Մատրիցներ, դրանց դասակարգում, թվաբանական գործողություններ մատրիցների վրա։ Մատրիցներ. Մատրիցների հիմնական սահմանումները և տեսակները: Գործողություններ մատրիցների վրա. Մատրիցային աստիճանի հայեցակարգը. Գործողություններ մատրիցների վրա. Հայեցակարգ և գտնել հակադարձ մատրիցա Մատրիցների հատուկ տեսակներ
Մատրիցը մաթեմատիկայի հատուկ օբյեկտ է: Այն պատկերված է ուղղանկյուն կամ քառակուսի աղյուսակի տեսքով՝ կազմված որոշակի թվով տողերից և սյուներից։ Մաթեմատիկայի մեջ կա մատրիցների տեսակների լայն տեսականի՝ տարբեր չափերով կամ բովանդակությամբ: Նրա տողերի և սյունակների համարները կոչվում են պատվերներ։ Այս առարկաները օգտագործվում են մաթեմատիկայի մեջ՝ համակարգերի ձայնագրումը կազմակերպելու համար գծային հավասարումներև դրանց արդյունքների հարմար որոնում: Մատրիցով հավասարումները լուծվում են Կառլ Գաուսի, Գաբրիել Կրամերի մեթոդի, փոքրերի և հանրահաշվական գումարումների, ինչպես նաև բազմաթիվ այլ մեթոդների միջոցով։ Մատրիցների հետ աշխատելու հիմնական հմտությունը կրճատումն է: Այնուամենայնիվ, նախ, եկեք պարզենք, թե մաթեմատիկոսների կողմից տարբերվում են մատրիցների տեսակները:
Չեղյալ տեսակ
Այս տեսակի մատրիցայի բոլոր բաղադրիչները զրո են: Մինչդեռ նրա տողերի ու սյունակների թիվը բոլորովին այլ է։
Քառակուսի տիպ
Այս տեսակի մատրիցայի սյունակների և տողերի քանակը նույնն է: Այսինքն՝ «քառակուսի» ձևով սեղան է։ Նրա սյունակների (կամ տողերի) թիվը կոչվում է կարգ։ Հատուկ դեպքեր են համարվում երկրորդ կարգի մատրիցայի առկայությունը (2x2 մատրիցա), չորրորդ կարգի (4x4), տասներորդ կարգի (10x10), տասնյոթերորդ կարգի (17x17) և այլն։
Սյունակի վեկտոր
Սա մատրիցների ամենապարզ տեսակներից մեկն է, որը պարունակում է միայն մեկ սյունակ, որը ներառում է երեք թվային արժեք։ Այն ներկայացնում է մի շարք ազատ անդամներ (փոփոխականներից անկախ թվեր) գծային հավասարումների համակարգերում։
Դիտել նման է նախորդին: Բաղկացած է երեք թվային տարրերից, որոնք իրենց հերթին կազմակերպվում են մեկ տողի մեջ:
Շեղանկյուն տեսակը
Մատրիցայի անկյունագծային ձևի թվային արժեքները վերցնում են միայն հիմնական անկյունագծի բաղադրիչները (ընդգծված կանաչով): Հիմնական անկյունագիծը սկսվում է վերին ձախ անկյունում գտնվող տարրից և համապատասխանաբար ավարտվում է ներքևի աջ մասում գտնվող տարրով: Մնացած բաղադրիչները հավասար են զրոյի: Շեղանկյուն տիպը միայն ինչ-որ կարգի քառակուսի մատրիցա է: Անկյունագծային մատրիցներից կարելի է առանձնացնել սկալյարը։ Նրա բոլոր բաղադրիչները ստանում են նույն արժեքները:
Անկյունագծային մատրիցայի ենթատեսակ: Նրա բոլորը թվային արժեքներմիավորներ են։ Օգտագործելով մատրիցային աղյուսակի մեկ տեսակ՝ մեկը կատարում է դրա հիմնական փոխակերպումները կամ գտնում է սկզբնականի հակադարձ մատրիցը:
Կանոնական տեսակ
Մատրիցայի կանոնական ձևը համարվում է հիմնականներից մեկը. Այն նվազեցնելը հաճախ անհրաժեշտ է աշխատանքի համար: Կանոնական մատրիցայում տողերի և սյունակների թիվը տատանվում է, և այն պարտադիր չէ, որ պատկանի քառակուսի տիպին: Այն ինչ-որ չափով նման է նույնականացման մատրիցին, բայց դրա դեպքում հիմնական անկյունագծային ոչ բոլոր բաղադրիչներն են ստանում մեկին հավասար արժեք: Կարող են լինել երկու կամ չորս հիմնական անկյունագծային միավորներ (ամեն ինչ կախված է մատրիցայի երկարությունից և լայնությունից): Կամ կարող է ընդհանրապես միավորներ չլինեն (այդ դեպքում այն համարվում է զրո): Կանոնական տիպի մնացած բաղադրիչները, ինչպես նաև անկյունագծային և միավորային տարրերը հավասար են զրոյի։
Եռանկյուն տիպ
Մատրիցայի ամենակարևոր տեսակներից մեկը, որն օգտագործվում է դրա որոշիչ փնտրելիս և պարզ գործողություններ կատարելիս։ Եռանկյունի տեսակը գալիս է անկյունագծային տիպից, ուստի մատրիցը նույնպես քառակուսի է: Մատրիցայի եռանկյուն տեսակը բաժանվում է վերին եռանկյունի և ստորին եռանկյունի:
Վերին եռանկյունաձև մատրիցում (նկ. 1) միայն այն տարրերը, որոնք գտնվում են հիմնական անկյունագծից բարձր, ստանում են զրոյի արժեք: Բուն անկյունագծի բաղադրիչները և դրա տակ գտնվող մատրիցայի մասը պարունակում են թվային արժեքներ։
Ստորին եռանկյունաձև մատրիցում (նկ. 2), ընդհակառակը, մատրիցայի ստորին մասում տեղակայված տարրերը հավասար են զրոյի։
Տեսակը անհրաժեշտ է մատրիցայի աստիճանը գտնելու, ինչպես նաև դրանց վրա տարրական գործողությունների համար (եռանկյուն տիպի հետ միասին): Քայլերի մատրիցն այդպես է կոչվում, քանի որ այն պարունակում է զրոների բնորոշ «քայլեր» (ինչպես ցույց է տրված նկարում): Քայլի տիպում ձևավորվում է զրոների անկյունագիծ (պարտադիր չէ, որ հիմնականը), և այս անկյունագծի տակ գտնվող բոլոր տարրերը նույնպես ունեն զրոյի հավասար արժեքներ: Նախապայման է հետևյալը. եթե քայլի մատրիցայում կա զրոյական տող, ապա դրա տակ մնացած տողերը նույնպես թվային արժեքներ չեն պարունակում։
Այսպիսով, մենք ուսումնասիրեցինք մատրիցների ամենակարևոր տեսակները, որոնք անհրաժեշտ են դրանց հետ աշխատելու համար: Հիմա եկեք նայենք մատրիցը պահանջվող ձևի վերածելու խնդրին:
Անցում դեպի եռանկյունաձև
Ինչպե՞ս մատրիցը բերել եռանկյունաձև ձևի: Ամենից հաճախ առաջադրանքներում անհրաժեշտ է մատրիցը վերածել եռանկյունաձև ձևի, որպեսզի գտնեք դրա որոշիչը, որը այլ կերպ կոչվում է որոշիչ: Այս ընթացակարգը կատարելիս չափազանց կարևոր է «պահպանել» մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը, քանի որ եռանկյուն մատրիցայի որոշիչը հավասար է դրա հիմնական անկյունագծի բաղադրիչների արտադրյալին: Հիշեմ նաև որոշիչը գտնելու այլընտրանքային մեթոդներ։ Քառակուսի տիպի որոշիչը հայտնաբերվում է հատուկ բանաձևերի միջոցով: Օրինակ, կարող եք օգտագործել եռանկյունու մեթոդը: Այլ մատրիցների համար օգտագործվում է տողով, սյունակով կամ դրանց տարրերով տարրալուծման եղանակը։ Կարող եք նաև օգտագործել փոքրերի և հանրահաշվական մատրիցային հավելումների մեթոդը:
Եկեք մանրամասն վերլուծենք մատրիցը եռանկյունաձևի վերածելու գործընթացը՝ օգտագործելով որոշ առաջադրանքների օրինակներ:
Վարժություն 1
Անհրաժեշտ է գտնել ներկայացված մատրիցայի որոշիչը՝ օգտագործելով այն եռանկյունաձևի վերածելու մեթոդը։
Մեզ տրված մատրիցը երրորդ կարգի քառակուսի մատրից է։ Հետևաբար, այն եռանկյունաձև ձևի վերածելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի զրոյացնել առաջին սյունակի երկու բաղադրիչը և երկրորդի մեկ բաղադրիչը:
Այն եռանկյունաձև ձևի բերելու համար փոխակերպումը սկսում ենք մատրիցայի ներքևի ձախ անկյունից՝ 6 թվից։ Այն զրոյի վերածելու համար առաջին շարքը բազմապատկեք երեքով և հանեք այն վերջին շարքից։
Կարևոր. Վերին շարքը չի փոխվում, բայց մնում է նույնը, ինչ սկզբնական մատրիցում: Կարիք չկա գրել օրիգինալից չորս անգամ մեծ տող։ Բայց այն տողերի արժեքները, որոնց բաղադրիչները պետք է զրոյի սահմանվեն, անընդհատ փոխվում են:
Մնում է միայն վերջին արժեքը՝ երկրորդ սյունակի երրորդ շարքի տարրը։ Սա (-1) թիվն է։ Զրո դարձնելու համար առաջին տողից հանեք երկրորդը։
Եկեք ստուգենք.
detA = 2 x (-1) x 11 = -22:
Սա նշանակում է, որ առաջադրանքի պատասխանը -22 է։
Առաջադրանք 2
Անհրաժեշտ է գտնել մատրիցայի որոշիչը՝ այն դարձնելով եռանկյունաձև։
Ներկայացված մատրիցը պատկանում է քառակուսի տիպին և չորրորդ կարգի մատրից է։ Սա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է զրոյի դարձնել առաջին սյունակի երեք բաղադրիչը, երկրորդ սյունակի երկու բաղադրիչը և երրորդի մեկ բաղադրիչը:
Սկսենք այն կրճատել ներքևի ձախ անկյունում գտնվող տարրով` 4 թվով: Այս թիվը պետք է վերածենք զրոյի: Դա անելու ամենահեշտ ձևը վերին գիծը չորսով բազմապատկելն է և այն չորրորդից հանելն է: Գրենք վերափոխման առաջին փուլի արդյունքը.
Այսպիսով, չորրորդ շարքի բաղադրիչը դրված է զրոյի: Անցնենք երրորդ տողի առաջին տարրին՝ 3 թվին։ Նմանատիպ գործողություն ենք կատարում։ Առաջին տողը երեքով բազմապատկում ենք, երրորդ տողից հանում և արդյունքը գրում։
Մեզ հաջողվեց զրոյացնել այս քառակուսի մատրիցայի առաջին սյունակի բոլոր բաղադրիչները, բացառությամբ թիվ 1-ի՝ հիմնական անկյունագծի տարրը, որը փոխակերպում չի պահանջում: Այժմ կարևոր է պահպանել ստացված զրոները, ուստի փոխակերպումները կկատարենք ոչ թե սյունակներով, այլ տողերով։ Անցնենք ներկայացված մատրիցայի երկրորդ սյունակին։
Սկսենք նորից ներքևից՝ վերջին շարքի երկրորդ սյունակի տարրով։ Այս թիվը (-7): Այնուամենայնիվ, մեջ այս դեպքումԱվելի հարմար է սկսել (-1) թվից՝ երրորդ շարքի երկրորդ սյունակի տարրը։ Զրո դարձնելու համար երրորդ տողից հանեք երկրորդը։ Այնուհետև երկրորդ տողը բազմապատկում ենք յոթով և հանում այն չորրորդից։ Երկրորդ սյունակի չորրորդ շարքում գտնվող տարրի փոխարեն ստացանք զրո։ Այժմ անցնենք երրորդ սյունակին։
Այս սյունակում մենք պետք է միայն մեկ թիվ դարձնենք զրոյի՝ 4: Դա անելը դժվար չէ. մենք պարզապես վերջին տողին ավելացնում ենք երրորդը և տեսնում մեզ անհրաժեշտ զրոն:
Կատարված բոլոր փոխակերպումներից հետո առաջարկված մատրիցը բերեցինք եռանկյունաձև ձևի։ Այժմ դրա որոշիչը գտնելու համար անհրաժեշտ է միայն բազմապատկել հիմնական անկյունագծի ստացված տարրերը: Մենք ստանում ենք. detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160:Հետևաբար լուծումը 160 է։
Այսպիսով, այժմ մատրիցը եռանկյունաձև դարձնելու հարցը ձեզ չի անհանգստացնի:
Նվազեցնելով աստիճանական ձևի
Մատրիցների վրա տարրական գործողությունների համար աստիճանավորված ձևն ավելի քիչ «պահանջարկ ունի», քան եռանկյունաձևը: Այն առավել հաճախ օգտագործվում է մատրիցայի աստիճանը գտնելու համար (այսինքն՝ նրա ոչ զրոյական տողերի թիվը) կամ գծային կախված և անկախ տողերը որոշելու համար։ Այնուամենայնիվ, մատրիցայի աստիճանավոր տեսակը ավելի ունիվերսալ է, քանի որ այն հարմար է ոչ միայն քառակուսի տիպի, այլև բոլոր մյուսների համար:
Մատրիցը աստիճանաբար վերածելու համար նախ պետք է գտնել դրա որոշիչը: Վերոհիշյալ մեթոդները հարմար են դրա համար: Որոշիչը գտնելու նպատակն է պարզել, թե արդյոք այն կարող է փոխարկվել քայլային մատրիցի: Եթե որոշիչը զրոյից մեծ կամ փոքր է, ապա կարող եք ապահով կերպով անցնել առաջադրանքին: Եթե այն հավասար է զրոյի, ապա հնարավոր չի լինի մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի։ Այս դեպքում դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք սխալներ կան ձայնագրության կամ մատրիցային փոխակերպումների մեջ: Եթե նման անճշտություններ չկան, խնդիրը չի կարող լուծվել։
Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է նվազեցնել մատրիցը աստիճանաբար՝ օգտագործելով մի քանի առաջադրանքների օրինակներ:
Վարժություն 1.Գտե՛ք տրված մատրիցային աղյուսակի աստիճանը:
Մեր առջև դրված է երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա (3x3): Մենք գիտենք, որ կոչումը գտնելու համար անհրաժեշտ է այն իջեցնել աստիճանական ձևի։ Հետևաբար, նախ պետք է գտնել մատրիցայի որոշիչը: Եկեք օգտագործենք եռանկյունու մեթոդը. detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Որոշիչ = 12: Այն զրոյից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ մատրիցը կարող է կրճատվել աստիճանական ձևի: Եկեք սկսենք վերափոխել այն:
Սկսենք երրորդ տողի ձախ սյունակի տարրից՝ 2 թվից։ Վերևի տողը երկուսով բազմապատկենք և երրորդից հանենք։ Այս գործողության շնորհիվ և՛ մեզ անհրաժեշտ տարրը, և՛ թիվ 4-ը՝ երրորդ շարքի երկրորդ սյունակի տարրը, վերածվեցին զրոյի:
Մենք տեսնում ենք, որ կրճատման արդյունքում ձևավորվել է եռանկյունաձև մատրիցա։ Մեր դեպքում մենք չենք կարող շարունակել փոխակերպումը, քանի որ մնացած բաղադրիչները չեն կարող զրոյացվել:
Սա նշանակում է, որ մենք եզրակացնում ենք, որ այս մատրիցում թվային արժեքներ պարունակող տողերի թիվը (կամ դրա աստիճանը) 3 է։ Առաջադրանքի պատասխանը՝ 3։
Առաջադրանք 2.Որոշեք այս մատրիցայի գծային անկախ տողերի քանակը:
Մենք պետք է գտնենք տողեր, որոնք չեն կարող զրոյի փոխակերպվել որևէ փոխակերպմամբ։ Փաստորեն, մենք պետք է գտնենք ոչ զրոյական տողերի թիվը, կամ ներկայացված մատրիցայի աստիճանը։ Դա անելու համար եկեք պարզեցնենք այն:
Մենք տեսնում ենք մատրիցա, որը չի պատկանում քառակուսի տիպին: Չափերը՝ 3x4։ Կրճատումը սկսենք նաև ներքևի ձախ անկյունի տարրով՝ (-1) թվով։
Նրա հետագա վերափոխումները անհնարին են։ Սա նշանակում է, որ մենք եզրակացնում ենք, որ դրանում գծային անկախ տողերի թիվը և առաջադրանքի պատասխանը 3 է։
Այժմ մատրիցը աստիճանական ձևով կրճատելը ձեզ համար անհնարին խնդիր չէ:
Օգտագործելով այս առաջադրանքների օրինակները, մենք ուսումնասիրեցինք մատրիցայի կրճատումը եռանկյունաձև և աստիճանական ձևի: Մատրիցային աղյուսակների ցանկալի արժեքները զրոյի վերածելու համար որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է օգտագործել ձեր երևակայությունը և ճիշտ վերափոխել դրանց սյունակները կամ տողերը: Հաջողություն մաթեմատիկայի և մատրիցների հետ աշխատելու մեջ:
Մատրիցայի հայեցակարգ/սահմանում. Մատրիցների տեսակները
Մատրիցայի սահմանում. Մատրիցը թվերի ուղղանկյուն աղյուսակ է, որը պարունակում է որոշակի թվով m տողեր և որոշակի թվով n սյունակներ:
Հիմնական մատրիցային հասկացություններ. m և n թվերը կոչվում են մատրիցայի կարգեր։ Եթե m=n, մատրիցը կոչվում է քառակուսի, իսկ m=n թիվը նրա կարգն է։
Հետևյալում նշումը կօգտագործվի մատրիցը գրելու համար. Թեև երբեմն նշումը հանդիպում է գրականության մեջ. 
Այնուամենայնիվ, մատրիցը հակիրճ նշելու համար հաճախ օգտագործվում է լատինատառ այբուբենի մեկ մեծ տառը (օրինակ՝ A), կամ խորհրդանիշը ||aij||, և երբեմն բացատրությամբ՝ A=||aij||=(aij): ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)
Այս մատրիցում ներառված aij թվերը կոչվում են դրա տարրեր։ aij մուտքագրում առաջին i ինդեքսը տողի համարն է, իսկ երկրորդը j ինդեքսը սյունակի համարն է։
Օրինակ՝ մատրիցա 
սա 2×3 կարգի մատրիցա է, դրա տարրերն են a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...
Այսպիսով, մենք ներկայացրել ենք մատրիցայի սահմանումը: Դիտարկենք մատրիցների տեսակները և տանք համապատասխան սահմանումները։
Մատրիցների տեսակները
Ներկայացնենք մատրիցների հասկացությունը՝ քառակուսի, շեղանկյուն, միավոր և զրո:
Քառակուսի մատրիցայի սահմանում. Քառակուսի մատրիցա N-րդ կարգի մատրիցը կոչվում է n×n մատրիցա:
Քառակուսի մատրիցայի դեպքում 
Ներկայացված է հիմնական և երկրորդական անկյունագծերի հասկացությունը: Մատրիցայի հիմնական անկյունագիծըկոչվում է մատրիցայի վերին ձախ անկյունից դեպի ստորին աջ անկյուն գնացող անկյունագիծ։ 
Կողքի անկյունագիծնույն մատրիցը կոչվում է անկյունագիծ, որն անցնում է ստորին ձախ անկյունից դեպի վերին աջ անկյուն: 
Անկյունագծային մատրիցայի հայեցակարգը. Շեղանկյունքառակուսի մատրիցա է, որում հիմնական անկյունագծից դուրս գտնվող բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի: Ինքնության մատրիցայի հայեցակարգը. Միայնակ(նշվում է E երբեմն I) կոչվում է անկյունագծային մատրիցա, որի հիմնական անկյունագծում գտնվողները: Զրոյական մատրիցայի հայեցակարգը. Դատարկմատրիցա է, որի բոլոր տարրերը զրո են: Երկու A և B մատրիցները կոչվում են հավասար (A=B), եթե դրանք նույն չափն են (այսինքն ունեն նույն թվով տողեր և նույն թվով սյունակներ, և դրանց համապատասխան տարրերը հավասար են): Այսպիսով, եթե 
ապա A=B, եթե a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22
Այս նյութը վերցված է կայքից Highermath.ru
ԴԱՇՆԱԿԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ԲՅՈՒՋԵ ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՈՒՍՈՒԹՅԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆ
«ՕՐԵՆԲՈՒՐԳԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ԳՅՈՒՂԱՏՆՏԵՍԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ»
բաժին»Համակարգչային գիտություն և Կիրառական մաթեմատիկա»
ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՑՈՒՑՈՒՄՆԵՐ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ
ԿԱՐԳԱՊԵՏՈՒԹՅԱՆ ՀԱՍՏԱՏԵԼՈՒ ՄԱՍԻՆ
Մաթեմատիկա
Ուսուցման ուղղություն (մասնագիտություն). 040400 Սոցիալական աշխատանք (բակալավրիատ)
Կրթական ծրագրի պրոֆիլըՍոցիալական աշխատանք
Ուսման ձև.նամակագրություն
Օրենբուրգ 2016թ
1. Դասախոսության նշումներ……………………………………………………...
1.1 Դասախոսություն թիվ 1……………………....................................
1.2 Դասախոսություն թիվ 2…………………………………….
1.3 Դասախոսություն թիվ 3………………………………………
1.4 Դասախոսություն թիվ 4………………………………………………….
1.5 Դասախոսություն թիվ 5……………………
1.6 Դասախոսություն թիվ 6………………………………………..
1.7 Դասախոսություն թիվ 7 ……………………………………………………………………..….
1.8Դասախոսություն թիվ 8.……………………...…………………………….
Դասախոսություն թիվ 9
2. Ուղեցույցներգործնական պարապմունքների համար………
2.1 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -1………………….
2.2 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -2 ……………………
2.3 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -3……………………...
2.4 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -4……………………...
2.5 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -5……………………..
2.6 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -6 ………………………………………………….
2.7 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -7…………………………………………………….
2.8 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -8…………………………………………………...
2.9 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -9……………………………………………………...
2.10 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -10…………………..
2.11 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -11……………………..
2.12 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -12………………………………………………..
2.13 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -13………………………………………………….
2.14 Գործնական դաս թիվ ՊԶ -14-15………………………………………………
2.15 Գործնական դաս թիվ ՊԶ - 16………………
2.16 Գործնական դաս թիվ ՊԶ - 17………………
2.17 Գործնական դաս թիվ ՊԶ - 18 ………………
ԴԱՍԱԽՈՍԻ ՆՇՈՒՄՆԵՐ
1.1 Դասախոսություն 1(2 ժամ)
Առարկա: Մատրիցների և որոշիչների տեսության տարրեր. Գծային հանրահաշվի տարրեր. Անալիտիկ երկրաչափության տարրեր
1.1.1 Դասախոսության հարցեր.
1.Մատրիցներ, դրանց դասակարգում, թվաբանական գործողություններ մատրիցների վրա.
2. 2-րդ և 3-րդ կարգի որոշիչներ, հաշվարկման եղանակներ.
3. Գծային հավասարումների համակարգեր, լուծման մեթոդներ.
4. Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա, հարթության վրա ուղիղ գիծ սահմանելու մեթոդներ.
1.1.2. Հարցերի ամփոփում.
Մատրիցներ, դրանց դասակարգում, թվաբանական գործողություններ մատրիցների վրա։
Մատրիցաաղյուսակ է, որը բաղկացած է n տողից և m սյունակից: Մատրիցայի տարրերը կարող են լինել թվեր կամ այլ մաթեմատիկական առարկաներ:
A= 
B= 
C= 
Ուղղանկյուն սեղան պարունակող Տտողեր ՊԻրական թվերի սյունակները կոչվում են թվային մատրիցա.
Եվ m'n = 
.
Մատրիցը կազմող a ij թվերը կոչվում են իր տարրեր, որտեղ i=1,2,…m-ը տողի համարն է, j=1,2,…n-ը սյունակի համարն է։
Մատրիցները նշվում են լատինական այբուբենի A, B, C... մեծատառերով, փոքրատառերով՝ տարրերը։
Եթե մեկ մատրիցի տողերի և սյունակների թիվը հավասար է մեկ այլ մատրիցի տողերի և սյունակների թվին, ապա դրանք կոչվում են. միաչափ մատրիցներ.
Այն մատրիցը, որի տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին, կոչվում է քառակուսի մատրիցա. n´n չափի քառակուսի մատրիցը կոչվում է մատրիցա n-րդ կարգը.
A 2 ´ 2 = 
- 2-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա
a 11 և a 22 տարրեր հիմնական անկյունագծով
a 12, a 21 տարրեր երկրորդական անկյունագծով
A 3' 3 = 
3-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա
11-ը, 22-ը և 33-ը հիմնական անկյունագծի տարրեր են
a 13, a 22, a 31 տարրեր երկրորդական անկյունագծով
Կոչվում է քառակուսի մատրիցա, որտեղ հիմնական անկյունագծից (ներքև) վերևում գտնվող բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի եռանկյունաձև մատրիցա.
Կոչվում է քառակուսի մատրիցա, որտեղ բոլոր տարրերը, բացառությամբ հիմնական անկյունագծի վրա գտնվող տարրերի, հավասար են զրոյի անկյունագծային մատրիցա.
B= 
Կոչվում է անկյունագծային մատրիցա, որտեղ բոլոր ոչ զրոյական տարրերը հավասար են սկալյար մատրիցա.
Կոչվում է անկյունագծային մատրիցը, որի ոչ զրոյական տարրերը բոլորը 1-ն են միավորի մատրիցա.
E= 
3-րդ կարգի ինքնության մատրիցա
Այն մատրիցը, որի բոլոր տարրերը զրո են, կոչվում է զրոյական մատրիցա (0):
A= 
; B=
1'1 չափի մատրիցը, որը բաղկացած է մեկ թվից, նույնացվում է այս թվով, այսինքն՝ (5) 1 ´ 1-ը 5 է:
Միաչափ մատրիցներ իրար հավասար, եթե այս մատրիցների բոլոր համապատասխան տարրերը հավասար են:
A -1 քառակուսի մատրիցը կոչվում է հակադարձ A մատրիցի նկատմամբ, եթե և միայն եթե A*A -1 =A -1 *A=E
Այս թեմայում մենք կքննարկենք մատրիցայի հայեցակարգը, ինչպես նաև մատրիցների տեսակները: Քանի որ այս թեմայում տերմինները շատ են, ավելացնեմ ամփոփումնյութի վրա նավարկելը հեշտացնելու համար:
Մատրիցայի և դրա տարրի սահմանումը: Նշում.
Մատրիցա$m$ տողերի և $n$ սյունակների աղյուսակ է: Մատրիցայի տարրերը կարող են լինել բոլորովին այլ բնույթի օբյեկտներ՝ թվեր, փոփոխականներ կամ, օրինակ, այլ մատրիցներ։ Օրինակ, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ մատրիցը պարունակում է 3 տող և 2 սյունակ; դրա տարրերն ամբողջ թվեր են: $\left(\սկիզբ(զանգված) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end (զանգված) \աջ)$ մատրիցը պարունակում է 2 տող և 4 սյունակ:
Մատրիցներ գրելու տարբեր եղանակներ՝ ցույց/թաքցնել
Մատրիցը կարելի է գրել ոչ միայն կլոր, այլև քառակուսի կամ կրկնակի ուղիղ փակագծերով։ Ստորև բերված է նույն մատրիցը տարբեր նշագրման ձևերով.
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \ձախ[ \սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ]; \;\; \ ձախ \Վերտ \սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ \ Vert $$
Կոչվում է $m\ անգամ n$ արտադրյալը մատրիցայի չափը. Օրինակ, եթե մատրիցը պարունակում է 5 տող և 3 սյունակ, ապա մենք խոսում ենք $5\ անգամ 3$ չափի մատրիցի մասին։ $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ մատրիցը ունի $3 չափ \ անգամ 2$:
Սովորաբար, մատրիցները նշվում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ $A$, $B$, $C$ և այլն։ Օրինակ՝ $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$: Տողերի համարակալումն անցնում է վերևից ներքև; սյունակներ - ձախից աջ: Օրինակ՝ $B$ մատրիցայի առաջին շարքը պարունակում է 5 և 3 տարրեր, իսկ երկրորդ սյունակում՝ 3, -87, 0 տարրեր։
Մատրիցների տարրերը սովորաբար նշվում են փոքր տառերով: Օրինակ՝ $A$ մատրիցայի տարրերը նշվում են $a_(ij)$-ով։ $ij$ կրկնակի ինդեքսը պարունակում է տեղեկատվություն մատրիցում տարրի դիրքի մասին։ $i$ թիվը տողի համարն է, իսկ $j$ թիվը սյունակի համարն է, որի հատման կետում $a_(ij)$ տարրն է։ Օրինակ՝ $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 մատրիցի երկրորդ տողի և հինգերորդ սյունակի հատման կետում։ & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \վերջ (զանգված) \աջ)$ տարր $a_(25)= $59:
Նույն կերպ, առաջին շարքի և առաջին սյունակի հատման կետում ունենք $a_(11)=51$ տարրը; երրորդ շարքի և երկրորդ սյունակի հատման կետում՝ $a_(32)=-15$ տարրը և այլն։ Նկատի ունեցեք, որ $a_(32)$ մուտքագրում գրված է «a three two», բայց ոչ «a երեսուն երկու»:
$A$ մատրիցը կրճատելու համար, որի չափը $m\ անգամ n$ է, օգտագործվում է $A_(m\times n)$ նշումը։ Հաճախ օգտագործվում է հետևյալ նշումը.
$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$
Այստեղ $(a_(ij))$-ը ցույց է տալիս $A$ մատրիցայի տարրերի նշանակումը, այսինքն. ասում է, որ $A$ մատրիցայի տարրերը նշվում են որպես $a_(ij)$։ Ընդլայնված ձևով $A_(m\times n)=(a_(ij))$ մատրիցը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
$$ A_(m\ անգամ n)=\ձախ(\սկիզբ(զանգված)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \վերջ (զանգված) \աջ) $$
Ներկայացնենք ևս մեկ տերմին. հավասար մատրիցներ.
Նույն չափի երկու մատրիցա $A_(m\times n)=(a_(ij))$ և $B_(m\times n)=(b_(ij))$ կոչվում են հավասար, եթե դրանց համապատասխան տարրերը հավասար են, այսինքն. $a_(ij)=b_(ij)$ բոլոր $i=\overline(1,m)$-ի և $j=\overline(1,n)$-ի համար:
$i=\overline(1,m)$ մուտքի բացատրություն՝ show\hide
«$i=\overline(1,m)$» նշումը նշանակում է, որ $i$ պարամետրը տատանվում է 1-ից մինչև մ: Օրինակ, $i=\overline(1,5)$ նշումը ցույց է տալիս, որ $i$ պարամետրը վերցնում է 1, 2, 3, 4, 5 արժեքները:
Այսպիսով, որպեսզի մատրիցները հավասար լինեն, պետք է կատարվի երկու պայման՝ չափերի համընկնում և համապատասխան տարրերի հավասարություն։ Օրինակ, $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ մատրիցը հավասար չէ մատրիցին $B=\left(\ start(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, քանի որ $A$ մատրիցը ունի $3 չափ\ անգամ 2$ և մատրիցը $B$ ունի $2 չափս \ անգամ $2։ Նաև $A$ մատրիցը հավասար չէ $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ մատրիցին , քանի որ $a_( 21)\neq c_(21)$ (այսինքն $0\neq 98$): Բայց $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ մատրիցի համար մենք կարող ենք ապահով գրել $A= F$ քանի որ $A$ և $F$ մատրիցների և՛ չափերը, և՛ համապատասխան տարրերը համընկնում են։
Օրինակ թիվ 1
Որոշեք մատրիցի չափը $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \վերջ (զանգված) \աջ)$: Նշեք, թե ինչի են հավասար $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ տարրերը:
Այս մատրիցը պարունակում է 5 տող և 3 սյունակ, հետևաբար դրա չափը $5\ապատիկ 3$ է։ Այս մատրիցայի համար կարող եք նաև օգտագործել $A_(5\ անգամ 3)$ նշումը:
$a_(12)$ տարրը գտնվում է առաջին տողի և երկրորդ սյունակի հատման կետում, ուստի $a_(12)=-2$: $a_(33)$ տարրը գտնվում է երրորդ տողի և երրորդ սյունակի հատման կետում, ուստի $a_(33)=23$: $a_(43)$ տարրը չորրորդ տողի և երրորդ սյունակի հատման կետում է, ուստի $a_(43)=-5$:
Պատասխանել$a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$:
Մատրիցների տեսակները կախված դրանց չափից. Հիմնական և երկրորդական անկյունագծեր: Մատրիցային հետք.
Թող տրվի որոշակի մատրից $A_(m\ անգամ n)$: Եթե $m=1$ (մատրիցան բաղկացած է մեկ տողից), ապա տրված մատրիցը կոչվում է. մատրիցա-շարք. Եթե $n=1$ (մատրիցան բաղկացած է մեկ սյունակից), ապա այդպիսի մատրից է կոչվում մատրիցա-սյունակ. Օրինակ, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$-ը տողի մատրից է, իսկ $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$-ը սյունակի մատրից է։
Եթե $A_(m\ անգամ n)$ մատրիցը բավարարում է $m\neq n$ պայմանը (այսինքն՝ տողերի թիվը հավասար չէ սյունակների թվին), ապա հաճախ ասում են, որ $A$-ը ուղղանկյուն է։ մատրիցա. Օրինակ՝ $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ մատրիցը ունի $2\ անգամ 4 չափս։ $, դրանք. պարունակում է 2 տող և 4 սյունակ: Քանի որ տողերի թիվը հավասար չէ սյունակների թվին, այս մատրիցը ուղղանկյուն է:
Եթե $A_(m\ անգամ n)$ մատրիցը բավարարում է $m=n$ պայմանը (այսինքն՝ տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին), ապա $A$-ը համարվում է $ կարգի քառակուսի մատրիցա։ n$. Օրինակ, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$-ը երկրորդ կարգի քառակուսի մատրից է; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$-ը երրորդ կարգի քառակուսի մատրից է: Ընդհանուր առմամբ, $A_(n\times n)$ քառակուսի մատրիցը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
$$ A_(n\ անգամ n)=\ձախ(\սկիզբ(զանգված)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \վերջ (զանգված) \աջ) $$
Նշվում է, որ $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ տարրերը միացված են հիմնական անկյունագիծմատրիցներ $A_(n\ անգամ n)$: Այս տարրերը կոչվում են հիմնական անկյունագծային տարրեր(կամ պարզապես անկյունագծային տարրեր): $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ տարրերը միացված են կողային (փոքր) անկյունագիծ; նրանք կոչվում են կողային անկյունագծային տարրեր. Օրինակ՝ $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1&0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end ( զանգված) \right)$ ունենք.
$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ տարրերը հիմնական անկյունագծային տարրերն են; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ տարրերը կողային անկյունագծային տարրեր են:
Հիմնական անկյունագծային տարրերի գումարը կոչվում է հաջորդում է մատրիցըև նշվում է $\Tr A$ (կամ $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Օրինակ՝ $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- մատրիցի համար 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ ունենք.
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Անկյունագծային տարրեր հասկացությունը կիրառվում է նաև ոչ քառակուսի մատրիցների համար։ Օրինակ, $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 մատրիցի համար & - 7 & -6 \end(array) \right)$ հիմնական անկյունագծային տարրերը կլինեն $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$:
Մատրիցների տեսակները կախված դրանց տարրերի արժեքներից:
Եթե $A_(m\times n)$ մատրիցի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա այդպիսի մատրիցը կոչվում է. դատարկև սովորաբար նշվում է $O$ տառով։ Օրինակ՝ $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - զրոյական մատրիցներ։
Դիտարկենք $A$ մատրիցայի որոշ ոչ զրոյական տող, այսինքն. տող, որը պարունակում է առնվազն մեկ տարր, բացի զրոյից: Առաջատար տարրՈչ զրոյական տողի մենք անվանում ենք նրա առաջին (հաշվելով ձախից աջ) ոչ զրոյական տարր: Օրինակ, հաշվի առեք հետևյալ մատրիցը.
$$W=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \վերջ (զանգված)\աջ)$ $
Երկրորդ տողում առաջատար տարրը կլինի չորրորդ տարրը, այսինքն. $w_(24)=12$, իսկ երրորդ տողում առաջատար տարրը կլինի երկրորդ տարրը, այսինքն. $w_(32)=-9$:
$A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ մատրիցը կոչվում է քայլեց, եթե այն բավարարում է երկու պայման.
- Անվավեր տողերը, եթե առկա են, գտնվում են բոլոր ոչ զրոյական տողերի տակ:
- Ոչ զրոյական տողերի առաջատար տարրերի թվերը կազմում են խիստ աճող հաջորդականություն, այսինքն. եթե $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $A$ մատրիցայի ոչ զրոյական տողերի առաջատար տարրերն են, ապա $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.
Քայլերի մատրիցների օրինակներ.
$$ \ձախ(\սկիզբ(զանգված)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \վերջ (զանգված)\աջ);\; \left(\սկիզբ(զանգված)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \վերջ (զանգված)\աջ): $$
Համեմատության համար՝ $Q=\left(\սկիզբ(զանգված)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & մատրիցա 6\end(array)\right)$-ը քայլի մատրիցա չէ, քանի որ քայլի մատրիցայի սահմանման երկրորդ պայմանը խախտված է։ Երկրորդ և երրորդ տողերի առաջատար տարրերը $q_(24)=7$ և $q_(32)=10$ ունեն $k_2=4$ և $k_3=2$ թվեր։ Քայլ մատրիցայի համար պետք է բավարարվի $k_2\lt(k_3)$ պայմանը, որն այս դեպքում խախտված է։ Նշեմ, որ եթե փոխենք երկրորդ և երրորդ տողերը, ապա կստանանք քայլ առ քայլ մատրիցա՝ $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9\ end(array)\ right)$.
Քայլի մատրիցը կոչվում է trapezoidalկամ trapezoidal, եթե $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ առաջատար տարրերը բավարարում են $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r պայմանները. = r$, այսինքն. առաջատարները անկյունագծային տարրերն են։ Ընդհանուր առմամբ, trapezoidal matrix-ը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
$$ A_(m\ անգամ (n)) =\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \lddots & 0 \end(array)\աջ) $$
Տրապեզոիդային մատրիցների օրինակներ.
$$ \ձախ(\սկիզբ(զանգված)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \վերջ (զանգված)\աջ);\; \left(\սկիզբ(զանգված)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \վերջ (զանգված)\աջ): $$
Եկեք ևս մի քանի սահմանումներ տանք քառակուսի մատրիցների համար: Եթե հիմնական անկյունագծի տակ գտնվող քառակուսի մատրիցայի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա այդպիսի մատրիցը կոչվում է. վերին եռանկյուն մատրիցա. Օրինակ՝ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(զանգված) \right)$-ը վերին եռանկյուն մատրից է: Նկատի ունեցեք, որ վերին եռանկյուն մատրիցայի սահմանումը ոչինչ չի ասում հիմնական շեղանկյունի վերևում կամ հիմնական անկյունագծի վրա գտնվող տարրերի արժեքների մասին: Նրանք կարող են լինել զրոյական, թե ոչ, դա նշանակություն չունի: Օրինակ, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ նույնպես վերին եռանկյունի մատրից է:
Եթե հիմնական անկյունագծի վերևում գտնվող քառակուսի մատրիցայի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա այդպիսի մատրիցը կոչվում է. ստորին եռանկյուն մատրիցա. Օրինակ՝ $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ վերջ (զանգված) \աջ)$ - ստորին եռանկյուն մատրիցա։ Նկատի ունեցեք, որ ստորին եռանկյուն մատրիցայի սահմանումը ոչինչ չի ասում հիմնական անկյունագծի տակ կամ վրա գտնվող տարրերի արժեքների մասին: Նրանք կարող են լինել զրոյական, թե ոչ, դա նշանակություն չունի: Օրինակ՝ $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \աջ)$ and $\left(\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ նույնպես ստորին եռանկյուն մատրիցներ են:
Քառակուսի մատրիցը կոչվում է անկյունագծային, եթե այս մատրիցայի բոլոր տարրերը, որոնք չեն գտնվում հիմնական անկյունագծի վրա, հավասար են զրոյի: Օրինակ՝ $\left(\սկիզբ(զանգված) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ վերջ (զանգված)\աջ)$. Հիմնական անկյունագծի տարրերը կարող են լինել ցանկացած բան (հավասար է զրոյի, թե ոչ) - դա նշանակություն չունի:
Անկյունագծային մատրիցը կոչվում է միայնակ, եթե այս մատրիցայի բոլոր տարրերը, որոնք գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա, հավասար են 1-ի: Օրինակ՝ $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\ right)$ - չորրորդ կարգի ինքնության մատրիցա; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$-ը երկրորդ կարգի նույնական մատրիցն է:
Նշենք, որ մատրիցային տարրերը կարող են լինել ոչ միայն թվեր: Եկեք պատկերացնենք, որ դուք նկարագրում եք այն գրքերը, որոնք գտնվում են ձեր գրադարակի վրա: Թող ձեր դարակը կարգին լինի, և բոլոր գրքերը լինեն խիստ սահմանված վայրերում: Աղյուսակը, որը կպարունակի ձեր գրադարանի նկարագրությունը (ըստ դարակների և դարակների գրքերի հերթականության), նույնպես կլինի մատրիցա: Բայց նման մատրիցը թվային չի լինի։ Մեկ այլ օրինակ. Թվերի փոխարեն կան տարբեր ֆունկցիաներ՝ միավորված որոշ կախվածությամբ։ Ստացված աղյուսակը կկոչվի նաև մատրիցա։ Այլ կերպ ասած, մատրիցը ցանկացած ուղղանկյուն աղյուսակ է, որը կազմված է միատարրտարրեր. Այստեղ և հետագայում մենք կխոսենք թվերից կազմված մատրիցների մասին:
Մատրիցներ գրելու համար փակագծերի փոխարեն օգտագործվում են քառակուսի փակագծեր կամ ուղիղ կրկնակի ուղղահայաց գծեր
 |
(2.1*) |
Սահմանում 2. Եթե արտահայտության մեջ(1) m = n, հետո խոսում են քառակուսի մատրիցա, եւ եթե , ապա ախ ուղղանկյուն.
Կախված m և n արժեքներից, առանձնանում են մատրիցների որոշ հատուկ տեսակներ.
Ամենակարևոր հատկանիշը քառակուսիմատրիցան նա է որոշիչկամ որոշիչ, որը կազմված է մատրիցային տարրերից և նշվում է
Ակնհայտորեն, D E =1; .
Սահմանում 3. Եթե , ապա մատրիցըԱ կանչեց ոչ այլասերված կամ ոչ հատուկ.
Սահմանում 4. Եթե detA = 0, ապա մատրիցըԱ կանչեց այլասերված կամ հատուկ.
Սահմանում 5. Երկու մատրիցաԱ ԵվԲ կոչվում են հավասար և գրիր A = B եթե նրանք ունեն նույն չափերը, և դրանց համապատասխան տարրերը հավասար են, այսինքն..
Օրինակ, մատրիցները և հավասար են, քանի որ դրանք չափերով հավասար են, և մի մատրիցի յուրաքանչյուր տարր հավասար է մյուս մատրիցայի համապատասխան տարրին: Բայց մատրիցները չի կարելի անվանել հավասար, չնայած երկու մատրիցների որոշիչները հավասար են, և մատրիցների չափերը նույնն են, բայց ոչ բոլոր տարրերը, որոնք գտնվում են նույն վայրերում, հավասար են։ Մատրիցները տարբեր են, քանի որ դրանք տարբեր չափսեր ունեն: Առաջին մատրիցը 2x3 է, իսկ երկրորդը՝ 3x2։ Չնայած տարրերի թիվը նույնն է՝ 6, իսկ տարրերն իրենք նույնն են՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, բայց յուրաքանչյուր մատրիցում դրանք տարբեր տեղերում են։ Բայց մատրիցները հավասար են, ըստ սահմանման 5-ի:
Սահմանում 6. Եթե դուք ամրագրում եք որոշակի քանակությամբ մատրիցային սյունակներԱ և նույն թվով տողեր, ապա նշված սյունակների և տողերի խաչմերուկում գտնվող տարրերը կազմում են քառակուսի մատրիցա n- րդ կարգը, որի որոշիչը կանչեց անչափահաս k – րդ կարգի մատրիցաԱ.
Օրինակ. Գրեք մատրիցայի երեք երկրորդ կարգի փոքրեր
Բեռնվում է...