Որո՞նք են ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքի դեպքերը: Ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքը, երկու հարթություն. Պրիզմա. Սահմանում. Տարրեր. Պրիզմաների տեսակները

Ուղիղ գիծը կարող է պատկանել կամ չպատկանել հարթությանը: Այն պատկանում է ինքնաթիռին, եթե դրա կետերից առնվազն երկուսը գտնվում են հարթության վրա: Նկար 93-ը ցույց է տալիս գումարի հարթությունը (axb).Ուղիղ լպատկանում է գումարի հարթությանը, քանի որ նրա 1 և 2 կետերը պատկանում են այս հարթությանը:

Եթե ​​ուղիղը չի պատկանում հարթությանը, այն կարող է լինել դրան զուգահեռ կամ հատել այն։

Ուղիղը զուգահեռ է հարթությանը, եթե այն զուգահեռ է այդ հարթությունում ընկած մեկ այլ ուղիղին: Նկար 93-ում կա ուղիղ գիծ մ || Գումար, քանի որ այն զուգահեռ է գծին լայս ինքնաթիռին պատկանող.

Ուղիղ գիծը կարող է հատել հարթությունը տարբեր անկյուններով և, մասնավորապես, լինել նրան ուղղահայաց։ Ուղիղ գծի և հարթության հատման գծերի կառուցումը տրված է §61-ում:

Նկար 93 - Ինքնաթիռին պատկանող ուղիղ գիծ

Հարթության հետ կապված կետը կարող է տեղակայվել հետևյալ կերպ՝ պատկանել կամ չպատկանել դրան: Կետը պատկանում է հարթությանը, եթե այն գտնվում է այս հարթության վրա գտնվող ուղիղ գծի վրա: Նկար 94-ը ցույց է տալիս գումարային հարթության բարդ գծագիրը, որը սահմանվում է երկու զուգահեռ գծերով լԵվ Պ.Ինքնաթիռում գիծ կա մ. A կետը գտնվում է գումարի հարթության մեջ, քանի որ այն գտնվում է գծի վրա մ.Կետ INչի պատկանում հարթությանը, քանի որ դրա երկրորդ պրոյեկցիան չի գտնվում գծի համապատասխան պրոյեկցիաների վրա:

Նկար 94 - Երկու զուգահեռ գծերով սահմանված հարթության բարդ գծագրություն

Կոնաձև և գլանաձև մակերեսներ

Կոնաձև մակերևույթները ներառում են այն մակերեսները, որոնք ձևավորվել են ուղղագիծ գեներատորի շարժման արդյունքում լկոր ուղեցույցի երկայնքով մ.Կոնաձև մակերեսի ձևավորման առանձնահատկությունն այն է, որ այս դեպքում գեներատորի մի կետը միշտ անշարժ է: Այս կետը կոնաձև մակերեսի գագաթն է (Նկար 95, Ա).Կոնաձեւ մակերեսի որոշիչը ներառում է գագաթը Սև ուղեցույց մ,որտեղ լ«~ S; լ"^ մ.

Գլանաձև մակերևույթներն այն մակերեսներն են, որոնք ձևավորվում են ուղիղ գեներատորով / շարժվում են կոր ուղեցույցով Տտրված ուղղությանը զուգահեռ Ս(Նկար 95, բ).Գլանաձև մակերեսը կարելի է համարել որպես կոնաձև մակերևույթի հատուկ դեպք, որի գագաթն է անվերջության վրա: Ս.

Գլանաձեւ մակերեսի որոշիչը բաղկացած է ուղեցույցից Տեւ ուղղությունները S ձեւավորող լ, մինչդեռ լ» || Ս; լ»^մ.

Եթե ​​գլանաձեւ մակերեսի գեներատորները ուղղահայաց են պրոյեկցիոն հարթությանը, ապա այդպիսի մակերեսը կոչվում է. պրոյեկտում.Նկար 95-ում, Վցուցադրվում է հորիզոնական ելնող գլանաձև մակերես:

Գլանաձև և կոնաձև մակերևույթների վրա տրված կետերը կառուցվում են դրանց միջով անցնող գեներատորների միջոցով: Գծեր մակերևույթների վրա, ինչպիսիք են գիծը Ա 95 թվին, Վկամ հորիզոնական հնկար 95-ում, ա, բ,կառուցված են՝ օգտագործելով այս տողերին պատկանող առանձին կետեր:

Նկար 95 - Կոնաձև և գլանաձև մակերեսներ

Տորսի մակերեսները

Իրանի մակերեսը մակերես է, որը ձևավորվում է ուղղանկյուն գեներատրիցով լ, իր շարժման ընթացքում իր բոլոր դիրքերում շոշափելով ինչ-որ տարածական կոր Տ,կանչեց վերադարձի եզր(Նկար 96): Վերադարձի եզրն ամբողջությամբ սահմանում է իրանը և մակերեսի որոշիչի երկրաչափական մասն է։ Ալգորիթմական մասը գեներատորների շոշափելիության ցուցիչն է եզրագծին:

Կոնաձեւ մակերեսը իրանի հատուկ պատյան է, որն ունի հետադարձ եզր Տդեգեներացվել է մի կետի Ս- կոնաձև մակերեսի վերին մասը. Գլանաձև մակերեսը մարմնի հատուկ դեպք է, որի հետադարձ եզրը անսահմանության կետ է:

Նկար 96 – Իրանի մակերեսը

Երեսապատ մակերեսներ

Երեսապատ մակերեսները ներառում են մակերեսներ, որոնք ձևավորվել են ուղղագիծ գեներատորի շարժման արդյունքում լկոտրված ուղեցույցի երկայնքով մ.Ընդ որում, եթե մի կետ Սգեներատրիքսն անշարժ է, ստեղծվում է բրգաձև մակերես (Նկար 97), եթե շարժման ժամանակ գեներատրիքսը զուգահեռ է տվյալ ուղղությամբ Ս,ապա ստեղծվում է պրիզմատիկ մակերես (Նկար 98):

Երեսապատ մակերեսների տարրերն են՝ գագաթ Ս(պրիզմատիկ մակերևույթի մոտ այն գտնվում է անսահմանության վրա), դեմք (ինքնաթիռի մի մասը սահմանափակված է ուղեցույցի մեկ հատվածով). մև գեներատորի ծայրահեղ դիրքերը դրա նկատմամբ լ) և եզր (հարակից երեսների հատման գիծ):

Բուրգաձեւ մակերեսի որոշիչը ներառում է գագաթը Ս,որի միջով անցնում են գեներատորներն ու ուղեցույցները. լ" ~ Ս; լ^ Տ.

Պրիզմատիկ մակերեսի որոշիչ, բացի ուղեցույցից Տ,ուղղություն է պարունակում Ս,որին զուգահեռ են բոլոր գեներատորները լմակերեսներ: լ||Ս; լ^ տ.

Նկար 97 - Բուրգի մակերես

Նկար 98 - Պրիզմատիկ մակերես

Որոշակի թվով (առնվազն չորս) երեսներից ձևավորված փակ երեսապատ մակերեսները կոչվում են պոլիեդրա: Բազմայրերից առանձնանում է կանոնավոր բազմանկյունների խումբ, որոնցում բոլոր դեմքերը կանոնավոր և համահունչ բազմանկյուններ են, իսկ գագաթների բազմանկյուն անկյունները ուռուցիկ են և պարունակում են նույն թվով երեսներ։ Օրինակ՝ վեցանկյուն - խորանարդ (Նկար 99, Ա),քառաեդրոն - կանոնավոր քառանկյուն (Նկար 99, 6) ութանիստ - բազմանիստ (Նկար 99, V).Բյուրեղները ունեն տարբեր պոլիեդրների ձև:

Նկար 99 - Պոլիեդրա

Բուրգ- բազմանկյուն, որի հիմքը կամայական բազմանկյուն է, իսկ կողային երեսները եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով Ս.

Բարդ գծագրում բուրգը որոշվում է իր գագաթների և եզրերի ելուստներով՝ հաշվի առնելով դրանց տեսանելիությունը: Եզրի տեսանելիությունը որոշվում է մրցակցող կետերի միջոցով (Նկար 100):

Նկար 100 – Եզրերի տեսանելիության որոշում՝ օգտագործելով մրցակցային կետերը

Պրիզմա- բազմանկյուն, որի հիմքը երկու նույնական և միմյանց զուգահեռ բազմանկյուններ են, իսկ կողային երեսները՝ զուգահեռականներ։ Եթե ​​պրիզմայի եզրերը ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը, ապա այդպիսի պրիզմա կոչվում է ուղիղ։ Եթե ​​պրիզմայի եզրերը ուղղահայաց են ցանկացած պրոյեկցիոն հարթության, ապա կողային մակերեսդա կոչվում է պրոյեկտում: Նկար 101-ը ցույց է տալիս աջ քառանկյուն պրիզմայի համապարփակ գծագիրը՝ հորիզոնական ելնող մակերեսով:

Նկար 101 - աջ քառանկյուն պրիզմայի բարդ գծագրություն՝ հորիզոնական ելնող մակերեսով

Բազմեյդրոնի բարդ գծագրի հետ աշխատելիս պետք է գծեր կառուցել նրա մակերեսի վրա, իսկ քանի որ գիծը կետերի հավաքածու է, պետք է կարողանալ մակերեսի վրա կետեր կառուցել։

Երեսապատ մակերեսի ցանկացած կետ կարող է կառուցվել այս կետով անցնող գեներատրիսի միջոցով: Նկարում դեմքի 100-ն է ACSկառուցված կետ Մօգտագործելով generatrix S-5.

Պտուտակաձև մակերեսներ

Պտուտակաձև մակերեսները ներառում են այն մակերեսները, որոնք առաջացել են ուղղանկյուն գեներատորի պարուրաձև շարժումից: Կանոնավոր պտուտակավոր մակերեսները կոչվում են ուղղաթիռներ.

Ուղղակի ուղղաձիգ գեներատրիսի շարժումից առաջանում է ուղիղ ուղղաձիգ եսերկու ուղեցույցների երկայնքով՝ պարույր Տև նրա կացինները ես; ձևավորելիս լհատում է պտուտակային առանցքը ճիշտ անկյան տակ (Նկար 102, ա): Ուղիղ ուղղաթիռը օգտագործվում է պարուրաձև սանդուղքներ, պտուտակներ, ինչպես նաև հաստոցներում էլեկտրական թելեր ստեղծելու համար։

Պտուտակային ուղեցույցի երկայնքով գեներատրիքսը շարժելով ձևավորվում է թեք ուղղաձիգ Տև նրա կացինները եսայնպես, որ գեներատորը լհատում է առանցքը եսհաստատուն φ անկյան տակ, որը տարբերվում է ուղիղ գծից, այսինքն՝ գեներատորի ցանկացած դիրքում լուղեցույցի կոնի գեներատորներից մեկին զուգահեռ, որի գագաթային անկյունը հավասար է 2φ (Նկար 102, բ).Թեք ուղղաձիգները սահմանափակում են թելերի մակերեսները։

Նկար 102 - Հելիկոիդներ

Հեղափոխության մակերեսները

Հեղափոխության մակերեսները ներառում են գծի պտտման արդյունքում ձևավորված մակերեսներ լ ուղիղ գծի շուրջ ես , որը պտտման առանցքն է։ Դրանք կարող են լինել գծային, օրինակ՝ հեղափոխության կոն կամ գլան, և ոչ գծային կամ կոր, ինչպես, օրինակ, գունդը։ Հեղափոխության մակերեսի որոշիչը ներառում է գեներատորը լ և առանցք ես . Պտտման ժամանակ գեներատորի յուրաքանչյուր կետ նկարագրում է շրջան, որի հարթությունը ուղղահայաց է պտտման առանցքին: Հեղափոխության մակերեսի նման շրջանակները կոչվում են զուգահեռներ։ Զուգահեռներից ամենամեծը կոչվում է հասարակած.Հասարակածը որոշում է մակերեսի հորիզոնական ուրվագիծը, եթե i _|_ P 1 . Այս դեպքում զուգահեռները այս մակերեսի հորիզոնականներն են:

Պտտման առանցքով անցնող հարթությունների մակերևույթի հատումից առաջացող պտույտի մակերևույթի կորերը կոչվում են. meridians.Մեկ մակերեսի բոլոր միջօրեականները համահունչ են: Ճակատային միջօրեականը կոչվում է հիմնական միջօրեական; այն որոշում է պտտման մակերեսի ճակատային ուրվագիծը: Պրոֆիլային միջօրեականը որոշում է պտտման մակերեսի պրոֆիլի ուրվագիծը:

Առավել հարմար է հեղափոխության կոր մակերևույթների վրա կետ կառուցել՝ օգտագործելով մակերեսային զուգահեռներ: Նկարում կա 103 միավոր Մկառուցված զուգահեռ հ4.

Նկար 103 – Կետի կառուցում կոր մակերեսի վրա

Հեղափոխության մակերեսները գտել են ամենալայն կիրառությունը տեխնոլոգիայի մեջ։ Նրանք սահմանափակում են ինժեներական մասերի մեծ մասի մակերեսները:

Հեղափոխության կոնաձև մակերեսը ձևավորվում է ուղիղ գծի պտտմամբ եսդրա հետ հատվող ուղիղ գծի շուրջը` առանցքը ես(Նկար 104, Ա) Կետ Մմակերեսի վրա կառուցված է գեներատորի միջոցով լև զուգահեռներ հ.Այս մակերեսը կոչվում է նաև հեղափոխության կոն կամ աջ շրջանաձև կոն։

Հեղափոխության գլանաձև մակերեսը ձևավորվում է ուղիղ գծի պտտմամբ լդրան զուգահեռ առանցքի շուրջ ես(Նկար 104, բ).Այս մակերեսը կոչվում է նաև գլան կամ աջ շրջանաձև գլան:

Գունդը ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ շրջան պտտելով (Նկար 104, Վ) Գնդի մակերեսի Ա կետը պատկանում է հիմնական միջօրեականին զ,կետ IN- հասարակած ժ,մի կետ Մկառուցված օժանդակ զուգահեռի վրա ը».

