Քառակուսի ֆունկցիա

Գործառույթ f(x)=ax2+bx2+c, Որտեղ ա, բ, գ- որոշ իրական թվեր ( ա 0), կանչեց քառակուսի ֆունկցիա. Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է պարաբոլա.

Քառակուսի ֆունկցիան կարող է կրճատվել ձևի

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

արտահայտություն b2-4acկանչեց խտրականքառակուսի եռանկյուն. Քառակուսային ֆունկցիայի ներկայացումը (1) ձևով կոչվում է ընտրություն լրիվ քառակուսի.

Քառակուսային ֆունկցիայի հատկությունները և դրա գրաֆիկը

Քառակուսային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։

ժամը բ 0 ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ: ժամը բ=0 քառակուսի ֆունկցիա՝ զույգ:

Քառակուսի ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող իր ամբողջ սահմանման տիրույթում:

Ֆունկցիան ունի մեկ կրիտիկական կետ

x=-b/(2a). Եթե ա>0, ապա կետում x=-b/(2a)ֆունկցիան ունի նվազագույնը: ժամը x<-b/(2a) ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է, հետ x>-b/(2a)միապաղաղ աճում է.

Եթե Ա<0, то в точке x=-b/(2a)ֆունկցիան ունի առավելագույնը. ժամը x<-b/(2a) ֆունկցիան մեծանում է միապաղաղ, հետ x>-b/(2a)միապաղաղ նվազում է.

Աբսցիսով քառակուսի ֆունկցիայի կետային գրաֆիկ x=-b/(2a)եւ ձեռնադրել y= -((b2-4ac)/4a)կանչեց պարաբոլայի գագաթը.

Ֆունկցիայի փոփոխության տարածքը. երբ ա>0 - ֆունկցիայի արժեքների հավաքածու [-((b2-4ac)/4a); +); ժամը ա<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը 0տկետում y=c. Եթե b2-4ac>0, քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը 0xերկու կետերում (քառակուսի հավասարման տարբեր իրական արմատներ); Եթե b2-4ac=0 (քառակուսի հավասարումունի բազմապատկության մեկ արմատ 2), քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը դիպչում է առանցքին 0xկետում x=-b/(2a); Եթե b2-4ac<0 , խաչմերուկներ առանցքի հետ 0xՈչ

(1) ձևով քառակուսի ֆունկցիայի ներկայացումից հետևում է նաև, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ուղիղ գծի նկատմամբ. x=-b/(2a)- օրդինատների առանցքի պատկերը զուգահեռ թարգմանության ժամանակ r=(-b/(2a); 0).

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

f(x)=ax2+bx+c

• (կամ f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a))կարելի է ստանալ ֆունկցիայի գրաֆիկից f(x)=x2 հետեւյալ փոխակերպումներով:
  • ա) զուգահեռ փոխանցում r=(-b/(2a); 0);
  • բ) սեղմում (կամ ձգում) դեպի x առանցք գ Ամեկ անգամ;
  • գ) զուգահեռ փոխանցում

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիակոչվում է ձևի ֆունկցիա f(x)=ax, Որտեղ Ա- կանչված է մի քանի դրական իրական թիվ աստիճանի հիմքը.ժամը a=1էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի արժեքը փաստարկի ցանկացած արժեքի համար հավասար է մեկի, իսկ դեպքը Ա=1 չի դիտարկվի հետագա:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները.

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է։

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր դրական թվերի բազմությունն է։

Ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող իր ամբողջ սահմանման տիրույթում: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով

(ա x) = ա xln ա

ժամը Ա>1 ֆունկցիան մեծանում է միապաղաղ, հետ Ա<1 монотонно убывает.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ունի հակադարձ ֆունկցիա, որը կոչվում է լոգարիթմական ֆունկցիա։

Ցանկացած էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը 0տկետում y=1.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր վերև ուղղված կոր է։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը արժեքով Ա=2 ցույց է տրված Նկ. 5

Լոգարիթմական ֆունկցիա

y= էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան ա x կոչվում է լոգարիթմականև նշել

y=loga x.

Թիվ Ականչեց հիմքլոգարիթմական ֆունկցիա. 10 հիմքով լոգարիթմական ֆունկցիան նշանակում են

և հիմքով լոգարիթմական ֆունկցիա ենշանակել

Լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները

Լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը միջակայքն է (0; +):

Լոգարիթմական ֆունկցիայի միջակայքը ամբողջ թվային միջակայքն է։

Լոգարիթմական ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող իր ամբողջ սահմանման տիրույթում: Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով

(լոգա x) = 1/(x ln a):

Լոգարիթմական ֆունկցիան միապաղաղ մեծանում է, եթե Ա>1. 0-ին<ա<1 логарифмическая функция с основанием Ամիապաղաղ նվազում է. Ցանկացած պատճառով ա>0, ա 1, հավասարությունները պահպանվում են

լոգա 1 = 0, լոգա = 1:

ժամը Ա>1 լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ - գոգավոր կերպով դեպի ներքև ուղղված կոր; 0-ին<ա<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը ժամը Ա=2 ցույց է տրված Նկ. 6.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հակադարձ ֆունկցիա y= էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի համար ա x-ը կլինի լոգարիթմական ֆունկցիա x =log ա y. Համաձայն փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների հատկությունների f և f-I բոլորի համար x f-I(x) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից։ Մասնավորապես, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիայի համար հավասարությունը (1) ընդունում է ձևը

ագերան ա y=y.

Հավասարությունը (2) հաճախ կոչվում է հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը. Ցանկացած դրականի համար x, yԼոգարիթմական ֆունկցիայի համար ճշմարիտ են հետևյալ հավասարումները, որոնք կարող են ստացվել որպես հիմնական լոգարիթմական նույնականության (2) և էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունների հետևանքներ.

լոգա (xy)=loga x+loga y;

լոգա (x/y)= լոգա x-loga y;

լոգա(x)= լոգաքս(- ցանկացած իրական թիվ);

լոգա=1;

լոգա x = (լոգբ x/ լոգբ ա) (բ- իրական թիվ, b>0, բ 1).

Մասնավորապես, վերջին բանաձեւից համար a=e, b=10 ստանում ենք հավասարությունը

ln x = (1/(ln ե))լգ x.(3)

lg համարը եկոչվում է բնական լոգարիթմներից տասնորդականների անցման մոդուլ և նշվում է M տառով, իսկ բանաձևը (3) սովորաբար գրվում է ձևով.

lg x =M ln x.

Հակադարձ համեմատական ​​հարաբերություն

Փոփոխական yկանչեց հակադարձ համեմատականփոփոխական x, եթե այս փոփոխականների արժեքները կապված են հավասարությամբ y = k/x, Որտեղ կ- զրոյից տարբերվող իրական թիվ: Թիվ կկոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:

y = k/x ֆունկցիայի հատկությունները

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ 0-ի:

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ 0-ի:

Գործառույթ f(x) = k/x- տարօրինակ է, և դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ: Գործառույթ f(x) = k/xշարունակական և տարբերակելի սահմանման ողջ տիրույթում: f(x) = -k/x2:Ֆունկցիան կրիտիկական կետեր չունի:

Գործառույթ f(x) = k/x k>0-ի համար միապաղաղ նվազում է (-, 0) և (0, +), իսկ k-ի համար<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ f(x) = k/x k>0-ի համար (0, +) միջակայքում այն ​​ուղղվում է գոգավոր կերպով դեպի վեր, իսկ (-, 0) միջակայքում՝ գոգավոր դեպի ներքև։ Կ<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Ֆունկցիայի գրաֆիկ f(x) = k/xարժեքի համար կ=1 ցույց է տրված Նկ. 7.

եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Sin, cos, tg, ctg ֆունկցիաներըկոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներանկյուն. Բացի sin, cos, tg, ctg հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից, կան անկյան ևս երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. հատվածԵվ զուգորդող, նշվում է վրկԵվ cosecհամապատասխանաբար.

Սինուսթվեր Xանկյան սինուսին հավասար թիվ է ռադիաններով։

sin x ֆունկցիայի հատկությունները.

Sin x ֆունկցիան կենտ է՝ sin (-x)=- sin x:

Sin x ֆունկցիան պարբերական է։ Ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը 2 է:

sin (x+2)= մեղք x.

Ֆունկցիայի զրոները՝ sin x=0 at x= n, nԶ.

Նշեք կայունության միջակայքերը.

sin x>0 x-ում (2 n; +2n), nԶ,

մեղք x<0 при x (+2n; 2+2n), nԶ.

Sin x ֆունկցիան շարունակական է և ունի ածանցյալ փաստարկի ցանկացած արժեքի համար.

(sin x) =cos x.

Sin x ֆունկցիան մեծանում է որպես x ((-/2)+2 n;(/2)+2n), n Z, և նվազում է որպես x ((/2)+2 n; ((3)/2)+ 2n),nԶ.

Sin x ֆունկցիան ունի նվազագույն արժեքներ, որոնք հավասար են -1-ին x=(-/2)+2-ում n, n Z, իսկ առավելագույն արժեքները հավասար են 1-ի x=(/2)+2-ում n, nԶ.

y=sin x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 8. Կանչվում է sin x ֆունկցիայի գրաֆիկը սինուսոիդ.

cos x ֆունկցիայի հատկությունները

Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է:

Արժեքների միջակայքը [-1; 1].

Գործառույթը cos x - զույգ՝ cos (-x)=cos x:

cos x ֆունկցիան պարբերական է։ Ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը 2 է:

cos (x+2)= cos x.

Ֆունկցիայի զրոները՝ cos x=0 x=(/2)+2-ում n, nԶ.

Նշեք կայունության միջակայքերը.

cos x>0 x ((-/2)+2-ում n;(/2)+2n)), nԶ,

cos x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), nԶ.

Cos x ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող փաստարկի ցանկացած արժեքի համար.

(cos x) = -sin x.

cos x ֆունկցիան մեծանում է որպես x (-+2 n; 2n), nԶ,

և նվազում է որպես x (2 n; + 2n),nԶ.

Cos x ֆունկցիան ունի նվազագույն արժեքներ, որոնք հավասար են -1-ին x=+2-ում n, n Z, իսկ առավելագույն արժեքները հավասար են 1-ի x=2-ում n, nԶ.

y=cos x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 9.

tg x ֆունկցիայի հատկությունները

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ x=/2+ n, nԶ.

Գործառույթ tg x - կենտ. tg (-x)=- tg x:

tg x ֆունկցիան պարբերական է։ Ֆունկցիայի ամենափոքր դրական ժամանակահատվածն է.

tg (x+)= tg x.

Ֆունկցիայի զրոները՝ tg x=0 x=-ում n, nԶ.

Նշեք կայունության միջակայքերը.

tan x>0 ժամը x ( n; (/2)+n), nԶ,

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), nԶ.

tg x ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող որոշման տիրույթից արգումենտի ցանկացած արժեքի համար.

(tg x) =1/cos2 x.

tg x ֆունկցիան մեծանում է յուրաքանչյուր միջակայքում

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

y=tg x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 10. tg x ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է տանգենոիդ.

сtg x ֆունկցիայի հատկությունները.

n, nԶ.

Տարածքը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է:

сtg x - կենտ ֆունկցիա՝ сtg (-х)=- сtg x.

Сtg x ֆունկցիան պարբերական է։ Ֆունկցիայի ամենափոքր դրական ժամանակահատվածն է.

ctg (x+) = ctg x.

Ֆունկցիայի զրոները՝ ctg x=0 x=(/2)+-ում n, nԶ.

Նշեք կայունության միջակայքերը.

մահճակալ x>0 ժամը x ( n; (/2)+n), nԶ,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), nԶ.

ctg x ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող որոշման տիրույթից արգումենտի ցանկացած արժեքի համար.

(ctg x) =-(1/sin2 x):

ctg x ֆունկցիան նվազում է յուրաքանչյուր միջակայքում ( n;(n+1)), nԶ.

y=сtg x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. տասնմեկ.

Sec x ֆունկցիայի հատկությունները.

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ ձևի թվերի

x=(/2)+ n, nԶ.

Շրջանակ:

Sec x - զույգ ֆունկցիա՝ վրկ (-x)= վրկ x:

Sec x ֆունկցիան պարբերական է: Ֆունկցիայի ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը 2 է:

վրկ (x+2)= վրկ x.

Sec x ֆունկցիան արգումենտի որևէ արժեքի համար զրոյի չի հասնում:

Նշեք կայունության միջակայքերը.

վրկ x>0 x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

վրկ x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), nԶ.

Sec x ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվում է ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից արգումենտի ցանկացած արժեքի համար.

(վրկ x) = մեղք x/cos2 x.

Sec x ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջումներով

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],nԶ,

և արանքում նվազում է

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], nԶ.

y=sec x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 12.

cosec x ֆունկցիայի հատկությունները

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ x= ձևի թվերի n, nԶ.

Շրջանակ:

Գործառույթ cosec x - կենտ. cosec (-x)= -cosec x:

cosec x ֆունկցիան պարբերական է։ Ֆունկցիայի ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը 2 է:

cosec (x+2)= cosec x.

արգումենտի որևէ արժեքի համար cosec x ֆունկցիան զրոյի չի հասնում:

Նշեք կայունության միջակայքերը.

cosec x>0 ժամը x (2 n; +2n), nԶ,

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), nԶ.

Cosec x ֆունկցիան շարունակական է և տարբերելի է ֆունկցիայի տիրույթից արգումենտի ցանկացած արժեքի համար.

(cosec x) =-(cos x/sin2 x):

Cosec x ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջումներով

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],nԶ,

և արանքում նվազում է

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), nԶ.

y=cosec x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 13.

y =a*x^2+b*x+c ձևի ֆունկցիան, որտեղ a,b,c-ը որոշ իրական թվեր են, իսկ a-ն զրոյական չէ, իսկ x,y-ը փոփոխականներ են, կոչվում է քառակուսի ֆունկցիա։ y =a*x^2+b*x+c քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը մաթեմատիկայում կոչվող ուղիղ է. պարաբոլա. Պարաբոլայի ընդհանուր տեսքներկայացված է ստորև բերված նկարում:

Հարկ է նշել, որ եթե ֆունկցիան ունի a>0 գործակից, ապա պարաբոլան իր ճյուղերով դեպի վեր է ուղղված, իսկ եթե a քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է համաչափության առանցքի նկատմամբ։ Պարաբոլայի համաչափության առանցքը x=(-b)/(2*a) կետով գծված ուղիղ գիծն է՝ Oy առանցքին զուգահեռ։

Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս կամայական քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ: Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկի գծում: Նկարում նշված են նաև պարաբոլայի գագաթը և համաչափության առանցքը։

Կախված a գործակցի արժեքից, պարաբոլայի վերին մասը կլինի քառակուսի ֆունկցիայի նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը։ Երբ a>0, գագաթը քառակուսի ֆունկցիայի նվազագույն արժեքն է, և չկա առավելագույն արժեք: Երբ ա, համաչափության առանցքն անցնում է պարաբոլայի գագաթով։ Քառակուսային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը իրական թվերի R ամբողջ բազմությունն է։

y =a*x^2+b*x+c քառակուսի ֆունկցիան միշտ կարող է փոխակերպվել y=a*(x+k)^2+p ձևի, որտեղ k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Դա անելու համար դուք պետք է ընտրեք ամբողջական քառակուսի:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ կոորդինատներով կետը (-k;p) կլինի պարաբոլայի գագաթը: Y=a*(x+k)^2+p քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ y=a*x^2 ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ օգտագործելով զուգահեռ թարգմանությունը։

Ուսման հետ կապված օգնության կարիք ունե՞ք: