Միջին մաթեմատիկական վիճակագրություն. Վարիացիաների բաշխման շարքի կառուցվածքային բնութագրերը

Մեդիան Եսնրանք անվանում են այն հատկանիշի արժեքը, որն ընկնում է դասակարգված շարքի մեջտեղում և այն բաժանում երկու մասի, որոնք հավասար են միավորների քանակով։ Այսպիսով, բաշխման դասակարգված տողում տողի մի կեսն ունի ատրիբուտի արժեքներ, որոնք գերազանցում են միջինը, մյուս կեսը փոքր է միջինից:

Միջինը օգտագործվում է միջին թվաբանականի փոխարեն, երբ դասակարգված շարքի ծայրահեղ տարբերակները (ամենափոքր և ամենամեծ) համեմատած մնացածի հետ, պարզվում են չափազանց մեծ կամ չափազանց փոքր:

IN դիսկրետկենտ թվով միավորներ պարունակող տատանումների շարքում մեդիանը հավասար է այն բնութագրիչի տարբերակին, որն ունի համարը.
,
որտեղ N-ը բնակչության միավորների թիվն է:
Բնակչության միավորների զույգ թվից բաղկացած դիսկրետ շարքում մեդիանը սահմանվում է որպես թվեր ունեցող տարբերակների միջինը և.
.
Աշխատողների բաշխման մեջ ըստ ստաժի միջինը հավասար է վարկանիշային շարքի 10 համարներ ունեցող տարբերակների միջինին. 2 = 5 և 10: 2 + 1 = 6: Հինգերորդ և վեցերորդ բնութագրերի տարբերակները հավասար են: մինչև 4 տարի, այսպիսով
տարվա
Միջին ցուցանիշը հաշվարկելիս ընդմիջումտող առաջին գտնել միջին միջակայքը, (այսինքն՝ պարունակող միջինը), որի համար օգտագործվում են կուտակված հաճախականություններ կամ հաճախականություններ։ Մեդիանն այն միջակայքն է, որի կուտակված հաճախականությունը հավասար է կամ ավելի մեծ է բնակչության ընդհանուր ծավալի կեսից: Այնուհետև միջին արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.
,
որտեղ է միջին միջակայքի ստորին սահմանը.
- միջին միջակայքի լայնությունը;
– մեդիանին նախորդող միջակայքի կուտակված հաճախականությունը.
- միջին միջակայքի հաճախականությունը:
Հաշվարկենք աշխատողների բաշխման միջինը ըստ աշխատավարձի (տե՛ս «Վիճակագրական տվյալների ամփոփում և խմբավորում» դասախոսությունը):
Միջինը աշխատավարձի միջակայքն է 800-900 UAH, քանի որ դրա կուտակային հաճախականությունը 17 է, որը գերազանցում է բոլոր հաճախականությունների գումարի կեսը (): Հետո
Me=800+100 UAH.
Ստացված արժեքը ցույց է տալիս, որ աշխատողների կեսն ունի 875 UAH-ից ցածր աշխատավարձ, բայց դա միջինից բարձր է:
Միջինը որոշելու համար կուտակային հաճախականությունների փոխարեն կարող եք օգտագործել կուտակային հաճախականություններ:
Միջինը, ինչպես ռեժիմը, կախված չէ տարբերակի ծայրահեղ արժեքներից, հետևաբար այն նաև օգտագործվում է կենտրոնը բաշխման շարքերում անորոշ սահմաններով բնութագրելու համար:
Միջին սեփականություն Միջինից շեղումների բացարձակ արժեքների գումարը փոքր է, քան ցանկացած այլ արժեքից (ներառյալ միջին թվաբանականը).

Մեդիանի այս հատկությունը օգտագործվում է տրանսպորտում տրամվայի և տրոլեյբուսի կանգառների, բենզալցակայանների, հավաքման կետերի և այլնի գտնվելու վայրը նախագծելիս:
Օրինակ. 100 կմ երկարությամբ մայրուղու երկայնքով կա 10 ավտոտնակ։ Գազալցակայանի կառուցումը նախագծելու համար հավաքագրվել են տվյալներ յուրաքանչյուր ավտոտնակի համար դեպի գազալցակայան սպասվող ուղևորությունների քանակի վերաբերյալ:
Աղյուսակ 2 - Տվյալներ յուրաքանչյուր ավտոտնակի համար դեպի գազալցակայան ուղևորությունների քանակի վերաբերյալ:

Անհրաժեշտ է բենզալցակայան տեղադրել, որպեսզի լիցքավորման համար տրանսպորտային միջոցների ընդհանուր վազքը նվազագույն լինի։
Տարբերակ 1.Եթե ​​գազալցակայան տեղադրվի մայրուղու մեջտեղում, այսինքն՝ 50-րդ կիլոմետրում (հատկանիշի փոփոխությունների միջակայքի կենտրոնը), ապա վազքը, հաշվի առնելով երթուղիների քանակը, կլինի.
ա) մեկ ուղղությամբ.
;
բ) հակառակը.
;
գ) ընդհանուր վազքը երկու ուղղություններով.

Տարբերակ 2.Եթե ​​մայրուղու միջին հատվածում տեղադրվում է բենզալցակայան, որը որոշվում է միջին թվաբանական բանաձևով, հաշվի առնելով երթուղիների քանակը.

Միջինը կարող է որոշվել գրաֆիկորեն՝ օգտագործելով կուտակայինը (տես «Վիճակագրական տվյալների ամփոփում և խմբավորում» դասախոսությունը): Դրա համար վերջին կարգադրությունը, գումարին հավասարբոլոր հաճախականությունները կամ հաճախականությունները բաժանված են կիսով չափ: Ստացված կետից ուղղահայացը վերականգնվում է այնքան ժամանակ, մինչև այն հատվում է կուտակման հետ: Հատման կետի աբսցիսան տալիս է միջին արժեքը:

ՓՈՐՁԱՐԿՈՒՄ

«Ռեժիմ. Միջին. Դրանց հաշվարկման եղանակները» թեմայով.

Ներածություն

Միջին արժեքները և տատանումների հարակից ցուցանիշները շատ կարևոր դեր են խաղում վիճակագրության մեջ, ինչը պայմանավորված է դրա ուսումնասիրության առարկայով: Ահա թե ինչու այս թեմանդասընթացի կենտրոնականներից է։

Միջինը վիճակագրության մեջ շատ տարածված ամփոփիչ միջոց է: Սա բացատրվում է նրանով, որ միայն միջինի օգնությամբ կարելի է բնակչությանը բնութագրել քանակապես փոփոխվող հատկանիշով։ Միջին չափըվիճակագրության մեջ կոչվում է մի շարք նմանատիպ երևույթների ընդհանրացնող բնութագիր՝ ըստ քանակապես փոփոխվող որոշ բնութագրերի: Միջինը ցույց է տալիս այս բնութագրի մակարդակը բնակչության մեկ միավորի հաշվով:

Սոցիալական երևույթներն ուսումնասիրելիս և փորձելով բացահայտել դրանց բնորոշ, բնորոշ հատկանիշները տեղի և ժամանակի կոնկրետ պայմաններում, վիճակագիրները լայնորեն օգտագործում են միջին արժեքները: Օգտագործելով միջին ցուցանիշները, դուք կարող եք համեմատել տարբեր պոպուլյացիաներ միմյանց հետ՝ ըստ տարբեր բնութագրերի:

Վիճակագրության մեջ օգտագործվող միջինները պատկանում են հզորության միջինների դասին: Հզորության միջիններից առավել հաճախ օգտագործվում է միջին թվաբանականը, ավելի քիչ՝ ներդաշնակ միջինը. Ներդաշնակ միջինը օգտագործվում է միայն դինամիկայի միջին տեմպերը հաշվարկելիս, իսկ միջին քառակուսինը՝ միայն տատանումների ինդեքսները հաշվարկելիս։

Միջին թվաբանականը տարբերակների գումարը նրանց թվի վրա բաժանելու գործակիցն է։ Այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ամբողջ բնակչության համար տարբեր բնութագրիչի ծավալը ձևավորվում է որպես նրա առանձին միավորների բնութագրական արժեքների գումար: Միջին թվաբանականը միջինի ամենատարածված տեսակն է, քանի որ այն համապատասխանում է սոցիալական երևույթների բնույթին, որտեղ ագրեգատի մեջ տարբեր բնութագրերի ծավալը առավել հաճախ ձևավորվում է հենց որպես բնակչության առանձին միավորների բնորոշ արժեքների գումար: .

Ըստ իր որոշիչ հատկության՝ ներդաշնակ միջինը պետք է օգտագործվի, երբ հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ձևավորվում է որպես տարբերակի հակադարձ արժեքների գումար։ Օգտագործվում է այն դեպքում, երբ, կախված նյութից, կշիռները պետք է ոչ թե բազմապատկել, այլ բաժանել տարբերակների կամ, նույնն է, բազմապատկել դրանց փոխադարձ արժեքով։ Այս դեպքերում ներդաշնակ միջինը բնութագրիչի փոխադարձ արժեքների միջին թվաբանականի փոխադարձությունն է:

Հարմոնիկ միջինին պետք է դիմել այն դեպքերում, երբ որպես կշիռներ օգտագործվում են ոչ թե պոպուլյացիայի միավորները՝ հատկանիշի կրողները, այլ այդ միավորների արտադրյալները՝ ըստ հատկանիշի արժեքի։

1. Ռեժիմի և միջինի սահմանումը վիճակագրության մեջ

Թվաբանական և ներդաշնակ միջոցները բնակչության ընդհանրացնող բնութագրիչներ են՝ ըստ այս կամ այն ​​տարբեր բնութագրերի։ Տարբեր բնութագրերի բաշխման օժանդակ նկարագրական բնութագրիչները եղանակն ու մեդիանն են:

Վիճակագրության մեջ ռեժիմը բնութագրիչի (տարբերակի) արժեքն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է տվյալ բնակչության մեջ: Վարիացիոն շարքում սա կլինի ամենաբարձր հաճախականությամբ տարբերակը:

Վիճակագրության մեջ մեդիանն այն տարբերակն է, որը գտնվում է մեջտեղում տատանումների շարք. Միջինը բաժանում է շարքը կիսով չափ, դրա երկու կողմերում (վեր ու վար) կան նույն թվով բնակչության միավորներ:

Ռեժիմը և մեդիանը, ի տարբերություն հզորության միջոցների, հատուկ բնութագրիչներ են, դրանց նշանակությունը վերագրվում է տատանումների շարքի ցանկացած կոնկրետ տարբերակին:

Ռեժիմը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է բնութագրել բնութագրիչի ամենահաճախ հանդիպող արժեքը: Եթե ​​անհրաժեշտ է, օրինակ, պարզել ձեռնարկությունում ամենասովորական աշխատավարձի դրույքաչափը, շուկայի գինը, որով վաճառվել է ամենամեծ թվով ապրանքներ, կոշիկի չափը, որը սպառողների շրջանում ամենամեծ պահանջարկն ունի և այլն, այս դեպքերում նրանք դիմում են նորաձեւության։

Միջին ցուցանիշը հետաքրքիր է նրանով, որ ցույց է տալիս տարբեր բնութագրիչի արժեքի քանակական սահմանը, որին հասել է բնակչության անդամների կեսը: Թող բանկի աշխատողների միջին աշխատավարձը լինի 650,000 ռուբլի: ամսական. Այս բնութագիրը կարելի է լրացնել, եթե ասենք, որ աշխատողների կեսը ստացել է 700 000 ռուբլի աշխատավարձ։ և ավելի բարձր, այսինքն. Տանք միջինը. Մոդելը և միջինը բնորոշ բնութագրիչներ են այն դեպքերում, երբ պոպուլյացիաները միատարր են և մեծ թվով:

2. Գտնելով ռեժիմը և միջինը դիսկրետ տատանումների շարքում

Տատանումների շարքում ռեժիմը և մեդիանը գտնելը, որտեղ բնութագրիչի արժեքները տրվում են որոշակի թվերով, այնքան էլ դժվար չէ: Դիտարկենք Աղյուսակ 1-ը ընտանիքների բաշխվածությամբ՝ ըստ երեխաների թվի:

Աղյուսակ 1. Ընտանիքների բաշխումն ըստ երեխաների թվի

Ակնհայտ է, որ այս օրինակում նորաձևությունը կլինի երկու երեխա ունեցող ընտանիքը, քանի որ այս արժեքը համապատասխանում է ամենամեծ թիվըընտանիքներ. Կարող են լինել բաշխումներ, որտեղ բոլոր տարբերակները տեղի են ունենում հավասարապես հաճախ, որի դեպքում չկա ռեժիմ, կամ, այլ կերպ ասած, կարող ենք ասել, որ բոլոր տարբերակները հավասարապես մոդալ են։ Մնացած դեպքերում ոչ թե մեկ, այլ երկու տարբերակներ կարող են լինել ամենաբարձր հաճախականությամբ։ Այնուհետեւ կլինի երկու ռեժիմ, բաշխումը կլինի երկմոդալ: Բիմոդալ բաշխումները կարող են ցույց տալ պոպուլյացիայի որակական տարասեռությունը՝ ըստ ուսումնասիրվող բնութագրի:

Դիսկրետ տատանումների շարքում մեդիանը գտնելու համար հարկավոր է հաճախականությունների գումարը կիսով չափ բաժանել և արդյունքին ավելացնել ½: Այսպիսով, երեխաների թվով 185 ընտանիքի բաշխման դեպքում միջինը կլինի՝ 185/2 + ½ = 93, այսինքն. 93-րդ տարբերակը, որը բաժանում է պատվիրված շարքը կիսով չափ։ Ո՞րն է 93-րդ տարբերակի իմաստը. Պարզելու համար պետք է հաճախականություններ կուտակել՝ սկսած ամենափոքր տարբերակներից։ 1-ին և 2-րդ տարբերակների հաճախականությունների գումարը 40 է։ Պարզ է, որ այստեղ 93 տարբերակ չկա։ Եթե ​​3-րդ տարբերակի հաճախականությունը ավելացնենք 40-ին, ապա կստանանք գումար, որը հավասար է 40 + 75 = 115-ի: Հետևաբար, 93-րդ տարբերակը համապատասխանում է տարբեր բնութագրիչի երրորդ արժեքին, և միջինը կլինի երկու երեխա ունեցող ընտանիքը:

Այս օրինակում ռեժիմը և մեդիանը համընկել են: Եթե ​​ունենայինք հաճախականությունների զույգ գումար (օրինակ՝ 184), ապա, օգտագործելով վերը նշված բանաձևը, կստանայինք մեդիանայի տարբերակի թիվը՝ 184/2 + ½ =92,5։ Քանի որ կոտորակային տարբերակներ չկան, արդյունքը ցույց է տալիս, որ միջինը գտնվում է 92-ից 93 տարբերակների միջև:

3. Ռեժիմի և միջինի հաշվարկ ինտերվալային տատանումների շարքում

Ռեժիմի և մեդիանայի նկարագրական բնույթը պայմանավորված է նրանով, որ դրանք չեն փոխհատուցում անհատական ​​շեղումները: Նրանք միշտ համապատասխանում են կոնկրետ տարբերակի։ Հետևաբար, ռեժիմը և մեդիանը չեն պահանջում հաշվարկներ՝ պարզելու համար, թե արդյոք ատրիբուտի բոլոր արժեքները հայտնի են: Այնուամենայնիվ, ինտերվալների տատանումների շարքում հաշվարկներն օգտագործվում են որոշակի միջակայքում ռեժիմի և մեդիանայի մոտավոր արժեքը գտնելու համար:

Միջակայքում պարունակվող բնութագրիչի մոդալ արժեքի որոշակի արժեքը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Որտեղ XMo-ն մոդալ միջակայքի նվազագույն սահմանն է.

i Mo - մոդալ միջակայքի արժեքը;

f Mo – մոդալ ինտերվալի հաճախականություն;

f Mo-1 – մոդալին նախորդող միջակայքի հաճախականությունը.

f Mo+1 – մոդալին հաջորդող միջակայքի հաճախականությունը:

Եկեք ցույց տանք ռեժիմի հաշվարկը՝ օգտագործելով Աղյուսակ 2-ում տրված օրինակը:

Աղյուսակ 2. Ձեռնարկությունների աշխատողների բաշխումն ըստ արտադրական ստանդարտների

Ռեժիմը գտնելու համար նախ որոշում ենք այս շարքի մոդալ միջակայքը։ Օրինակը ցույց է տալիս, որ ամենաբարձր հաճախականությունը համապատասխանում է այն միջակայքին, որտեղ տարբերակները գտնվում են 100-ից 105 միջակայքում: Սա մոդալ ինտերվալն է: Մոդալ միջակայքի արժեքը 5 է:

Աղյուսակ 2-ից թվային արժեքները փոխարինելով վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք.

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

Այս բանաձևի իմաստը հետևյալն է. մոդալ միջակայքի այն մասի արժեքը, որը պետք է ավելացվի դրա նվազագույն սահմանին, որոշվում է կախված նախորդ և հաջորդ ինտերվալների հաճախականությունների մեծությունից: IN այս դեպքում 100-ին ավելացնում ենք 8,8, այսինքն. ինտերվալի կեսից ավելին, քանի որ նախորդ ինտերվալի հաճախականությունը փոքր է հաջորդ միջակայքի հաճախականությունից:

Հիմա եկեք հաշվարկենք միջինը: Միջանկյալ տատանումների շարքում մեդիանը գտնելու համար նախ որոշում ենք այն միջակայքը, որում այն ​​գտնվում է (միջին միջակայքը): Այդպիսի միջակայք կլինի այն, որի կուտակային հաճախականությունը հավասար է կամ մեծ է հաճախությունների գումարի կեսից: Կուտակային հաճախականությունները ձևավորվում են հաճախականությունների աստիճանական գումարման միջոցով՝ սկսած հատկանիշի ամենացածր արժեք ունեցող միջակայքից։ Հաճախականությունների գումարի կեսը 250 է (500:2): Հետևաբար, ըստ Աղյուսակ 3-ի, միջին միջակայքը կլինի 350,000 ռուբլի աշխատավարձի արժեքով միջակայքը: մինչև 400,000 ռուբ.

Աղյուսակ 3. Մեդիանի հաշվարկը միջակայքի տատանումների շարքում

Մինչև այս միջակայքը, կուտակված հաճախականությունների գումարը 160 էր: Հետևաբար, միջին արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է ավելացնել ևս 90 միավոր (250 – 160):

Ռեժիմը և միջինը– միջինների հատուկ տեսակ, որոնք օգտագործվում են տատանումների շարքի կառուցվածքն ուսումնասիրելու համար: Նրանք երբեմն կոչվում են կառուցվածքային միջիններ, ի տարբերություն նախկինում քննարկված հզորության միջինների:

Նորաձևություն– սա բնութագրիչի (տարբերակի) արժեքն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է տվյալ բնակչության մեջ, այսինքն. ունի ամենաբարձր հաճախականությունը:

Նորաձևությունը մեծ գործնական կիրառություն ունի, և որոշ դեպքերում միայն նորաձևությունը կարող է բնութագրել սոցիալական երևույթները։

Միջին- սա տարբերակ է, որը գտնվում է պատվիրված տատանումների շարքի մեջտեղում:

Միջին ցուցանիշը ցույց է տալիս փոփոխվող հատկանիշի արժեքի քանակական սահմանը, որին հասել է բնակչության միավորների կեսը: Ցանկալի է օգտագործել միջինը միջինի հետ մեկտեղ կամ դրա փոխարեն, եթե տատանումների շարքում կան բաց ընդմիջումներ, քանի որ մեդիանը հաշվարկելու համար բաց ինտերվալների սահմանների պայմանական սահմանումը չի պահանջվում, և, հետևաբար, դրանց մասին տեղեկատվության բացակայությունը չի ազդում մեդիանայի հաշվարկի ճշգրտության վրա:

Մեդիանն օգտագործվում է նաև այն դեպքում, երբ անհայտ են որպես կշիռներ օգտագործելու ցուցիչները: Արտադրանքի որակի վերահսկման վիճակագրական մեթոդներում միջին թվաբանականի փոխարեն օգտագործվում է միջինը: Տարբերակների բացարձակ շեղումների գումարը միջինից փոքր է, քան ցանկացած այլ թվից:

Դիտարկենք ռեժիմի և մեդիանայի հաշվարկը դիսկրետ տատանումների շարքում :

Որոշեք ռեժիմը և միջինը:

Fashion Mo = 4 տարի, քանի որ այս արժեքը համապատասխանում է f = 5 ամենաբարձր հաճախականությանը:

Նրանք. ամենամեծ թվով աշխատողներն ունեն 4 տարվա փորձ։

Միջինը հաշվարկելու համար մենք նախ գտնում ենք հաճախությունների գումարի կեսը: Եթե ​​հաճախականությունների գումարը կենտ թիվ է, ապա այս գումարին նախ ավելացնում ենք մեկը, իսկ հետո կիսում ենք.

Միջինը կլինի ութերորդ տարբերակը:

Որպեսզի գտնենք, թե որ տարբերակն է լինելու թվով ութերորդը, մենք կկուտակենք հաճախականություններ այնքան ժամանակ, մինչև չստանանք հաճախականությունների գումար, որը հավասար է կամ մեծ է բոլոր հաճախությունների գումարի կեսից: Համապատասխան տարբերակը կլինի մեդիանը։

Մեհ = 4 տարի:

Նրանք. աշխատողների կեսը չորս տարուց պակաս փորձ ունի, կեսը՝ ավելին։

Եթե ​​մեկ տարբերակի նկատմամբ կուտակված հաճախականությունների գումարը հավասար է հաճախությունների գումարի կեսին, ապա միջինը սահմանվում է որպես այս տարբերակի և հաջորդի միջին թվաբանականը:

Ռեժիմի և միջինի հաշվարկ ինտերվալային տատանումների շարքում

Միջակայքի տատանումների շարքի ռեժիմը հաշվարկվում է բանաձևով

Որտեղ X M0- մոդալ միջակայքի սկզբնական սահմանը,

հմ 0 - մոդալ միջակայքի արժեքը,

զմ 0 , զմ 0-1 , զմ 0+1 – մոդալ միջակայքի հաճախականությունը, համապատասխանաբար, նախորդող և հաջորդող մոդալ միջակայքին:

ՄոդալԱյն միջակայքը, որին համապատասխանում է ամենաբարձր հաճախականությունը, կոչվում է:

Օրինակ 1

Որոշեք ռեժիմը և միջինը:

Մոդալ միջակայքը, քանի որ այն համապատասխանում է f = 35 ամենաբարձր հաճախականությանը: Ապա.

Հմ 0 =6, fm 0 =35

Excel-ում MEDIAN ֆունկցիան օգտագործվում է տիրույթը վերլուծելու համար թվային արժեքներև վերադարձնում է մի թիվ, որը հետազոտվող բազմության միջնամասն է (միջին): Այսինքն՝ այս ֆունկցիան թվերի բազմությունը պայմանականորեն բաժանում է երկու ենթաբազմության, որոնցից առաջինը պարունակում է միջինից պակաս թվեր, իսկ երկրորդը՝ ավելի շատ։ Մեդիանը հետաքրքրությունների շրջանակի կենտրոնական միտումը որոշելու մի քանի մեթոդներից մեկն է:

Excel-ում MEDIAN ֆունկցիայի օգտագործման օրինակներ

Ուսանողների տարիքային խմբերն ուսումնասիրելիս օգտագործվել են համալսարանի ուսանողների պատահական ընտրված խմբի տվյալները: Խնդիրն է որոշել ուսանողների միջին տարիքը:

Նախնական տվյալներ.

Հաշվարկի բանաձև.

Փաստարկի նկարագրությունը.

• B3:B15 – ուսումնասիրված տարիքային տիրույթ:

Արդյունք:

Այսինքն՝ խմբում կան ուսանողներ, որոնց տարիքը 21 տարեկանից ցածր է և այս արժեքից բարձր։

Միջին արժեքը հաշվարկելու համար MEDIAN և AVERAGE ֆունկցիաների համեմատում

Հիվանդանոցում երեկոյան ռաունդների ժամանակ յուրաքանչյուր հիվանդի մարմնի ջերմաստիճանը չափվել է։ Ցույց տալ միջին արժեքի փոխարեն մեդիանայի պարամետրի օգտագործման օգտակարությունը՝ ստացված արժեքների մի շարք ուսումնասիրելու համար:

Նախնական տվյալներ.

Միջինը գտնելու բանաձև.

Միջին չափը գտնելու բանաձև.

Ինչպես երևում է միջին արժեքից, միջինում հիվանդների ջերմաստիճանը նորմայից բարձր է, բայց դա ճիշտ չէ։ Միջին ցուցանիշը ցույց է տալիս, որ հիվանդների առնվազն կեսն ունի նորմալ մարմնի ջերմաստիճան, որը չի գերազանցում 36,6-ը:

Ուշադրություն. Կենտրոնական միտումը որոշելու մեկ այլ մեթոդ է ռեժիմը (ամենահաճախ հանդիպող արժեքն ուսումնասիրվող միջակայքում): Excel-ում կենտրոնական միտումը որոշելու համար դուք պետք է օգտագործեք MODE ֆունկցիան: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս օրինակում միջինի և ռեժիմի արժեքները նույնն են.

Այսինքն, միջին արժեքը, որը մեկ հավաքածուն բաժանում է ավելի փոքր և ավելի մեծ արժեքների ենթաբազմությունների, նաև հավաքածուի մեջ ամենահաճախ հանդիպող արժեքն է: Ինչպես տեսնում եք, հիվանդների մեծ մասի ջերմաստիճանը 36,6 է:

Excel-ում վիճակագրական վերլուծության մեջ մեդիանայի հաշվարկման օրինակ

Օրինակ 3. Խանութում աշխատում է 3 վաճառող: Ելնելով վերջին 10 օրվա արդյունքներից՝ անհրաժեշտ է որոշել, թե որ աշխատողին է տրվելու հավելավճարը։ Լավագույն աշխատողին ընտրելիս հաշվի է առնվում նրա աշխատանքի արդյունավետության աստիճանը, այլ ոչ թե վաճառված ապրանքների քանակը։

Բնօրինակ տվյալների աղյուսակ.

Արդյունավետությունը բնութագրելու համար մենք կօգտագործենք միանգամից երեք ցուցանիշ՝ միջին արժեք, միջին և ռեժիմ: Եկեք որոշենք դրանք յուրաքանչյուր աշխատակցի համար՝ օգտագործելով համապատասխանաբար AVERAGE, MEDIAN և MODE բանաձևերը.

Տվյալների ցրման աստիճանը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք արժեք, որը համապատասխանաբար միջին արժեքի և ռեժիմի, միջին արժեքի և միջին արժեքի տարբերության մոդուլի ընդհանուր արժեքն է: Այսինքն՝ x=|ավ-մեդ|+|ավ-մոդ| գործակիցը, որտեղ.

• av – միջին արժեք;
• med - միջին;
• mod - նորաձեւություն.

Եկեք հաշվարկենք x գործակիցի արժեքը առաջին վաճառողի համար.

Մենք հաշվարկներ կիրականացնենք նաև մյուս վաճառողների համար։ Արդյունքները:

Եկեք որոշենք վաճառողին, ում կտրվի բոնուսը.

Նշում. SMALL ֆունկցիան վերադարձնում է առաջին նվազագույն արժեքը x գործակցի արժեքների դիտարկված միջակայքից:

X գործակիցը վաճառողների աշխատանքի կայունության որոշակի քանակական բնութագիր է, որը ներկայացրել է խանութի տնտեսագետը։ Նրա օգնությամբ հնարավոր եղավ որոշել արժեքների ամենափոքր շեղումներով տիրույթը։ Այս մեթոդը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է միանգամից օգտագործել կենտրոնական միտումը որոշելու երեք մեթոդներ՝ առավել հուսալի արդյունքներ ստանալու համար:

Excel-ում MEDIAN ֆունկցիայի օգտագործման առանձնահատկությունները

Ֆունկցիան ունի հետևյալ շարահյուսությունը.

ՄԵԴԻԱՆ (համար 1; [թիվ 2];...)

Փաստարկների նկարագրությունը.

• թիվ 1-ը պարտադիր փաստարկ է, որը բնութագրում է ուսումնասիրվող միջակայքում պարունակվող առաջին թվային արժեքը.
• [թիվ 2] – կամընտիր երկրորդ (և հետագա արգումենտներ, ընդհանուր առմամբ մինչև 255 արգումենտ), որը բնութագրում է ուսումնասիրվող միջակայքի երկրորդ և հաջորդ արժեքները:

Ծանոթագրություններ 1:

1. Հաշվարկներ կատարելիս ավելի հարմար է արգումենտներ հաջորդաբար մուտքագրելու փոխարեն միանգամից փոխանցել ուսումնասիրվող արժեքների ողջ տիրույթը:
2. Ընդունված փաստարկներն են թվային տվյալներ, թվեր պարունակող անուններ, հղման տիպի տվյալներ և զանգվածներ (օրինակ՝ =MEDIAN((1,2,3,5,7,10))):
3. Միջինը հաշվարկելիս հաշվի են առնվում դատարկ արժեքներ պարունակող բջիջները կամ տրամաբանական TRUE, FALSE, որոնք համապատասխանաբար մեկնաբանվելու են որպես թվային արժեքներ 1 և 0: Օրինակ, արգումենտներում տրամաբանական արժեքներով ֆունկցիայի կատարման արդյունքը (TRUE; FALSE) համարժեք է այն արգումենտներով (1;0) կատարման արդյունքին և հավասար է 0.5-ի:
4. Եթե ​​մեկ կամ մի քանի ֆունկցիայի փաստարկներ ընդունում են տեքստային արժեքներ, որոնք չեն կարող փոխակերպվել թվային արժեքների կամ պարունակում են սխալի կոդեր, ֆունկցիան կվերադարձնի #VALUE! սխալի կոդը:
5. Excel-ի այլ գործառույթներ կարող են օգտագործվել նմուշի մեդիանը որոշելու համար՝ PERCENTILE.IN, QUARTILE.IN, MAX Օգտագործման օրինակներ.

• =PERCENTILE.IN(A1:A10,0.5), քանի որ ըստ սահմանման միջինը 50-րդ տոկոսն է:
• =QUARTILE.ON(A1:A10;2), քանի որ միջինը 2-րդ քառորդն է:
• =HIGH(A1:A9,COUNT(A1:A9)/2), բայց միայն այն դեպքում, եթե տիրույթում թվերի թիվը կենտ թիվ է:

Ծանոթագրություններ 2:

1. Եթե ​​ուսումնասիրվող միջակայքում բոլոր թվերը սիմետրիկորեն բաշխված են միջինի շուրջ, ապա այս միջակայքի միջին թվաբանականը և միջինը համարժեք կլինեն:
2. Տվյալների մեծ շեղումներով միջակայքում (արժեքների «ցրում»), միջինը ավելի լավ է արտացոլում արժեքների բաշխման միտումը, քան միջին թվաբանականը: Գերազանց օրինակ է մեդիանայի օգտագործումը` որոշելու համար մի պետության բնակչության աշխատավարձի իրական մակարդակը, որտեղ պաշտոնյաներն ավելի շատ են վաստակում, քան սովորական քաղաքացիները:
3. Ուսումնասիրվող արժեքների շրջանակը կարող է պարունակել.

• Կենտ թվեր. Այս դեպքում միջինը կլինի եզակի, միջակայքը բաժանելով համապատասխանաբար ավելի մեծ և փոքր արժեքների երկու ենթաբազմությունների;
• Զույգ թվերի թիվը. Այնուհետև մեդիանը հաշվարկվում է որպես երկու թվային արժեքների թվաբանական միջին, որոնք բաժանում են բազմությունը վերը նշված երկու ենթաբազմությունների:

MS EXCEL-ում մեդիանը հաշվարկելու համար կա MEDIAN() հատուկ ֆունկցիա: Այս հոդվածում մենք կսահմանենք միջինը և կսովորենք, թե ինչպես հաշվարկել այն նմուշի և բաշխման տվյալ օրենքի համար պատահական փոփոխական.

Սկսենք նրանից միջիններըՀամար նմուշներ(այսինքն՝ ֆիքսված արժեքների համար):

Նմուշի միջն

Միջին(միջին) այն թիվն է, որը թվերի բազմության միջնամասն է. բազմության թվերի կեսը մեծ է, քան միջին, իսկ թվերի կեսը պակաս է միջին.

Հաշվարկելու համար միջիններընախ անհրաժեշտ է (արժեքները մեջ նմուշ) Օրինակ, միջիննմուշի համար (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) կլինի 4. Որովհետև հենց ներս նմուշ 7 արժեք, որոնցից երեքը 4-ից փոքր են (այսինքն՝ 2; 3; 3), իսկ երեք արժեքները ավելի մեծ են (այսինքն՝ 5; 7; 10):

Եթե ​​հավաքածուն պարունակում է զույգ թվեր, ապա այն հաշվարկվում է բազմության մեջտեղի երկու թվերի համար։ Օրինակ, միջիննմուշի համար (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) կլինի 4.5, քանի որ (3+6)/2=4.5.

Որոշելու համար միջինները MS EXCEL-ում կա MEDIAN() համանուն ֆունկցիա: Անգլերեն տարբերակՄԵԴԻԱՆ ().

Միջինպարտադիր չէ, որ համընկնի: Համընկնումը տեղի է ունենում միայն այն դեպքում, եթե նմուշի արժեքները բաշխված են սիմետրիկորեն միջին. Օրինակ, համար նմուշներ (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) միջինԵվ միջինհավասար է 3,5-ի։

Եթե ​​հայտնի է Բաշխման գործառույթ F(x) կամ հավանականության խտության ֆունկցիա էջ(X), Դա միջինկարելի է գտնել հավասարումից.

Օրինակ, լուծելով այս հավասարումը lnN(μ; σ 2) Լոգնորմալ բաշխման համար, մենք ստանում ենք, որ միջինհաշվարկված =EXP(μ) բանաձևով: Երբ μ=0, միջինը 1 է:

Ուշադրություն դարձրեք կետին Բաշխման գործառույթներ, ինչի համար Ֆ(x)=0.5(տես նկարը վերևում) . Այս կետի աբսցիսան հավասար է 1-ի։ Սա մեդիանայի արժեքն է, որը բնականաբար համընկնում է նախկինում հաշվարկված արժեքի հետ՝ օգտագործելով em բանաձեւը։

MS EXCEL-ում միջինՀամար լոգնորմալ բաշխում LnN(0;1) կարելի է հաշվարկել բանաձևով =LOGNORM.REV(0.5,0,1).

ՆշումՀիշենք, որ ինտեգրալը Պատահական փոփոխականը նշելու ողջ տիրույթում հավասար է մեկի:

Հետևաբար, միջնագիծը (x=Median) բաժանում է գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքը հավանականության խտության ֆունկցիաներըերկու հավասար մասերի.