Վերջնական ծավալի մեթոդ. Վերջնական ծավալի մեթոդ Դիսկրետ սխեմաների հատկությունները
Որոշ ժամանակ առաջ ես փնտրում էի OpenFOAM թվային մոդելավորման գրադարանում տեղի ունեցող գործողությունների և գործընթացների նկարագրությունը: Ես գտա վերջավոր ծավալների մեթոդի գործողության բազմաթիվ վերացական նկարագրություններ, տարբերության դասական սխեմաներ և տարբեր ֆիզիկական հավասարումներ: Ես ուզում էի ավելի մանրամասն իմանալ, որտեղի՞ց են առաջացել այս արժեքները այս և նման ելքային ֆայլում այս և նման կրկնության ժամանակ, ինչ արտահայտություններ են կանգնած fvSchemes, fvSolution կարգավորումների ֆայլերում որոշակի պարամետրերի հետևում:
Նրանց համար, ովքեր նույնպես հետաքրքրված են սաով՝ այս հոդվածը: Նրանք, ովքեր լավ ծանոթ են OpenFOAM-ին կամ դրանում ներդրված մեթոդներին, գրեք անձնական հաղորդագրության մեջ հայտնաբերված սխալների և անճշտությունների մասին։
Habré-ում OpenFOAM-ի մասին արդեն մի քանի հոդված կար.
Հետևաբար, ես չեմ կանգնի այն փաստի վրա, որ այն «թվային սիմուլյացիայի բաց (GPL) հարթակ է, որը նախատեսված է սիմուլյացիաների համար, որոնք կապված են վերջավոր ծավալի մեթոդով մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման հետ և լայնորեն օգտագործվում է շարունակական մեխանիկայի խնդիրներ լուծելու համար»:
Այսօր ես կօգտագործեմ պարզ օրինակ՝ նկարագրելու այն գործողությունները, որոնք տեղի են ունենում OpenFOAM-ում հաշվարկների ժամանակ:
Այսպիսով, հաշվի առնելով երկրաչափությունը՝ 1 մետր կողմով խորանարդ.
Մեր առջեւ խնդիր է դրված մոդելավորել որոշակի սկալյար դաշտի (ջերմաստիճան, նյութի քանակություն) հոսք-տարածումը, որը տրված է մարմնի ծավալի ներսում հետեւյալ տրանսպորտային հավասարմամբ (1).
(1) 
,
Այն դեպքում, երբ սկալյար մեծությունը, օրինակ, արտահայտում է ջերմաստիճանը [K] կամ որոշակի նյութի կոնցենտրացիան, և արտահայտում է նյութի փոխանցումը, զանգվածային հոսքը [կգ/վ]։
Այս հավասարումը, օրինակ, օգտագործվում է ջերմության տարածման մոդելավորման համար 
,
որտեղ k-ը ջերմային հաղորդունակությունն է և ջերմաստիճանը [K]:
Դիվերգենցիայի օպերատորը իրականում
օպերատոր.
Հիշեցնեմ, որ կա nabla օպերատոր (Hamilton operator), որը գրված է այսպես. 
,
Որտեղ i, j, k միավոր վեկտորներ են:
Եթե մենք սանդղակով բազմապատկենք nabla օպերատորը վեկտորային մեծությամբ, մենք կստանանք այս վեկտորի դիվերգենցիան.
«Ֆիզիկայի տեսանկյունից վեկտորային դաշտի դիվերգենցիան այն ցուցանիշն է, թե որքանով է տարածության տվյալ կետը հանդիսանում այս դաշտի աղբյուրը կամ խորտակումը»:
Եթե դուք բազմապատկեք nabla օպերատորը սկալյարով, կստանաք այդ սկալարի գրադիենտը.
Գրադիենտը ցույց է տալիս սկալարի մեծության աճ կամ նվազում ինչ-որ ուղղությամբ:
Խնդրի սահմանային պայմանները հետևյալն են՝ կա մուտքային երես, ելքային երես, իսկ մնացած երեսները հարթ պատեր են։
Խորանարդի ծավալը վերջավոր ծավալների բաժանելը
Մեր ցանցը շատ պարզ է լինելու՝ մենք Z առանցքի երկայնքով խորանարդը բաժանում ենք 5 հավասար բջիջների։
Շատ բանաձևեր
Վերջնական ծավալի մեթոդը նախատեսում է, որ (1) ինտեգրալ ձևով (2) կբավարարվի յուրաքանչյուր վերջավոր ծավալի համար:
(2)
,
Որտեղ է վերջնական ծավալի երկրաչափական կենտրոնը:
Վերջնական ծավալի կենտրոն
Եկեք պարզեցնենք և փոխակերպենք արտահայտության առաջին անդամը (2) հետևյալ կերպ.
