հետո գտնել դրանց միջին արժեքը: Այնուամենայնիվ, այս ճանապարհը ոչինչ չի տա, քանի որ շեղման միջին արժեքը, այսինքն. ցանկացած պատահական փոփոխականի համար հավասար է զրոյի: Այս հատկությունը բացատրվում է նրանով, որ որոշ հնարավոր շեղումներ դրական են, իսկ մյուսները՝ բացասական. դրանց փոխադարձ չեղարկման արդյունքում միջին շեղման արժեքը զրո է։ Այս նկատառումները ցույց են տալիս հնարավոր շեղումները փոխարինելու նպատակահարմարությունը բացարձակ արժեքներկամ դրանց քառակուսիները: Սա այն է, ինչ նրանք անում են գործնականում: Ճիշտ է, այն դեպքում, երբ հնարավոր շեղումները փոխարինվում են բացարձակ արժեքներով, պետք է գործել բացարձակ արժեքներով, ինչը երբեմն հանգեցնում է լուրջ դժվարությունների։ Հետեւաբար, ամենից հաճախ նրանք գնում են այլ ճանապարհով, այսինքն. հաշվարկել քառակուսի շեղման միջին արժեքը, որը կոչվում է դիսպերսիա:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը սահմանումն է

Շախմատի սպասումն էմեկը ամենակարևոր հասկացություններըՎ մաթեմատիկական վիճակագրությունև հավանականության տեսությունը, որը բնութագրում է արժեքների բաշխումը կամ հավանականություններըպատահական փոփոխական. Սովորաբար արտահայտվում է որպես պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր պարամետրերի կշռված միջին: Լայնորեն օգտագործվում է տեխնիկական վերլուծություն, հետազոտություն թվերի շարք, շարունակական և երկարաժամկետ գործընթացների ուսումնասիրություն։ Այն կարևոր է ռիսկերի գնահատման, ֆինանսական շուկաներում առևտրի ժամանակ գների ցուցիչների կանխատեսման համար և օգտագործվում է խաղային մարտավարության ռազմավարությունների և մեթոդների մշակման համար: մոլախաղերի տեսություններ.

Շախմատի սպասում- ՍաՊատահական փոփոխականի միջին արժեքը, բաշխումը հավանականություններըպատահական փոփոխականը դիտարկվում է հավանականությունների տեսության մեջ:

Շախմատի սպասումն էհավանականությունների տեսության մեջ պատահական փոփոխականի միջին արժեքի չափում։ Նշեք պատահական փոփոխականի ակնկալիքը xնշվում է M(x).

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Շախմատի սպասումն է

Շախմատի սպասումն էհավանականությունների տեսության մեջ՝ բոլոր հնարավոր արժեքների կշռված միջինը, որը կարող է վերցնել պատահական փոփոխականը:

Շախմատի սպասումն էպատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների գումարը և այդ արժեքների հավանականությունները:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Շախմատի սպասումն էորոշակի որոշումից ստացված միջին օգուտը, պայմանով, որ նման որոշումը կարող է դիտարկվել մեծ թվերի և հեռավոր հեռավորությունների տեսության շրջանակներում:

Շախմատի սպասումն էմոլախաղերի տեսության մեջ՝ շահումների չափը, որը սպեկուլյանտը կարող է վաստակել կամ կորցնել, միջին հաշվով յուրաքանչյուր խաղադրույքի վրա: Դրամախաղի լեզվով սպեկուլյանտներսա երբեմն կոչվում է «առավելություն» սպեկուլյանտ« (եթե դա դրական է շահարկողի համար) կամ «տան եզր» (եթե դա բացասական է շահարկողի համար):

Մաթեմատիկական ակնկալիքը (Բնակչության միջինը) է

Կլինեն նաև առաջադրանքներ անկախ որոշում, որի պատասխանները կարող եք տեսնել։

Ակնկալիքները և շեղումները պատահական փոփոխականի ամենատարածված թվային բնութագրերն են: Նրանք բնութագրում են բաշխման ամենակարևոր առանձնահատկությունները՝ նրա դիրքը և ցրվածության աստիճանը։ Ակնկալվող արժեքը հաճախ կոչվում է պարզապես միջին: պատահական փոփոխական. Պատահական փոփոխականի ցրում - դիսպերսիայի բնորոշ, պատահական փոփոխականի տարածում իր մաթեմատիկական ակնկալիքի մասին։

Բազմաթիվ գործնական խնդիրներում պատահական փոփոխականի ամբողջական, սպառիչ բնութագիրը՝ բաշխման օրենքը, կամ հնարավոր չէ ձեռք բերել, կամ ընդհանրապես անհրաժեշտ չէ: Այս դեպքերում մեկը սահմանափակվում է պատահական փոփոխականի մոտավոր նկարագրությամբ՝ օգտագործելով թվային բնութագրերը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ակնկալիք

Գանք մաթեմատիկական ակնկալիք հասկացությանը։ Թող որոշ նյութի զանգվածը բաշխվի x առանցքի կետերի միջև x1 , x 2 , ..., x n. Ընդ որում, յուրաքանչյուր նյութական կետ ունի համապատասխան զանգված՝ հավանականությամբ էջ1 , էջ 2 , ..., էջ n. Պահանջվում է ընտրել մեկ կետ աբսցիսայի առանցքի վրա, որը բնութագրում է ամբողջ համակարգի դիրքը նյութական կետեր, հաշվի առնելով նրանց զանգվածները։ Բնական է որպես այդպիսի կետ վերցնել նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը։ Սա պատահական փոփոխականի կշռված միջինն է X, որին յուրաքանչյուր կետի աբսցիսա xեսմտնում է համապատասխան հավանականությանը հավասար «կշիռով»: Այս կերպ ստացված պատահական փոփոխականի միջին արժեքը Xկոչվում է նրա մաթեմատիկական ակնկալիք։

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այդ արժեքների հավանականությունների գումարն է.

Օրինակ 1.Կազմակերպվել է շահումով շահող վիճակախաղ. Առկա է 1000 շահում, որից 400-ը՝ 10 ռուբլի։ 300-20 ռուբլի յուրաքանչյուրը: 200-100 ռուբլի յուրաքանչյուրը: և յուրաքանչյուրը 100-200 ռուբլի: Որքա՞ն է միջին շահումը մեկ տոմս գնածի համար:

Լուծում. Միջին շահումները կգտնենք, եթե շահումների ընդհանուր գումարը, որը կազմում է 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 ռուբլի, բաժանենք 1000-ի (շահումների ընդհանուր գումարը): Այնուհետեւ մենք ստանում ենք 50000/1000 = 50 ռուբլի: Բայց միջին շահումների հաշվարկման արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ ձևով.

Մյուս կողմից, այս պայմաններում հաղթող չափը պատահական փոփոխական է, որը կարող է վերցնել 10, 20, 100 և 200 ռուբլի արժեքներ: համապատասխանաբար 0,4 հավասար հավանականություններով; 0.3; 0.2; 0.1. Հետևաբար, ակնկալվող միջին շահույթը գումարին հավասարշահումների չափի ապրանքներ և դրանք ստանալու հավանականությունը:

Օրինակ 2.Հրատարակիչը որոշել է հրապարակել նոր գիրք. Նա նախատեսում է գիրքը վաճառել 280 ռուբլով, որից ինքը կստանա 200-ը, 50-ը՝ գրախանութը, 30-ը՝ հեղինակը։ Աղյուսակը տեղեկատվություն է տալիս գրքի հրատարակման ծախսերի և գրքի որոշակի քանակի օրինակների վաճառքի հավանականության մասին։

Գտեք հրատարակչի ակնկալվող շահույթը:

Լուծում. «Շահույթ» պատահական փոփոխականը հավասար է վաճառքից ստացված եկամտի և ծախսերի արժեքի տարբերությանը: Օրինակ, եթե վաճառվում է գրքի 500 օրինակ, ապա վաճառքից ստացված եկամուտը կազմում է 200 * 500 = 100 000, իսկ հրատարակման արժեքը՝ 225 000 ռուբլի։ Այսպիսով, հրատարակչին սպառնում է 125000 ռուբլու վնաս։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է պատահական փոփոխականի՝ շահույթի ակնկալվող արժեքները.

