Ինչպես ընդլայնել գումարի լոգարիթմը: Լոգարիթմական հավասարում. հիմնական բանաձևեր և տեխնիկա. Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա

Լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններՄաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նվիրված է խնդիր C3 . Յուրաքանչյուր ուսանող պետք է սովորի լուծել C3 առաջադրանքները մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունից, եթե նա ցանկանում է առաջիկա քննությունը հանձնել «լավ» կամ «գերազանց»: Այս հոդվածը ներկայացնում է համառոտ ակնարկհաճախ հանդիպող լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններ, ինչպես նաև դրանց լուծման հիմնական մեթոդներ:

Այսպիսով, եկեք նայենք մի քանի օրինակների այսօր: լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններ, որոնք ուսանողներին առաջարկվել են մաթեմատիկայի նախորդ տարիների միասնական պետական ​​քննության տարբերակներում։ Բայց դա կսկսվի ամփոփումհիմնական տեսական կետերը, որոնք մեզ անհրաժեշտ կլինեն դրանք լուծելու համար:

Լոգարիթմական ֆունկցիա

Սահմանում

Ձևի գործառույթը

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

կանչեց լոգարիթմական ֆունկցիա.

Հիմնական հատկություններ

Լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները y=log ա x:

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկն է լոգարիթմական կոր:

Լոգարիթմների հատկությունները

Արտադրանքի լոգարիթմերկու դրական թիվ գումարին հավասարԱյս թվերի լոգարիթմները.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Քաղորդի լոգարիթմըերկու դրական թիվ հավասար է այս թվերի լոգարիթմների տարբերությանը.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Եթե աԵվ բ ա≠ 1, ապա ցանկացած թվի համար r հավասարությունը ճիշտ է:

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Հավասարությունգերան ա տ=log ա ս, Որտեղ ա > 0, ա ≠ 1, տ > 0, ս> 0, վավեր է, եթե և միայն, եթե տ = ս.

Եթե ա, բ, գդրական թվեր են, և աԵվ գտարբերվում են միասնությունից, ապա հավասարությունից ( Նոր լոգարիթմային բազա տեղափոխվելու բանաձև):

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Թեորեմ 1.Եթե զ(x) > 0 և է(x) > 0, ապա լոգարիթմական հավասարումների գրանցամատյանը ա զ(x) = գերան մի գ(x) (որտեղ ա > 0, ա≠ 1) համարժեք է հավասարմանը զ(x) = է(x).

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների լուծում

Օրինակ 1.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Ընդունելի արժեքների շրջանակը ներառում է միայն դրանք x, որի համար լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունը զրոյից մեծ է։ Այս արժեքները որոշվում են անհավասարությունների հետևյալ համակարգով.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Հաշվի առնելով դա

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

մենք ստանում ենք այն միջակայքը, որը սահմանում է այս լոգարիթմական հավասարման թույլատրելի արժեքների միջակայքը.

Ելնելով թեորեմ 1-ից, որի բոլոր պայմաններն այստեղ բավարարված են, մենք անցնում ենք հետևյալ համարժեք քառակուսային հավասարմանը.

Ընդունելի արժեքների շրջանակը ներառում է միայն առաջին արմատը:

Պատասխան. x = 7.

Օրինակ 2.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքը որոշվում է անհավասարությունների համակարգով.

ql-right-eqno">

Լուծում.Հավասարման ընդունելի արժեքների շրջանակը որոշվում է այստեղ հեշտությամբ. x > 0.

Մենք օգտագործում ենք փոխարինում.

Հավասարումը դառնում է.

Հակադարձ փոխարինում.

Երկուսն էլ պատասխանելգտնվում են հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքում, քանի որ դրանք դրական թվեր են:

Օրինակ 4.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Եկեք նորից սկսենք լուծումը՝ որոշելով հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքը։ Այն որոշվում է անհավասարությունների հետևյալ համակարգով.

ql-right-eqno">

Լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, ուստի ընդունելի արժեքների միջակայքում կարող ենք անցնել հետևյալ քառակուսային հավասարմանը.

Առաջին արմատը հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքում չէ, բայց երկրորդը:

Պատասխան. x = -1.

Օրինակ 5.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Մենք լուծումներ ենք փնտրելու արանքում x > 0, x≠1. Փոխակերպենք հավասարումը համարժեքի.

Երկուսն էլ պատասխանելգտնվում են հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքում:

Օրինակ 6.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Հավասարման թույլատրելի արժեքների միջակայքը սահմանող անհավասարությունների համակարգը այս անգամ ունի հետևյալ ձևը.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները, մենք հավասարումը վերածում ենք հավասարման, որը համարժեք է ընդունելի արժեքների միջակայքում.

Օգտագործելով նոր լոգարիթմային բազա տեղափոխվելու բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ընդունելի արժեքների շրջանակը ներառում է միայն մեկը պատասխանել: x = 4.

Հիմա անցնենք լոգարիթմական անհավասարություններ . Սա հենց այն է, ինչի հետ դուք ստիպված կլինեք զբաղվել մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության ժամանակ: Հետագա օրինակներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 2.Եթե զ(x) > 0 և է(x) > 0, ապա.
ժամը ա> 1 լոգարիթմական անհավասարության մատյան ա զ(x) > լոգ ա է(x) համարժեք է նույն նշանակության անհավասարությանը. զ(x) > է(x);
0-ին< ա < 1 логарифмическое неравенство log a զ(x) > լոգ ա է(x) համարժեք է հակառակ իմաստով անհավասարության. զ(x) < է(x).

Օրինակ 7.Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում.Սկսենք՝ սահմանելով անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը։ Լոգարիթմական ֆունկցիայի նշանի տակ արտահայտությունը պետք է ընդունի միայն դրական արժեքներ։ Սա նշանակում է, որ ընդունելի արժեքների ցանկալի միջակայքը որոշվում է հետևյալ անհավասարությունների համակարգով.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Քանի որ լոգարիթմի հիմքը մեկից փոքր թիվ է, համապատասխան լոգարիթմական ֆունկցիան կնվազի, և հետևաբար, ըստ թեորեմ 2-ի, անցումը հետևյալ քառակուսային անհավասարությանը համարժեք կլինի.

Ի վերջո, հաշվի առնելով ընդունելի արժեքների շրջանակը, մենք ստանում ենք պատասխանել:

Օրինակ 8.Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում.Եկեք նորից սկսենք՝ սահմանելով ընդունելի արժեքների միջակայքը.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Անհավասարության թույլատրելի արժեքների բազմության վրա մենք կատարում ենք համարժեք փոխակերպումներ.

Թեորեմ 2-ով կրճատումից և անհավասարության համարժեքին անցնելուց հետո մենք ստանում ենք.

Հաշվի առնելով ընդունելի արժեքների միջակայքը՝ մենք ստանում ենք վերջնականը պատասխանել:

Օրինակ 9.Լուծել լոգարիթմական անհավասարություն.

Լուծում.Ընդունելի անհավասարության արժեքների միջակայքը որոշվում է հետևյալ համակարգով.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Երևում է, որ ընդունելի արժեքների միջակայքում լոգարիթմի հիմքում արտահայտությունը միշտ մեծ է մեկից, և հետևաբար, ըստ Թեորեմ 2-ի, անցումը հետևյալ անհավասարությանը համարժեք կլինի.

Հաշվի առնելով ընդունելի արժեքների միջակայքը, մենք ստանում ենք վերջնական պատասխանը.

Օրինակ 10.Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում.

Անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը որոշվում է անհավասարությունների համակարգով.

Title="Տեղադրված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Մեթոդ IԵկեք օգտագործենք լոգարիթմի նոր հիմքի անցնելու բանաձևը և անցնենք անհավասարության, որը համարժեք է ընդունելի արժեքների միջակայքում:

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխակերպել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.

Դուք անպայման պետք է իմանաք այս կանոնները՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր հնարավոր չէ լուծել: Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ դուք կարող եք ամեն ինչ սովորել մեկ օրում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքերով երկու լոգարիթմներ ա xև մուտք ա y. Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

1. գերան ա x+ մատյան ա y=log ա (x · y);
2. գերան ա x- մատյան ա y=log ա (x : y).

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը հավասար է քանորդի լոգարիթմին։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է նույնական հիմքեր. Եթե ​​պատճառները տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

Մատյան 6 4 + մատյան 6 9.

Քանի որ լոգարիթմներն ունեն նույն հիմքերը, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 2 48 − log 2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 3 135 − log 3 5.

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3:

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն հաշվարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո լրիվ նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատերը կառուցված են այս փաստի վրա թեստեր. Այո, թեստի նման արտահայտությունները առաջարկվում են ամենայն լրջությամբ (երբեմն գրեթե առանց փոփոխության) միասնական պետական ​​քննության ժամանակ:

Ցուցանիշի դուրս բերում լոգարիթմից

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքը կամ արգումենտը հզորություն է: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ. ա > 0, ա ≠ 1, x> 0. Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլ նաև հակառակը, այսինքն. Դուք կարող եք թվերը մուտքագրել նախքան լոգարիթմի նշանը հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 7 49 6 .

Եկեք ազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ օգտագործելով առաջին բանաձևը.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

[Նկարի վերնագիր]

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը պարունակում է լոգարիթմ, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 2 4 ; 49 = 7 2: Մենք ունենք.

[Նկարի վերնագիր]

Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը որոշակի պարզաբանում է պահանջում։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարով։ Մենք այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցինք հզորությունների տեսքով և հանեցինք ցուցիչները՝ ստացանք «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչն ու հայտարարը պարունակում են նույն թիվը՝ log 2 7. Քանի որ log 2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը եղավ պատասխանը՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե պատճառները տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են գալիս նոր հիմնադրամին անցնելու բանաձևերը։ Եկեք դրանք ձևակերպենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի մատյան ա x. Հետո ցանկացած թվի համար գայնպիսին, որ գ> 0 և գ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

[Նկարի վերնագիր]

Մասնավորապես, եթե դնենք գ = x, ստանում ենք.

[Նկարի վերնագիր]

Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտնվում է հայտարարի մեջ:

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 5 16 log 2 25:

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների արգումենտները պարունակում են ճշգրիտ ուժեր: Դուրս բերենք ցուցիչները՝ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Հիմա եկեք «հակադարձենք» երկրորդ լոգարիթմը.

[Նկարի վերնագիր]

Քանի որ արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնները վերադասավորելիս, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, այնուհետև զբաղվեցինք լոգարիթմներով:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք սա և ազատվենք ցուցանիշներից.

[Նկարի վերնագիր]

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

[Նկարի վերնագիր]

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լինում թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն հետևյալ բանաձևերը.

Առաջին դեպքում համարը nդառնում է փաստարկի մեջ կանգնած աստիճանի ցուցիչ: Համար nկարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեք է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Դա այն է, ինչ կոչվում է. հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Փաստորեն, ինչ կլինի, եթե թիվը բբարձրացնել այնպիսի հզորության, որ թիվը բայս հզորությանը տալիս է թիվը ա? Ճիշտ է, դուք ստանում եք այս նույն թիվը ա. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը խրված են դրա վրա:

Նոր բազա տեղափոխելու բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

[Նկարի վերնագիր]

Նկատի ունեցեք, որ log 25 64 = log 5 8 - մենք պարզապես վերցրել ենք քառակուսին լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.

[Նկարի վերնագիր]

Եթե ​​որևէ մեկը չգիտի, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական ​​քննությունից :)

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար թե կարելի է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք լոգարիթմի սահմանման հետևանք են: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, զարմանալիորեն, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

1. գերան ա ա= 1-ը լոգարիթմական միավոր է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած հիմքի վրա ահենց այս հիմքից հավասար է մեկի:
2. գերան ա 1 = 0 լոգարիթմական զրո է: Հիմք ակարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե փաստարկը պարունակում է մեկ, ապա լոգարիթմը հավասար է զրոյի: Որովհետև ա 0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք դասի սկզբում խաբեության թերթիկը, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:

հարաբերակցությամբ

կարող է դրվել մյուս երկու թվերից որևէ մեկը գտնելու առաջադրանք: Եթե ​​տրված են a-ն և ապա N-ը, ապա դրանք հայտնաբերվում են ըստ աստիճանի: Եթե ​​N-ը և ապա a-ն տրված են՝ վերցնելով x աստիճանի արմատը (կամ բարձրացնելով այն հզորության): Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ տրված a-ին և N-ին, մենք պետք է գտնենք x-ը:

Թող N թիվը լինի դրական. a թիվը լինի դրական և ոչ հավասար մեկին.

Սահմանում. N թվի լոգարիթմը a հիմքի նկատմամբ այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել a-ն՝ N թիվը ստանալու համար. լոգարիթմը նշվում է

Այսպիսով, հավասարության մեջ (26.1) ցուցիչը գտնվում է որպես N-ի լոգարիթմ՝ a հիմքի նկատմամբ: Գրառումներ

ունեն նույն իմաստը. Հավասարությունը (26.1) երբեմն կոչվում է լոգարիթմների տեսության հիմնական նույնականացում. իրականում այն ​​արտահայտում է լոգարիթմ հասկացության սահմանումը։ Ըստ այս սահմանումը a լոգարիթմի հիմքը միշտ դրական է և տարբերվում է միասնությունից. N լոգարիթմական թիվը դրական է: Բացասական թվերն ու զրոն լոգարիթմ չունեն։ Կարելի է ապացուցել, որ տրված հիմքով ցանկացած թիվ ունի հստակ սահմանված լոգարիթմ։ Հետևաբար հավասարությունը ենթադրում է: Նկատի ունեցեք, որ պայմանն այստեղ էական է, հակառակ դեպքում եզրակացությունը արդարացված չէր, քանի որ հավասարությունը ճշմարիտ է x-ի և y-ի ցանկացած արժեքի համար:

Օրինակ 1. Գտեք

Լուծում. Թիվ ստանալու համար դուք պետք է 2-րդ հիմքը բարձրացնեք ուժի, հետևաբար:

Նման օրինակները լուծելիս կարող եք նշումներ կատարել հետևյալ ձևով.

Օրինակ 2. Գտեք .

Լուծում. մենք ունենք

Օրինակներ 1-ում և 2-ում մենք հեշտությամբ գտանք ցանկալի լոգարիթմը` ներկայացնելով լոգարիթմի թիվը որպես ռացիոնալ ցուցիչով բազայի հզորություն: Ընդհանուր դեպքում, օրինակ, և այլնի համար դա հնարավոր չէ անել, քանի որ լոգարիթմն ունի իռացիոնալ արժեք։ Ուշադրություն դարձնենք այս հայտարարության հետ կապված մեկ խնդրի. 12-րդ պարբերությունում մենք տվել ենք տվյալ դրական թվի ցանկացած իրական հզորության որոշման հնարավորության հայեցակարգը։ Սա անհրաժեշտ էր լոգարիթմների ներդրման համար, որոնք, ընդհանուր առմամբ, կարող են լինել իռացիոնալ թվեր։

Դիտարկենք լոգարիթմների որոշ հատկություններ:

Հատկություն 1. Եթե թիվը և հիմքը հավասար են, ապա լոգարիթմը հավասար է մեկի, և հակառակը, եթե լոգարիթմը հավասար է մեկին, ապա թիվը և հիմքը հավասար են։

Ապացույց. Թող Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ունենք և որտեղից

Եվ հակառակը, թող Հետո ըստ սահմանման

Հատկություն 2. Մեկից ցանկացած հիմքի լոգարիթմը հավասար է զրոյի:

Ապացույց. Լոգարիթմի սահմանմամբ (ցանկացած դրական հիմքի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի, տես (10.1)): Այստեղից

Ք.Ե.Դ.

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. եթե , ապա N = 1: Իսկապես, մենք ունենք .

Նախքան լոգարիթմների հաջորդ հատկությունը ձևակերպելը, եկեք համաձայնենք ասել, որ երկու a և b թվեր գտնվում են երրորդ c թվի նույն կողմում, եթե երկուսն էլ մեծ են c-ից կամ փոքր են c-ից: Եթե ​​այս թվերից մեկը մեծ է c-ից, իսկ մյուսը փոքր է c-ից, ապա մենք կասենք, որ դրանք գտնվում են c-ի հակառակ կողմերում:

Հատկություն 3. Եթե թիվն ու հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում, ապա լոգարիթմը դրական է. Եթե ​​թիվը և հիմքը գտնվում են մեկի հակառակ կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է:

3-ի հատկության ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ a-ի հզորությունը մեկից մեծ է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը դրական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ աստիճանը բացասական է։ Հզորությունը մեկից փոքր է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը բացասական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ ցուցանիշը դրական է:

Կան չորս դեպքեր, որոնք պետք է դիտարկել.

Մենք կսահմանափակվենք դրանցից առաջինը վերլուծելով, մնացածը ընթերցողն ինքնուրույն կքննարկի։

Թող այդ դեպքում հավասարության մեջ ցուցիչը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ հավասար է զրոյի, հետևաբար, դա դրական է, այսինքն՝ ինչպես պահանջվում է ապացուցել։

Օրինակ 3. Պարզի՛ր, թե ստորև բերված լոգարիթմներից որոնք են դրական, որոնք՝ բացասական.

Լուծում, ա) քանի որ 15 թիվը և 12 հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում.

բ) քանի որ 1000-ը և 2-ը գտնվում են միավորի մի կողմում. այս դեպքում կարևոր չէ, որ բազան ավելի մեծ լինի, քան լոգարիթմական թիվը.

գ) քանի որ 3.1-ը և 0.8-ը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում.

G) ; Ինչո՞ւ։

դ) ; Ինչո՞ւ։

Հետևյալ 4-6 հատկությունները հաճախ կոչվում են լոգարիթմավորման կանոններ. դրանք թույլ են տալիս իմանալով որոշ թվերի լոգարիթմները, գտնել դրանց արտադրյալի լոգարիթմները, դրանցից յուրաքանչյուրի քանորդը և աստիճանը։

Հատկություն 4 (արտադրանքի լոգարիթմի կանոն): Տրված հիմքի վրա մի քանի դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է նույն հիմքի վրա այս թվերի լոգարիթմների գումարին:

Ապացույց. Թող տրված թվերը դրական լինեն։

Նրանց արտադրյալի լոգարիթմի համար մենք գրում ենք հավասարությունը (26.1), որը սահմանում է լոգարիթմը.

Այստեղից մենք կգտնենք

Համեմատելով առաջին և վերջին արտահայտությունների ցուցիչները՝ ստանում ենք պահանջվող հավասարությունը.

Նշենք, որ պայմանը էական է. երկուսի արտադրյալի լոգարիթմ բացասական թվերիմաստ ունի, բայց այս դեպքում մենք ստանում ենք

Ընդհանուր առմամբ, եթե մի քանի գործոնների արտադրյալը դրական է, ապա դրա լոգարիթմը հավասար է այդ գործոնների բացարձակ արժեքների լոգարիթմների գումարին:

Հատկություն 5 (քանորդների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն). Դրական թվերի քանորդի լոգարիթմը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լոգարիթմների տարբերությանը, վերցված նույն հիմքում։ Ապացույց. Մենք հետևողականորեն գտնում ենք

Ք.Ե.Դ.

Հատկություն 6 (հզորության լոգարիթմի կանոն): Ցանկացած դրական թվի հզորության լոգարիթմը հավասար է այդ թվի լոգարիթմին՝ բազմապատկելով ցուցիչով։

Ապացույց. Եկեք նորից գրենք հիմնական ինքնությունը (26.1) համարի համար.

Ք.Ե.Դ.

Հետևանք. Դրական թվի արմատի լոգարիթմը հավասար է արմատականի լոգարիթմին, որը բաժանվում է արմատի ցուցիչի վրա.

Այս եզրակացության վավերականությունը կարելի է ապացուցել՝ պատկերացնելով, թե ինչպես և օգտագործելով հատկությունը 6:

Օրինակ 4. Վերցրեք լոգարիթմը a-ի հիմքում.

ա) (ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները b, c, d, e դրական են);

բ) (ենթադրվում է, որ):

Լուծում, ա) Այս արտահայտության մեջ հարմար է գնալ կոտորակային հզորությունների.

Ելնելով (26.5)-(26.7) հավասարություններից՝ այժմ կարող ենք գրել.

Նկատում ենք, որ թվերի լոգարիթմների վրա կատարվում են ավելի պարզ գործողություններ, քան բուն թվերը՝ թվերը բազմապատկելիս գումարվում են դրանց լոգարիթմները, բաժանելիս՝ հանվում և այլն։

Այդ իսկ պատճառով լոգարիթմներն օգտագործվում են հաշվողական պրակտիկայում (տես պարագրաֆ 29):

Լոգարիթմի հակադարձ գործողությունը կոչվում է հզորացում, այն է՝ հզորացումն այն գործողությունն է, որով թիվն ինքնին հայտնաբերվում է տվյալ թվի լոգարիթմից։ Ըստ էության, հզորացումը որևէ հատուկ գործողություն չէ. այն հանգում է նրան, որ հիմքը մինչև հզորություն (հավասար է թվի լոգարիթմին): «Պոտենցիացիա» տերմինը կարելի է համարել «արտահայտում» տերմինի հոմանիշը։

Հզորացնելիս պետք է օգտագործել լոգարիթմացման կանոններին հակադարձ կանոնները. լոգարիթմների գումարը փոխարինել արտադրյալի լոգարիթմով, լոգարիթմների տարբերությունը գործակիցի լոգարիթմով և այլն։ Մասնավորապես, եթե առջևում կա գործակից։ լոգարիթմի նշանի, ապա հզորացման ժամանակ այն պետք է տեղափոխվի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող ցուցիչ աստիճանների։

Օրինակ 5. Գտե՛ք N, եթե հայտնի է, որ

Լուծում. Հզորացման նոր ձևակերպված կանոնի հետ կապված՝ մենք այս հավասարության աջ կողմում գտնվող լոգարիթմների նշանների դիմաց կանգնած 2/3 և 1/3 գործակիցները կտեղափոխենք այս լոգարիթմների նշանների տակ գտնվող ցուցիչներ. մենք ստանում ենք

Այժմ լոգարիթմների տարբերությունը փոխարինում ենք քանորդի լոգարիթմով.

Այս հավասարումների շղթայում վերջին կոտորակը ստանալու համար մենք ազատեցինք նախորդ կոտորակը հայտարարի իռացիոնալությունից (բաժին 25):

Հատկություն 7. Եթե հիմքը մեկից մեծ է, ապա ավելի մեծ թիվունի ավելի մեծ լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվն ունի ավելի փոքր), եթե հիմքը մեկից փոքր է, ապա մեծ թիվն ունի ավելի փոքր լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվը՝ ավելի մեծ)։

Այս հատկությունը նույնպես ձևակերպված է որպես անհավասարությունների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն, որոնց երկու կողմերը դրական են.

Անհավասարությունների լոգարիթմները մեկից մեծ հիմքի վրա վերցնելիս անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ մեկից փոքր հիմքի վրա լոգարիթմ կազմելիս անհավասարության նշանը փոխվում է հակառակի (տես նաև պարբերություն 80):

Ապացույցը հիմնված է 5 և 3 հատկությունների վրա: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ Եթե , ապա և, հաշվի առնելով լոգարիթմները, մենք ստանում ենք.

(a-ն և N/M-ը գտնվում են միասնության նույն կողմում): Այստեղից

Հետևյալ դեպքում ընթերցողն ինքնուրույն կհասկանա դա:

Այս տեսանյութով ես սկսում եմ դասերի երկար շարք լոգարիթմական հավասարումների մասին: Այժմ ձեր առջեւ երեք օրինակ կա, որոնց հիման վրա մենք կսովորենք լուծել ամենաշատը պարզ առաջադրանքներ, որոնք կոչվում են այսպես. նախակենդանիներ.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Հիշեցնեմ, որ ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը հետևյալն է.

log a f(x) = b

Այս դեպքում կարևոր է, որ x փոփոխականը ներկա լինի միայն արգումենտի ներսում, այսինքն՝ միայն f (x) ֆունկցիայում։ Իսկ a և b թվերը պարզապես թվեր են, և ոչ մի դեպքում x փոփոխական պարունակող ֆունկցիաներ չեն։

Լուծման հիմնական մեթոդները

Նման կառույցները լուծելու բազմաթիվ եղանակներ կան։ Օրինակ, դպրոցի ուսուցիչներից շատերն առաջարկում են այս մեթոդը. Անմիջապես արտահայտեք f (x) ֆունկցիան՝ օգտագործելով բանաձևը զ ( x) = ա բ . Այսինքն՝ երբ հանդիպում ես ամենապարզ շինարարությանը, կարող ես անմիջապես անցնել լուծմանը՝ առանց լրացուցիչ գործողությունների ու կոնստրուկցիաների։

Այո, իհարկե, որոշումը ճիշտ կլինի։ Այնուամենայնիվ, այս բանաձեւի խնդիրն այն է, որ ուսանողների մեծ մասը չեմ հասկանում, որտեղից է այն գալիս և ինչու ենք a տառը բարձրացնում բ տառին:

Արդյունքում, ես հաճախ տեսնում եմ շատ նյարդայնացնող սխալներ, երբ, օրինակ, այս տառերը փոխանակվում են: Այս բանաձևը կա՛մ պետք է հասկանալի լինի, կա՛մ խցանված լինի, իսկ երկրորդ մեթոդը հանգեցնում է սխալների ամենաանպատեհ և ամենակարևոր պահերին՝ քննությունների, թեստերի և այլնի ժամանակ:

Այդ իսկ պատճառով ես իմ բոլոր աշակերտներին առաջարկում եմ հրաժարվել ստանդարտ դպրոցի բանաձևից և օգտագործել լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու երկրորդ մոտեցումը, որը, ինչպես հավանաբար կռահեցիք անունից, կոչվում է. կանոնական ձև.

Կանոնական ձևի գաղափարը պարզ է. Նորից նայենք մեր խնդրին՝ ձախում ունենք log a, իսկ a տառով հասկանում ենք թիվ, և ոչ մի դեպքում x փոփոխական պարունակող ֆունկցիա։ Հետևաբար, այս նամակը ենթակա է բոլոր սահմանափակումներին, որոնք դրվում են լոգարիթմի հիմքի վրա։ այն է՝

1 ≠ a > 0

Մյուս կողմից, նույն հավասարումից մենք տեսնում ենք, որ լոգարիթմը պետք է հավասար լինի b թվին, և այս տառի վրա որևէ սահմանափակում չի դրվում, քանի որ այն կարող է վերցնել ցանկացած արժեք՝ և՛ դրական, և՛ բացասական։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչ արժեքներ է վերցնում f(x) ֆունկցիան:

Եվ այստեղ մենք հիշում ենք մեր հրաշալի կանոնը, որ ցանկացած b թիվը կարող է ներկայացվել որպես լոգարիթմ a հիմքի վրա՝ b-ի հզորությամբ.

b = log a a b

Ինչպե՞ս հիշել այս բանաձևը: Այո, շատ պարզ: Գրենք հետևյալ շինարարությունը.

b = b 1 = b log a a

Իհարկե, այս դեպքում առաջանում են այն բոլոր սահմանափակումները, որոնք սկզբում գրել ենք։ Այժմ օգտագործենք լոգարիթմի հիմնական հատկությունը և b բազմապատկիչը ներկայացնենք որպես a-ի հզորություն։ Մենք ստանում ենք.

b = b 1 = b log a a = log a a b

Արդյունքում, սկզբնական հավասարումը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

վերջ։ Նոր ֆունկցիան այլևս չի պարունակում լոգարիթմ և կարող է լուծվել ստանդարտ հանրահաշվական տեխնիկայի միջոցով:

Իհարկե, ինչ-որ մեկը հիմա կառարկի. ինչու՞ էր ընդհանրապես անհրաժեշտ ինչ-որ կանոնական բանաձև հորինել, ինչու՞ կատարել երկու լրացուցիչ ավելորդ քայլ, եթե հնարավոր եղավ անմիջապես անցնել սկզբնական ձևավորումից վերջնական բանաձևին: Այո, թեկուզ միայն այն պատճառով, որ ուսանողների մեծ մասը չի հասկանում, թե որտեղից է գալիս այս բանաձևը և, հետևաբար, պարբերաբար սխալներ են թույլ տալիս այն կիրառելիս:

Բայց գործողությունների այս հաջորդականությունը, որը բաղկացած է երեք քայլից, թույլ է տալիս լուծել սկզբնական լոգարիթմական հավասարումը, նույնիսկ եթե չես հասկանում, թե որտեղից է գալիս վերջնական բանաձեւը։ Ի դեպ, այս մուտքը կոչվում է կանոնական բանաձև.

log a f (x) = log a a b

Կանոնական ձևի հարմարավետությունը կայանում է նաև նրանում, որ այն կարող է օգտագործվել լոգարիթմական հավասարումների շատ լայն դասի լուծման համար, և ոչ միայն ամենապարզները, որոնք մենք այսօր դիտարկում ենք:

Լուծումների օրինակներ

Հիմա եկեք նայենք իրական օրինակներ. Այսպիսով, եկեք որոշենք.

log 0,5 (3x − 1) = −3

Եկեք վերաշարադրենք այն այսպես.

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Շատ ուսանողներ շտապում են և փորձում են անմիջապես բարձրացնել 0,5 թիվը այն հզորության, որը մեզ հասել է սկզբնական խնդրից: Իսկապես, երբ դուք արդեն լավ պատրաստված եք նման խնդիրների լուծմանը, կարող եք անմիջապես կատարել այս քայլը:

Այնուամենայնիվ, եթե դուք հիմա նոր եք սկսել ուսումնասիրել այս թեման, ապա ավելի լավ է ոչ մի տեղ չշտապել՝ վիրավորական սխալներից խուսափելու համար։ Այսպիսով, մենք ունենք կանոնական ձև: Մենք ունենք.

3x − 1 = 0,5 −3

Սա այլևս լոգարիթմական հավասարում չէ, այլ x փոփոխականի նկատմամբ գծային: Այն լուծելու համար նախ նայենք −3-ի 0,5 թվին։ Նշենք, որ 0.5-ը 1/2 է:

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Բոլորը տասնորդականներփոխակերպեք սովորականի, երբ լուծում եք լոգարիթմական հավասարումը:

Մենք վերագրում ենք և ստանում.

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Վերջ, ստացանք պատասխանը։ Առաջին խնդիրը լուծված է.

Երկրորդ առաջադրանք

Անցնենք երկրորդ առաջադրանքին.

Ինչպես տեսնում ենք, այս հավասարումն այլևս ամենապարզը չէ։ Եթե ​​միայն այն պատճառով, որ ձախ կողմում տարբերություն կա, և ոչ մի լոգարիթմ մեկ բազայի նկատմամբ:

Հետեւաբար, մենք պետք է ինչ-որ կերպ ձերբազատվենք այս տարբերությունից: IN այս դեպքումամեն ինչ շատ պարզ է. Եկեք մանրամասն նայենք հիմքերին. ձախ կողմում արմատի տակ գտնվող թիվը.

Ընդհանուր առաջարկություն. բոլոր լոգարիթմական հավասարումներում փորձեք ազատվել ռադիկալներից, այսինքն՝ արմատներով մուտքերից և անցնել ուժային ֆունկցիաներին, պարզապես այն պատճառով, որ այդ հզորությունների ցուցիչները հեշտությամբ դուրս են բերվում լոգարիթմի նշանից և, ի վերջո, այդպիսին. գրառումը զգալիորեն պարզեցնում և արագացնում է հաշվարկները: Եկեք այն գրենք այսպես.

Այժմ հիշենք լոգարիթմի ուշագրավ հատկությունը. ուժերը կարող են ստացվել ինչպես փաստարկից, այնպես էլ հիմքից: Հիմքերի դեպքում տեղի է ունենում հետևյալը.

log a k b = 1/k լոգա բ

Այսինքն՝ այն թիվը, որը եղել է բազային հզորության մեջ, առաջ է բերվում և միաժամանակ շրջվում, այսինքն՝ դառնում է փոխադարձ թիվ։ Մեր դեպքում բազային աստիճանը 1/2 էր։ Հետևաբար, մենք կարող ենք այն հանել որպես 2/1: Մենք ստանում ենք.

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս քայլով ոչ մի դեպքում չպետք է ազատվեք լոգարիթմներից: Հիշեք 4-5-րդ դասարանների մաթեմատիկան և գործողությունների հերթականությունը՝ սկզբում կատարվում է բազմապատկում, հետո միայն գումարում և հանում: Այս դեպքում 10 տարրից հանում ենք նույն տարրերից մեկը.

9 log 5 x = 18
մատյան 5 x = 2

Այժմ մեր հավասարումն այնպիսի տեսք ունի, ինչպիսին պետք է: Սա ամենապարզ շինարարությունն է, և մենք այն լուծում ենք՝ օգտագործելով կանոնական ձևը.

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

վերջ։ Երկրորդ խնդիրը լուծված է.

Երրորդ օրինակ

Անցնենք երրորդ առաջադրանքին.

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Հիշեցնեմ հետևյալ բանաձևը.

log b = log 10 b

Եթե ​​ինչ-ինչ պատճառներով ձեզ շփոթեցնում է նշագրման գրանցամատյանը b , ապա բոլոր հաշվարկները կատարելիս կարող եք պարզապես գրել log 10 b : Դուք կարող եք աշխատել տասնորդական լոգարիթմների հետ այնպես, ինչպես մյուսների հետ՝ վերցնել ուժեր, գումարել և ներկայացնել ցանկացած թվեր lg 10 ձևով:

Այս հատկություններն են, որոնք մենք այժմ կօգտագործենք խնդիրը լուծելու համար, քանի որ դա ամենապարզը չէ, որը մենք գրել ենք մեր դասի հենց սկզբում:

Նախ, նշեք, որ lg 5-ի դիմաց 2-րդ գործակիցը կարող է ավելացվել և դառնալ 5-ի հիմքի հզորություն: Բացի այդ, 3-րդ ազատ անդամը կարող է ներկայացվել նաև որպես լոգարիթմ. դա շատ հեշտ է դիտարկել մեր նշումից:

Ինքներդ դատեք. ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես տեղեկամատյան 10 հիմքի վրա:

3 = մատյան 10 10 3 = մատյան 10 3

Ստացված փոփոխությունները հաշվի առնելով վերաշարադրենք սկզբնական խնդիրը.

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25000

Մեր առջև կրկին կանոնական ձևն է, և մենք այն ստացել ենք առանց փոխակերպման փուլն անցնելու, այսինքն՝ ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումը ոչ մի տեղ չի հայտնվել։

Դա հենց այն է, ինչի մասին ես խոսեցի հենց դասի սկզբում: Կանոնական ձևը թույլ է տալիս լուծել խնդիրների ավելի լայն դաս, քան դպրոցական ստանդարտ բանաձևը, որը տալիս են դպրոցի ուսուցիչների մեծ մասը:

Դե, վերջ, մենք ազատվում ենք տասնորդական լոգարիթմի նշանից և ստանում ենք պարզ գծային կառուցվածք.

x + 3 = 25000
x = 24,997

Բոլորը! Խնդիրը լուծված է։

Ծանոթություն շրջանակի մասին

Այստեղ ես ուզում եմ մի կարևոր նկատառում անել սահմանման շրջանակի վերաբերյալ։ Անշուշտ հիմա կգտնվեն ուսանողներ և ուսուցիչներ, ովքեր կասեն. «Երբ մենք լուծում ենք արտահայտությունները լոգարիթմներով, մենք պետք է հիշենք, որ f (x) արգումենտը պետք է լինի զրոյից մեծ»: Այս առումով տրամաբանական հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ մենք չպահանջեցինք, որ այս անհավասարությունը բավարարվի դիտարկված խնդիրներից որևէ մեկում։

Մի անհանգստացեք: Այս դեպքերում լրացուցիչ արմատներ չեն հայտնվի: Եվ սա եւս մեկ հիանալի հնարք է, որը թույլ է տալիս արագացնել լուծումը։ Պարզապես իմացեք, որ եթե խնդրի մեջ x փոփոխականը հանդիպում է միայն մեկ տեղում (ավելի ճիշտ՝ մեկ լոգարիթմի մեկ արգումենտում), իսկ մեր դեպքում ոչ մի այլ տեղ x փոփոխականը չի հայտնվում, ապա գրեք սահմանման տիրույթը։ կարիք չկա, քանի որ այն կկատարվի ավտոմատ կերպով։

Ինքներդ դատեք. առաջին հավասարման մեջ մենք ստացանք, որ 3x − 1, այսինքն՝ փաստարկը պետք է հավասար լինի 8-ի: Սա ինքնաբերաբար նշանակում է, որ 3x − 1-ը մեծ կլինի զրոյից:

Նույն հաջողությամբ կարող ենք գրել, որ երկրորդ դեպքում x-ը պետք է հավասար լինի 5 2-ի, այսինքն՝ անշուշտ զրոյից մեծ է։ Եվ երրորդ դեպքում, որտեղ x + 3 = 25,000, այսինքն, կրկին ակնհայտորեն մեծ է զրոյից: Այլ կերպ ասած, շրջանակը բավարարվում է ավտոմատ կերպով, բայց միայն այն դեպքում, եթե x-ը տեղի է ունենում միայն մեկ լոգարիթմի արգումենտում։

Դա այն ամենն է, ինչ դուք պետք է իմանաք ամենապարզ խնդիրները լուծելու համար: Միայն այս կանոնը փոխակերպման կանոնների հետ միասին թույլ կտա լուծել խնդիրների շատ լայն դաս։

Բայց եկեք անկեղծ լինենք. այս տեխնիկան վերջապես հասկանալու համար, սովորելու, թե ինչպես կիրառել լոգարիթմական հավասարման կանոնական ձևը, բավական չէ միայն մեկ տեսադաս դիտելը: Այսպիսով, ներբեռնեք ընտրանքները հենց հիմա անկախ որոշում, որոնք կցված են այս տեսադասին և սկսում են լուծել այս երկու ինքնուրույն աշխատանքներից գոնե մեկը։

Ձեզանից բառացիորեն մի քանի րոպե կպահանջվի: Բայց նման մարզումների ազդեցությունը շատ ավելի մեծ կլինի, քան եթե դուք պարզապես դիտեիք այս վիդեո դասը:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ հասկանալ լոգարիթմական հավասարումները: Օգտագործեք կանոնական ձևը, պարզեցրեք արտահայտությունները՝ օգտագործելով լոգարիթմների հետ աշխատելու կանոնները, և դուք չեք վախենա որևէ խնդրից: Դա այն ամենն է, ինչ ես ունեմ այսօրվա համար:

Հաշվի առնելով սահմանման տիրույթը

Այժմ խոսենք լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի մասին, և թե ինչպես է դա ազդում լոգարիթմական հավասարումների լուծման վրա։ Դիտարկենք ձևի կառուցվածքը

log a f (x) = b

Նման արտահայտությունը կոչվում է ամենապարզը՝ այն պարունակում է միայն մեկ ֆունկցիա, իսկ a և b թվերը պարզապես թվեր են, և ոչ մի դեպքում ֆունկցիա, որը կախված է x փոփոխականից։ Դա կարելի է լուծել շատ պարզ. Պարզապես պետք է օգտագործել բանաձևը.

b = log a a b

Այս բանաձևը լոգարիթմի հիմնական հատկություններից մեկն է, և մեր սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք հետևյալը.

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Սա ծանոթ բանաձև է դպրոցական դասագրքեր. Շատ ուսանողների մոտ հավանաբար հարց կառաջանա. քանի որ սկզբնական արտահայտության մեջ f (x) ֆունկցիան գտնվում է log նշանի տակ, դրա վրա դրվում են հետևյալ սահմանափակումները.

f(x) > 0

Այս սահմանափակումը կիրառվում է, քանի որ բացասական թվերի լոգարիթմը գոյություն չունի: Ուրեմն, միգուցե այս սահմանափակման արդյունքում պետք է պատասխանների ստուգո՞ւմ մտցվի։ Միգուցե դրանք պետք է տեղադրվեն աղբյուրի մեջ:

Ոչ, ամենապարզ լոգարիթմական հավասարումների դեպքում լրացուցիչ ստուգումն ավելորդ է: Եվ ահա թե ինչու. Նայեք մեր վերջնական բանաձևին.

f (x) = a b

Փաստն այն է, որ a թիվը ամեն դեպքում 0-ից մեծ է - այս պահանջը նույնպես դրված է լոգարիթմի կողմից: Ա թիվը հիմքն է: Այս դեպքում բ թվի նկատմամբ սահմանափակումներ չեն դրվում: Բայց սա նշանակություն չունի, քանի որ անկախ նրանից, թե ինչ աստիճան ենք մենք բարձրացնում դրական թիվ, ելքում դեռ դրական թիվ ենք ստանալու։ Այսպիսով, f (x) > 0 պահանջը բավարարվում է ավտոմատ կերպով:

Այն, ինչ իսկապես արժե ստուգել, ​​մատյան նշանի տակ գտնվող ֆունկցիայի տիրույթն է: Կարող են լինել բավականին բարդ կառուցվածքներ, որոնց լուծման գործընթացում անպայման պետք է աչալուրջ լինել: Եկեք տեսնենք.

Առաջին առաջադրանքը.

Առաջին քայլ՝ փոխակերպեք աջ կողմում գտնվող կոտորակը: Մենք ստանում ենք.

Մենք ազատվում ենք լոգարիթմի նշանից և ստանում ենք սովորական իռացիոնալ հավասարումը.

Ստացված արմատներից մեզ միայն առաջինն է սազում, քանի որ երկրորդ արմատը զրոյից փոքր է։ Միակ պատասխանը կլինի 9 թիվը, վերջ, խնդիրը լուծված է։ Լրացուցիչ ստուգումներ չեն պահանջվում՝ համոզվելու համար, որ լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունը 0-ից մեծ է, քանի որ այն ոչ միայն 0-ից մեծ է, այլ, ըստ հավասարման պայմանի, այն հավասար է 2-ի: Հետևաբար, «զրոյից մեծ» պահանջը »- ինքնաբերաբար բավարարվում է:

Անցնենք երկրորդ առաջադրանքին.

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է. Մենք վերագրում ենք շինարարությունը՝ փոխարինելով եռակի.

Մենք ազատվում ենք լոգարիթմի նշաններից և ստանում իռացիոնալ հավասարում.

Մենք երկու կողմերն էլ քառակուսի ենք անում՝ հաշվի առնելով սահմանափակումները և ստանում.

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ստացված հավասարումը լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով.

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Բայց x = −6 մեզ չի համապատասխանում, քանի որ եթե այս թիվը փոխարինենք մեր անհավասարությամբ, կստանանք.

−6 + 4 = −2 < 0

Մեր դեպքում պահանջվում է, որ այն լինի 0-ից մեծ կամ ծայրահեղ դեպքում հավասար։ Բայց x = −1 մեզ հարմար է.