(2.1) (HJ-3.12)*
Ինչպես տեսնում եք, մենք ենթադրում էինք, որ սկալյար մեծությունը գծայինորեն փոխվում է վերջավոր ծավալի ներսում, և քանակի արժեքը որոշ կետում վերջավոր ծավալի ներսում կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ.
Արտահայտման երկրորդ անդամը (2) պարզեցնելու համար մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված Գաուս-Օստրոգրադսկու թեորեմը. վեկտորային դաշտի ծավալի շեղման ինտեգրալը հավասար է տվյալ ծավալը սահմանափակող մակերեսով վեկտորային հոսքին: Մարդկային լեզվով ասած, «բոլոր հոսքերի գումարը դեպի/վերջավոր ծավալի մեջ հավասար է այս վերջավոր ծավալի երեսներով հոսքերի գումարին»:
(2.3)
,
Որտեղ է փակ մակերեսը սահմանափակում ծավալը,
- վեկտորն ուղղված է ծավալից նորմալի երկայնքով:
Վեկտոր Ս
Հաշվի առնելով, որ վերջավոր ծավալը սահմանափակված է հարթ երեսների բազմությամբ, արտահայտությունը (2.3) կարող է փոխակերպվել մակերեսի վրա գտնվող ինտեգրալների գումարի.
(2.4) (HJ-3.13)
,
Որտեղ արտահայտում է փոփոխականի արժեքը դեմքի կենտրոնում,
- տարածքի վեկտորը, որը դուրս է գալիս դեմքի կենտրոնից, ուղղված բջջից հեռու (տեղական), ավելի ցածր ինդեքսով բջիջից հեռու դեպի ավելի բարձր ինդեքս ունեցող բջիջ (գլոբալ):
Մի փոքր ավելին վեկտորի Ս
Որպեսզի նույն վեկտորային պարամետրերը երկու անգամ չպահվեն, քանի որ Ակնհայտ է, որ երկու հարևան բջիջների համար նորմալ վեկտորը դեպի բջիջների միջև եղած եզրը, որն ուղղված է բջջի կենտրոնից հեռու, կտարբերվի միայն ուղղության նշանով: Հետեւաբար, եզրի եւ խցի միջեւ ստեղծվել է սեփականատեր-հարեւան հարաբերություն: Եթե տարածքի վեկտորը (գլոբալ, դրական ուղղություն ավելի ցածր ինդեքսով բջիջից դեպի ավելի մեծ ինդեքս ունեցող բջիջ) ցույց է տալիս բջիջի կենտրոնից, ապա այդպիսի հարաբերություն է բջջի և վեկտորի, իսկ ավելի ճիշտ՝ բջջի և բջջի միջև։ դեմք, նշվում է սեփականատեր): Եթե այս վեկտորը մատնանշում է տվյալ բջիջի ներսում, ապա հարեւանը: Ուղղությունը ազդում է արժեքի նշանի վրա (+ սեփականատիրոջ և - հարևանի համար) և դա կարևոր է ամփոփելիս, տես ստորև:
Տարբերության սխեմաների մասին
Դեմքի կենտրոնում արժեքը հաշվարկվում է հարակից բջիջների կենտրոնների արժեքների միջոցով - արտահայտման այս մեթոդը կոչվում է տարբերությունների սխեման: OpenFOAM-ում տարբերության սխեմայի տեսակը նշված է ֆայլում /համակարգ/fvSchemes:DivSchemes (կանխադրված չկա; div(phi,psi) Գաուսի գծային;)
Գաուսը- նշանակում է, որ ընտրված է կենտրոնական տարբերության սխեման.
գծային- նշանակում է, որ բջիջների կենտրոններից դեպի դեմքերի կենտրոններ ինտերպոլացիա տեղի կունենա գծային:
Ենթադրենք, որ մեր սկալային մեծությունը գծային կերպով փոխվում է վերջավոր ծավալի ներսում՝ կենտրոնից մինչև եզրեր։ Այնուհետև դեմքի կենտրոնում մոտավոր արժեքը կհաշվարկվի բանաձևի համաձայն.
Որտեղ են կշիռները և հաշվարկվում են որպես
Որտեղ են բջջային ծավալները:
Շեղված բջիջների դեպքում կան մոտավոր կշիռների հաշվարկման ավելի բարդ բանաձևեր։
Այսպիսով, ph_f արժեքները բջջային եզրերի կենտրոններում հաշվարկվում են բջջային կենտրոնների արժեքների հիման վրա: Գրադիենտ արժեքները grad(phi) հաշվարկվում են phi_f արժեքների հիման վրա:
Եվ այս ամբողջ ալգորիթմը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կեղծ կոդի տեսքով.
1. Մենք հայտարարում ենք վերջավոր ծավալների գրադիենտների զանգված, այն սկզբնավորում ենք զրոներով 2. Անցնում ենք բոլոր ներքին երեսներով (որոնք սահման չեն) > Հաշվում ենք flux_f = phi_f*S_f։ Հաշվարկել phi_f արժեքները՝ հիմնվելով Phi արժեքների վրա՝ բջջային ցենտներով > Ավելացնել flux_f սեփականատիրոջ տարրի գրադիենտին և -flux_f հարևան տարրի գրադիենտին 3. Կրկնել բոլոր սահմանային երեսների վրա > Հաշվարկել flux_f = phi_f*S_f> Սեփականատիրոջ տարրի գրադիենտին ավելացրեք flux_f (հարևան - սահմանային երեսները տարրեր չունեն) 4. Եկեք անցնենք բոլոր տարրերը > Ստացված գրադիենտ գումարը բաժանեք տարրի ծավալի վրա:
Ժամանակի նմուշառում
Հաշվի առնելով (2.1) և (2.4) արտահայտությունը՝ (2) արտահայտությունը ստանում է ձև.
(3)
Ըստ վերջավոր ծավալի մեթոդի, կատարվում է ժամանակի դիսկրետացում և (3) արտահայտությունը գրվում է հետևյալ կերպ.
(4)
Եկեք ինտեգրենք (4):
(4.1)
Եկեք բաժանենք ձախ և աջ կողմերը.
(5)
Տվյալներ նմուշառման մատրիցայի համար
Այժմ մենք կարող ենք ստանալ գծային հավասարումների համակարգ յուրաքանչյուր վերջավոր ծավալի համար:Ստորև ներկայացված է ցանցային հանգույցների համարակալումը, որոնք մենք կօգտագործենք: 
Հանգույցի կոորդինատները պահվում են /constant/polyMesh/points-ում
24
((0 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(1 1 0)
(0 0 0.2)
(1 0 0.2)
(0 1 0.2)
(1 1 0.2)
(0 0 0.4)
(1 0 0.4)
(0 1 0.4)
(1 1 0.4)
(0 0 0.6)
(1 0 0.6)
(0 1 0.6)
(1 1 0.6)
(0 0 0.8)
(1 0 0.8)
(0 1 0.8)
(1 1 0.8)
(0 0 1)
(1 0 1)
(0 1 1)
(1 1 1))
Բջիջների հանգույց-կենտրոնների համարակալում (50, 51 - սահմանային դեմքերի կենտրոններ). 
Դեմքի կենտրոնական հանգույցների համարակալում. 
Տարրերի ծավալները.
Ինտերպոլացիայի գործակիցները, որոնք անհրաժեշտ են բջիջների դեմքերի արժեքները հաշվարկելու համար: «e» մակագրությունը նշանակում է «բջջի աջ եզրը»: Տեսարանի համեմատ աջ, ինչպես «Բջիջների հանգույցների-կենտրոնների համարակալում» նկարում.
Նմուշառման մատրիցայի ձևավորում
P = 0-ի համար:
Արտահայտություն (5), որը նկարագրում է քանակի վարքը
Կվերափոխվի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի՝ յուրաքանչյուր ձևով.
Կամ՝ ըստ դեմքերի կետերի ցուցանիշների
Եվ բոլոր հոսքերը դեպի/բջջից կարող են արտահայտվել որպես գումար
Որտեղ է, օրինակ, հոսքի գծայինացման գործակիցը E բջիջի կենտրոնական կետում,
- հոսքի գծայինացման գործակիցը դեմքի կենտրոնական կետում,
- ոչ գծային մաս (օրինակ, հաստատուն):
Ըստ դեմքերի համարակալման՝ արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը. 
Հաշվի առնելով P_0 տարրի սահմանային պայմանները, գծային հանրահաշվական հավասարումը կարող է ներկայացվել որպես.
...փոխարինել նախկինում ստացված գործակիցները...
«a» մուտքից հոսքը ուղղված է դեպի բջիջ և, հետևաբար, ունի բացասական նշան:
Քանի որ մեր վերահսկման արտահայտության մեջ մենք, բացի դիֆուզիոն տերմինից, ունենք նաև ժամանակի անդամ, բայց վերջնական հավասարումը նման է.
P = 1-ի համար:
P = 4-ի համար:
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը (SLAE) կարող է ներկայացվել մատրիցային տեսքով՝ որպես
A(i,j) === 40.5 0.5 0 0 0 -0.5 40 0.5 0 0 0 -0.5 40 0.5 0 0 0 -0.5 40 0.5 0 0 0 -0.5 40.5
Psi = չափերը; interiorField ոչ միասնական ցուցակ
որի հիման վրա ստացվում են վեկտորի արժեքները
Այնուհետև վեկտորը փոխարինվում է SLAE-ում և տեղի է ունենում վեկտորի հաշվարկի նոր կրկնություն:
Եվ այսպես շարունակ, մինչև անհամապատասխանությունը հասնի պահանջվող սահմաններին։
Հղումներ
* Այս հոդվածի որոշ հավասարումներ վերցված են Յասակ Հրվոջեի ատենախոսությունից (ՀԺ-ն հավասարման թիվն է) և եթե որևէ մեկը ցանկանում է ավելին կարդալ դրանց մասին (Նախկինում նշվում էր ենթադոմեյն մեթոդը, որը ելակետ է ծառայել մի շարք թվային մեթոդների համար։ Այդպիսի մեթոդներից է վերջավոր ծավալի մեթոդը։ Այս նույն մեթոդը մեկ այլ լայնորեն տարածված դասի՝ ինտեգրալ մեթոդների ներկայացուցիչ է։ Ենթադոմեյնի մեթոդի նշագրման դասական ձևից վերցված են հաշվողական տիրույթի բաժանումը ենթադոմեյնների և մնացորդի ինտեգրումը ենթադոմեյնի վրա։ Տարբերությունը մոտավոր (փորձարկման) ֆունկցիայի հստակ գրանցման բացակայությունն է: Բայց, ինչպես նախկինում, մենք փորձում ենք «ճշգրիտ» լուծել յուրաքանչյուր ենթադոմեյնի հավասարումը։ Հետևաբար, սկզբնական հավասարումը ինտեգրված է ենթադոմեյնի վրա: Ինտեգրալ մեթոդները բնութագրվում են նրանով, որ սկզբում վերցվում է դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալը, և ստացվում է հավասարումը գրելու ինտեգրալ ձև։ Այս ձևի հավասարումն այնուհետև կիրառվում է առանձին ցանցի բջիջների վրա: Այս դեպքում բջիջները և ենթատարածքները նույնն են:
Փաստորեն, հավասարումների գրման ինտեգրալ ձևն ունի (ֆիզիկայի տեսանկյունից) կիրառման նույնիսկ ավելի լայն շրջանակ, քան դիֆերենցիալը։ Փաստն այն է, որ ֆունկցիայի ընդհատումների առկայության դեպքում դիֆերենցիալ հավասարումները կիրառելի չեն, և դրանց ինտեգրալ անալոգները շարունակում են աշխատել, աշխատել և աշխատել…: Ցավոք, երբ դրանք իրականացվում են թվային եղանակով, երբեմն այդ առավելությունը կորչում է։
Որպես կանոն, հավասարումների ինտեգրալներն ունեն պարզ և հասկանալի ֆիզիկական նշանակություն։ Օրինակ, հաշվի առեք շարունակականության հավասարումը: Բնօրինակ դիֆերենցիալ հավասարումը գրված է
Եկեք այն ինտեգրենք V ծավալի վրա, որն ունի S մակերես, և ժամանակի ընթացքում t 0-ից t 1 միջակայքում: Ածանցյալները ինտեգրելիս մենք օգտագործում ենք Սթոքսի բանաձևը (դրա հատուկ դեպքերը կոչվում են Գրին և Օստրոգրադսկի-Գաուսի բանաձևեր)։ Արդյունքում մենք ստանում ենք
Այս նշումով, առաջին երկու ինտեգրալների միջև տարբերությունը նշանակում է զանգվածի փոփոխություն տվյալ ծավալում դիտարկվող ժամանակային միջակայքում։ Եվ կրկնակի ինտեգրալը ցույց է տալիս զանգվածը, որը հոսում է տվյալ ծավալի մեջ այն սահմանափակող մակերևույթի միջով նույն ժամանակահատվածում: Բնականաբար, քանի որ խոսքը թվային մեթոդների մասին է, այդ ինտեգրալները հաշվարկվում են մոտավորապես։ Եվ այստեղ սկսվում են մերձեցման հարցերը, որոնք նման են վերջավոր տարբերության մեթոդով դիտարկվածներին։
Դիտարկենք ամենապարզ դեպքերից մեկը՝ երկչափ ուղղանկյուն միատեսակ ցանց։ Վերջնական ծավալի մեթոդով ֆունկցիաների արժեքները սովորաբար որոշվում են ոչ թե ցանցային հանգույցներում, այլ բջիջների կենտրոններում: Համապատասխանաբար, ինդեքսավորվում են նաև ոչ թե յուրաքանչյուր ուղղությամբ ցանցի գծերը, այլ բջիջների շերտերը (տես նկարը):
| ժ-1 |
| ժ |
| j+1 |
| k-1 |
| կ |