Թիվ	Շահույթ xես	Հավանականություն էջես	xես էջես
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Ընդամենը:		1,00	25000

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հրատարակչի շահույթի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

.

Օրինակ 3.Մեկ կրակոցով հարվածելու հավանականությունը էջ= 0.2. Որոշեք արկերի սպառումը, որոնք ապահովում են հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիք 5-ի:

Լուծում. Նույն մաթեմատիկական ակնկալիքների բանաձևից, որը մենք օգտագործել ենք մինչ այժմ, մենք արտահայտում ենք x- կեղևի սպառում.

.

Օրինակ 4.Որոշեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը xերեք հարվածով հարվածների քանակը, եթե յուրաքանչյուր կրակոցով հարվածի հավանականությունը էջ = 0,4 .

Հուշում. գտեք պատահական փոփոխական արժեքների հավանականությունը ըստ Բեռնուլիի բանաձեւը .

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները

Դիտարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները։

Գույք 1.Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս հաստատունին.

Գույք 2.Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է դուրս բերել մշտական ​​գործոնը.

Գույք 3.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին (տարբերությանը).

Գույք 4.Պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.

Գույք 5.Եթե ​​պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները Xնույն թվով նվազում (մեծացում). ՀԵՏ, ապա դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը կնվազի (մեծանա) նույն թվով.

Երբ չես կարող քեզ սահմանափակել միայն մաթեմատիկական ակնկալիքներով

Շատ դեպքերում միայն մաթեմատիկական ակնկալիքը չի կարող բավարար չափով բնութագրել պատահական փոփոխականը:

Թող պատահական փոփոխականները XԵվ Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.

Իմաստը X	Հավանականություն
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Իմաստը Յ	Հավանականություն
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Այս մեծությունների մաթեմատիկական ակնկալիքները նույնն են՝ հավասար զրոյի.

Այնուամենայնիվ, դրանց բաշխման ձևերը տարբեր են: Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել միայն արժեքներ, որոնք քիչ են տարբերվում մաթեմատիկական ակնկալիքից և պատահական փոփոխականից Յկարող է ընդունել արժեքներ, որոնք զգալիորեն շեղվում են մաթեմատիկական ակնկալիքներից: Նմանատիպ օրինակ. միջին աշխատավարձը հնարավորություն չի տալիս գնահատել բարձր և ցածր վարձատրվող աշխատողների տեսակարար կշիռը: Այսինքն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքից չի կարելի դատել, թե դրանից, թեկուզ միջին հաշվով, ինչ շեղումներ են հնարավոր։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել պատահական փոփոխականի շեղումը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղում

Տարբերությունդիսկրետ պատահական փոփոխական Xկոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք մաթեմատիկական ակնկալիքից դրա շեղման քառակուսու վրա.

Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը Xնրա շեղման քառակուսի արմատի թվաբանական արժեքը կոչվում է.

.

Օրինակ 5.Հաշվարկել պատահական փոփոխականների շեղումները և ստանդարտ շեղումները XԵվ Յ, որոնց բաշխման օրենքները բերված են վերը նշված աղյուսակներում։

Լուծում. Պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքները XԵվ Յ, ինչպես վերը նշված է, հավասար են զրոյի: Համաձայն դիսպերսիայի բանաձևի ժամը Ե(X)=Ե(y)=0 մենք ստանում ենք.

Այնուհետև պատահական փոփոխականների ստանդարտ շեղումները XԵվ Յդիմահարդարել

.

Այսպիսով, նույն մաթեմատիկական ակնկալիքներով, պատահական փոփոխականի շեղումը Xշատ փոքր, բայց պատահական փոփոխական Յ- էական. Սա դրանց բաշխման տարբերությունների հետևանք է։

Օրինակ 6.Ներդրողն ունի 4 այլընտրանքային ներդրումային ծրագիր. Աղյուսակում ամփոփված է նշված նախագծերում ակնկալվող շահույթը՝ համապատասխան հավանականությամբ։

Նախագիծ 1	Նախագիծ 2	Նախագիծ 3	Նախագիծ 4
500, Պ=1	1000, Պ=0,5	500, Պ=0,5	500, Պ=0,5
	0, Պ=0,5	1000, Պ=0,25	10500, Պ=0,25
		0, Պ=0,25	9500, Պ=0,25

Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը յուրաքանչյուր այլընտրանքի համար:

Լուծում. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են այս արժեքները հաշվարկվում 3-րդ այլընտրանքի համար.

Աղյուսակը ամփոփում է բոլոր այլընտրանքների համար գտնված արժեքները:

Բոլոր այլընտրանքներն ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները: Սա նշանակում է, որ երկարաժամկետ հեռանկարում բոլորն ունեն նույն եկամուտը։ Ստանդարտ շեղումը կարող է մեկնաբանվել որպես ռիսկի չափիչ. որքան բարձր է այն, այնքան մեծ է ներդրման ռիսկը: Ներդրողը, ով մեծ ռիսկ չի ցանկանում, կընտրի նախագիծ 1, քանի որ այն ունի ամենափոքր ստանդարտ շեղումը (0): Եթե ​​ներդրողը նախընտրում է ռիսկը և բարձր եկամտաբերությունը կարճ ժամանակահատվածում, ապա նա կընտրի ամենամեծ ստանդարտ շեղումով նախագիծը՝ նախագիծ 4։

Դիսպերսիայի հատկությունները

Ներկայացնենք դիսպերսիայի հատկությունները.

Գույք 1.Հաստատուն արժեքի շեղումը զրո է.

Գույք 2.Հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել ցրման նշանից՝ այն քառակուսի դնելով.

.

Գույք 3.Պատահական փոփոխականի շեղումը հավասար է այս արժեքի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքին, որից հանվում է հենց արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսին.

,

Որտեղ .

Գույք 4.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) շեղումը հավասար է դրանց շեղումների գումարին (տարբերությանը).

Օրինակ 7.Հայտնի է, որ դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք՝ −3 և 7։ Բացի այդ, հայտնի է մաթեմատիկական ակնկալիքը. Ե(X) = 4. Գտեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումը:

Լուծում. Նշենք ըստ էջհավանականությունը, որով պատահական փոփոխականը արժեք է ընդունում x1 = −3 . Այնուհետեւ արժեքի հավանականությունը x2 = 7 կլինի 1 - էջ. Եկեք դուրս բերենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հավասարումը.

Ե(X) = x 1 էջ + x 2 (1 − էջ) = −3էջ + 7(1 − էջ) = 4 ,

որտեղ մենք ստանում ենք հավանականությունները. էջ= 0,3 և 1 - էջ = 0,7 .

Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

X	−3	7
էջ	0,3	0,7

Մենք հաշվարկում ենք այս պատահական փոփոխականի դիսպերսիան՝ օգտագործելով դիսպերսիայի 3 հատկության բանաձևը.

Դ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Ինքներդ գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 8.Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք. Այն ընդունում է 3 արժեքներից մեծը՝ 0,4 հավանականությամբ։ Բացի այդ, հայտնի է պատահական փոփոխականի շեղումը Դ(X) = 6. Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Օրինակ 9.Սուրի մեջ կա 6 սպիտակ և 4 սև գնդակ: Կաթսայից 3 գնդակ է քաշվում։ Նկարված գնդակների մեջ սպիտակ գնդիկների թիվը դիսկրետ պատահական փոփոխական է X. Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Լուծում. Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել 0, 1, 2, 3 արժեքներ: Համապատասխան հավանականությունները կարելի է հաշվարկել հավանականության բազմապատկման կանոն. Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

X	0	1	2	3
էջ	1/30	3/10	1/2	1/6

Հետևաբար այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Մ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Տրված պատահական փոփոխականի շեղումը հետևյալն է.

Դ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Շարունակական պատահական փոփոխականի ակնկալիք և շեղում

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար մաթեմատիկական ակնկալիքի մեխանիկական մեկնաբանությունը կպահպանի նույն իմաստը. զ(x) Ի տարբերություն դիսկրետ պատահական փոփոխականի, որի ֆունկցիայի արգումենտը xեսկտրուկ փոխվում է, շարունակական պատահական փոփոխականի համար արգումենտը անընդհատ փոխվում է: Բայց շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնպես կապված է նրա միջին արժեքի հետ։

Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել որոշակի ինտեգրալներ . Եթե ​​տրված է շարունակական պատահական փոփոխականի խտության ֆունկցիան, ապա այն ուղղակիորեն մտնում է ինտեգրանդ։ Եթե ​​տրված է հավանականության բաշխման ֆունկցիա, ապա այն տարբերակելով՝ պետք է գտնել խտության ֆունկցիան։

Շարունակական պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների թվաբանական միջինը կոչվում է իր մաթեմատիկական ակնկալիք, որը նշվում է կամ .

