Ինչպես լուծել հավասարումները՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը: Հավասարումների համակարգերի լուծում. Հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ և բարդ մեթոդներ

2. Հանրահաշվական գումարման մեթոդ.
3. Նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդ (փոփոխական փոխարինման մեթոդ):

Սահմանում:Հավասարումների համակարգը վերաբերում է մեկ կամ մի քանի փոփոխականների մի քանի հավասարումների, որոնք պետք է կատարվեն միաժամանակ, այսինքն. բոլոր հավասարումների համար փոփոխականների նույն արժեքներով: Համակարգում հավասարումները զուգակցվում են համակարգի նշանի հետ՝ գանգուր փակագծով:
Օրինակ 1:

- երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգ xԵվ y.
Համակարգի լուծումը արմատներն են: Երբ այս արժեքները փոխարինվում են, հավասարումները դառնում են իրական նույնականություն.

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում.

Համակարգի լուծման ամենատարածված մեթոդը փոխարինման մեթոդն է:

Փոխարինման մեթոդ.

Հավասարումների համակարգերի լուծման փոխարինման մեթոդը համակարգի մեկ հավասարումից փոփոխական արտահայտելն է մյուսների առումով, և այս արտահայտությունը փոխարինել համակարգի մնացած հավասարումներով՝ արտահայտված փոփոխականի փոխարեն:
Օրինակ 2:
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

Լուծում:
Տրված է հավասարումների համակարգ և այն պետք է լուծվի փոխարինման մեթոդով։
Արտահայտենք փոփոխականը yհամակարգի երկրորդ հավասարումից.
Մեկնաբանություն:«Փոփոխական արտահայտել» նշանակում է հավասարությունը փոխակերպել այնպես, որ այս փոփոխականը մնա հավասարության նշանից ձախ՝ 1 գործակցով, իսկ մնացած բոլոր տերմինները տեղափոխվեն հավասարության աջ կողմ։
Համակարգի երկրորդ հավասարումը.

Թողնենք միայն ձախ կողմում y:

Եվ եկեք փոխարինենք (այստեղից է գալիս մեթոդի անվանումը) առաջին հավասարման մեջ՝ փոխարենը. ժամըարտահայտությունը, որին այն հավասար է, այսինքն. .
Առաջին հավասարումը.

Փոխարինենք.

Եկեք լուծենք այս սովորական քառակուսի հավասարումը. Նրանց համար, ովքեր մոռացել են, թե ինչպես դա անել, կա «Լուծելով քառակուսի հավասարումներ» հոդվածը: .

Այսպիսով, փոփոխական արժեքները xհայտնաբերվել է.
Եկեք այս արժեքները փոխարինենք փոփոխականի արտահայտության մեջ y. Այստեղ երկու իմաստ կա x, այսինքն. դրանցից յուրաքանչյուրի համար պետք է արժեք գտնել y .
1) Թող
Մենք այն փոխարինում ենք արտահայտության մեջ.

2) Թող
Մենք այն փոխարինում ենք արտահայտության մեջ.

Ամեն ինչին կարելի է պատասխանել.
Մեկնաբանություն:Այս դեպքում պատասխանը պետք է գրել զույգերով, որպեսզի չշփոթվի, թե y փոփոխականի որ արժեքն է համապատասխանում x փոփոխականի որ արժեքին։
Պատասխան.
Մեկնաբանություն:Օրինակ 1-ում միայն մեկ զույգ է նշվում որպես համակարգի լուծում, այսինքն. այս զույգը համակարգի լուծումն է, բայց ոչ ամբողջական: Հետևաբար, ինչպես լուծել հավասարումը կամ համակարգը, նշանակում է նշել լուծումը և ցույց տալ, որ այլ լուծումներ չկան: Եվ ահա ևս մեկ զույգ.

Եկեք այս համակարգի լուծումը ձևակերպենք դպրոցական ոճով.

Մեկնաբանություն:«» նշանը նշանակում է «համարժեք», այսինքն. հաջորդ համակարգը կամ արտահայտությունը համարժեք է նախորդին:

Եկեք վերլուծենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.

1. Համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդովդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Էքսպրես. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեկ այլ հավասարմամբ։
3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Լուծել համակարգը՝ ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդովանհրաժեշտ է.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույնական գործակիցներ։
2. Մենք գումարում կամ հանում ենք հավասարումներ, արդյունքում ստացվում է մեկ փոփոխականով հավասարում:
3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:

Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:

Օրինակ #1:

Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)

1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական՝ 1 գործակցով, ինչը նշանակում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y

2. Այն արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3+10y՝ x փոփոխականի փոխարեն:
2(3+10y)+5y=1

3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բացեք փակագծերը)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2

Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից։Գտնենք x-ը, այն առաջին կետում, որտեղ արտահայտել ենք, փոխարինում ենք y-ին։
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Ընդունված է միավորներ գրել առաջին տեղում գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)

Օրինակ #2:

Եկեք լուծենք՝ օգտագործելով ժամկետ առ անդամ գումարման (հանման) մեթոդը։

Հավասարումների համակարգի լուծում՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը

3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)

1. Ընտրում ենք փոփոխական, ասենք՝ ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք 2-ով, իսկ երկրորդը՝ 3-ով և ստանում ենք 6 ընդհանուր գործակից։

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը՝ x փոփոխականից ազատվելու համար Լուծե՛ք գծային հավասարումը։
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք որևէ հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Խաչմերուկը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)

Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար. Առանց կատակի.

Այս դեպքում հարմար է համակարգի երկրորդ հավասարումից x արտահայտել y-ով և փոխարինել ստացված արտահայտությունը առաջին հավասարման x-ի փոխարեն.

Առաջին հավասարումը հավասարում է մեկ փոփոխականով y: Եկեք լուծենք.

5 (7-3y) -2y = -16

Ստացված y արժեքը փոխարինում ենք x արտահայտության մեջ.

Պատասխան՝ (-2; 3):

Այս համակարգում ավելի հեշտ է y-ն արտահայտել x-ով առաջին հավասարումից և արդյունքում ստացված արտահայտությունը փոխարինել y-ի փոխարեն երկրորդ հավասարման մեջ.

Երկրորդ հավասարումը հավասարում է x մեկ փոփոխականով: Եկեք լուծենք.

3x-4(-1.5-3.5x)=23

y արտահայտության մեջ x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x=1 և գտնում y.

Պատասխան՝ (1; -5):

Այստեղ ավելի հարմար է y-ն արտահայտել x-ով երկրորդ հավասարումից (քանի որ 10-ի բաժանելը ավելի հեշտ է, քան 4-ի, -9-ի կամ 3-ի բաժանելը).

Լուծենք առաջին հավասարումը.

4x-9 (1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

Փոխարինեք x=2 և գտեք y:

Պատասխան՝ (2; 1):

Նախքան փոխարինման մեթոդի կիրառումը, այս համակարգը պետք է պարզեցվի: Առաջին հավասարման երկու կողմերը կարելի է բազմապատկել ամենացածր ընդհանուր հայտարարով, երկրորդ հավասարման մեջ բացում ենք փակագծերը և ներկայացնում նմանատիպ տերմիններ.

Ստացանք գծային հավասարումների համակարգ երկու փոփոխականներով։ Այժմ կիրառենք փոխարինումը։ Հարմար է a-ը b-ով արտահայտել երկրորդ հավասարումից.

Մենք լուծում ենք համակարգի առաջին հավասարումը.

3 (21.5 + 2.5b) – 7b = 63

Մնում է գտնել a-ի արժեքը.

Ըստ ձևաչափման կանոնների՝ պատասխանը գրում ենք այբբենական կարգով կիսատ-ստորակետով բաժանված փակագծերում։

Պատասխան՝ (14; -3):

Մի փոփոխականը մյուսի միջոցով արտահայտելիս երբեմն ավելի հարմար է այն թողնել որոշակի գործակցով։

Սովորաբար համակարգի հավասարումները գրվում են սյունակում մեկը մյուսի տակ և զուգակցվում գանգուր փակագծով

Այս տեսակի հավասարումների համակարգ, որտեղ ա, բ, գ- թվեր, և x, y- փոփոխականները կոչվում են գծային հավասարումների համակարգ.

Հավասարումների համակարգ լուծելիս օգտագործվում են հատկություններ, որոնք վավեր են հավասարումների լուծման համար։

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով

Դիտարկենք մի օրինակ

1) Փոփոխականն արտահայտի՛ր հավասարումներից մեկով. Օրինակ՝ արտահայտենք yառաջին հավասարման մեջ մենք ստանում ենք համակարգը.

2) Փոխարինեք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ yարտահայտություն 3x-7:

3) Լուծե՛ք ստացված երկրորդ հավասարումը.

4) Ստացված լուծումը փոխարինում ենք համակարգի առաջին հավասարման մեջ.

Հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում՝ զույգ թվեր x=1, y=-4. Պատասխան. (1; -4) , փակագծերում գրված, առաջին դիրքում արժեքը x, երկրորդում - y.

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում գումարումով

Լուծենք նախորդ օրինակի հավասարումների համակարգը ավելացման մեթոդ.

1) Փոխակերպեք համակարգը այնպես, որ փոփոխականներից մեկի գործակիցները դառնան հակառակ: Համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկենք «3»-ով։

2) Ավելացրե՛ք համակարգի հավասարումները տերմին առ անդամ. Մենք վերաշարադրում ենք համակարգի երկրորդ հավասարումը (ցանկացած) առանց փոփոխությունների։

3) Ստացված լուծումը փոխարինում ենք համակարգի առաջին հավասարման մեջ.

Գծային հավասարումների համակարգի գրաֆիկական լուծում

Երկու փոփոխականներով հավասարումների համակարգի գրաֆիկական լուծումը հանգում է հավասարումների գրաֆիկների ընդհանուր կետերի կոորդինատները գտնելուն։

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։ Հարթության երկու ուղիղները կարող են հատվել մի կետում, լինել զուգահեռ կամ համընկնել: Համապատասխանաբար, հավասարումների համակարգը կարող է. ա) ունենալ եզակի լուծում. բ) լուծումներ չունեն. գ) ունեն անսահման թվով լուծումներ.

2) Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետն է (եթե հավասարումները գծային են):

Համակարգի գրաֆիկական լուծում

Նոր փոփոխականների ներդրման մեթոդ

Փոփոխականների փոփոխությունը կարող է հանգեցնել ավելի պարզ հավասարումների համակարգի լուծմանը, քան սկզբնականը:

Դիտարկենք համակարգի լուծումը

Ապա ներկայացնենք փոխարինումը

Անցնենք սկզբնական փոփոխականներին

Հատուկ դեպքեր

Առանց գծային հավասարումների համակարգ լուծելու, դուք կարող եք որոշել դրա լուծումների թիվը համապատասխան փոփոխականների գործակիցներից:

Երկու անհայտ գծային հավասարումների համակարգը երկու կամ ավելի գծային հավասարումներ է, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել դրանց բոլոր ընդհանուր լուծումները: Մենք կդիտարկենք երկու գծային հավասարումների համակարգեր երկու անհայտներում: Երկու անհայտներով երկու գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը ներկայացված է ստորև բերված նկարում.

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Այստեղ x և y-ն անհայտ փոփոխականներ են, a1, a2, b1, b2, c1, c2 որոշ իրական թվեր են: Երկու անհայտների մեջ երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծումը զույգ թվեր է (x,y), որ եթե այս թվերը փոխարինենք համակարգի հավասարումներով, ապա համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է իրական հավասարության: Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգի լուծման եղանակներից մեկը, այն է՝ փոխարինման մեթոդը:

Լուծման ալգորիթմ փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով գծային հավասարումների համակարգի լուծման ալգորիթմ.

1. Ընտրեք մեկ հավասարում (ավելի լավ է ընտրել այն, որտեղ թվերն ավելի փոքր են) և դրանից մի փոփոխականն արտահայտեք մյուսով, օրինակ՝ x y-ով։ (կարող եք նաև օգտագործել y-ը x-ի միջոցով):

2. Ստացված արտահայտությունը համապատասխան փոփոխականի փոխարեն փոխարինի՛ր մեկ այլ հավասարմամբ: Այսպիսով, մենք ստանում ենք գծային հավասարում մեկ անհայտով:

3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը և ստացե՛ք լուծում։

4. Ստացված լուծումը փոխարինում ենք առաջին պարբերությունում ստացված արտահայտությամբ, իսկ լուծումից ստանում ենք երկրորդ անհայտը։

5. Ստուգեք ստացված լուծումը:

Օրինակ

Ավելի պարզ դարձնելու համար լուծենք մի փոքրիկ օրինակ.

Օրինակ 1.Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Լուծում:

1. Այս համակարգի առաջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք x փոփոխականը։ Մենք ունենք x= (12 -2*y);

2. Այս արտահայտությունը փոխարինի՛ր երկրորդ հավասարմամբ, ստանում ենք 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3 * y = -18;

3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը` 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7 * y =-18; -7 * y = -42; y=6;

4. Ստացված արդյունքը փոխարինել առաջին պարբերությամբ ստացված արտահայտությամբ. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Ստուգում ենք ստացված լուծումը, դրա համար գտնված թվերը փոխարինում ենք սկզբնական համակարգում:

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Մենք ստացել ենք ճիշտ հավասարումներ, հետևաբար՝ լուծումը ճիշտ ենք գտել։