Կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդ. Լուծումների օրինակներ հաստատունների տատանումներ

Դասախոսություն 44. Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ. Կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդ. Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով. (հատուկ աջ կողմ):

Սոցիալական վերափոխումներ. Պետություն և եկեղեցի.

Սոցիալական քաղաքականությունԲոլշևիկները հիմնականում թելադրված էին դասակարգային մոտեցումներով։ 1917 թվականի նոյեմբերի 10-ի հրամանագրով վերացվել է դասակարգային համակարգը, վերացվել են նախահեղափոխական կոչումները, կոչումները, մրցանակները։ Սահմանվել է դատավորների ընտրություն. իրականացվել է քաղաքացիական պետությունների աշխարհիկացում։ Ստեղծվել է անվճար կրթություն և բժշկական օգնություն (1918 թ. հոկտեմբերի 31-ի հրամանագիր)։ Կանանց տրվել են տղամարդկանց հետ հավասար իրավունքներ (1917թ. դեկտեմբերի 16-ի և 18-ի հրամանագրեր): Ամուսնության մասին հրամանագրով մտցվեց քաղաքացիական ամուսնության ինստիտուտը:

Ժողովրդական կոմիսարների խորհրդի 1918 թվականի հունվարի 20-ի հրամանագրով եկեղեցին անջատվել է պետությունից և կրթական համակարգից։ Եկեղեցու ունեցվածքի մեծ մասը բռնագրավվել է։ Մոսկվայի և Համայն Ռուսիո Պատրիարք Տիխոնը (ընտրվել է 1917 թվականի նոյեմբերի 5-ին) անաթեմատացվել է 1918 թվականի հունվարի 19-ին. Խորհրդային իշխանությունեւ կոչ արեց պայքարել բոլշեւիկների դեմ։

Դիտարկենք գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարումը

Նման հավասարման ընդհանուր լուծման կառուցվածքը որոշվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ 1.Ընդհանուր որոշում անհամասեռ հավասարում(1) ներկայացված է որպես այս հավասարման որոշակի լուծման գումար և համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում.

Ապացույց. Անհրաժեշտ է ապացուցել, որ գումարը

Կա ընդհանուր որոշումհավասարումը (1). Նախ ապացուցենք, որ (3) ֆունկցիան (1) հավասարման լուծումն է։

Գումարը փոխարինելով (1) հավասարմամբ ժամը, Կունենա

Քանի որ կա (2) հավասարման լուծում, առաջին փակագծերում արտահայտությունը նույնականորեն հավասար է զրոյի: Քանի որ կա (1) հավասարման լուծում, երկրորդ փակագծերում արտահայտությունը հավասար է f(x). Հետևաբար, հավասարությունը (4) ինքնություն է։ Այսպիսով, թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է.

Ապացուցենք երկրորդ պնդումը՝ (3) արտահայտությունը ընդհանուր(1) հավասարման լուծում. Մենք պետք է ապացուցենք, որ այս արտահայտության մեջ ներառված կամայական հաստատունները կարող են ընտրվել այնպես, որ նախնական պայմանները բավարարվեն.

ինչ թվեր էլ լինեն x 0, y 0և (եթե միայն x 0վերցվել է այն տարածքից, որտեղ գործում է ա 1, ա 2Եվ f(x)շարունակական):

Նկատելով, որ այն կարող է ներկայացվել ձևով. Այնուհետև, ելնելով (5) պայմաններից, կունենանք

Եկեք լուծենք այս համակարգը և որոշենք Գ 1Եվ C 2. Եկեք վերաշարադրենք համակարգը հետևյալ ձևով.

Նկատի ունեցեք, որ այս համակարգի որոշիչը ֆունկցիաների Վրոնսկու որոշիչն է 1-ինԵվ ժամը 2-ինկետում x=x 0. Քանի որ այս ֆունկցիաները պայմանով գծային անկախ են, Վրոնսկու որոշիչը հավասար չէ զրոյի. հետևաբար (6) համակարգը ունի որոշակի լուծում Գ 1Եվ C 2, այսինքն. կան նման իմաստներ Գ 1Եվ C 2, որի համաձայն (3) բանաձևը որոշում է (1) հավասարման լուծումը, որը բավարարում է տրված սկզբնական պայմանները։ Ք.Ե.Դ.

Եկեք անցնենք անհամասեռ հավասարման մասնակի լուծումներ գտնելու ընդհանուր մեթոդին:

Գրենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը (2)

Մենք կփնտրենք անհամասեռ (1) հավասարման որոշակի լուծում (7)՝ հաշվի առնելով. Գ 1Եվ C 2ինչպես դեռևս անհայտ որոշ գործառույթներ X.

Եկեք տարբերակենք հավասարությունը (7).

Եկեք ընտրենք այն գործառույթները, որոնք փնտրում եք Գ 1Եվ C 2այնպես, որ հավասարությունը պահպանվի

Եթե ​​հաշվի առնենք այս լրացուցիչ պայմանը, ապա առաջին ածանցյալը ձև կընդունի

Հիմա այս արտահայտությունը տարբերելով՝ մենք գտնում ենք.

Փոխարինելով (1) հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք

Առաջին երկու փակագծերում արտահայտությունները դառնում են զրո, քանի որ y 1Եվ y 2- միատարր հավասարման լուծումներ. Հետևաբար, վերջին հավասարությունը ձև է ընդունում

Այսպիսով, ֆունկցիան (7) կլինի անհամասեռ (1) հավասարման լուծում, եթե ֆունկցիաները Գ 1Եվ C 2բավարարել (8) և (9) հավասարումները: (8) և (9) հավասարումներից ստեղծենք հավասարումների համակարգ։

Քանի որ այս համակարգի որոշիչը Վրոնսկու որոշիչն է գծային անկախ լուծումների համար y 1Եվ y 2հավասարումը (2), ապա այն հավասար չէ զրոյի։ Հետևաբար, համակարգը լուծելով, մենք կգտնենք դրա երկու որոշակի գործառույթներ X:

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք, որտեղից ինտեգրման արդյունքում ստանում ենք . Այնուհետև գտնված ֆունկցիաները փոխարինում ենք բանաձևով, ստանում ենք անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծում, որտեղ կան կամայական հաստատուններ:

Անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար օգտագործվում է կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը։ Այս դասը նախատեսված է այն ուսանողների համար, ովքեր արդեն քիչ թե շատ լավ տիրապետում են թեմային։ Եթե ​​դուք նոր եք սկսում ծանոթանալ հեռակառավարման հետ, այսինքն. Եթե ​​դուք թեյնիկ եք, խորհուրդ եմ տալիս սկսել առաջին դասից. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծումների օրինակներ. Եվ եթե դուք արդեն ավարտում եք, խնդրում ենք հրաժարվել հնարավոր նախապաշարմունքից, որ մեթոդը դժվար է: Քանի որ դա պարզ է:

Ո՞ր դեպքերում է կիրառվում կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

1) կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը կարող է օգտագործվել լուծելու համար 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE. Քանի որ հավասարումը առաջին կարգի է, ուրեմն հաստատունը նույնպես մեկն է։

2) կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը օգտագործվում է որոշների լուծման համար գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարումներ. Այստեղ երկու հաստատուն տարբերվում է.

Տրամաբանական է ենթադրել, որ դասը բաղկացած կլինի երկու պարբերությունից... Այսպիսով, ես գրեցի այս նախադասությունը, և մոտ 10 րոպե ես ցավագին մտածում էի, թե ինչ այլ խելացի հիմար կարող եմ ավելացնել գործնական օրինակներին սահուն անցման համար: Բայց ինչ-ինչ պատճառներով ես արձակուրդից հետո մտքեր չունեմ, չնայած կարծես ոչինչ չեմ չարաշահել։ Հետևաբար, եկեք անմիջապես անցնենք առաջին պարբերությանը:

Կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ
առաջին կարգի գծային անհամասեռ հավասարման համար

Նախքան կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդը դիտարկելը, խորհուրդ է տրվում ծանոթ լինել հոդվածին Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ. Այդ դասին մենք պարապեցինք առաջին լուծումըանհամասեռ 1-ին կարգի DE. Այս առաջին լուծումը, հիշեցնում եմ, կոչվում է փոխարինման մեթոդկամ Բեռնուլիի մեթոդ(չշփոթել դրա հետ Բեռնուլիի հավասարումը!!!)

Այժմ մենք կնայենք երկրորդ լուծում- կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ. Բերեմ ընդամենը երեք օրինակ, և դրանք կվերցնեմ վերը նշված դասից։ Ինչու՞ այդքան քիչ: Որովհետև իրականում երկրորդ եղանակով լուծումը շատ նման կլինի առաջին ձևի լուծմանը։ Բացի այդ, ըստ իմ դիտարկումների, կամայական հաստատունների տատանումների մեթոդը օգտագործվում է ավելի հազվադեպ, քան փոխարինման մեթոդը:

Օրինակ 1

(Տարբերվեք դասի թիվ 2 օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Լուծում:Այս հավասարումը գծային անհամասեռ է և ունի ծանոթ ձև.

Առաջին փուլում անհրաժեշտ է լուծել ավելի պարզ հավասարում.
Այսինքն՝ մենք հիմարաբար զրոյացնում ենք աջ կողմը, փոխարենը գրում ենք զրո։
Հավասարումը Ես կզանգեմ օժանդակ հավասարում.

Այս օրինակում դուք պետք է լուծեք հետևյալ օժանդակ հավասարումը.

Մեր առջև բաժանելի հավասարում, որի լուծումը (հուսով եմ) այլևս դժվար չէ ձեզ համար.

Այսպիսով.
- օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Երկրորդ քայլին մենք կփոխարինենքորոշ հաստատուն առայժմանհայտ ֆունկցիա, որը կախված է «x»-ից.

Այստեղից էլ գալիս է մեթոդի անվանումը՝ մենք փոփոխում ենք հաստատունը: Որպես այլընտրանք, հաստատունը կարող է լինել ինչ-որ ֆունկցիա, որը մենք այժմ պետք է գտնենք:

IN օրիգինալանհամասեռ հավասարում եկեք փոխարինենք.

եկեք փոխարինենք և հավասարման մեջ :

Կառավարման կետ - ձախ կողմի երկու ժամկետները չեղյալ են հայտարարվում. Եթե ​​դա տեղի չունենա, դուք պետք է փնտրեք վերը նշված սխալը:

Փոխարինման արդյունքում ստացվել է բաժանելի փոփոխականներով հավասարում։ Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում։

Ի՜նչ օրհնություն, ցուցիչները նույնպես չեղյալ են հայտարարում.

Գտնված ֆունկցիային ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն.

Վերջնական փուլում մենք հիշում ենք մեր փոխարինման մասին.

Ֆունկցիան հենց նոր է գտնվել:

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եթե ​​տպեք երկու լուծումները, հեշտությամբ կնկատեք, որ երկու դեպքում էլ մենք գտել ենք նույն ինտեգրալները։ Տարբերությունը միայն լուծման ալգորիթմի մեջ է։

Հիմա ավելի բարդ բանի համար ես կմեկնաբանեմ նաև երկրորդ օրինակը.

Օրինակ 2

Գտեք ընդհանուր լուծում դիֆերենցիալ հավասարում
(տարբերվել դասի թիվ 8 օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Լուծում:Եկեք հավասարումը վերածենք ձևի :

Եկեք վերականգնենք աջ կողմը և լուծենք օժանդակ հավասարումը.

Օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կատարում ենք փոխարինում.

Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.

եկեք փոխարինենք և սկզբնական անհամասեռ հավասարման մեջ.

Ձախ կողմի երկու տերմինները չեղարկվում են, ինչը նշանակում է, որ մենք ճիշտ ուղու վրա ենք.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի: Ըստ մասերի բանաձևի ինտեգրման համեղ տառը արդեն ներգրավված է լուծման մեջ, ուստի մենք օգտագործում ենք, օրինակ, «ա» և «be» տառերը.

Հիմա հիշենք փոխարինումը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եվ մեկ օրինակ համար անկախ որոշում:

Օրինակ 3

Գտե՛ք տրված սկզբնական պայմանին համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում:

,
(Տարբերվեք դասի 4-րդ օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ)
Լուծում:
Այս DE-ն գծային անհամասեռ է: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը: Եկեք լուծենք օժանդակ հավասարումը.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում.

Ընդհանուր որոշում.
Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կատարում ենք փոխարինում.

Կատարենք փոխարինումը.

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Եկեք գտնենք տվյալ սկզբնական պայմանին համապատասխան որոշակի լուծում.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Դասի վերջում տրված լուծումը կարող է օրինակ ծառայել առաջադրանքն ավարտելու համար։

Կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդ
գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարման համար
հաստատուն գործակիցներով

Ես հաճախ եմ լսել այն կարծիքը, որ երկրորդ կարգի հավասարման համար կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը հեշտ բան չէ: Բայց ես ենթադրում եմ հետևյալը. ամենայն հավանականությամբ, մեթոդը շատերին դժվար է թվում, քանի որ այն այնքան էլ հաճախ չի լինում։ Բայց իրականում առանձնակի դժվարություններ չկան. որոշման ընթացքը պարզ է, թափանցիկ և հասկանալի։ Եվ գեղեցիկ:

Մեթոդին տիրապետելու համար ցանկալի է, որ կարողանանք լուծել երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ՝ աջ կողմի ձևի հիման վրա որոշակի լուծում ընտրելով: Այս մեթոդը մանրամասնորեն քննարկվում է հոդվածում: Անհամասեռ 2-րդ կարգի DE-ներ. Հիշում ենք, որ հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Ընտրության մեթոդը, որը քննարկվել է վերը նշված դասում, գործում է միայն սահմանափակ թվով դեպքերում, երբ աջ կողմը պարունակում է բազմանդամներ, էքսպոնենցիալներ, սինուսներ և կոսինուսներ։ Բայց ի՞նչ անել, երբ աջ կողմում, օրինակ, կոտորակ է, լոգարիթմ, շոշափող: Նման իրավիճակում օգնության է գալիս հաստատունների տատանումների մեթոդը։

Օրինակ 4

Գտե՛ք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

Լուծում:Այս հավասարման աջ կողմում կա մի կոտորակ, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ կոնկրետ լուծում ընտրելու մեթոդը չի գործում: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Ամպրոպի նշաններ չկան, լուծման սկիզբը միանգամայն սովորական է.

Մենք կգտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:

Կազմենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.


– ստացվում են զուգակցված բարդ արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Ուշադրություն դարձրեք ընդհանուր լուծման ձայնագրությանը. եթե կան փակագծեր, ապա բացեք դրանք։

Այժմ մենք անում ենք գրեթե նույն հնարքը, ինչ առաջին կարգի հավասարման դեպքում՝ մենք փոփոխում ենք հաստատունները՝ դրանք փոխարինելով անհայտ ֆունկցիաներով։ Այն է, ընդհանուր լուծում անհամասեռմենք կփնտրենք հավասարումներ հետևյալ ձևով.

Որտեղ - առայժմանհայտ գործառույթներ.

Կարծես կենցաղային աղբանոց լինի, բայց հիմա ամեն ինչ կդասավորենք:

Անհայտները ֆունկցիաների ածանցյալներն են։ Մեր նպատակը ածանցյալներ գտնելն է, իսկ գտնված ածանցյալները պետք է բավարարեն համակարգի թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ հավասարումները։

Որտեղի՞ց են գալիս «հույները». Արագիլը բերում է նրանց։ Մենք նայում ենք ավելի վաղ ստացված ընդհանուր լուծումին և գրում.

Եկեք գտնենք ածանցյալները.

Ձախ հատվածները մշակված են։ Ի՞նչ կա աջ կողմում:

սկզբնական հավասարման աջ կողմն է, in այս դեպքում:

Գործակիցը երկրորդ ածանցյալի գործակիցն է.

Գործնականում գրեթե միշտ, և մեր օրինակը բացառություն չէ:

Ամեն ինչ պարզ է, այժմ դուք կարող եք ստեղծել համակարգ.

Համակարգը սովորաբար լուծվում է ըստ Քրամերի բանաձեւերիօգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմ: Միակ տարբերությունն այն է, որ թվերի փոխարեն ունենք ֆունկցիաներ։

Եկեք գտնենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչպես է բացահայտվում երկու-երկու որոշիչը, դիմեք դասին Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:Հղումը տանում է դեպի ամոթի տախտակ =)

Այսպիսով, սա նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Գտնելով ածանցյալը.

Բայց սա դեռ ամենը չէ, մինչ այժմ մենք գտել ենք միայն ածանցյալը:
Ֆունկցիան ինքնին վերականգնվում է ինտեգրման միջոցով.

Դիտարկենք երկրորդ գործառույթը.

Այստեղ մենք ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն

Լուծման վերջնական փուլում մենք հիշում ենք, թե ինչ ձևով էինք փնտրում անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը: Նման:

Ձեզ անհրաժեշտ գործառույթները հենց նոր են գտնվել:

Մնում է միայն կատարել փոխարինումը և գրել պատասխանը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Սկզբունքորեն պատասխանը կարող էր ընդլայնել փակագծերը։

Պատասխանի ամբողջական ստուգումն իրականացվում է ստանդարտ սխեմայի համաձայն, որը քննարկվել է դասում: Անհամասեռ 2-րդ կարգի DE-ներ. Բայց ստուգումը հեշտ չի լինի, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել բավականին ծանր ածանցյալներ և կատարել ծանր փոխարինում։ Սա տհաճ հատկանիշ է, երբ լուծում եք նման դիֆուզորներ:

Օրինակ 5

Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարում կամայական հաստատունների փոփոխությամբ

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Փաստորեն, աջ կողմում կա նաև կոտորակ: Հիշենք եռանկյունաչափական բանաձև, ի դեպ, լուծման ժամանակ անհրաժեշտ կլինի կիրառել։

Կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը ամենահամընդհանուր մեթոդն է։ Այն կարող է լուծել ցանկացած լուծվող հավասարում աջ կողմի ձևի հիման վրա որոշակի լուծում ընտրելու մեթոդ. Հարց է առաջանում. ինչո՞ւ չօգտագործել կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը նաև այնտեղ։ Պատասխանն ակնհայտ է՝ կոնկրետ լուծման ընտրություն, որը քննարկվել է դասարանում Երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ, զգալիորեն արագացնում է լուծումը և կրճատում ձայնագրությունը՝ առանց աղմուկի որոշիչների և ինտեգրալների հետ։

Դիտարկենք երկու օրինակ Կոշի խնդիր.

Օրինակ 6

Գտե՛ք տրված սկզբնական պայմաններին համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում

,

Լուծում:Կրկին կոտորակն ու ցուցանիշը հետաքրքիր տեղում են։
Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Մենք կգտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:



– ստացվում են տարբեր իրական արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Ընդհանուր լուծում անհամասեռմենք փնտրում ենք հավասարումներ ձևով՝ , որտեղ – առայժմանհայտ գործառույթներ.

Եկեք ստեղծենք համակարգ.

Այս դեպքում:
,
Գտնել ածանցյալներ.
,

Այսպիսով.

Եկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը.
, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Մենք վերականգնում ենք գործառույթը ինտեգրման միջոցով.

Օգտագործված է այստեղ ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ ներառելու մեթոդ.

Մենք վերականգնում ենք երկրորդ գործառույթը ինտեգրման միջոցով.

Այս ինտեգրալը լուծված է փոփոխական փոխարինման մեթոդ:

Ինքնին փոխարինումից մենք արտահայտում ենք.

Այսպիսով.

Այս ինտեգրալը կարելի է գտնել ամբողջական քառակուսի արդյունահանման մեթոդ, բայց դիֆուզորներով օրինակներում ես նախընտրում եմ ընդլայնել կոտորակը չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ:

Երկու գործառույթներն էլ գտնվել են.

Արդյունքում, անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Եկեք գտնենք որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմաններին .

Տեխնիկապես լուծման որոնումն իրականացվում է ստանդարտ եղանակով, որը քննարկվել է հոդվածում Երկրորդ կարգի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Սպասիր, հիմա կգտնենք գտնված ընդհանուր լուծման ածանցյալը.

Սա այսպիսի խայտառակություն է։ Պետք չէ պարզեցնել այն, ավելի հեշտ է անհապաղ ստեղծել հավասարումների համակարգ։ Ըստ նախնական պայմանների :

Փոխարինենք հաստատունների գտնված արժեքները ընդհանուր լուծման համար.

Պատասխանում լոգարիթմները կարելի է մի փոքր փաթեթավորել։

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Ինչպես տեսնում եք, դժվարություններ կարող են առաջանալ ինտեգրալներում և ածանցյալներում, բայց ոչ ինքնին կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդի ալգորիթմում: Ես չէ, որ ձեզ վախեցրել եմ, դա ամբողջ Կուզնեցովի հավաքածուն է:

Հանգստանալու համար, վերջնական, ավելի պարզ օրինակ՝ ինքներդ լուծելու համար.

Օրինակ 7

Լուծիր Քոշիի խնդիրը

,

Օրինակը պարզ է, բայց ստեղծագործական, երբ համակարգ ես ստեղծում, նախքան որոշելը ուշադիր նայիր դրան ;-),




Արդյունքում, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Եկեք գտնենք նախնական պայմաններին համապատասխան կոնկրետ լուծում .



Փոխարինենք հաստատունների գտած արժեքները ընդհանուր լուծման մեջ.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը կամ Լագրանժի մեթոդը առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների և Բեռնուլիի հավասարումների լուծման ևս մեկ միջոց է։

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումները y’+p(x)y=q(x) ձևի հավասարումներ են։ Եթե ​​աջ կողմում կա զրո՝ y’+p(x)y=0, ապա սա գծային է. միատարր 1-ին կարգի հավասարում. Համապատասխանաբար, հավասարումը ոչ զրոյական աջ կողմով, y’+p(x)y=q(x) է. տարասեռ 1-ին կարգի գծային հավասարում.

Կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ (Լագրանժի մեթոդ) հետևյալն է.

1) Մենք փնտրում ենք y’+p(x)y=0 միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում՝ y=y*:

2) Ընդհանուր լուծման մեջ C-ն համարում ենք ոչ թե հաստատուն, այլ x-ի ֆունկցիա՝ C = C (x): Մենք գտնում ենք (y*)’ ընդհանուր լուծման ածանցյալը և ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք y*-ով և (y*)’-ով նախնական պայմանով: Ստացված հավասարումից մենք գտնում ենք C(x) ֆունկցիան։

3) Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ C-ի փոխարեն փոխարինում ենք գտնված C(x) արտահայտությունը.

Դիտարկենք կամայական հաստատունը փոխելու մեթոդի օրինակներ: Վերցնենք նույն առաջադրանքները, ինչ որ դրված է, համեմատենք լուծման առաջընթացը և համոզվենք, որ ստացված պատասխանները համընկնում են։

1) y’=3x-y/x

Եկեք վերագրենք հավասարումը ստանդարտ ձևով (ի տարբերություն Բեռնուլիի մեթոդի, որտեղ նշագրման ձևը մեզ անհրաժեշտ էր միայն տեսնելու, որ հավասարումը գծային է):

y’+y/x=3x (I): Այժմ մենք գնում ենք ըստ պլանի:

1) Լուծե՛ք y’+y/x=0 միատարր հավասարումը. Սա բաժանելի փոփոխականներով հավասարում է: Պատկերացրեք y’=dy/dx, փոխարինող՝ dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք dx-ով և բաժանում xy≠0-ի` dy/y=-dx/x: Եկեք ինտեգրենք.

2) Միատարր հավասարման ստացված ընդհանուր լուծման դեպքում C-ն կհամարենք ոչ թե հաստատուն, այլ x-ի ֆունկցիա՝ C=C(x): Այստեղից

Ստացված արտահայտությունները փոխարինում ենք պայմանով (I).

Եկեք ինտեգրենք հավասարման երկու կողմերը.

այստեղ C-ն արդեն ինչ-որ նոր հաստատուն է:

3) y=C/x միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ, որտեղ մենք ենթադրել ենք C=C(x), այսինքն՝ y=C(x)/x, C(x)-ի փոխարեն փոխարինում ենք գտնված x³ արտահայտությունը. +C: y=(x³ +C)/x կամ y=x²+C/x: Մենք ստացանք նույն պատասխանը, ինչ Բեռնուլիի մեթոդով լուծելիս։

Պատասխան՝ y=x²+C/x:

2) y’+y=cosx.

Այստեղ հավասարումն արդեն գրված է ստանդարտ ձևով, այն փոխակերպելու կարիք չկա։

1) Լուծե՛ք միատարր գծային հավասարումը y’+y=0՝ dy/dx=-y; dy/y=-dx. Եկեք ինտեգրենք.

Նշման ավելի հարմար ձև ստանալու համար մենք վերցնում ենք C-ի հզորության ցուցիչը որպես նոր C.

Այս փոխակերպումն իրականացվել է ածանցյալը գտնելն ավելի հարմար դարձնելու համար։

2) Գծային միատարր հավասարման ստացված ընդհանուր լուծման դեպքում C-ն համարում ենք ոչ թե հաստատուն, այլ x-ի ֆունկցիա՝ C=C(x): Այս պայմանով

Ստացված y և y արտահայտությունները փոխարինում ենք պայմանով.

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը

Մենք ինտեգրում ենք հավասարման երկու կողմերը՝ օգտագործելով ինտեգրումն ըստ մասերի բանաձևի, ստանում ենք.

Այստեղ C-ն այլևս ֆունկցիա չէ, այլ սովորական հաստատուն։

3) Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ

փոխարինել գտնված ֆունկցիան C(x):

Մենք ստացանք նույն պատասխանը, ինչ Բեռնուլիի մեթոդով լուծելիս։

Լուծման համար կիրառելի է նաև կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը։

y'x+y=-xy².

Հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի՝ y’+y/x=-y² (II):

1) Լուծե՛ք y’+y/x=0 միատարր հավասարումը. dy/dx=-y/x. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք dx-ով և բաժանում y-ով` dy/y=-dx/x: Հիմա եկեք ինտեգրենք.

Ստացված արտահայտությունները փոխարինում ենք պայմանով (II).

Եկեք պարզեցնենք.

Մենք ստացանք C-ի և x-ի համար բաժանելի փոփոխականներով հավասարում.

Այստեղ C-ն արդեն սովորական հաստատուն է։ Ինտեգրման գործընթացում C(x-ի փոխարեն պարզապես C ենք գրել), որպեսզի չծանրաբեռնենք նշումը։ Եվ վերջում մենք վերադարձանք C(x), որպեսզի չշփոթենք C(x)-ը նոր C-ի հետ։

3) y=C(x)/x միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ փոխարինում ենք գտնված C(x) ֆունկցիան.

Մենք ստացանք նույն պատասխանը, ինչ Բեռնուլիի մեթոդով լուծելիս։

Ինքնաթեստի օրինակներ.

1. Վերաշարադրենք հավասարումը ստանդարտ ձևով՝ y’-2y=x:

1) Լուծե՛ք y’-2y=0 միատարր հավասարումը. y’=dy/dx, հետևաբար dy/dx=2y, բազմապատկել հավասարման երկու կողմերը dx-ով, բաժանել y-ի և ինտեգրել.

Այստեղից մենք գտնում ենք y:

Մենք փոխարինում ենք y և y’ արտահայտությունները պայմանով (կարճության համար մենք կօգտագործենք C-ի փոխարեն C(x) և C’-ի փոխարեն C"(x)):

Աջ կողմում ինտեգրալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ինտեգրումն ըստ մասերի բանաձևի.

Այժմ մենք փոխարինում ենք u, du և v բանաձևով.

Այստեղ C =const.

3) Այժմ մենք միատարր փոխարինում ենք լուծույթի մեջ

Դիտարկված է հաստատուն գործակիցներով բարձր կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդ Լագրանժի հաստատունների փոփոխման մեթոդով։ Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է նաև ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումների լուծման համար, եթե հայտնի է միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Բովանդակություն

Տես նաեւ:

Լագրանժի մեթոդ (հաստատունների փոփոխություն)

Դիտարկենք գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում կամայական n-րդ կարգի հաստատուն գործակիցներով.
(1) .
Հաստատուն փոփոխության մեթոդը, որը մենք դիտարկել ենք առաջին կարգի հավասարման համար, կիրառելի է նաև ավելի բարձր կարգի հավասարումների համար։

Լուծումն իրականացվում է երկու փուլով. Առաջին քայլում մենք հեռացնում ենք աջ կողմը և լուծում ենք միատարր հավասարումը։ Արդյունքում ստանում ենք n կամայական հաստատուն պարունակող լուծում։ Երկրորդ փուլում մենք փոփոխում ենք հաստատունները: Այսինքն՝ մենք կարծում ենք, որ այս հաստատունները x անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներ են և գտնում են այդ ֆունկցիաների ձևը։

Չնայած մենք այստեղ դիտարկում ենք հաստատուն գործակիցներով հավասարումներ, բայց Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է նաև ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումների լուծման համար. Դա անելու համար, սակայն, պետք է հայտնի լինի միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը:

Քայլ 1. Միատարր հավասարման լուծում

Ինչպես առաջին կարգի հավասարումների դեպքում, մենք նախ փնտրում ենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը՝ աջակողմյան անհամասեռ կողմը հավասարեցնելով զրոյի.
(2) .
Այս հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.
(3) .
Ահա կամայական հաստատուններ. - միատարր (2) հավասարման n գծային անկախ լուծումներ, որոնք կազմում են այս հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգ:

Քայլ 2. հաստատունների փոփոխություն - հաստատունների փոխարինում ֆունկցիաներով

Երկրորդ փուլում մենք կզբաղվենք հաստատունների փոփոխությամբ: Այլ կերպ ասած, հաստատունները կփոխարինենք x անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներով.
.
Այսինքն, մենք փնտրում ենք սկզբնական (1) հավասարման լուծում հետևյալ ձևով.
(4) .

Եթե ​​(4)-ը փոխարինենք (1-ով), ապա կստանանք մեկ դիֆերենցիալ հավասարում n ֆունկցիաների համար: Այս դեպքում մենք կարող ենք կապել այս գործառույթները լրացուցիչ հավասարումներով։ Այնուհետև դուք ստանում եք n հավասարումներ, որոնցից կարելի է որոշել n ֆունկցիա: Լրացուցիչ հավասարումներ կարելի է գրել տարբեր ճանապարհներ. Բայց մենք դա կանենք, որպեսզի լուծումն ունենա ամենապարզ ձևը։ Դա անելու համար տարբերակելիս անհրաժեշտ է զրոյի հավասարեցնել ֆունկցիաների ածանցյալ տերմինները։ Եկեք ցույց տանք սա.

Առաջարկվող լուծումը (4) փոխարինելու սկզբնական հավասարման մեջ (1), մենք պետք է գտնենք (4) ձևով գրված ֆունկցիայի առաջին n կարգերի ածանցյալները: Մենք տարբերակում ենք (4)՝ օգտագործելով գումարի և արտադրյալի տարբերակման կանոնները.
.
Եկեք խմբավորենք անդամներին. Նախ, մենք գրում ենք տերմինները ածանցյալներով, իսկ հետո տերմինները ածանցյալներով.

.
Ֆունկցիաների վրա դնենք առաջին պայմանը.
(5.1) .
Այնուհետև առաջին ածանցյալի արտահայտությունը կունենա ավելի պարզ ձև.
(6.1) .

Օգտագործելով նույն մեթոդը, մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը.

.
Եկեք երկրորդ պայմանը դնենք գործառույթների վրա.
(5.2) .
Հետո
(6.2) .
Եվ այսպես շարունակ։ Լրացուցիչ պայմաններում ֆունկցիաների ածանցյալ տերմինները հավասարեցնում ենք զրոյի։

Այսպիսով, եթե ֆունկցիաների համար ընտրենք հետևյալ լրացուցիչ հավասարումները.
(5.k) ,
այնուհետև առաջին ածանցյալները կունենան ամենապարզ ձևը.
(6.k) .
Այստեղ .

Գտեք n-րդ ածանցյալը.
(6.n)
.

Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ (1).
(1) ;






.
Հաշվի առնենք, որ բոլոր ֆունկցիաները բավարարում են (2) հավասարումը.
.
Այնուհետև զրո պարունակող տերմինների գումարը տալիս է զրո։ Արդյունքում մենք ստանում ենք.
(7) .

Արդյունքում ստացանք համակարգ գծային հավասարումներածանցյալների համար.
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք ածանցյալների արտահայտություններ՝ x-ի գործառույթով: Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Ահա հաստատուններ, որոնք այլևս կախված չեն x-ից: Փոխարինելով (4-ով)՝ մենք ստանում ենք սկզբնական հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Նկատի ունեցեք, որ ածանցյալների արժեքները որոշելու համար մենք երբեք չենք օգտագործել այն փաստը, որ a i գործակիցները հաստատուն են: Ահա թե ինչու Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումներ լուծելու համար, եթե հայտնի է միատարր (2) հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Օրինակներ

Հավասարումներ լուծել հաստատունների փոփոխության մեթոդով (Լագրանժ):


Օրինակների լուծում > > >

Տես նաեւ: Առաջին կարգի հավասարումների լուծում հաստատունի փոփոխության մեթոդով (Լագրանժ)
Բարձր կարգի հավասարումների լուծում Բեռնուլիի մեթոդով
Մշտական ​​գործակիցներով ավելի բարձր կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում գծային փոխարինմամբ

Այժմ դիտարկենք գծային անհամասեռ հավասարումը
. (2)
Թող y 1 ,y 2 ,.., y n լինի լուծումների հիմնարար համակարգ, իսկ L(y)=0 համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը։ Առաջին կարգի հավասարումների դեպքում մենք կփնտրենք (2) հավասարման լուծումը ձևով.
. (3)
Եկեք համոզվենք, որ այս ձևով լուծում կա: Դա անելու համար մենք ֆունկցիան փոխարինում ենք հավասարման մեջ: Այս ֆունկցիան հավասարման մեջ փոխարինելու համար մենք գտնում ենք դրա ածանցյալները: Առաջին ածանցյալը հավասար է
. (4)
Երկրորդ ածանցյալը հաշվարկելիս (4-ի) աջ կողմում կհայտնվի չորս անդամ, երրորդ ածանցյալը հաշվարկելիս՝ ութ անդամ և այլն։ Հետևաբար, հետագա հաշվարկների հարմարության համար (4)-ի առաջին անդամը հավասար է զրոյի: Հաշվի առնելով դա՝ երկրորդ ածանցյալը հավասար է
. (5)
Նույն պատճառներով, ինչպես նախկինում, (5)-ում մենք նույնպես առաջին անդամը հավասար ենք զրոյի: Վերջապես, n-րդ ածանցյալն է
. (6)
Ածանցյալների ստացված արժեքները փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ ունենք
. (7)
(7)-ի երկրորդ անդամը հավասար է զրոյի, քանի որ y j , j=1,2,..,n ֆունկցիաները համապատասխան միատարր հավասարման լուծումներ են՝ L(y)=0։ Համակցելով նախորդի հետ՝ ստանում ենք հանրահաշվական հավասարումների համակարգ՝ գտնելու C» j (x) ֆունկցիաները։
(8)
Այս համակարգի որոշիչը համապատասխան միատարր հավասարման y 1 ,y 2 ,..,y n լուծումների հիմնարար համակարգի Վրոնսկու որոշիչն է և հետևաբար հավասար չէ զրոյի։ Հետևաբար, կա համակարգի եզակի լուծում (8): Գտնելով այն՝ մենք ստանում ենք C" j (x), j=1,2,…,n և, հետևաբար, C j (x), j=1,2,…,n ֆունկցիաները՝ փոխարինելով այս արժեքները (3), մենք ստանում ենք գծային անհամասեռ հավասարման լուծում:
Ներկայացված մեթոդը կոչվում է կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդ կամ Լագրանժի մեթոդ։

Օրինակ թիվ 1. Գտնենք y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x հավասարման ընդհանուր լուծումը Դիտարկենք համապատասխան միատարր հավասարումը y"" + 4y" + 3y = 0. Նրա բնորոշ հավասարման արմատները r 2 + 4r + 3. = 0-ը հավասար են -1-ի և -3-ի: Հետևաբար, միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է y 1 = e - x և y 2 = e -3 x ֆունկցիաներից: Մենք փնտրում ենք անհամասեռ հավասարման լուծում y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ձևով: C" 1 , C" 2 ածանցյալները գտնելու համար մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
լուծելով որը, գտնում ենք , Ինտեգրելով ստացված ֆունկցիաները՝ ունենք
Վերջապես մենք ստանում ենք

Օրինակ թիվ 2. Լուծեք երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով՝ օգտագործելով կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը.

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Լուծում:
Այս դիֆերենցիալ հավասարումը վերաբերում է հաստատուն գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումներին:
Մենք կփնտրենք հավասարման լուծում y = e rx ձևով: Դա անելու համար մենք կազմում ենք հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարումը.
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Բնութագրական հավասարման արմատները՝ r 1 = 4, r 2 = 2
Հետևաբար լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է ֆունկցիաներից՝ y 1 =e 4x, y 2 =e 2x.
Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև՝ y =C 1 e 4x +C 2 e 2x.
Որոնեք որոշակի լուծում կամայական հաստատունը փոփոխելու մեթոդով:
C»-ի ածանցյալները գտնելու համար մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ.
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Եկեք արտահայտենք C" 1 առաջին հավասարումից.
C" 1 = -c 2 e -2x
և այն փոխարինիր երկրորդով: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Մենք ինտեգրում ենք ստացված C ֆունկցիաները» i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Քանի որ y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, ստացված արտահայտությունները գրում ենք հետևյալ ձևով.
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
կամ
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Գտնենք կոնկրետ լուծում՝ պայմանով.
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Փոխարինելով x = 0-ը գտնված հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք.
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Ստացված ընդհանուր լուծման առաջին ածանցյալը գտնում ենք.
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Փոխարինելով x = 0, մենք ստանում ենք.
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումների համակարգ.
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
կամ
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
կամ
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Սկսած՝ C 1 = 0, C * 2 = 2
Մասնավոր լուծումը կգրվի այսպես.
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x