2. Հավանականությունների տեսության հիմունքներ

Ակնկալվող արժեքը

Դիտարկենք թվային արժեքներով պատահական փոփոխական: Հաճախ օգտակար է թիվ կապել այս ֆունկցիայի հետ՝ դրա «միջին արժեքը» կամ, ինչպես ասում են, « միջին արժեքը», «կենտրոնական միտումի ինդեքս». Մի շարք պատճառներով, որոնցից մի քանիսը պարզ կդառնան ավելի ուշ, մաթեմատիկական ակնկալիքը սովորաբար օգտագործվում է որպես «միջին արժեք»:

Սահմանում 3.Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք Xզանգահարած համարը

դրանք. Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի արժեքների կշռված գումարն է, որի կշիռները հավասար են համապատասխան տարրական իրադարձությունների հավանականությանը:

Օրինակ 6.Եկեք հաշվարկենք թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որը երևում է մատանի վերին երեսին: Սահմանում 3-ից ուղղակիորեն հետևում է, որ

Հայտարարություն 2.Թող պատահական փոփոխականը Xարժեքներ է ընդունում x 1, x 2,…, xմ. Հետո հավասարությունը ճշմարիտ է

(5)

դրանք. Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի արժեքների կշռված գումարն է՝ կշիռներով, որոնք հավասար են այն հավանականությանը, որ պատահական փոփոխականը որոշակի արժեքներ է ընդունում:

Ի տարբերություն (4-ի), որտեղ գումարումն իրականացվում է ուղղակիորեն տարրական իրադարձությունների վրա, պատահական իրադարձությունը կարող է բաղկացած լինել մի քանի տարրական իրադարձություններից:

Երբեմն հարաբերությունը (5) ընդունվում է որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանում: Այնուամենայնիվ, օգտագործելով 3-րդ սահմանումը, ինչպես ցույց է տրված ստորև, ավելի հեշտ է հաստատել իրական երևույթների հավանականական մոդելների կառուցման համար անհրաժեշտ մաթեմատիկական ակնկալիքների հատկությունները, քան օգտագործելը (5):

(5) հարաբերությունն ապացուցելու համար մենք խմբավորում ենք (4) տերմինների՝ պատահական փոփոխականի նույնական արժեքներով.

Քանի որ հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել գումարի նշանից, ապա

Իրադարձության հավանականությունը որոշելով

Օգտագործելով վերջին երկու հարաբերությունները՝ ստանում ենք պահանջվողը.

Հավանական-վիճակագրական տեսության մեջ մաթեմատիկական ակնկալիք հասկացությունը համապատասխանում է մեխանիկայի ծանրության կենտրոն հասկացությանը։ Եկեք այն միավորենք x 1, x 2,…, xմզանգվածային թվերի առանցքի վրա Պ(X= x 1 ), Պ(X= x 2 ),…, Պ(X= x մ) համապատասխանաբար. Այնուհետև (5) հավասարությունը ցույց է տալիս, որ նյութական կետերի այս համակարգի ծանրության կենտրոնը համընկնում է մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ, որը ցույց է տալիս 3-ի սահմանման բնականությունը։

Հայտարարություն 3.Թող X- պատահական արժեք, M(X)- դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը, Ա- որոշակի թիվ. Հետո

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 Մ[(X- ա) 2 ]= Մ[(X- Մ(X)) 2 ]+(ա- Մ(X)) 2 .

Սա ապացուցելու համար նախ դիտարկենք մի պատահական փոփոխական, որը հաստատուն է, այսինքն. Ֆունկցիան քարտեզագրում է տարրական իրադարձությունների տարածությունը մեկ կետի վրա Ա. Քանի որ հաստատուն բազմապատկիչը կարելի է վերցնել գումարի նշանից այն կողմ, ուրեմն

Եթե ​​գումարի յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է երկու անդամի, ապա ամբողջ գումարը բաժանվում է երկու գումարի, որոնցից առաջինը կազմված է առաջին անդամներից, իսկ երկրորդը՝ երկրորդից։ Հետեւաբար, երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը X+Y, որը սահմանված է տարրական իրադարձությունների նույն տարածության վրա, հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին M(X)Եվ M(U)այս պատահական փոփոխականները.

M(X+Y) = M(X) + M(Y):

Եւ, հետեւաբար M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)):Ինչպես ցույց է տրված վերևում, M(M(X)) = M(X).Հետևաբար, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Քանի որ (X - ա) 2 = ((X – Մ(X)) + (Մ(X) - ա)} 2 = (X - Մ(X)) 2 + 2(X - Մ(X))(Մ(X) - ա) + (Մ(X) – ա) 2 , Դա Մ[(X - a) 2 ] =Մ(X - Մ(X)) 2 + Մ{2(X - Մ(X))(Մ(X) - ա)} + Մ[(Մ(X) – ա) 2 ]. Եկեք պարզեցնենք վերջին հավասարությունը. Ինչպես ցույց է տրված 3-րդ դրույթի ապացույցի սկզբում, հաստատունի մաթեմատիկական ակնկալիքն ինքնին հաստատունն է, և հետևաբար. Մ[(Մ(X) – ա) 2 ] = (Մ(X) – ա) 2 . Քանի որ հաստատուն բազմապատկիչը կարելի է վերցնել գումարի նշանից այն կողմ, ուրեմն Մ{2(X - Մ(X))(Մ(X) - ա)} = 2(Մ(X) - ա)Մ(X - Մ(X)). Վերջին հավասարության աջ կողմը 0 է, քանի որ, ինչպես ցույց է տրված վերևում, M(X-M(X))=0.Հետևաբար, Մ[(X- ա) 2 ]= Մ[(X- Մ(X)) 2 ]+(ա- Մ(X)) 2 , ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

Վերոնշյալից հետևում է, որ Մ[(X- ա) 2 ] հասնում է նվազագույնի Ա, հավասար Մ[(X- Մ(X)) 2 ], ժամը a = M (X),քանի որ 3) հավասարության երկրորդ անդամը միշտ ոչ բացասական է և հավասար է 0-ի միայն նշված արժեքի համար Ա.

Հայտարարություն 4.Թող պատահական փոփոխականը Xարժեքներ է ընդունում x 1, x 2,…, xմ, իսկ f-ը թվային արգումենտի որոշ ֆունկցիա է։ Հետո

Դա ապացուցելու համար եկեք խմբավորենք հավասարության աջ կողմում (4), որը սահմանում է մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ նույն արժեքներով տերմինները.

Օգտագործելով այն փաստը, որ հաստատուն գործոնը կարող է հանվել գումարի նշանից և պատահական իրադարձության հավանականության սահմանումը (2), մենք ստանում ենք.

Ք.Ե.Դ.

Հայտարարություն 5.Թող XԵվ U- տարրական իրադարձությունների նույն տարածության վրա սահմանված պատահական փոփոխականներ, ԱԵվ բ- որոշ թվեր. Հետո Մ(կացին+ byY)= am(X)+ bM(Յ).

Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումը և գումարման նշանի հատկությունները, մենք ստանում ենք հավասարումների շղթա.

Պահանջվողն ապացուցված է։

Վերոնշյալը ցույց է տալիս, թե ինչպես է մաթեմատիկական ակնկալիքը կախված մեկ այլ հղման կետի և մեկ այլ չափման միավորի անցումից (անցում Յ=կացին+բ), ինչպես նաև պատահական փոփոխականների ֆունկցիաներին: Ստացված արդյունքները մշտապես օգտագործվում են տեխնիկական և տնտեսական վերլուծության, ձեռնարկության ֆինանսատնտեսական գործունեության գնահատման ժամանակ, մի արժույթից մյուսին անցնելիս արտաքին տնտեսական հաշվարկներում, կարգավորող և տեխնիկական փաստաթղթերում և այլն: Քննարկվող արդյունքները թույլ են տալիս. միևնույն հաշվարկային բանաձևերի օգտագործումը տարբեր պարամետրերի մասշտաբի և տեղաշարժի համար:

Նախորդ

– տղաների թիվը 10 նորածինների մեջ.

Միանգամայն պարզ է, որ այս թիվը նախապես հայտնի չէ, և ծնված հաջորդ տասը երեխաներին կարող են ներառել.

Կամ տղաներ - մեկ ու միակթվարկված տարբերակներից։

Եվ մարզավիճակը պահելու համար մի փոքր ֆիզիկական դաստիարակություն.

- հեռահար ցատկ (որոշ միավորներում).

Նույնիսկ սպորտի վարպետը չի կարող դա գուշակել :)

Այնուամենայնիվ, ձեր վարկածները.

2) Շարունակական պատահական փոփոխական – ընդունում է Բոլորը թվային արժեքներորոշ վերջավոր կամ անսահման միջակայքից:

Նշում : Վ ուսումնական գրականությունհանրաճանաչ հապավումներ DSV և NSV

Նախ, եկեք վերլուծենք դիսկրետ պատահական փոփոխականը, այնուհետև՝ շարունակական.

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը

- Սա նամակագրությունայս քանակի հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների միջև: Ամենից հաճախ օրենքը գրված է աղյուսակում.

Տերմինը բավականին հաճախ է հայտնվում շարք բաշխում, բայց որոշ իրավիճակներում դա երկիմաստ է հնչում, և այնպես որ ես հավատարիմ կմնամ «օրենքին»։

Իսկ հիմա Շատ կարևոր կետ : քանի որ պատահական փոփոխական Պարտադիրկընդունի արժեքներից մեկը, ապա ձևավորվում են համապատասխան իրադարձությունները ամբողջական խումբիսկ դրանց առաջացման հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

կամ, եթե գրված է խտացված.

Այսպիսով, օրինակ, մահացու վրա գլորված կետերի հավանականության բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.

Առանց մեկնաբանությունների.

Դուք կարող եք տպավորություն ունենալ, որ դիսկրետ պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել միայն «լավ» ամբողջ թվեր: Եկեք ցրենք պատրանքը. դրանք կարող են լինել ամեն ինչ.

Օրինակ 1

Որոշ խաղեր ունի շահող բաշխման հետևյալ օրենքը.

...դուք երեւի վաղուց եք երազել նման առաջադրանքների մասին :) Մի գաղտնիք կասեմ՝ ես էլ։ Հատկապես աշխատանքն ավարտելուց հետո դաշտի տեսություն.

Լուծումքանի որ պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել երեք արժեքներից միայն մեկը, ձևավորվում են համապատասխան իրադարձություններ ամբողջական խումբ, ինչը նշանակում է, որ դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

Մերկացնելով «կուսակցականին».

– այսպիսով, պայմանական միավորներ շահելու հավանականությունը 0,4 է:

Վերահսկում. դա այն է, ինչում մենք պետք է համոզվեինք:

Պատասխանել:

Հազվադեպ չէ, երբ դուք պետք է ինքներդ կազմեք բաշխման օրենք: Դրա համար նրանք օգտագործում են հավանականության դասական սահմանում, Իրադարձությունների հավանականությունների համար բազմապատկման/գումարման թեորեմներև այլ չիպսեր տերվերա:

Օրինակ 2

Տուփը պարունակում է 50 վիճակախաղի տոմս, որոնցից 12-ը շահում են, և դրանցից 2-ը շահում են 1000-ական ռուբլի, իսկ մնացածը՝ 100-ական ռուբլի։ Կազմեք օրենք պատահական փոփոխականի բաշխման համար՝ շահումների չափը, եթե մեկ տոմսը պատահականորեն դուրս է բերվում տուփից:

ԼուծումԻնչպես նկատեցիք, պատահական փոփոխականի արժեքները սովորաբար տեղադրվում են աճման կարգով. Հետևաբար, մենք սկսում ենք ամենափոքր շահումներից, մասնավորապես ռուբլով:

Ընդհանուր առմամբ կա այդպիսի 50 տոմս՝ 12 = 38, իսկ ըստ դասական սահմանում:
– հավանականությունը, որ պատահականորեն խաղարկված տոմսը կպարտվի:

Այլ դեպքերում ամեն ինչ պարզ է. Ռուբլի շահելու հավանականությունը հետևյալն է.

Ստուգեք. – և սա հատկապես հաճելի պահ է նման առաջադրանքների համար:

ՊատասխանելՇահումների բաշխման ցանկալի օրենքը.

Հետևյալ խնդիրը ձեզ համար է ինքնուրույն լուծել.

Օրինակ 3

Հավանականությունը, որ կրակողը կհարվածի թիրախին, մեծ է. Կազմեք բաշխման օրենք պատահական փոփոխականի համար՝ հարվածների քանակը 2 կրակոցից հետո:

...Ես գիտեի, որ կարոտել ես :) Հիշենք բազմապատկման և գումարման թեորեմներ. Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։

Բաշխման օրենքը ամբողջությամբ նկարագրում է պատահական փոփոխականը, բայց գործնականում կարող է օգտակար լինել (և երբեմն ավելի օգտակար) իմանալ դրա միայն մի մասը: թվային բնութագրեր .

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ակնկալիք

Ելույթ ունենալով պարզ լեզվով, Սա միջին ակնկալվող արժեքըերբ թեստը բազմիցս կրկնվում է: Թող պատահական փոփոխականը ընդունի արժեքներ հավանականություններով համապատասխանաբար. Այնուհետև այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ապրանքների գումարըդրա բոլոր արժեքները համապատասխան հավանականություններին.

կամ փլուզված:

Եկեք հաշվարկենք, օրինակ, պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Հիմա հիշենք մեր հիպոթետիկ խաղը.

Հարց է առաջանում՝ առհասարակ ձեռնտու է այս խաղը խաղալը։ ...ովքեր տպավորություններ ունեն: Այսպիսով, դուք չեք կարող դա «անհեթեթ» ասել: Բայց այս հարցին կարելի է հեշտությամբ պատասխանել՝ հաշվարկելով մաթեմատիկական ակնկալիքը, ըստ էության. կշռված միջինըստ հաղթելու հավանականության.

Այսպիսով, այս խաղի մաթեմատիկական ակնկալիքը կորցնելով.

Մի վստահեք ձեր տպավորություններին, վստահեք թվերին:

Այո, այստեղ դուք կարող եք հաղթել 10 կամ նույնիսկ 20-30 անգամ անընդմեջ, բայց երկարաժամկետ հեռանկարում մեզ անխուսափելի կործանում է սպասում։ Իսկ ես քեզ խորհուրդ չէի տա նման խաղեր խաղալ :) Դե, գուցե միայն հաճույքի համար.

Վերոհիշյալ բոլորից հետևում է, որ մաթեմատիկական ակնկալիքն այլևս պատահական արժեք չէ:

Ստեղծագործական առաջադրանքանկախ հետազոտության համար.

Օրինակ 4

Միստր X-ը եվրոպական ռուլետկա է խաղում հետևյալ համակարգով. նա անընդհատ 100 ռուբլի է խաղադրում «կարմիրի» վրա։ Կազմեք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը՝ դրա շահումները: Հաշվեք շահումների մաթեմատիկական ակնկալիքը և կլորացրեք այն մոտակա կոպեկով: Որքան միջինԱրդյո՞ք խաղացողը պարտվում է իր գրազի յուրաքանչյուր հարյուրի համար:

Հղում Եվրոպական ռուլետկա պարունակում է 18 կարմիր, 18 սև և 1 կանաչ հատված («զրո»): Եթե ​​հայտնվում է «կարմիր», խաղացողին վճարվում է կրկնակի խաղադրույքը, հակառակ դեպքում այն ​​գնում է կազինոյի եկամուտին

Կան բազմաթիվ այլ ռուլետկա համակարգեր, որոնց համար կարող եք ստեղծել ձեր սեփական հավանականության աղյուսակները: Բայց սա այն դեպքն է, երբ մեզ պետք չեն բաշխման օրենքներ կամ աղյուսակներ, քանի որ հաստատ հաստատվել է, որ խաղացողի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնն է լինելու: Միակ բանը, որ փոխվում է համակարգից համակարգ