| k+1 |
| Ա |
| Բ |
| Գ |
| Դ |
Այս դեպքում հավասարման ինտեգրալ ձևը կգրվի հետևյալ կերպ
Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում ստացանք սովորական հավասարում, որը կարող էինք գրել նաև վերջավոր տարբերության մեթոդով։ Սա նշանակում է, որ դրա նկատմամբ կարող են կիրառվել կայունության ուսումնասիրման նույն մեթոդները։ (Արագ հարց. արդյոք այս սխեման կայուն է:)
Բայց եթե նույն բանը ստացանք, ուրեմն արժե՞ր այս ամբողջ այգին կառուցել։ Ամենապարզ դեպքերում մենք իսկապես ոչ մի օգուտ չենք ստանում: Բայց ավելի բարդ իրավիճակներում օգուտները ի հայտ են գալիս: Նախ, ինչպես նշվեց վերևում, նման մեթոդները (նույնիսկ նման պարզ իրականացման դեպքում) շատ ավելի լավ են նկարագրում ընդհատումները և բարձր գրադիենտներով տարածքները: Միևնույն ժամանակ, զանգվածի, իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքների կատարումը երաշխավորված է, քանի որ դրանք դիտվում են յուրաքանչյուր բջիջում։ Երկրորդ, այս մեթոդները կարող են դիմակայել ցանցի չարաշահումների լայն տեսականի: Նույնիսկ կորագիծ, անհավասար և անկանոն ցանցերը չեն շպրտում այս մեթոդները հունից: Այս առավելությունները հատկապես հաճախ զգացվում են, երբ սահմանային պայմանները նշվում են:
| ժ-1 |
| ժ |
| j+1 |
| k-1 |
| կ |
| k+1 |
| Ա |
| Բ |
| Գ |
| Դ |
| Ե |
Օրինակ, նկարում ներկայացված դեպքի համար հավասարման ամբողջական ձևը կունենա ձև
այսինքն՝ պարզապես այնտեղ, որտեղ մենք վերցրել ենք ինտեգրալը ամբողջ բջջի տարածքի վրա, այժմ այն վերցնում ենք «կտրված» տարածքի վրա, որտեղ ինտեգրալը վերցրել ենք ամբողջ եզրով, այժմ այն վերցնում ենք դրա մնացած մասով։ . Ավելացվեց սահմանային հատվածի ինտեգրալ: Բայց դա հեշտությամբ կարելի է գտնել սահմանային պայմաններից։ Մասնավորապես, եթե պատի միջով զանգվածային հոսք չի մատակարարվում (և նաև որևէ զանգված չի տարվում մակերեսից և/կամ մենք անտեսում ենք պատի վրա լիցք կորցնող իոնների զանգվածային հոսքը), ապա այդպիսի ինտեգրալը պարզապես հավասար է զրոյի։ Էներգիայի հավասարման նմանատիպ ձևի դեպքում, որպես կանոն, պետք է հաշվի առնել պատի միջով հոսքը: Բայց նաև դժվար չէ սահմանային պայմաններից գտնել (եթե դրանք ճիշտ են դրված):
Սա ամրապնդելու համար եկեք նկարագրենք, թե ինչպիսի տեսք կունենա վերջավոր ծավալի մեթոդի կիրառումը իմպուլսի պահպանման հավասարումներից մեկում: Վերցնենք միայնակ լիցքավորված իոնների հարթ անշարժ պատյանը: Մենք անտեսում ենք մածուցիկությունը և առաձգական բախումները: Մենք ստանում ենք հավասարումը
Ուղղանկյուն ցանցի համար (տես նկարը վերևում) մենք ստանում ենք
Նման հավասարման ամենապարզ մոտեցումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
կրճատումներից հետո մենք ստանում ենք բանաձևը
ալգորիթմի մոդելավորման ծրագիր
Վերջնական ծավալի մեթոդի (FVM) մեկնարկային կետը զանգվածի, իմպուլսի, էներգիայի և այլնի պահպանման օրենքների ամբողջական ձևակերպումն է: Հաշվեկշռային հարաբերությունները գրված են փոքր հսկիչ ծավալի համար. դրանց դիսկրետ անալոգը ստացվում է զանգվածի, իմպուլսի և այլնի հոսքերի ընտրված ծավալի բոլոր երեսների վրա գումարելով, որոնք հաշվարկվում են քառակուսային որոշ բանաձևերի միջոցով: Քանի որ պահպանման օրենքների ամբողջական ձևակերպումը սահմանափակումներ չի դնում հսկիչ ծավալի ձևի վրա, MCM-ը հարմար է հեղուկի դինամիկայի հավասարումների դիսկրետացման համար ինչպես կառուցվածքային, այնպես էլ չկառուցված ցանցերի վրա տարբեր բջջային ձևերով, ինչը, սկզբունքորեն, ամբողջությամբ լուծում է համալիրի խնդիրը: հաշվողական տիրույթի երկրաչափություն.
Հարկ է նշել, սակայն, որ չկառուցված ցանցերի օգտագործումը ալգորիթմական առումով բավականին բարդ է, իրագործման համար աշխատատար և հաշվարկներ կատարելու համար ռեսուրսներ, հատկապես եռաչափ խնդիրներ լուծելիս: Դա պայմանավորված է ինչպես հաշվողական ցանցի բջիջների հնարավոր ձևերի բազմազանությամբ, այնպես էլ հատուկ կառուցվածք չունեցող հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման ավելի բարդ մեթոդների կիրառման անհրաժեշտությամբ: Վերջին տարիների պրակտիկան ցույց է տալիս, որ չկառուցված ցանցերի օգտագործման վրա հիմնված հաշվողական գործիքների առաջադեմ զարգացումը հնարավոր է միայն բավականին մեծ ընկերությունների համար, որոնք ունեն համապատասխան մարդկային և ֆինանսական ռեսուրսներ: Շատ ավելի խնայող է օգտագործել բլոկային կառուցվածքով ցանցեր, որոնք ներառում են հոսքի շրջանի բաժանումը համեմատաբար պարզ ձևի մի քանի ենթաշրջանների (բլոկների), որոնցից յուրաքանչյուրում կառուցված է իր հաշվողական ցանցը: Ընդհանուր առմամբ, նման կոմպոզիտային ցանցը կառուցված չէ, բայց յուրաքանչյուր բլոկի ներսում պահպանվում է հանգույցների սովորական ինդեքսային համարակալումը, ինչը թույլ է տալիս օգտագործել կառուցվածքային ցանցերի համար մշակված արդյունավետ ալգորիթմներ: Փաստորեն, մեկ բլոկային ցանցից բազմաբլոկային ցանցին անցնելու համար անհրաժեշտ է միայն կազմակերպել բլոկների միացումը, այսինքն. տվյալների փոխանակում հարակից ենթատարածքների միջև՝ հաշվի առնելով դրանց փոխադարձ ազդեցությունը: Նկատի ունեցեք նաև, որ առաջադրանքը առանձին համեմատաբար անկախ բլոկների բաժանելը, բնականաբար, տեղավորվում է կլաստերային համակարգերի վրա զուգահեռ հաշվարկների հայեցակարգի մեջ՝ տարբեր պրոցեսորների (համակարգիչների) առանձին բլոկների մշակմամբ: Այս ամենը MCM-ի հետ համատեղ բլոկային ցանցերի օգտագործումը դարձնում է համեմատաբար պարզ, բայց չափազանց արդյունավետ միջոց՝ ընդլայնելու լուծվող խնդիրների երկրաչափությունը, ինչը չափազանց կարևոր է փոքր համալսարանական խմբերի համար, որոնք մշակում են իրենց սեփական ծրագրերը հեղուկ դինամիկայի ոլորտում:
ՄԿՕ-ի վերոհիշյալ առավելությունները հիմք են ծառայել, որ 1990-ական թթ. Հենց այս մոտեցումն է, որը կենտրոնացած է բլոկային կառուցվածքային ցանցերի օգտագործման վրա, որն ընտրվել է հեղինակների կողմից որպես հիմք՝ հեղուկների դինամիկայի և կոնվեկտիվ ջերմության փոխանցման խնդիրների համար իրենց լայնածավալ ծրագրային փաթեթի մշակման համար:
Նկարագրություն
Ոչ պաշտոնական
Ընտրվում է հեղուկի կամ գազի հոսքի որոշակի փակ շրջան, որի համար որոնվում է մակրոսկոպիկ մեծությունների դաշտեր (օրինակ՝ արագություն, ճնշում), որոնք նկարագրում են միջավայրի վիճակը ժամանակին և բավարարում են մաթեմատիկորեն ձևակերպված որոշակի օրենքներ։ Առավել հաճախ օգտագործվում են Էյլերի փոփոխականների պահպանման օրենքները:
Ցանկացած արժեքի համար, տարածության յուրաքանչյուր կետում, շրջապատված որոշներով փակ վերջավոր ծավալը, ժամանակի պահին գոյություն ունի հետևյալ հարաբերությունը. քանակի ընդհանուր գումարը ծավալում կարող է փոխվել հետևյալ գործոնների պատճառով.
Այլ կերպ ասած, MKO-ն ձևակերպելիս օգտագործվում է ուսումնասիրվող քանակի ֆիզիկական մեկնաբանությունը։ Օրինակ, ջերմության փոխանցման խնդիրները լուծելիս օգտագործվում է յուրաքանչյուր հսկիչ ծավալում ջերմության պահպանման օրենքը։
Մաթեմատիկական
Փոփոխություններ
գրականություն
- Patankar S.V. Ջերմային հաղորդունակության և կոնվեկտիվ ջերմափոխանակման խնդիրների թվային լուծում ալիքներում հոսքի ընթացքում = Հաշվարկը հաղորդման և խողովակի հոսքի ջերմային փոխանցումը: անգլերենից - M.: MPEI Publishing House, 2003. - 312 p.
տես նաեւ
Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.
- Քառակուսային մաղի մեթոդ
- Վերջավոր հարաբերակցության մեթոդ
Տեսեք, թե ինչ է «Վերջնական ծավալի մեթոդը» այլ բառարաններում.
Վերջավոր տարրերի մեթոդ- Երկչափ մագնիսոստատիկ խնդրի վերջավոր տարրերի մեթոդով լուծում (գծերը և գույնը ցույց են տալիս մագնիսական ինդուկցիայի ուղղությունն ու մեծությունը) ... Վիքիպեդիա
Համակարգչային ճարտարագիտություն- CAE (Computer Aided Engineering) ծրագրերի և ծրագրային փաթեթների ընդհանուր անվանումն է, որոնք նախատեսված են տարբեր ինժեներական խնդիրներ լուծելու համար՝ հաշվարկներ, վերլուծություններ և ֆիզիկական գործընթացների մոդելավորում: Փաթեթների հաշվարկային մասը ամենից հաճախ... ... Վիքիպեդիա
Հաշվարկային հեղուկի դինամիկա- Հաշվողական հեղուկների դինամիկան (CFD) շարունակական մեխանիկայի ենթաբաժին է, ներառյալ ֆիզիկական, մաթեմատիկական և թվային մեթոդների մի շարք, որոնք նախատեսված են հոսքի բնութագրերը հաշվարկելու համար... ... Վիքիպեդիա
Ուղղակի թվային մոդելավորում- (անգլերեն DNS (Direct Numerical Simulation)) հեղուկի կամ գազի հոսքերի թվային մոդելավորման մեթոդներից մեկը։ Մեթոդը հիմնված է Նավիեր-Սթոքսի հավասարումների համակարգի թվային լուծման վրա և թույլ է տալիս մոդելավորել, ընդհանուր դեպքում, մածուցիկության շարժումը... ... Վիքիպեդիա
Matrix Կաղապարների գրադարան- Տեսակ Մաթեմատիկական ծրագրակազմ Օպերացիոն համակարգ Linux, Unix, Mac OS X, Windows ինտերֆեյսի լեզուներ C++ License Boost Software License ... Վիքիպեդիա
MKO- շարժիչ-կաթսայատուն Բառարան՝ Ս. Ֆադեև. Ժամանակակից ռուսաց լեզվի հապավումների բառարան. Սանկտ Պետերբուրգ: Politekhnika, 1997. 527 p. ICE միջամերիկյան ռազմական պաշտպանության կոմիտե. Բառարան՝ բանակի և հատուկ ծառայությունների հապավումների և հապավումների բառարան։ Կոմպ. Ա.Ա....... Հապավումների և հապավումների բառարան
Համակարգչային մոդելավորում- վթարի փորձարկում՝ օգտագործելով վերջավոր տարրերի մեթոդը: Համակարգչային մոդել, կամ թվային ռեժիմ... Վիքիպեդիա
Թվային մոդելավորում- Համակարգչային մոդելավորումը բարդ համակարգերի ուսումնասիրման արդյունավետ մեթոդներից է։ Համակարգչային մոդելներն ավելի հեշտ ու հարմար են ուսումնասիրվում՝ շնորհիվ այսպես կոչված իրականացնելու ունակության. հաշվողական փորձեր, այն դեպքերում, երբ իրական փորձեր... ... Վիքիպեդիա
ԳԱԶԻ ԴԻՆԱՄԻԿԱ- հիդրոէրոմեխանիկայի մի հատված, որտեղ ուսումնասիրվում է սեղմվող շարունակական միջավայրերի (գազ, պլազմա) շարժումը և դրանց փոխազդեցությունը պինդ մարմինների հետ։ մարմիններ. Որպես ֆիզիկայի մաս՝ գեոդինամիկան կապված է թերմոդինամիկայի և ակուստիկայի հետ։ Սեղմելիությունը բաղկացած է իր... ... Ֆիզիկական հանրագիտարան
Շարունակական մեխանիկա- ուսումնասիրում է գազերի, հեղուկների և դեֆորմացվող պինդ մարմինների շարժումը և հավասարակշռությունը. Իրական մարմինների մոդելը MS-ում. Հետ. շարունակականություն է (CC); Նման միջավայրում նյութի բոլոր բնութագրերը տարածական կոորդինատների շարունակական ֆունկցիաներ են և... ... Տեխնոլոգիաների հանրագիտարան
Օգտագործումը վերջավոր (հսկիչ) ծավալի մեթոդԵկեք ցույց տանք՝ օգտագործելով երկչափ կայուն ջերմային հավասարման օրինակը.
Բրինձ. 13. Հաշվարկման ցանց, որն օգտագործվում է (31) հավասարումը լուծելու համար:
վերջավոր ծավալի մեթոդ
Օգտագործելով միջին արժեքի թեորեմը, մենք կարող ենք գրել
|
|
,որտեղ Δx, Δу բջիջների երեսների երկարություններն են, x W-ը A բջիջի ձախ («արևմտյան») եզրագծի աբսցիսն է, x E-ն աջ («արևելյան») եզրագծի աբսցիսն է, y N-ը օրդինատն է։ վերին («հյուսիսային») սահմանի y S-ը ստորին («հարավային») սահմանի օրդինատն է, S * – բջջի միջին ջերմության արտանետման արագությունը: Ածանցյալների (*) ցուցիչը (32) ցույց է տալիս, որ դրանք պետք է դիտարկել որպես միջին արժեքներ՝ որոշված այնպես, որ ճիշտ ներկայացնեն ջերմային հոսքերը յուրաքանչյուր սահմանի վրա: Այս հանգամանքը հաշվի առնելով՝ առանց դժվարության կարելի է ձեռք բերել (32) դիսկրետ անալոգը [Patankar]։
Այսպիսով, հավասարումը (32) նկարագրում է ջերմային հաշվեկշիռը (էներգիայի պահպանման օրենքը) A բջջի ներսում: Եթե բջիջների միջև ջերմային հոսքերը ճիշտ նկարագրված են, ապա յուրաքանչյուր հսկիչ ծավալի վրա կիրառվող (32) ձևի հավասարումներից բաղկացած համակարգը ճիշտ կլինի: նկարագրել ջերմային հավասարակշռությունը ամբողջ հաշվարկային տիրույթում:
Պարբերության վերջում հարկ է նշել, որ առանձին դեպքերում վերը նկարագրված մեթոդներով ստացված հաշվարկային բանաձևերը կարող են համընկնել, և ամենաէական տարբերությունները հայտնվում են կորագիծ ոչ ուղղանկյուն հաշվարկային ցանցեր օգտագործելիս:
5. Դիսկրետ սխեմաների հատկությունները
5.1 Ճշգրտություն
Ճշգրտությունբնութագրում է թվային սխեմայի ընդունելիությունը դրա գործնական օգտագործման համար: Դիսկրետ սխեմայի ճշգրտությունը գնահատելը շատ բարդ խնդիր է թվում, քանի որ պարզվում է, որ գրեթե անհնար է տարբերակել շղթայի հատկությունների հետևանքով առաջացած սխալները այլ գործոնների հետևանքով առաջացած սխալներից (օրինակ՝ կլորացման սխալներ, սահմանային և սկզբնական պայմանները նշելու անճշտություն և այլն):
Դիսկրետ սխեմայի ճշգրտության մասին խոսելիս սովորաբար նկատի ունեն ածանցյալների մոտարկման սխալը 27: Մասնավորապես, եթե մոտարկման սխալը համեմատելի է հաշվողական ցանցի քայլի երկրորդ հզորության հետ, ապա ասում են, որ դիսկրետ սխեման ունի երկրորդ կարգի ճշգրտություն: Այս հարցը ավելի մանրամասն քննարկվել է § 3-ում:
5.2 Հետևողականություն
Դիսկրետ շղթան կոչվում է համաձայնեցվածսկզբնական դիֆերենցիալ հավասարմամբ, եթե, երբ հաշվողական ցանցը ճշգրտվում է, մոտարկման սխալը (տես § 3) ձգտում է զրոյի,
Հայտնի են հաշվարկային սխեմաներ, որոնցում պետք է պահպանվեն լրացուցիչ պայմաններ՝ հետևողականության հասնելու համար [Անդերսոն և Կ]: Քանի որ հաշվարկային սխեմաների հետևողականությունը ստուգելը ծրագրաշարի մշակողների (և ոչ օգտագործողների) խնդիրն է, այս հարցը ավելի մանրամասն չի քննարկվի այստեղ:
Բեռնվում է...