Նկար 104 - Հեղափոխության մակերեսների ձևավորում

Տորուսը ձևավորվում է շրջանագծի հարթությունում ընկած առանցքի շուրջ շրջանը կամ նրա աղեղը պտտելով: Եթե ​​առանցքը գտնվում է ստացված շրջանագծի ներսում, ապա այդպիսի տորուսը կոչվում է փակ (Նկար 105, ա): Եթե ​​պտտման առանցքը շրջանից դուրս է, ապա այդպիսի տորուսը կոչվում է բաց (Նկար 105, բ).Բաց տորուսը կոչվում է նաև օղակ:

Նկար 105 – Տորուսի ձևավորում

Հեղափոխության մակերեսները կարող են ձևավորվել նաև երկրորդ կարգի այլ կորերով։ Պտտման էլիպսոիդ (Նկար 106, Ա)ձևավորվել է էլիպս պտտելով իր առանցքներից մեկի շուրջ; հեղափոխության պարաբոլոիդ (Նկար 106, բ) - պարաբոլայի պտույտն իր առանցքի շուրջ. Հեղափոխության մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ (Նկար 106, Վ) ձևավորվում է երևակայական առանցքի շուրջ հիպերբոլայի և երկու թերթիկի շուրջ պտտելով (Նկար 106, Գ) - հիպերբոլայի պտույտ իրական առանցքի շուրջ:

Նկար 106 – Հեղափոխության մակերեսների ձևավորում երկրորդ կարգի կորերով

Ընդհանուր դեպքում մակերեսները պատկերված են որպես չսահմանափակված գեներացնող գծերի տարածման ուղղությամբ (տես Նկարներ 97, 98): Լուծումների համար կոնկրետ առաջադրանքներև ստանալը երկրաչափական ձևերսահմանափակվում է կտրող ինքնաթիռներով: Օրինակ, շրջանաձև գլան ստանալու համար անհրաժեշտ է գլանաձև մակերեսի մի հատվածը սահմանափակել կտրող հարթություններով (տես Նկար 104, բ).Արդյունքում մենք ստանում ենք նրա վերին և ստորին հիմքերը: Եթե ​​կտրող հարթությունները ուղղահայաց են պտտման առանցքին, ապա մխոցը կլինի ուղիղ, եթե ոչ՝ գլանը՝ թեքված։

Շրջանաձև կոն ստանալու համար (տես Նկար 104, Ա), անհրաժեշտ է կտրել վերևի երկայնքով և դրանից դուրս: Եթե ​​գլանի հիմքի կտրող հարթությունը ուղղահայաց է պտտման առանցքին, ապա կոնը ուղիղ կլինի, եթե ոչ՝ թեքված։ Եթե ​​երկու կտրող հարթությունները չեն անցնում գագաթի միջով, ապա կոնը կկտրվի:

Օգտագործելով կտրված հարթությունը, դուք կարող եք ստանալ պրիզմա և բուրգ: Օրինակ, վեցանկյուն բուրգը ուղիղ կլինի, եթե նրա բոլոր եզրերը ունեն նույն թեքությունը դեպի կտրող հարթությունը: Մնացած դեպքերում այն ​​թեք կլինի։ Եթե ​​այն ավարտված է Հետօգտագործելով կտրող ինքնաթիռներ, և դրանցից ոչ մեկը չի անցնում գագաթով - բուրգը կտրված է:

Պրիզմա (տես Նկար 101) կարելի է ձեռք բերել՝ սահմանափակելով պրիզմատիկ մակերեսի մի հատվածը երկու կտրող հարթություններով: Եթե ​​կտրող հարթությունը ուղղահայաց է, օրինակ, ութանկյուն պրիզմայի եզրերին, ապա այն ուղիղ է, եթե ոչ ուղղահայաց, ապա թեքված է:

Ընտրելով կտրող հարթությունների համապատասխան դիրքը՝ կարող եք ձեռք բերել երկրաչափական պատկերների տարբեր ձևեր՝ կախված լուծվող խնդրի պայմաններից։

Հեռավոր տարր.

հեռավոր տարր.

• ա) չունեն ընդհանուր կետեր.

Թեորեմ.

Կտրվածքների նշանակում

ԳՕՍՏ 2.305-2008-ը սահմանում է հետևյալ պահանջները հատվածի նշանակման համար.

1. Կտրող հարթության դիրքը գծագրում նշված է հատվածի գծով:

2. Հատվածի գծի համար պետք է օգտագործել բաց գիծ (հաստությունը S-ից մինչև 1,5S, գծի երկարությունը 8-20 մմ):

3. Բարդ կտրվածքի դեպքում հարվածներ են կատարվում նաեւ կտրող հարթությունների միմյանց հետ հատման կետում։

4. Սլաքները պետք է տեղադրվեն սկզբնական և վերջնական հարվածների վրա, որոնք ցույց են տալիս դիտման ուղղությունը, սլաքները պետք է տեղադրվեն հարվածի արտաքին ծայրից 2-3 մմ հեռավորության վրա:

5. Սլաքների չափերը պետք է համապատասխանեն նկար 14-ում ներկայացվածներին:

6. Մեկնարկային և ավարտվող հարվածները չպետք է հատեն համապատասխան պատկերի ուրվագիծը:

7. Հատվածի գծի սկզբում և վերջում, իսկ անհրաժեշտության դեպքում, կտրող հարթությունների խաչմերուկում տեղադրեք նույնը. մեծատառՌուսական այբուբեն. Տառերը տեղադրվում են տեսադաշտի ուղղությունը ցույց տվող սլաքների մոտ և արտաքին անկյունից հատման կետերում (Նկար 24):

Նկար 24 - հատվածի նշանակման օրինակներ

8. Կտրվածքը պետք է նշվի «AA» մակագրությամբ (միշտ երկու տառ առանձնացված գծիկով):

9. Երբ սեկենտային հարթությունը համընկնում է ամբողջ օբյեկտի համաչափության հարթության հետ, և համապատասխան պատկերները գտնվում են նույն թերթիկի վրա՝ ուղիղ պրոյեկցիոն կապով և չեն բաժանվում որևէ այլ պատկերով, հորիզոնական, ճակատային և պրոֆիլային հատվածների համար. կտրվածքի հարթության դիրքը նշված չէ, իսկ կտրվածքը չի ուղեկցվում մակագրությամբ:

10. Ճակատային և պրոֆիլային հատվածներին, որպես կանոն, տրվում է գծագրի հիմնական պատկերում տվյալ առարկայի համար ընդունված դիրքին համապատասխան:

11. Համապատասխան հիմնական տեսարանների տեղում կարող են տեղակայվել հորիզոնական, ճակատային և պրոֆիլային հատվածներ:

12. Թույլատրվում է հատվածը տեղադրել գծագրության դաշտում ցանկացած վայրում, ինչպես նաև պտույտով՝ պայմանական գրաֆիկական նշման՝ «Պտտվող» պատկերակի ավելացմամբ (Նկար 25):

Նկար 25 - Գրաֆիկական խորհրդանիշ – «Պտտվող» պատկերակ

Բաժինների նշանակումը նման էկտրվածքների նշանակումը և բաղկացած է հատվածային հարթության հետքերից և տեսադաշտի ուղղությունը ցույց տվող սլաքից, ինչպես նաև սլաքի արտաքին կողմում տեղադրված տառից (Նկար 1c, Նկար 3): Օֆսեթ հատվածը պիտակավորված չէ, և կտրող հարթությունը չի ցուցադրվում, եթե հատվածի գիծը համընկնում է հատվածի համաչափության առանցքի հետ, իսկ հատվածն ինքնին գտնվում է կտրող հարթության հետքի շարունակության վրա կամ հատվածների միջև եղած բացվածքում։ տեսարանը։ Սիմետրիկ վերադրված հատվածի համար կտրող հարթությունը նույնպես ցուցադրված չէ: Եթե ​​հատվածը ասիմետրիկ է և գտնվում է բացվածքի մեջ կամ վերադրված է (Նկար 2 բ), հատվածի գիծը գծվում է սլաքներով, բայց չի նշվում տառերով:

Հատվածը կարող է տեղադրվել պտույտով՝ հատվածի վերևում ապահովելով «պտտվող» բառը: Մեկ օբյեկտի հետ կապված մի քանի նույնական հատվածների համար հատվածի գծերը նշանակվում են նույն տառով և գծվում է մեկ հատված: Այն դեպքերում, երբ պարզվում է, որ հատվածը բաղկացած է առանձին մասերից, պետք է օգտագործել կտրվածքներ:

Ուղիղ ընդհանուր դիրքը

Ընդհանուր դիրքում ուղիղ գիծը (նկ. 2.2) այն ուղիղն է, որը զուգահեռ չէ տրված պրոյեկցիոն հարթություններից որևէ մեկին: Նման ուղիղ գծի ցանկացած հատված նախագծված է աղավաղված պրոյեկցիոն հարթությունների համակարգում: Այս ուղիղ գծի թեքության անկյունները դեպի պրոյեկցիոն հարթությունները նույնպես աղավաղված են նախագծված։

Բրինձ. 2.2.

Ուղղակի մասնավոր դրույթներ
Հատուկ դիրքի գծերը ներառում են մեկ կամ երկու պրոյեկցիոն հարթություններին զուգահեռ գծեր:
Պրոյեկցիոն հարթությանը զուգահեռ ցանկացած ուղիղ (ուղիղ կամ կոր) կոչվում է մակարդակի ուղիղ: Ինժեներական գրաֆիկայում կան երեք հիմնական մակարդակի գծեր՝ հորիզոնական, ճակատային և պրոֆիլային գծեր։

Բրինձ. 2.3-ա

Հորիզոնականը ելուստների հորիզոնական հարթությանը զուգահեռ ցանկացած ուղիղ է (նկ. 2.3-ա): Հորիզոնականի ճակատային պրոյեկցիան միշտ ուղղահայաց է հաղորդակցման գծերին: Հորիզոնական նախագծման հարթության վրա գտնվող ցանկացած հորիզոնական հատված նախագծված է իր իրական չափով: Իրական մեծությունը նախագծված է այս հարթության վրա, իսկ հորիզոնական (ուղիղ) թեքության անկյունը դեպի ելուստների ճակատային հարթությունը: Որպես օրինակ, Նկար 2.3-ա-ն ցույց է տալիս տեսողական պատկեր և համապարփակ հորիզոնական գծագիր հ, թեքված դեպի ինքնաթիռը Պ 2 անկյան տակ բ .
Բրինձ. 2.3-բ

Ճակատայինը ելուստների ճակատային հարթությանը զուգահեռ ուղիղն է (նկ. 2.3-բ): Ճակատի հորիզոնական պրոյեկցիան միշտ ուղղահայաց է կապի գծերին։ Ճակատային մասի ցանկացած հատված ելուստների ճակատային հարթության վրա նախագծված է իր իրական չափով: Ճշմարիտ մեծությունը նախագծված է այս հարթության վրա, իսկ ճակատի (ուղիղ) թեքության անկյունը դեպի ելուստների հորիզոնական հարթությունը (անկյուն): ա).
Բրինձ. 2.3-վ

Պրոֆիլի գիծը ելուստների պրոֆիլային հարթությանը զուգահեռ գիծ է (նկ. 2.3-գ): Պրոֆիլային գծի հորիզոնական և ճակատային ելուստները զուգահեռ են այս ելուստների միացման գծերին: Պրոֆիլի գծի ցանկացած հատված (ուղիղ) նախագծված է պրոֆիլի հարթության վրա իր իրական չափով: Պրոֆիլի ուղիղ գծի թեքության անկյունները դեպի պրոյեկցիոն հարթությունները նախագծված են նույն հարթության վրա իրական մեծությամբ: Պ 1 և Պ 2. Բարդ գծագրում պրոֆիլի գիծ նշելիս պետք է նշեք այս գծի երկու կետ:

Երկու պրոյեկցիոն հարթություններին զուգահեռ մակարդակի գծերը ուղղահայաց կլինեն երրորդ պրոյեկցիոն հարթությանը: Նման գծերը կոչվում են նախագծող գծեր: Կան երեք հիմնական պրոյեկցիոն գծեր՝ հորիզոնական, ճակատային և պրոֆիլային պրոյեկցիոն գծեր։
Բրինձ. 2,3-գ Բրինձ. 2.3-դ Բրինձ. 2.3-րդ

Հորիզոնական գծվող ուղիղ գիծը (նկ. 2.3-դ) հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծ է։ Պ 1 . Այս գծի ցանկացած հատված նախագծված է հարթության վրա Պ Պ 1 - կետին:

Ճակատից դուրս եկող ուղիղ գիծը (նկ. 2.Հ-ե) կոչվում է հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ Պ 2. Այս գծի ցանկացած հատված նախագծված է հարթության վրա Պ 1 առանց խեղաթյուրման, բայց հարթության վրա Պ 2 - կետին:

Ուղիղ գծող պրոֆիլը (նկ. 2.3-զ) հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծ է։ Պ 3, այսինքն. ուղիղ գիծ՝ զուգահեռ նախագծման հարթություններին Պ 1 և Պ 2. Այս գծի ցանկացած հատված նախագծված է հարթության վրա Պ 1 և Պ 2 առանց խեղաթյուրման, բայց հարթության վրա Պ 3 - դեպի կետ:

Հիմնական գծերը ինքնաթիռում

Ինքնաթիռին պատկանող ուղիղ գծերի մեջ առանձնահատուկ տեղ են զբաղեցնում ուղիղ գծերը, որոնք որոշակի դիրք են զբաղեցնում տարածության մեջ.

1. Հորիզոնականներ h - ուղիղ գծեր, որոնք ընկած են տվյալ հարթության մեջ և զուգահեռ ելուստների հորիզոնական հարթությանը (h//P1) (նկ. 6.4):

Նկար 6.4 Հորիզոնական

2. Ճակատներ f - ուղիղ գծեր, որոնք գտնվում են հարթության մեջ և զուգահեռ ելուստների ճակատային հարթությանը (f//P2) (նկ. 6.5):

Նկար 6.5 Առջև

3. Անձնագիր ուղիղներ p - ուղիղ գծեր, որոնք գտնվում են տվյալ հարթությունում և զուգահեռ պրոյեկցիաների պրոֆիլային հարթությանը (p//P3) (նկ. 6.6): Նշենք, որ ինքնաթիռի հետքերը նույնպես կարելի է վերագրել հիմնական գծերին։ Հորիզոնական հետքը հարթության հորիզոնականն է, ճակատը` ճակատայինը, իսկ պրոֆիլը` հարթության պրոֆիլային գիծը:

Նկար 6.6 Անձնագիր ուղիղ

4. Ամենամեծ լանջի գիծը և դրա հորիզոնական պրոյեկցիան կազմում են j գծային անկյուն, որը չափում է այս հարթության ձևավորված երկնիշ անկյունը և ելուստների հորիզոնական հարթությունը (նկ. 6.7): Ակնհայտ է, որ եթե ուղիղ գիծը չունի հարթության հետ երկու ընդհանուր կետ, ապա այն կամ զուգահեռ է հարթությանը, կամ հատում է այն։

Նկար 6.7 Առավելագույն թեքության գիծ

Մակերեւույթի ձեւավորման կինեմատիկական մեթոդ. Գծագրում մակերեսի նշում:

Ինժեներական գրաֆիկայում մակերեսը դիտվում է որպես որոշակի օրենքի համաձայն տարածության մեջ շարժվող գծի հաջորդական դիրքերի ամբողջություն։ Մակերեւույթի ձեւավորման ժամանակ 1-ին տողը կարող է մնալ անփոփոխ կամ փոխել իր ձեւը։
Մակերեւույթի պատկերի պարզության համար բարդ գծագրության մեջ նպատակահարմար է շարժման օրենքը գրաֆիկորեն նշել տողերի ընտանիքի տեսքով (a, b, c): 1-ին տողի շարժման օրենքը կարող է սահմանվել երկու (a և b) կամ մեկ (a) տողով և լրացուցիչ պայմաններով, որոնք հստակեցնում են 1-ին շարժման օրենքը:
Շարժվող 1-ին գիծը կոչվում է գեներատոր, ֆիքսված a, b, c գծերը՝ ուղեցույցներ։
Դիտարկենք մակերևույթի ձևավորման գործընթացը՝ օգտագործելով Նկար 3.1-ում ներկայացված օրինակը:
Այստեղ 1-ին ուղիղ գիծը վերցված է որպես գեներատրիքս: Գեներատրիսի շարժման օրենքը տրված է a ուղեցույցով և ուղիղ գծով b: Սա նշանակում է, որ Generatrix 1-ը սահում է a ուղեցույցի երկայնքով՝ անընդհատ զուգահեռ մնալով b ուղիղ գծին:
Մակերեւույթի ձեւավորման այս մեթոդը կոչվում է կինեմատիկ: Նրա օգնությամբ դուք կարող եք գծագրում ստեղծել և սահմանել տարբեր մակերեսներ։ Մասնավորապես, Նկար 3.1-ում ներկայացված է գլանաձև մակերեսի ամենաընդհանուր դեպքը:

Բրինձ. 3.1.

Մակերեւույթը ձևավորելու և այն գծագրում պատկերելու մեկ այլ եղանակ է մակերևույթը նշել դրան պատկանող կետերով կամ գծերով: Այս դեպքում կետերն ու գծերը ընտրվում են այնպես, որ դրանք հնարավորություն են տալիս բավականաչափ ճշգրտությամբ որոշել մակերեսի ձևը և լուծել դրա վրա տարբեր խնդիրներ։
Մակերեւույթը սահմանող կետերի կամ գծերի բազմությունը կոչվում է դրա շրջանակ։
Կախված նրանից, թե մակերեսային շրջանակը սահմանվում է կետերով կամ գծերով, շրջանակները բաժանվում են կետային և գծային:
Նկար 3.2-ում ներկայացված է մակերևույթի շրջանակը, որը բաղկացած է a1, a2, a3, ..., an և b1, b2, b3, ..., bn տողերի երկու ուղղանկյուն ընտանիքներից:

Բրինձ. 3.2.

Կոնաձեւ հատվածներ.

ԿՈՆԱԿԱՆ ՀԱՏՎԱԾՆԵՐ,հարթ կորեր, որոնք ստացվում են աջ շրջանաձև կոնը հատելով իր գագաթով չանցնող հարթության հետ (նկ. 1): Անալիտիկ երկրաչափության տեսանկյունից կոնաձև հատվածը երկրորդ կարգի հավասարումը բավարարող կետերի տեղն է։ Բացառությամբ վերջին բաժնում քննարկված այլասերված դեպքերի, կոնաձև հատվածներն են էլիպսներ, հիպերբոլաներ կամ պարաբոլաներ:

Բնության և տեխնիկայի մեջ հաճախ հանդիպում են կոնաձև հատվածներ: Օրինակ՝ Արեգակի շուրջ պտտվող մոլորակների ուղեծրերը ունեն էլիպսների ձև։ Շրջանակը էլիպսի հատուկ դեպք է, որի հիմնական առանցքը հավասար է փոքրին: Պարաբոլիկ հայելին ունի այն հատկությունը, որ իր առանցքին զուգահեռ բոլոր ընկնող ճառագայթները համընկնում են մեկ կետում (կենտրոնացում): Սա օգտագործվում է արտացոլող աստղադիտակների մեծ մասում, որոնք օգտագործում են պարաբոլիկ հայելիներ, ինչպես նաև ռադարային ալեհավաքներում և պարաբոլիկ ռեֆլեկտորներով հատուկ խոսափողներում։ Զուգահեռ ճառագայթների ճառագայթը բխում է պարաբոլիկ ռեֆլեկտորի կիզակետում տեղադրված լույսի աղբյուրից: Այդ պատճառով պարաբոլիկ հայելիները օգտագործվում են բարձր հզորության լուսարձակների և ավտոմեքենաների լուսարձակների մեջ: Հիպերբոլան շատ կարևոր ֆիզիկական հարաբերությունների գրաֆիկ է, ինչպիսին է Բոյլի օրենքը (կապում է ճնշումը և ծավալը իդեալական գազ) և Օհմի օրենքը, որը սահմանում է էլեկտրական հոսանքը որպես կայուն լարման դիմադրության ֆունկցիա։

ՎԱՂ ՊԱՏՄՈՒԹՅՈՒՆ

Ենթադրվում է, որ կոնաձև հատվածների հայտնաբերողը Մենեյքմոսն է (մ.թ.ա. 4-րդ դար), Պլատոնի աշակերտը և Ալեքսանդր Մակեդոնացու ուսուցիչը։ Menaechmus-ը օգտագործել է պարաբոլա և հավասարակողմ հիպերբոլա՝ լուծելու խորանարդի կրկնապատկման խնդիրը։

IV դարի վերջին Արիստեոսի և Էվկլիդեսի կողմից գրված կոնի հատվածների վերաբերյալ տրակտատներ։ մ.թ.ա. կորել են, սակայն դրանցից նյութեր ներառվել են Պերգեի Ապոլոնիուսի հայտնի կոնաձեւ հատվածներում (մ.թ.ա. մոտ 260–170 թթ.), որոնք պահպանվել են մինչ օրս։ Ապոլոնիուսը հրաժարվեց կոնի գեներատրիցայի հատվածային հարթության ուղղահայաց լինելու պահանջից և, փոխելով դրա թեքության անկյունը, ստացավ բոլոր կոն հատվածները մեկ շրջանաձև կոնից՝ ուղիղ կամ թեքված։ Ապոլոնիուսին ենք պարտական ​​նաև կորերի ժամանակակից անվանումները՝ էլիպս, պարաբոլա և հիպերբոլա։

Իր կոնստրուկցիաներում Ապոլոնիուսը օգտագործել է երկու թերթիկ շրջանաձև կոն (ինչպես նկար 1-ում), այնպես որ առաջին անգամ պարզ դարձավ, որ հիպերբոլան երկու ճյուղ ունեցող կոր է։ Ապոլոնիուսի ժամանակներից ի վեր կոնաձև հատվածները բաժանվել են երեք տեսակի՝ կախված կտրող հարթության թեքությունից դեպի կոնի գեներատորը։ Էլիպս (նկ. 1ա) ձևավորվում է, երբ կտրող հարթությունը հատում է կոնի բոլոր գեներատորները նրա խոռոչից մեկի կետերում. պարաբոլա (նկ. 1,բ) - երբ կտրող հարթությունը զուգահեռ է կոնի շոշափող հարթություններից մեկին; հիպերբոլա (նկ. 1, գ) - երբ կտրող հարթությունը հատում է կոնի երկու խոռոչները:

ԿՈՆԱԿԱՆ ՀԱՏՎԱԾՆԵՐԻ ԿԱՌՈՒՑՈՒՄ

Ուսումնասիրելով կոնական հատվածները որպես հարթությունների և կոնների հատումներ՝ հին հույն մաթեմատիկոսները դրանք համարում էին նաև հարթության կետերի հետագծեր։ Պարզվել է, որ էլիպսը կարող է սահմանվել որպես կետերի տեղանք, որի հեռավորությունների գումարը երկու տրված կետերից հաստատուն է. պարաբոլա - որպես հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղամաս տրված կետև տրված ուղիղ գիծ; հիպերբոլա - որպես կետերի տեղակայում, հեռավորությունների տարբերությունը, որից երկու տրված կետերը հաստատուն են:

Կոնաձեւ հատվածների այս սահմանումները՝ որպես հարթ կորեր, առաջարկում են նաև ձգված լարով դրանք կառուցելու մեթոդ:

Էլիպս.

Եթե ​​տվյալ երկարության թելի ծայրերը ամրացված են F1 և F2 կետերում (նկ. 2), ապա ամուր ձգված թելի երկայնքով սահող մատիտի կետով նկարագրված կորը ունի էլիպսի ձև։ F1 և F2 կետերը կոչվում են էլիպսի կիզակետեր, իսկ V1V2 և v1v2 հատվածները կոորդինատային առանցքների հետ էլիպսի հատման կետերի միջև՝ հիմնական և փոքր առանցքները։ Եթե ​​F1 և F2 կետերը համընկնում են, ապա էլիպսը վերածվում է շրջանագծի։

բրինձ. 2 Էլիպսիս

Հիպերբոլա.

Հիպերբոլա կառուցելիս P կետը՝ մատիտի ծայրը, ամրացվում է թելի վրա, որն ազատորեն սահում է F1 և F2 կետերում տեղադրված կցորդների երկայնքով, ինչպես ցույց է տրված նկ. 3, ա. Հեռավորություններն ընտրված են այնպես, որ PF2 հատվածն ավելի երկար լինի, քան PF1 հատվածը ֆիքսված չափով փոքր F1F2 հեռավորությունից: Այս դեպքում թելի մի ծայրն անցնում է F1 պտուտակի տակով, իսկ թելի երկու ծայրերն անցնում են F2 պտուտակի վրայով։ (Մատիտի կետը չպետք է սահի թելի երկայնքով, ուստի այն պետք է ամրացնել՝ թելի վրա մի փոքր օղակ անելով և կետը անցկացնելով դրա միջով:) Նկարում ենք հիպերբոլայի մեկ ճյուղը (PV1Q)՝ համոզվելով, որ թելը միշտ ձգված է, և երկու ծայրերը քաշելով ներքև, թեքվում են F2 կետից, և երբ P կետը գտնվում է F1F2 հատվածից ներքև, պահելով թելը երկու ծայրերում և զգուշորեն փորագրելով (այսինքն՝ բաց թողնելով): Մենք գծում ենք հիպերբոլայի երկրորդ ճյուղը (PўV2Qў)՝ նախկինում փոխելով F1 և F2 կապիչների դերերը։

բրինձ. 3 հիպերբոլիա

Հիպերբոլայի ճյուղերը մոտենում են երկու ուղիղ գծերի, որոնք հատվում են ճյուղերի միջև։ Այս գծերը, որոնք կոչվում են հիպերբոլայի ասիմպտոտներ, կառուցված են ինչպես ցույց է տրված Նկ. 3, բ. Այս ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար են ± (v1v2)/(V1V2), որտեղ v1v2-ը ասիմպտոտների միջև անկյան կիսատ հատվածն է՝ F1F2 հատվածին ուղղահայաց; v1v2 հատվածը կոչվում է հիպերբոլայի զուգակցված առանցք, իսկ V1V2 հատվածը նրա լայնակի առանցքն է: Այսպիսով, ասիմպտոտները ուղղանկյան անկյունագծերն են, որոնց կողմերն անցնում են առանցքներին զուգահեռ չորս կետերով v1, v2, V1, V2: Այս ուղղանկյունը կառուցելու համար անհրաժեշտ է նշել v1 և v2 կետերի գտնվելու վայրը: Նրանք նույն հեռավորության վրա են, հավասար

O առանցքների հատման կետից Այս բանաձևը ենթադրում է կառուցումը ուղղանկյուն եռանկյունոտքերով Ov1 և V2O և հիպոթենուզ F2O:

Եթե ​​հիպերբոլայի ասիմպտոտները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա հիպերբոլան կոչվում է հավասարակողմ: Երկու հիպերբոլաները, որոնք ունեն ընդհանուր ասիմպտոտներ, բայց վերադասավորված լայնակի և խոնարհված առանցքներով, կոչվում են փոխադարձ խոնարհված։

Պարաբոլա.

Էլիպսի և հիպերբոլայի կիզակետերը հայտնի էին Ապոլոնիուսին, բայց պարաբոլայի կիզակետը, ըստ երևույթին, առաջին անգամ հաստատվել է Պապուսի կողմից (3-րդ դարի 2-րդ կես), ով այս կորը սահմանեց որպես տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղամաս (կիզակետ): և տրված ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է տնօրեն։ Ձգված թելով պարաբոլայի կառուցումը՝ հիմնվելով Պապպուսի սահմանման վրա, առաջարկել է Իսիդոր Միլետացին (6-րդ դար)։ Քանոնը տեղադրենք այնպես, որ դրա եզրը համընկնի LLў ուղղորդիչի հետ (նկ. 4) և այս եզրին կցենք ABC գծագրման եռանկյունու AC ոտքը: Եկեք ամրացնենք AB երկարությամբ թելի մի ծայրը եռանկյան B գագաթին, իսկ մյուսը պարաբոլայի կիզակետում F: Մատիտի ծայրով թելը քաշելով՝ P փոփոխական կետի ծայրը սեղմեք դեպի գծագրական եռանկյունու ազատ AB ոտք: Քանի որ եռանկյունը շարժվում է քանոնի երկայնքով, P կետը կնկարագրի պարաբոլայի աղեղը՝ F ֆոկուսով և ուղղաձիգ LLў, քանի որ թելի ընդհանուր երկարությունը հավասար է AB-ին, ապա թելի կտորը կից է եռանկյան ազատ ոտքին, և, հետևաբար, թելի մնացած PF կտորը պետք է հավասար լինի AB ոտքի մնացած մասերին, այսինքն. Պ.Ա. Պարաբոլայի V-ի առանցքի հետ հատման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, F և V-ով անցնող ուղիղը պարաբոլայի առանցքն է։ Եթե ​​կիզակետով ուղիղ գիծ է գծվում՝ առանցքին ուղղահայաց, ապա պարաբոլով կտրված այս ուղիղ գծի հատվածը կոչվում է կիզակետային պարամետր։ Էլիպսի և հիպերբոլայի դեպքում կիզակետային պարամետրը որոշվում է նույն կերպ:

ՏՈՄՍԵՐԻ ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ՝ թիվ 1 (ոչ ամբողջությամբ), 2 (ոչ ամբողջությամբ), 3 (ոչ ամբողջությամբ), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (ոչ ամբողջությամբ), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Հեռավոր տարր.

Նկարներ կատարելիս որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է դառնում կառուցել օբյեկտի ցանկացած մասի լրացուցիչ առանձին պատկեր, որը բացատրություն է պահանջում ձևի, չափի կամ այլ տվյալների վերաբերյալ: Այս պատկերը կոչվում է հեռավոր տարր.Այն սովորաբար կատարվում է ընդլայնված: Մանրամասները կարող են ներկայացվել որպես տեսարան կամ որպես հատված:

Զանգող տարր կառուցելիս հիմնական պատկերի համապատասխան տեղը նշվում է փակ ամուր բարակ գծով, սովորաբար օվալաձև կամ շրջանաձև, և առաջատար գծի դարակում նշվում է ռուսերեն այբուբենի մեծատառով: Հեռավոր տարրի համար կատարվում է A տիպի մուտքագրում (5:1): Նկ. 191-ը ցույց է տալիս հեռավոր տարրի իրականացման օրինակ: Այն տեղադրվում է օբյեկտի պատկերի համապատասխան վայրին հնարավորինս մոտ:

1. Ուղղանկյուն (ուղղանկյուն) պրոյեկցիայի մեթոդ. Ուղղանկյուն պրոյեկցիայի հիմնական անփոփոխ հատկությունները: Epure Monge.

Ուղղանկյուն (ուղղանկյուն) պրոյեկցիան զուգահեռ պրոյեկցիայի հատուկ դեպք է, երբ բոլոր ելնող ճառագայթները ուղղահայաց են պրոյեկցիայի հարթությանը։ Ուղղանկյուն պրոյեկցիաներն ունեն զուգահեռ ելուստների բոլոր հատկությունները, սակայն ուղղանկյուն պրոյեկցիայի դեպքում հատվածի պրոյեկցիան, եթե այն զուգահեռ չէ պրոյեկցիայի հարթությանը, միշտ փոքր է բուն հատվածից (նկ. 58): Դա բացատրվում է նրանով, որ հատվածն ինքնին տարածության մեջ ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուս է, իսկ դրա պրոյեկցիան՝ ոտք՝ А "В" = ABcos a.

Ուղղանկյուն պրոյեկցիայի դեպքում ուղիղ անկյունը նախագծվում է լրիվ չափով, երբ դրա երկու կողմերը զուգահեռ են պրոյեկցիայի հարթությանը, և երբ նրա կողմերից միայն մեկը զուգահեռ է պրոյեկցիայի հարթությանը, իսկ երկրորդ կողմը ուղղահայաց չէ այս պրոյեկցիայի հարթությանը:

Ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքը:

Ուղիղ գիծ և հարթություն տիեզերքում կարող են:

• ա) չունեն ընդհանուր կետեր.
• բ) ունեն ուղիղ մեկ ընդհանուր կետ.
• գ) ունեն առնվազն երկու ընդհանուր կետ.

Նկ. 30-ը պատկերում է այս բոլոր հնարավորությունները:

Այն դեպքում, երբ b ուղիղը զուգահեռ է հարթությանը` b || .

Այն դեպքում, երբ բ) ուղիղ l-ը հատում է հարթությունը մեկ կետում O; l = O.

գ) դեպքում a ուղիղը պատկանում է հարթությանը. a կամ a.

Թեորեմ.Եթե ​​b ուղիղը զուգահեռ է հարթությանը պատկանող առնվազն մեկ a ուղիղին, ապա ուղիղը զուգահեռ է հարթությանը։

Ենթադրենք, որ m ուղիղը հատում է հարթությունը Q կետում: Եթե m-ն ուղղահայաց է Q կետով անցնող հարթության յուրաքանչյուր ուղիղին, ապա m ուղիղն ասում են, որ ուղղահայաց է հարթությանը:

Տրամվայի ռելսերը ցույց են տալիս, որ ուղիղ գծերը պատկանում են երկրի հարթությանը։ Էլեկտրահաղորդման գծերը զուգահեռ են երկրի հարթությանը, իսկ ծառերի կոճղերը երկրի մակերեսը հատող ուղիղ գծերի օրինակներ են, որոնցից ոմանք ուղղահայաց են երկրի հարթությանը, մյուսները՝ ոչ ուղղահայաց (շեղ):

Գտնվելու վայրը

Նշան:եթե մի ուղիղ, որը չի գտնվում տվյալ հարթությունում, զուգահեռ է այս հարթության մեջ գտնվող ինչ-որ ուղիղի, ապա այն զուգահեռ է տվյալ հարթությանը:

1. եթե հարթությունն անցնում է մեկ այլ հարթությանը զուգահեռ տրված ուղիղով և հատում է այս հարթությունը, ապա հարթությունների հատման ուղիղը զուգահեռ է տվյալ ուղիղին։

2. Եթե 2 ուղիղներից մեկը զուգահեռ է տրվածին, ապա մյուս ուղիղը կամ նույնպես զուգահեռ է տվյալ հարթությանը, կամ գտնվում է այս հարթության մեջ։

ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ ՓՈՓՈԽ ԴԻՐՔԸ. ՀԱՍԱՐԱԿՆԵՐԻ ԶՈՒԳԱՀԵՏՈՒԹՅՈՒՆ

Գտնվելու վայրը

1. ինքնաթիռներն ունեն առնվազն 1 ընդհանուր կետ, այսինքն. հատվում են ուղիղ գծով

2. ինքնաթիռները չեն հատվում, այսինքն. չունեն 1 ընդհանուր կետ, որի դեպքում կոչվում են զուգահեռ:

նշան

եթե 1 հարթության 2 հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են մեկ այլ հարթության 2 ուղիղներին, ապա այդ հարթությունները զուգահեռ են։

Սուրբ

1. եթե 2 զուգահեռ հարթություններ հատվում են 3, ապա դրանց հատման ուղիղները զուգահեռ են.

2. Զուգահեռ հարթությունների միջև պարունակվող զուգահեռ ուղիղների հատվածները հավասար են:

ՈՒՂԻՂԻ ԵՎ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ուղղահայացությունը: ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՈՒՂԻՂՈՒԹՅԱՆ ՆՇԱՆ:

Ուղղակի անուններ ուղղահայաց, եթե հատվում են տակով<90.

Լեմմա:Եթե ​​2 զուգահեռ ուղիղներից 1-ը ուղղահայաց է 3-րդ ուղղին, ապա մյուս ուղիղն ուղղահայաց է այս ուղղին։

Ուղղակի ասում են, որ ուղղահայաց է հարթությանը,եթե այն ուղղահայաց է այս հարթության ցանկացած ուղղին.

Թեորեմ.Եթե ​​2 զուգահեռ ուղիղներից 1-ը ուղղահայաց է հարթությանը, ապա մյուս ուղիղն ուղղահայաց է այս հարթությանը:

Թեորեմ.Եթե ​​2 ուղիղ ուղղահայաց են հարթությանը, ապա դրանք զուգահեռ են։

Նշան

Եթե ​​ուղիղը ուղղահայաց է հարթության մեջ ընկած 2 հատվող գծերին, ապա այն ուղղահայաց է այս հարթությանը:

ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՇԵՔ

Եկեք ինքնաթիռ կառուցենք և այլն՝ ինքնաթիռին չպատկանող։ Նրանց t.A մենք գծենք ուղիղ գիծ՝ հարթությանը ուղղահայաց։ Ուղիղ գծի հարթության հետ հատման կետը նշանակված է H: AN հատվածը A կետից դեպի հարթություն գծված ուղղահայաց է: T.N - ուղղահայաց հիմքը: Վերցնենք t.M հարթությունը, որը չի համընկնում H-ի հետ: AM հատվածը թեքված է, գծված t.A-ից դեպի հարթություն: M - թեք հիմք: Սեգմենտը MH-ը թեք հարթության պրոյեկցիան է հարթության վրա: Ուղղահայաց AN - հեռավորությունը t.A-ից մինչև հարթություն: Ցանկացած հեռավորություն ուղղահայաց մաս է:

3 ուղղանկյունների թեորեմ.

Հարթության մեջ գծված ուղիղ գիծը թեք հարթության հիմքի միջով, որը ուղղահայաց է դրա ելքին այս հարթության վրա, նույնպես ուղղահայաց է հենց թեքությանը:

ՈՒՂԻՂԻ ԵՎ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ԱՆԿՅՈՒՆ

Անկյուն ուղիղ գծի ևՀարթությունը այս գծի և հարթության վրա դրա պրոյեկցիայի միջև ընկած անկյունն է:

DIHEDRAL ԱՆԿՅՈՒՆ. ԱՆԿՅՈՒՆ ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

Dihedral անկյունկոչվում է նույն հարթությանը չպատկանող ուղիղ գծով և ընդհանուր a սահմանով 2 կիսահավասարությամբ կազմված պատկեր։

Սահման ա - երկփեղկ անկյան եզր:Կես ինքնաթիռներ - dihedral անկյունային դեմքեր.Երկկողմանի անկյունը չափելու համար: Դուք պետք է դրա ներսում գծային անկյուն կառուցեք: Եկեք նշենք երկփեղկ անկյան եզրին ինչ-որ կետ և այս կետից յուրաքանչյուր երեսին մի ճառագայթ գծենք՝ եզրին ուղղահայաց։ Այս ճառագայթներից գոյացած անկյունը կոչվում է գծային երկփեղկ անկյուն:Երկկողմանի անկյան ներսում դրանք կարող են լինել անսահման թվով: Նրանք բոլորն ունեն նույն չափը:

ԵՐԿՈՒ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅԱՆ ուղղահայացությունը

Երկու հատվող հարթություններ են կոչվում ուղղահայաց,եթե նրանց միջև անկյունը 90 է։

Նշան:

Եթե ​​2 հարթություններից 1-ն անցնում է մեկ այլ հարթության ուղղահայաց գծով, ապա այդպիսի հարթություններն ուղղահայաց են։

ՊՈԼԻԵԴՐԱ

Բազմաթև- մակերես, որը կազմված է բազմանկյուններից և սահմանում է որոշակի երկրաչափական մարմին: Եզրեր– բազմանկյուններ, որոնցից ստեղծվում են պոլիեդրաները: Կողիկներ- դեմքերի կողմերը. Պիկեր- կողերի ծայրերը. Բազմեյդրոնի անկյունագիծկոչվում է հատված, որը կապում է 2 գագաթները, որոնք չեն պատկանում 1 դեմքին: Այն հարթությունը, որի երկու կողմերում կան բազմանիստ կետեր, կոչվում է . կտրող ինքնաթիռ.Բազմեյդրոնի ընդհանուր մասը և սեկենտային տարածքը կոչվում են պոլիէդրոնի խաչմերուկ: Polyedra-ն կարող է լինել ուռուցիկ կամ գոգավոր: Բազմանդրոնը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է նրա յուրաքանչյուր երեսի հարթության մի կողմում (տետրաեդրոն, զուգահեռատիպ, ութանիստ)։ Ուռուցիկ բազմանիստում յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթ անկյունների գումարը 360-ից փոքր է:

ՊՐԻԶՄԱ

Զուգահեռ հարթություններում և n- զուգահեռ հարթություններում տեղակայված 2 հավասար բազմանկյուններից բաղկացած բազմանկյունը կոչվում է. պրիզմա.

A1A2..A(p) և B1B2..B(p) բազմանկյուններ – պրիզմայի հիմքը. А1А2В2В1…- զուգահեռագրություններ, A(p)A1B1B(p) – կողային եզրեր.Հատվածներ A1B1, A2B2..A(p)B(p) – կողային կողիկներ.Կախված պրիզմայի հիմքում ընկած բազմանկյունից՝ պրիզմա կոչվում է p-ածուխ:Մի հիմքի ցանկացած կետից մյուս հիմքի հարթությանը գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրությունը։Եթե ​​պրիզմայի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին, ապա պրիզմա - ուղիղև եթե ոչ ուղղահայաց – այն թեքված է:Ուղիղ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է նրա կողային եզրի երկարությանը։ Ուղղակի պրիզմա ճիշտ է, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուններ են, բոլոր կողային երեսները հավասար ուղղանկյուններ են։

PARALLEPIPED

ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (ըստ զուգահեռ հարթությունների բնույթի)

Զուգահեռագիծը բաղկացած է 6 զուգահեռագծից։ Զուգահեռագրերը կոչվում են եզրեր. ABCD և А1В1С1Д1 հիմքերն են, մնացած դեմքերը կոչվում են կողային.Միավորներ A B C D A1 B1 C1 D1 – գագաթներ.Գծային հատվածներ, որոնք կապում են գագաթները - կողիկներ AA1, BB1, SS1, DD1 – կողային կողիկներ.

Զուգահեռապատիկի անկյունագիծն էկոչվում է հատված, որը կապում է 2 գագաթները, որոնք չեն պատկանում 1 դեմքին:

Սրբեր

1. Զուգահեռականի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար: 2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում են այս կետով:

ԲՈՒՐԳ

Դիտարկենք A1A2..A(n) բազմանկյունը՝ P կետ, որը չի գտնվում այս բազմանկյան հարթությունում: P կետը միացնենք բազմանկյան գագաթների հետ և ստացվի n եռանկյուն՝ RA1A2, RA2A3....RA(p)A1։

Բազմեյդրոն՝ կազմված n-անկյուններից և n-եռանկյուններից կոչվում է բուրգ:Բազմանկյուն - հիմք:Եռանկյուններ - կողային եզրեր. R - բուրգի գագաթը.Հատվածներ A1P, A2P..A(p)P – կողային կողիկներ.Կախված հիմքում ընկած բազմանկյունից՝ բուրգը կոչվում է p-ածուխ. Բուրգի բարձրությունըկոչվում է ուղղահայաց, որը գծված է վերևից մինչև հիմքի հարթությունը: Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե նրա հիմքը պարունակում է կանոնավոր բազմանկյուն, և նրա բարձրությունն ընկնում է հիմքի կենտրոնում։ Ապաթեմ– կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը:

ԿՏՐՎԱԾ ԲՈՒՐԳ

Դիտարկենք PA1A2A3A(n) բուրգը: Եկեք գծենք հիմքին զուգահեռ կտրող հարթություն։ Այս հարթությունը մեր բուրգը բաժանում է 2 մասի. վերինը սրա նման բուրգ է, ստորինը՝ կտրված բուրգ։ Կողային մակերեսը բաղկացած է trapezoid- ից: Կողային կողիկներն իրար են միացնում հիմքերի գագաթները։

Թեորեմ.Կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքերի և ապոտեմի պարագծերի գումարի կեսի արտադրյալին:

ԿԱՆՈՆԱՎՈՐ ԲԱԶՄԱՀԵԴՆԵՐ

Ուռուցիկ բազմանիստը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են, և նրա յուրաքանչյուր գագաթին համընկնում են նույն թվով եզրեր։ Կանոնավոր պոլիէդրոնի օրինակ է խորանարդը: Նրա բոլոր երեսները հավասար քառակուսիներ են, և յուրաքանչյուր գագաթում 3 եզրեր են հանդիպում:

Կանոնավոր քառաեդրոնկազմված 4 հավասարակողմ եռանկյուններից։ Յուրաքանչյուր գագաթ 3 եռանկյունների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 180 է:

Կանոնավոր ութանիստկազմված 8 հավասարակողմ եռանկյուններից։ Յուրաքանչյուր գագաթ 4 եռանկյունների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը = 240

Կանոնավոր icosahedronկազմված 20 հավասարակողմ եռանկյուններից։ Յուրաքանչյուր գագաթ 5-րդ եռանկյուն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 300 է:

Cubeկազմված 6 քառակուսիներից։ Յուրաքանչյուր գագաթ 3 քառակուսիների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը = 270:

Կանոնավոր դոդեկաեդրոնկազմված 12 կանոնավոր հնգանկյուններից։ Յուրաքանչյուր գագաթ 3 կանոնավոր հնգանկյունների գագաթն է։ Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը = 324:

Կանոնավոր պոլիեդրաների այլ տեսակներ չկան։

ԳԼՈՆ

Գլանաձև մակերեսով և L և L1 սահմաններով սահմանափակված մարմինը կոչվում է. գլան: L և L1 շրջանակները կոչվում են գլանների հիմքերը.Հատվածներ MM1, AA1 – ձևավորող.Մխոցի գլանաձև կամ կողային մակերեսի ձևավորում: O և O1 հիմքերի կենտրոնները միացնող ուղիղ գիծ մխոցի առանցքը.Գեներատորի երկարությունը - գլան բարձրությունը.Բազային շառավիղ (r) – մխոցի շառավիղը:

Գլանների հատվածներ

Առանցքայինանցնում է հիմքի առանցքով և տրամագծով

Ուղղահայաց առանցքին

Մխոցը պտտվող մարմին է։ Այն ստացվում է ուղղանկյունը իր կողմերից մեկի շուրջը պտտելով։

ԿՈՆ

Դիտարկենք այս շրջանագծի հարթությանը ուղղահայաց շրջան (o;r) և ուղիղ OP: L շրջանագծի յուրաքանչյուր կետով և այլն գծելու ենք հատվածներ, որոնք անսահման շատ են։ Նրանք կազմում են կոնաձև մակերես և կոչվում են ձևավորող.

R- գագաթ, ԿԱՄ - կոնաձև մակերեսի առանցք.

Կոնաձեւ մակերեսով և L սահմանով սահմանափակված մարմին կոչվում է կոն: Շրջանակ -կոնի հիմքը: Կոնաձև մակերեսի վերին մասը - կոնի գագաթը.Կոնաձև մակերեսի ձևավորում - կոն կազմելով.Կոնաձև մակերես - կոնի կողային մակերեսը: RO – կոն առանցք.Հեռավորությունը P-ից O – կոն բարձրությունը.Կոնը պտտվող մարմին է։ Այն ստացվում է ոտքի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյունին պտտելով։

Կոն հատված

Առանցքային հատված

Առանցքին ուղղահայաց հատված

ՈԼՈՐՏ ԵՎ ԳՆԴԱԿ

Ոլորտկոչվում է մակերես, որը բաղկացած է տարածության բոլոր կետերից, որոնք գտնվում են տվյալ կետից որոշակի հեռավորության վրա: Այս կետն է ոլորտի կենտրոն։Այս հեռավորությունն է ոլորտի շառավիղը։

Գնդի 2 կետերը միացնող և կենտրոնով անցնող հատված կոչվում է ոլորտի տրամագիծ:

Գնդով սահմանափակված մարմին կոչվում է գնդակ.Գնդի կենտրոնը, շառավիղը և տրամագիծը կոչվում են գնդակի կենտրոնը, շառավիղը և տրամագիծը:

Գունդը և գնդակը պտտման մարմիններ են։ Ոլորտստացվում է տրամագծի շուրջ կիսաշրջան պտտելով և գնդակստացվում է տրամագծի շուրջ կիսաշրջանը պտտելով:

ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում C(x(0), y(0), Z(0) կենտրոնով R շառավղով գնդիկի հավասարումն ունի (x-x(0))(2)+(y-y(0) ձևը: )(2)+(z-z(0))(2)= R(2)

Ուղիղ կարող է պատկանում է ինքնաթիռին, եղիր նա զուգահեռկամ ԽաչԻնքնաթիռ. Ուղղությունը պատկանում է հարթությանը, եթե ուղիղին և հարթությանը պատկանող երկու կետերը ունեն նույն բարձրությունները. Եզրակացությունը, որը հետևում է ասվածից. կետը պատկանում է հարթությանը, եթե այն պատկանում է այս հարթության մեջ ընկած գծին:

Ուղղությունը զուգահեռ է հարթությանը, եթե այն զուգահեռ է այս հարթությունում ընկած ուղիղին:

Հարթությունը հատող ուղիղ գիծ։Հարթության հետ ուղիղ գծի հատման կետը գտնելու համար անհրաժեշտ է (նկ. 3.28).

1) տրված մ ուղիղ գծի միջով անցկացրեք օժանդակ հարթություն Տ;

2) գիծ կառուցել nՏրված հարթության Σ հատումը օժանդակ T հարթության հետ;

3) նշել հատման կետը Ռ,տրված ուղիղ գիծ մհատման գծի հետ n.

Դիտարկենք խնդիրը (նկ. 3.29) Մ գծի վրա ուղիղ գիծը սահմանված է կետով Ա 6և 35° թեքության անկյուն։ Այս գծի միջով անցկացվում է օժանդակ ուղղահայաց հարթություն Տ,որը հատում է Σ հարթությունը գծի երկայնքով n (B 2 C 3) Այսպիսով, մեկ ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքից տեղափոխվում է նույն ուղղահայաց հարթությունում ընկած երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը: Այս խնդիրը լուծվում է այս ուղիղ գծերի պրոֆիլների կառուցմամբ: Գծերի հատում մԵվ nպրոֆիլի վրա որոշում է ցանկալի կետը Ռ. Կետի բարձրացում Ռորոշվում է ուղղահայաց մասշտաբով:

Ուղիղ գիծ՝ հարթությանը ուղղահայաց։ Ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, եթե այն ուղղահայաց է այս հարթության ցանկացած երկու հատվող ուղիղներին: Նկար 3.30-ը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ մ, ուղղահայաց Σ հարթությանը և հատելով այն A կետում: Հատակագծի վրա՝ ուղիղի պրոյեկցիան. միսկ հորիզոնական հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են (ուղղանկյուն, որի մի կողմը զուգահեռ է պրոյեկցիայի հարթությանը, նախագծված է առանց աղավաղման: Երկու ուղիղներն էլ գտնվում են նույն ուղղահայաց հարթության մեջ, հետևաբար նման գծերի դիրքերը մեծությամբ հակադարձ են միմյանց նկատմամբ: : լմ = լ/լ u. Բայց լ uΣ = լΣ, ապա լմ = լ/լΣ, այսինքն՝ m ուղիղ գծի դիրքը հակադարձ համեմատական ​​է հարթության դիրքին։ Ուղիղ գծի և հարթության անկումները ուղղվում են տարբեր ուղղություններով։

3.4. Թվային նշաններով կանխատեսումներ. Մակերեւույթներ

3.4.1. Բազմանդամ և կոր մակերեսներ. Տեղագրական մակերեսը

Բնության մեջ շատ նյութեր ունեն բյուրեղային կառուցվածք՝ պոլիեդրների տեսքով։ Բազմանկյունը հարթ բազմանկյունների հավաքածու է, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության վրա, որտեղ դրանցից մեկի յուրաքանչյուր կողմը նաև մյուսի կողմն է: Բազմեյդրոնը պատկերելիս բավական է նշել նրա գագաթների ելուստները՝ դրանք որոշակի հերթականությամբ միացնելով ուղիղ գծերով՝ եզրերի ելուստներով։ Այս դեպքում գծագրում անհրաժեշտ է նշել տեսանելի և անտեսանելի եզրեր։ Նկ. Նկար 3.31-ում պատկերված է պրիզմա և բուրգ, ինչպես նաև գտնել այս մակերեսներին պատկանող կետերի նշանները:

Ուռուցիկ բազմանկյունների հատուկ խումբը կանոնավոր բազմանկյունների խումբն է, որտեղ բոլոր դեմքերը հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են, իսկ բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար են։ Կան կանոնավոր բազմանկյունների հինգ տեսակ.

Տետրաեդրոն- հավասարակողմ եռանկյուններով սահմանափակված կանոնավոր քառանկյունն ունի 4 գագաթ և 6 եզր (նկ. 3.32 ա):

Hexahedron- կանոնավոր վեցանկյուն (խորանարդ) - 8 գագաթ, 12 եզր (նկ. 3.32բ):

Ութանիստ- կանոնավոր ութանիստ, սահմանափակված ութ հավասարակողմ եռանկյուններով - 6 գագաթ, 12 եզր (նկ. 3.32c):

Դոդեկաեդրոն- կանոնավոր դոդեկաեդրոն, որը սահմանափակված է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններով, որոնք միացված են երեքով յուրաքանչյուր գագաթի մոտ:

Այն ունի 20 գագաթ և 30 եզր (նկ. 3.32 դ):

Icosahedron- կանոնավոր քսանակողմ եռանկյունի, որը սահմանափակված է քսան հավասարակողմ եռանկյուններով, որոնք միացված են յուրաքանչյուր գագաթի մոտ հինգով, 12 գագաթ և 30 եզր (նկ. 3.32 դ):

Բազմեյդոնի երեսին ընկած կետ կառուցելիս անհրաժեշտ է այս երեսին պատկանող ուղիղ գիծ գծել և դրա պրոյեկցիայի վրա նշել կետի պրոյեկցիան։

Կոնաձև մակերևույթները ձևավորվում են ուղղագիծ գեներատրիքսը կոր ուղեցույցի երկայնքով շարժելով այնպես, որ բոլոր դիրքերում գեներատրիքսն անցնի ֆիքսված կետով` մակերեսի գագաթով: Ընդհանուր կոնաձև մակերեսները հատակագծի վրա ներկայացված են հորիզոնական գծով և գագաթով: Նկ. Նկար 3.33-ը ցույց է տալիս կետային նշանի գտնվելու վայրը կոնաձև մակերեսի մակերեսին:

Ուղիղ շրջանաձև կոնը ներկայացված է հավասար ընդմիջումներով գծված համակենտրոն շրջանակների շարքով (նկ. 3.34ա): Էլիպսաձև կոն՝ շրջանաձև հիմքով - էքսցենտրիկ շրջանակների շարք (նկ. 3.34 բ)

Գնդաձև մակերեսներ. Գնդաձև մակերեսը դասակարգվում է որպես հեղափոխության մակերես: Այն ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ շրջան պտտելով: Հատակագծի վրա կենտրոնով սահմանված է գնդաձև մակերես TOև նրա հորիզոնական գծերից մեկի (ոլորտի հասարակածի) պրոյեկցիան (նկ. 3.35):

Տեղագրական մակերեսը. Տեղագրական մակերեսը դասակարգվում է որպես երկրաչափական անկանոն մակերես, քանի որ այն չունի ձևավորման երկրաչափական օրենք։ Մակերեւույթը բնութագրելու համար որոշեք դրա բնորոշ կետերի դիրքը նախագծման հարթության նկատմամբ: Նկ. 3.3 b a-ում բերված է տեղագրական մակերևույթի հատվածի օրինակ, որը ցույց է տալիս նրա առանձին կետերի կանխատեսումները: Չնայած նման պլանը հնարավորություն է տալիս պատկերացում կազմել պատկերված մակերեսի ձևի մասին, դա այնքան էլ պարզ չէ: Գծանկարին ավելի մեծ պարզություն տալու և դրանով իսկ ավելի հեշտ կարդալու համար նույն նշաններով կետերի պրոյեկցիաները միացվում են հարթ կոր գծերով, որոնք կոչվում են հորիզոնականներ (իզոլագծեր) (նկ. 3.36 բ):

Տեղագրական մակերևույթի հորիզոնական գծերը երբեմն սահմանվում են որպես այս մակերևույթի հատման գծեր միմյանցից նույն հեռավորության վրա գտնվող հորիզոնական հարթությունների հետ (նկ. 3.37): Երկու հարակից հորիզոնական գծերի բարձրությունների տարբերությունը կոչվում է հատվածի բարձրություն:

Որքան փոքր է երկու հարակից հորիզոնական գծերի բարձրությունների տարբերությունը, այնքան ավելի ճշգրիտ է տեղագրական մակերեսի պատկերը: Պլանների վրա ուրվագծային գծերը փակ են գծագրի ներսում կամ դրանից դուրս: Ավելի զառիթափ լանջերին ուրվագծային գծերի մակերևութային ելուստներն ավելի են մոտենում իրար, հարթ լանջերին՝ դրանց ելքերը տարբերվում են:

Պլանի վրա երկու հարևան հորիզոնական գծերի ելուստների միջև ամենակարճ հեռավորությունը կոչվում է երեսպատում: Նկ. 3.38 կետով Ատեղագրական մակերեսի վրա գծված են մի քանի ուղիղ գծեր ԻՍԿ ԴՈՒԵվ ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ. Նրանք բոլորն ունեն անկման տարբեր անկյուններ: Հատվածն ունի անկման ամենամեծ անկյունը AC, որի գտնվելու վայրը նվազագույն նշանակություն ունի։ Հետևաբար, դա կլինի տվյալ վայրում մակերեսի անկման գծի պրոեկցիա:

Նկ. 3.39-ը ցույց է տալիս տրված կետով անկման գծի պրոյեկցիայի կառուցման օրինակ Ա. Կետից A 100, կարծես կենտրոնից գծեք շրջանագծի աղեղ, որը դիպչում է կետի մոտակա հորիզոնական գծին 90-ին. Կետ 90-ին,հորիզոնական ժ 90,կպատկանի աշնանային գծին: Կետից 90-ինգծեք մի աղեղ, որը շոշափում է հաջորդ հորիզոնական գիծը կետում 80-ից,և այլն: Գծագրից պարզ է դառնում, որ տեղագրական մակերևույթի անկման գիծը բեկված գիծ է, որի յուրաքանչյուր օղակ ուղղահայաց է հորիզոնականին, անցնում է ավելի ցածր բարձրություն ունեցող օղակի ստորին ծայրով:

3.4.2. Կոնաձեւ մակերեսի հատումը հարթության հետ

Եթե ​​կտրող հարթությունն անցնում է կոնաձև մակերեսի գագաթով, ապա այն հատում է մակերեսը կազմող ուղիղ գծերով։ Մնացած բոլոր դեպքերում հատվածի գիծը կլինի հարթ կոր՝ շրջան, էլիպս և այլն։ Դիտարկենք հարթությունը հատող կոնաձև մակերեսի դեպքը:

Օրինակ 1. Կառուցեք շրջանաձև կոն Ֆ(-ի հատման գծի պրոյեկցիան. ժ օ , Ս 5) Ω հարթությամբ, որը զուգահեռ է կոնաձև մակերեսի գեներատորին:

Տրված հարթության դիրքով կոնաձև մակերեսը հատվում է պարաբոլայի երկայնքով: Գեներատրիքսը ինտերպոլացնելով տմենք կառուցում ենք շրջանաձև կոնի հորիզոնական գծեր՝ կենտրոնով համակենտրոն շրջանակներ Ս 5 . Այնուհետև որոշում ենք հարթության և կոնի նույն հորիզոնականների հատման կետերը (նկ. 3.40):

3.4.3. Տեղագրական մակերեսի հատումը հարթության և ուղիղ գծի հետ

Տեղագրական մակերեսի հարթության հետ հատման դեպքը առավել հաճախ հանդիպում է երկրաբանական խնդիրների լուծման ժամանակ։ Նկ. 3.41-ում բերված է Ս հարթության հետ տեղագրական մակերեսի հատման կառուցման օրինակ: Այն կորը, որը ես փնտրում եմ մորոշվում են նույն հորիզոնական հարթությունների և տեղագրական մակերեսի հատման կետերով։

Նկ. 3.42-ում բերված է ուղղահայաց Σ հարթությամբ տեղագրական մակերեսի իրական տեսքի կառուցման օրինակ: Պահանջվող m ուղիղը որոշվում է կետերով A, B, C... տեղագրական մակերեսի հորիզոնականների հատումը կտրող հարթության Σ. Պլանի վրա կորի պրոյեկցիան վերածվում է ուղիղ գծի, որը համընկնում է հարթության պրոյեկցիայի հետ. մ≡ Ս. Կորի m-ի պրոֆիլը կառուցված է հաշվի առնելով հատակագծի վրա դրա կետերի ելուստների դիրքը, ինչպես նաև դրանց բարձրությունները:

3.4.4. Հավասար թեքության մակերես

Հավասար թեքությամբ մակերեսը կառավարվող մակերես է, որի բոլոր ուղիղ գծերը հորիզոնական հարթության հետ հաստատուն անկյուն են կազմում։ Նման մակերես կարելի է ձեռք բերել հատակագծի հարթությանը ուղղահայաց առանցքով ուղիղ շրջանաձև կոն տեղափոխելով, որպեսզի դրա վերին մասը սահի որոշակի ուղեցույցով, իսկ առանցքը մնա ուղղահայաց ցանկացած դիրքում։

Նկ. Նկար 3.43-ում ներկայացված է հավասար թեքությամբ մակերես (i=1/2), որի ուղեցույցը տարածական կորն է։ Ա Բ Գ Դ.

Ինքնաթիռի ավարտ. Որպես օրինակ՝ դիտարկեք ճանապարհի թեքության հարթությունները:

Օրինակ 1. Ճանապարհի երկայնական թեքություն i=0, թմբի թեքություն i n =1:1.5, (նկ. 3.44ա): Պահանջվում է յուրաքանչյուր 1 մ-ի վրա հորիզոնական գծեր գծել։ Լուծումը հանգում է հետևյալին. Գծում ենք ճանապարհի եզրին ուղղահայաց հարթության թեքության սանդղակը, գծային սանդղակից վերցված 1,5 մ միջակայքին հավասար հեռավորության վրա կետեր նշում և որոշում 49, 48 և 47 կետերը։ Ստացված կետերի միջոցով մենք. գծել լանջի ուրվագիծը ճանապարհի եզրին զուգահեռ:

Օրինակ 2. i≠0 ճանապարհի երկայնական թեքություն, թմբի թեքություն i n =1:1.5, (նկ. 3.44b): Ճանապարհի հարթությունը դասակարգված է։ Ճանապարհի թեքությունը գնահատվում է հետևյալ կերպ. 50.00 գագաթ ունեցող կետում (կամ մեկ այլ կետ) տեղադրում ենք կոնի գագաթը, նկարագրում ենք թմբի թեքության միջակայքին հավասար շառավղով շրջան (մեր օրինակում. լ= 1,5 մ): Կոնի այս հորիզոնական գծի բարձրությունը մեկով պակաս կլինի գագաթի բարձրությունից, այսինքն. 49 մ. Գծում ենք մի շարք շրջանագծեր, ստանում ենք հորիզոնական նշաններ 48, 47, որոնց շոշափող եզրային կետերից 49, 48, 47 նիշերով գծում ենք թմբի թեքության հորիզոնականները։

Մակերեւույթների աստիճանավորում:

Օրինակ 3. Եթե ճանապարհի երկայնական թեքությունը i = 0 է, իսկ թմբի թեքությունը i n = 1: 1,5, ապա թեքության սանդղակի կետերով գծվում են թեքությունների եզրագծային գծերը, որոնց միջակայքը հավասար է. թմբերի թեքությունների միջակայքին (նկ. 3.45ա): Ընդհանուր նորմայի (լանջի սանդղակի) ուղղությամբ հարակից հորիզոնական գծերի երկու ելուստների միջև հեռավորությունը ամենուր նույնն է։

Օրինակ 4. Եթե ճանապարհի երկայնական թեքությունը i≠0 է, իսկ թմբի թեքությունը՝ i n =1:1.5, (նկ. 3.45բ), ապա ուրվագծային գծերը կառուցված են նույն կերպ, բացառությամբ, որ թեքությունը. ուրվագծերը գծվում են ոչ թե ուղիղ գծերով, այլ կորերով։

3.4.5. Պեղումների սահմանային գծի որոշում

Քանի որ հողերի մեծ մասն ի վիճակի չէ պահպանել ուղղահայաց պատերը, պետք է կառուցվեն թեքություններ (արհեստական ​​կառույցներ): Լանջին փոխանցվող թեքությունը կախված է հողից:

Երկրի մակերևույթի մի հատվածին որոշակի թեքությամբ հարթության տեսք տալու համար անհրաժեշտ է իմանալ պեղումների և պեղումների աշխատանքների սահմանային գիծը։ Այս գիծը, սահմանափակելով պլանային տարածքը, ներկայացված է տվյալ տեղագրական մակերեսով լանջերի և փորվածքների հատման գծերով։

Քանի որ յուրաքանչյուր մակերևույթ (ներառյալ հարթ) պատկերված է ուրվագծերով, մակերևույթների հատման գիծը կառուցված է որպես նույն նշաններով ուրվագծերի հատման կետերի հավաքածու: Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 1. Նկ. 3.46-ը ցույց է տալիս հարթության վրա կանգնած, կտրված քառանկյուն բուրգի տեսքով հողե կառույց Ն. Վերին հիմք Ա Բ Գ Դբուրգը նշան ունի 4 մև կողային չափսերը 2×2,5 մ. Կողային երեսները (թափերի լանջերը) ունեն 2:1 և 1:1 թեքություն, որոնց ուղղությունը ցույց է տրված սլաքներով:

Անհրաժեշտ է կառուցել կառույցի թեքությունների հարթության հետ հատման գիծ Նև միմյանց միջև, ինչպես նաև համաչափության առանցքի երկայնքով կառուցել երկայնական պրոֆիլ:

Նախ, կառուցվում է թեքությունների, հանքավայրերի միջակայքերի և մասշտաբների և տվյալ թեքությունների դիագրամը: Կայքի յուրաքանչյուր կողմին ուղղահայաց, թեքությունների մասշտաբները գծվում են որոշակի ընդմիջումներով, որից հետո հարակից երեսների նույն նշաններով ուրվագծային գծերի ելքերը լանջերի հատման գծերն են, որոնք կողային եզրերի ելուստներն են: այս բուրգը:

Բուրգի ստորին հիմքը համընկնում է զրոյական հորիզոնական թեքությունների հետ։ Եթե ​​այս հողային կառույցը հատվում է ուղղահայաց հարթությամբ Ք, խաչմերուկում դուք կստանաք կոտրված գիծ `կառույցի երկայնական պրոֆիլը:

Օրինակ 2. Կառուցեք փոսի լանջերի հատման գիծ՝ հարթ թեքությամբ և միմյանց հետ: Ներքևի ( Ա Բ Գ Դ) փոսը 10 մ բարձրությամբ և 3x4 մ չափերով ուղղանկյուն տարածք է։ Տեղամասի առանցքը հարավ-հյուսիս գծի հետ կազմում է 5° անկյուն։ Պեղումների լանջերն ունեն նույն լանջերը՝ 2:1 (նկ. 3.47):

Զրոյական աշխատանքների գիծը սահմանվում է տեղանքի հատակագծի համաձայն։ Կառուցվում է դիտարկվող մակերեսների հորիզոնական գծերի համանուն ելուստների հատման կետերում։ Լանջերի ուրվագծերի և տեղագրական մակերեսի նույն նշաններով հատման կետերում հայտնաբերվում է թեքությունների հատման գիծը, որոնք տվյալ փոսի կողային եզրերի ելուստներն են։

Այս դեպքում պեղումների կողային լանջերը հարում են փոսի հատակին: Գիծ Ա Բ Գ Դ- ցանկալի խաչմերուկի գիծը. Aa, Bb, Cs, Dd– փոսի եզրերը, թեքությունների միմյանց հետ հատման գծերը.

4. Հարցեր ինքնատիրապետման և «Ուղղանկյուն պրոյեկցիաներ» թեմայով ինքնուրույն աշխատանքի համար.

Կետ

4.1.1. Պրոյեկցիոն մեթոդի էությունը.

4.1.2. Ի՞նչ է կետային պրոյեկցիան:

4.1.3. Ինչպե՞ս են կոչվում և նշանակվում պրոյեկցիոն ինքնաթիռները:

4.1.4. Որո՞նք են նախագծման միացման գծերը գծագրում և ինչպե՞ս են դրանք տեղակայված գծագրում՝ նախագծման առանցքների նկատմամբ:

4.1.5. Ինչպե՞ս կառուցել կետի երրորդ (պրոֆիլային) պրոյեկցիան:

4.1.6. Կառուցեք A, B, C կետերի երեք նախագիծ երեք պատկերով գծագրության վրա, գրեք դրանց կոորդինատները և լրացրեք աղյուսակը:

4.1.7. Կառուցեք բացակայող պրոյեկցիոն առանցքները, x A =25, y A =20: Կառուցեք Ա կետի պրոֆիլային պրոյեկցիան:

4.1.8. Կառուցեք կետերի երեք պրոյեկցիան՝ ըստ դրանց կոորդինատների՝ A(25,20,15), B(20,25,0) և C(35,0,10): Նշե՛ք կետերի դիրքը ելուստների հարթությունների և առանցքների նկատմամբ: Ո՞ր կետն է ավելի մոտ P3 հարթությանը:

4.1.9. Նյութական A և B կետերը սկսում են միաժամանակ ընկնել: Ի՞նչ դիրքում կլինի B կետը, երբ Ա կետը դիպչի գետնին: Որոշեք կետերի տեսանելիությունը: Հողամասեր նոր դիրքում:

4.1.10. Կառուցեք A կետի երեք ելուստ, եթե կետը գտնվում է P 3 հարթության մեջ, և դրանից P 1 հարթության հեռավորությունը 20 մմ է, P 2 հարթությունը՝ 30 մմ: Գրի՛ր կետի կոորդինատները։

Ուղիղ

4.2.1. Ինչպե՞ս կարելի է ուղիղ գիծ սահմանել գծագրում:

4.2.2. Ո՞ր ուղիղն է կոչվում ուղիղ ընդհանուր դիրքում:

4.2.3. Ի՞նչ դիրք կարող է զբաղեցնել ուղիղ գիծը պրոյեկցիոն հարթությունների նկատմամբ:

4.2.4. Ո՞ր դեպքում է ուղիղ գծի պրոյեկցիան վերածվում կետի.

4.2.5. Ի՞նչն է բնորոշ բարդ ուղիղ մակարդակի գծագրությանը:

4.2.6. Որոշի՛ր այս տողերի հարաբերական դիրքը։

ա…բ ա…բ ա…բ

4.2.7. Կառուցեք 20 մմ երկարությամբ ուղիղ AB հատվածի ելուստները՝ հարթություններին զուգահեռ. ա) P 2; բ) P 1; գ) Եզի առանցք. Նշեք հատվածի թեքության անկյունները դեպի պրոյեկցիոն հարթությունները:

4.2.8. Կառուցեք AB հատվածի կանխատեսումները՝ օգտագործելով դրա ծայրերի կոորդինատները՝ A(30,10,10), B(10,15,30): Կառուցեք C կետի ելուստները՝ հատվածը բաժանելով AC:CB = 1:2 հարաբերակցությամբ:

4.2.9. Որոշեք և գրանցեք այս բազմանիստի եզրերի քանակը և դրանց դիրքը պրոյեկցիոն հարթությունների նկատմամբ։

4.2.10. A կետի միջով գծե՛ք m ուղիղ գիծը հատող հորիզոնական և ճակատային գիծ:

4.2.11. Որոշեք b տողի և A կետի միջև եղած հեռավորությունը

4.2.12. Կառուցեք 20 մմ երկարությամբ AB հատվածի ելուստներ, որոնք անցնում են A կետով և ուղղահայաց են հարթությանը a) P 2; բ) P 1; գ) P 3.

Ստերեոմետրիա

Ուղիղ գծերի և հարթությունների փոխադարձ դասավորություն

Տիեզերքում

Ուղիների և հարթությունների զուգահեռություն

Տիեզերքում երկու տող են կոչվում զուգահեռ , եթե նրանք պառկած են նույն հարթության վրա և չեն հատվում։

Ուղիղ գիծը և հարթությունը կոչվում են զուգահեռ , եթե դրանք չեն հատվում։

Երկու ինքնաթիռները կոչվում են զուգահեռ , եթե դրանք չեն հատվում։

Այն ուղիղները, որոնք չեն հատվում և չեն գտնվում նույն հարթության վրա, կոչվում են խաչասերումը .

Ուղի և հարթության զուգահեռության նշան. Եթե ​​հարթությանը չպատկանող ուղիղը զուգահեռ է այս հարթության ինչ-որ ուղիղի, ապա այն զուգահեռ է հենց հարթությանը:

Զուգահեռ հարթությունների նշան. Եթե ​​մի հարթության երկու հատվող ուղիղները համապատասխանաբար զուգահեռ են մեկ այլ հարթության երկու ուղիղներին, ապա այդ հարթությունները զուգահեռ են։

Գծերի հատման նշան. Եթե ​​երկու ուղիղներից մեկն ընկած է հարթության մեջ, իսկ մյուսը հատում է այս հարթությունը առաջին գծին չպատկանող կետում, ապա այս ուղիղները հատվում են։

Թեորեմներ զուգահեռ ուղիղների և զուգահեռ հարթությունների վերաբերյալ.

1. Երրորդ ուղղին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են:

2. Եթե երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը հատում է հարթությունը, ապա մյուս ուղիղը նույնպես հատում է այս հարթությունը։

3. Տրված գծից դուրս գտնվող կետի միջով կարող ես տրվածին զուգահեռ ուղիղ գծել, այն էլ միայն մեկին:

4. Եթե ուղիղը զուգահեռ է երկու հատվող հարթություններին, ապա այն զուգահեռ է նրանց հատման գծին:

5. Եթե երկու զուգահեռ հարթություններ հատվում են երրորդ հարթությամբ, ապա հատման ուղիղները զուգահեռ են։

6. Տրված հարթության մեջ չգտնվող կետի միջով կարող ես տրվածին զուգահեռ հարթություն գծել, այն էլ միայն մեկին։

7. Երրորդին զուգահեռ երկու հարթություններ զուգահեռ են միմյանց:

8. Զուգահեռ հարթությունների միջև պարունակվող զուգահեռ ուղիղների հատվածները հավասար են:

Անկյուններ ուղիղ գծերի և հարթությունների միջև

Անկյուն ուղիղ գծի և հարթության միջևԱնկյուն ուղիղ գծի և հարթության վրա դրա ելքի միջև կոչվում է (նկ. 1-ի անկյուն):

Անկյուն հատվող գծերի միջևտրված հատվող ուղիղներին զուգահեռ հատվող գծերի անկյունն է։

Dihedral անկյունընդհանուր գիծ ունեցող երկու կիսհարթություններով կազմված պատկեր է։ Կիսատլանները կոչվում են եզրեր , ուղիղ – եզր dihedral անկյուն.

Գծային անկյուն Երկկողմանի անկյունը երկանկյունի երեսներին պատկանող կիսագծերի միջև ընկած անկյունն է, որը բխում է եզրի մի կետից և ուղղահայաց եզրին (նկ. 2-ում):

Երկկողմանի անկյան աստիճանի (ռադիանի) չափումը հավասար է նրա գծային անկյան աստիճանի (ռադիանի) չափմանը։

Գծերի և հարթությունների ուղղահայացություն

Երկու ուղիղ գծեր են կոչվում ուղղահայաց եթե դրանք հատվում են ուղիղ անկյան տակ։

Հարթությունը հատող ուղիղ գիծը կոչվում է ուղղահայաց այս հարթությունը, եթե այն ուղղահայաց է այս ուղիղի և հարթության հատման կետով անցնող հարթության որևէ ուղղին։

Երկու ինքնաթիռները կոչվում են ուղղահայաց , եթե հատվում են, ապա կազմում են ուղիղ երկփեղկ անկյուններ։

Ուղղի և հարթության ուղղահայացության նշան. Եթե ​​հարթությունը հատող ուղիղը ուղղահայաց է այս հարթության երկու հատվող ուղիղներին, ապա այն ուղղահայաց է հարթությանը:

Երկու հարթությունների ուղղահայացության նշան. Եթե ​​հարթությունն անցնում է մեկ այլ հարթության ուղղահայաց գծի միջով, ապա այդ հարթությունները ուղղահայաց են:

Թեորեմներ ուղղահայաց ուղիղների և հարթությունների վերաբերյալ:

1. Եթե հարթությունը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին:

2. Եթե երկու ուղիղ ուղղահայաց են նույն հարթությանը, ապա դրանք զուգահեռ են:

3. Եթե ուղիղը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ հարթություններից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին:

4. Եթե երկու հարթություններ ուղղահայաց են նույն ուղիղին, ապա դրանք զուգահեռ են։

Ուղղահայաց և թեք

Թեորեմ. Եթե ​​հարթությունից դուրս մի կետից գծված են ուղղահայաց և թեք գծեր, ապա.

1) հավասար ելուստ ունեցող թեքերը հավասար են.

2) երկու թեքվածներից ավելի մեծ է նա, ում պրոյեկցիան ավելի մեծ է.

3) հավասար շեղերը ունեն հավասար ելուստներ.

4) երկու ելուստներից ավելի մեծ է այն, որը համապատասխանում է ավելի մեծ թեքին:

Երեք ուղղահայաց թեորեմ. Որպեսզի հարթության մեջ ընկած ուղիղ գիծը ուղղահայաց լինի թեքվածին, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այդ ուղիղը ուղղահայաց լինի թեքվածի պրոյեկցիայի վրա (նկ. 3):

Թեորեմ հարթության վրա բազմանկյունի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքի վերաբերյալ:Բազմանկյունի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի մակերեսը հարթության վրա հավասար է բազմանկյան մակերեսի և բազմանկյունի հարթության և պրոյեկցիոն հարթության միջև ընկած անկյան կոսինուսի արտադրյալին:

Շինարարություն.

1. Ինքնաթիռում աիրականացնում ենք ուղիղ Ա.

3. Ինքնաթիռում բկետի միջոցով Աեկեք ուղիղ միացնենք բ, գծին զուգահեռ Ա.

4. Կառուցվել է ուղիղ գիծ բինքնաթիռին զուգահեռ ա.

Ապացույց.Ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռության հիման վրա՝ ուղիղ գիծ բինքնաթիռին զուգահեռ ա, քանի որ այն զուգահեռ է գծին Ա, ինքնաթիռին պատկանող ա.

Ուսումնասիրություն.Խնդիրն ունի անսահման թվով լուծումներ՝ սկսած ուղիղ գծից Աինքնաթիռում աընտրվում է պատահականության սկզբունքով։

Օրինակ 2.Որոշեք, թե հարթությունից ինչ հեռավորության վրա է գտնվում կետը Ա, եթե ուղիղ ԱԲհատում է հարթությունը 45º անկյան տակ՝ կետից հեռավորությունը Ադեպի կետ INՀարթությանը պատկանելը հավասար է սմ.

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 5):

AC- հարթությանը ուղղահայաց ա, ԱԲ– թեք, անկյուն ABC- անկյուն ուղիղ գծի միջև ԱԲև ինքնաթիռ ա. Եռանկյուն ABC- ուղղանկյուն, քանի որ AC- ուղղահայաց: Պահանջվող հեռավորությունը կետից Ադեպի ինքնաթիռ - սա ոտքն է ACուղղանկյուն եռանկյուն. Իմանալով անկյունը և հիպոթենուսը սմ, մենք կգտնենք ոտքը AC:

Պատասխան. 3 սմ.

Օրինակ 3.Որոշի՛ր, թե հավասարաչափ եռանկյան հարթությունից ինչ հեռավորության վրա է գտնվում եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթից 13 սմ հեռավորության վրա գտնվող կետը, եթե եռանկյան հիմքը և բարձրությունը հավասար են 8 սմ:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 6): Կետ Սմիավորներից հեռու Ա, INԵվ ՀԵՏնույն հեռավորության վրա: Այսպիսով, հակված Ս.Ա., Ս.Բ.Եվ Ս.Կ.հավասար, ԱՅՍՊԵՍ– այս թեքվածների ընդհանուր ուղղահայացը: Շեղերի և պրոյեկցիաների թեորեմով AO = VO = CO.

Կետ ՄԱՍԻՆ- եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը ABC. Գտնենք դրա շառավիղը.

Որտեղ Արև- հիմք;

ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ- տրված հավասարաչափ եռանկյունու բարձրությունը:

Գտեք եռանկյան կողմերը ABCուղղանկյուն եռանկյունից ABDՊյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Այժմ մենք գտնում ենք ՕԲ:

Դիտարկենք եռանկյուն ՍՈԲ: Ս.Բ.= 13 սմ, ՕԲ= = 5 սմ Գտեք ուղղահայաց երկարությունը ԱՅՍՊԵՍՊյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Պատասխան. 12 սմ.

Օրինակ 4.Տրված զուգահեռ հարթություններ աԵվ բ. Կետի միջոցով Մ, որը նրանցից ոչ մեկին չի պատկանում, գծված են ուղիղ գծեր ԱԵվ բայդ խաչը ակետերում Ա 1 և IN 1-ը և ինքնաթիռը բ- կետերում Ա 2 և IN 2. Գտեք Ա 1 IN 1, եթե հայտնի է, որ MA 1 = 8 սմ, Ա 1 Ա 2 = 12 սմ, Ա 2 IN 2 = 25 սմ:

Լուծում.Քանի որ պայմանը չի ասում, թե ինչպես է կետը գտնվում երկու հարթությունների համեմատ Մ, ապա հնարավոր է երկու տարբերակ՝ (նկ. 7, ա) և (նկ. 7, բ)։ Եկեք նայենք նրանցից յուրաքանչյուրին: Երկու հատվող գիծ ԱԵվ բսահմանել ինքնաթիռ. Այս հարթությունը հատում է երկու զուգահեռ հարթություններ աԵվ բզուգահեռ գծերի երկայնքով Ա 1 IN 1 և Ա 2 IN 2 ըստ թեորեմ 5-ի զուգահեռ ուղիղների և զուգահեռ հարթությունների մասին:

Եռանկյուններ MA 1 IN 1 և MA 2 IN 2-ը նման են (անկյուններ Ա 2 Մ.Վ 2 և Ա 1 Մ.Վ 1 - ուղղահայաց, անկյուններ MA 1 IN 1 և MA 2 IN 2 – ներքին խաչաձև ընկած զուգահեռ գծերով Ա 1 IN 1 և Ա 2 IN 2 և հատված Ա 1 Ա 2). Եռանկյունների նմանությունից հետևում է կողմերի համաչափությունը.

Տարբերակ ա):

Տարբերակ բ):

Պատասխան. 10 սմ և 50 սմ:

Օրինակ 5.Կետի միջոցով ԱԻնքնաթիռ էուղիղ գիծ գծվեց ԱԲ, հարթության հետ անկյուն կազմելով ա. Ուղիղ միջոցով ԱԲգծված է ինքնաթիռ r, ձևավորվելով ինքնաթիռի հետ էանկյուն բ. Գտեք ուղիղ գծի ելքի միջև ընկած անկյունը ԱԲդեպի ինքնաթիռ էև ինքնաթիռ r.

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 8): Կետից INգցել հարթությանը ուղղահայացը է. Ինքնաթիռների միջև գծային երկփեղկ անկյուն էԵվ r- սա ուղիղ անկյուն է ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ DBC, հիմնվելով ուղիղի և հարթության ուղղահայացության վրա, ինչպես նաև ելնելով հարթությունների ուղղահայացությունից՝ հարթություն. rեռանկյան հարթությանը ուղղահայաց DBC, քանի որ այն անցնում է գծի միջով ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ. Ցանկալի անկյունը կառուցում ենք՝ կետից ուղղահայացը գցելով ՀԵՏդեպի ինքնաթիռ r, նշենք այն Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան այս անկյան սինուսը ԻՆՔՍ ԻՆՁ. Ներկայացնենք օժանդակ հատված ա = մ.թ.ա. Եռանկյունից ABCԵռանկյունից Նավատորմմենք կգտնենք

Այնուհետեւ անհրաժեշտ անկյունը

Պատասխան.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Ես մակարդակում եմ

1.1. Կետի միջով գծե՛ք տրված երկու հատվող գծերին ուղղահայաց գիծ:

1.2. Որոշեք, թե քանի տարբեր հարթություններ կարելի է նկարել.

1) երեք տարբեր կետերի միջոցով.

2) չորս տարբեր կետերի միջով, որոնցից երեքը նույն հարթության վրա չեն:

1.3. Եռանկյան գագաթներով ABCերկու զուգահեռ հարթություններից մեկում ընկած, զուգահեռ գծեր են գծվում, որոնք հատում են երկրորդ հարթությունը կետերում. Ա 1 , IN 1 , ՀԵՏ 1 . Ապացուցե՛ք եռանկյունների հավասարությունը ABCԵվ Ա 1 IN 1 ՀԵՏ 1 .

1.4. Վերևից Աուղղանկյուն Ա Բ Գ Դուղղահայաց վերականգնված AMդեպի իր հարթությունը:

1) ապացուցել, որ եռանկյունները MBCԵվ MDC- ուղղանկյուն;

2) նշել հատվածների մեջ Մ.Բ., Մ.Կ., Մ.Դ.Եվ Մ.Ա.ամենամեծ և ամենակարճ երկարության հատվածը:

1.5. Երկկողմանի մի անկյան երեսները համապատասխանաբար զուգահեռ են մյուսի երեսներին։ Որոշեք այս երկփեղկ անկյունների արժեքների միջև կապը:

1.6. Գտե՛ք երկփեղկ անկյան արժեքը, եթե մի երեսի վրա վերցված կետից մինչև եզրը 2 անգամ մեծ է, քան կետից մինչև երկրորդ երեսի հարթությունը:

1.7. Հարթությունից հեռավորությամբ բաժանված կետից գծվում են երկու հավասար թեք լանջեր՝ կազմելով 60º ​​անկյուն։ Թեք ելուստները փոխադարձաբար ուղղահայաց են: Գտե՛ք թեքվածների երկարությունները։

1.8. Վերևից INքառակուսի Ա Բ Գ Դուղղահայաց վերականգնված ԼԻՆԵԼդեպի հրապարակի հարթությունը։ Եռանկյան հարթության թեքության անկյունը ACEքառակուսու հարթությանը հավասար է ժ, հրապարակի կողմն է Ա ACE.

Մակարդակ II

2.1. Մի կետի միջով, որը չի պատկանում երկու հատվող ուղիղներից մեկին, գծիր մի գիծ, ​​որը հատում է երկու տրված ուղիղները։

2.2. Զուգահեռ գծեր Ա, բԵվ Հետմի պառկեք նույն հարթության մեջ. Կետի միջոցով Աուղիղ գծի վրա Ագծված են ուղիղ գծերի ուղղահայացները բԵվ Հետ, դրանք հատելով համապատասխանաբար կետերում INԵվ ՀԵՏ. Ապացուցեք, որ գիծը Արևուղիղ գծերին ուղղահայաց բԵվ Հետ.

2.3. Վերևի միջով Աուղղանկյուն եռանկյուն ABCհարթությունը գծված է զուգահեռ Արև. Եռանկյունի ոտքեր AC= 20 սմ, Արև= 15 սմ Ոտքերից մեկի ելքը հարթության վրա 12 սմ է Գտե՛ք հիպոթենուսի պրոյեկցիան։

2.4. 30º հավասար անկյան երեսներից մեկում կա կետ Մ. Հեռավորությունը նրանից մինչև անկյունի եզրը 18 սմ է, գտե՛ք կետի ելուստից հեռավորությունը Մ to the second face to the first face.

2.5. Հատվածի ծայրերը ԱԲպատկանում են 90º հավասար երկնիշ անկյան երեսներին: Հեռավորությունը կետերից ԱԵվ INեզրին համապատասխանաբար հավասար են ԱԱ 1 = 3 սմ, ԲԲ 1 = 6 սմ, եզրագծի կետերի միջև հեռավորությունը Գտեք հատվածի երկարությունը ԱԲ.

2.6. Ինքնաթիռից հեռավորության վրա գտնվող կետից Ագծված են երկու թեքվածներ՝ հարթության հետ կազմելով 45º և 30º անկյուններ, իսկ միմյանց միջև՝ 90º անկյուն։ Գտե՛ք թեքվածների հիմքերի միջև եղած հեռավորությունը։

2.7. Եռանկյան կողմերն են 15սմ, 21սմ և 24սմ.Կետ Մհանվել է եռանկյան հարթությունից 73 սմ-ով և գտնվում է նրա գագաթներից նույն հեռավորության վրա: Գտեք այս հեռավորությունը:

2.8. Կենտրոնից ՄԱՍԻՆեռանկյունի մեջ գրված շրջան ABC, եռանկյան հարթությանը վերականգնվում է ուղղահայաց Օ.Մ. Գտեք հեռավորությունը կետից Մդեպի եռանկյան կողմերը, եթե AB = BC = 10 սմ, AC= 12 սմ, Օ.Մ= 4 սմ.

2.9. Հեռավորությունները կետից Մաջ անկյան կողմերին և գագաթին համապատասխանաբար 4 սմ, 7 սմ և 8 սմ են:Գտեք հեռավորությունը կետից Մդեպի ուղիղ անկյան հարթություն:

2.10. Հիմքի միջով ԱԲհավասարաչափ եռանկյուն ABCինքնաթիռը գծված է անկյան տակ բեռանկյան հարթության վրա: Vertex ՀԵՏհեռացվել է ինքնաթիռից հեռավորության վրա Ա. Գտեք եռանկյան մակերեսը ABC, եթե հիմքը ԱԲհավասարաչափ եռանկյան հավասար է իր բարձրությանը:

Մակարդակ III

3.1. Ուղղանկյունի դասավորություն Ա Բ Գ Դկողմերի հետ ԱԵվ բթեքված անկյունագծով ԲԴայնպես, որ եռանկյունների հարթությունները ՎԱՏԵվ BCDդարձավ փոխադարձ ուղղահայաց: Գտեք հատվածի երկարությունը AC.

3.2. 60º անկյուններով երկու ուղղանկյուն trapezoids գտնվում են ուղղահայաց հարթություններում և ունեն ավելի մեծ ընդհանուր հիմք: Ավելի մեծ կողմերը 4 սմ և 8 սմ են։Գտե՛ք ուղիղ գծերի գագաթների և տրապիզոիդների բութ անկյունների գագաթների միջև հեռավորությունը, եթե դրանց սուր անկյունների գագաթները համընկնում են։

3.3.Խորանարդը տրված է ABCDA 1 Բ 1 Գ 1 Դ 1 . Գտեք ուղիղ գծի միջև եղած անկյունը CD 1 և ինքնաթիռ BDC 1 .

3.4. Եզրին ԱԲԿուբա ABCDA 1 Բ 1 Գ 1 ԴՎերցված 1 միավոր Ռ- այս կողոսկրի կեսը: Կառուցեք խորանարդի հատվածը կետերով անցնող հարթությամբ Գ 1 Պ.Դ.և գտե՛ք այս հատվածի մակերեսը, եթե խորանարդի եզրը հավասար է Ա.

3.5. Կողքի միջով ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆուղղանկյուն Ա Բ Գ Դգծված է ինքնաթիռ աայնպես որ շեղանկյունը ԲԴայս հարթության հետ կազմում է 30º անկյուն: Գտի՛ր ուղղանկյան հարթության և հարթության անկյունը ա, Եթե ԱԲ = Ա, AD = բ. Որոշեք, թե ինչ հարաբերակցությամբ ԱԵվ բխնդիրը լուծում ունի.

3.6. Գտե՛ք եռանկյան կողմերից սահմանված ուղիղներից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղը:

Պրիզմա. Զուգահեռաբար

Պրիզմաբազմանկյուն է, որի երկու դեմքերը հավասար են n-անկյունների (հիմքեր) , զուգահեռ հարթություններում ընկած, իսկ մնացած n դեմքերը զուգահեռականներ են (կողային դեմքեր) . Կողային կող Պրիզմայի այն կողմը, որը չի պատկանում հիմքին, կոչվում է պրիզմայի կողմ։

Այն պրիզմա է, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերի հարթություններին, կոչվում է ուղիղ պրիզմա (նկ. 1): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքերի հարթություններին, ապա կոչվում է պրիզմա հակված . Ճիշտ է Պրիզման ճիշտ պրիզմա է, որի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

Բարձրությունպրիզմա հիմքերի հարթությունների միջև եղած հեռավորությունն է։ Շեղանկյուն Պրիզման մի հատված է, որը կապում է երկու գագաթները, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին: Շեղանկյուն հատված կոչվում է պրիզմայի մի հատված, որն անցնում է միևնույն դեմքին չպատկանող երկու կողային եզրերով։ Ուղղահայաց հատված կոչվում է պրիզմայի հատված պրիզմայի կողային եզրին ուղղահայաց հարթությամբ։

Կողմնակի մակերեսը Պրիզմայի բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումարն է: Ընդհանուր մակերեսը կոչվում է պրիզմայի բոլոր երեսների մակերեսների գումար (այսինքն՝ կողային երեսների և հիմքերի մակերեսների գումարը)։

Կամայական պրիզմայի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.:

Որտեղ լ- կողային կողի երկարությունը;

Հ- բարձրություն;

Պ

Ք

S կողմը

Ս լիքը

S բազա- հիմքերի տարածքը;

Վ- պրիզմայի ծավալը.

Ուղիղ պրիզմայի համար հետևյալ բանաձևերը ճիշտ են.

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

լ- կողային կողի երկարությունը;

Հ- բարձրություն.

զուգահեռկոչվում է պրիզմա, որի հիմքը զուգահեռագիծ է: Զուգահեռաբար, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, կոչվում է ուղիղ (նկ. 2): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, ապա կոչվում է զուգահեռական հակված . Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձը, որի հիմքը ուղղանկյուն է, կոչվում է ուղղանկյուն. Կոչվում է ուղղանկյուն զուգահեռ եզրագիծ, որի բոլոր եզրերը հավասար են խորանարդ

Զուգահեռականի դեմքերը, որոնք չունեն ընդհանուր գագաթներ, կոչվում են հակառակը . Մեկ գագաթից բխող եզրերի երկարությունները կոչվում են չափումներ զուգահեռ. Քանի որ զուգահեռականը պրիզմա է, դրա հիմնական տարրերը սահմանվում են այնպես, ինչպես սահմանվում են պրիզմաների համար:

Թեորեմներ.

1. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսում այն:

2. Ուղղանկյուն զուգահեռականում շեղանկյունի երկարության քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին.

3. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հավասար են միմյանց:

Կամայական զուգահեռականի համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

Որտեղ լ- կողային կողի երկարությունը;

Հ- բարձրություն;

Պ- ուղղահայաց հատվածի պարագիծը;

Ք– Ուղղահայաց խաչմերուկ;

S կողմը- կողային մակերեսը;

Ս լիքը- ընդհանուր մակերեսը;

S բազա- հիմքերի տարածքը;

Վ- պրիզմայի ծավալը.

Աջ զուգահեռականի համար հետևյալ բանաձևերը ճիշտ են.

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

լ- կողային կողի երկարությունը;

Հ– աջ զուգահեռականի բարձրությունը:

Ուղղանկյուն զուգահեռականի համար հետևյալ բանաձևերը ճիշտ են.

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

Հ- բարձրություն;

դ- անկյունագծային;

ա, բ, գ- զուգահեռականի չափումներ.

Հետևյալ բանաձևերը ճիշտ են խորանարդի համար.

Որտեղ ա- կողերի երկարությունը;

դ- խորանարդի անկյունագիծ:

Օրինակ 1.Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագիծը 33 դմ է, իսկ չափերը՝ 2:6:9 հարաբերակցությամբ: Գտե՛ք զուգահեռագծի չափերը:

Լուծում.Զուգահեռի չափերը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (3), այսինքն. նրանով, որ խորանարդի հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է նրա չափերի քառակուսիների գումարին։ Նշենք ըստ կհամաչափության գործոն. Այդ դեպքում զուգահեռանիստի չափերը հավասար կլինեն 2-ի կ, 6կև 9 կ. Խնդրի տվյալների համար գրենք բանաձև (3).

Լուծելով այս հավասարումը կ, ստանում ենք.

Սա նշանակում է, որ զուգահեռականի չափերն են 6 դմ, 18 դմ և 27 դմ։

Պատասխան. 6 դմ, 18 դմ, 27 դմ.

Օրինակ 2.Գտե՛ք թեքված եռանկյուն պրիզմայի ծավալը, որի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է 8 սմ կողմով, եթե կողային եզրը հավասար է հիմքի կողմին և թեքված է հիմքի նկատմամբ 60º անկյան տակ։

Լուծում . Եկեք նկարենք (նկ. 3):

Թեք պրիզմայի ծավալը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը: Այս պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասարակողմ եռանկյան մակերեսն է, որի կողմը 8 սմ է: Եկեք հաշվարկենք այն.

Պրիզմայի բարձրությունը նրա հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է։ Վերևից ԱՎերին հիմքի 1, իջեցրեք ստորին հիմքի հարթությանը ուղղահայացը Ա 1 Դ. Դրա երկարությունը կլինի պրիզմայի բարձրությունը: Դիտարկենք Դ Ա 1 ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆքանի որ սա կողային եզրի թեքության անկյունն է Ա 1 Ադեպի բազային հարթություն, Ա 1 Ա= 8 սմ Այս եռանկյունից մենք գտնում ենք Ա 1 Դ:

Այժմ մենք հաշվարկում ենք ծավալը՝ օգտագործելով բանաձևը (1).

Պատասխան. 192 սմ 3.

Օրինակ 3.Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի կողային եզրը 14 սմ է, ամենամեծ անկյունագծային հատվածի մակերեսը՝ 168 սմ 2։ Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 4)

Ամենամեծ անկյունագծային հատվածը ուղղանկյուն է Ա.Ա. 1 DD 1 սկսած անկյունագծից ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆկանոնավոր վեցանկյուն ABCDEFամենամեծն է։ Պրիզմայի կողային մակերեսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքի կողմը և կողային եզրի երկարությունը:

Իմանալով անկյունագծային հատվածի տարածքը (ուղղանկյուն), մենք գտնում ենք հիմքի անկյունագիծը:

Այդ ժամանակվանից

Այդ ժամանակվանից ԱԲ= 6 սմ.

Այնուհետև հիմքի պարագիծը հետևյալն է.

Եկեք գտնենք պրիզմայի կողային մակերեսի տարածքը.

6 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր վեցանկյան մակերեսը հետևյալն է.

Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը.

Պատասխան.

Օրինակ 4.Աջ զուգահեռականի հիմքը ռոմբ է: Անկյունագծերի խաչմերուկները 300 սմ2 և 875 սմ2 են։ Գտեք զուգահեռականի կողային մակերեսի տարածքը:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 5):

Նշենք ռոմբի կողմը Ա, ռոմբի անկյունագծեր դ 1 և դ 2, զուգահեռական բարձրություն հ. Աջ զուգահեռականի կողային մակերեսի մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազայի պարագիծը բազմապատկել բարձրությամբ (բանաձև (2)): Հիմքի պարագիծը p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, որովհետեւ Ա Բ Գ Դ- ռոմբուս H = AA 1 = հ. Դա. Պետք է գտնել ԱԵվ հ.

Դիտարկենք անկյունագծային հատվածները: ԱԱ 1 ՍՍ 1 – ուղղանկյուն, որի մի կողմը ռոմբի անկյունագիծն է AC = դ 1, երկրորդ - կողային եզր ԱԱ 1 = հ, Հետո

Նմանապես հատվածի համար ԲԲ 1 DD 1 մենք ստանում ենք.

Օգտագործելով զուգահեռագծի այնպիսի հատկություն, որ անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար լինի նրա բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին, մենք ստանում ենք հավասարություն Ստանում ենք հետևյալը.

Առաջին երկու հավասարություններից արտահայտենք և փոխարինենք երրորդով։ Մենք ստանում ենք. ապա

1.3. Թեք եռանկյուն պրիզմայում կողային եզրին ուղղահայաց գծվում է հատված, որը հավասար է 12 սմ: Ստացված եռանկյունում սմ և 8 սմ երկարությամբ երկու կողմերը կազմում են 45° անկյուն: Գտեք պրիզմայի կողային մակերեսը:

1.4. Ուղիղ զուգահեռականի հիմքը 4 սմ կողմով և 60° սուր անկյունով ռոմբ է։ Գտե՛ք զուգահեռականի անկյունագծերը, եթե կողային եզրի երկարությունը 10 սմ է։

1.5. Աջ զուգահեռականի հիմքը քառակուսի է, որի անկյունագիծը հավասար է սմ: Զուգահեռագծի կողային եզրը 5 սմ է: Գտե՛ք զուգահեռականի ընդհանուր մակերեսը:

1.6. Թեք զուգահեռականի հիմքը ուղղանկյուն է, որի կողմերը 3 սմ և 4 սմ են, կողային եզրը, որը հավասար է սմ-ին, թեքված է հիմքի հարթությանը 60° անկյան տակ: Գտե՛ք զուգահեռականի ծավալը:

1.7. Հաշվեք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի մակերեսը, եթե մեկ գագաթից բխող երկու եզրերը և անկյունագիծը համապատասխանաբար 11 սմ, սմ և 13 սմ են:

1.8. Որոշեք 0,3 մ, 0,3 մ և 2,5 մ չափսերով ուղղանկյուն զուգահեռականի տեսքով քարե սյունակի կշիռը, եթե նյութի տեսակարար կշիռը 2,2 գ/սմ3 է։

1.9. Գտե՛ք խորանարդի անկյունագծային կտրվածքի մակերեսը, եթե նրա դեմքի անկյունագիծը հավասար է dm-ի:

1.10. Գտե՛ք խորանարդի ծավալը, եթե նրա երկու գագաթների միջև հեռավորությունը, որոնք միևնույն դեմքի վրա չեն գտնվում, հավասար է սմ:

Մակարդակ II

2.1. Թեք պրիզմայի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, որի կողմը սմ է, կողային եզրը թեքված է դեպի հիմքի հարթությունը 30° անկյան տակ։ Գտեք կողային եզրով անցնող պրիզմայի խաչմերուկի տարածքը և պրիզմայի բարձրությունը, եթե հայտնի է, որ վերին հիմքի գագաթներից մեկը նախագծված է ստորին հիմքի կողմի կեսին:

2.2. Թեք պրիզմայի հիմքը ABC հավասարակողմ եռանկյուն է, որի կողմը հավասար է 3 սմ: A 1 գագաթը նախագծված է ABC եռանկյան կենտրոնում: Rib AA 1-ը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45° անկյուն: Գտեք պրիզմայի կողային մակերեսը:

2.3. Հաշվե՛ք թեքված եռանկյուն պրիզմայի ծավալը, եթե հիմքի կողմերը 7 սմ, 5 սմ և 8 սմ են, իսկ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է հիմքի եռանկյունու փոքր բարձրությանը։

2.4. Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի անկյունագիծը 30° անկյան տակ թեքված է դեպի կողային երեսը։ Գտեք թեքության անկյունը հիմքի հարթության նկատմամբ:

2.5. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը հավասարաչափ trapezoid է, որի հիմքերը 4 սմ և 14 սմ են, իսկ անկյունագիծը 15 սմ է, պրիզմայի երկու կողային երեսները քառակուսի են։ Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը:

2.6. Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի անկյունագծերը 19 սմ և 21 սմ են, գտե՛ք դրա ծավալը։

2.7. Գտե՛ք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի չափերը, որի անկյունագիծը 8 դմ է և կողային երեսներով կազմում է 30° և 40° անկյուններ:

2.8. Աջ զուգահեռականի հիմքի անկյունագծերը 34 սմ և 38 սմ են, իսկ կողային երեսների մակերեսները՝ 800 սմ 2 և 1200 սմ 2։ Գտե՛ք զուգահեռականի ծավալը:

2.9. Որոշեք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ծավալը, որի մեկ գագաթից դուրս եկող կողային երեսների անկյունագծերը 4 սմ և 5 սմ են և կազմում են 60° անկյուն։

2.10. Գտե՛ք խորանարդի ծավալը, եթե նրա անկյունագծից մինչև նրա հետ չհատվող եզրի հեռավորությունը մմ է:

Մակարդակ III

3.1. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայում հիմքի կողքով և հակառակ կողմի եզրի միջով անցվում է հատված: Հիմքի մակերեսը 18 սմ 2 է, իսկ կողային երեսի անկյունագիծը դեպի հիմքը թեքված է 60° անկյան տակ։ Գտեք խաչմերուկի տարածքը:

3.2. Պրիզմայի հիմքում ընկած է ABCD քառակուսի, որի բոլոր գագաթները հավասար են վերին հիմքի A 1 գագաթից: Կողքի եզրի և հիմքի հարթության միջև անկյունը 60° է։ Հիմքի կողմը 12 սմ է, Կառուցե՛ք պրիզմայի մի հատված C գագաթով անցնող հարթությամբ, ուղղահայաց AA 1 եզրին և գտե՛ք դրա մակերեսը:

3.3. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը հավասարաչափ trapezoid է: Անկյունագծային կտրվածքի մակերեսը և զուգահեռ կողային երեսների մակերեսը համապատասխանաբար կազմում են 320 սմ 2, 176 սմ 2 և 336 սմ 2: Գտեք պրիզմայի կողային մակերեսը:

3.4. Ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի հիմքի մակերեսը 9 սմ 2 է, կողային երեսների մակերեսը՝ 18 սմ 2, 20 սմ 2 և 34 սմ 2։ Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը:

3.5. Գտե՛ք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծերը՝ իմանալով, որ նրա երեսների անկյունագծերը 11 սմ, 19 սմ և 20 սմ են։

3.6. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի հիմքի անկյունագծով կազմված անկյունները հիմքի կողմի և զուգահեռանիստի անկյունագծի հետ համապատասխանաբար հավասար են a և b-ի: Գտե՛ք զուգահեռականի կողային մակերեսը, եթե նրա անկյունագիծը d է.

3.7. Խորանարդի այն հատվածի մակերեսը, որը կանոնավոր վեցանկյուն է, հավասար է սմ 2-ի: Գտեք խորանարդի մակերեսը: