Բազմանդամներ. Բազմանդամի ֆակտորինգ՝ մեթոդներ, օրինակներ: Հանրահաշվի դաս «ֆակտորինգի տարբեր եղանակներ» Քառակուսի եռանդամի ֆակտորինգ

ԴԱՍԻ ՊԼԱՆ Հանրահաշվի դաս 7-րդ դասարանում

Ուսուցիչ Պրիլեպովա Օ.Ա.

Դասի նպատակները.

Ցույց տալ բազմանդամի գործակցման տարբեր մեթոդների օգտագործումը

Կրկնել ֆակտորիզացիայի մեթոդները և համախմբել իրենց գիտելիքները վարժությունների ընթացքում

Աշակերտների մոտ զարգացնել բազմապատկման կրճատ բանաձևեր օգտագործելու հմտություններն ու կարողությունները:

Զարգացնել ուսանողների տրամաբանական մտածողությունը և հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ:

Առաջադրանքներ.

ուղղությամբ անձնական զարգացում.

Մաթեմատիկական ստեղծագործության և մաթեմատիկական ունակությունների նկատմամբ հետաքրքրության զարգացում;

Մաթեմատիկական խնդիրների լուծման նախաձեռնության և գործունեության զարգացում;

Անկախ որոշումներ կայացնելու ունակության զարգացում:

մետա-առարկայի ուղղությամբ :

Կազմում ընդհանուր մեթոդներինտելեկտուալ գործունեություն, որը բնորոշ է մաթեմատիկայի և որը հանդիսանում է ճանաչողական մշակույթի հիմքը.

ՏՀՏ տեխնոլոգիայի օգտագործում;

առարկայական ոլորտում:

Շարունակական կրթության համար անհրաժեշտ մաթեմատիկական գիտելիքների և հմտությունների տիրապետում;

Աշակերտների մոտ ձևավորել բազմանդամի գործոնավորման ուղիներ փնտրելու և դրանք գտնելու բազմանդամի համար, որը կարող է գործոնացվել:

Սարքավորումներ:ձեռնարկներ, երթուղու թերթիկներ՝ գնահատման չափանիշներով,մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, շնորհանդես.

Դասի տեսակը.լուսաբանված նյութի կրկնություն, ընդհանրացում և համակարգում

Աշխատանքի ձևերը.աշխատել զույգերով և խմբերով, անհատական, կոլեկտիվ,ինքնուրույն, ճակատային աշխատանք.

Դասերի ընթացքում.

Ֆակտորինգային բազմանդամները ինքնության փոխակերպումն է, որի արդյունքում բազմանդամը վերածվում է մի քանի գործոնի՝ բազմանդամների կամ միանդամների արտադրյալի։

Բազմանանդամները գործոնավորելու մի քանի եղանակ կա:

Մեթոդ 1. Ընդհանուր գործակիցը փակագծերից հանելը:

Այս փոխակերպումը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ օրենքի վրա՝ ac + bc = c(a + b): Փոխակերպման էությունը դիտարկվող երկու բաղադրիչներում ընդհանուր գործոնը մեկուսացնելն ու փակագծերից «հանելն» է։

Բազմանդամը չափենք 28x3 – 35x4:

Լուծում.

1. Գտի՛ր 28x3 և 35x4 տարրերը ընդհանուր բաժանարար. 28-ի և 35-ի համար դա կլինի 7; x 3-ի և x 4 – x 3-ի համար: Այլ կերպ ասած, մեր ընդհանուր գործակիցը 7x3 է:

2. Տարրերից յուրաքանչյուրը ներկայացնում ենք որպես գործոնների արտադրյալ, որոնցից մեկը
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x:

3. Փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործոնը
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x):

Մեթոդ 2. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Այս մեթոդի կիրառման «վարպետությունը» արտահայտության մեջ կրճատված բազմապատկման բանաձևերից մեկը նկատելն է:

Հարաբերենք x 6-1 բազմանդամը:

Լուծում.

1. Այս արտահայտության վրա կարող ենք կիրառել քառակուսիների տարբերությունը: Դա անելու համար պատկերացրեք x 6-ը որպես (x 3) 2, իսկ 1-ը որպես 1 2, այսինքն. 1. Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1):

2. Ստացված արտահայտության վրա կարող ենք կիրառել խորանարդների գումարի և տարբերության բանաձևը.
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1):

Այսպիսով,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1):

Մեթոդ 3. Խմբավորում. Խմբավորման մեթոդը բազմանդամի բաղադրիչներն այնպես միավորելն է, որ դրանց վրա հեշտ լինի գործողություններ կատարել (ընդհանուր գործակիցի գումարում, հանում, հանում):

Վերցնենք x 3 – 3x 2 + 5x – 15 բազմանդամը:

Լուծում.

1. Բաղադրիչները խմբավորենք այսպես՝ 1-ին 2-րդի հետ, 3-րդը՝ 4-րդի հետ.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Ստացված արտահայտության մեջ փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցները՝ x 2 առաջին դեպքում, իսկ երկրորդում՝ 5:
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3):

3. Փակագծերից հանում ենք x – 3 ընդհանուր գործակիցը և ստանում.
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Այսպիսով,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 )

Եկեք ապահովենք նյութը:

Գործոնավորեք a 2 – 7ab + 12b 2 բազմանդամը:

Լուծում.

1. Ներկայացնենք 7ab միանդամը որպես 3ab + 4ab գումար: Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Բացենք փակագծերը և ստանանք.
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Բազմանդամի բաղադրիչները խմբավորենք այսպես՝ 1-ին 2-րդի հետ և 3-րդը՝ 4-րդով: Մենք ստանում ենք.
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2):

3. Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնները.
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործակիցը (a – 3b).
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Այսպիսով,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Հանրային դաս

Մաթեմատիկա

7-րդ դասարանում

«Բազմանդամը գործոնավորելու տարբեր մեթոդների կիրառում»:

Պրոկոֆևա Նատալյա Վիկտորովնա,

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Դասի նպատակները

Ուսումնական:

1. կրկնել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը
2. բազմանդամները տարբեր ձևերով գործոնավորելու ունակության ձևավորում և առաջնային համախմբում:

Ուսումնական:

1. գիտակցության զարգացում, տրամաբանական մտածողություն, ուշադրություն, ձեռք բերված գիտելիքները համակարգելու և կիրառելու կարողություն, մաթեմատիկորեն գրագետ խոսք։

Ուսումնական:

1. օրինակների լուծման նկատմամբ հետաքրքրության զարգացում;
2. փոխօգնության, ինքնատիրապետման և մաթեմատիկական մշակույթի զգացում զարգացնել։

Դասի տեսակը. համակցված դաս

Սարքավորումներ: պրոյեկտոր, պրեզենտացիա, գրատախտակ, դասագիրք.

Դասի նախնական նախապատրաստում.

1. Ուսանողները պետք է իմանան հետևյալ թեմաները.

1. Երկու արտահայտությունների գումարի և տարբերության քառակուսի
2. Ֆակտորինգ՝ օգտագործելով քառակուսի գումարի և քառակուսի տարբերության բանաձևերը
3. Երկու արտահայտությունների տարբերությունը բազմապատկելով դրանց գումարով
4. Քառակուսիների տարբերության գործոնավորում
5. Խորանարդների գումարի և տարբերության գործոնավորում

1. Համառոտ բազմապատկման բանաձևերի հետ աշխատելու հմտություններ ունենալ:

Դասի պլան

1. Կազմակերպչական պահ (ուսանողների ուշադրությունը դասի վրա)
2. Տնային աշխատանքների ստուգում (սխալի ուղղում)
3. Բանավոր վարժություններ
4. Նոր նյութ սովորելը
5. Վերապատրաստման վարժություններ
6. Կրկնվող վարժություններ
7. Ամփոփելով դասը
8. Տնային աշխատանքի հաղորդագրություն

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Դասը ձեզանից կպահանջի իմանալ կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, կարողանալ դրանք կիրառել և, իհարկե, ուշադրություն դարձնել:

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Տնային առաջադրանքների հարցեր.

Լուծման վերլուծություն տախտակի վրա:

II. Բանավոր վարժություններ.

Մաթեմատիկա է պետք
Առանց նրա անհնար է
Մենք սովորեցնում ենք, սովորեցնում ենք, ընկերներ,
Ի՞նչ ենք մենք հիշում առավոտյան:

Եկեք տաքացում անենք:

Գործոնավորում (սլայդ 3)

8ա – 16բ

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (Սլայդ 4)

1 - y³

ax + ay + 4x + 4y Սլայդ 5)

III. Անկախ աշխատանք.

Ձեզանից յուրաքանչյուրը սեղանի վրա ունի սեղան: Ստորագրեք ձեր աշխատանքը վերևի աջ մասում: Լրացրե՛ք աղյուսակը։ Աշխատանքային ժամանակը 5 րոպե է։ Եկեք սկսենք.

Մենք ավարտեցինք:

Խնդրում ենք աշխատանքը փոխանակել ձեր հարևանի հետ:

Նրանք վայր դրեցին գրիչները և վերցրին իրենց մատիտները:

Մենք ստուգում ենք աշխատանքը - ուշադրություն դարձրեք սլայդին: (Սլայդ 6)

Մենք նշան ենք դնում - (Սլայդ 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Բանաձևերը տեղադրեք աղյուսակի մեջտեղում: Սկսենք նոր նյութ սովորել։

IV. Նոր նյութ սովորելը

Տետրերում գրում ենք այսօրվա դասի ամսաթիվը, դասի աշխատանքը և թեման:

Ուսուցիչ.

1. Բազմանդամները ֆակտորագրելիս երբեմն օգտագործում են ոչ թե մեկ, այլ մի քանի մեթոդներ՝ դրանք հաջորդաբար կիրառելով։
2. Օրինակներ.

