Բաշխման աղյուսակի մաթեմատիկական ակնկալիք: Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա

Ինչպես արդեն հայտնի է, բաշխման օրենքը ամբողջությամբ բնութագրում է պատահական փոփոխականը։ Այնուամենայնիվ, հաճախ բաշխման օրենքը անհայտ է, և մարդը պետք է սահմանափակվի ավելի քիչ տեղեկություններով: Երբեմն նույնիսկ ավելի շահավետ է օգտագործել թվեր, որոնք ընդհանուր առմամբ նկարագրում են պատահական փոփոխականը. այդպիսի թվեր են կոչվում թվային բնութագրեր պատահական փոփոխական .

Կարևոր թվային բնութագրերից է մաթեմատիկական ակնկալիքը։

Ակնկալվող արժեքըմոտավորապես հավասար է պատահական փոփոխականի միջին արժեքին:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքնրա բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է:

Եթե պատահական փոփոխականը բնութագրվում է վերջավոր բաշխման շարքով.

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
Ռ	p 1	p 2	էջ 3	…	r p

ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը M(X)որոշվում է բանաձևով.

Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշվում է հավասարությամբ.

որտեղ է պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը X.

Օրինակ 4.7.Գտեք միավորների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որոնք հայտնվում են զառ նետելիս:

Լուծում:

Պատահական արժեք Xվերցնում է 1, 2, 3, 4, 5, 6 արժեքները: Եկեք ստեղծենք դրա բաշխման օրենքը.

X
Ռ

Այնուհետև մաթեմատիկական ակնկալիքը հետևյալն է.

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.

1. Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքնին հաստատունին.

M (S) = Ս.

2. Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է դուրս բերել մշտական գործոնը.

M (CX) = CM (X):

3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.

M(XY) = M(X)M(Y):

Օրինակ 4.8. Անկախ պատահական փոփոխականներ XԵվ Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.

X					Յ
Ռ	0,6	0,1	0,3		Ռ	0,8	0,2

Գտեք XY պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Լուծում.

Եկեք գտնենք այս մեծություններից յուրաքանչյուրի մաթեմատիկական ակնկալիքները.

Պատահական փոփոխականներ XԵվ Յանկախ, հետևաբար պահանջվող մաթեմատիկական ակնկալիքը հետևյալն է.

M(XY) = M(X)M(Y)=

Հետևանք.Մի քանի փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին:

4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին.

M (X + Y) = M (X) + M (Y):

Հետևանք.Մի քանի պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։

Օրինակ 4.9.Արձակվում է 3 կրակոց՝ թիրախին հավասար հավանականությամբ p 1 = 0,4; p2= 0,3 և էջ 3= 0,6. Գտեք հարվածների ընդհանուր թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Լուծում.

Առաջին կրակոցի վրա հարվածների քանակը պատահական փոփոխական է X 1, որը կարող է վերցնել միայն երկու արժեք՝ 1 (հարվածել) հավանականությամբ p 1= 0,4 և 0 (բաց թողնել) հավանականությամբ q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Առաջին կրակոցի վրա հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է հարվածի հավանականությանը.

Նմանապես, մենք գտնում ենք երկրորդ և երրորդ կրակոցների հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքները.

M(X 2)= 0,3 և M(X 3)= 0,6.

Հիթերի ընդհանուր թիվը նույնպես պատահական փոփոխական է, որը բաղկացած է երեք կրակոցներից յուրաքանչյուրի հարվածների գումարից.

X = X 1 + X 2 + X 3.

Պահանջվող մաթեմատիկական ակնկալիքը XՄենք այն գտնում ենք՝ օգտագործելով գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքի թեորեմը:

Մեծություն

Պատահականության հիմնական թվային բնութագրերը

Խտության բաշխման օրենքը բնութագրում է պատահական փոփոխականը: Բայց հաճախ դա անհայտ է, և մարդ պետք է սահմանափակվի ավելի քիչ տեղեկություններով: Երբեմն նույնիսկ ավելի շահավետ է օգտագործել թվեր, որոնք ընդհանուր առմամբ նկարագրում են պատահական փոփոխական: Նման թվերը կոչվում են թվային բնութագրերպատահական փոփոխական. Եկեք նայենք հիմնականներին.

Սահմանում:Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը M(X) այս մեծության բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է.

Եթե դիսկրետ պատահական փոփոխական է XԱյնուհետև ընդունում է շատ հնարավոր արժեքներ

Ավելին, մաթեմատիկական ակնկալիքը գոյություն ունի, եթե այս շարքը բացարձակապես կոնվերգենտ է:

Սահմանումից հետևում է, որ M(X)դիսկրետ պատահական փոփոխականը ոչ պատահական (հաստատուն) փոփոխական է:

Օրինակ:Թող X- իրադարձության դեպքերի քանակը Ամեկ թեստում, P(A) = p. Պետք է գտնել մաթեմատիկական ակնկալիքը X.

Լուծում:Եկեք ստեղծենք աղյուսակային բաշխման օրենք X:

X	0	1
Պ	1 - էջ	էջ

Եկեք գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Այսպիսով, մեկ փորձության ընթացքում իրադարձության դեպքերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս իրադարձության հավանականությանը.

Տերմինի ծագումը ակնկալվող արժեքըկապված հավանականությունների տեսության առաջացման սկզբնական շրջանի հետ (XVI–XVII դդ.), երբ դրա կիրառման շրջանակը սահմանափակվում էր մոլախաղերով։ Խաղացողին հետաքրքրում էր ակնկալվող հաղթանակի միջին արժեքը, այսինքն. հաղթելու մաթեմատիկական ակնկալիք:

Եկեք դիտարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հավանական նշանակությունը.

Թող արտադրվի nթեստեր, որոնցում պատահական փոփոխականը Xընդունված մ 1անգամ արժեք x 1, մ 2անգամ արժեք x 2, և այլն, և վերջապես նա ընդունեց մ կանգամ արժեք x k, և m 1 + m 2 +…+ + m k = n.

Այնուհետև պատահական փոփոխականի կողմից վերցված բոլոր արժեքների գումարը X, հավասար է x 1 մ 1 + x 2 m 2 +…+x k մ կ.

Պատահական փոփոխականով վերցված բոլոր արժեքների միջին թվաբանականը X, հավասար է.

քանի որ արժեքի հարաբերական հաճախականությունն է ցանկացած արժեքի համար i = 1, …, k.

Ինչպես հայտնի է, եթե թեստերի քանակը nբավականաչափ մեծ է, ապա հարաբերական հաճախականությունը մոտավորապես հավասար է իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությանը, հետևաբար.

Այսպիսով, .

Եզրակացություն:Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորապես հավասար է պատահական փոփոխականի դիտարկվող արժեքների թվաբանական միջինին (որքան ավելի ճշգրիտ, այնքան մեծ է թեստերի քանակը):

Դիտարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հիմնական հատկությունները։

Սեփականություն 1:Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է հենց հաստատուն արժեքին.

M(C) = C.

Ապացույց:Մշտական ՀԵՏկարելի է համարել, որն ունի մեկ հնարավոր իմաստ ՀԵՏև ընդունում է այն հավանականությամբ p = 1.Հետևաբար, M(C) = C 1= Ս.

Եկեք սահմանենք C հաստատուն փոփոխականի և դիսկրետ պատահական X փոփոխականի արտադրյալորպես դիսկրետ պատահական փոփոխական CX, որոնց հնարավոր արժեքները հավասար են հաստատունի արտադրյալներին ՀԵՏհնարավոր արժեքներին X CXհավասար է համապատասխան հնարավոր արժեքների հավանականությանը X:

CX	Գ	Գ	…	Գ
X			…
Ռ			…

Սեփականություն 2:Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է դուրս բերել մշտական գործոնը.

M(CX) = CM(X):

Ապացույց:Թող պատահական փոփոխականը Xտրված է հավանականության բաշխման օրենքով.

X			…
Պ			…

Գրենք պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը CX:

CX	Գ	Գ	…	Գ
Պ			…

M(CX) = Գ +Գ =Գ + ) = C M (X).

Սահմանում:Երկու պատահական փոփոխականները կոչվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի բաշխման օրենքը կախված չէ նրանից, թե ինչ հնարավոր արժեքներ է վերցրել մյուս փոփոխականը: Հակառակ դեպքում, պատահական փոփոխականները կախված են:

Սահմանում:Մի քանի պատահական փոփոխականներ համարվում են փոխադարձ անկախ, եթե դրանցից որևէ մեկի բաշխման օրենքները կախված չեն նրանից, թե ինչ արժեքներ են վերցրել մնացած փոփոխականները:

Եկեք սահմանենք անկախ դիսկրետ պատահական X և Y փոփոխականների արտադրյալորպես դիսկրետ պատահական փոփոխական XY, որոնց հնարավոր արժեքները հավասար են յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքի արտադրյալներին Xյուրաքանչյուր հնարավոր արժեքի համար Յ. Հնարավոր արժեքների հավանականությունները XYհավասար են գործոնների հնարավոր արժեքների հավանականությունների արտադրյալներին:

Թող տրվեն պատահական փոփոխականների բաշխումները XԵվ Y:

X			…
Պ			…

Յ			…
Գ			…

Այնուհետև պատահական փոփոխականի բաշխումը XYունի ձև.

XY			…
Պ			…

Որոշ աշխատանքներ կարող են հավասար լինել: Այս դեպքում արտադրանքի հնարավոր արժեքի հավանականությունը հավասար է համապատասխան հավանականությունների գումարին։ Օրինակ, եթե = , ապա արժեքի հավանականությունը կազմում է

Սեփականություն 3:Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.

M(XY) = M(X) M(Y).

Ապացույց:Թողեք անկախ պատահական փոփոխականներ XԵվ Յսահմանվում են հավանականության բաշխման իրենց սեփական օրենքներով.

X
Պ

Յ
Գ

Հաշվարկները պարզեցնելու համար մենք կսահմանափակվենք փոքր թվով հնարավոր արժեքներով: Ընդհանուր դեպքում ապացույցը նման է.

Եկեք ստեղծենք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը XY:

XY
Պ

M (XY) =

M(X) M(Y).

Ապացույց:Եկեք ապացուցենք երեք փոխադարձաբար անկախ պատահական փոփոխականների համար X,Յ,Զ. Պատահական փոփոխականներ XYԵվ Զանկախ, ապա մենք ստանում ենք.

M(XYZ) = M(XY Z) = M (XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).

Փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների կամայական քանակի դեպքում ապացուցումն իրականացվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

Օրինակ:Անկախ պատահական փոփոխականներ XԵվ Յ

X	5	2
Պ	0,6	0,1	0,3

Յ	7	9
Գ	0,8	0,2

Պետք է գտնել M (XY).

Լուծում:Քանի որ պատահական փոփոխականներ XԵվ Յանկախ են, ուրեմն M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

Եկեք սահմանենք X և Y դիսկրետ պատահական փոփոխականների գումարըորպես դիսկրետ պատահական փոփոխական X+Y, որոնց հնարավոր արժեքները հավասար են յուրաքանչյուր հնարավոր արժեքի գումարներին Xբոլոր հնարավոր արժեքներով Յ. Հնարավոր արժեքների հավանականությունները X+Yանկախ պատահական փոփոխականների համար XԵվ Յհավասար են տերմինների հավանականությունների արտադրյալներին, իսկ կախյալ պատահական փոփոխականների համար՝ մեկ անդամի հավանականության արտադրյալներին երկրորդի պայմանական հավանականությամբ։

Եթե = և այս արժեքների հավանականությունները համապատասխանաբար հավասար են, ապա հավանականությունը (նույնը, ինչ ) հավասար է:

Սեփականություն 4:Երկու պատահական փոփոխականների (կախյալ կամ անկախ) գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին.

M(X+Y) = M(X) + M(Y):

Ապացույց:Թող երկու պատահական փոփոխական XԵվ Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.

X
Պ

Յ
Գ

Եզրակացությունը պարզեցնելու համար մենք կսահմանափակվենք յուրաքանչյուր քանակի երկու հնարավոր արժեքներով: Ընդհանուր դեպքում ապացույցը նման է.

Եկեք կազմենք պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները X+Y(պարզության համար ենթադրենք, որ այս արժեքները տարբեր են, եթե ոչ, ապա ապացույցը նման է).

X+Y
Պ

Եկեք գտնենք այս արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Մ(X+Y) = + + + +

Եկեք ապացուցենք, որ + = .

Իրադարձություն X = (դրա հավանականությունը P (X = ) ենթադրում է այն իրադարձությունը, որ պատահական փոփոխականը X+Yկվերցնի արժեքը կամ (այս իրադարձության հավանականությունը, ըստ գումարման թեորեմի, հավասար է ) և հակառակը։ Հետո = .

Հավասարությունները = = = ապացուցված են նույն կերպ

Փոխարինելով այս հավասարումների աջ կողմերը մաթեմատիկական ակնկալիքի արդյունքում ստացված բանաձևով, մենք ստանում ենք.

M (X + Y) = + ) = M(X) + M(Y):

Ապացույց:Եկեք ապացուցենք երեք պատահական փոփոխականների համար X,Յ,Զ. Գտնենք պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքը X+YԵվ Զ:

M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)

Պատահական փոփոխականների կամայական քանակի դեպքում ապացուցումն իրականացվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

Օրինակ:Գտե՛ք միավորների քանակի գումարի միջինը, որը կարելի է ստանալ երկու զառ նետելիս:

Լուծում:Թող X- միավորների քանակը, որոնք կարող են հայտնվել առաջին մատիտի վրա, Յ- Երկրորդի վրա: Ակնհայտ է, որ պատահական փոփոխականները XԵվ Յունեն նույն բաշխումները. Եկեք գրենք բաշխման տվյալները XԵվ Յմեկ սեղանի մեջ.

X	1	2	3	4	5	6
Յ	1	2	3	4	5	6
Պ	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =

M (X + Y) = 7.

Այսպիսով, միավորների քանակի գումարի միջին արժեքը, որը կարող է հայտնվել երկու զառ նետելիս 7 .

