Ո՞րն է pi թվի այլ անվանումը: Ի՞նչ է PI թիվը և ի՞նչ է դա նշանակում: π-ի հաշվարկների համառոտ պատմություն

Ներածություն

Հոդվածը պարունակում է մաթեմատիկական բանաձևեր, ուստի կարդալու համար այցելեք կայք՝ դրանք ճիշտ ցուցադրելու համար։\(\pi\) թիվը հարուստ պատմություն ունի։ Այս հաստատունը նշանակում է շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունը:

Գիտության մեջ \(\pi \) թիվը օգտագործվում է օղակների հետ կապված ցանկացած հաշվարկում: Սկսած սոդայի տարայի ծավալից մինչև արբանյակների ուղեծրերը։ Եվ ոչ միայն շրջանակներ: Իրոք, կոր գծերի ուսումնասիրության ժամանակ \(\pi \) թիվը օգնում է հասկանալ պարբերական և տատանողական համակարգերը։ Օրինակ, էլեկտրամագնիսական ալիքները և նույնիսկ երաժշտությունը:

1706 թվականին բրիտանացի գիտնական Ուիլյամ Ջոնսի (1675-1749) «Մաթեմատիկայում նոր ներածություն» գրքում առաջին անգամ օգտագործվել է հունական այբուբենի \(\pi\) տառը՝ 3.141592 թիվը ներկայացնելու համար։ Այս նշանակումը գալիս է հունարեն περιφερεια - շրջան, ծայրամաս և περιµετρoς - պարագծային բառերի սկզբնական տառից: Նշանակումը ընդհանուր ընդունված է դարձել Լեոնհարդ Էյլերի աշխատանքից հետո 1737 թվականին։

Երկրաչափական ժամանակաշրջան

Ցանկացած շրջանագծի երկարության և նրա տրամագծի հարաբերակցության կայունությունը վաղուց է նկատվել։ Միջագետքի բնակիչներն օգտագործել են \(\pi\) թվի բավականին կոպիտ մոտարկում։ Ինչպես հետևում է հնագույն խնդիրներից, նրանք իրենց հաշվարկներում օգտագործում են \(\pi ≈ 3\) արժեքը։

\(\pi\)-ի ավելի ճշգրիտ արժեքը օգտագործվել է հին եգիպտացիների կողմից: Լոնդոնում և Նյու Յորքում պահվում են հին եգիպտական ​​պապիրուսի երկու կտոր, որոնք կոչվում են «Ռինդա պապիրուս»։ Պապիրուսը կազմել է գրագիր Արմեսը 2000-1700 թվականներին։ Արմեսն իր պապիրուսում գրել է, որ \(r\) շառավղով շրջանագծի մակերեսը հավասար է քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է \(\frac(8)(9) \) շրջանագծի տրամագիծը \(\frac(8)(9) \cdot 2r \), այսինքն՝ \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \): Հետևաբար \(\pi = 3.16\):

Հին հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդը (Ք.ա. 287-212 թթ.) առաջինն էր, ով շրջանի չափման խնդիրը գիտական ​​հիմքի վրա դրեց։ Նա ստացել է \(3\frac(10)(71) գնահատականը< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Մեթոդը բավականին պարզ է, բայց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պատրաստի աղյուսակների բացակայության դեպքում կպահանջվի արմատների արդյունահանում: Բացի այդ, մոտարկումը շատ դանդաղ է զուգակցվում \(\pi \)-ին. յուրաքանչյուր կրկնության դեպքում սխալը նվազում է ընդամենը չորս անգամ:

Վերլուծական ժամանակաշրջան

Չնայած դրան, մինչև 17-րդ դարի կեսերը եվրոպացի գիտնականների բոլոր փորձերը՝ հաշվարկելու \(\pi\) թիվը հանգեցրին բազմանկյունի կողմերի մեծացմանը։ Օրինակ, հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ վան Զեյլենը (1540-1610) հաշվարկել է \(\pi\) թվի մոտավոր արժեքը մինչև 20 տասնորդական թվանշան:

Հաշվարկելու համար նրանից պահանջվել է 10 տարի։ Արքիմեդի մեթոդով կրկնապատկելով ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների կողմերի թիվը՝ նա հասավ \(60 \cdot 2^(29) \) - եռանկյունին, որպեսզի հաշվարկի \(\pi \) 20 տասնորդական թվերով։

Նրա մահից հետո նրա ձեռագրերում հայտնաբերվել են \(\pi\) թվի ևս 15 ճշգրիտ թվանշաններ։ Լյուդոլֆը կտակել է, որ իր գտած նշանները փորագրվեն իր տապանաքարի վրա։ Նրա պատվին \(\pi\) թիվը երբեմն կոչվում էր «Լյուդոլֆի թիվ» կամ «Լյուդոլֆի հաստատուն»։

Առաջիններից մեկը, ով ներկայացրեց Արքիմեդի մեթոդից տարբերվող մեթոդ, Ֆրանսուա Վիետն էր (1540-1603): Նա եկավ այն արդյունքի, որ շրջանագիծը, որի տրամագիծը հավասար է մեկի, ունի մակերես.

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Մյուս կողմից, տարածքը \(\frac(\pi)(4)\): Արտահայտությունը փոխարինելով և պարզեցնելով՝ մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ անսահման արտադրյալի բանաձևը՝ \(\frac(\pi)(2)\-ի մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար).

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Ստացված բանաձևը \(\pi\) թվի առաջին ճշգրիտ վերլուծական արտահայտությունն է։ Այս բանաձևից բացի, Վիետը, օգտագործելով Արքիմեդի մեթոդը, ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների միջոցով, սկսած 6-անկյունից և վերջացրած \(2^(16) \cdot 6 \) կողմերով բազմանկյունով, տվել է մոտավորություն. \(\pi \) թվի 9-ը՝ ճիշտ նշաններով։

Անգլիացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Բրոունքերը (1620-1684), օգտագործելով շարունակական կոտորակը, ստացավ հետևյալ արդյունքները \(\frac(\pi)(4)\-ը հաշվելու համար.