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2) (a+2): (Սլայդ 8)

Մենք օգտագործում ենք փակագծերից դուրս ընդհանուր գործակիցը և քառակուսիների տարբերությունը:

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)²: (Սլայդ 9)

Ի՞նչ կարող ես անել արտահայտության հետ: Ի՞նչ մեթոդ ենք օգտագործելու ֆակտորիզացիայի համար:

Այստեղ մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակցի և քառակուսի գումարի բանաձևի փակագծում:

1. ab³ – 3b³ + ab²u – 3b²u = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3) (b +y): (Սլայդ 10)

Ի՞նչ կարող ես անել արտահայտության հետ: Ի՞նչ մեթոդ ենք օգտագործելու ֆակտորիզացիայի համար:

Այստեղ փակագծերից հանվեց ընդհանուր գործոնը և կիրառվեց խմբավորման մեթոդը։

1. Ֆակտորացման կարգը. (Սլայդ 11)

1. Ամեն բազմանդամ չէ, որ կարող է ֆակտորիզացվել: Օրինակ՝ x² + 1; 5x² + x + 2 և այլն: (Սլայդ 12)

V. Ուսումնական վարժություններ

Նախքան սկսելը, մենք ֆիզիկական մարզում ենք անում (Սլայդ 13)

Նրանք արագ կանգնեցին և ժպտացին։

Նրանք ձգվում էին ավելի ու ավելի բարձր:

Արի, ուղղիր ուսերդ,

Բարձրացնել, իջեցնել:

Թեքվեք աջ, թեքվեք ձախ,

Նրանք նստեցին ու կանգնեցին։ Նրանք նստեցին ու կանգնեցին։

Եվ նրանք վազեցին տեղում։

Եվ ևս մի քանի մարմնամարզություն աչքերի համար.

1. Ամուր փակեք ձեր աչքերը 3-5 վայրկյան, իսկ հետո բացեք դրանք 3-5 վայրկյան։ Կրկնել 6 անգամ։
2. Տեղադրեք ձեր բութ մատը ձեր աչքերից 20-25 սմ հեռավորության վրա, երկու աչքերով նայեք մատի ծայրին 3-5c, այնուհետև երկու աչքերով նայեք խողովակին: Կրկնել 10 անգամ։

Լավ արեցիր, նստիր:

Դասի առաջադրանք.

թիվ 934 ավ

№935 պող

№937

թիվ 939 ավ

թիվ 1007 ավ

VI.Կրկնվող վարժություններ.

№ 933

VII. Ամփոփելով դասը

Ուսուցիչը հարցեր է տալիս, իսկ ուսանողները՝ ըստ ցանկության, պատասխանում են դրանց:

1. Անուն հայտնի մեթոդներբազմանդամի ֆակտորինգ.

1. Հանեք ընդհանուր գործոնը փակագծերից
2. Բազմանդամի ֆակտորինգ՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:
3. խմբավորման մեթոդ

1. Ֆակտորացման կարգը.

1. Տեղադրեք ընդհանուր գործակիցը փակագծերից դուրս (եթե այդպիսին կա):
2. Փորձեք բազմանդամը չափել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:
3. Եթե ​​նախորդ մեթոդները չեն հասցրել նպատակին, ապա փորձեք օգտագործել խմբավորման մեթոդը։

Ձեռք բարձրացրեք.

1. Եթե ​​ձեր վերաբերմունքը դասին «ես ոչինչ չհասկացա և ընդհանրապես չհաջողվեց»
2. Եթե ​​դասի նկատմամբ ձեր վերաբերմունքն է «դժվարություններ կային, բայց ես կարողացա»
3. Եթե ​​դասի նկատմամբ ձեր վերաբերմունքն է՝ «ես հաջողել եմ գրեթե ամեն ինչում»

Գործոն 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y ²) Բազմանդամի գործոնավորում՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը

Գործոնացնել ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) Խմբավորման մեթոդ

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² a² - b² գումարի քառակուսի (a – b)(a + b) քառակուսիների տարբերություն (a – b)² a² - 2ab + b² Տարբերության քառակուսի a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Խորանարդների գումար (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Գումարի խորանարդ (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Տարբերության խորանարդ a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) խորանարդների տարբերությունը

Սահմանեք ՆՇԱՆԱԿՆԵՐԸ 7 (+) = 5 6 կամ 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Օրինակ թիվ 1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a – 2) (a+2) Փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը Քառակուսիների տարբերության բանաձևը

Օրինակ թիվ 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը Քառակուսի գումարի բանաձևը

Օրինակ թիվ 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a -3))= =b²(a-3)(b+y) Տեղադրել գործակիցը փակագծերից դուրս Խմբավորել տերմինները փակագծերում Տեղադրել գործոնները փակագծերից դուրս Տեղադրել ընդհանուր գործակիցը փակագծերից դուրս:

Ֆակտորացման կարգը. Տեղադրել ընդհանուր գործակիցը փակագծերից դուրս (եթե այդպիսին կա): Փորձեք բազմանդամը չափել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: 3. Եթե նախորդ մեթոդները չեն հասցրել նպատակին, ապա փորձեք կիրառել խմբավորման մեթոդը։

Ամեն բազմանդամ չէ, որ կարող է ֆակտորիզացվել: Օրինակ՝ x² +1 5x² + x + 2

ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ՐՈՊԵ

Դասի առաջադրանք թիվ 934 ավդ թիվ 935 ավդ թիվ 937 թիվ 939 ավ.

Բարձրացրեք ձեր ձեռքը. Եթե դասին ձեր վերաբերմունքն է «Ես ոչինչ չհասկացա և ընդհանրապես չհաջողվեց», Եթե ձեր վերաբերմունքը դասին «կային դժվարություններ, բայց ես դա արեցի» Եթե ձեր վերաբերմունքը դասին. «Ինձ հաջողվել է գրեթե ամեն ինչում»

Տնային առաջադրանք՝ էջ 38 թիվ 936 թիվ 938 թիվ 954

Հանրահաշվում «բազմանդամ» և «բազմանդամի ֆակտորիզացիա» հասկացությունները շատ հաճախ են հանդիպում, քանի որ դրանք պետք է իմանաք՝ մեծ բազմանիշ թվերով հաշվարկներ հեշտությամբ իրականացնելու համար։ Այս հոդվածը նկարագրելու է տարրալուծման մի քանի մեթոդներ: Դրանք բոլորը բավականին հեշտ են օգտագործել, պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել ճիշտը յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

Բազմանդամի հայեցակարգը

Բազմանդամը միանդամների գումար է, այսինքն՝ արտահայտություններ, որոնք պարունակում են միայն բազմապատկման գործողություն։

Օրինակ՝ 2 * x * y-ը միանդամ է, բայց 2 * x * y + 25-ը բազմանդամ է, որը բաղկացած է 2 միանդամներից՝ 2 * x * y և 25։ Նման բազմանդամները կոչվում են երկանդամներ։

Երբեմն, բազմարժեք արժեքներով օրինակներ լուծելու հարմարության համար, արտահայտությունը պետք է փոխակերպվի, օրինակ, տարրալուծվի որոշակի թվով գործոնների, այսինքն՝ թվերի կամ արտահայտությունների, որոնց միջև կատարվում է բազմապատկման գործողությունը: Գոյություն ունեն բազմանդամը գործոնավորելու մի շարք եղանակներ: Արժե դրանք դիտարկել՝ սկսած ամենապրիմիտիվից, որն օգտագործվում է տարրական դպրոցում։

Խմբավորում (գրառում ընդհանուր ձևով)

Խմբավորման մեթոդի կիրառմամբ բազմանդամի գործակցման բանաձևն ընդհանուր առմամբ հետևյալն է.

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Պետք է խմբավորել միանունները, որպեսզի յուրաքանչյուր խումբ ունենա ընդհանուր գործակից։ Առաջին փակագծում սա c գործոնն է, իսկ երկրորդում՝ d: Դա պետք է արվի, որպեսզի այն տեղափոխվի փակագծից՝ դրանով իսկ պարզեցնելով հաշվարկները:

Քայքայման ալգորիթմ՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակ

Խմբավորման մեթոդով բազմանդամի գործակցման ամենապարզ օրինակը տրված է ստորև.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Առաջին փակագծում պետք է ընդունել պայմանները a գործոնով, որը սովորական կլինի, իսկ երկրորդում՝ b գործոնով: Ուշադրություն դարձրեք ավարտված արտահայտության + և - նշաններին: Միանդամի դիմաց դնում ենք սկզբնական արտահայտության մեջ եղած նշանը։ Այսինքն՝ պետք է աշխատել ոչ թե 25ա, այլ -25 արտահայտությամբ։ Թվում է, թե մինուս նշանը «սոսնձված» է դրա հետևում գտնվող արտահայտությանը և միշտ հաշվի է առնվում հաշվարկելիս։

Հաջորդ քայլում պետք է փակագծերից հանել բազմապատկիչը, որը սովորական է։ Հենց սրա համար է խմբավորումը: Փակագծից դուրս դնել նշանակում է փակագծից առաջ գրել (բաց թողնելով բազմապատկման նշանը) բոլոր այն գործոնները, որոնք ճշգրտորեն կրկնվում են փակագծում գտնվող բոլոր անդամներում։ Եթե ​​փակագծում կա ոչ թե 2, այլ 3 կամ ավելի տերմին, ապա դրանցից յուրաքանչյուրում պետք է պարունակվի ընդհանուր գործակիցը, հակառակ դեպքում այն ​​չի կարող հանվել փակագծից։

Մեր դեպքում փակագծերում կա ընդամենը 2 տերմին. Ընդհանուր բազմապատկիչն անմիջապես տեսանելի է: Առաջին փակագծում a է, երկրորդում՝ b։ Այստեղ պետք է ուշադրություն դարձնել թվային գործակիցներին։ Առաջին փակագծում երկու գործակիցներն էլ (10 և 25) 5-ի բազմապատիկ են։ Սա նշանակում է, որ փակագծից կարելի է հանել ոչ միայն a, այլև 5a։ Փակագծից առաջ գրեք 5ա, այնուհետև փակագծերում գտնվող տերմիններից յուրաքանչյուրը բաժանեք հանված ընդհանուր գործակցի վրա, ինչպես նաև գրեք քանորդը փակագծերում՝ չմոռանալով + և - նշանների մասին։ Նույնը արեք երկրորդ փակագծով։ հանել 7b-ը, ինչպես նաև 7-ի 14-ը և 35-ը:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5):

Ստացանք 2 տերմին՝ 5a(2c - 5) և 7b(2c - 5): Դրանցից յուրաքանչյուրը պարունակում է ընդհանուր գործոն (փակագծերում ամբողջ արտահայտությունն այստեղ նույնն է, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր գործոն է). երկրորդ փակագծում.

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b):

Այսպիսով, ամբողջական արտահայտությունը հետևյալն է.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b):

Այսպիսով, 10ac + 14bc - 25a - 35b բազմանդամը տարրալուծվում է 2 գործոնի՝ (2c - 5) և (5a + 7b): Նրանց միջև բազմապատկման նշանը կարելի է բաց թողնել գրելիս

Երբեմն լինում են այս տիպի արտահայտություններ՝ 5a 2 + 50a 3, այստեղ փակագծերից կարելի է դուրս դնել ոչ միայն a կամ 5a, այլ նույնիսկ 5a 2: Դուք միշտ պետք է փորձեք փակագծից դուրս դնել ամենամեծ ընդհանուր գործոնը: Մեր դեպքում, եթե յուրաքանչյուր անդամ բաժանենք ընդհանուր գործակցի վրա, կստանանք.

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(հավասար հիմքերով մի քանի հզորությունների քանորդը հաշվարկելիս հիմքը պահպանվում է, իսկ աստիճանը հանվում է)։ Այսպիսով, միավորը մնում է փակագծում (ոչ մի դեպքում չես մոռանում գրել մեկը, եթե փակագծից հանում ես տերմիններից մեկը) և բաժանման գործակիցը՝ 10ա։ Ստացվում է, որ.

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Քառակուսի բանաձևեր

Հաշվարկի հեշտության համար ստացվել են մի քանի բանաձևեր. Դրանք կոչվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևեր և օգտագործվում են բավականին հաճախ։ Այս բանաձևերը օգնում են աստիճաններ պարունակող բազմանդամներին։ Սա ֆակտորիզացիայի ևս մեկ արդյունավետ միջոց է: Այսպիսով, ահա դրանք.

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -բանաձև, որը կոչվում է «գումարի քառակուսի», քանի որ քառակուսու տարրալուծման արդյունքում վերցվում է փակագծերում փակված թվերի գումարը, այսինքն՝ այս գումարի արժեքը 2 անգամ բազմապատկվում է ինքն իրեն, և հետևաբար, բազմապատկիչ։
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - տարբերության քառակուսու բանաձեւը, այն նման է նախորդին: Արդյունքն այն է, որ տարբերությունը՝ փակագծերում փակված, պարունակվում է քառակուսի հզորության մեջ։
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- սա քառակուսիների տարբերության բանաձև է, քանի որ ի սկզբանե բազմանդամը բաղկացած է թվերի կամ արտահայտությունների 2 քառակուսիներից, որոնց միջև կատարվում է հանում: Թերեւս նշված երեքից այն առավել հաճախ է օգտագործվում։

Քառակուսի բանաձևերի օգտագործմամբ հաշվարկների օրինակներ

Նրանց համար հաշվարկները բավականին պարզ են. Օրինակ:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - օգտագործել «գումարի քառակուսի» բանաձևը:
2. 25x2-ը 5x-ի քառակուսին է: 20xy-ը 2*(5x*2y-ի) կրկնակի արտադրյալն է, իսկ 4y 2-ը 2y-ի քառակուսին է:
3. Այսպիսով, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y):Այս բազմանդամը տարրալուծվում է 2 գործոնի (գործակիցները նույնն են, ուստի գրվում է որպես քառակուսի հզորությամբ արտահայտություն)։

Քառակուսի տարբերության բանաձևի օգտագործմամբ գործողությունները կատարվում են նույն կերպ: Մնացած բանաձևը քառակուսիների տարբերությունն է: Այս բանաձևի օրինակները շատ հեշտ է սահմանել և գտնել այլ արտահայտությունների մեջ: Օրինակ:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20): Քանի որ 25a 2 = (5a) 2, և 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y): Քանի որ 36x 2 = (6x) 2, և 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b): Քանի որ 169b 2 = (13b) 2

Կարևոր է, որ տերմիններից յուրաքանչյուրը ինչ-որ արտահայտության քառակուսի լինի: Այնուհետև այս բազմանդամը պետք է գործոնացվի՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը։ Դրա համար պարտադիր չէ, որ երկրորդ աստիճանը թվից բարձր լինի։ Կան բազմանդամներ, որոնք պարունակում են մեծ աստիճաններ, բայց այնուամենայնիվ համապատասխանում են այս բանաձևերին։

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Այս օրինակում 8-ը կարող է ներկայացվել որպես (a 4) 2, այսինքն՝ որոշակի արտահայտության քառակուսի: 25-ը 5 2 է, իսկ 10a-ն 4 է - սա 2 * a 4 * 5 տերմինների կրկնակի արտադրյալն է: Այն է այս արտահայտությունը, չնայած մեծ ցուցիչներով աստիճանների առկայությանը, կարելի է բաժանել 2 գործոնի՝ հետագայում դրանց հետ աշխատելու համար։

Cube բանաձեւեր

Նույն բանաձևերը կան խորանարդներ պարունակող բազմանդամների ֆակտորինգի համար: Նրանք մի փոքր ավելի բարդ են, քան քառակուսիներով.

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- այս բանաձևը կոչվում է խորանարդների գումար, քանի որ իր սկզբնական ձևով բազմանդամը խորանարդի մեջ պարփակված երկու արտահայտությունների կամ թվերի գումարն է:
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -Նախորդին նույնական բանաձևը նշանակվում է որպես խորանարդների տարբերություն:
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - գումարի խորանարդ, հաշվարկների արդյունքում թվերի կամ արտահայտությունների գումարը փակցվում է փակագծերում և ինքն իրենով 3 անգամ բազմապատկվում, այսինքն՝ գտնվում է խորանարդի մեջ։
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -Բանաձևը, որը կազմվել է նախորդի հետ անալոգիայով, փոխելով մաթեմատիկական գործողությունների միայն որոշ նշաններ (գումարած և մինուս), կոչվում է «տարբերության խորանարդ»:

Վերջին երկու բանաձևերը գործնականում չեն օգտագործվում բազմանդամի գործակցման համար, քանի որ դրանք բարդ են, և բավական հազվադեպ է գտնել բազմանդամներ, որոնք լիովին համապատասխանում են հենց այս կառուցվածքին, որպեսզի դրանք կարողանան գործոնավորվել այս բանաձևերի միջոցով: Բայց դուք դեռ պետք է իմանաք դրանք, քանի որ դրանք կպահանջվեն հակառակ ուղղությամբ աշխատելիս՝ փակագծերը բացելիս:

Օրինակներ խորանարդի բանաձևերի վրա

Դիտարկենք օրինակ. 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 )

Այստեղ վերցված են բավականին պարզ թվեր, այնպես որ դուք կարող եք անմիջապես տեսնել, որ 64a 3-ը (4a) 3 է, իսկ 8b 3-ը (2b) 3 է: Այսպիսով, այս բազմանդամը խորանարդների բանաձևի տարբերության համաձայն ընդլայնվում է 2 գործոնի. Գործողությունները, օգտագործելով խորանարդի գումարի բանաձևը, կատարվում են անալոգիայով:

Կարևոր է հասկանալ, որ ոչ բոլոր բազմանդամներն են կարող ընդլայնվել առնվազն մեկ ձևով: Բայց կան արտահայտություններ, որոնք ավելի մեծ ուժեր են պարունակում, քան քառակուսին կամ խորանարդը, բայց դրանք կարող են ընդլայնվել նաև կրճատված բազմապատկման ձևերի։ Օրինակ՝ x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2):

Այս օրինակը պարունակում է այնքան, որքան 12-րդ աստիճանը։ Բայց նույնիսկ այն կարելի է ֆակտորիզացնել՝ օգտագործելով խորանարդների գումարի բանաձևը: Դա անելու համար հարկավոր է x 12-ը պատկերացնել որպես (x 4) 3, այսինքն՝ որպես ինչ-որ արտահայտության խորանարդ: Այժմ, a-ի փոխարեն, դուք պետք է այն փոխարինեք բանաձևում: Դե, 125y 3 արտահայտությունը 5y-ի խորանարդ է: Հաջորդը, դուք պետք է կազմեք արտադրանքը, օգտագործելով բանաձևը և կատարեք հաշվարկներ:

Սկզբում կամ կասկածի դեպքում միշտ կարող եք ստուգել հակադարձ բազմապատկմամբ։ Պարզապես պետք է բացել փակագծերը ստացված արտահայտության մեջ և կատարել գործողություններ նմանատիպ տերմիններով։ Այս մեթոդը վերաբերում է թվարկված կրճատման բոլոր մեթոդներին՝ և՛ ընդհանուր գործակցի և խմբավորման հետ աշխատելու, և՛ խորանարդի և քառակուսի հզորությունների բանաձևերի հետ աշխատելու համար:

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասի տեսակը.

• ըստ առաքման եղանակի - սեմինարի դաս;
• Ըստ դիդակտիկ նպատակ– գիտելիքների և հմտությունների կիրառման դաս:

Թիրախ:զարգացնել բազմանդամը գործոնավորելու ունակությունը.

Առաջադրանքներ.

• Դիդակտիկհամակարգել, ընդլայնել և խորացնել ուսանողների գիտելիքներն ու հմտությունները, կիրառել բազմանդամի ֆակտորավորման տարբեր մեթոդներ: Զարգացնել համակցման միջոցով բազմանդամ ֆակտորիզացիայի կիրառման կարողությունը տարբեր տեխնիկա. Իրականացնել գիտելիքներ և հմտություններ «Բազմանդամի գործակցում» թեմայի շուրջ՝ ինչպես հիմնական մակարդակում, այնպես էլ ավելացված բարդության առաջադրանքները կատարելու համար:
• Զարգացնողզարգացնել մտավոր գործունեությունը տարբեր տեսակի խնդիրների լուծման միջոցով, սովորել գտնել և վերլուծել լուծման առավել ռացիոնալ մեթոդները, նպաստել ուսումնասիրվող փաստերն ընդհանրացնելու, սեփական մտքերը հստակ և հստակ արտահայտելու ունակության ձևավորմանը:
• Ուսումնականզարգացնել ինքնուրույն և թիմային աշխատանքի հմտություններ, ինքնատիրապետման հմտություններ։

Աշխատանքային մեթոդներ.

• բանավոր;
• տեսողական;
• գործնական.

Դասի սարքավորումներ.ինտերակտիվ գրատախտակ կամ վերգետնյա պրոյեկտոր, աղյուսակներ՝ կրճատված բազմապատկման բանաձևերով, հրահանգներ, թերթիկներ՝ խմբերով աշխատելու համար։

Դասի կառուցվածքը.

1. Կազմակերպման ժամանակ. 1 րոպե
2. Գործնական դասի թեմայի, նպատակի և խնդիրների ձևակերպում. 2 րոպե
3. Տնային առաջադրանքների ստուգում. 4 րոպե
4. Ուսանողների հիմնական գիտելիքների և հմտությունների թարմացում: 12 րոպե
5. Ֆիզիկական դաստիարակության րոպե. 2 րոպե
6. Հրահանգ, թե ինչպես կատարել սեմինարի առաջադրանքները: 2 րոպե
7. Խմբերում առաջադրանքների կատարում: 15 րոպե
8. Առաջադրանքների ստուգում և քննարկում: Աշխատանքի վերլուծություն. 3 րոպե
9. Տնային առաջադրանքների սահմանում. 1 րոպե
10. Պահպանեք աշխատատեղեր. 3 րոպե

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ

Ուսուցիչը ստուգում է դասարանի և աշակերտների պատրաստվածությունը դասին:

2. Սեմինարի դասի թեմայի, նպատակի և խնդիրների ձևակերպում

• Հաղորդագրություն թեմայի վերաբերյալ վերջին դասի մասին:
• Ուսանողների ուսումնական գործունեության մոտիվացիա.
• Նպատակի ձևակերպում և դասի նպատակների սահմանում (աշակերտների հետ միասին):

3. Տնային աշխատանքների ստուգում

Գրատախտակին տրված են թիվ 943 տնային առաջադրանքների առաջադրանքների լուծումների օրինակներ (ա, գ); Թիվ 945 (գ, դ). Նմուշները պատրաստվել են դասարանի աշակերտների կողմից։ (Աշակերտների այս խումբը բացահայտվեց նախորդ դասին. նրանք իրենց որոշումը ձևակերպեցին ընդմիջմանը): Ուսանողները պատրաստվում են «պաշտպանել» լուծումները.

Ուսուցիչ:

Ստուգում է տնային առաջադրանքների առկայությունը սովորողների տետրերում.

Հրավիրում է դասարանի ուսանողներին պատասխանել հարցին. «Ի՞նչ դժվարություններ առաջացրեցին առաջադրանքը կատարելը»:

Առաջարկում է ստուգել ձեր լուծումը տախտակի վրա դրված լուծույթով:

Գրատախտակի մոտ ուսանողներին հրավիրում է պատասխանել այն հարցերին, որոնք ուսանողները ունենում են տեղում՝ օգտագործելով նմուշները:

Մեկնաբանում է ուսանողների պատասխանները, լրացնում պատասխանները և պարզաբանում (անհրաժեշտության դեպքում):

Ամփոփում է տնային աշխատանքների ավարտը:

Ուսանողները:

Ներկա Տնային աշխատանքուսուցչին.

Նրանք փոխանակում են նոթատետրեր (զույգերով) և ստուգում միմյանց հետ։

Պատասխանեք ուսուցչի հարցերին.

Ստուգեք ձեր լուծումը նմուշներով:

Նրանք հանդես են գալիս որպես հակառակորդներ, կատարում են լրացումներ, ուղղումներ, գրում են այլ մեթոդ, եթե նոթատետրում լուծման մեթոդը տարբերվում է գրատախտակին դրված մեթոդից:

Խնդրեք ուսանողներին և ուսուցչին անհրաժեշտ բացատրություններ տալ:

Գտեք ստացված արդյունքները ստուգելու ուղիներ:

Մասնակցել խորհրդում կատարված առաջադրանքների որակի գնահատմանը:

4. Սովորողների հիմնական գիտելիքների և հմտությունների թարմացում

1. Բանավոր աշխատանք

Ուսուցիչ:

Պատասխանել հարցերին:

1. Ի՞նչ է նշանակում գործոնավորել բազմանդամը:
2. Քայքայման քանի՞ եղանակ գիտեք:
3. Ինչ են նրանց անունները:
4. Ո՞րն է ամենատարածվածը:

2. Գրատախտակին բազմանդամները գրված են.

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x – 2

Ուսուցիչհրավիրում է ուսանողներին գործակցելու թիվ 1-3 բազմանդամները.

• Տարբերակ I – կիրառելով ընդհանուր գործոն;
• Տարբերակ II – օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը;
• Տարբերակ III - խմբավորման մեթոդով:

Մեկ ուսանողի առաջարկվում է գործակցել թիվ 4 բազմանդամը (ավելացած դժվարության անհատական ​​առաջադրանք, առաջադրանքն ավարտված է A 4 ձևաչափով): Այնուհետև գրատախտակին հայտնվում է թիվ 1-3 առաջադրանքների լուծման նմուշը (կատարում է ուսուցիչը), 4-րդ առաջադրանքի լուծման նմուշը (կատարում է սովորողը):

3. Ջերմացեք

Ուսուցիչը հրահանգներ է տալիս հաշվի առնել և ընտրել ճիշտ պատասխանի հետ կապված տառը: Տառերը ավելացնելով ստանում եք 17-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոսի անունը, ով հսկայական ներդրում է ունեցել հավասարումների լուծման տեսության զարգացման գործում։ (Դեկարտ)

5. Ֆիզկուլտուրայի դաս Աշակերտներին կարդում են հայտարարություններ: Եթե ​​հայտարարությունը ճշմարիտ է, ապա ուսանողները պետք է բարձրացնեն իրենց ձեռքերը, իսկ եթե այն կեղծ է, ապա նստեն իրենց սեղանների մոտ: (Հավելված 2)

6. Հրահանգ, թե ինչպես կատարել սեմինարի առաջադրանքները:

Վրա ինտերակտիվ գրատախտակկամ առանձին պաստառ՝ հրահանգներով սեղանով։

Բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ պետք է պահպանել հետևյալ հաջորդականությունը.

1. փակագծերից դուրս դնել ընդհանուր գործակիցը (եթե այդպիսին կա);

2. կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր (եթե հնարավոր է);

3. կիրառել խմբավորման մեթոդը.

4. ստուգեք բազմապատկման արդյունքում ստացված արդյունքը.

Ուսուցիչ:

Հրահանգներ է ներկայացնում ուսանողներին (կենտրոնանում է 4-րդ քայլի վրա):

Առաջարկում է սեմինարի առաջադրանքների կատարումը խմբերով:

Աշխատանքային թերթիկներ է բաժանում խմբերին, ածխածնային թղթով թերթիկներ՝ նոթատետրերում առաջադրանքների պատրաստման և դրանց հետագա ստուգման համար:

Ժամկետ է սահմանում խմբով աշխատելու և նոթատետրում աշխատելու համար:

Ուսանողները:

Կարդացեք հրահանգները:

Ուսուցիչները ուշադիր լսում են.

Նստած խմբերով (4-5 հոգի):

Պատրաստվում է գործնական աշխատանքին.

7. Խմբերով առաջադրանքներ կատարելը

Աշխատանքային թերթիկներ՝ խմբերի առաջադրանքներով: (Հավելված 3)

Ուսուցիչ:

Կառավարում է ինքնուրույն աշխատանքխմբերով։

Գնահատում է ուսանողների ինքնուրույն աշխատելու ունակությունը, խմբում աշխատելու կարողությունը և աշխատանքային թերթիկի ձևավորման որակը:

Ուսանողները:

Կատարեք առաջադրանքներ աշխատանքային գրքույկում ներառված ածխածնային թղթի թերթիկների վրա:

Քննարկեք ռացիոնալ որոշումներ կայացնելու ուղիները:

Պատրաստեք աշխատանքային թերթիկ խմբից:

Պատրաստվեք պաշտպանել ավարտված աշխատանքը:

8. Առաջադրանքի կատարման ստուգում և քննարկում

Պատասխանները ինտերակտիվ գրատախտակին:

Ուսուցիչ:

Հավաքում է որոշումների պատճենները:

Կառավարում է ուսանողների հաշվետվությունները աշխատանքային թերթիկների վրա:

Առաջարկում է ձեր աշխատանքի ինքնագնահատումը՝ համեմատելով նոթատետրերի, աշխատանքային թերթիկների և գրատախտակի նմուշների պատասխանները:

Հիշեցնում է ինձ աշխատանքի համար գնահատականներ տալու և դրա իրականացմանը մասնակցելու չափանիշները:

Տրամադրում է պարզաբանումներ ի հայտ եկած որոշումների կամ ինքնագնահատման հարցերի վերաբերյալ:

Ամփոփում է գործնական աշխատանքի և մտորումների առաջին արդյունքները.

Ամփոփում է (սովորողների հետ) դասը.

Այնտեղ ասվում է, որ վերջնական արդյունքները կամփոփվեն ուսանողների կողմից կատարված աշխատանքների պատճենները ստուգելուց հետո։

Ուսանողները:

Պատճենները տվեք ուսուցչին:

Աշխատանքային թերթիկները կցվում են գրատախտակին:

Աշխատանքի ավարտի մասին հաշվետվություն.

Իրականացնել աշխատանքի կատարման ինքնաքննություն և ինքնագնահատում.

9. Տնային առաջադրանքների սահմանում

Գրատախտակին գրված է տնային առաջադրանք՝ թիվ 1016 (ա, բ); 1017 (գ, դ); Թիվ 1021 (g,d,f)*

Ուսուցիչ:

Առաջարկում է գրել տան համար առաջադրանքի պարտադիր մասը։

Մեկնաբանություն է տալիս դրա իրականացման վերաբերյալ:

Հրավիրում է ավելի պատրաստված ուսանողներին գրել թիվ 1021 (g, e, f) *:

Ասում է ձեզ նախապատրաստվել հաջորդ վերանայման դասին