Թեորեմ.n անկախ փորձարկումներում A իրադարձության դեպքերի թվի M(X) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է փորձությունների քանակի և յուրաքանչյուր փորձարկումում իրադարձության առաջացման հավանականության արտադրյալին. M(X) = np:

Ապացույց:Թող X- իրադարձության դեպքերի քանակը ԱՎ nանկախ թեստեր. Ակնհայտորեն, ընդհանուր թիվը Xիրադարձության դեպքերը Աայս փորձարկումներում առանձին փորձարկումներում իրադարձության դեպքերի քանակի գումարն է: Այնուհետև, եթե առաջին փորձարկման ժամանակ իրադարձության դեպքերի թիվը, երկրորդում և այլն, վերջապես, իրադարձության դեպքերի թիվն է: n-րդ թեստը, ապա իրադարձության ընդհանուր թիվը հաշվարկվում է բանաձևով.

Ըստ մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկություն 4մենք ունենք:

M(X) = M( ) + … + M( ).

Քանի որ մեկ փորձության ընթացքում իրադարձության դեպքերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է իրադարձության հավանականությանը, ապա.

Մ( ) = M ( )= … = M( ) = p.

Հետևաբար, M(X) = np.

Օրինակ:Հրացանից կրակելիս թիրախին խոցելու հավանականությունը կազմում է p = 0,6. Գտեք հարվածների միջին քանակը, եթե արված է 10 կրակոցներ.

Լուծում:Յուրաքանչյուր կրակոցի հարվածը կախված չէ այլ կրակոցների արդյունքներից, հետևաբար դիտարկվող իրադարձությունները անկախ են և, հետևաբար, պահանջվող մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է.

M(X) = np = 10 0,6 = 6.

Այսպիսով, հարվածների միջին թիվը 6 է:

Այժմ դիտարկենք շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Սահմանում:Շարունակական պատահական X փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որի հնարավոր արժեքները պատկանում են միջակայքին.,կանչեց որոշակի ինտեգրալ:

որտեղ f(x) հավանականության բաշխման խտությունն է:

Եթե շարունակական պատահական X փոփոխականի հնարավոր արժեքները պատկանում են ամբողջ Ox առանցքին, ապա

Ենթադրվում է, որ սա ոչ պատշաճ ինտեգրալբացարձակապես համընկնում է, այսինքն. ինտեգրալը համընկնում է Եթե այս պահանջը չկատարվեր, ապա ինտեգրալի արժեքը կախված կլիներ այն արագությունից, որով (առանձին) ստորին սահմանը ձգտում է դեպի -∞, իսկ վերին սահմանը դեպի +∞:

Դա կարելի է ապացուցել Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի բոլոր հատկությունները պահպանվում են շարունակական պատահական փոփոխականի համար. Ապացույցը հիմնված է որոշակի և ոչ պատշաճ ինտեգրալների հատկությունների վրա։

Ակնհայտ է, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը M(X)մեծ է պատահական փոփոխականի ամենափոքրից և ամենամեծ հնարավոր արժեքից փոքր X. Նրանք. թվային առանցքի վրա պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները գտնվում են նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից ձախ և աջ: Այս առումով մաթեմատիկական ակնկալիքը M(X)բնութագրում է բաշխման վայրը և, հետևաբար, հաճախ կոչվում է բաշխիչ կենտրոն.

1. Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքնին հաստատունին M(S)=C .
2. Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը. M(CX)=CM(X)
3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին. M(XY)=M(X) M(Y):
4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին. M(X+Y)=M(X)+M(Y):

Թեորեմ. A իրադարձությունների թվի M(x) թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը n անկախ փորձարկումներում հավասար է այս փորձարկումների արտադրյալին յուրաքանչյուր փորձարկումում իրադարձությունների առաջացման հավանականությամբ. M(x) = np:

Թող X - պատահական փոփոխական և M(X) - դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը: Որպես նոր պատահական փոփոխական դիտարկենք տարբերությունը X - M (X):

Շեղումը պատահական փոփոխականի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությունն է:

Շեղումն ունի հետևյալ բաշխման օրենքը.

Լուծում. Գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը.
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Գրենք քառակուսի շեղման բաշխման օրենքը.

Լուծում՝ Գտնենք M(x)-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5.

Գրենք X 2 պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը

X 2
Պ	0.1	0.6	0.3

Գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը M(x 2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Պահանջվող շեղումն է D(x)=M(x2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Դիսպերսիոն հատկություններ.

1. Հաստատուն արժեքի շեղում ՀԵՏ հավասար է զրոյի: D(C)=0
2. Հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել ցրման նշանից՝ այն քառակուսի դնելով։ D(Cx)=C 2 D(x)
3. Անկախ պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է այս փոփոխականների շեղումների գումարին։ D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Տարբերություն երկանդամ բաշխումհավասար է փորձարկումների քանակի և մեկ փորձության ընթացքում իրադարձության առաջանալու և չկայանալու հավանականության արտադրյալին D(X)=npq

Պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջ գնահատելու համար, բացի դիսպերսիայից, օգտագործվում են նաև որոշ այլ բնութագրեր: Դրանք ներառում են ստանդարտ շեղումը:

Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղում Xկոչվում է տատանումների քառակուսի արմատ.

σ(X) = √D(X) (4)

Օրինակ. X պատահական փոփոխականը տրված է բաշխման օրենքով

X
Պ	0.1	0.4	0.5

Գտեք ստանդարտ շեղումը σ(x)

Լուծում՝ Գտնենք X-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4.
Գտնենք X 2-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54.
Գտնենք շեղումը. D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Պահանջվող ստանդարտ շեղումը σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Թեորեմ. Վերջավոր թվով փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների գումարի ստանդարտ շեղումը հավասար է. քառակուսի արմատԱյս մեծությունների ստանդարտ շեղումների քառակուսիների գումարից.

Օրինակ. 6 գրքերից բաղկացած դարակում, 3 մաթեմատիկայի և 3 ֆիզիկայի մասին: Պատահականության սկզբունքով ընտրված է երեք գիրք։ Գտեք ընտրված գրքերի մեջ մաթեմատիկայի գրքերի քանակի բաշխման օրենքը: Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2.7 – 1.5 2 = 0.45

Լուծում:

6.1.2 Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները

1. Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքնին հաստատունին:

2. Մշտական գործոնը կարելի է հանել որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի նշան։

3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին։

Այս հատկությունը ճշմարիտ է կամայական թվով պատահական փոփոխականների համար:

4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։

Այս հատկությունը ճիշտ է նաև պատահական փոփոխականների կամայական քանակի դեպքում:

Օրինակ: M(X) = 5, M(Y)= 2. Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը Զ, կիրառելով մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները, եթե հայտնի է, որ Z=2X+3Y.

Լուծում: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին.

2) մշտական գործոնը կարելի է դուրս բերել մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից

Թող կատարվեն n անկախ փորձարկումներ, որոնցում A դեպքի առաջացման հավանականությունը հավասար է p. Այնուհետև գործում է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ. n անկախ փորձարկումներում A իրադարձության դեպքերի թվի M(X) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է փորձարկումների քանակի և յուրաքանչյուր փորձարկումում դեպքի տեղի ունենալու հավանականության արտադրյալին:

6.1.3 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ցրում

Մաթեմատիկական ակնկալիքը չի կարող լիովին բնութագրել պատահական գործընթացը: Բացի մաթեմատիկական ակնկալիքից, անհրաժեշտ է մուտքագրել մի արժեք, որը բնութագրում է պատահական փոփոխականի արժեքների շեղումը մաթեմատիկական ակնկալիքից:

Այս շեղումը հավասար է պատահական փոփոխականի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությանը: Այս դեպքում շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքը զրո է։ Սա բացատրվում է նրանով, որ որոշ հնարավոր շեղումներ դրական են, մյուսները՝ բացասական, և դրանց փոխադարձ չեղարկման արդյունքում ստացվում է զրո։

Դիսպերսիա (ցրում)Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն է պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքից:

Գործնականում շեղումների հաշվարկման այս մեթոդը անհարմար է, քանի որ հանգեցնում է ծանր հաշվարկների մեծ թվով պատահական փոփոխական արժեքների համար:

Հետեւաբար, օգտագործվում է մեկ այլ մեթոդ.

Թեորեմ. Տարբերությունը հավասար է X պատահական փոփոխականի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսու տարբերությանը։.

Ապացույց. Հաշվի առնելով այն փաստը, որ M(X) մաթեմատիկական ակնկալիքը և M2(X) մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսին հաստատուն մեծություններ են, կարող ենք գրել.

Օրինակ. Գտե՛ք բաշխման օրենքով տրված դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումը:

X
X 2
Ռ	0.2	0.3	0.1	0.4

Լուծում.

6.1.4 Դիսպերսիոն հատկություններ

1. Հաստատուն արժեքի շեղումը զրո է: .

2. Հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել ցրման նշանից՝ այն քառակուսի դնելով։ .

3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է այս փոփոխականների շեղումների գումարին։ .

4. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների տարբերության շեղումը հավասար է այս փոփոխականների շեղումների գումարին։ .

Թեորեմ. A իրադարձության դեպքերի քանակի շեղումը n անկախ փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության p հավանականությունը հաստատուն է, հավասար է փորձարկումների քանակի արտադրյալին` ըստ տեղի ունենալու հավանականությունների և ոչ: դեպքի դեպքը յուրաքանչյուր դատավարության ժամանակ:

Օրինակ՝ Գտե՛ք DSV X-ի շեղումը - A իրադարձության դեպքերի թիվը 2 անկախ փորձարկումներում, եթե այդ փորձարկումներում իրադարձության առաջացման հավանականությունը նույնն է, և հայտնի է, որ M(X) = 1.2:

Եկեք կիրառենք 6.1.2 բաժնի թեորեմը.

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Եկեք գտնենք էջ:

1,2 = 2∙էջ

էջ = 1,2/2

ք = 1 – էջ = 1 – 0,6 = 0,4

Եկեք գտնենք շեղումը բանաձևով.

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղում

Ստանդարտ շեղում X պատահական փոփոխականը կոչվում է շեղման քառակուսի արմատ:

(25)

Թեորեմ. Վերջավոր թվով փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների գումարի ստանդարտ շեղումը հավասար է այս փոփոխականների ստանդարտ շեղումների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատին:

6.1.6 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ռեժիմը և մեդիանը

Fashion M o DSVպատահական փոփոխականի ամենահավանական արժեքը կոչվում է (այսինքն այն արժեքը, որն ունի ամենամեծ հավանականությունը)

Միջին M e DSVպատահական փոփոխականի արժեքն է, որը բաժանում է բաշխման շարքը կիսով չափ: Եթե պատահական փոփոխականի արժեքների թիվը զույգ է, ապա միջինը հայտնաբերվում է որպես երկու միջին արժեքների թվաբանական միջին:

Օրինակ՝ Գտեք DSV-ի ռեժիմը և մեդիանը X:

X
էջ	0.2	0.3	0.1	0.4

Մ ե = = 5,5

Առաջընթաց

1. Ծանոթացեք այս աշխատանքի տեսական մասին (դասախոսություններ, դասագիրք):

2. Կատարի՛ր առաջադրանքը քո իսկ տարբերակով։

3. Աշխատանքի մասին հաշվետվություն կազմել:

4. Պաշտպանեք ձեր աշխատանքը:

2. Աշխատանքի նպատակը.

3. Աշխատանքային առաջընթաց.

4. Սեփական տարբերակի լուծում։

6.4 Առաջադրանքի ընտրանքներ համար ինքնուրույն աշխատանք

Տարբերակ թիվ 1

1. Գտեք բաշխման օրենքով տրված DSV X-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը, դիսպերսիան, ստանդարտ շեղումը, եղանակը և մեդիանը:

X
Պ	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Գտե՛ք Z պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, եթե հայտնի են X-ի և Y-ի մաթեմատիկական ակնկալիքները՝ M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y:

3. Գտե՛ք DSV X-ի շեղումը - երկու անկախ փորձարկումներում A իրադարձության դեպքերի թիվը, եթե այդ փորձարկումներում իրադարձությունների առաջացման հավանականությունները նույնն են, և հայտնի է, որ M (X) = 1:

4. Տրված է դիսկրետ պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցանկը X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5, և հայտնի են նաև այս արժեքի և դրա քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքները. Գտե՛ք հավանականությունները , , , , , , , ի հնարավոր արժեքներին համապատասխան և կազմե՛ք DSV բաշխման օրենքը։

Տարբերակ թիվ 2

X
Պ	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Գտե՛ք Z պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, եթե հայտնի են X-ի և Y-ի մաթեմատիկական ակնկալիքները՝ M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y:

3. Գտե՛ք DSV X-ի դիստրիանսը՝ A-ի դեպքերի թիվը երեք անկախ փորձարկումներում, եթե այդ փորձարկումներում իրադարձությունների առաջացման հավանականությունները նույնն են, և հայտնի է, որ M (X) = 0,9:

4. Տրված է դիսկրետ պատահական X փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցանկը. x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, և հայտնի են նաև այս արժեքի և դրա քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքները. Գտե՛ք հավանականությունները , , , , , , , ի հնարավոր արժեքներին համապատասխան և կազմե՛ք DSV բաշխման օրենքը։

Տարբերակ թիվ 3

1. Գտե՛ք DSV X-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը, դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը, որը տրված է բաշխման օրենքով:

X
Պ	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Գտե՛ք Z պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, եթե հայտնի են X-ի և Y-ի մաթեմատիկական ակնկալիքները՝ M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y:

3. Գտե՛ք DSV X-ի շեղումը - A իրադարձության դեպքերի թիվը չորս անկախ փորձարկումներում, եթե այս փորձարկումներում իրադարձությունների առաջացման հավանականությունները նույնն են, և հայտնի է, որ M (x) = 1.2:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հայեցակարգը կարելի է դիտարկել՝ օգտագործելով մեռնոց նետելու օրինակը: Յուրաքանչյուր նետումով գրանցվում են բաց թողնված միավորները: Դրանք արտահայտելու համար օգտագործվում են բնական արժեքներ 1-6 միջակայքում:

Որոշակի քանակությամբ նետումներից հետո, օգտագործելով պարզ հաշվարկներ, կարող եք գտնել գլորված կետերի միջին թվաբանականը:

Ճիշտ այնպես, ինչպես տիրույթում որևէ արժեքի հայտնվելը, այս արժեքը պատահական կլինի:

Իսկ եթե մի քանի անգամ ավելացնեք նետումների քանակը: Մեծ քանակությամբ նետումների դեպքում միավորների միջին թվաբանականը կմոտենա որոշակի թվի, որը հավանականությունների տեսության մեջ կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք:

Այսպիսով, մաթեմատիկական ակնկալիք ասելով մենք հասկանում ենք պատահական փոփոխականի միջին արժեքը: Այս ցուցանիշը կարող է ներկայացվել նաև որպես հավանական արժեքների կշռված գումար:

Այս հայեցակարգն ունի մի քանի հոմանիշ.

միջին արժեքը;
միջին արժեքը;
կենտրոնական միտումի ցուցիչ;
առաջին պահը.

Այլ կերպ ասած, դա ոչ այլ ինչ է, քան մի թիվ, որի շուրջ բաշխվում են պատահական փոփոխականի արժեքները:

Մարդկային գործունեության տարբեր ոլորտներում մաթեմատիկական ակնկալիքը հասկանալու մոտեցումները որոշակիորեն տարբեր կլինեն։

Այն կարելի է համարել որպես.

որոշում կայացնելուց ստացված միջին օգուտը, երբ նման որոշումը դիտարկվում է մեծ թվերի տեսության տեսանկյունից.
շահելու կամ պարտվելու հնարավոր գումարը (մոլախաղերի տեսություն), որը հաշվարկվում է միջին հաշվով յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար: Ժարգոնով դրանք հնչում են որպես «խաղացողի առավելություն» (դրական խաղացողի համար) կամ «կազինո առավելություն» (բացասական խաղացողի համար);
շահույթից ստացված շահույթի տոկոսը.

Ակնկալիքը պարտադիր չէ բացարձակապես բոլոր պատահական փոփոխականների համար: Այն բացակայում է նրանց համար, ովքեր ունեն համապատասխան գումարի կամ ինտեգրալի անհամապատասխանություն։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները

Ինչպես ցանկացած վիճակագրական պարամետր, մաթեմատիկական ակնկալիքն ունի հետևյալ հատկությունները.

Մաթեմատիկական ակնկալիքների հիմնական բանաձևերը

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկը կարող է իրականացվել ինչպես պատահական փոփոխականների համար, որոնք բնութագրվում են ինչպես շարունակականությամբ (բանաձև Ա), այնպես էլ դիսկրետությամբ (բանաձև B).

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, որտեղ xi-ն պատահական փոփոխականի արժեքներն են, pi-ը՝ հավանականությունները.
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, որտեղ f(x) հավանականության տրված խտությունն է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքների հաշվարկման օրինակներ

Օրինակ Ա.

Հնարավո՞ր է պարզել Սպիտակաձյունիկի մասին հեքիաթի թզուկների միջին հասակը։ Հայտնի է, որ 7 թզուկներից յուրաքանչյուրն ուներ որոշակի բարձրություն՝ 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 եւ 0,81 մ.

Հաշվարկման ալգորիթմը բավականին պարզ է.

մենք գտնում ենք աճի ցուցանիշի բոլոր արժեքների գումարը (պատահական փոփոխական).
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Ստացված գումարը բաժանեք թզուկների թվին.
6,31:7=0,90.

Այսպիսով, հեքիաթում թզուկների միջին բարձրությունը 90 սմ է, այլ կերպ ասած՝ սա թզուկների աճի մաթեմատիկական ակնկալիքն է։

Աշխատանքային բանաձեւ - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Մաթեմատիկական ակնկալիքի գործնական իրականացում

Մաթեմատիկական ակնկալիքի վիճակագրական ցուցանիշի հաշվարկը կիրառվում է գործնական գործունեության տարբեր ոլորտներում։ Խոսքն առաջին հերթին կոմերցիոն ոլորտի մասին է։ Ի վերջո, Հյուգենսի կողմից այս ցուցանիշի ներդրումը կապված է որոշ իրադարձության համար բարենպաստ կամ, ընդհակառակը, անբարենպաստ շանսերի որոշման հետ:

Այս պարամետրը լայնորեն օգտագործվում է ռիսկերը գնահատելու համար, հատկապես երբ խոսքը վերաբերում է ֆինանսական ներդրումներին:
Այսպիսով, բիզնեսում մաթեմատիկական ակնկալիքների հաշվարկը գործում է որպես ռիսկի գնահատման մեթոդ գները հաշվարկելիս:

Այս ցուցանիշը կարող է օգտագործվել նաև որոշակի միջոցառումների արդյունավետությունը հաշվարկելու համար, օրինակ, աշխատանքի պաշտպանությունը: Դրա շնորհիվ կարող եք հաշվարկել իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը։

Այս պարամետրի կիրառման մեկ այլ ոլորտ կառավարումն է: Այն կարող է հաշվարկվել նաև արտադրանքի որակի վերահսկման ժամանակ: Օրինակ, գորգ օգտագործելով: ակնկալիքներով, կարող եք հաշվարկել արտադրված թերի մասերի հնարավոր քանակը:

ընթացքում ստացված արդյունքների վիճակագրական մշակումն իրականացնելիս անփոխարինելի է ստացվում նաև մաթեմատիկական ակնկալիքը. գիտական հետազոտությունարդյունքները։ Այն թույլ է տալիս հաշվարկել փորձի կամ ուսումնասիրության ցանկալի կամ անցանկալի արդյունքի հավանականությունը՝ կախված նպատակին հասնելու մակարդակից: Ի վերջո, դրա ձեռքբերումը կարող է կապված լինել շահի և օգուտի հետ, իսկ ձախողումը կարող է կապված լինել կորստի կամ կորստի հետ:

Forex-ում մաթեմատիկական ակնկալիքների օգտագործումը

Գործնական օգտագործումԱյս վիճակագրական պարամետրը հնարավոր է արտարժույթի շուկայում գործառնություններ իրականացնելիս: Նրա օգնությամբ դուք կարող եք վերլուծել առևտրային գործարքների հաջողությունը: Ավելին, ակնկալիքների արժեքի աճը վկայում է նրանց հաջողության աճի մասին:

Կարևոր է նաև հիշել, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը չպետք է դիտարկվի որպես միակ վիճակագրական պարամետրը, որն օգտագործվում է վաճառողի կատարողականը վերլուծելու համար: Մի քանի վիճակագրական պարամետրերի օգտագործումը միջին արժեքի հետ մեկտեղ զգալիորեն մեծացնում է վերլուծության ճշգրտությունը:

Այս պարամետրը լավ է դրսևորվել առևտրային հաշիվների դիտարկումների մոնիտորինգում: Դրա շնորհիվ իրականացվում է ավանդային հաշվի վրա կատարված աշխատանքների արագ գնահատում։ Այն դեպքերում, երբ վաճառողի գործունեությունը հաջող է, և նա խուսափում է կորուստներից, խորհուրդ չի տրվում օգտագործել բացառապես մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկը: Այս դեպքերում ռիսկերը հաշվի չեն առնվում, ինչը նվազեցնում է վերլուծության արդյունավետությունը։

Թրեյդերների մարտավարության ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ.

Ամենաարդյունավետ մարտավարությունն այն մարտավարությունն է, որը հիմնված է պատահական մուտքի վրա.
Ամենաքիչ արդյունավետը մարտավարությունն է, որը հիմնված է կառուցվածքային տվյալների վրա:

Դրական արդյունքների հասնելու համար ոչ պակաս կարևոր են.

փողի կառավարման մարտավարություն;
ելքի ռազմավարություններ.

Օգտագործելով այնպիսի ցուցանիշ, ինչպիսին է մաթեմատիկական ակնկալիքը, կարող եք կանխատեսել, թե ինչ շահույթ կամ վնաս կլինի 1 դոլար ներդնելիս: Հայտնի է, որ կազինոյում կիրառվող բոլոր խաղերի համար հաշվարկված այս ցուցանիշը հօգուտ հաստատության է։ Սա այն է, ինչը թույլ է տալիս գումար աշխատել: Երկար շարք խաղերի դեպքում հաճախորդի կողմից գումար կորցնելու հավանականությունը զգալիորեն մեծանում է:

Պրոֆեսիոնալ խաղացողների կողմից խաղացած խաղերը սահմանափակվում են կարճ ժամանակով, ինչը մեծացնում է հաղթելու հավանականությունը և նվազեցնում պարտվելու վտանգը: Նույն օրինաչափությունը նկատվում է ներդրումային գործառնություններ կատարելիս։

Ներդրողը կարող է զգալի գումար վաստակել՝ ունենալով դրական ակնկալիքներ և կարճ ժամանակահատվածում մեծ թվով գործարքներ կատարելով։

Ակնկալիքը կարելի է համարել որպես շահույթի տոկոսի (PW) տարբերություն՝ բազմապատկված միջին շահույթով (AW) և կորստի հավանականության (PL) բազմապատկած միջին կորստի (AL) վրա։

Որպես օրինակ կարող ենք դիտարկել հետևյալը՝ դիրքը` 12,5 հազար դոլար, պորտֆելը` 100 հազար դոլար, ավանդների ռիսկը` 1 տոկոս: Գործարքների շահութաբերությունը դեպքերի 40%-ն է՝ 20% միջին շահույթով։ Կորստի դեպքում միջին կորուստը կազմում է 5%: Գործարքի մաթեմատիկական ակնկալիքի հաշվարկը տալիս է $625 արժեք: