Այս ձեռնարկը կօգնի ձեզ սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներովմատրիցների գումարում (հանում), մատրիցի փոխադրում, մատրիցների բազմապատկում, հակադարձ մատրիցայի հայտնաբերում։ Ամբողջ նյութը ներկայացված է պարզ և մատչելի ձևով, տրված են համապատասխան օրինակներ, այնպես որ նույնիսկ անպատրաստ մարդը կարող է սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներով: Ինքնադիտարկման և ինքնաթեստավորման համար կարող եք անվճար ներբեռնել մատրիցային հաշվիչը >>>:

Կփորձեմ նվազագույնի հասցնել տեսական հաշվարկները, տեղ-տեղ հնարավոր են «մատների վրա» բացատրություններ և ոչ գիտական ​​տերմինների օգտագործում։ Կուռ տեսության սիրահարներ, խնդրում եմ քննադատությամբ չզբաղվեք, մեր խնդիրն է սովորել մատրիցներով գործողություններ կատարել.

ՍՈՒՊԵՐ ԱՐԱԳ պատրաստվելու համար թեմայի (ով է «կրակի վրա») գործում է ինտենսիվ pdf դասընթաց Մատրիցա, որոշիչ և թեստ:

Մատրիցը որոշ ուղղանկյուն աղյուսակ է տարրեր. Ինչպես տարրերմենք կդիտարկենք թվերը, այսինքն՝ թվային մատրիցները։ ՏԱՐՐտերմին է. Ցանկալի է տերմինը հիշել, այն հաճախ կհայտնվի, պատահական չէ, որ այն ընդգծելու համար օգտագործել եմ թավ տառատեսակ։

Նշանակում:մատրիցները սովորաբար նշվում են մեծ լատինատառ տառերով

Օրինակ:Դիտարկենք երկու-երեք մատրիցա.

Այս մատրիցը բաղկացած է վեցից տարրեր:

Մատրիցայի ներսում բոլոր թվերը (տարրերը) գոյություն ունեն ինքնուրույն, այսինքն, որևէ հանման մասին խոսք չկա.

Դա պարզապես թվերի աղյուսակ (հավաքածու) է:

Մենք նույնպես կհամաձայնվենք մի վերադասավորեքթվեր, եթե այլ բան նշված չէ բացատրություններում: Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր գտնվելու վայրը և չի կարող խառնվել:

Քննարկվող մատրիցն ունի երկու տող.

և երեք սյունակ.

ՍՏԱՆԴԱՐՏերբ խոսում ենք մատրիցային չափերի մասին, ապա սկզբումնշեք տողերի քանակը, և միայն դրանից հետո սյունակների քանակը: Մենք հենց նոր բաժանեցինք երկու-երեք մատրիցան:

Եթե ​​մատրիցայի տողերի և սյունակների թիվը նույնն է, ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի, Օրինակ: - երեք-երեք մատրիցա:

Եթե ​​մատրիցն ունի մեկ սյունակ կամ մեկ տող, ապա այդպիսի մատրիցներ նույնպես կոչվում են վեկտորներ.

Փաստորեն, մատրիցա հասկացությունը մեզ հայտնի է դեռ դպրոցական տարիներից, օրինակ՝ «x» և «y» կոորդինատներով կետ. Ըստ էության, կետի կոորդինատները գրվում են մեկ առ երկու մատրիցով: Ի դեպ, ահա մի օրինակ, թե ինչու է կարևոր թվերի հերթականությունը. և դրանք հարթության վրա երկու բոլորովին տարբեր կետեր են:

Հիմա անցնենք ուսումնասիրությանը գործողություններ մատրիցներով:

1) Գործել առաջին. Մատրիցից մինուսի հեռացում (մատրիցի մեջ մինուսի ներմուծում).

Եկեք վերադառնանք մեր մատրիցային . Ինչպես հավանաբար նկատել եք, այս մատրիցայում չափազանց շատ բացասական թվեր կան: Սա շատ անհարմար է մատրիցով տարբեր գործողություններ կատարելու տեսակետից, անհարմար է այդքան մինուսներ գրելը, իսկ դիզայնով ուղղակի տգեղ է թվում։

Եկեք տեղափոխենք մինուսը մատրիցից դուրս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Զրոյին, ինչպես հասկանում եք, նշանը չի փոխվում, զրոն նույնպես զրո է Աֆրիկայում:

Հակադարձ օրինակ. . Այն տգեղ տեսք ունի:

Եկեք մատրիցում ներմուծենք մինուս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Դե, շատ ավելի գեղեցիկ է ստացվել։ Եվ, որ ամենակարեւորն է, ԱՎԵԼԻ ՀԵՇՏ կլինի մատրիցով ցանկացած գործողություն կատարելը։ Քանի որ կա այսպիսի մաթեմատիկական ժողովրդական նշան. որքան շատ մինուսներ, այնքան ավելի շատ շփոթություն և սխալներ.

2) Գործողություն երկրորդ. Մատրիցը թվով բազմապատկելը.

Օրինակ:

Դա պարզ է, մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է ամենմատրիցային տարրը բազմապատկված է տրված թվով: Այս դեպքում `երեք:

Մեկ այլ օգտակար օրինակ.

- մատրիցը կոտորակով բազմապատկելը

Նախ եկեք նայենք, թե ինչ անել ԿԱՐԻՔ ՉԿԱ:

Մատրիցա կոտորակ մուտքագրելու ՊԱՐՏԻՔ ՉԷ, նախ՝ դա միայն բարդացնում է մատրիցով հետագա գործողությունները, և երկրորդ՝ դժվարացնում է ուսուցչի համար լուծումը ստուգելը (հատկապես եթե. - առաջադրանքի վերջնական պատասխանը):

Եվ հատկապես, ԿԱՐԻՔ ՉԿԱմատրիցայի յուրաքանչյուր տարր բաժանեք մինուս յոթի.

Հոդվածից Մաթեմատիկա կեղծիքների համար կամ որտեղից սկսել, հիշում ենք, որ բարձրագույն մաթեմատիկայում ամեն կերպ փորձում են խուսափել ստորակետերով տասնորդական կոտորակներից։

Միակ բանն այն է գերադասելի էԻնչ անել այս օրինակում, մատրիցին մինուս ավելացնելն է.

Բայց եթե միայն ԲՈԼՈՐմատրիցայի տարրերը բաժանվել են 7-ի առանց հետքի, ապա հնարավոր կլիներ (և անհրաժեշտ!) բաժանել։

Օրինակ:

Այս դեպքում դուք կարող եք ՊԵՏՔ Էբազմապատկել մատրիցայի բոլոր տարրերը , քանի որ բոլոր մատրիցային թվերը բաժանվում են 2-ի առանց հետքի.

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «բաժանում» հասկացություն չկա: «Սա բաժանված է դրա վրա» ասելու փոխարեն միշտ կարող եք ասել «սա բազմապատկված է կոտորակի վրա»: Այսինքն՝ բաժանումը բազմապատկման հատուկ դեպք է։

3) Գործ երեք. Matrix Transpose.

Մատրիցը փոխադրելու համար հարկավոր է դրա տողերը գրել փոխադրված մատրիցայի սյունակներում:

Օրինակ:

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Այստեղ կա միայն մեկ տող և, ըստ կանոնի, անհրաժեշտ է սյունակում գրել.

- փոխադրված մատրիցա:

Փոխադրված մատրիցը սովորաբար նշվում է վերևի աջ մասում վերևի տառով կամ պարզով:

Քայլ առ քայլ օրինակ.

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Սկզբում մենք առաջին տողը վերագրում ենք առաջին սյունակում.

Այնուհետև մենք վերագրում ենք երկրորդ տողը երկրորդ սյունակում.

Եվ վերջապես, մենք երրորդ տողը վերագրում ենք երրորդ սյունակում.

Պատրաստ. Կոպիտ ասած, տրանսպոզիցիա նշանակում է մատրիցը շրջել իր կողմը։

4) Չորրորդ ակտ. Մատրիցների գումարը (տարբերությունը):.

Մատրիցների գումարը պարզ գործողություն է:
ՈՉ ԲՈԼՈՐ ՄԱՏՐԻՍՆԵՐԸ ԿԱՐԵԼԻ Է ԾԱՔԵԼ: Մատրիցների գումարում (հանում) կատարելու համար անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն ՆՈՒՅՆ ՉԱՓԻ։

Օրինակ, եթե տրված է երկու-երկու մատրիցա, ապա այն կարող է ավելացվել միայն երկու-երկու մատրիցով և ոչ մի այլ:

Օրինակ:

Ավելացնել մատրիցներ Եվ

Մատրիցներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց համապատասխան տարրերը:

Մատրիցների տարբերության համար կանոնը նման է. անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան տարրերի տարբերությունը.

Օրինակ:

Գտեք մատրիցային տարբերությունը ,

Ինչպե՞ս կարող եք ավելի հեշտ լուծել այս օրինակը, որպեսզի չշփոթվեք։ Ցանկալի է ազատվել ավելորդ մինուսներից, դա անելու համար մատրիցին ավելացրեք մինուս.

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «հանում» հասկացություն չկա: «Սրանից հանել» ասելու փոխարեն միշտ կարող եք ասել «սրան բացասական թիվ ավելացրեք»: Այսինքն՝ հանումը գումարման հատուկ դեպք է։

5) Գործ հինգ. Մատրիցային բազմապատկում.

Ի՞նչ մատրիցներ կարելի է բազմապատկել:

Որպեսզի մատրիցը բազմապատկվի մատրիցով, անհրաժեշտ է այնպես, որ մատրիցային սյունակների թիվը հավասար լինի մատրիցային տողերի թվին.

Օրինակ:
Հնարավո՞ր է մատրիցը բազմապատկել մատրիցով:

Սա նշանակում է, որ մատրիցային տվյալները կարող են բազմապատկվել:

Բայց եթե մատրիցները վերադասավորվեն, ապա այս դեպքում բազմապատկումն այլևս հնարավոր չէ:

Հետևաբար, բազմապատկումը հնարավոր չէ.

Այնքան էլ հազվադեպ չէ հնարքով առաջադրանքների հանդիպել, երբ աշակերտին խնդրում են բազմապատկել մատրիցներ, որոնց բազմապատկումն ակնհայտորեն անհնար է։

Հարկ է նշել, որ որոշ դեպքերում հնարավոր է բազմապատկել մատրիցները երկու եղանակով։
Օրինակ, մատրիցների համար և՛ բազմապատկելը, և՛ բազմապատկումը հնարավոր են

>> Մատրիցներ

4.1.Մատրիցներ. Գործողություններ մատրիցների վրա

Mxn չափի ուղղանկյուն մատրիցը mxn թվերի հավաքածու է, որը դասավորված է ուղղանկյուն աղյուսակի տեսքով, որը պարունակում է m տողեր և n սյունակներ: Մենք դա կգրենք ձևի մեջ

կամ կրճատվում է որպես A = (a i j) (i = ; j = ), a i j թվերը կոչվում են դրա տարրեր; Առաջին ցուցանիշը ցույց է տալիս տողի համարը, երկրորդը `սյունակի համարը: Նույն չափի A = (a i j) և B = (b i j)-ը կոչվում են հավասար, եթե նույն տեղերում կանգնած նրանց տարրերը զույգ-զույգ հավասար են, այսինքն՝ A = B, եթե a i j = b i j:

Մեկ տողից կամ մեկ սյունակից բաղկացած մատրիցը կոչվում է համապատասխանաբար տող վեկտոր կամ սյունակ վեկտոր։ Սյունակի վեկտորները և տողերի վեկտորները պարզապես կոչվում են վեկտորներ:

Այս թվով նույնացվում է մեկ թվից բաղկացած մատրիցա։ mxn չափի A-ն, որի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, կոչվում են զրո և նշանակվում 0-ով: Նույն ինդեքսներով տարրերը կոչվում են հիմնական անկյունագծի տարրեր: Եթե ​​տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին, այսինքն՝ m = n, ապա մատրիցը կոչվում է n կարգի քառակուսի մատրիցա։ Քառակուսի մատրիցները, որոնցում միայն հիմնական անկյունագծի տարրերը զրոյական չեն, կոչվում են անկյունագծային և գրվում են հետևյալ կերպ.

.

Եթե ​​անկյունագծի a i i բոլոր տարրերը հավասար են 1-ի, ապա այն կոչվում է միավոր և նշվում է E տառով.

.

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է եռանկյունաձև, եթե հիմնական անկյունագծից վեր (կամ ներքև) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի: Տրանսպոզիցիան փոխակերպում է, որի ժամանակ տողերն ու սյունակները փոխանակվում են՝ պահպանելով իրենց թվերը: Տրանսպոզիցիան վերևում նշվում է T-ով:

Եթե ​​մենք վերադասավորենք տողերն ու սյունակները (4.1), ապա կստանանք

,

որը կփոխանցվի A-ի նկատմամբ: Մասնավորապես, սյունակային վեկտորը փոխադրելիս ստացվում է տողի վեկտոր և հակառակը:

A-ի և b թվի արտադրյալը մատրից է, որի տարրերը ստացվում են A-ի համապատասխան տարրերից՝ բազմապատկելով b թվով. b A = (b a i j):

Նույն չափի A = (a i j) և B = (b i j) գումարը կոչվում է նույն չափի C = (c i j), որի տարրերը որոշվում են c i j = a i j + b i j բանաձևով:

AB արտադրյալը որոշվում է այն ենթադրությամբ, որ A-ի սյունակների թիվը հավասար է B-ի տողերի թվին:

AB արտադրյալը, որտեղ A = (a i j) և B = (b j k), որտեղ i = , j= , k=, տրված է որոշակի AB կարգով, կոչվում է C = (c i k), որի տարրերը որոշվում են հետևյալ կանոնը.

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Այլ կերպ ասած, AB արտադրյալի տարրը սահմանվում է այսպես. k-րդ սյունակի համապատասխան տարրերը B.

Օրինակ 2.1. Գտե՛ք AB-ի և .

Լուծում. Մենք ունենք՝ A 2x3 չափի, B՝ 3x3, ապա գոյություն ունի AB = C արտադրյալը և C-ի տարրերը հավասար են:

11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, 21-ից = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, 12-ից = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, իսկ BA ապրանքը գոյություն չունի։

Օրինակ 2.2. Աղյուսակում ներկայացված է 1-ին և 2-րդ կաթնամթերքի օրական առաքվող ապրանքների քանակը M 1, M 2 և M 3 խանութներ, իսկ յուրաքանչյուր կաթնամթերքի մեկ միավոր ապրանքի առաքումը M 1 խանութ արժե 50 դրամ: միավոր, M 2 խանութին` 70, իսկ M 3-ին` 130 դեն. միավորներ Հաշվեք յուրաքանչյուր գործարանի օրական տրանսպորտային ծախսերը:

Կաթնամթերքի գործարան

Լուծում. A-ով նշանակենք պայմանում մեզ տրված մատրիցը և ըստ
B - մատրիցա, որը բնութագրում է ապրանքի միավորը խանութներ առաքելու արժեքը, այսինքն.

,

Այնուհետև տրանսպորտային ծախսերի մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.

.

Այսպիսով, առաջին գործարանն օրական ծախսում է 4750 դենիեր փոխադրումների վրա։ միավոր, երկրորդը՝ 3680 դրամական միավոր։

Օրինակ 2.3. Կարի ընկերությունն արտադրում է ձմեռային վերարկուներ, կիսասեզոնային վերարկուներ և անձրեւանոցներ։ Մեկ տասնամյակի համար նախատեսված արդյունքը բնութագրվում է X = (10, 15, 23) վեկտորով: Օգտագործվում են չորս տեսակի գործվածքներ՝ T 1, T 2, T 3, T 4։ Աղյուսակը ցույց է տալիս գործվածքների սպառման դրույքաչափերը (մետրերով) յուրաքանչյուր ապրանքի համար: Վեկտոր C = (40, 35, 24, 16) նշում է յուրաքանչյուր տեսակի գործվածքների մետրի արժեքը, իսկ վեկտորը P = (5, 3, 2, 2) նշում է յուրաքանչյուր տեսակի գործվածքի մետրի տեղափոխման արժեքը:

	Գործվածքների սպառում
Ձմեռային վերարկու
Կիսասեզոնային վերարկու

1. Յուրաքանչյուր տեսակի գործվածքից քանի՞ մետր կպահանջվի հատակագիծն ավարտելու համար:

2. Գտեք գործվածքի արժեքը, որը ծախսվել է յուրաքանչյուր տեսակի ապրանքի կարելու վրա:

3. Որոշեք ամբողջ գործվածքի արժեքը, որն անհրաժեշտ է պլանն ավարտելու համար:

Լուծում. Եկեք A-ով նշանակենք մեզ տրված մատրիցը պայմանով, այսինքն.

,

այնուհետև պլանը լրացնելու համար անհրաժեշտ գործվածքների մետրերի քանակը գտնելու համար հարկավոր է X վեկտորը բազմապատկել A մատրիցով.

Մենք գտնում ենք յուրաքանչյուր տեսակի կարի արտադրանքի վրա ծախսված գործվածքների արժեքը՝ բազմապատկելով A մատրիցը և C T վեկտորը.

.

Պլանը ավարտելու համար անհրաժեշտ ամբողջ գործվածքի արժեքը կորոշվի բանաձևով.

Վերջապես, հաշվի առնելով տրանսպորտային ծախսերը, ամբողջ գումարը կհավասարվի գործվածքի արժեքին, այսինքն՝ 9472 դեն։ միավորներ, գումարած արժեք

X A P T =
.

Այսպիսով, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (դրամական միավորներ):

Մատրիցների լուծում– հայեցակարգ, որն ընդհանրացնում է մատրիցների վրա կատարվող գործողությունները: Մաթեմատիկական մատրիցը տարրերի աղյուսակ է: Նմանատիպ աղյուսակը m տողերով և n սյունակներով համարվում է m-ը n մատրիցով:
Մատրիցայի ընդհանուր տեսքը

Մատրիցայի հիմնական տարրերը.
Հիմնական շեղանկյուն. Այն կազմված է a 11, a 22.....a mn տարրերից
Կողքի անկյունագիծ:Այն կազմված է a 1n և 2n-1.....a m1 տարրերից։
Նախքան մատրիցների լուծմանը անցնելը, եկեք դիտարկենք մատրիցների հիմնական տեսակները.
Քառակուսի– որոնցում տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին (m=n)
Զրո - այս մատրիցայի բոլոր տարրերը հավասար են 0-ի:
Փոխադրված մատրիցա- B մատրիցը ստացվել է սկզբնական A մատրիցից՝ տողերը սյունակներով փոխարինելով:
Միայնակ- հիմնական անկյունագծի բոլոր տարրերը հավասար են 1-ի, մնացած բոլորը 0 են:
հակադարձ մատրիցա- մատրիցա, երբ բազմապատկվում է, որով սկզբնական մատրիցը ստացվում է նույնական մատրիցա:
Մատրիցը կարող է սիմետրիկ լինել հիմնական և երկրորդական անկյունագծերի նկատմամբ: Այսինքն, եթե a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…: a m-1n =a mn-1. ապա մատրիցը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ: Միայն քառակուսի մատրիցներն են սիմետրիկ:
Այժմ եկեք անմիջապես անցնենք այն հարցին, թե ինչպես լուծել մատրիցները:

Մատրիցայի ավելացում.

Մատրիցները կարող են ավելացվել հանրահաշվորեն, եթե դրանք ունեն նույն չափը: A մատրիցը B մատրիցով ավելացնելու համար անհրաժեշտ է A մատրիցայի առաջին սյունակի առաջին տողի տարրը ավելացնել B մատրիցայի առաջին շարքի առաջին տարրին, A մատրիցայի առաջին շարքի երկրորդ սյունակի տարրը: B մատրիցայի առաջին շարքի երկրորդ սյունակի տարրով և այլն:
Ավելացման հատկությունները
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Մատրիցային բազմապատկում.

Մատրիցները կարող են բազմապատկվել, եթե դրանք համահունչ են: A և B մատրիցները համարվում են համահունչ, եթե A մատրիցի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին:
Եթե ​​A-ն m-ով n-ով է, B-ն ունի n-ի չափս, ապա C=A*B մատրիցը կլինի m-ով k-ով և կազմված կլինի տարրերից:

Այնտեղ, որտեղ C 11-ը A մատրիցայի և B մատրիցի սյունակի տարրերի զույգ-զույգ արտադրյալների գումարն է, այսինքն՝ տարրը A մատրիցայի առաջին շարքի առաջին սյունակի տարրի արտադրյալի գումարն է։ B մատրիցայի առաջին շարքի առաջին սյունակի տարրով, A մատրիցայի առաջին շարքի երկրորդ սյունակի տարրով երկրորդ շարքի մատրիցների B առաջին սյունակի տարրով և այլն:
Բազմապատկելիս կարևոր է բազմապատկման կարգը։ A*B-ն հավասար չէ B*A-ին:

Որոշիչը գտնելը.

Ցանկացած քառակուսի մատրիցա կարող է առաջացնել որոշիչ կամ որոշիչ: Գրում է det. Կամ | մատրիցային տարրեր |
2-ի 2-ի չափման մատրիցների համար: Որոշեք, որ տարբերություն կա հիմնականի և երկրորդական անկյունագծի տարրերի արտադրյալի միջև:

3-ից 3 կամ ավելի չափսերով մատրիցների համար: Որոշիչի հայտնաբերման գործողությունն ավելի բարդ է։
Ներկայացնենք հասկացությունները.
Փոքր տարր– սկզբնական մատրիցից ստացված մատրիցայի որոշիչն է՝ հատելով սկզբնական մատրիցի տողը և սյունակը, որում գտնվում էր այս տարրը:
Հանրահաշվական լրացումՄատրիցայի տարրը այս տարրի փոքրի արտադրյալն է -1-ով սկզբնական մատրիցայի տողի և սյունակի գումարի հզորությանը, որում գտնվում էր այս տարրը:
Ցանկացած քառակուսի մատրիցի որոշիչը հավասար է մատրիցի ցանկացած շարքի տարրերի արտադրյալի գումարին իրենց համապատասխան հանրահաշվական լրացումներով:

Մատրիցային ինվերսիա

Մատրիցային ինվերսիան մատրիցի հակադարձը գտնելու գործընթացն է, որի սահմանումը մենք սկզբում տվեցինք։ Հակադարձ մատրիցը նշվում է այնպես, ինչպես սկզբնականը՝ -1 աստիճանի ավելացմամբ:
Գտեք հակադարձ մատրիցը բանաձևով.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Որտեղ A * T-ը հանրահաշվական լրացումների փոխադրված մատրիցն է:

Պատրաստեցինք մատրիցների լուծման օրինակներ վիդեո դասընթացի տեսքով

:

Եթե ​​ցանկանում եք պարզել այն, անպայման դիտեք:

Սրանք մատրիցների լուծման հիմնական գործողություններն են: Եթե ​​դուք ունեք լրացուցիչ հարցեր ինչպես լուծել մատրիցները, ազատ զգացեք գրեք մեկնաբանություններում։

Եթե ​​դեռ չեք կարողանում դա պարզել, փորձեք դիմել մասնագետի:

Ծառայության նպատակը. Մատրիցային հաշվիչնախատեսված է մատրիցային արտահայտությունների լուծման համար, ինչպիսիք են 3A-CB 2 կամ A -1 +B T:

Հրահանգներ. Առցանց լուծման համար դուք պետք է նշեք մատրիցային արտահայտություն: Երկրորդ փուլում անհրաժեշտ կլինի ճշտել մատրիցների չափերը։

Գործողություններ մատրիցների վրա

Վավեր գործողություններ՝ բազմապատկում (*), գումարում (+), հանում (-), հակադարձ մատրիցա A^(-1), աստիճանավորում (A^2, B^3), մատրիցային փոխադրում (A^T):

Վավեր գործողություններ՝ բազմապատկում (*), գումարում (+), հանում (-), հակադարձ մատրիցա A^(-1), աստիճանավորում (A^2, B^3), մատրիցային փոխադրում (A^T):
Գործողությունների ցանկը կատարելու համար օգտագործեք կետ-ստորակետ (;) բաժանարար: Օրինակ, կատարել երեք գործողություն.
ա) 3A+4B
բ) AB-VA
գ) (A-B) -1
Ձեզ անհրաժեշտ կլինի գրել այսպես՝ 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Մատրիցը ուղղանկյուն թվային աղյուսակ է m տողերով և n սյունակներով, ուստի մատրիցը սխեմատիկորեն կարող է ներկայացվել որպես ուղղանկյուն:
Զրոյական մատրիցա (զրոյական մատրիցա)մատրից է, որի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի և նշանակվում են 0-ով:
Ինքնության մատրիցակոչվում է ձևի քառակուսի մատրիցա

Երկու մատրիցներ A և B հավասար են, եթե դրանք նույն չափի են, և դրանց համապատասխան տարրերը հավասար են։
Եզակի մատրիցամատրից է, որի որոշիչը հավասար է զրոյի (Δ = 0):

Եկեք սահմանենք հիմնական գործողություններ մատրիցների վրա.

Մատրիցայի ավելացում

Սահմանում. Նույն չափի երկու մատրիցների գումարը նույն չափերի մատրից է, որի տարրերը գտնված են ըստ բանաձևի. . Նշվում է C = A+B:

Օրինակ 6. .
Մատրիցային գումարման գործողությունը տարածվում է ցանկացած թվով տերմինների դեպքում: Ակնհայտ է, որ A+0=A.
Եվս մեկ անգամ շեշտենք, որ կարելի է ավելացնել միայն նույն չափի մատրիցներ. Տարբեր չափերի մատրիցների համար գումարման գործողությունը սահմանված չէ:

Մատրիցների հանում

Սահմանում. Նույն չափի B և A մատրիցների B-A տարբերությունը C մատրից է այնպիսին, որ A+ C = B:

Մատրիցային բազմապատկում

Սահմանում. Մատրիցի արտադրյալը α թվով այն մատրիցն է, որը ստացվում է A-ից՝ նրա բոլոր տարրերը բազմապատկելով α, .
Սահմանում. Թող տրվի երկու մատրիցա և , և A-ի սյունակների թիվը հավասար է B-ի տողերի թվին: A-ի արտադրյալը B-ով մի մատրից է, որի տարրերը գտնվել են ըստ բանաձևի: .
Նշվում է C = A·B-ով:
Սխեմատիկորեն մատրիցային բազմապատկման գործողությունը կարելի է պատկերել հետևյալ կերպ.

և արտադրանքի տարրի հաշվարկման կանոնը.

Եվս մեկ անգամ ընդգծենք, որ A·B արտադրյալը իմաստ ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե առաջին գործոնի սյունակների թիվը հավասար է երկրորդի տողերի թվին, և արտադրյալը արտադրում է մատրիցա, որի տողերի թիվը հավասար է առաջին գործոնի տողերի թիվը, իսկ սյունակների թիվը հավասար է երկրորդի սյունակների թվին: Բազմապատկման արդյունքը կարող եք ստուգել՝ օգտագործելով հատուկ առցանց հաշվիչը։

Օրինակ 7. Տրված մատրիցներ Եվ . Գտեք C = ​​A·B և D = B·A մատրիցները:
Լուծում. Նախ նշենք, որ A·B արտադրյալը գոյություն ունի, քանի որ A-ի սյունակների թիվը հավասար է B-ի տողերի թվին:

Նկատի ունեցեք, որ A·B≠B·A ընդհանուր դեպքում, այսինքն. մատրիցների արտադրյալը հակակոմուտատիվ է:
Գտնենք B·A (բազմապատկումը հնարավոր է):

Օրինակ 8. Տրվում է մատրիցա . Գտեք 3A 2 – 2A:
Լուծում.

.
; .
.
Նշենք հետևյալ հետաքրքիր փաստը.
Ինչպես գիտեք, երկու ոչ զրոյական թվերի արտադրյալը հավասար չէ զրոյի։ Մատրիցների համար նմանատիպ հանգամանք կարող է չլինել, այսինքն՝ ոչ զրոյական մատրիցների արտադրյալը կարող է հավասար լինել զրոյական մատրիցին։

Գծային հանրահաշիվ 1

Մատրիցներ 1

Գործողություններ մատրիցների վրա 2

Մատրիցային որոշիչները 6

Հակադարձ մատրիցա 13

Մատրիցայի վարկանիշ 16

Գծային անկախություն 21

Գծային հավասարումների համակարգեր 24

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ 27

Հակադարձ մատրիցային մեթոդ 27

Քառակուսի մատրիցով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդ՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը 29

Գաուսի մեթոդ (փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ) 31

Գծային հանրահաշվի մատրիցներ

Մատրիցա mxn չափը թվերի ուղղանկյուն աղյուսակ է, որը պարունակում է m տող և n սյունակ: Մատրիցը կազմող թվերը կոչվում են մատրիցային տարրեր։

Մատրիցները սովորաբար նշվում են լատինատառ մեծատառերով, իսկ տարրերը՝ նույն, բայց փոքրատառերով՝ կրկնակի ինդեքսավորմամբ։

Օրինակ, հաշվի առեք 2 x 3 մատրիցը A:

Այս մատրիցն ունի երկու տող (m= 2) և երեք սյունակ (n= 3), այսինքն. Այն բաղկացած է վեց տարրից a ij, որտեղ i-ն տողի համարն է, j-ը սյունակի համարն է: Այս դեպքում այն ​​արժեքներ է վերցնում 1-ից 2-ը և մեկից երեքը (գրված
) Մասնավորապես, a 11 = 3, a 12 = 0, a 13 = -1, a 21 = 0, a 22 = 1,5, a 23 = 5:

Միևնույն չափի (mxn) A և B մատրիցները կոչվում են հավասար, եթե տարր առ տարր համընկնում են, այսինքն՝ a ij =b ij համար
, այսինքն. ցանկացած i-ի և j-ի համար (կարելի է գրել i, j):

Մատրիցա-շարքմեկ տողից բաղկացած մատրիցա է և մատրիցա-սյունակմեկ սյունակից բաղկացած մատրիցա է։

Օրինակ,
տողերի մատրից է, և
.

Քառակուսի մատրիցա n-րդ կարգը մատրիցա է, տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին և հավասար է n-ի:

Օրինակ,
- երկրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա:

Շեղանկյունմատրիցայի տարրերն այն տարրերն են, որոնց տողի համարը հավասար է սյունակի թվին (a ij ,i=j): Այս տարրերը ձևավորվում են հիմնական անկյունագիծմատրիցներ. Նախորդ օրինակում հիմնական անկյունագիծը ձևավորվում է a 11 = 3 և a 22 = 5 տարրերով:

Անկյունագծային մատրիցաքառակուսի մատրից է, որտեղ բոլոր ոչ անկյունագծային տարրերը զրո են: Օրինակ,
- երրորդ կարգի անկյունագծային մատրիցա: Եթե ​​բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են մեկի, ապա մատրիցը կոչվում է միայնակ(սովորաբար նշվում է E տառով): Օրինակ,
երրորդ կարգի նույնական մատրիցա է:

Մատրիցը կոչվում է դատարկ, եթե նրա բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի։

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է եռանկյունաձեւ, եթե նրա բոլոր տարրերը հիմնական անկյունագծից (կամ վերևում) հավասար են զրոյի։ Օրինակ,
- երրորդ կարգի եռանկյունաձև մատրիցա:

Գործողություններ մատրիցների վրա

Մատրիցների վրա կարող են կատարվել հետևյալ գործողությունները.

1. Մատրիցը թվով բազմապատկելը. A մատրիցի և  թվի արտադրյալը B =A մատրիցն է, որի տարրերն են b ij =a ij ցանկացած i-ի և j-ի համար:

Օրինակ, եթե
, Դա
.

2. Մատրիցայի ավելացում. Միևնույն չափի m x n A և B մատրիցների գումարը C = A + B մատրիցն է, որի տարրերը ij =a ij +b ij համարi,j են:

Օրինակ, եթե
Դա

.

Նշենք, որ նախորդ գործողությունների միջոցով կարելի է որոշել մատրիցային հանումնույն չափի` տարբերություն A-B = A + (-1)*B:

3. Մատրիցային բազմապատկում. mxn չափի A մատրիցի արտադրյալը nxp չափի B մատրիցով C մատրիցն է, որի յուրաքանչյուր տարր ij-ով հավասար է A մատրիցի i-րդ շարքի տարրերի արտադրյալների գումարին համապատասխան: B մատրիցի j-րդ սյունակի տարրերը, այսինքն.
.

Օրինակ, եթե

, ապա արտադրանքի մատրիցայի չափը կլինի 2 x 3, և այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Այս դեպքում ասվում է, որ A մատրիցը համահունչ է B մատրիցին:

Քառակուսի մատրիցների բազմապատկման գործողության հիման վրա սահմանվում է գործողությունը հզորացում. A քառակուսի մատրիցի A m (m > 1) դրական ամբողջ հզորությունը A-ին հավասար m մատրիցների արտադրյալն է, այսինքն.

Մենք շեշտում ենք, որ մատրիցների գումարումը (հանումը) և բազմապատկումը սահմանվում են ոչ մի երկու մատրիցների համար, այլ միայն նրանց համար, որոնք բավարարում են դրանց չափման որոշակի պահանջները: Մատրիցների գումարը կամ տարբերությունը գտնելու համար դրանց չափը պետք է նույնը լինի։ Մատրիցների արտադրյալը գտնելու համար դրանցից առաջինի սյունակների թիվը պետք է համընկնի երկրորդի տողերի քանակի հետ (այդպիսի մատրիցները կոչվում են. համաձայնեցված).

Դիտարկենք դիտարկված գործողությունների որոշ հատկություններ՝ նման թվերի վրա կատարվող գործողությունների հատկություններին։

1) գումարման կոմուտատիվ (փոխադրական) օրենքը.

A + B = B + A

2) գումարման ասոցիատիվ (համակցված) օրենքը.

(A + B) + C = A + (B + C)

3) գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ (բաշխիչ) օրենքը.

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) բազմապատկման ասոցիատիվ (համակցված) օրենքը.

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Մենք շեշտում ենք, որ մատրիցների համար բազմապատկման կոմուտատիվ օրենքը ՉԻ բավարարվում ընդհանուր դեպքում, այսինքն. AB BA. Ավելին, AB-ի գոյությունը պարտադիր չէ, որ ենթադրի BA-ի գոյություն (մատրիցաները կարող են չհամապատասխանել, և այդ դեպքում դրանց արտադրյալը ընդհանրապես սահմանված չէ, ինչպես վերը նշված մատրիցային բազմապատկման օրինակում): Բայց նույնիսկ եթե երկու ստեղծագործություններն էլ գոյություն ունեն, դրանք սովորաբար տարբեր են:

Կոնկրետ դեպքում, ցանկացած քառակուսի A մատրիցի և նույն կարգի նույնական մատրիցի արտադրյալն ունի կոմուտատիվ օրենք, և այս արտադրյալը հավասար է A-ին (այստեղ նույնական մատրիցով բազմապատկումը նման է թվերի բազմապատկման ժամանակ մեկով բազմապատկմանը).

AE = EA = A

Իսկապես,

Եկեք ընդգծենք ևս մեկ տարբերություն մատրիցային բազմապատկման և թվերի բազմապատկման միջև: Թվերի արտադրյալը կարող է հավասարվել զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Սա չի կարելի ասել մատրիցների մասին, այսինքն. Ոչ զրոյական մատրիցների արտադրյալը կարող է հավասար լինել զրոյական մատրիցի: Օրինակ,

Եկեք շարունակենք մատրիցների վրա գործողությունների դիտարկումը:

4. Matrix Transposeներկայացնում է mxn չափի A մատրիցից nxm չափի A T մատրիցից անցման գործողությունը, որում տողերն ու սյունակները փոխանակվում են.

%.

Փոխադրման գործողության հատկությունները.

1) Սահմանումից հետևում է, որ եթե մատրիցը փոխադրվում է երկու անգամ, մենք վերադառնում ենք սկզբնական մատրիցին. (A T) T = A:

2) Տրանսպոզիցիոն նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը՝ (A) ​​T =A T:

3) Տրանսպոզիցիան բաշխիչ է մատրիցային բազմապատկման և գումարման առումով. (AB) T =B T A T և (A+B) T =B T +A T: