Ինչպես որոշել ելքի նշանը առանցքի վրա: Հեռավորությունները գտնելու հիմնական բանաձևերը՝ օգտագործելով վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա: Կոորդինատային միավորի վեկտորների վեկտորային արտադրյալ

§ 3. Վեկտորի կանխատեսումներ կոորդինատային առանցքների վրա

1. Երկրաչափական պրոյեկցիաների հայտնաբերում:

Վեկտոր
- վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա ԵԶ
- վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա OY

Սահմանում 1. Վեկտորային պրոյեկցիա Ցանկացած կոորդինատային առանցքի վրա գումարած կամ մինուս նշանով վերցված թիվ է, որը համապատասխանում է վեկտորի սկզբից և վերջից մինչև կոորդինատային առանցքը ընկած ուղղահայաց հիմքերի միջև գտնվող հատվածի երկարությանը:

Պրոյեկցիոն նշանը սահմանվում է հետևյալ կերպ. Եթե ​​կոորդինատային առանցքի երկայնքով շարժվելիս վեկտորի սկզբի պրոյեկցիոն կետից դեպի վեկտորի վերջի պրոյեկցիոն կետ առանցքի դրական ուղղությամբ տեղի է ունենում շարժում, ապա վեկտորի պրոյեկցիան համարվում է դրական։ . Եթե ​​այն հակառակ է առանցքին, ապա պրոյեկցիան համարվում է բացասական։

Նկարը ցույց է տալիս, որ եթե վեկտորը կողմնորոշված ​​է կոորդինատային առանցքին հակառակ, ապա դրա պրոյեկցիան այս առանցքի վրա բացասական է: Եթե ​​վեկտորը ինչ-որ կերպ ուղղված է կոորդինատային առանցքի դրական ուղղությամբ, ապա դրա պրոյեկցիան այս առանցքի վրա դրական է:

Եթե ​​վեկտորը ուղղահայաց է կոորդինատային առանցքին, ապա դրա պրոյեկցիան այս առանցքի վրա զրո է:
Եթե ​​վեկտորը համակողմանի է առանցքի, ապա դրա պրոյեկցիան այս առանցքի վրա հավասար է վեկտորի բացարձակ արժեքին:
Եթե ​​վեկտորն ուղղված է կոորդինատային առանցքին հակառակ, ապա դրա պրոյեկցիան այս առանցքի վրա բացարձակ արժեքով հավասար է մինուս նշանով վերցված վեկտորի բացարձակ արժեքին:

2. Շատ ընդհանուր սահմանումկանխատեսումներ.

Ուղղանկյուն եռանկյունից ABD: .

Սահմանում 2. Վեկտորային պրոյեկցիա ցանկացած կոորդինատային առանցքի վրա վեկտորի մոդուլի և կոսինուսի կոսինուսի արտադրյալին հավասար թիվ է կոորդինատային առանցքի դրական ուղղվածությամբ:

Պրոյեկցիայի նշանը որոշվում է դրական առանցքի ուղղություն ունեցող վեկտորի կողմից ձևավորված անկյան կոսինուսի նշանով։
Եթե ​​անկյունը սուր է, ապա կոսինուսը դրական նշան ունի, իսկ կանխատեսումները՝ դրական։ Բութ անկյունների դեպքում կոսինուսը բացասական նշան ունի, ուստի նման դեպքերում առանցքի վրա ելքերը բացասական են:
- հետևաբար, առանցքին ուղղահայաց վեկտորների համար պրոյեկցիան զրո է:

Ֆիզիկայի 9-րդ դասարանի համար (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
առաջադրանք №5
գլխին» ԳԼՈՒԽ 1. ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ Երթևեկության ՄԱՍԻՆ».

1. Ի՞նչ է կոչվում վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա:

1. Վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա ա վեկտորի սկզբի և վերջի պրոյեկցիաների հատվածի երկարությունն է (այս կետերից առանցքի վրա ընկած ուղղահայացները) այս կոորդինատային առանցքի վրա։

2. Ինչպե՞ս է մարմնի տեղաշարժի վեկտորը կապված նրա կոորդինատների հետ:

2. Կոորդինատային առանցքների վրա տեղաշարժման վեկտորի s-ի ելքերը հավասար են մարմնի համապատասխան կոորդինատների փոփոխությանը:

3. Եթե կետի կոորդինատը ժամանակի ընթացքում մեծանում է, ապա ի՞նչ նշան ունի տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա։ Իսկ եթե այն նվազի:

3. Եթե կետի կոորդինատը ժամանակի ընթացքում մեծանում է, ապա տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա դրական կլինի, քանի որ. այս դեպքում սկզբի պրոյեկցիայից կգնանք դեպի վեկտորի վերջի պրոյեկցիան հենց առանցքի ուղղությամբ։

Եթե ​​կետի կոորդինատը ժամանակի ընթացքում նվազում է, ապա տեղաշարժի վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա բացասական կլինի, քանի որ. այս դեպքում մենք սկզբի պրոյեկցիայից կգնանք դեպի վեկտորի վերջի պրոյեկցիան բուն առանցքի ուղեցույցին:

4. Եթե տեղաշարժի վեկտորը զուգահեռ է X առանցքին, ապա որքա՞ն է վեկտորի պրոյեկցիայի մոդուլը այս առանցքի վրա: Իսկ ի՞նչ կասեք նույն վեկտորի պրոյեկցիայի մոդուլի մասին Y առանցքի վրա։

4. Եթե տեղաշարժի վեկտորը զուգահեռ է X առանցքին, ապա այս առանցքի վրա վեկտորի պրոյեկցիայի մոդուլը հավասար է բուն վեկտորի մոդուլին, իսկ դրա պրոյեկցիան Y առանցքի վրա զրո է։

5. Որոշե՛ք Նկար 22-ում ներկայացված տեղաշարժման վեկտորների X առանցքի վրա պրոյեկցիաների նշանները: Ինչպե՞ս են փոխվում մարմնի կոորդինատները այս տեղաշարժերի ընթացքում:

5. Հետևյալ բոլոր դեպքերում մարմնի Y կոորդինատը չի փոխվում, իսկ մարմնի X կոորդինատը կփոխվի հետևյալ կերպ.

ա) s 1;

s 1 վեկտորի պրոյեկցիան X առանցքի վրա բացասական է և բացարձակ արժեքով հավասար է s 1 վեկտորի երկարությանը: Նման շարժման դեպքում մարմնի X կոորդինատը կնվազի վեկտորի s 1 երկարությամբ։

բ) s 2;

s 2 վեկտորի պրոյեկցիան X առանցքի վրա դրական է և մեծությամբ հավասար է s 1 վեկտորի երկարությանը: Նման շարժման դեպքում մարմնի X կոորդինատը կմեծանա վեկտորի s 2 երկարությամբ։

գ) s 3;

s 3 վեկտորի պրոյեկցիան X առանցքի վրա բացասական է և մեծությամբ հավասար է s 3 վեկտորի երկարությանը: Նման շարժման դեպքում մարմնի X կոորդինատը կնվազի վեկտորի s 3 երկարությամբ։

դ) s 4;

s 4 վեկտորի պրոյեկցիան X առանցքի վրա դրական է և մեծությամբ հավասար է s 4 վեկտորի երկարությանը: Նման շարժման դեպքում մարմնի X կոորդինատը կմեծանա վեկտորի s 4 երկարությամբ։

ե) s 5;

s 5 վեկտորի պրոյեկցիան X առանցքի վրա բացասական է և մեծությամբ հավասար է s 5 վեկտորի երկարությանը: Նման շարժման դեպքում մարմնի X կոորդինատը կնվազի վեկտորի s 5 երկարությամբ։

6. Եթե անցած ճանապարհի արժեքը մեծ է, ապա տեղաշարժման մոդուլը կարո՞ղ է փոքր լինել:

6. Գուցե. Դա պայմանավորված է նրանով, որ տեղաշարժը (տեղաշարժման վեկտորը) վեկտորային մեծություն է, այսինքն. ուղղորդված ուղիղ հատված է, որը կապում է մարմնի սկզբնական դիրքը նրա հետագա դիրքերի հետ։ Իսկ մարմնի վերջնական դիրքը (անկախ անցած տարածությունից) կարող է հնարավորինս մոտ լինել մարմնի սկզբնական դիրքին։ Եթե ​​մարմնի վերջնական և սկզբնական դիրքերը համընկնում են, ապա տեղաշարժի մոդուլը հավասար կլինի զրոյի:

7. Ինչու՞ է մարմնի շարժման վեկտորը մեխանիկայի մեջ ավելի կարևոր, քան նրա անցած ճանապարհը:

7. Մեխանիկայի հիմնական խնդիրն է ցանկացած պահի որոշել մարմնի դիրքը։ Իմանալով մարմնի շարժման վեկտորը, մենք կարող ենք որոշել մարմնի կոորդինատները, այսինքն. մարմնի դիրքը ժամանակի ցանկացած պահի, և իմանալով միայն անցած հեռավորությունը, մենք չենք կարող որոշել մարմնի կոորդինատները, քանի որ. մենք տեղեկություն չունենք շարժման ուղղության մասին, բայց կարող ենք դատել միայն տվյալ պահին անցած ճանապարհի երկարությունը:

Առանցքը ուղղությունն է: Սա նշանակում է, որ պրոյեկցիան առանցքի կամ ուղղորդված գծի վրա համարվում է նույնը: Պրոյեկցիան կարող է լինել հանրահաշվական կամ երկրաչափական: Երկրաչափական առումով վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա հասկացվում է որպես վեկտոր, իսկ հանրահաշվական առումով՝ թիվ։ Այսինքն՝ օգտագործվում են վեկտորի առանցքի վրա պրոյեկցիայի և առանցքի վրա վեկտորի թվային պրոյեկցիայի հասկացությունները։

Եթե ​​ունենք L առանցք և ոչ զրոյական A B → վեկտոր, ապա կարող ենք կառուցել A 1 B 1 ⇀ վեկտոր՝ նշելով նրա A 1 և B 1 կետերի կանխատեսումները։

A 1 B → 1 կլինի A B → վեկտորի պրոյեկցիան L-ի վրա:

Սահմանում 1

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրավեկտոր է, որի սկիզբն ու վերջը տվյալ վեկտորի սկզբի և վերջի կանխատեսումներ են։ n p L A B → → ընդունված է նշանակել A B → պրոյեկցիան L-ի վրա: L-ի վրա պրոյեկցիա կառուցելու համար ուղղահայացները գցվում են L-ի վրա:

Օրինակ 1

Վեկտորի պրոյեկցիայի օրինակ առանցքի վրա:

Վրա կոորդինատային հարթությունՄոտ x y կետը M 1 (x 1 , y 1) նշված է։ M 1 կետի շառավղային վեկտորը պատկերելու համար անհրաժեշտ է O x-ի և O y-ի վրա պրոեկցիաներ կառուցել: Ստանում ենք վեկտորների (x 1, 0) և (0, y 1) կոորդինատները։

Եթե ​​խոսքը a → պրոյեկցիայի մասին է ոչ զրոյական b → կամ a → պրոյեկցիայի մասին b → ուղղության վրա, ապա նկատի ունենք a → պրոյեկցիան այն առանցքի վրա, որի հետ b → ուղղությունը համընկնում է։ a →-ի պրոյեկցիան b →-ով սահմանված գծի վրա նշանակված է n p b → a → →: Հայտնի է, որ երբ a → և b → , n p b → a → → և b → անկյունը կարելի է համարել համակողմանի։ Այն դեպքում, երբ անկյունը բութ է, n p b → a → → և b → հակառակ ուղղություններով են: a → և b → ուղղահայացության իրավիճակում, իսկ a →-ը զրո է, a →-ի պրոյեկցիան b → ուղղությամբ զրոյական վեկտորն է:

Վեկտորի առանցքի վրա պրոյեկցիայի թվային բնութագիրը վեկտորի թվային պրոյեկցիան է տվյալ առանցքի վրա։

Սահմանում 2

Վեկտորի թվային պրոյեկցիան առանցքի վրաթիվ է, որը հավասար է տվյալ վեկտորի երկարության և տվյալ վեկտորի և առանցքի ուղղությունը որոշող վեկտորի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին։

A B → թվային պրոյեկցիան L-ի վրա նշվում է n p L A B →, և a → b → - n p b → a →:

Բանաձևի հիման վրա ստանում ենք n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , որտեղից a → վեկտորի երկարությունն է a → , a ⇀ , b → ^ վեկտորների միջև անկյունը a → և բ → .

Ստանում ենք թվային պրոյեկցիայի հաշվարկման բանաձևը՝ n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ : Այն կիրառելի է a → և b → հայտնի երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյան համար: Բանաձևը կիրառելի է a → և b → հայտնի կոորդինատների համար, բայց կա պարզեցված ձև:

Օրինակ 2

Պարզեք a →-ի թվային պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա b → ուղղությամբ, որի երկարությունը a → հավասար է 8-ի և նրանց միջև անկյունը 60 աստիճան է: Ըստ պայմանի մենք ունենք ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °: Այսպիսով, եկեք փոխարինենք թվային արժեքներբանաձևի մեջ n p b ⇀ a → = a → · cos a →, b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4:

Պատասխան. 4.

Հայտնի cos-ով (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → ունենք a → , b → որպես a → և b → սկալյար արտադրյալ։ Հետևելով n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^ բանաձևից, մենք կարող ենք գտնել a → թվային պրոյեկցիան, որն ուղղված է b → վեկտորի երկայնքով և ստանալ n p b → a → = a →, b → b →: Բանաձևը համարժեք է պարբերության սկզբում տրված սահմանմանը:

Սահմանում 3

a → վեկտորի թվային պրոյեկցիան b →-ի ուղղությամբ համընկնող առանցքի վրա a → և b → վեկտորների սկալյար արտադրյալի հարաբերակցությունն է b → երկարությանը: n p b → a → = a → , b → b → բանաձևը կիրառելի է a →-ի թվային պրոյեկցիան գտնելու համար b → -ի ուղղությամբ համընկնող գծի վրա, հայտնի a → և b → կոորդինատներով:

Օրինակ 3

Տրված է b → = (- 3 , 4) . Գտե՛ք a → = (1, 7) թվային պրոյեկցիան L-ի վրա։

Լուծում

n p b → a → = a →, b → b → կոորդինատային հարթության վրա ունի n p b → a → = a →, b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2, a → = (a x, a y) և. b → = b x, b y. A → վեկտորի թվային պրոյեկցիան L առանցքի վրա գտնելու համար անհրաժեշտ է՝ n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5:

Պատասխան. 5.

Օրինակ 4

Գտե՛ք a →-ի պրոյեկցիան L-ի վրա, որը համընկնում է b → ուղղության հետ, որտեղ կան a → = - 2, 3, 1 և b → = (3, - 2, 6): Նշված է եռաչափ տարածություն։

Լուծում

Հաշվի առնելով a → = a x, a y, a z և b → = b x, b y, b z, մենք հաշվարկում ենք սկալյար արտադրյալը՝ a ⇀, b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z: b → երկարությունը գտնում ենք՝ օգտագործելով b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 բանաձևը: Հետևում է, որ a → թվային պրոյեկցիան որոշելու բանաձևը կլինի՝ n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 :

Փոխարինեք թվային արժեքները՝ n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 :

Պատասխան՝ - 6 7.

Դիտարկենք կապը a → L-ի և a → L-ի վրա պրոյեկցիայի երկարության միջև։ Գծենք L առանցք՝ L կետից ավելացնելով → և b →, որից հետո a → L ծայրից ուղղահայաց գիծ գծենք և L-ի վրա գծենք պրոյեկցիա։ Պատկերի 5 տարբերակ կա.

Առաջին a → = n p b → a → → նշանակում է a → = n p b → a → → , հետևաբար n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Երկրորդդեպքը ենթադրում է n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , որը նշանակում է n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Երրորդդեպքը բացատրում է, որ երբ n p b → a → → = 0 → մենք ստանում ենք n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , ապա n p b → a → → = 0 և n p b → a → = 0 = n p b → a → →.

Չորրորդդեպքը ցույց է տալիս n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^), հաջորդում է n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Հինգերորդդեպքը ցույց է տալիս a → = n p b → a → →, ինչը նշանակում է a → = n p b → a → →, հետևաբար ունենք n p b → a → = a → · cos a →, b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Սահմանում 4

A → վեկտորի թվային պրոյեկցիան L առանցքի վրա, որն ուղղված է նույն կերպ, ինչ b →, ունի հետևյալ արժեքը.

• վեկտորի a → պրոյեկցիայի երկարությունը L-ի վրա, պայմանով, որ a → և b → անկյունը փոքր է 90 աստիճանից կամ հավասար է 0-ի: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a) պայմանով. → , բ →) ^< 90 ° ;
• զրո պայմանով, որ a → և b → ուղղահայաց լինեն՝ n p b → a → = 0, երբ (a → , b → ^) = 90 °;
• պրոեկցիայի երկարությունը a → L-ի վրա, բազմապատկված -1-ով, երբ կա a → և b վեկտորների բութ կամ ուղիղ անկյուն →: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° պայմանով.< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Օրինակ 5

Հաշվի առնելով պրոյեկցիայի երկարությունը a → L-ի վրա, հավասար է 2-ի: Գտեք թվային պրոյեկցիան a → պայմանով, որ անկյունը լինի 5 π 6 ռադիան:

Լուծում

Պայմանից պարզ է դառնում, որ այս անկյունը բութ է. π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Պատասխան՝ 2.

Օրինակ 6

Տրվում է O x y z վեկտորի երկարություն a → հավասար հարթություն 6 3, b → (- 2, 1, 2) 30 աստիճան անկյունով։ Գտե՛ք a → պրոյեկցիայի կոորդինատները L առանցքի վրա:

Լուծում

Նախ, մենք հաշվարկում ենք վեկտորի թվային պրոյեկցիան a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Ըստ պայմանի անկյունը սուր է, ապա թվային պրոյեկցիան a → = վեկտորի պրոյեկցիայի երկարությունը a →: n p L a → = n p L a → → = 9: Այս դեպքըցույց է տալիս, որ n p L a → → և b → վեկտորները միակողմանի ուղղորդված են, ինչը նշանակում է, որ կա t թիվ, որի համար հավասարությունը ճիշտ է՝ n p L a → → = t · b →: Այստեղից տեսնում ենք, որ n p L a → → = t · b → , ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք գտնել t պարամետրի արժեքը՝ t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3:

Այնուհետև n p L a → → = 3 · b → վեկտորի a → պրոյեկցիայի կոորդինատներով L առանցքի վրա, որը հավասար է b → = (- 2, 1, 2), որտեղ անհրաժեշտ է արժեքները բազմապատկել 3. Ունենք n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Պատասխան՝ (- 6, 3, 6):

Անհրաժեշտ է կրկնել վեկտորների համակողմանիության վիճակի մասին նախկինում սովորած տեղեկատվությունը։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Վեկտորի հանրահաշվական պրոյեկցիացանկացած առանցքի վրա հավասար է վեկտորի երկարության և առանցքի և վեկտորի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին.

Pr a b = |b|cos(a,b) or

Որտեղ a b-ը վեկտորների սկալյար արտադրյալն է, |a| - վեկտորի մոդուլ ա.

Հրահանգներ. Pr a b վեկտորի պրոյեկցիան առցանց գտնելու համար պետք է նշել a և b վեկտորների կոորդինատները: Այս դեպքում վեկտորը կարող է նշվել հարթության վրա (երկու կոորդինատ) և տարածության մեջ (երեք կոորդինատ): Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում: Եթե ​​վեկտորները նշված են կետերի կոորդինատների միջոցով, ապա դուք պետք է օգտագործեք այս հաշվիչը:

Վեկտորային կանխատեսումների դասակարգում

Կանխատեսումների տեսակները ըստ սահմանման վեկտորային պրոյեկցիայի

1. AB վեկտորի երկրաչափական պրոյեկցիան առանցքի (վեկտորի) վրա կոչվում է A"B վեկտոր), որի սկիզբը A'-ը A սկզբի պրոյեկցիան է առանցքի (վեկտորի), իսկ B' վերջը պրոյեկցիան է: B վերջի վրա նույն առանցքի վրա:
2. AB վեկտորի հանրահաշվական պրոյեկցիան առանցքի (վեկտորի) վրա կոչվում է A"B վեկտորի երկարություն՝ վերցված + կամ - նշանով, կախված նրանից, թե A"B" վեկտորն ունի նույն ուղղությունը, ինչ առանցքը ( վեկտոր).

Կանխատեսումների տեսակներն ըստ կոորդինատային համակարգի

Վեկտորային նախագծման հատկություններ

1. Վեկտորի երկրաչափական պրոյեկցիան վեկտոր է (ունի ուղղություն):
2. Վեկտորի հանրահաշվական պրոյեկցիան թիվ է։

Վեկտորային պրոյեկցիայի թեորեմներ

Թեորեմ 1. Վեկտորների գումարի պրոյեկցիան ցանկացած առանցքի վրա հավասար է նույն առանցքի վրա վեկտորների գումարումների պրոյեկտմանը:

AC" =AB" +B"C"

Թեորեմ 2. Վեկտորի հանրահաշվական պրոյեկցիան ցանկացած առանցքի վրա հավասար է վեկտորի երկարության և առանցքի և վեկտորի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին.

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Վեկտորային կանխատեսումների տեսակները

1. պրոյեկցիա OX առանցքի վրա:
2. նախագծում OY առանցքի վրա:
3. պրոյեկցիա վեկտորի վրա:

Պրոյեկցիա OX առանցքի վրա	Պրոյեկցիա OY առանցքի վրա	Պրոյեկցիա դեպի վեկտոր
Եթե ​​A'B' վեկտորի ուղղությունը համընկնում է OX առանցքի ուղղության հետ, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան ունի դրական նշան:	Եթե ​​A’B’ վեկտորի ուղղությունը համընկնում է OY առանցքի ուղղության հետ, ապա A’B’ վեկտորի պրոյեկցիան ունի դրական նշան:	Եթե ​​A'B' վեկտորի ուղղությունը համընկնում է NM վեկտորի ուղղության հետ, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան ունի դրական նշան:
Եթե ​​վեկտորի ուղղությունը հակառակ է OX առանցքի ուղղությանը, ապա A’B’ վեկտորի պրոյեկցիան ունի բացասական նշան։	Եթե ​​A'B' վեկտորի ուղղությունը հակառակ է OY առանցքի ուղղությանը, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան ունի բացասական նշան:	Եթե ​​A'B' վեկտորի ուղղությունը հակառակ է NM վեկտորի ուղղությանը, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան ունի բացասական նշան:
Եթե ​​AB վեկտորը զուգահեռ է OX առանցքին, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան հավասար է AB վեկտորի բացարձակ արժեքին:	Եթե ​​AB վեկտորը զուգահեռ է OY առանցքին, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան հավասար է AB վեկտորի բացարձակ արժեքին:	Եթե ​​AB վեկտորը զուգահեռ է NM վեկտորին, ապա A'B' վեկտորի պրոյեկցիան հավասար է AB վեկտորի բացարձակ արժեքին:
Եթե ​​AB վեկտորը ուղղահայաց է OX առանցքին, ապա A’B’ պրոյեկցիան հավասար է զրոյի (զրոյական վեկտոր):	Եթե ​​AB վեկտորը ուղղահայաց է OY առանցքին, ապա A’B’ պրոյեկցիան հավասար է զրոյի (զրոյական վեկտոր):	Եթե ​​AB վեկտորը ուղղահայաց է NM վեկտորին, ապա A’B’ պրոյեկցիան հավասար է զրոյի (զրոյական վեկտոր):

1. Հարց՝ վեկտորի պրոյեկցիան կարո՞ղ է բացասական նշան ունենալ: Պատասխան՝ Այո, պրոյեկցիոն վեկտորը կարող է լինել բացասական արժեք։ Այս դեպքում վեկտորն ունի հակառակ ուղղություն (տես, թե ինչպես են ուղղված OX առանցքը և AB վեկտորը)
2. Հարց՝ վեկտորի պրոյեկցիան կարո՞ղ է համընկնել վեկտորի բացարձակ արժեքի հետ: Պատասխան. Այո, կարող է: Այս դեպքում վեկտորները զուգահեռ են (կամ ընկած են նույն գծի վրա):
3. Հարց՝ վեկտորի պրոյեկցիան կարո՞ղ է հավասար լինել զրոյի (զրոյական վեկտոր): Պատասխան. Այո, կարող է: Այս դեպքում վեկտորը ուղղահայաց է համապատասխան առանցքին (վեկտորին):

Օրինակ 1. Վեկտորը (նկ. 1) OX առանցքի հետ կազմում է 60° անկյուն (նշված է a վեկտորով): Եթե ​​OE-ն սանդղակի միավոր է, ապա |b|=4, ուրեմն .

Իրոք, վեկտորի երկարությունը ( երկրաչափական պրոյեկցիաբ) հավասար է 2-ի, իսկ ուղղությունը համընկնում է OX առանցքի ուղղության հետ։

Օրինակ 2. Վեկտորը (նկ. 2) OX առանցքով (ա վեկտորով) կազմում է անկյուն (a,b) = 120 o: Երկարությունը |բ| b վեկտորը հավասար է 4-ի, ուստի pr a b=4·cos120 o = -2:

Իրոք, վեկտորի երկարությունը 2 է, իսկ ուղղությունը հակառակ է առանցքի ուղղությանը:

Պրոյեկցիաառանցքի վրա վեկտորը վեկտոր է, որը ստացվում է այս առանցքի վրա վեկտորի սկալյար պրոյեկցիան և այս առանցքի միավոր վեկտորը բազմապատկելով: Օրինակ, եթե x- սկալյար պրոյեկցիավեկտոր Ադեպի X առանցք, ապա x ես- դրա վեկտորային պրոյեկցիան այս առանցքի վրա:

Նշենք վեկտորային պրոյեկցիանույնը, ինչ ինքնին վեկտորը, բայց առանցքի ցուցիչով, որի վրա նախագծված է վեկտորը: Այսպիսով, վեկտորի վեկտորային պրոյեկցիան Ա X առանցքի վրա, որը մենք նշում ենք Ա x ( ճարպտառ, որը ցույց է տալիս վեկտորը և առանցքի անվան ենթակետը) կամ (վեկտորը նշող ոչ թավ տառ, բայց վերևում գտնվող սլաքով (!) և առանցքի անվան ենթատեքստ):

Սկալյար պրոյեկցիամեկ առանցքի վեկտորը կոչվում է թիվ, որի բացարձակ արժեքը հավասար է առանցքի հատվածի երկարությանը (ընտրված սանդղակի վրա), որը պարփակված է սկզբնակետի և վեկտորի վերջնակետի կանխատեսումների միջև։ Սովորաբար արտահայտության փոխարեն սկալյար պրոյեկցիանրանք պարզապես ասում են. պրոյեկցիա. Պրոյեկցիան նշվում է նույն տառով, ինչ նախագծված վեկտորը (նորմալ, ոչ թավ գրությամբ), ավելի ցածր ցուցիչով (որպես կանոն) այն առանցքի անվանման, որի վրա նախագծված է այս վեկտորը։ Օրինակ, եթե վեկտորը նախագծված է X առանցքի վրա Ա,ապա դրա պրոյեկցիան նշվում է x-ով: Նույն վեկտորը մեկ այլ առանցքի վրա նախագծելիս, եթե առանցքը Y է, ապա դրա պրոյեկցիան կնշանակվի y:

Պրոյեկցիան հաշվարկելու համար վեկտորառանցքի վրա (օրինակ, X առանցքը), անհրաժեշտ է հանել մեկնարկային կետի կոորդինատը դրա վերջնակետի կոորդինատից, այսինքն.
a x = x k − x n.
Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա թիվ է։Ավելին, պրոյեկցիան կարող է լինել դրական, եթե x k արժեքը մեծ է x n արժեքից,

բացասական, եթե x k արժեքը փոքր է x n արժեքից

և հավասար է զրոյի, եթե x k-ը հավասար է x n-ի:

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա կարելի է գտնել նաև՝ իմանալով վեկտորի մոդուլը և այն անկյունը, որը կազմում է այս առանցքի հետ:

Նկարից պարզ է դառնում, որ a x = a Cos α

այսինքն՝ վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մոդուլի և առանցքի ուղղության և անկյան կոսինուսի արտադրյալին։ վեկտորի ուղղություն. Եթե ​​անկյունը սուր է, ապա
Cos α > 0 և a x > 0, իսկ եթե բութ է, ապա բութ անկյան կոսինուսը բացասական է, և վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա նույնպես բացասական կլինի:

Անկյունները, որոնք չափվում են առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, համարվում են դրական, իսկ առանցքի երկայնքով չափված անկյունները՝ բացասական: Այնուամենայնիվ, քանի որ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է, այսինքն՝ Cos α = Cos (− α), կանխատեսումները հաշվարկելիս անկյունները կարելի է հաշվել և՛ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, և՛ հակառակ ուղղությամբ։

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա գտնելու համար այս վեկտորի մոդուլը պետք է բազմապատկվի առանցքի ուղղության և վեկտորի ուղղության միջև ընկած անկյան կոսինուսով:

Վեկտորային կոորդինատներ— ընտրված կոորդինատային համակարգում բազային վեկտորների միակ հնարավոր գծային համակցության գործակիցները, որոնք հավասար են տվյալ վեկտորին:

որտեղ են վեկտորի կոորդինատները:

Scalar արտադրանքվեկտորներ

Վեկտորների սկալյար արտադրյալ[- վերջավոր չափերով վեկտորային տարածությունսահմանվում է որպես միանման բաղադրիչների բազմապատկվող արտադրյալների գումար վեկտորներ.

Օրինակ, S.p.v. ա = (ա 1 , ..., a n) Եվ բ = (բ 1 , ..., b n):

(ա , բ ) = ա 1 բ 1 + ա 2 բ 2 + ... + ա ն բ ն