−1 + 4 = 3 > 0

Միակ պատասխանը մեր դեպքում կլինի x = −1: Սա է լուծումը: Վերադառնանք մեր հաշվարկների հենց սկզբին։

Այս դասի հիմնական առավելությունն այն է, որ ձեզ հարկավոր չէ պարզ լոգարիթմական հավասարումներում ֆունկցիայի սահմանափակումները ստուգել: Քանի որ լուծման գործընթացում բոլոր սահմանափակումները բավարարվում են ինքնաբերաբար:

Այնուամենայնիվ, սա ոչ մի կերպ չի նշանակում, որ դուք կարող եք ընդհանրապես մոռանալ ստուգման մասին: Լոգարիթմական հավասարման վրա աշխատելու գործընթացում այն ​​կարող է վերածվել իռացիոնալի, որը կունենա իր սահմանափակումներն ու պահանջները աջ կողմի համար, ինչը մենք այսօր տեսանք երկու տարբեր օրինակներով։

Ազատորեն լուծեք նման խնդիրները և հատկապես զգույշ եղեք, եթե վեճի մեջ արմատ կա:

Տարբեր հիմքերով լոգարիթմական հավասարումներ

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել լոգարիթմական հավասարումները և դիտել ևս երկու բավականին հետաքրքիր տեխնիկա, որոնցով մոդայիկ է ավելի բարդ կառուցվածքներ լուծելը։ Բայց նախ, եկեք հիշենք, թե ինչպես են լուծվում ամենապարզ խնդիրները.

log a f (x) = b

Այս մուտքագրում a-ն և b-ը թվեր են, իսկ f (x) ֆունկցիայի մեջ x փոփոխականը պետք է ներկա լինի, և միայն այնտեղ, այսինքն՝ x-ը պետք է լինի միայն արգումենտում: Մենք կվերափոխենք նման լոգարիթմական հավասարումները՝ օգտագործելով կանոնական ձևը։ Դա անելու համար նշեք, որ

b = log a a b

Ավելին, a b-ն հենց փաստարկ է: Այս արտահայտությունը վերաշարադրենք հետևյալ կերպ.

log a f (x) = log a a b

Սա հենց այն է, ինչին մենք փորձում ենք հասնել, որպեսզի լինի լոգարիթմ, որը հիմնում է a-ն և՛ ձախ, և՛ աջ: Այս դեպքում մենք կարող ենք, պատկերավոր ասած, խաչել լոգերի նշանները, և մաթեմատիկական տեսանկյունից կարելի է ասել, որ մենք ուղղակի հավասարեցնում ենք փաստարկները.

f (x) = a b

Արդյունքում մենք կստանանք նոր արտահայտություն, որը շատ ավելի հեշտ կլինի լուծել։ Եկեք այս կանոնը կիրառենք մեր այսօրվա խնդիրների վրա։

Այսպիսով, առաջին դիզայնը.

Նախ նշեմ, որ աջ կողմում կոտորակ է, որի հայտարարը լոգն է: Երբ տեսնում եք այսպիսի արտահայտություն, լավ գաղափար է հիշել լոգարիթմների հրաշալի հատկությունը.

Ռուսերեն թարգմանված՝ սա նշանակում է, որ ցանկացած լոգարիթմ կարող է ներկայացվել որպես երկու լոգարիթմների քանորդ՝ ցանկացած c հիմքով: Իհարկե 0< с ≠ 1.

Այսպիսով, այս բանաձևն ունի մեկ հիանալի հատուկ դեպք, երբ c փոփոխականը հավասար է փոփոխականին բ. Այս դեպքում մենք ստանում ենք նման շինարարություն.

Սա հենց այն կառուցվածքն է, որը մենք տեսնում ենք մեր հավասարման աջ կողմում գտնվող նշանից: Այս կոնստրուկցիան փոխարինենք log a b-ով, ստանում ենք.

Այլ կերպ ասած, սկզբնական առաջադրանքի համեմատ մենք փոխեցինք արգումենտը և լոգարիթմի հիմքը։ Փոխարենը, մենք ստիպված եղանք հակադարձել կոտորակը:

Հիշենք, որ ցանկացած աստիճան կարող է ստացվել հիմքից՝ համաձայն հետևյալ կանոնի.

Այլ կերպ ասած, k գործակիցը, որը հիմքի հզորությունն է, արտահայտվում է շրջված կոտորակի տեսքով։ Ներկայացնենք այն որպես շրջված կոտորակ.

Կոտորակի գործակիցը չի կարող առաջ մնալ, քանի որ այս դեպքում մենք չենք կարողանա այս նշումը ներկայացնել որպես կանոնական ձև (ի վերջո, կանոնական ձևով երկրորդ լոգարիթմից առաջ լրացուցիչ գործոն չկա): Հետևաբար, փաստարկին ավելացնենք 1/4 կոտորակը որպես հզորություն.

Այժմ մենք հավասարեցնում ենք այն փաստարկները, որոնց հիմքերը նույնն են (և մեր հիմքերը իրականում նույնն են), և գրում ենք.

x + 5 = 1

x = −4

վերջ։ Մենք ստացանք առաջին լոգարիթմական հավասարման պատասխանը. Խնդրում ենք նկատի ունենալ. սկզբնական խնդրի մեջ x փոփոխականը հայտնվում է միայն մեկ մատյանում և այն հայտնվում է իր արգումենտում: Հետևաբար, տիրույթը ստուգելու կարիք չկա, և մեր x = −4 թիվը իսկապես պատասխանն է։

Այժմ անցնենք երկրորդ արտահայտությանը.

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Այստեղ, բացի սովորական լոգարիթմներից, մենք ստիպված կլինենք աշխատել log f (x) հետ։ Ինչպե՞ս լուծել նման հավասարումը: Անպատրաստ ուսանողին կարող է թվալ, թե սա ինչ-որ բարդ խնդիր է, բայց իրականում ամեն ինչ կարելի է լուծել տարրական ճանապարհով:

Ուշադիր նայեք lg 2 log 2 7. Ի՞նչ կարող ենք ասել դրա մասին: log-ի և lg-ի հիմքերն ու փաստարկները նույնն են, և դա պետք է որոշ պատկերացումներ տա: Եվս մեկ անգամ հիշենք, թե ինչպես են ուժերը հանվում լոգարիթմի նշանի տակից.

log a b n = nlog a b

Այլ կերպ ասած, այն, ինչ արգումենտում b-ի ուժն էր, դառնում է գործոն հենց լոգի դիմաց: Եկեք կիրառենք այս բանաձևը lg 2 log 2 7 արտահայտության վրա: Մի վախեցեք lg 2-ից. սա ամենատարածված արտահայտությունն է: Դուք կարող եք այն վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Բոլոր կանոնները, որոնք վերաբերում են ցանկացած այլ լոգարիթմի, վավեր են դրա համար: Մասնավորապես, առջևի գործոնը կարող է ավելացվել փաստարկի աստիճանին։ Եկեք գրենք այն.

Շատ հաճախ ուսանողները ուղղակիորեն չեն տեսնում այս գործողությունը, քանի որ լավ չէ մեկ գերան մտնել մյուսի նշանի տակ: Իրականում սրա մեջ հանցավոր ոչինչ չկա։ Ավելին, մենք ստանում ենք մի բանաձև, որը հեշտ է հաշվարկել, եթե հիշում եք կարևոր կանոն.

Այս բանաձևը կարելի է համարել և՛ որպես սահմանում, և՛ որպես դրա հատկություններից մեկը։ Ամեն դեպքում, եթե փոխակերպում եք լոգարիթմական հավասարումը, դուք պետք է իմանաք այս բանաձևը ճիշտ այնպես, ինչպես ցանկացած թվի լոգարիթմական պատկերը:

Վերադառնանք մեր առաջադրանքին. Մենք այն վերագրում ենք՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ հավասարության նշանից աջ առաջին անդամը պարզապես հավասար է lg 7-ին: Մենք ունենք.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Lg 7-ը տեղափոխենք ձախ, ստանում ենք.

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Մենք հանում ենք ձախ կողմում գտնվող արտահայտությունները, քանի որ դրանք ունեն նույն հիմքը.

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք մեր ստացած հավասարմանը: Այն գործնականում կանոնական ձևն է, բայց աջ կողմում կա −3 գործակից: Եկեք այն ավելացնենք ճիշտ lg արգումենտին.

log 8 = log (x + 4) −3

Մեր առջև լոգարիթմական հավասարման կանոնական ձևն է, ուստի մենք հատում ենք lg նշանները և հավասարեցնում փաստարկները.

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Վե՛րջ: Մենք լուծեցինք երկրորդ լոգարիթմական հավասարումը. Այս դեպքում լրացուցիչ ստուգումներ չեն պահանջվում, քանի որ սկզբնական խնդրի մեջ x-ն առկա էր միայն մեկ արգումենտում։

Թույլ տվեք կրկին թվարկել այս դասի հիմնական կետերը:

Հիմնական բանաձևը, որը դասավանդվում է այս էջի բոլոր դասերում, որոնք նվիրված են լոգարիթմական հավասարումների լուծմանը, կանոնական ձևն է։ Եվ մի վախեցեք այն փաստից, որ դպրոցական դասագրքերից շատերը սովորեցնում են ձեզ այլ կերպ լուծել նման խնդիրները: Այս գործիքը շատ արդյունավետ է աշխատում և թույլ է տալիս լուծել խնդիրների շատ ավելի լայն դաս, քան ամենապարզները, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք մեր դասի հենց սկզբում:

Բացի այդ, լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար օգտակար կլինի իմանալ հիմնական հատկությունները: Մասնավորապես.

1. Մեկ բազա տեղափոխելու բանաձևը և հատուկ դեպքը, երբ մենք հակադարձում ենք գրանցամատյանը (սա շատ օգտակար էր մեզ առաջին խնդրին);
2. Լոգարիթմի նշանից ուժեր գումարելու և հանելու բանաձևը. Այստեղ շատ ուսանողներ խրվում են և չեն տեսնում, որ հանված և ներդրված աստիճանը կարող է ինքնին պարունակել log f (x): Դրանում վատ բան չկա: Մի գերանը կարող ենք ներմուծել ըստ մյուսի նշանի և միևնույն ժամանակ էապես պարզեցնել խնդրի լուծումը, ինչն էլ նկատում ենք երկրորդ դեպքում։

Եզրափակելով, ես կցանկանայի ավելացնել, որ այս դեպքերից յուրաքանչյուրում պարտադիր չէ ստուգել սահմանման տիրույթը, քանի որ ամենուր x փոփոխականը առկա է լոգարի միայն մեկ նշանով և միևնույն ժամանակ գտնվում է իր փաստարկի մեջ։ Արդյունքում, շրջանակի բոլոր պահանջները կատարվում են ավտոմատ կերպով:

Խնդիրներ փոփոխական բազայի հետ

Այսօր մենք կանդրադառնանք լոգարիթմական հավասարումների, որոնք շատ ուսանողների համար թվում են ոչ ստանդարտ, եթե ոչ ամբողջությամբ անլուծելի: Խոսքը արտահայտությունների մասին է, որոնք հիմնված են ոչ թե թվերի, այլ փոփոխականների և նույնիսկ ֆունկցիաների վրա։ Մենք կլուծենք նման կոնստրուկցիաները՝ օգտագործելով մեր ստանդարտ տեխնիկան, այն է՝ կանոնական ձևի միջոցով:

Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչպես են լուծվում ամենապարզ խնդիրները՝ հիմնվելով սովորական թվերի վրա։ Այսպիսով, ամենապարզ շինարարությունը կոչվում է

log a f (x) = b

Նման խնդիրներ լուծելու համար մենք կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևը.

b = log a a b

Մենք վերագրում ենք մեր սկզբնական արտահայտությունը և ստանում.

log a f (x) = log a a b

Այնուհետև մենք հավասարեցնում ենք փաստարկները, այսինքն՝ գրում ենք.

f (x) = a b

Այսպիսով, մենք ազատվում ենք գերանի նշանից և լուծում ենք սովորական խնդիրը։ Այս դեպքում լուծումից ստացված արմատները կլինեն սկզբնական լոգարիթմական հավասարման արմատները։ Բացի այդ, այն գրառումը, երբ և՛ ձախը, և՛ աջը գտնվում են նույն լոգարիթմի մեջ՝ նույն հիմքով, կոչվում է կանոնական ձև։ Հենց նման ռեկորդային է, որ մենք կփորձենք նվազեցնել այսօրվա դիզայնը: Այսպիսով, եկեք գնանք:

Առաջին առաջադրանքը.

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1-ը փոխարինի՛ր լոգով x − 2 (x − 2) 1 ։ Այն աստիճանը, որը մենք դիտարկում ենք փաստարկում, իրականում b թիվը է, որը կանգնած է հավասարության նշանից աջ: Այսպիսով, եկեք վերաշարադրենք մեր արտահայտությունը. Մենք ստանում ենք.

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Ի՞նչ ենք մենք տեսնում։ Մեր առջև լոգարիթմական հավասարման կանոնական ձևն է, այնպես որ մենք կարող ենք ապահով կերպով հավասարեցնել փաստարկները: Մենք ստանում ենք.

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Բայց լուծումը դրանով չի ավարտվում, քանի որ այս հավասարումը համարժեք չէ սկզբնականին։ Ի վերջո, ստացված կոնստրուկցիան բաղկացած է ֆունկցիաներից, որոնք սահմանված են ամբողջ թվային տողի վրա, և մեր սկզբնական լոգարիթմները սահմանված չեն ամենուր և ոչ միշտ։

Հետեւաբար, մենք պետք է առանձին գրենք սահմանման տիրույթը։ Եկեք չբաժանենք մազերը և նախ գրենք բոլոր պահանջները.

Նախ, լոգարիթմներից յուրաքանչյուրի արգումենտը պետք է լինի 0-ից մեծ.

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Երկրորդ, հիմքը պետք է լինի ոչ միայն 0-ից մեծ, այլև տարբերվի 1-ից.

x − 2 ≠ 1

Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգը.

Բայց մի անհանգստացեք. լոգարիթմական հավասարումների մշակման ժամանակ նման համակարգը կարող է զգալիորեն պարզեցնել:

Դատեք ինքներդ՝ մի կողմից մեզանից պահանջում են, որ քառակուսի ֆունկցիան լինի զրոյից մեծ, իսկ մյուս կողմից՝ այս քառակուսի ֆունկցիան հավասարեցվի որոշակի գծային արտահայտության, որը նույնպես պահանջվում է, որ այն լինի զրոյից մեծ։

Այս դեպքում, եթե մենք պահանջում ենք, որ x − 2 > 0, ապա 2x 2 − 13x + 18 > 0 պահանջը ավտոմատ կերպով կբավարարվի, հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով կերպով հատել պարունակող անհավասարությունը քառակուսի ֆունկցիա. Այսպիսով, մեր համակարգում պարունակվող արտահայտությունների թիվը կնվազի երեքի։

Իհարկե, մենք կարող էինք նույնքան լավ հատել գծային անհավասարություն, այսինքն՝ խաչեք x − 2 > 0 և պահանջեք, որ 2x 2 − 13x + 18 > 0։ Բայց դուք պետք է համաձայնեք, որ ամենապարզ գծային անհավասարությունը լուծելը շատ ավելի արագ և հեշտ է, քան քառակուսայինը, նույնիսկ եթե ամբողջը լուծելու արդյունքում։ այս համակարգը մենք կստանանք նույն արմատները:

Ընդհանուր առմամբ, հնարավորության դեպքում փորձեք օպտիմալացնել հաշվարկները: Իսկ լոգարիթմական հավասարումների դեպքում գծեք ամենադժվար անհավասարությունները։

Եկեք վերաշարադրենք մեր համակարգը.

Ահա երեք արտահայտությունների համակարգ, որոնցից երկուսին մենք, փաստորեն, արդեն անդրադարձել ենք։ Առանձին գրենք քառակուսային հավասարումև եկեք լուծենք այն.

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Մեր առջև տրված քառակուսի եռանկյունև, հետևաբար, մենք կարող ենք օգտագործել Վիետայի բանաձևերը: Մենք ստանում ենք.

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Այժմ մենք վերադառնում ենք մեր համակարգին և գտնում, որ x = 2-ը մեզ չի համապատասխանում, քանի որ մեզանից պահանջվում է, որ x-ը խիստ մեծ լինի 2-ից:

Բայց x = 5-ը մեզ լիովին համապատասխանում է. 5 թիվը մեծ է 2-ից, և միևնույն ժամանակ 5-ը հավասար չէ 3-ի: Հետևաբար, այս համակարգի միակ լուծումը կլինի x = 5:

Վերջ, խնդիրը լուծված է, այդ թվում՝ հաշվի առնելով ՕՁ-ն։ Անցնենք երկրորդ հավասարմանը։ Ավելի հետաքրքիր և տեղեկատվական հաշվարկներ մեզ սպասում են այստեղ.

Առաջին քայլը. ինչպես նախորդ անգամ, այնպես էլ այս ամբողջ հարցը բերում ենք կանոնական ձևի: Դա անելու համար մենք կարող ենք 9 թիվը գրել հետևյալ կերպ.

Հիմքը և արմատը կարող են մնալ անձեռնմխելի, բայց ավելի լավ է փոխակերպել փաստարկը: Արմատից ռացիոնալ ցուցիչով անցնենք իշխանությանը։ Եկեք գրենք.

Թույլ տվեք չվերագրել մեր ամբողջ մեծ լոգարիթմական հավասարումը, այլ ուղղակի անմիջապես հավասարեցնել փաստարկները.

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Մեր առջև նոր կրճատված քառակուսի եռանկյուն է, եկեք օգտագործենք Վիետայի բանաձևերը և գրենք.

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Այսպիսով, մենք ստացանք արմատները, բայց ոչ ոք մեզ երաշխավորեց, որ դրանք կհամապատասխանեն սկզբնական լոգարիթմական հավասարմանը: Ի վերջո, տեղեկամատյանների նշանները լրացուցիչ սահմանափակումներ են դնում (այստեղ մենք պետք է գրեինք համակարգը, բայց ամբողջ կառուցվածքի ծանրաբեռնվածության պատճառով ես որոշեցի առանձին հաշվարկել սահմանման տիրույթը):

Նախ, հիշեք, որ արգումենտները պետք է լինեն 0-ից մեծ, մասնավորապես.

Սրանք այն պահանջներն են, որոնք պարտադրվում են սահմանման շրջանակով:

Անմիջապես նկատենք, որ քանի որ համակարգի առաջին երկու արտահայտությունները հավասարեցնում ենք միմյանց, կարող ենք դրանցից որևէ մեկը հատել։ Եկեք խաչ քաշենք առաջինը, քանի որ այն ավելի սպառնալի է թվում, քան երկրորդը:

Բացի այդ, նշեք, որ երկրորդ և երրորդ անհավասարությունների լուծումը կլինի նույն բազմությունները (ինչ-որ թվի խորանարդը մեծ է զրոյից, եթե այդ թիվն ինքնին մեծ է զրոյից; նմանապես, երրորդ աստիճանի արմատով - այս անհավասարությունները լիովին նման են, այնպես որ մենք կարող ենք հատել):

Բայց երրորդ անհավասարության դեպքում դա չի աշխատի։ Եկեք ձերբազատվենք ձախ կողմում գտնվող արմատական ​​նշանից՝ երկու մասերը բարձրացնելով խորանարդի։ Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ պահանջները.

− 2 ≠ x > −3

Մեր արմատներից որն է՝ x 1 = −3 կամ x 2 = −1 համապատասխանում է այս պահանջներին: Ակնհայտ է, որ միայն x = −1, քանի որ x = −3 չի բավարարում առաջին անհավասարությունը (քանի որ մեր անհավասարությունը խիստ է)։ Այսպիսով, վերադառնալով մեր խնդրին, մենք ստանում ենք մեկ արմատ՝ x = −1: Վերջ, խնդիրը լուծված է։

Եվս մեկ անգամ, այս առաջադրանքի հիմնական կետերը.

1. Ազատորեն կիրառել և լուծել լոգարիթմական հավասարումներ՝ օգտագործելով կանոնական ձև: Նման նշում կատարող ուսանողները, փոխարենը սկզբնական խնդրից ուղղակիորեն անցնելու այնպիսի կառուցվածքի, ինչպիսին է log a f (x) = b, շատ ավելի քիչ սխալներ են թույլ տալիս, քան նրանք, ովքեր շտապում են ինչ-որ տեղ՝ շրջանցելով հաշվարկների միջանկյալ քայլերը.
2. Հենց որ փոփոխական բազան հայտնվում է լոգարիթմում, խնդիրը դադարում է ամենապարզը լինել: Ուստի այն լուծելիս պետք է հաշվի առնել սահմանման տիրույթը՝ արգումենտները պետք է լինեն զրոյից մեծ, իսկ հիմքերը ոչ միայն 0-ից մեծ լինեն, այլև չպետք է հավասար լինեն 1-ի։

Վերջնական պահանջները կարող են կիրառվել վերջնական պատասխանների վրա տարբեր ձևերով: Օրինակ, դուք կարող եք լուծել մի ամբողջ համակարգ, որը պարունակում է սահմանման տիրույթի բոլոր պահանջները: Մյուս կողմից, դուք կարող եք նախ լուծել խնդիրը ինքնին, ապա հիշել սահմանման տիրույթը, առանձին մշակել այն համակարգի տեսքով և կիրառել ստացված արմատների վրա։

Որ մեթոդն ընտրել կոնկրետ լոգարիթմական հավասարումը լուծելիս, ձեր որոշելիքն է: Ամեն դեպքում պատասխանը նույնն է լինելու.

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b *a c = a b+c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիայի օգտագործման օրինակները կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ անհրաժեշտ է պարզեցնել դժվարին բազմապատկումը պարզ գումարման միջոցով: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզվով։

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքի նկատմամբ համարվում է «c» հզորություն։ », որի վրա անհրաժեշտ է բարձրացնել «a» հիմքը՝ ի վերջո «b» արժեքը ստանալու համար։ Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի հզորություն գտնեք, որ 2-ից մինչև պահանջվող հզորությունը ստանաք 8: Ձեր գլխում որոշ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխան է տալիս որպես 8:

Լոգարիթմների տեսակները

Շատ ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Լոգարիթմական արտահայտությունների երեք առանձին տեսակ կա.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմ՝ a>1 հիմքի վրա:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմներ: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար դրանք լուծելիս պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների հաջորդականությունը:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարտություն են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է հանել բացասական թվերի զույգ արմատը։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «a» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և ոչ թե հավասար 1-ի, այլապես արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1» և «0» ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
• եթե a > 0, ապա a b >0, ստացվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք է տրված գտնել 10 x = 100 հավասարման պատասխանը: Սա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որից մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 = է: 100.

Հիմա եկեք պատկերացնենք այս արտահայտությունըլոգարիթմական ձևով. Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում միանում են՝ գտնելու այն հզորությունը, որին անհրաժեշտ է մուտքագրել լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական միտք և գիտելիքներ բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար ձեզ հարկավոր է էլեկտրական սեղան: Այն կարող է օգտագործվել նույնիսկ նրանց կողմից, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չգիտեն բարդույթների մասին մաթեմատիկական թեմաներ. Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները պարունակում են թվային արժեքներ, որոնք պատասխան են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ է և հեշտ, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարություն։ Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի 3-րդ լոգարիթմ, որը հավասար է չորսին (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք ստորև՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ արտահայտությունը՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմական նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ ցանկալի թվի լոգարիթմը երկու հիմքի նկատմամբ մեծ է երեք թվից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ - լոգարիթմ 2 x = √9) ենթադրում են մեկ կամ ավելի կոնկրետ պատասխաններ. թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարությունը լուծելիս որոշվում են և՛ թույլատրելի արժեքների միջակայքը, և՛ այս ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը: Որպես հետևանք, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ խնդիրները լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Մենք ավելի ուշ կանդրադառնանք հավասարումների օրինակներին, նախ անդրադառնանք յուրաքանչյուր հատկությանը ավելի մանրամասն.

1. Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի՝ a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետեւյալ բանաձեւը log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում պարտադիր պայմանն է՝ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Այս լոգարիթմական բանաձևի համար կարող եք ապացույցներ տալ՝ օրինակներով և լուծումներով։ Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (հատկություններ. աստիճաններ ), և այնուհետև ըստ սահմանման. log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ինչը պետք է ապացուցվեր:
3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2:
4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ընդունում է հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»: Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ բոլոր մաթեմատիկան հիմնված է բնական պոստուլատների վրա։ Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող log a b = t, ստացվում է t =b: Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնենք մ հզորության՝ a tn = b n ;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմների վրա խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր պրոբլեմային գրքերում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասն են։ Համալսարան ընդունվելու կամ անցնելու համար ընդունելության քննություններմաթեմատիկայի մեջ դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման խնդիրները:

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, այնուամենայնիվ, այն կարող է կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար։ որոշակի կանոններ. Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք արագ ծանոթանանք նրանց հետ:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս մենք պետք է որոշենք, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք. օրինակ արտահայտությունը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ նրանք պետք է որոշեն այն հզորությունը, որով 10-րդ բազան համապատասխանաբար հավասար կլինի 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմները լուծելու համար անհրաժեշտ է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը՝ օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վերաբերյալ հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է ընդլայնել մեծ արժեք b թվերը ավելի պարզ գործոններով: Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի հզորության չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել բարդ և անլուծելի թվացող արտահայտությունը։ Պարզապես պետք է գործոնավորել հիմքը, այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ միասնական պետական ​​քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններ, հատկապես շատ լոգարիթմական խնդիրներ Միասնական պետական ​​քննությունում (պետական ​​քննություն դպրոցների բոլոր շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենաբարդ և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն:

Խնդիրների օրինակներն ու լուծումները վերցված են պաշտոնատար անձանցից Պետական ​​միասնական քննության տարբերակներ. Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4, հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

• Լավագույնն այն է, որ բոլոր լոգարիթմները կրճատվեն նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը հանվում է որպես բազմապատկիչ, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական: