Գնդի մեջ մակագրված բազմանիստ: Մաթեմատիկա. Ամբողջական դասընթացը կրկնվող է։ Բաց դաս երկրաչափություն

Ներկայացման նկարագրությունը առանձին սլայդներով.

1 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

քաղաքային ինքնավար ուսումնական հաստատությունմիջին հանրակրթական դպրոց № 45 Գործիքակազմ 11-րդ դասարանի աշակերտների համար Կազմել է բարձրագույն կարգի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Ելենա Վյաչեսլավովնա Գավինսկայան։ Կալինինգրադ 2016-2017 թթ ուսումնական տարին

2 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Գնդի մեջ փորագրված պոլիեդրա. Թեման նման է պլանաչափության դասընթացին, որտեղ ասվում էր, որ շրջանակները կարելի է նկարագրել եռանկյունների և կանոնավոր n-անկյունների շուրջ։ Տիեզերքում շրջանագծի անալոգը գունդ է, իսկ բազմանկյունը՝ բազմանկյուն։ Այս դեպքում եռանկյան անալոգը եռանկյուն պրիզմա է, իսկ կանոնավոր բազմանկյունների անալոգը կանոնավոր բազմանկյուններ։ Սահմանում. Ասում են, որ բազմանկյունը գրված է գնդում, եթե նրա բոլոր գագաթները պատկանում են այս ոլորտին: Ասում են, որ գունդն ինքնին շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ:

3 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

«Գնդակը կարելի է նկարագրել ուղիղ պրիզմայի շուրջ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել այս պրիզմայի հիմքի շուրջ»: Ապացույց. Եթե գունդը շրջագծված է ուղիղ պրիզմայի շուրջը, ապա պրիզմայի հիմքի բոլոր գագաթները պատկանում են ոլորտին և, հետևաբար, շրջանագծին, որը ոլորտի և հիմքի հարթության հատման գիծն է։ Եվ հակառակը, թույլ տվեք O1 կետում կենտրոնով շրջան և շառավղով r նկարագրել ուղիղ պրիզմայի հիմքի մոտ: Այնուհետև պրիզմայի երկրորդ հիմքի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է O2 կետում և նույն շառավղով։ Թող O1O2=d, O – O1O2-ի միջին: Այնուհետև O կենտրոնով և R= շառավղով գունդը կլինի ցանկալի շրջագծված գունդը: Թեորեմ 1.

4 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

«Գնդակը կարելի է նկարագրել ցանկացած եռանկյուն բուրգի շուրջ և միայն մեկի»: Ապացույց. Եկեք դիմենք պլանաչափության դասընթացի նման ապացույցին։ Առաջին հերթին մենք պետք է գտնենք եռանկյան երկու գագաթներից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղը: Օրինակ՝ A և B. Նման երկրաչափական դիրքը AB հատվածին գծված ուղղահայաց կիսորդն է: Այնուհետև մենք գտնում ենք A-ից և C-ից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղը: Սա AC հատվածին ուղղահայաց կիսորդն է: Այս երկսեկտորային ուղղահայացների հատման կետը կլինի ABC եռանկյան շուրջ շրջագծված շրջանագծի ցանկալի կենտրոնը: Թեորեմ 2.

5 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Այժմ դիտարկենք տարածական իրավիճակը և նմանատիպ կոնստրուկցիաներ անենք։ Թող տրվի եռանկյունաձև բուրգ DABC, և A, B և C կետերը սահմանեն α հարթությունը: A, B և C կետերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղանքը a ուղիղ գիծ է, ուղղահայաց α հարթությանը և անցնում է ABC եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի O1 կենտրոնով: A և D կետերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղանքը β հարթությունն է, որը ուղղահայաց է AD հատվածին և անցնում է նրա գագաթով` E կետով: Β հարթությունը և a ուղիղը հատվում են O կետում, որը կլինի ցանկալի կենտրոնը: DABC եռանկյուն բուրգով շրջագծված գունդը: Իրոք, կառուցվածքի ուժով, O կետը հավասարապես հեռու է DABC բուրգի բոլոր գագաթներից: Ընդ որում, նման կետը եզակի կլինի, քանի որ հատվող ուղիղ գիծն ու հարթությունն ունեն մեկ ընդհանուր կետ։

6 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Գնդակը նկարագրված է կանոնավոր բուրգ. Գնդակը կարելի է նկարագրել ցանկացած սովորական բուրգի շուրջ: Գնդակի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրությամբ անցնող ուղիղ գծի վրա և համընկնում է շրջանագծի կենտրոնի հետ, որը շրջագծված է հավասարաչափ եռանկյունու շուրջ, որի կողմը բուրգի կողային եզրն է, իսկ բարձրությունը՝ բարձրությունը: բուրգը։ Գնդիկի շառավիղը հավասար է այս շրջանագծի շառավղին: R գնդակի շառավիղը, H բուրգի բարձրությունը և բուրգի հիմքի մոտ նկարագրված r շրջանագծի շառավիղը կապված են հարաբերությամբ՝ R2=(H-R)2+r2 Այս կապը գործում է նաև այն դեպքում, երբ. Հ< R.

7 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Խնդիրը սովորական բուրգի շուրջ շրջափակված գնդակի մասին է: «O կետում կենտրոնով և 9√3 մ շառավղով մի գունդ նկարագրված է PABC կանոնավոր բուրգի մոտ: Բուրգի բարձրությունը պարունակող PO ուղիղ գիծը հատում է բուրգի հիմքը H կետում այնպես, որ PH:OH = 2:1: Գտե՛ք բուրգի ծավալը, եթե նրա յուրաքանչյուր կողային եզրը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45 աստիճանի անկյուն»։

8 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Տրված է՝ PABC – կանոնավոր բուրգ; գնդակը (O;R=9√3 մ) նկարագրված է բուրգի մոտ; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o: Գտեք՝ Vpir. Լուծում. Քանի որ RN:OH=2:1 (ըստ պայմանի), ապա RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (մ) 2. RN _ (ABC) (որպես բարձրություն բուրգի) => => RN _ AN (ըստ սահմանման) => RAS - ուղղանկյուն: 3. RAS-ում:

Սլայդ 9

Սլայդի նկարագրություն.

4. Քանի որ պայմանով RABC-ն կանոնավոր բուրգ է, իսկ PH-ն նրա բարձրությունն է, ապա ըստ սահմանման ABC-ն ճիշտ է. H-ն ABC-ով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է, որը նշանակում է 5: Պատասխան՝ 486 մ3:

10 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Պրիզմայի շուրջը շրջագծված գունդ։ Գունդը կարելի է նկարագրել պրիզմայի շուրջը, եթե այն ուղիղ է, իսկ հիմքերը շրջանագծով գրված բազմանկյուններ են։ Գնդիկի կենտրոնը գտնվում է պրիզմայի բարձրության միջին կետում, որը միացնում է պրիզմայի հիմքերի շուրջ նկարագրված շրջանագծերի կենտրոնները: R գնդակի շառավիղը, H պրիզմայի բարձրությունը և պրիզմայի հիմքի շուրջ նկարագրված r շրջանագծի շառավիղը կապված են հարաբերությամբ.

11 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Խնդիրը պրիզմայի շուրջ շրջափակված գնդիկի մասին է։ «Կանոնավոր ABCDA1B1C1D1 պրիզմա 6 սմ բարձրությամբ մակագրված է գնդակի մեջ (այսպես; R = 5 սմ): Գտեք պրիզմայի խաչմերուկի տարածքը հիմքի հարթություններին զուգահեռ հարթությամբ և անցնող O կետով` գնդակի կենտրոնով»:

12 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Տրված է՝ ABCDA1B1C1D1 – կանոնավոր պրիզմա; Գնդակը (O;R=5 սմ) նկարագրված է պրիզմայի շուրջ; h պրիզմայի բարձրությունը 6 սմ է; α║ (ABC); O α-ի հետ: Գտե՛ք՝ Ssec α, Լուծում. Քանի որ պայմանով պրիզմա մակագրված է գնդակի մեջ, ուրեմն (r-ը պրիզմայի հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է) Բայց պայմանով տրվում է կանոնավոր պրիզմա, որը նշանակում է.

Սլայդ 13

Սլայդի նկարագրություն.

ա) (АВВ1) ║(СС1D1) (ուղիղ պրիզմայի հատկությամբ) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (զուգահեռ հարթությունների հատկությամբ) Ho (BCC1) ║. (ADD1) (ուղիղ պրիզմայի հատկությամբ) => KM=NR (զուգահեռ հարթությունների հատկությամբ): Սա նշանակում է, որ KMNR-ը զուգահեռագիծ է (ըստ հատկանիշի) => MN=KR և MN ║ KR բ) α ║ (ABC) (ըստ կառուցման) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (ըստ զուգահեռ հարթությունների հատկության) 2. 3. Քանի որ ABCDA1B1C1D1 պայմանի համաձայն կանոնավոր պրիզմա է, իսկ α հարթության հատվածը զուգահեռ է հիմքերին, ապա հատվածով կազմված պատկերը քառակուսի է։ Եկեք ապացուցենք: => => =>

Սլայդ 14

Սլայդի նկարագրություն.

KMH= ABC=90o (որպես անկյուններ՝ համապատասխանաբար հավասարեցված կողմերով) Սա նշանակում է, որ KMNR ռոմբը քառակուսի է (ըստ սահմանման), որն անհրաժեշտ է ապացուցել: Ընդ որում, KMNR և ABCD քառակուսիները հավասար են։ Հետևաբար, ըստ սեփականության նրանց մակերեսները հավասար են, և, հետևաբար, հատված α.=SABCD=32 (սմ2) Պատասխան՝ 32 սմ2։ գ) KM ║ AB (ապացուցված) (BCC1) ║(ADD1) (ուղիղ պրիզմայի հատկությամբ) => KM=AB=4√2 սմ (զուգահեռ հարթությունների հատկությամբ): դ) Նմանապես, ապացուցված է, որ MN ║ BC և MN = BC = 4√2 սմ Սա նշանակում է, որ MN = KM => MNRK զուգահեռագիծը ռոմբ է (ըստ սահմանման): ե) MN ║ BC (ապացուցված) KM ║ AB (ապացուցված) => =>

15 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Պրիզմայի շուրջը շրջագծված գլան։ Մխոցը կարելի է նկարագրել ուղիղ պրիզմայի շուրջ, եթե դրա հիմքը շրջանագծի մեջ ներգծված բազմանկյուն է: R գլանի շառավիղը հավասար է այս շրջանագծի շառավղին։ Մխոցի առանցքը գտնվում է պրիզմայի H բարձրության հետ նույն ուղիղ գծի վրա՝ միացնելով պրիզմայի հիմքերի մոտ նկարագրված շրջանագծերի կենտրոնները։ Քառանկյուն պրիզմայի դեպքում (եթե հիմքը ուղղանկյուն է), գլանի առանցքն անցնում է պրիզմայի հիմքերի անկյունագծերի հատման կետով։

16 սլայդ

Սլայդի նկարագրություն.

Խնդիրը վերաբերում է պրիզմայի շուրջը շրջափակված գլանին: Ուղիղ պրիզմա ABCDA1B1C1D1, որի հիմքը ուղղանկյուն է, մակագրված է գլանով, որի գեներացիան 7 սմ է, իսկ շառավիղը՝ 3 սմ: Գտե՛ք պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը, եթե անկյունագծերի միջև կա անկյուն։ ABCD-ն 60 աստիճան է: ОО1 – գլան առանցք:

Սլայդ 17

Սլայդի նկարագրություն.

Տրված է՝ ABCDA1B1C1D1 – ուղիղ պրիզմա; մխոցը նկարագրված է պրիզմայի մոտ; գլան AA1=7 սմ; մխոցի հիմքի շառավիղը 3 սմ է; ABCD անկյունագծերի միջև անկյունը 60° է; ОО1 – գլան առանցք: Գտեք՝ կողային պրիզմա: Լուծում. Քանի որ, ըստ պայմանի, քառանկյուն պրիզմա, որի հիմքում ուղղանկյուն է, մակագրված է գնդիկի մեջ, ապա ըստ AC∩ВD=O հատկության։ Սա նշանակում է AOB=60o և AO=OB=3սմ: 2. AOB-ում՝ օգտագործելով կոսինուսների թեորեմը:

Գնդի մեջ ներգծված բազմանիստ Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է ներգծված, եթե նրա բոլոր գագաթները գտնվում են ինչ-որ գնդիկի վրա: Այս գունդը կոչվում է նկարագրված տվյալ պոլիէդրոնի համար։ Այս ոլորտի կենտրոնը մի կետ է, որը հավասար է բազմանկյունի գագաթներից։ Այն հարթությունների հատման կետն է, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է իրեն ուղղահայաց բազմանիստ եզրի միջով։

Շրջապատ գնդիկի շառավիղը գտնելու բանաձև Թող SABC-ն լինի հավասար կողային եզրերով բուրգ, h-ը նրա բարձրությունն է, R-ը հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է: Գտնենք շրջագծված ոլորտի շառավիղը։ Ուշադրություն դարձրեք SKO1 և SAO ուղղանկյուն եռանկյունների նմանությանը: Այնուհետեւ SO 1 /SA = KS / SO; R 1 = KS · SA / SO Բայց KS = SA / 2: Այնուհետեւ R 1 = SA 2 / (2SO); R 1 = (h 2 + R 2) / (2h); R 1 = b 2 / (2h), որտեղ b-ը կողային եզր է:

Գնդի մեջ ներգծված զուգահեռականի թեորեմ. Գնդակը կարելի է նկարագրել զուգահեռ գագաթի շուրջը, եթե և միայն այն դեպքում, եթե զուգահեռ գագաթն ուղղանկյուն է, քանի որ ս.թ. այս դեպքումայն ուղիղ է և նրա հիմքի շուրջը` զուգահեռագիծ, կարելի է նկարագրել շրջան (քանի որ հիմքը ուղղանկյուն է):

Խնդիր 1 Գտե՛ք գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է a եզրով կանոնավոր քառաեդրոնով: Լուծում `SO 1 = SA 2 / (2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4: Պատասխան՝ SO 1 = a /4: Եկեք նախ կառուցենք շրջագծված գնդակի կենտրոնի պատկերը՝ օգտագործելով սովորական քառաեդրոն SABC պատկերը: Գծենք SD և AD ապոթեմները (SD = AD): ASD հավասարաչափ եռանկյունու մեջ միջին DN-ի յուրաքանչյուր կետ հավասար է AS հատվածի ծայրերից: Հետևաբար, O 1 կետը SO բարձրության և DN հատվածի հատումն է: Օգտագործելով R 1 = b 2 / (2h) բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Խնդիր 2 Լուծում. Օգտագործելով R 1 =b 2 /(2h) բանաձևը՝ շրջագծված գնդակի շառավիղը գտնելու համար մենք գտնում ենք SC և SO: SC = a / (2sin (α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Կանոնավոր քառանկյուն բուրգում հիմքի կողմը հավասար է a, իսկ գագաթի հարթության անկյունը հավասար է α-ի Գտե՛ք շրջագծված գնդակի շառավիղը R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·) Պատասխան՝ R 1 = a/(4sin(α /2) ·):

Գնդի շուրջ շրջագծված բազմանիստ Ուռուցիկ բազմանիստը կոչվում է շրջագծված, եթե նրա բոլոր երեսները դիպչում են ինչ-որ գնդիկի: Այս գունդը կոչվում է ներգրված տվյալ բազմաեզրության համար։ Ներգրված գնդիկի կենտրոնը մի կետ է, որը հավասար հեռավորության վրա է բազմանկյունի բոլոր երեսներից:

Ներգծված գնդերի կենտրոնի դիրքը Երկկողմանի անկյան կիսորդ հարթության հասկացություն: Բիսեկտոր հարթությունը այն հարթությունն է, որը երկփեղկ անկյունը բաժանում է երկու հավասար երկնիշ անկյունների։ Այս հարթության յուրաքանչյուր կետ հավասար հեռավորության վրա է երկփեղկ անկյունի երեսներից: Ընդհանուր դեպքում բազմանկյունի մեջ ներգծված գնդիկի կենտրոնը բազմանկյունի բոլոր երկանկյուն անկյունների կիսադիր հարթությունների հատման կետն է։ Այն միշտ ընկած է պոլիէդրոնի ներսում:

Գնդակի շուրջը շրջափակված բուրգ Ասում են, որ գնդակը գրված է (կամայական) բուրգում, եթե այն դիպչում է բուրգի բոլոր երեսներին (և՛ կողային, և՛ հիմքի վրա): Թեորեմ. Եթե կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը, ապա նման բուրգի մեջ կարելի է մակագրել գնդակը: Քանի որ հիմքի երկանկյուն անկյունները հավասար են, դրանց կեսերը նույնպես հավասար են, և կիսատները հատվում են բուրգի բարձրության մի կետում։ Այս կետը պատկանում է բուրգի հիմքում գտնվող բոլոր կիսադիր հարթություններին և հավասար հեռավորության վրա է բուրգի բոլոր երեսներից՝ մակագրված գնդակի կենտրոնից:

Ներծծված գնդիկի շառավիղը գտնելու բանաձև Թող SABC-ն լինի հավասար կողային եզրերով բուրգ, h-ը նրա բարձրությունն է, r-ը՝ ներգծված շրջանագծի շառավիղը: Գտնենք շրջագծված ոլորտի շառավիղը։ Թողեք SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Այնուհետև եռանկյան ներքին անկյան կիսաչափի հատկությամբ O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh / (+ r): Պատասխան՝ r 1 = rh/(+ r):

Գնդի շուրջ նկարագրված զուգահեռականի և խորանարդի թեորեմ. Գունդը կարելի է մակագրել զուգահեռ գագաթնակետին, եթե և միայն այն դեպքում, եթե զուգահեռ գագաթնակետը ուղիղ է, իսկ հիմքը՝ ռոմբ, և այս ռոմբի բարձրությունը ներգծված ոլորտի տրամագիծն է, որը. իր հերթին հավասար է զուգահեռականի բարձրությանը: (Բոլոր զուգահեռագծերից միայն շրջանագիծը կարող է մակագրվել ռոմբի մեջ) Թեորեմ. Գնդիկը միշտ կարելի է մակագրել խորանարդի մեջ: Այս ոլորտի կենտրոնը խորանարդի անկյունագծերի հատման կետն է, իսկ շառավիղը հավասար է խորանարդի եզրի երկարության կեսին։

Ֆիգուրների համակցություններ Ներգրված և շրջագծված պրիզմաներ Գլանով շրջագծված պրիզմա է պրիզմա, որի հիմքի հարթությունները մխոցի հիմքերի հարթություններն են, իսկ կողային երեսները հպվում են գլանին: Մխոցի մեջ ներգրված պրիզմա է պրիզմա, որի հիմքի հարթությունները մխոցի հիմքերի հարթություններն են, իսկ կողային եզրերը՝ գլանի գեներատորները։ Մխոցին շոշափող հարթությունը այն հարթությունն է, որն անցնում է գլանի գեներատրիցով և ուղղահայաց է այս գեներատորը պարունակող առանցքային հատվածի հարթությանը:

Ներգրված և շրջագծված բուրգեր Կոնով գրված բուրգը բուրգ է, որի հիմքը բազմանկյուն է, որը գրված է կոնի հիմքի շրջանակում, իսկ գագաթը կոնի գագաթն է: Կոնով գրված բուրգի կողային եզրերը կազմում են կոնը: Կոնի շուրջը շրջափակված բուրգը բուրգ է, որի հիմքը բազմանկյուն է, որը շրջապատված է կոնի հիմքի շուրջը, իսկ գագաթը համընկնում է կոնի գագաթի հետ։ Նկարագրված բուրգի կողային երեսների հարթությունները շոշափում են կոնի հարթությանը։ Կոնին շոշափող հարթություն է կոչվում այն ​​հարթությունը, որն անցնում է գեներատրիցով և ուղղահայաց է այս գեներատորը պարունակող առանցքային հատվածի հարթությանը:

Կազմաձևերի այլ տեսակներ Մխոցը գրվում է բուրգի մեջ, եթե դրա հիմքերից մեկի շրջանագիծը դիպչում է բուրգի բոլոր կողային երեսներին, իսկ մյուս հիմքը ընկած է բուրգի հիմքի վրա: Կոնը մակագրվում է պրիզմայի մեջ, եթե նրա գագաթը գտնվում է պրիզմայի վերին հիմքի վրա, իսկ դրա հիմքը պրիզմայի ստորին հիմքի բազմանկյան մեջ ներգրված շրջան է: Պրիզմա մակագրվում է կոնի մեջ, եթե պրիզմայի վերին հիմքի բոլոր գագաթները ընկած են կոնի կողային մակերեսի վրա, իսկ պրիզմայի ստորին հիմքը ընկած է կոնի հիմքի վրա։

Խնդիր 1 Կանոնավոր քառանկյուն բուրգում հիմքի կողմը հավասար է a-ի, իսկ հարթության անկյունը գագաթին հավասար է α-ի: Գտե՛ք բուրգի մեջ գրված գնդակի շառավիղը: Լուծում. Արտահայտենք SOK-ի կողմերը a-ով և α-ով: Լավ = a/2. SK = KC cot (α /2); SK = (a · ctg (α /2))/2. SO = = (a/2) Օգտագործելով r 1 = rh/(+ r) բանաձեւը, մենք գտնում ենք մակագրված գնդակի շառավիղը՝ r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Պատասխան՝ r 1 = (a/2)

Եզրակացություն «Պոլիեդրա» թեման ուսումնասիրում են 10-րդ և 11-րդ դասարանների աշակերտները, սակայն ուսումնական պլանշատ քիչ նյութ կա «Նկարագրված և շրջագծված բազմանիստ» թեմայով, թեև դա շատ է մեծ հետաքրքրությունուսանողները, քանի որ պոլիեդրների հատկությունների ուսումնասիրությունը նպաստում է վերացական և տրամաբանական մտածողություն, որը հետագայում մեզ օգտակար կլինի ուսման, աշխատանքի, կյանքում։ Այս շարադրանքի վրա աշխատելիս մենք ուսումնասիրեցինք բոլոր տեսական նյութերը «Նկարագրված և շրջագծված բազմանիստ» թեմայով, ուսումնասիրեցինք թվերի հնարավոր համակցությունները և սովորեցինք կիրառել ամբողջ ուսումնասիրված նյութը գործնականում: Մարմինների համակցման հետ կապված խնդիրները 11-րդ դասարանի ստերեոմետրիայի դասընթացի ամենաբարդ հարցն է։ Բայց հիմա վստահաբար կարող ենք ասել, որ նման խնդիրներ լուծելու խնդիր չենք ունենա, քանի որ մեր ժամանակ հետազոտական ​​աշխատանքմենք հաստատեցինք և ապացուցեցինք ներգծված և շրջագծված բազմանիստների հատկությունները: Շատ հաճախ ուսանողները դժվարություններ են ունենում խնդրի համար գծանկար կառուցելիս այս թեման. Բայց, իմանալով, որ գնդակի բազմանկյունության հետ կապված խնդիրների լուծման համար գնդակի պատկերը երբեմն ավելորդ է, և բավական է նշել դրա կենտրոնն ու շառավիղը, կարող ենք վստահ լինել, որ այդ դժվարությունները չենք ունենա: Այս շարադրության շնորհիվ մենք կարողացանք հասկանալ այս դժվարին, բայց շատ հետաքրքրաշարժ թեման: Հուսով ենք, որ այժմ ոչ մի դժվարություն չենք ունենա ուսումնասիրված նյութը գործնականում կիրառելու հարցում։

Գնդի մեջ ներգծված բազմանիստ Բազմայրն ասում են, որ ներգրված է գնդում, եթե նրա բոլոր գագաթները պատկանում են այս ոլորտին: Ասում են, որ գունդն ինքնին շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ: Թեորեմ. Գունդը կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջը, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել այս բուրգի հիմքի շուրջ:

Գնդի մեջ ներգրված բազմաձև թեորեմ. Գունդը կարելի է նկարագրել ուղիղ պրիզմայի մոտ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ շրջան կարելի է նկարագրել այս պրիզմայի հիմքի մոտ: Նրա կենտրոնը կլինի O կետը, որը պրիզմայի հիմքերի մոտ նկարագրված շրջանագծերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։ Գնդի R շառավիղը հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ h-ը պրիզմայի բարձրությունն է, r-ը՝ պրիզմայի հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը։

Վարժություն 3 Բուրգի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է, որի կողմը հավասար է 3-ի: Կողային եզրերից մեկը հավասար է 2-ի և ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: Գտե՛ք շրջագծված ոլորտի շառավիղը: Լուծում. Թող O լինի շրջագծված ոլորտի կենտրոնը, Q՝ հիմքի շուրջ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը, E՝ SC միջնակետը: Քառանկյուն CEOQ-ն ուղղանկյուն է, որում CE = 1, CQ = Հետեւաբար, R=OC=2: Պատասխան՝ R = 2:

Վարժություն 4 Նկարում պատկերված է SABC բուրգը, որի համար SC եզրը հավասար է 2-ի և ուղղահայաց է ABC հիմքի հարթությանը, ACB անկյունը հավասար է 90 o, AC = BC = 1: Կառուցեք ոլորտի կենտրոնը: շրջագծել այս բուրգի շուրջը և գտնել դրա շառավիղը: Լուծում. AB եզրի D միջին միջով SC-ին զուգահեռ ուղիղ գծում ենք։ SC եզրի միջին E միջով մենք գծում ենք CD-ին զուգահեռ ուղիղ գիծ: Նրանց հատման կետը O կլինի շրջագծված ոլորտի ցանկալի կենտրոնը: OCD ուղղանկյուն եռանկյունում ունենք՝ OD = CD = Պյութագորասի թեորեմով մենք գտնում ենք.

Վարժություն 5 Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյուն բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի կողային եզրերը հավասար են 1-ի, իսկ հարթության անկյունները գագաթին հավասար են 90 աստիճանի: Լուծում. SABC քառաեդրոնում ունենք՝ AB = AE = SE = OAE ուղղանկյուն եռանկյունում ունենք՝ լուծելով այս հավասարումը R-ի համար՝ մենք գտնում ենք.

Վարժություն 4 Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի հիմքում ուղղանկյուն եռանկյուն 1-ի հավասար ոտքերով և 2-ի պրիզմայի բարձրությամբ։Պատասխան՝ Լուծում։ Գնդի շառավիղը հավասար է ACC 1 A 1 ուղղանկյան A 1 C անկյունագծի կեսին: Ունենք՝ AA 1 = 2, AC = Հետևաբար, R =

Վարժություն Գտե՛ք կանոնավոր 6 անկյունային բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի եզրերը հավասար են 1-ի, իսկ կողային եզրերը՝ 2-ի: Լուծում. SAD եռանկյունը հավասարակողմ է 2-րդ կողմի հետ: Շրջագծված ոլորտի R շառավիղը հավասար է SAD եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավղին: Հետևաբար,

Վարժություն Գտե՛ք միավոր իկոսաեդրոնի շուրջ շրջագծված ոլորտի շառավիղը: Լուծում. ABCD ուղղանկյունում AB = CD = 1, BC և AD 1 կողմերով կանոնավոր հնգանկյունների անկյունագծերն են: Հետևաբար, BC = AD = Պյութագորասի թեորեմով AC = Պահանջվող շառավիղը հավասար է այս անկյունագծի կեսին, այսինքն.

Վարժություն Գտե՛ք միավոր տասներկուանիստով շրջագծված գնդի շառավիղը: Լուծում. ABCDE-ն կողքով կանոնավոր հնգանկյուն է: Ուղղանկյունում ACGF AF = CG = 1, AC և FG-ը ABCDE հնգանկյունի անկյունագծերն են և, հետևաբար, AC = FG = Պյութագորասի թեորեմով FC = Պահանջվող շառավիղը հավասար է սրա կեսին: անկյունագծային, այսինքն.

Վարժություն Նկարում պատկերված է կտրված քառաեդրոնը, որը ստացվել է եռանկյուն բուրգերի կանոնավոր քառաեդրոնի անկյունները կտրելով, որոնց երեսներն են. կանոնավոր վեցանկյուններև եռանկյուններ: Գտե՛ք գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված քառաեզրով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Վարժություն Նկարում պատկերված է կտրված ութանիստ, որը ստացվել է ութանիստի անկյուններից եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և եռանկյուններ են: Գտե՛ք կտրված ութանիստով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի եզրերը հավասար են 1-ի: Վարժություն Նկարում պատկերված է կտրված պատկերապատիկ, որը ստացվել է հնգանկյուն բուրգերի սրբապատկերի անկյունները կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և հնգանկյուններ են: Գտե՛ք մի գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված իկոսաեդրոնով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:
Զորավարժություն Նկարում պատկերված է կտրված տասներկուանիստ, որը ստացվում է եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով տասներկուանիստի անկյուններից, որոնց երեսները կանոնավոր տասնանկյուններ և եռանկյուններ են: Գտե՛ք մի գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված տասներկուանիստով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:
Վարժություն Գտե՛ք միավոր խորանարդագնդով շրջագծված գնդիկի շառավիղը: Լուծում. Հիշեցնենք, որ խորանարդիկից ստացվում է խորանարդիկ՝ կտրելով կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգեր, որոնց գագաթները գտնվում են խորանարդի գագաթներում, իսկ կողային եզրերը հավասար են խորանարդի եզրի կեսին: Եթե ​​ութանիստի եզրը հավասար է 1-ի, ապա համապատասխան խորանարդի եզրը հավասար է Շրջագծված գնդիկի շառավիղը հավասար է խորանարդի կենտրոնից մինչև նրա եզրի կեսը հեռավորությանը, այսինքն. հավասար է 1. Պատասխան՝ R = 1։

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ ավագ դպրոց №2,

Տալդիկորգան քաղաք Ն.Յու.Լոզովիչ

Հանրային դասերկրաչափության մեջ

Դասի թեման՝ «Գնդակ. ԱրձանագրվածԵվնկարագրված պոլիեդրաներ»

Դասի նպատակները.

- կրթական -ապահովել դասի ընթացքում ուսանողների սահմանումների յուրացման կրկնությունը, համախմբումը և ստուգումը գնդակԵվ ոլորտներ,և հարակից հասկացություններ ( կենտրոն, շառավիղներ, տրամագծեր,տրամագծորեն հակադիր կետեր, շոշափող հարթություններԵվ ուղիղ);ներգծված և շրջագծված բազմանիստ հասկացություններ, թեորեմների իմացություն գնդակի հարթության կտրվածքի վերաբերյալ (20.3), գնդակի համաչափության (20.4), գնդակին շոշափող հարթության վրա (20.5), երկու գնդերի հատման մասին։ (20.6), շրջագծված (փորագրված) ոլորտի կենտրոնի բուրգի կառուցման և կանոնավոր պրիզմայի շուրջ նկարագրված ոլորտի կենտրոնի կառուցման վրա.

շարունակել զարգացնել հմտություններ՝ այս գիտելիքների ամբողջ մարմինն ինքնուրույն կիրառելու փոփոխական իրավիճակներում՝ հիմնված մոդելի և ոչ ստանդարտների վրա, որոնք պահանջում են ստեղծագործական գործունեություն.

կրթական -ուսանողների մեջ սերմանել պատասխանատվություն իրենց ուսման արդյունքների համար, նպատակներին հասնելու համառություն, ինքնավստահություն, մեծ արդյունքների հասնելու ցանկություն, գեղեցկության զգացում (երկրաչափական ձևերի գեղեցկություն, խնդրի էլեգանտ, գեղեցիկ լուծում):

զարգացող -զարգացնել ուսանողների մեջ՝ հատուկ և ընդհանրացված մտածողության, ստեղծագործ և տարածական երևակայության կարողություն. ասոցիատիվություն (տարբեր կապերի վրա հենվելու ունակություն. նմանությամբ, անալոգիայով, հակադրությամբ, պատճառահետևանքով), սեփական մտքերը տրամաբանորեն և հետևողականորեն արտահայտելու ունակություն, սովորելու և զարգացման անհրաժեշտություն, դասում դրսևորման համար պայմաններ ստեղծելու ունակություն. ուսանողների ճանաչողական գործունեության մասին:

Դասի տեսակը

գիտելիքների և հմտությունների ստուգման և ուղղման դաս.

Դասավանդման մեթոդներ

Ներածական զրույց (դասի նպատակի սահմանում, սովորողների ուսումնական գործունեության դրդում, անհրաժեշտ հուզական և բարոյական մթնոլորտի ստեղծում, ուսանողներին դասում աշխատանքը կազմակերպելու հրահանգավորում):

Ճակատային հետազոտություն (ուսանողների գիտելիքների բանավոր ստուգում հիմնական հասկացությունների, թեորեմների, դրանց էությունը բացատրելու և պատճառաբանելու կարողությունների վերաբերյալ):

Հարթեցված անկախ աշխատանք՝ հիմնված գիտելիքների և հմտությունների աստիճանական բարձրացման սկզբունքի վրա, այսինքն. վերարտադրողական մակարդակից մինչև արտադրողական և ստեղծագործական մակարդակ։ Մեթոդի էությունը ուսուցչի կողմից մշտապես վերահսկվող և խրախուսվող ուսանողների անհատական ​​ինքնուրույն աշխատանքն է:

Ուսումնական տեսողական միջոցներ

Ստերեոմետրիկ մոդելներ երկրաչափական մարմիններ, պաստառներ, գծագրեր, ֆլեշ քարտեր անհատական ինքնուրույն աշխատանք.

Թարմացնել

ա) Հիմնական գիտելիքներ.

Անհրաժեշտ է ակտիվացնել հասկացությունները՝ շրջանագծին շոշափող, շրջանագծով ներգծված ուռուցիկ բազմանկյուններ և շրջանագծով շրջագծված, պլանաչափությունից կանոնավոր բազմանկյունների համար ներգծված և շրջագծված շրջանակների շառավիղների հաշվարկ; 10-րդ դասարանից՝ հարթության նկատմամբ համաչափության սահմանումը, կետի, առանցքի (ուղիղ) և հարթության նկատմամբ համաչափ թվերի հասկացությունը։

բ) շարժառիթներ ձևավորելու և հետաքրքրություն առաջացնելու ուղիները.

Մեջ ներածական զրույցապահովել, որ ուսանողները հասկանան նպատակը, գիտակցեն դրան հասնելու իրենց անձնական հետաքրքրությունը, բացահայտեն նպատակի իմաստը ուսանողների համար, ընդգծեն այս թեմայի նշանակությունը ոչ միայն ինքնին, այլև դրա քարոզչական բնույթը հաջորդ թեման ուսումնասիրելու համար, հագեցնեն դաս հուզական բնույթի նյութով (երկրաչափական ձևերի գեղեցկությունը, օճառի փուչիկները, Երկիրը և Լուսինը); ընդգծում է անկախ աշխատանքի մակարդակային բնույթը. սա մի կողմից կապահովի ուսումնասիրվող նյութի բարձր գիտական ​​մակարդակ, իսկ մյուս կողմից՝ մատչելիություն, ուսանողների տեսակետն այն է, որ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի մանկավարժական աջակցության իրավունք ( «ապահովագրություն») երեխայի իրական կամ պոտենցիալ խնդիրների բացահայտման, վերլուծության, դրանցից հնարավոր ելքի համատեղ ձևավորման համար. վարկանիշային համակարգգիտելիքների գնահատումը լրացուցիչ խթան է երեխաների համար:

գ) աշխատանքի ընթացքի մոնիտորինգի, փոխադարձ վերահսկողության ձեւերը. Փոխադարձ հսկողություն (տետրերի փոխանակում) իրականացվում է այն բանից հետո, երբ ուսանողները ավարտել են ինքնուրույն աշխատանքի 1-ին (աշակերտի) մակարդակի առաջին մասը՝ ուսանողների գրավոր պատասխանները ուսուցչի բանավոր հարցերին (մաթեմատիկական թելադրություն):

Նոթատետրերը փոխանակելուց հետո բոլոր ճիշտ պատասխանները բարձրաձայն արտաբերվում են (հնարավորության դեպքում օգտագործվում են տեսողական միջոցներ՝ ստերեոմետրիկ մարմինների մոդելներ, գծագրեր, պաստառներ): Այնուհետև տղաները անցնում են ինքնուրույն աշխատանքի առաջին մասի վարկանիշային գնահատմանը. ճիշտ ամբողջական պատասխանին տրվում է 1 միավոր, եթե կան աննշան մեկնաբանություններ, ապա՝ 0,5 միավոր, հակառակ դեպքում՝ 0 միավոր։ Յուրաքանչյուր աշակերտի հավաքած միավորների քանակը գրատախտակին գրանցվում է ուսուցչի կողմից: Որից հետո տղաները սկսում են աշխատել անհատական ​​քարտերի վրա: Նրանք, ովքեր կատարել են 1-ին մակարդակի առաջադրանքները և ստացել ուսուցչի կողմից տրված համաձայնությունը, անցնում են հաջորդ մակարդակի առաջադրանքը կատարելուն: Խնդիրը լուծելու հաջողությունը չպետք է մնա առանց ուշադրության, խրախուսանքի և գովասանքի: Միևնույն ժամանակ, ուսուցիչը ուղղիչ աշխատանք է կատարում. հասկանալով աշակերտի ուժեղ և թույլ կողմերը, նա օգնում է նրան ապավինել սեփական ուժերին և լրացնում է նրան, որտեղ աշակերտը, որքան էլ նա ջանա, օբյեկտիվորեն չի կարողանում ինչ-որ բան հաղթահարել:

Գործողությունը ստուգելիս օգտագործվում է հետևյալ նշագրման համակարգը.

Խնդիրը լուծված չէ.

Խնդիրը լուծված չէ, բայց աշխատանքում կան ողջամիտ նկատառումներ.

Միայն պատասխան է տրվում այն ​​խնդրին, որտեղ մեկ պատասխանն ակնհայտորեն բավարար չէ.

± - խնդիրը լուծված է, բայց լուծումը պարունակում է աննշան բացթողումներ և անճշտություններ.

Խնդիրն ամբողջությամբ լուծված է.

+ – խնդրի լուծումը պարունակում է անսպասելի վառ գաղափարներ։

Մեծ նշանակությունկցվում է երեխաների գործունեության բաց հաշվառման թերթիկին, որը լրացվում է անկախ աշխատանքի ավարտին:

Սա ապահովում է ուսանողների գիտելիքները դասարանում գնահատելու անփոխարինելի պայմանները՝ օբյեկտիվություն, արդյունավետություն, բարի կամք և թափանցիկություն։

Ես մակարդակում եմ

Մաթեմատիկական թելադրություն.

1) Ես տարբերակ.Ի՞նչ հատկություն ունեն գնդում ներգծված բազմանկյունի բոլոր գագաթները:

II տարբերակ.Ի՞նչ հատկություն ունի գնդում գրված բազմանկյունի յուրաքանչյուր դեմք:

2) Ես տարբերակ.Եթե ​​մի գունդ կարելի է նկարագրել ինչ-որ պոլիէդրոնի շուրջ, ապա ինչպե՞ս կարելի է կառուցել դրա կենտրոնը:

II տարբերակ. ՄԱՍԻՆՔանի՞ զուգահեռաչափ կարող է օգտագործվել գունդը նկարագրելու համար: Բացատրեք ձեր պատասխանը:

3) Ես տարբերակ.Որտեղ է գտնվում ճիշտ մասին նկարագրված ոլորտի կենտրոնը Պ- ածխածնային պրիզմա՞:

II տարբերակ.Որտե՞ղ է նկարագրված ոլորտի կենտրոնը կանոնավոր բուրգի շուրջը:

4) Ես տարբերակ.Ինչպե՞ս կառուցել կանոնավոր n-անկյունային բուրգի մեջ ներգծված գնդիկի կենտրոնը:

// տարբերակ.Հնարավո՞ր է գունդ տեղավորել որևէ կանոնավոր պրիզմայի մեջ:

Տարբերակ I

Ես մակարդակում եմ

Գնդիկի շառավիղը 6 սմ է, շառավիղի ծայրով հարթություն է գծվում նրա նկատմամբ 60° անկյան տակ։ Գտեք խաչմերուկի տարածքը:

Մակարդակ II

Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա է մակագրված 5 սմ շառավղով գնդում, պրիզմայի հիմքի եզրը 4 սմ է, գտե՛ք պրիզմայի բարձրությունը։

Մակարդակ III

Հաշվե՛ք 4 սմ եզրով կանոնավոր քառաեդրոնի մեջ գրված գնդիկի շառավիղը։

IV մակարդակ

R շառավղով գունդը գրված է կտրված կոնի մեջ։ Գեներատրիքսի թեքության անկյունը կոնի ստորին հիմքի հարթության նկատմամբ հավասար է Ա.Գտե՛ք հիմքերի շառավիղները և կտրված կոնի գեներատրիքսը:

Տարբերակ II

Ես մակարդակում եմ

Գնդը, որի շառավիղը 10 սմ է, հատվում է հարթությամբ կենտրոնից 6 սմ հեռավորության վրա։ Գտեք խաչմերուկի տարածքը:

Մակարդակ II

Գտե՛ք 4 սմ կողմ ունեցող մի խորանարդով շրջագծված գնդիկի շառավիղը:

Մակարդակ III.

Ա.Գտե՛ք շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

IV մակարդակ

R շառավղով գունդը գրված է կտրված կոնի մեջ։ Գեներատրիցայի թեքության անկյունը կոնի ստորին հիմքի հարթության նկատմամբ հավասար է a. Գտե՛ք հիմքերի շառավիղները և կտրված կոնի գեներատրիքսը:

Ш տարբերակ

Ես մակարդակում եմ

Գնդիկի շառավիղի միջով գծված է դրան ուղղահայաց հարթություն: Ինչպե՞ս է մեծ շրջանի տարածքը կապված ստացված խաչմերուկի տարածքի հետ:

Մակարդակ II

Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմա է մակագրված 4 սմ շառավղով գնդում, պրիզմայի հիմքի եզրը 3 սմ է, գտե՛ք պրիզմայի բարձրությունը։

Մակարդակ III

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգում հիմքի կողմը 4 սմ է, իսկ գագաթի հարթության անկյունը՝ Ա.Գտե՛ք ներգծված ոլորտի շառավիղը:

IV մակարդակ

R շառավղով գնդիկի մեջ գրված է հարթ անկյուններով կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգ Աիր գագաթին: Գտեք բուրգի բարձրությունը:

IV տարբերակ

Ի մակարդակ

Գնդակի մակերեսին տրվում է երեք միավոր։ Նրանց միջև ուղիղ գծային հեռավորությունները 6 սմ, 8 սմ, 10 սմ են, գնդակի շառավիղը 11 սմ է, գտե՛ք գնդակի կենտրոնից մինչև այս կետերով անցնող հարթությունը։

II մակարդակ

Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա է մակագրված 5 սմ շառավղով գնդում, պրիզմայի հիմքի եզրը 3 սմ է։Գտե՛ք տեխնիկայի բարձրությունը։

Ш մակարդակ

Գտե՛ք կանոնավոր n-անկյունային բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, եթե հիմքի կողմը 4 սմ է, իսկ կողային եզրը թեքված է հիմքի հարթությանը անկյան տակ։ Ա.

IV մակարդակ

Կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգն իր գագաթին հարթ անկյուններով a գծագրված է R շառավղով գնդիկի մեջ: Գտեք բուրգի բարձրությունը:

Դասի ամփոփում

Անկախ աշխատանքի արդյունքները հայտարարվում և վերլուծվում են։ Ուսանողներ, ովքեր կարիք ունեն ուղղիչ աշխատանք, հրավիրվում են ուղղիչ դասերի։

Սահմանել Տնային աշխատանք(անհրաժեշտ մեկնաբանություններով)՝ բաղկացած պարտադիր և փոփոխական մասերից։

Պարտադիր մաս՝ 187 - 193-րդ կետեր - կրկնել; Թիվ 44,45,39

Փոփոխական մաս թիվ 35