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots))))))) \]

\(\frac(4)(\pi)\) թվի մոտավորությունը հաշվարկելու այս մեթոդը բավականին շատ հաշվարկներ է պահանջում՝ թեկուզ փոքր մոտարկում ստանալու համար։

Փոխարինման արդյունքում ստացված արժեքները կա՛մ մեծ են, կա՛մ փոքր, քան \(\pi\) թիվը, և ամեն անգամ ավելի մոտ են իրական արժեքին, սակայն 3.141592 արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ կլինի կատարել բավականին մեծ հաշվարկներ։

Մեկ այլ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Մաչինը (1686-1751) 1706 թվականին \(\pi\) թիվը 100 տասնորդական թվերով հաշվարկելու համար օգտագործել է 1673 թվականին Լայբնիցի կողմից ստացված բանաձևը և կիրառել այն հետևյալ կերպ.

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Շարքը արագորեն համընկնում է և դրա օգնությամբ կարող եք մեծ ճշգրտությամբ հաշվարկել \(\pi \) թիվը։ Այս տեսակի բանաձևերը օգտագործվել են համակարգչային ժամանակաշրջանում մի քանի ռեկորդներ սահմանելու համար:

17-րդ դարում Փոփոխական արժեքային մաթեմատիկայի ժամանակաշրջանի սկզբով սկսվեց \(\pi\)-ի հաշվարկման նոր փուլը։ Գերմանացի մաթեմատիկոս Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716) 1673 թվականին գտավ \(\pi\) թվի տարրալուծումը, ընդհանուր առմամբ այն կարելի է գրել հետևյալ անվերջ շարքով.

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

Շարքը ստացվում է x = 1-ը փոխարինելով \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + \frac (x^9) (9) – \cdots\)

Լեոնհարդ Էյլերը զարգացնում է Լայբնիցի գաղափարը \(\pi\) թվի հաշվարկման ժամանակ արկտան x-ի շարքերի օգտագործման վերաբերյալ աշխատություններում։ 1738 թվականին գրված «De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi» (Շրջանակի քառակուսումը մոտավոր թվերով արտահայտելու տարբեր մեթոդների մասին) տրակտատը քննարկում է հաշվարկների բարելավման մեթոդները՝ օգտագործելով Լայբնիցի բանաձևը։

Էյլերը գրում է, որ արկտանգենսի շարքը ավելի արագ կմիանա, եթե արգումենտը հակված է զրոյի: \(x = 1\) համար շարքի կոնվերգենցիան շատ դանդաղ է. 100 նիշի ճշգրտությամբ հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել շարքի \(10^(50)\) պայմանները: Դուք կարող եք արագացնել հաշվարկները՝ նվազեցնելով փաստարկի արժեքը: Եթե ​​վերցնենք \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), ապա կստանանք շարքը

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Ըստ Էյլերի, եթե վերցնենք այս շարքի 210 անդամ, ապա կստանանք թվի 100 ճիշտ թվանշան։ Ստացված շարքը անհարմար է, քանի որ անհրաժեշտ է իմանալ \(\sqrt(3)\ իռացիոնալ թվի բավականին ճշգրիտ արժեքը): Էյլերը նաև իր հաշվարկներում օգտագործել է արկտանգենսների ընդլայնումները փոքր փաստարկների արկտանգենսների գումարի մեջ.

\[որտեղ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Ոչ բոլոր բանաձևերը հաշվարկելու \(\pi\) բանաձևերը, որոնք Էյլերն օգտագործել է իր նոթատետրերում։ Հրապարակված թղթերում և նոթատետրերում նա հաշվի է առել արկտանգենսը հաշվարկելու 3 տարբեր շարքեր, ինչպես նաև բազմաթիվ հայտարարություններ է արել տվյալ ճշտությամբ \(\pi\) մոտավոր արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ գումարելի տերմինների քանակի վերաբերյալ:

Հետագա տարիներին \(\pi\) թվի ճշգրտումները տեղի ունեցան ավելի ու ավելի արագ: Օրինակ, 1794 թվականին Գեորգ Վեգան (1754-1802) արդեն բացահայտեց 140 նշան, որոնցից միայն 136-ն էր ճիշտ:

Հաշվողական ժամանակաշրջան

20-րդ դարը նշանավորվեց \(\pi\) թվի հաշվարկի բոլորովին նոր փուլով։ Հնդիկ մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանը (1887-1920) հայտնաբերել է \(\pi\) բազմաթիվ նոր բանաձևեր: 1910-ին նա ստացավ Թեյլորի շարքում արկտանգենսի ընդլայնման միջոցով \(\pi\) հաշվելու բանաձևը.

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100-ում ձեռք է բերվում \(\pi\) թվի 600 ճիշտ թվանշանների ճշգրտություն։

Համակարգիչների հայտնվելը հնարավորություն տվեց ավելի կարճ ժամանակում զգալիորեն բարձրացնել ստացված արժեքների ճշգրտությունը: 1949 թվականին ընդամենը 70 ժամում ENIAC-ի միջոցով գիտնականների խումբը Ջոն ֆոն Նոյմանի (1903-1957) գլխավորությամբ ստացել է 2037 տասնորդական տեղ \(\pi\) թվի համար։ 1987-ին Դեյվիդ և Գրեգորի Չուդնովսկիները ստացան մի բանաձև, որով նրանք կարողացան մի քանի ռեկորդներ սահմանել \(\pi\) հաշվարկում.

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Շարքի յուրաքանչյուր անդամ տալիս է 14 նիշ: 1989 թվականին ստացվել է 1 011 196 691 տասնորդական տեղ։ Այս բանաձևը հարմար է անձնական համակարգիչների վրա \(\pi \) հաշվարկելու համար: Ներկայումս եղբայրները Նյու Յորքի համալսարանի պոլիտեխնիկական ինստիտուտի պրոֆեսորներ են։

Վերջին կարևոր զարգացումը 1997 թվականին Սայմոն Փլուֆի կողմից բանաձեւի հայտնաբերումն էր: Այն թույլ է տալիս հանել \(\pi\) թվի ցանկացած տասնվեցական թվանշան՝ առանց նախորդները հաշվարկելու։ Բանաձևը կոչվում է «Bailey-Borwain-Plouffe Formula»՝ ի պատիվ այն հոդվածի հեղինակների, որտեղ առաջին անգամ հրապարակվել է բանաձևը: Այն կարծես այսպիսին է.

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4) ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

2006թ.-ին Սայմոնը, օգտագործելով PSLQ-ը, հորինեց \(\pi\) հաշվարկի մի քանի գեղեցիկ բանաձևեր: Օրինակ,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

որտեղ \(q = e^(\pi)\): 2009 թվականին ճապոնացի գիտնականները, օգտագործելով T2K Tsukuba System սուպերհամակարգիչը, ստացան \(\pi\) թիվը 2,576,980,377,524 տասնորդական թվերով։ Հաշվարկները տեւել են 73 ժամ 36 րոպե։ Համակարգիչը հագեցած էր 640 քառամիջուկ AMD Opteron պրոցեսորներով, որոնք ապահովում էին վայրկյանում 95 տրիլիոն գործողությունների կատարում:

\(\pi\) հաշվարկի հաջորդ ձեռքբերումը պատկանում է ֆրանսիացի ծրագրավորող Ֆաբրիս Բելարդին, ով 2009թ. վերջին Fedora 10-ով աշխատող իր անհատական ​​համակարգչով ռեկորդ սահմանեց՝ հաշվարկելով \(\pi\ թվի 2,699,999,990,000 տասնորդական թվերը: ) Վերջին 14 տարիների ընթացքում սա առաջին համաշխարհային ռեկորդն է, որը սահմանվել է առանց սուպերհամակարգչի օգտագործման։ Բարձր կատարողականության համար Ֆաբրիսն օգտագործել է Չուդնովսկի եղբայրների բանաձեւը. Ընդհանուր առմամբ, հաշվարկը տևել է 131 օր (103 օր հաշվարկ և 13 օր արդյունքի ստուգում)։ Բելարի ձեռքբերումը ցույց տվեց, որ նման հաշվարկների համար գերհամակարգիչ չի պահանջվում։

Ընդամենը վեց ամիս անց Ֆրանսուայի ռեկորդը գերազանցեցին ինժեներներ Ալեքսանդր Յին և երգիչ Կոնդոն: \(\pi\) 5 տրիլիոն տասնորդական տեղերի ռեկորդ սահմանելու համար օգտագործվել է նաև անհատական ​​համակարգիչ, բայց ավելի տպավորիչ բնութագրերով՝ երկու Intel Xeon X5680 պրոցեսոր 3,33 ԳՀց հաճախականությամբ, 96 ԳԲ օպերատիվ հիշողություն, 38 ՏԲ սկավառակի հիշողություն և օպերացիոն համակարգ Windows Server 2008 R2 Enterprise x64: Հաշվարկների համար Ալեքսանդրը և Սինգերը օգտագործել են Չուդնովսկի եղբայրների բանաձևը. Հաշվարկի գործընթացը տևել է 90 օր և 22 ՏԲ սկավառակի տարածություն: 2011 թվականին նրանք հերթական ռեկորդը սահմանեցին՝ հաշվարկելով 10 տրիլիոն տասնորդական նիշ \(\pi\) թվի համար։ Հաշվարկները կատարվել են այն նույն համակարգչով, որի վրա սահմանվել է նրանց նախորդ ռեկորդը և ընդհանուր առմամբ տևել է 371 օր։ 2013 թվականի վերջում Ալեքսանդրը և Սինգերուն բարելավեցին ռեկորդը մինչև \(\pi\) թվի 12,1 տրիլիոն նիշ, ինչը նրանց հաշվարկելու համար պահանջվեց ընդամենը 94 օր։ Այս կատարողականի բարելավումը ձեռք է բերվում ծրագրաշարի կատարողականի օպտիմալացման, պրոցեսորային միջուկների քանակի ավելացման և ծրագրային ապահովման սխալների հանդուրժողականության զգալի բարելավման միջոցով:

Ներկայիս ռեկորդը Ալեքսանդր Յիի և Սինգեր Կոնդոյի ռեկորդն է, որը կազմում է 12,1 տրիլիոն տասնորդական \(\pi\):

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք հին ժամանակներում օգտագործվող \(\pi\) թվի հաշվարկման մեթոդները, վերլուծական մեթոդները, ինչպես նաև դիտարկել ենք \(\pi\) թվի հաշվարկման ժամանակակից մեթոդներն ու գրառումները համակարգիչների վրա։

Աղբյուրների ցանկ

1. Ժուկով Ա.Վ. Ամենուր տարածված համարը Pi - M.: Հրատարակչություն LKI, 2007 - 216 p.
2. F.Rudio. Շրջանակի քառակուսու վրա՝ Ֆ.Ռուդիոյի կողմից կազմված հարցի պատմության կիրառմամբ։ / Rudio F. – M.: ONTI NKTP USSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Շուխման, Է.Վ. Pi-ի մոտավոր հաշվարկը՝ օգտագործելով արկտան x-ի շարքը Լեոնհարդ Էյլերի հրատարակված և չհրապարակված աշխատություններում / E.V. Շուխման. – Գիտության եւ տեխնիկայի պատմություն, 2008 – թիվ 4։ – P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae: 1744 – Vol.9 – 222-236p.
6. Shumikhin, S. Number Pi. 4000 տարվա պատմություն / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 p.
7. Բորվեյն, Ջ.Մ. Ռամանուջան և Պի թիվը։ / Borwein, J.M., Borwein P.B. Գիտության աշխարհում. 1988 – թիվ 4։ – էջ 58-66։
8. Ալեքս Յի. Թվերի աշխարհ. Մուտքի ռեժիմ՝ numberworld.org

Հավանեցի՞ք:

Ասա՛

Pi-ն ամենահայտնի մաթեմատիկական հասկացություններից մեկն է: Նրա մասին նկարներ են գրվում, ֆիլմեր են նկարահանվում, նվագում են երաժշտական ​​գործիքների վրա, բանաստեղծություններ ու տոներ են նվիրվում նրան, որոնվում ու գտնվում է սուրբ տեքստերում։

Ո՞վ է հայտնաբերել պին:

Թե ով և երբ է առաջին անգամ հայտնաբերել π թիվը, դեռևս առեղծված է մնում: Հայտնի է, որ հին Բաբելոնի շինարարներն արդեն լիովին օգտագործել են այն իրենց նախագծման մեջ։ Հազարամյակների վաղեմություն ունեցող սեպագիր սալիկներն անգամ պահպանում են խնդիրներ, որոնք առաջարկվում էր լուծել π-ի միջոցով։ Ճիշտ է, այն ժամանակ ենթադրվում էր, որ π-ը հավասար է երեքի: Այդ մասին է վկայում Բաբելոնից երկու հարյուր կիլոմետր հեռավորության վրա գտնվող Սուսա քաղաքում հայտնաբերված պլանշետը, որտեղ π թիվը նշված էր 3 1/8:

Π-ի հաշվարկման գործընթացում բաբելոնացիները հայտնաբերեցին, որ շրջանագծի շառավիղը որպես ակորդ մտնում է վեց անգամ, և շրջանագիծը բաժանեցին 360 աստիճանի։ Եվ միևնույն ժամանակ նույնն արեցին արևի ուղեծրի հետ կապված։ Այսպիսով, նրանք որոշեցին համարել, որ տարվա մեջ կա 360 օր։

Հին Եգիպտոսում π-ը հավասար էր 3,16-ի։
Հին Հնդկաստանում՝ 3088։
Իտալիայում դարաշրջանի սկզբին կարծում էին, որ π-ը հավասար է 3,125-ի:

Հնությունում π-ի ամենավաղ հիշատակումը վերաբերում է շրջանագծի քառակուսիացման հայտնի խնդրին, այսինքն՝ կողմնացույցի և քանոնի օգտագործման անհնարինությանը քառակուսի կառուցելու համար, որի տարածքը հավասար է որոշակի շրջանագծի մակերեսին: Արքիմեդը π հավասարեցրեց 22/7 կոտորակին։

π-ի ճշգրիտ արժեքին ամենամոտ մարդիկ եկել են Չինաստանում: Այն հաշվարկվել է մ.թ. 5-րդ դարում։ ե. հայտնի չինացի աստղագետ Ցու Չուն Չժին: π-ը հաշվարկվել է բավականին պարզ. Հարկավոր էր կենտ թվերը գրել երկու անգամ՝ 11 33 55, այնուհետև դրանք կիսելով կիսով չափ, առաջինը տեղադրել կոտորակի հայտարարի մեջ, իսկ երկրորդը՝ համարիչում՝ 355/113։ Արդյունքը համապատասխանում է π-ի ժամանակակից հաշվարկներին մինչև յոթերորդ նիշը:

Ինչու՞ π – π:

Այժմ նույնիսկ դպրոցականները գիտեն, որ π թիվը մաթեմատիկական հաստատուն է, որը հավասար է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի երկարության հարաբերությանը և հավասար է π 3,1415926535 ... իսկ հետո տասնորդական կետից հետո՝ անսահմանության:

Թիվն իր π անվանումը ստացավ բարդ ձևով. նախ՝ 1647 թվականին մաթեմատիկոս Օութրեյդը օգտագործեց հունարեն այս տառը՝ շրջանագծի երկարությունը նկարագրելու համար։ Նա վերցրեց հունարեն περιφέρεια բառի առաջին տառը՝ «ծայրամաս»: 1706 թվականին անգլերենի ուսուցիչ Ուիլյամ Ջոնսը իր «Մաթեմատիկական նվաճումների ակնարկ» աշխատությունում արդեն անվանել է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունը π տառով: Իսկ անունը ցեմենտավորել է 18-րդ դարի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Էյլերը, ում իշխանության առջեւ գլուխ են խոնարհել մնացածները։ Այսպիսով, π դարձավ π.

Թվի եզակիությունը

Pi-ն իսկապես եզակի թիվ է:

1. Գիտնականները կարծում են, որ π թվի թվանշանների թիվն անսահման է: Նրանց հաջորդականությունը չի կրկնվում։ Ավելին, ոչ ոք երբեք չի կարողանա կրկնություններ գտնել։ Քանի որ թիվն անսահման է, այն կարող է պարունակել բացարձակապես ամեն ինչ, նույնիսկ Ռախմանինովի սիմֆոնիան, Հին Կտակարանը, ձեր հեռախոսահամարը և այն տարին, երբ տեղի կունենա Ապոկալիպսիսը:

2. π կապված է քաոսի տեսության հետ։ Գիտնականները նման եզրակացության են եկել Բեյլի համակարգչային ծրագիրը ստեղծելուց հետո, որը ցույց է տվել, որ π-ում թվերի հաջորդականությունը բացարձակապես պատահական է, ինչը համահունչ է տեսությանը։

3. Թիվն ամբողջությամբ հաշվարկել գրեթե անհնար է, դա չափազանց շատ ժամանակ կխլի:

4. π իռացիոնալ թիվ է, այսինքն՝ դրա արժեքը չի կարող արտահայտվել որպես կոտորակ։

5. π – տրանսցենդենտալ թիվ։ Այն հնարավոր չէ ստանալ ամբողջ թվերի վրա հանրահաշվական գործողություններ կատարելով։

6. Π թվի երեսունինը տասնորդական տեղերը բավարար են Տիեզերքի հայտնի տիեզերական օբյեկտները շրջապատող շրջանագծի երկարությունը ջրածնի ատոմի շառավիղի սխալմամբ հաշվարկելու համար:

7. Π թիվը կապված է «ոսկե հարաբերակցության» հասկացության հետ։ Գիզայի Մեծ բուրգը չափելու գործընթացում հնագետները պարզել են, որ դրա բարձրությունը կապված է հիմքի երկարության հետ, ինչպես շրջանագծի շառավիղը՝ դրա երկարության հետ։

π.-ի հետ կապված գրառումներ

2010 թվականին Yahoo-ի մաթեմատիկոս Նիկոլաս Չժեն կարողացավ հաշվել երկու կվադրիլիոն տասնորդական նիշ (2x10) π թվով։ Դա տևեց 23 օր, և մաթեմատիկոսին անհրաժեշտ էին բազմաթիվ օգնականներ, որոնք աշխատում էին հազարավոր համակարգիչների վրա՝ միավորված՝ օգտագործելով բաշխված հաշվողական տեխնոլոգիաները: Մեթոդը հնարավորություն տվեց նման ֆենոմենալ արագությամբ հաշվարկներ կատարել։ Մեկ համակարգչի վրա նույն բանը հաշվարկելու համար կպահանջվի ավելի քան 500 տարի:

Այս ամենը պարզապես թղթի վրա գրելու համար ձեզ հարկավոր կլինի ավելի քան երկու միլիարդ կիլոմետր երկարությամբ թղթե ժապավեն: Եթե ​​ընդլայնեք նման ռեկորդը, ապա դրա ավարտը դուրս կգա արեգակնային համակարգից:

Չինացի Լյու Չաոն ռեկորդ է սահմանել π ​​թվի թվանշանների հաջորդականությունը մտապահելու համար։ 24 ժամ 4 րոպեի ընթացքում Լյու Չաոն ասաց 67,890 տասնորդական թվեր՝ առանց որևէ սխալ թույլ տալու:

π-ն շատ երկրպագուներ ունի: Այն նվագում են երաժշտական ​​գործիքներով, և պարզվում է, որ հիանալի է «հնչում»։ Նրանք հիշում են դա և դրա համար տարբեր տեխնիկա են հորինում: Զվարճանքի համար նրանք այն ներբեռնում են իրենց համակարգչում և միմյանց հետ պարծենում են, թե ով է ամենաշատը ներբեռնել: Նրան հուշարձաններ են կանգնեցնում։ Օրինակ, նման հուշարձան կա Սիեթլում։ Այն գտնվում է Արվեստի թանգարանի դիմացի աստիճանների վրա։

π-ն օգտագործվում է դեկորացիաների և ինտերիերի ձևավորման մեջ: Նրան են նվիրված բանաստեղծություններ, նրան փնտրում են սուրբ գրքերում և պեղումներում։ Կա նույնիսկ «ակումբ π»:
π-ի լավագույն ավանդույթներում թվին է նվիրված տարին ոչ թե մեկ, այլ երկու ամբողջ օր։ Առաջին անգամ π Օրը նշվում է մարտի 14-ին։ Դուք պետք է շնորհավորեք միմյանց ուղիղ 1 ժամ, 59 րոպե, 26 վայրկյան: Այսպիսով, ամսաթիվը և ժամը համապատասխանում են թվի առաջին նիշերին՝ 3.1415926։

Երկրորդ անգամ π տոնը նշվում է հուլիսի 22-ին։ Այս օրը կապված է այսպես կոչված «մոտավոր π»-ի հետ, որը Արքիմեդը գրել է որպես կոտորակ:
Սովորաբար այս օրը ուսանողները, դպրոցականներն ու գիտնականները զվարճալի ֆլեշմոբներ ու ակցիաներ են կազմակերպում։ Մաթեմատիկոսները, զվարճանալով, օգտագործում են π՝ ընկնող սենդվիչի օրենքները հաշվարկելու և միմյանց զավեշտական ​​պարգևներ տալու համար։
Եվ, ի դեպ, π իրականում կարելի է գտնել սուրբ գրքերում։ Օրինակ՝ Աստվածաշնչում. Իսկ այնտեղ π թիվը հավասար է... երեքի։

Ինչի՞ է հավասար Pi-ն:մենք գիտենք ու հիշում ենք դպրոցից: Այն հավասար է 3,1415926-ի և այլն... Բավական է, որ հասարակ մարդն իմանա, որ այս թիվը ստացվում է շրջանագծի շրջագիծը տրամագծի վրա բաժանելով։ Բայց շատերը գիտեն, որ Pi թիվը հայտնվում է ոչ միայն մաթեմատիկայի և երկրաչափության, այլև ֆիզիկայի անսպասելի ոլորտներում: Դե, եթե խորանաք այս թվի բնույթի մանրամասների մեջ, թվերի անվերջ շարքի մեջ շատ զարմանալի բաներ կնկատեք։ Հնարավո՞ր է, որ Պին թաքցնում է տիեզերքի ամենախոր գաղտնիքները:

Անսահման թիվ

Pi թիվը ինքնին հայտնվում է մեր աշխարհում որպես շրջանագծի երկարություն, որի տրամագիծը հավասար է մեկի: Բայց, չնայած այն հանգամանքին, որ Pi-ին հավասար հատվածը բավականին վերջավոր է, Pi թիվը սկսվում է որպես 3.1415926 և գնում է դեպի անվերջություն այն թվերի շարքերում, որոնք երբեք չեն կրկնվում: Առաջին զարմանալի փաստն այն է, որ այս թիվը, որն օգտագործվում է երկրաչափության մեջ, չի կարող արտահայտվել որպես ամբողջ թվերի կոտորակ: Այլ կերպ ասած, դուք չեք կարող դա գրել որպես երկու թվերի հարաբերակցություն a/b: Բացի այդ, Pi թիվը տրանսցենդենտալ է: Սա նշանակում է, որ չկա ամբողջ թվային գործակիցներով հավասարում (բազմանդամ), որի լուծումը կլինի Pi թիվը։

Այն, որ Pi թիվը տրանսցենդենտալ է, ապացուցվել է 1882 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս ֆոն Լինդեմանի կողմից։ Հենց այս ապացույցը դարձավ այն հարցի պատասխանը, թե հնարավո՞ր է կողմնացույցի և քանոնի միջոցով գծել քառակուսի, որի մակերեսը հավասար է տվյալ շրջանագծի մակերեսին։ Այս խնդիրը հայտնի է որպես քառակուսի շրջանագծի որոնում, որը հնագույն ժամանակներից անհանգստացրել է մարդկությանը։ Թվում էր, թե այս խնդիրը պարզ լուծում ուներ և պատրաստվում էր լուծել։ Բայց հենց Pi թվի անհասկանալի հատկությունն էր, որ ցույց տվեց, որ շրջանագծի քառակուսիացման խնդրի լուծում չկա։

Առնվազն չորսուկես հազարամյակ մարդկությունը փորձում է ձեռք բերել ավելի ճշգրիտ արժեք Պիի համար: Օրինակ, Աստվածաշնչում Թագավորների երրորդ գրքում (7:23) Pi թիվը ընդունված է 3:

Ուշագրավ ճշգրտության Pi արժեքը կարելի է գտնել Գիզայի բուրգերում. բուրգերի պարագծի և բարձրության հարաբերակցությունը 22/7 է: Այս կոտորակը տալիս է Pi-ի մոտավոր արժեքը, որը հավասար է 3,142-ի... Եթե, իհարկե, եգիպտացիները պատահաբար չեն սահմանել այս հարաբերակցությունը։ Նույն արժեքն արդեն ստացվել է մեծ Արքիմեդի կողմից Ք.ա 3-րդ դարում Pi թվի հաշվարկի առնչությամբ։

Ահմեսի պապիրուսում՝ հին եգիպտական ​​մաթեմատիկայի դասագրքում, որը թվագրվում է մ.թ.ա. 1650 թվականին, Pi-ն հաշվարկվում է որպես 3,160493827:

Հին հնդկական տեքստերում մոտ մ.թ.ա 9-րդ դարում ամենաճշգրիտ արժեքը արտահայտվել է 339/108 թվով, որը հավասար է 3,1388...

Արքիմեդից հետո գրեթե երկու հազար տարի մարդիկ փորձում էին ուղիներ գտնել Pi-ն հաշվարկելու համար: Նրանց թվում կային ինչպես հայտնի, այնպես էլ անհայտ մաթեմատիկոսներ։ Օրինակ՝ հռոմեացի ճարտարապետ Մարկուս Վիտրուվիուս Պոլլիոն, եգիպտացի աստղագետ Կլավդիոս Պտղոմեոսը, չինացի մաթեմատիկոս Լյու Հուին, հնդիկ իմաստուն Արյաբհատան, միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզայից, հայտնի որպես Ֆիբոնաչի, արաբ գիտնական Ալ-Խվարիզմի, որի անունից է բառը։ Հայտնվեց «ալգորիթմը». Նրանք բոլորը և շատ այլ մարդիկ փնտրում էին Pi-ի հաշվարկման ամենաճշգրիտ մեթոդները, բայց մինչև 15-րդ դարը հաշվարկների բարդության պատճառով նրանք երբեք չեն ստացել 10 տասնորդականից ավելի:

Ի վերջո, 1400 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս Մադավան Սանգամագրամից հաշվարկեց Pi-ն 13 թվանշանների ճշգրտությամբ (չնայած վերջին երկուսում նա դեռ սխալվում էր):

Նշանների քանակը

17-րդ դարում Լայբնիցը և Նյուտոնը հայտնաբերեցին անվերջ փոքր մեծությունների վերլուծությունը, որը հնարավորություն տվեց ավելի առաջադեմ հաշվարկել Pi-ն՝ ուժային շարքերի և ինտեգրալների միջոցով։ Ինքը՝ Նյուտոնը, հաշվարկել է 16 տասնորդական նիշ, բայց դա չի նշել իր գրքերում, դա հայտնի է դարձել նրա մահից հետո: Նյուտոնը պնդում էր, որ նա հաշվարկել է Pi-ին զուտ ձանձրույթից դրդված:

Մոտավորապես նույն ժամանակ, այլ քիչ հայտնի մաթեմատիկոսներ նույնպես հանդես եկան և առաջարկեցին Pi թիվը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով հաշվարկելու նոր բանաձևեր։

Օրինակ՝ աստղագիտության ուսուցիչ Ջոն Մաչինի կողմից 1706թ.-ին Փի-ն հաշվարկելու համար օգտագործված բանաձևը՝ PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239): Օգտագործելով վերլուծական մեթոդներ՝ Մաչինը այս բանաձևից դուրս բերեց Pi թիվը մինչև հարյուր տասնորդական:

Ի դեպ, նույն 1706 թվականին Pi թիվը հունարեն տառի տեսքով ստացավ պաշտոնական նշանակում. Ուիլյամ Ջոնսն այն օգտագործեց մաթեմատիկայի իր աշխատանքում ՝ վերցնելով հունարեն «ծայրամաս» բառի առաջին տառը, որը նշանակում է «շրջանակ»: »: Մեծն Լեոնհարդ Էյլերը, ծնված 1707 թվականին, հանրահռչակեց այս անվանումը, որն այժմ հայտնի է ցանկացած դպրոցականի համար:

Մինչ համակարգիչների դարաշրջանը, մաթեմատիկոսները կենտրոնանում էին հնարավորինս շատ նշաններ հաշվարկելու վրա: Այս առումով երբեմն զավեշտալի բաներ էին առաջանում։ Սիրողական մաթեմատիկոս Վ. Շենքսը 1875 թվականին հաշվարկել է Pi-ի 707 նիշ։ Այս յոթ հարյուր նշանները հավերժացել են 1937 թվականին Փարիզի բացահայտումների պալատի պատին: Սակայն ինը տարի անց ուշադիր մաթեմատիկոսները պարզեցին, որ միայն առաջին 527 նիշերն են ճիշտ հաշվարկված։ Թանգարանը ստիպված է եղել զգալի ծախսեր կատարել սխալը շտկելու համար. այժմ բոլոր թվերը ճիշտ են։

Երբ հայտնվեցին համակարգիչները, Pi-ի թվանշանների թիվը սկսեց հաշվարկվել բոլորովին աներևակայելի կարգերով։

Առաջին էլեկտրոնային համակարգիչներից մեկը՝ ENIAC-ը, որը ստեղծվել է 1946 թվականին, ուներ հսկայական չափսեր և այնքան ջերմություն առաջացրեց, որ սենյակը տաքացավ մինչև 50 աստիճան Ցելսիուս, հաշվարկեց Pi-ի առաջին 2037 թվանշանները: Այս հաշվարկը մեքենայից խլեց 70 ժամ:

Քանի որ համակարգիչները բարելավվում էին, Pi-ի մասին մեր գիտելիքներն ավելի ու ավելի էին գնում դեպի անսահմանություն: 1958 թվականին հաշվարկվել է թվի 10 հազար նիշ։ 1987 թվականին ճապոնացիները հաշվարկել են 10,013,395 նիշ։ 2011 թվականին ճապոնացի հետազոտող Շիգերու Հոնդոն գերազանցել է 10 տրիլիոն նիշի նշագիծը։

Էլ որտե՞ղ կարող եք հանդիպել Պիին:

Այսպիսով, հաճախ Pi թվի մասին մեր գիտելիքները մնում են դպրոցական մակարդակում, և մենք հաստատ գիտենք, որ այս թիվը անփոխարինելի է հիմնականում երկրաչափության մեջ։

Բացի շրջանագծի երկարության և տարածքի բանաձևերից, Pi թիվը օգտագործվում է էլիպսների, գնդերի, կոնների, գլանների, էլիպսոիդների և այլնի բանաձևերում. որոշ տեղերում բանաձևերը պարզ են և հեշտ հիշվող, բայց մյուսներում դրանք պարունակում են շատ բարդ ինտեգրալներ։

Այնուհետև մաթեմատիկական բանաձևերում կարող ենք հանդիպել Pi թիվը, որտեղ առաջին հայացքից երկրաչափությունը չի երևում։ Օրինակ՝ 1/(1-x^2)-ի անորոշ ինտեգրալը հավասար է Pi-ին։

Pi-ն հաճախ օգտագործվում է սերիաների վերլուծության մեջ: Օրինակ, ահա մի պարզ շարք, որը համընկնում է Pi-ին.

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Սերիաներից Pi-ն ամենաանսպասելիորեն հայտնվում է հայտնի Riemann zeta ֆունկցիայում։ Անհնար է դրա մասին հակիրճ խոսել, միայն ասենք, որ մի օր Pi թիվը կօգնի գտնել պարզ թվերի հաշվարկման բանաձև:

Եվ բացարձակապես զարմանալի է. Pi-ն հայտնվում է մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ «արքայական» բանաձևերից երկուսում՝ Ստիրլինգի բանաձևում (որն օգնում է գտնել գործոնային և գամմա ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը) և Էյլերի բանաձևում (որը միացնում է հինգ մաթեմատիկական հաստատուն):

Այնուամենայնիվ, հավանականությունների տեսության մաթեմատիկոսներին սպասվում էր ամենաանսպասելի հայտնագործությունը։ Այնտեղ է նաև Pi թիվը։

Օրինակ, երկու թվերի համեմատաբար պարզ լինելու հավանականությունը 6/PI^2 է։

Պին հայտնվում է 18-րդ դարում ձևակերպված Բուֆոնի ասեղ նետելու խնդրի մեջ. որքա՞ն է հավանականությունը, որ գծված թղթի վրա նետված ասեղը հատի տողերից մեկը։ Եթե ​​ասեղի երկարությունը L է, իսկ գծերի միջև հեռավորությունը՝ L, և r > L, ապա մենք կարող ենք մոտավորապես հաշվարկել Pi-ի արժեքը՝ օգտագործելով 2L/rPI հավանականության բանաձևը: Պարզապես պատկերացրեք՝ մենք կարող ենք Pi-ն ստանալ պատահական իրադարձություններից: Եվ ի դեպ, Pi-ն առկա է հավանականության նորմալ բաշխման մեջ, հայտնվում է հայտնի Գաուսի կորի հավասարման մեջ։ Արդյո՞ք սա նշանակում է, որ Pi-ն ավելի հիմնարար է, քան պարզապես շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը:

Պիին կարող ենք հանդիպել նաև ֆիզիկայում։ Պին հայտնվում է Կուլոնի օրենքում, որը նկարագրում է երկու լիցքերի փոխազդեցության ուժը, Կեպլերի երրորդ օրենքում, որը ցույց է տալիս Արեգակի շուրջ մոլորակի պտույտի ժամանակաշրջանը և նույնիսկ հայտնվում է ջրածնի ատոմի էլեկտրոնային ուղեծրերի դասավորության մեջ։ Եվ ամենաանհավանականն այն է, որ Pi թիվը թաքնված է Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքի` քվանտային ֆիզիկայի հիմնարար օրենքի բանաձևում:

Պիի գաղտնիքները

Կառլ Սագանի «Կոնտակտ» վեպում, որի վրա հիմնված է համանուն ֆիլմը, այլմոլորակայինները հերոսուհուն ասում են, որ Պիի նշանների մեջ կա Աստծո գաղտնի ուղերձը։ Որոշակի դիրքից թվի թվերը դադարում են պատահական լինել և ներկայացնում են մի ծածկագիր, որում գրված են Տիեզերքի բոլոր գաղտնիքները:

Այս վեպն իրականում արտացոլում էր մի առեղծված, որը զբաղեցրել է ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսների միտքը. Արդյո՞ք Pi-ն նորմալ թիվ է, որի թվանշանները ցրված են հավասար հաճախականությամբ, թե՞ այս թվի հետ ինչ-որ բան այն չէ: Եվ չնայած գիտնականները հակված են առաջին տարբերակին (բայց չեն կարող դա ապացուցել), Pi թիվը շատ խորհրդավոր է թվում։ Մի ճապոնացի մի անգամ հաշվարկել է, թե քանի անգամ են 0-ից 9 թվերը հայտնվում Pi-ի առաջին տրիլիոն թվանշաններում: Եվ ես տեսա, որ 2, 4 և 8 թվերն ավելի տարածված էին, քան մյուսները։ Սա կարող է լինել այն ակնարկներից մեկը, որ Pi-ն ամբողջովին նորմալ չէ, և դրա թվերն իսկապես պատահական չեն:

Եկեք հիշենք այն ամենը, ինչ կարդում ենք վերևում և հարցնենք ինքներս մեզ՝ ի՞նչ այլ իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ թիվ է այդքան հաճախ հանդիպում իրական աշխարհում:

Եվ սպասվում են ավելի շատ տարօրինակություններ: Օրինակ, Pi-ի առաջին քսան նիշերի գումարը 20 է, իսկ առաջին 144 թվանշանների գումարը հավասար է «գազանի թվին» 666:

Ամերիկյան «Կասկածյալ» հեռուստասերիալի գլխավոր հերոս, պրոֆեսոր Ֆինչը ուսանողներին ասել է, որ Pi թվի անսահմանության պատճառով նրանում կարելի է գտնել թվերի ցանկացած համակցություն՝ սկսած ձեր ծննդյան ամսաթվի թվերից մինչև ավելի բարդ թվեր։ . Օրինակ, 762 դիրքում կա վեց ինը հաջորդականություն: Այս դիրքը կոչվում է Ֆեյնմանի կետ հայտնի ֆիզիկոսի անունով, ով նկատել է այս հետաքրքիր համադրությունը։

Մենք նաև գիտենք, որ Pi թիվը պարունակում է 0123456789 հաջորդականությունը, սակայն այն գտնվում է 17,387,594,880-րդ թվանշանի վրա։

Այս ամենը նշանակում է, որ Pi թվի անսահմանության մեջ կարելի է գտնել ոչ միայն թվերի հետաքրքիր համակցություններ, այլ նաև «Պատերազմի և խաղաղության» կոդավորված տեքստը, Աստվածաշունչը և նույնիսկ Տիեզերքի Գլխավոր Գաղտնիքը, եթե այդպիսիք կա:

Ի դեպ, Աստվածաշնչի մասին. Մաթեմատիկայի հայտնի հանրահայտարար Մարտին Գարդները 1966թ.-ին հայտարարեց, որ Pi-ի միլիոներորդ թվանշանը (այդ ժամանակ դեռ անհայտ) կլինի 5 թիվը: Նա իր հաշվարկները բացատրեց նրանով, որ Աստվածաշնչի անգլերեն տարբերակում 3-րդ. գիրք, 14-րդ գլուխ, 16 հատված (3-14-16) յոթերորդ բառը պարունակում է հինգ տառ. Միլիոներորդ ցուցանիշը հասել է ութ տարի անց: Դա թիվ հինգն էր։

Սրանից հետո արժե՞ պնդել, որ Pi թիվը պատահական է։

Pi-ի ցանկացած մեծ թվով նշանների հաշվարկման համար նախորդ մեթոդն այլևս հարմար չէ: Բայց կան մեծ թվով հաջորդականություններ, որոնք շատ ավելի արագ են մոտենում Pi-ին: Եկեք օգտագործենք, օրինակ, Գաուսի բանաձևը.

Այս բանաձևի ապացույցը դժվար չէ, ուստի մենք այն բաց կթողնենք։

Ծրագրի աղբյուրի կոդը, ներառյալ «երկար թվաբանությունը»

Ծրագիրը հաշվարկում է Pi-ի առաջին թվանշանների NbDigits-ը: Արկտանի հաշվարկման ֆունկցիան կոչվում է արկտան, քանի որ արկտան (1/p) = արկկոտ(p), սակայն հաշվարկն իրականացվում է ըստ Թեյլորի բանաձևի, որը հատուկ է արկտանգենսի համար, այն է՝ արկտան (x) = x - x 3 /3: + x 5 /5 - .. x=1/p, ինչը նշանակում է arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Հաշվարկները կատարվում են ռեկուրսիվ. գումարի նախորդ տարրը բաժանվում է և տալիս է. հաջորդը։