Ինչպես ստուգել ֆունկցիայի հավասարությունը: Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ: Նույնիսկ գործառույթների օրինակներ
- Փոխարինեք դրականները ֆունկցիայի մեջ թվային արժեքներ x (\displaystyle x)և համապատասխան բացասական թվային արժեքներ: Օրինակ, հաշվի առնելով գործառույթը f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Դրա մեջ փոխարինեք հետևյալ արժեքները x (\displaystyle x):
Ստուգեք՝ արդյոք ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է Y առանցքի նկատմամբ։Սիմետրիա նշանակում է գրաֆիկի հայելային պատկեր՝ կապված օրդինատների առանցքի հետ: Եթե Y առանցքի աջ կողմում գտնվող գրաֆիկի հատվածը (անկախ փոփոխականի դրական արժեքները) նույնն է, ինչ Y առանցքի ձախ կողմում գտնվող գրաֆիկի հատվածը (անկախ փոփոխականի բացասական արժեքները. ), գրաֆիկը սիմետրիկ է Y առանցքի նկատմամբ։Եթե ֆունկցիան սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ, ֆունկցիան զույգ է։
Ստուգեք՝ արդյոք ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։Ծագումը կոորդինատներով կետն է (0,0): Ծագման վերաբերյալ համաչափությունը նշանակում է, որ դրական արժեք է y (\displaystyle y)(դրական արժեքով x (\displaystyle x)) համապատասխանում է բացասական արժեքի y (\displaystyle y)(բացասական արժեքով x (\displaystyle x)), և հակառակը։ Կենտ ֆունկցիաները ծագման սիմետրիա ունեն:
Ստուգեք՝ արդյոք ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի որևէ համաչափություն։Ֆունկցիայի վերջին տեսակն այն ֆունկցիան է, որի գրաֆիկը չունի համաչափություն, այսինքն՝ չկա հայելային պատկեր և՛ օրդինատների առանցքի, և՛ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ։ Օրինակ, հաշվի առնելով գործառույթը.
- Փոխարինեք մի քանի դրական և համապատասխան բացասական արժեքներ ֆունկցիայի մեջ x (\displaystyle x):
- Ստացված արդյունքների համաձայն՝ չկա սիմետրիա։ Արժեքներ y (\displaystyle y)հակադիր արժեքների համար x (\displaystyle x)չեն համընկնում և հակադիր չեն։ Այսպիսով, ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:
- Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ գործառույթը f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)կարելի է գրել այսպես. f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Այս ձևով գրվելիս ֆունկցիան հայտնվում է նույնիսկ այն պատճառով, որ կա զույգ ցուցիչ: Բայց այս օրինակը ցույց է տալիս, որ ֆունկցիայի տեսակը չի կարող արագ որոշվել, եթե անկախ փոփոխականը փակված է փակագծերում։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է բացել փակագծերը և վերլուծել ստացված ցուցանիշները։
Որոնք այս կամ այն չափով ծանոթ էին ձեզ։ Այնտեղ նաև նշվել է, որ ֆունկցիայի հատկությունների պաշարն աստիճանաբար կհամալրվի։ Այս բաժնում կքննարկվեն երկու նոր հատկություններ:
Սահմանում 1.
y = f(x), x є X ֆունկցիան կանչվում է, եթե անգամ X բազմությունից x արժեքի համար գործում է f (-x) = f (x) հավասարությունը:
Սահմանում 2.
y = f(x), x є X ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե X բազմությունից x արժեքի համար գործում է f (-x) = -f (x) հավասարությունը:
Ապացուցեք, որ y = x 4 զույգ ֆունկցիա է:
Լուծում. Մենք ունենք՝ f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4: Բայց (-x) 4 = x 4: Սա նշանակում է, որ ցանկացած x-ի համար գործում է f(-x) = f(x) հավասարությունը, այսինքն. ֆունկցիան հավասար է։
Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ y - x 2, y = x 6, y - x 8 ֆունկցիաները զույգ են։
Ապացուցեք, որ y = x 3 ~ կենտ ֆունկցիա։
Լուծում. Մենք ունենք՝ f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3: Բայց (-x) 3 = -x 3: Սա նշանակում է, որ ցանկացած x-ի համար գործում է f (-x) = -f (x) հավասարությունը, այսինքն. ֆունկցիան տարօրինակ է։
Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ y = x, y = x 5, y = x 7 ֆունկցիաները կենտ են:
Դուք և ես արդեն մեկ անգամ չէ, որ համոզվել ենք, որ մաթեմատիկայի նոր տերմիններն ամենից հաճախ «երկրային» ծագում ունեն, այսինքն. դրանք ինչ-որ կերպ կարելի է բացատրել: Դա տեղի է ունենում ինչպես զույգ, այնպես էլ կենտ ֆունկցիաների դեպքում: Տես՝ y - x 3, y = x 5, y = x 7 կենտ ֆունկցիաներ են, մինչդեռ y = x 2, y = x 4, y = x 6 զույգ ֆունկցիաներ են: Եվ ընդհանրապես, y = x» ձևի ցանկացած ֆունկցիայի համար (ներքևում մենք հատուկ կուսումնասիրենք այս ֆունկցիաները), որտեղ n-ը բնական թիվ է, կարող ենք եզրակացնել. եթե n-ը կենտ թիվ է, ապա y = x» ֆունկցիան է. տարօրինակ; եթե n-ը զույգ թիվ է, ապա y = xn ֆունկցիան զույգ է:
Կան նաև ֆունկցիաներ, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ։ Այդպիսին է, օրինակ, y = 2x + 3 ֆունկցիան: Իրոք, f(1) = 5, և f (-1) = 1: Ինչպես տեսնում եք, այստեղ, հետևաբար, ոչ նույնականությունն է f(-x) =: f ( x), ոչ էլ ինքնությունը f(-x) = -f(x):
Այսպիսով, ֆունկցիան կարող է լինել զույգ, կենտ կամ ոչ մեկը:
Ուսումնասիրելով այն հարցը, թե արդյոք տրված գործառույթըԶույգ կամ կենտ սովորաբար կոչվում է հավասարության համար ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:
1 և 2 սահմանումները վերաբերում են ֆունկցիայի արժեքներին x և -x կետերում: Սա ենթադրում է, որ ֆունկցիան սահմանված է և՛ x, և՛ -x կետում: Սա նշանակում է, որ -x կետը պատկանում է x կետի հետ միաժամանակ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին։ Եթե X թվային բազմությունը իր յուրաքանչյուր x տարրի հետ պարունակում է նաև հակառակ տարրը՝ x, ապա X-ը կոչվում է սիմետրիկ բազմություն։ Ասենք, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) սիմետրիկ բազմություններ են, մինչդեռ \).
Քանի որ \(x^2\geqslant 0\) , ուրեմն (*) հավասարման ձախ կողմը մեծ է կամ հավասար \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)-ին։
Այսպիսով, հավասարությունը (*) կարող է ճշմարիտ լինել միայն այն դեպքում, երբ հավասարման երկու կողմերը հավասար են \(\mathrm(tg)^2\,1\)-ին: Իսկ սա նշանակում է, որ \[\ սկիզբ (դեպքեր) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \վերջ (դեպքեր)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Հետևաբար, \(a=-\mathrm(tg)\,1\) արժեքը մեզ հարմար է։
Պատասխան.
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Առաջադրանք 2 #3923
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը \
սիմետրիկ ծագման վերաբերյալ.
Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, ապա այդպիսի ֆունկցիան կենտ է, այսինքն՝ \(f(-x)=-f(x)\) գործում է տիրույթից ցանկացած \(x\)-ի համար։ ֆունկցիայի սահմանումը։ Այսպիսով, պահանջվում է գտնել այն պարամետրերի արժեքները, որոնց համար \(f(-x)=-f(x).\)
\[\սկիզբ(հավասարեցված) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\աջ)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\աջ)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \վերջ (հավասարեցված)\]
Վերջին հավասարումը պետք է բավարարվի բոլոր \(x\)-ի համար \(f(x)\-ի տիրույթից), հետևաբար, \(\sin(2\pi a)=0 \Աջ սլաք a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Պատասխան.
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Առաջադրանք 3 #3069
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար \ հավասարումը ունի 4 լուծում, որտեղ \(f\) հավասարաչափ պարբերական ֆունկցիա է \(T=\dfrac(16)3\) ժամանակով: սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, և \(f(x)=ax^2\) համար \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Առաջադրանք բաժանորդներից)
Քանի որ \(f(x)\) զույգ ֆունկցիան է, դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ, հետևաբար, երբ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Այսպիսով, երբ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), և սա \(\dfrac(16)3\) երկարության հատված է, \(f(x)=ax^2\) ֆունկցիան։
1) Թող \(a>0\) . Այնուհետև \(f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը կունենա հետևյալ տեսքը. 
Այնուհետև, որպեսզի հավասարումը ունենա 4 լուծում, անհրաժեշտ է, որ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) գրաֆիկը անցնի \(A\) կետով. 
Հետևաբար, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավաքված)\աջ: \quad\Ձախ աջ սլաք\չորս \ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(հավասարեցված) \end( հավաքված)\ճիշտ\]Քանի որ \(a>0\) , ապա \(a=\dfrac(18)(23)\) հարմար է:
2) Թող \(ա<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Անհրաժեշտ է, որ \(g(x)\) գրաֆիկն անցնի \(B\) կետով. \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(հավասարեցված) \end(հավաքված)\աջ։\]Քանի որ \(ա<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Այն դեպքը, երբ \(a=0\) հարմար չէ, քանի որ այդ ժամանակից \(f(x)=0\) բոլոր \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) և հավասարումը կունենա միայն 1 արմատ:
Պատասխան.
\(a\in \ձախ\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\աջ\)\)
Առաջադրանք 4 #3072
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\)-ի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \
ունի առնվազն մեկ արմատ:
(Առաջադրանք բաժանորդներից)
Եկեք վերագրենք հավասարումը ձևով \
և դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) և \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
\(g(x)\) ֆունկցիան զույգ է և ունի նվազագույն կետ \(x=0\) (և \(g(0)=49\)):
\(f(x)\) ֆունկցիան \(x>0\)-ի համար նվազում է, իսկ \(x-ի համար<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Իրոք, երբ \(x>0\) երկրորդ մոդուլը դրականորեն կբացվի (\(|x|=x\)), հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչպես կբացվի առաջին մոդուլը, \(f(x)\) հավասար կլինի մինչև \( kx+A\), որտեղ \(A\) \(a\)-ի արտահայտությունն է, իսկ \(k\)-ը հավասար է կամ \(-9\) կամ \(-3\)-ին: Երբ \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Գտնենք \(f\) արժեքը առավելագույն կետում՝ \ 
Որպեսզի հավասարումը ունենա առնվազն մեկ լուծում, անհրաժեշտ է, որ \(f\) և \(g\) ֆունկցիաների գրաֆիկները ունենան առնվազն մեկ հատման կետ։ Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \ \\]
Պատասխան.
\(a\in \(-7\)\բաժակ\)
Առաջադրանք 5 #3912
Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը
Գտեք \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \
ունի վեց տարբեր լուծումներ:
Կատարենք փոխարինումը \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Այնուհետև հավասարումը կվերցնի ձևը \
Մենք աստիճանաբար կգրենք այն պայմանները, որոնց դեպքում սկզբնական հավասարումը կունենա վեց լուծում:
Նշենք, որ քառակուսի հավասարումը \((*)\) կարող է ունենալ առավելագույնը երկու լուծում: Ցանկացած խորանարդ հավասարում \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երեք լուծում։ Հետևաբար, եթե \((*)\) հավասարումն ունի երկու տարբեր լուծում (դրական!, քանի որ \(t\) պետք է լինի զրոյից մեծ) \(t_1\) և \(t_2\), ապա հակառակը դարձնելով. փոխարինում, մենք ստանում ենք. \[\ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավաքված)\աջ։\]Քանի որ ցանկացած դրական թիվ որոշ չափով կարող է ներկայացվել որպես \(\sqrt2\), օրինակ, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), ապա բազմության առաջին հավասարումը կվերագրվի ձևով \
Ինչպես արդեն ասացինք, ցանկացած խորանարդ հավասարում չունի երեքից ավելի լուծում, հետևաբար, բազմության յուրաքանչյուր հավասարում կունենա երեքից ոչ ավելի լուծում: Սա նշանակում է, որ ամբողջ հավաքածուն կունենա ոչ ավելի, քան վեց լուծում:
Սա նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը վեց լուծում ունենալու համար, քառակուսի հավասարումը \((*)\) պետք է ունենա երկու տարբեր լուծում, և ստացված յուրաքանչյուր խորանարդ հավասարում (բազմությունից) պետք է ունենա երեք տարբեր լուծում (և ոչ թե մեկ լուծում): մեկ հավասարումը պետք է համընկնի որևէ մեկի հետ, երկրորդի որոշմամբ):
Ակնհայտ է, որ եթե \((*)\) քառակուսի հավասարումը ունի մեկ լուծում, ապա մենք չենք ստանա սկզբնական հավասարման վեց լուծում:
Այսպիսով, լուծման ծրագիրը պարզ է դառնում։ Եկեք կետ առ կետ գրենք այն պայմանները, որոնք պետք է պահպանվեն։
1) Որպեսզի \((*)\) հավասարումը ունենա երկու տարբեր լուծումներ, դրա դիսկրիմինատորը պետք է լինի դրական. \
2) Անհրաժեշտ է նաև, որ երկու արմատներն էլ լինեն դրական (քանի որ \(t>0\) ): Եթե երկու արմատների արտադրյալը դրական է, և դրանց գումարը դրական է, ապա արմատներն իրենք դրական կլինեն։ Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ (դեպքեր) 12-a>0\\-(a-10)>0\վերջ (դեպքեր)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Այսպիսով, մենք արդեն ապահովել ենք մեզ երկու տարբեր դրական արմատներ \(t_1\) և \(t_2\) .
3)
Եկեք նայենք այս հավասարմանը \
Ինչի՞ համար \(t\) այն կունենա երեք տարբեր լուծումներ: Այսպիսով, մենք որոշեցինք, որ \((*)\) հավասարման երկու արմատները պետք է գտնվեն \((1;4)\) միջակայքում: Ինչպե՞ս գրել այս պայմանը: ուներ չորս տարբեր արմատներ՝ տարբեր զրոյից, որոնք \(x=0\-ի հետ միասին ներկայացնում էին թվաբանական առաջընթաց: Նկատի ունեցեք, որ \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ֆունկցիան զույգ է, ինչը նշանակում է, որ եթե \(x_0\) հավասարման արմատն է \( (*)\ ) , ապա \(-x_0\) նույնպես կլինի դրա արմատը։ Այնուհետև անհրաժեշտ է, որ այս հավասարման արմատները լինեն աճման կարգով դասավորված թվեր՝ \(-2d, -d, d, 2d\) (այնուհետև \(d>0\)): Այդ ժամանակ է, որ այս հինգ թվերը կկազմեն թվաբանական առաջընթաց (\(d\) տարբերությամբ): Որպեսզի այս արմատները լինեն \(-2d, -d, d, 2d\) թվերը, անհրաժեշտ է, որ \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) թվերը լինեն արմատները: հավասարումը \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Այնուհետև, Վիետայի թեորեմի համաձայն. Եկեք վերագրենք հավասարումը ձևով \
և դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) և \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Որպեսզի հավասարումը ունենա առնվազն մեկ լուծում, անհրաժեշտ է, որ \(f\) և \(g\) ֆունկցիաների գրաֆիկները ունենան առնվազն մեկ հատման կետ։ Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \
Լուծելով համակարգերի այս փաթեթը՝ մենք ստանում ենք պատասխանը. \\]
Պատասխան. \(a\in \(-2\)\բաժակ\) - (մաթ.) y = f (x) ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ եթե այն չի փոխվում, երբ անկախ փոփոխականը փոխում է միայն նշանը, այսինքն՝ եթե f (x) = f (x): Եթե f (x) = f (x), ապա f (x) ֆունկցիան կոչվում է կենտ: Օրինակ, y = cosx, y = x2... ... F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա F (x) = f (x) հավասարությունը բավարարող ֆունկցիա։ Տեսեք զույգ և կենտ ֆունկցիաները... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա Հատուկ գործառույթներ, որոնք ներմուծել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է.Մաթյոն 1868 թվականին էլիպսաձև թաղանթի տատանումների վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս։ Մ.ֆ. օգտագործվում են նաև էլիպսաձև գլանում էլեկտրամագնիսական ալիքների տարածումն ուսումնասիրելիս... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան «Մեղքի» հարցումը վերահղված է այստեղ. տես նաև այլ իմաստներ։ «վրկ» հարցումը վերահղված է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ։ «Sine» հարցումը վերահղված է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ... Վիքիպեդիա Գործառույթների զրոներ Զրոները ֆունկցիայի գրաֆիկի առանցքի հետ հատման կետերն են Օ՜
Ֆունկցիայի հավասարություն Կենտ հավասարության ֆունկցիա Բարձրացնող գործառույթ Նվազող ֆունկցիա Գտե՛ք միապաղաղության ինտերվալներ՝ օգտագործելով Աճող և նվազող ֆունկցիայի միջակայքերը Տեղական առավելագույնը Տեղական նվազագույն Գործառույթների հաճախականությունը Նշանի կայունության միջակայքերը Գործառույթի շարունակականություն Ընդմիջման կետեր Օրինակ:Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծեք այն՝ y = x 3 – 3x
Դիտարկենք \(f(x)=x^3-3x^2+4\) ֆունկցիան:
Կարող է ֆակտորիզացվել. \
Հետևաբար, նրա զրոներն են՝ \(x=-1;2\) .
Եթե գտնենք \(f"(x)=3x^2-6x\) ածանցյալը, ապա կստանանք երկու ծայրահեղ կետ \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Հետևաբար, գծապատկերն ունի հետևյալ տեսքը. 
Մենք տեսնում ենք, որ ցանկացած հորիզոնական տող \(y=k\) , որտեղ \(0
Այսպիսով, ձեզ անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ (դեպքեր) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Անմիջապես նկատենք նաև, որ եթե \(t_1\) և \(t_2\) թվերը տարբեր են, ապա \(\log_(\sqrt2)t_1\) և \(\log_(\sqrt2)t_2\) թվերը կլինեն. տարբեր, ինչը նշանակում է հավասարումներ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Եվ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)տարբեր արմատներ կունենան:
Համակարգը \((**)\) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. \[\սկիզբ (դեպքեր) 1
Մենք հստակ չենք գրի արմատները։
Դիտարկենք \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) ֆունկցիան: Դրա գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով, որն ունի x առանցքի հետ հատման երկու կետ (այս պայմանը մենք գրել ենք 1-ին պարբերությունում)): Ինչպիսի՞ն պետք է լինի դրա գրաֆիկը, որպեսզի x առանցքի հետ հատման կետերը լինեն \((1;4)\) միջակայքում: Այսպիսով. 
Նախ, ֆունկցիայի \(g(1)\) և \(g(4)\) արժեքները \(1\) և \(4\) կետերում պետք է դրական լինեն, և երկրորդը, գագաթը. պարաբոլան \(t_0\ ) նույնպես պետք է լինի \((1;4)\) միջակայքում: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել համակարգը. \[\սկիզբ (դեպքեր) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
\(g(x)\) ֆունկցիան ունի առավելագույն կետ \(x=0\) (և \(g_(\text(վերև))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Զրո ածանցյալ՝ \(x=0\) . Երբ \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) համար՝ \(g"<0\)
.
\(f(x)\) ֆունկցիան \(x>0\)-ի համար մեծանում է, իսկ \(x-ի համար<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Իրոք, երբ \(x>0\) առաջին մոդուլը կբացվի դրականորեն (\(|x|=x\)), հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչպես կբացվի երկրորդ մոդուլը, \(f(x)\) հավասար կլինի մինչև \( kx+A\), որտեղ \(A\) \(a\)-ի արտահայտությունն է, իսկ \(k\)-ը հավասար է կամ \(13-10=3\) կամ \(13+10): =23\) . Երբ \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Գտնենք \(f\) արժեքը նվազագույն կետում. \
Ֆունկցիայի զրոն արժեքն է X, որի դեպքում ֆունկցիան դառնում է 0, այսինքն՝ f(x)=0։
Ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե որևէ մեկի համար Xսահմանման տիրույթից գործում է f(-x) = f(x) հավասարությունը 
Զույգ ֆունկցիան սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ OU
Ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե այդպիսիք կան Xսահմանման տիրույթից գործում է f(-x) = -f(x) հավասարությունը: 
Կենտ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։
Այն ֆունկցիան, որը ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, կոչվում է ընդհանուր ֆունկցիա: 
f(x) ֆունկցիան աճում է, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին, այսինքն. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1) 
F(x) ֆունկցիան կոչվում է նվազող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին, այսինքն. x 2 >x 1 → f(x 2) 
Կոչվում են այն ընդմիջումները, որոնց ընթացքում ֆունկցիան կա՛մ միայն նվազում է, կա՛մ միայն մեծանում միապաղաղության ընդմիջումներով. f(x) ֆունկցիան ունի միապաղաղության 3 միջակայք.
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3 ; +∞) 
Կետ x 0կոչվում է տեղական առավելագույն կետ, եթե այդպիսիք կան Xկետի մոտակայքից x 0անհավասարությունը գործում է՝ f(x 0) > f(x) 
Կետ x 0կոչվում է տեղական նվազագույն կետ, եթե այդպիսիք կան Xկետի մոտակայքից x 0անհավասարությունը պահպանվում է՝ f(x 0)< f(x).
Տեղական առավելագույն միավորները և տեղական նվազագույն միավորները կոչվում են տեղական ծայրահեղ կետեր: 
x 1, x 2 - տեղական ծայրահեղ կետեր:
f(x) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական՝ կետով Տ, եթե որևէ մեկի համար Xգործում է f(x+T) = f(x) հավասարությունը: 
Այն ինտերվալները, որոնց վրա ֆունկցիան կա՛մ միայն դրական է, կա՛մ միայն բացասական, կոչվում են հաստատուն նշանի միջակայքեր: 
f(x)>0 x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
F(x) ֆունկցիան կոչվում է շարունակական x 0 կետում, եթե x → x 0 ֆունկցիայի սահմանը հավասար է այս կետի ֆունկցիայի արժեքին, այսինքն. 
.
Այն կետերը, որոնցում խախտվում է շարունակականության պայմանը, կոչվում են ֆունկցիայի ընդմիջման կետեր։ 
x 0- ընդմիջման կետ:Գործառույթների գծագրման ընդհանուր սխեման
1. Գտե՛ք D(y) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը։
2. Գտե՛ք ֆունկցիաների գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։
3. Քննեք ֆունկցիան զույգի կամ կենտի համար:
4. Ուսումնասիրեք ֆունկցիան պարբերականության համար:
5. Գտե՛ք միապաղաղության միջակայքերը և ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը:
6. Գտե՛ք ֆունկցիայի ուռուցիկության միջակայքերը և թեքության կետերը:
7. Գտե՛ք ֆունկցիայի ասիմպտոտները:
8. Հետազոտության արդյունքների հիման վրա կառուցիր գրաֆիկ:
8) Ուսումնասիրության արդյունքների հիման վրա մենք գծագրում ենք ֆունկցիան. 
Բեռնվում է...