Ամենահայտնի թվային համակարգերը. Թվային համակարգեր. Ոչ դիրքային թվային համակարգեր. Այբբենական թվային համակարգեր

Ամեն ինչ կախված է կոնկրետ թվային համակարգից:

Տասնորդական թվերի համակարգը ակնհայտորեն օգտագործվում է գրեթե ամենուր:

Հռոմեական թվային համակարգ ժամանակակից աշխարհօգտագործվում է ամենից հաճախ, երբ ցանկանում եք նշել թիվը հերթականությամբ: Օրինակ, «10» նշանակում է քանակ (տասը կտոր), իսկ հռոմեական «X» նշանակում է «տասանորդ»:

Երկուական թվային համակարգը համակարգիչներում ամենաշատ կիրառվողն է, քանի որ երկուական թվի մեկ նիշը համապատասխանում է մեկ բիթին՝ համակարգչային տեխնոլոգիայի տեղեկատվության նվազագույն միավորին:

Նաև երկուական թվային համակարգը ավանդաբար օգտագործվում է գծային չափերը դյույմներով նշելիս, օրինակ՝ 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″: Հենց առաջինը հայտնի օգտագործումըԵրկուական թվային համակարգը, հավանաբար, պատկանում է հին հնդիկ մաթեմատիկոս Պինգալային (մոտավորապես մ.թ.ա. 2-5-րդ դդ.):

Տասնվեցական թվային համակարգը լայնորեն կիրառվում է ցածր մակարդակի ծրագրավորման, ինչպես նաև համակարգչային փաստաթղթերում: Ժամանակակից համակարգիչներում հիշողության նվազագույն միավորը 8-բիթանոց բայթն է, որի արժեքները հարմար գրված են երկու տասնվեցական թվանշաններով: Այս օգտագործումը սկսվեց IBM/360 համակարգից, որտեղ բոլոր փաստաթղթերում օգտագործվում էր տասնվեցական թվային համակարգը:

Օկտալ թվային համակարգով ամեն ինչ հետաքրքիր է։ Այն օգտագործվում էր, օրինակ, որոշ ամերիկացի հնդկացիների կողմից, քանի որ նրանք կարծում էին, որ քանակները պետք է հաշվել ոչ թե մատների քանակով, այլ մատների միջև եղած բացատներով։

1716 թվականին Եվրոպայում Շվեդիայի թագավոր Չարլզ XII-ը Էմմանուել Սվեդենբորգին խնդրեց մշակել 64 նիշանոց թվային համակարգ, ինչին ի պատասխան Էմմանուել Սվեդենբորգը նշեց, որ հասարակ մարդիկ, ովքեր այնքան բարձր ինտելեկտով չեն, որքան թագավորը, դժվարությամբ կհասկանան այդքան մեծ թվային համակարգը։ հիմքը և առաջարկվում է օգտագործել, հետևաբար, օկտալ թվային համակարգը: Հետաքրքիր կլիներ իմանալ, թե ինչու Չարլզ XII-ն ընտրեց հենց այս հիմնադրամը:

Նաև օկտալային թվային համակարգը երբեմն օգտագործվում է համակարգիչներում, ըստ երևույթին, ամենից հաճախ Unix-ի նման թույլտվությունները որոշելիս: օպերացիոն համակարգեր. Մի ժամանակ կային համակարգիչներ, որոնք օգտագործում էին 24 և 36 բիթանոց բառեր: Նման համակարգիչներում շատ հարմար էր օգտագործել օկտալ թվային համակարգը, քանի որ բառի բոլոր բիթերը կարող էին ներկայացվել ամբողջ թվով ութնիշ թվերով, և կարիք չկար սկզբում միշտ ավելացնել աննշան զրո բիթ: Օրինակ, 36-բիթանոց բառը պահանջում է ուղիղ 12 օկտալ թվանշան:

Մեր դիսկրետ մաթեմատիկայի դասընթացում մենք ուսումնասիրում ենք օկտալ համակարգը, քանի որ այն այն համակարգերից է, որոնց մենք կարող ենք ուղղակիորեն փոխարկել երկուական թվային համակարգից՝ շրջանցելով տասնորդական թվային համակարգը:

«Sexagesimal» թվային համակարգը լայնորեն օգտագործվում է րոպեների և վայրկյանների հաշվարկման ժամանակ: Սեռասիմալ համակարգի ծագումը պարզ չէ: Հավանաբար դա կապված է տասներկումատնյա թվերի համակարգի հետ (60 = 5 × 12, որտեղ 5-ը ձեռքի մատների թիվն է): Գոյություն ունի նաև Օ.Նոյգեբաուերի (1927թ.) վարկածը, որ աքքադականների կողմից շումերական պետության գրավումից հետո այնտեղ երկար ժամանակ գոյություն են ունեցել միաժամանակ երկու դրամական միավոր՝ շեքելը (շեքել) և մինա, և դրանց հարաբերակցությունը սահմանվել է 1 մինա։ = 60 շեքել։ Հետագայում այս բաժանումը սովորական դարձավ և առաջացրեց ցանկացած թվերի գրանցման համապատասխան համակարգ։

Հնարավո՞ր է տասնվեցական թվային համակարգում թվի սկզբին զրոներ ավելացնել:

Բոլոր դիրքային թվային համակարգերի բոլոր կանոնները նույնն են: Տասնորդական թվային համակարգում թույլատրվում է սկզբում ավելացնել աննշան զրոներ, իսկ վերջում՝ տասնորդական կետից հետո։ Նույն կերպ աննշան զրոներ կարող են գումարվել ցանկացած այլ դիրքային թվային համակարգում։

Ի՞նչ նշաններ են օգտագործվում 25-ական թվային համակարգում թիվ գրելու համար:

Տասնվեցական թվային համակարգը բավականին տարածված թվային համակարգ է: Այս թվային համակարգի համար կա ստանդարտ՝ 9-ից մեծ թվերը գրվում են լատինական այբուբենի տառերով՝ A-ից մինչև F:

10-ից մեծ բազա ունեցող բոլոր դիրքային թվային համակարգերը սովորական չեն և դրանց համար գրանցման չափանիշ չկա: Բայց, անալոգիայով, այս թվային համակարգերում հարմար կլինի օգտագործել նաև լատինական այբուբենի տառերը։

Մասնավորապես, 25-ամյա թվային համակարգում առաջին 10 նիշերը համընկնում են տասնորդական թվային համակարգի թվերի հետ՝ 0-ից 9-ը, իսկ մնացած 15-ը կոդավորված են լատինատառ այբուբենի A-ից մինչև O տառերով: Նույն կանոնները: կիրառել այլ դիրքային թվային համակարգեր:

Բայց ի՞նչ կարելի է ասել թվային համակարգի մասին, որի համար լատինական այբուբենի բավարար տառերը չկան:

Այս ոլորտում համընդհանուր ստանդարտ չկա: Բացառությամբ քիչ թե շատ օգտագործվող թվային համակարգերի դեպքերի։

Եթե ​​դուք պետք է աշխատեք նման թվային համակարգով, ապա կա՛մ պահպանեք այն կանոնները, որոնք ստեղծել են ուրիշները (եթե որևէ մեկը օգտագործում է այդպիսի թվային համակարգ), կա՛մ եկեք ձեր սեփական կանոններով:

Գործնականում մեծ բազա ունեցող նման թվային համակարգի օրինակ է վայրկյանների և րոպեների հաշվման 60 նիշանոց թվային համակարգը: Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես է գրանցվում ժամանակը։ Օրինակ, «34:17» գրառումը, որը նշանակում է «34 րոպե 17 վայրկյան», իրականում երկու թվանշաններով գրված սեքսուալ թվանշան է:

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ թվերը տասնորդականից բացի այլ թվային համակարգերում:

Ընդհանրապես, նման թվերը ճիշտ կարդալու չափանիշ չկա։

Խստորեն ասած, 20 8 անվանել «քսան» բառը լիովին ճիշտ չէ, քանի որ բոլորը գիտեն, որ «քսան» նշանակում է «տասնյակ», իսկ օկտալ թվային համակարգում այս երկուսը նշանակում է ոչ թե տասնյակների, այլ ութերի թիվը: Այս թիվը հավանաբար ճիշտ կկարդա որպես «երկու զրո», բայց սա չափանիշ չէ։

Տասնվեցական թվային համակարգն օգտագործելիս տառերն արտասանվում են այնպես, ինչպես սովորաբար արտասանվում են լատինական այբուբենում` «Ա», «Բե», «Ցե», «Դե», «Է», «Էֆ»: 1E3.F 16 թիվը սովորաբար արտասանվում է այսպես՝ «մեկ և երեք կետ էֆ»:

Այնուամենայնիվ, եթե թիվը օգտագործում է միայն տասնորդական թվանշաններ, թվերը հաճախ կարդացվում են այնպես, կարծես դրանք գրված են տասնորդական նշումով: Օրինակ, «517.5 8»-ը կարելի է արտասանել որպես «հինգ հարյուր տասնյոթ կետ հինգ ութնյակային նշումով»: Հավանաբար, ավելի ճիշտ կլինի ասել «հինգ հարյուր տասնյոթ կետ հինգ ութերորդ ութնյակային թվերի համակարգում», բայց այս դեպքում ոմանք կարող են շփոթված լինել, թե ինչպես գրել «հինգ ութերորդ»:

Երբեմն թվի մասերը անվանվում են տարբեր կանոններով։ Օրինակ, այսպես. «հինգ հարյուր տասնյոթ կետ հինգ ութնյակային թվերի համակարգում»: Այս ոլորտում էլ, կարծես թե, դեռ ստանդարտ չկա։

Կարծում եմ, որ թվերն արտասանելիս ամենակարեւորն այն է, որ ուրիշները հասկանան, թե ինչ նկատի ունես։

Ինչպե՞ս հիշել երկուական թվերի և ութնյակային և տասնվեցական թվերի համապատասխանության աղյուսակը:

Այս աղյուսակը կարող եք հիշել միայն փորձառությամբ՝ անդրադառնաք նրան բազմիցս, և որոշ ժամանակ անց անգիր կիմանաք։

Բայց ձեզ հարկավոր չէ անգիր անել այս աղյուսակը: Այնքան հեշտ է համապատասխանությունը որոշելը, որ ես նույնիսկ չեմ կարող վստահ լինել՝ անգիր հիշում եմ այս աղյուսակը, թե ամեն անգամ հաշվարկում եմ այն: Համապատասխանությունը որոշելու համար հարկավոր է իմանալ միայն մի քանի շատ պարզ բաներ.

Մեկ տասնվեցական թվանշանը համապատասխանում է 4 երկուական թվի, իսկ մեկ ութնիշը համապատասխանում է 3 երկուական թվի: Սա հեշտ է հիշել, քանի որ 2 4 = 16, և 2 3 = 8:

Դուք պետք է սովորեք մտավոր փոխակերպել թվերը 0-ից 7-ը՝ օկտալ թվային համակարգից տասնորդական թվային համակարգին և հակառակը: Սա շատ բարդ գործողություն է, միայն հրաշամանուկները կարող են դա անել իրենց մտքում։ Եթե ​​դուք հրաշամանուկ չեք, կարող եք պարզապես հիշել, որ 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6, իսկ 7-ը հավասար է 7-ի:

Դուք պետք է սովորեք մտավոր փոխակերպել թվերը 0-ից 15 տասնորդական թվային համակարգից տասնվեցականի: Սա շատ պարզ է, քանի որ 0-ից 9 թվերը համընկնում են, իսկ 10-ից 15 թվերը համապատասխանում են լատինատառ այբուբենի A-ից F-ի տառերին: Դուք կարող եք ամեն անգամ հաշվել ձեր գլխում (10-ը A է, 11-ը՝ B): , 12-ը C է և այլն)

Ամենադժվարը սովորելն է։ Բայց միայն այս հմտությունը ընդգրկում է սեղանի զգալի մասը:

Այժմ դուք կարող եք հեշտությամբ փոխարկել ցանկացած թիվ 0-ից 15-ը երկուականից տասնորդականի, այնուհետև տասնվեցականի կամ ութնյակի: Կամ դուք կարող եք անել հակառակը:

Թվերը փոխարկելու համար դուք պետք է կարողանաք կատարել երկար բաժանում: Ինչ անել, եթե ես չգիտեմ, թե ինչպես անել երկար բաժանումը:

Այստեղ ներկայացված տեսական նյութը ենթադրում է, որ դուք ունեք որոշակի հմտություններ։ Եթե ​​դուք դեռ չունեք այս նվազագույն հմտությունները, ապա հասկանալու համար, թե ինչ է գրված այստեղ, իմաստ ունի նախ ձեռք բերել այս պարզ հմտությունները:

Այստեղ ներկայացված ամբողջ տեսական նյութը հասկանալու համար ձեզ հարկավոր է.

Հասկացեք, թե ինչ է թիվն սկզբունքորեն:

Եկեք նայենք համակարգչային գիտության ամենակարևոր թեմաներից մեկին. IN դպրոցական ծրագիրայն բացահայտվում է բավականին «համեստ»՝ ամենայն հավանականությամբ դրան հատկացված ժամերի սղության պատճառով։ Գիտելիք այս թեմայի վերաբերյալ, հատկապես թվային համակարգերի թարգմանություն, հաջողության նախապայման են միասնական պետական ​​քննություն հանձնելըև ընդունելություն համապատասխան ֆակուլտետներում: Ստորև մենք մանրամասնորեն քննարկում ենք այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են դիրքային և ոչ դիրքային թվային համակարգեր, բերված են այս թվային համակարգերի օրինակներ, ամբողջ տասնորդական թվերի թարգմանության կանոններ՝ ճիշտ տասնորդականներև խառը տասնորդական թվեր ցանկացած այլ թվային համակարգի, թվերի փոխակերպում ցանկացած թվային համակարգից տասնորդականի, ութնյակ և տասնվեցական թվային համակարգերից երկուական թվային համակարգի փոխակերպում: Քննությունների ժամանակ այս թեմայով շատ խնդիրներ կան։ Դրանք լուծելու կարողությունը դիմորդների պահանջներից մեկն է։ Շուտով. բաժնի յուրաքանչյուր թեմայի համար, բացի մանրամասն տեսական նյութից, կներկայացվեն գրեթե բոլոր հնարավոր տարբերակները. առաջադրանքներՀամար ինքնուրույն ուսումնասիրություն. Բացի այդ, դուք հնարավորություն կունենաք ամբողջովին անվճար ներբեռնել պատրաստիները ֆայլերի հոսթինգ ծառայությունից։ մանրամասն լուծումներայս առաջադրանքներին՝ նկարազարդելով տարբեր ձևերովստանալով ճիշտ պատասխան:

դիրքային թվային համակարգեր.

Ոչ դիրքային թվային համակարգեր- թվային համակարգեր, որոնցում թվանշանի քանակական արժեքը կախված չէ թվի մեջ դրա գտնվելու վայրից:

Ոչ դիրքային թվային համակարգերը ներառում են, օրինակ, հռոմեական, որտեղ թվերի փոխարեն լատինատառեր են։

Այստեղ V տառը նշանակում է 5՝ անկախ գտնվելու վայրից: Այնուամենայնիվ, հարկ է նշել, որ թեև հռոմեական թվային համակարգը ոչ դիրքային թվային համակարգի դասական օրինակ է, այն ամբողջովին ոչ դիրքային չէ, քանի որ. Նրանից հանվում է մեծի դիմաց գտնվող փոքր թիվը.

դիրքային թվային համակարգեր.

Դիրքային թվերի համակարգեր- թվային համակարգեր, որոնցում թվանշանի քանակական արժեքը կախված է թվի մեջ նրա գտնվելու վայրից:

Օրինակ, եթե խոսենք տասնորդական թվային համակարգի մասին, ապա 700 թվի մեջ 7 թիվը նշանակում է «յոթ հարյուր», բայց նույն թիվը 71-ում նշանակում է «յոթ տասնյակ», իսկ 7020 թվի մեջ՝ «յոթ հազար»: .

Յուրաքանչյուրը դիրքային թվային համակարգունի իր սեփականը հիմք. Որպես հիմք ընտրվում է երկուից մեծ կամ հավասար բնական թիվ։ Այն հավասար է տվյալ թվային համակարգում օգտագործվող թվանշանների թվին։

Օրինակ:
• Երկուական- դիրքային թվային համակարգ 2-րդ հիմքով:
• Չորրորդական- դիրքային թվային համակարգ 4-րդ հիմքով:
• Հինգապատիկ- դիրքային թվային համակարգ 5-րդ հիմքով:
• Օկտալ- դիրքային թվային համակարգ 8-րդ հիմքով:
• Տասնվեցական- դիրքային թվային համակարգ 16 հիմքով:

«Թվային համակարգեր» թեմայի խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար ուսանողը պետք է անգիր իմանա մինչև 16 10 երկուական, տասնորդական, ութնյակ և տասնորդական թվերի համապատասխանությունը.

Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես են թվերը ստացվում այս թվային համակարգերում: Դուք կարող եք կռահել, որ ութնյակային, տասնվեցական, եռյակային և այլն դիրքային թվային համակարգերամեն ինչ տեղի է ունենում այնպես, ինչպես տասնորդական համակարգը, որին մենք սովոր ենք.

Թվերին գումարվում է մեկը և ստացվում է նոր թիվ։ Եթե ​​միավորների տեղը հավասարվում է թվային համակարգի հիմքին, ապա տասնյակների թիվը մեծացնում ենք 1-ով և այլն։

Այս «մեկի անցումը» հենց այն է, ինչը վախեցնում է ուսանողների մեծամասնությանը: Իրականում ամեն ինչ բավականին պարզ է. Անցումը տեղի է ունենում, եթե միավորների թվանշանը դառնում է հավասար թվային բազա, մենք տասնյակների թիվը ավելացնում ենք 1-ով: Շատերը, հիշելով հին լավ տասնորդական համակարգը, անմիջապես շփոթվում են այս անցումային թվանշանների հետ, քանի որ տասնորդական և, օրինակ, երկուական տասնյակները տարբեր բաներ են:

Այսպիսով, հնարամիտ ուսանողները զարգացնում են «իրենց սեփական մեթոդները» (զարմանալիորեն... աշխատում են), օրինակ, ճշմարտության աղյուսակները լրացնելիս, որոնց առաջին սյունակները (փոփոխական արժեքները), ըստ էության, լցված են երկուական թվերով՝ աճման կարգով։

Օրինակ, եկեք նայենք թվերի մուտքագրմանը օկտալ համակարգԱռաջին թվին (0) ավելացնում ենք 1, ստանում ենք 1։ Հետո 1-ին գումարում ենք 1, ստանում ենք 2 և այլն։ 7-ին. Եթե 7-ին գումարենք մեկ, ապա կստանանք թվային համակարգի հիմքին հավասար թիվ, այսինքն. 8. Այնուհետեւ պետք է տասնյակների տեղը մեկով ավելացնել (ստացվում է ութնյակը՝ 10)։ Հաջորդը, ակնհայտորեն, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 թվերն են։

Մի թվային համակարգից մյուսը փոխարկելու կանոններ.

1 Ամբողջ թվային տասնորդական թվերի փոխակերպում ցանկացած այլ թվային համակարգի:

Թիվը պետք է բաժանվի նոր թվային համակարգի բազա. Բաժանման առաջին մնացորդը նոր թվի առաջին փոքր թվանշանն է: Եթե ​​բաժանման գործակիցը փոքր է կամ հավասար է նոր հիմքին, ապա այն (քանակը) պետք է նորից բաժանվի նոր հիմքի վրա։ Բաժանումը պետք է շարունակել այնքան ժամանակ, մինչև ստանանք նոր հիմքից պակաս գործակից։ Սա նոր թվի ամենաբարձր թվանշանն է (պետք է հիշել, որ, օրինակ, տասնվեցական համակարգում 9-ից հետո տառեր կան, այսինքն, եթե մնացորդը 11 է, ապա պետք է այն գրել որպես B):

Օրինակ («բաժանում ըստ անկյունի»). Եկեք 173 10 թիվը փոխարկենք օկտալային թվային համակարգի:

Այսպիսով, 173 10 = 255 8

2 Կանոնավոր տասնորդական կոտորակների փոխակերպում ցանկացած այլ թվային համակարգի:

Թիվը պետք է բազմապատկվի նոր թվային համակարգի բազայի վրա: Ամբողջ թվանշան դարձած թվանշանը նոր թվի կոտորակային մասի ամենաբարձր թվանշանն է։ Հաջորդ թվանշանը ստանալու համար ստացված արտադրյալի կոտորակային մասը կրկին պետք է բազմապատկվի թվային համակարգի նոր հիմքով, մինչև կատարվի անցում դեպի ամբողջ մաս: Բազմապատկումը շարունակում ենք այնքան ժամանակ, մինչև կոտորակային մասը հավասարվի զրոյի, կամ մինչև հասնենք խնդրի մեջ նշված ճշտությանը («...հաշվիր, օրինակ, երկու տասնորդական թվի ճշգրտությամբ»):

Օրինակ՝ 0,65625 10 թիվը փոխարկենք օկտալ թվային համակարգի։

Նշում թվեր գրելու միջոց է։ Սովորաբար թվերը գրվում են հատուկ նիշերի միջոցով՝ թվեր (թեև ոչ միշտ): Եթե ​​դուք երբեք չեք սովորել այս հարցը, ապա գոնե պետք է իմանաք երկու թվային համակարգ՝ արաբերեն և հռոմեական։ Առաջինն օգտագործում է 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 թվերը և դիրքային թվային համակարգ է։ Իսկ երկրորդում՝ I, V, X, L, C, D, M և սա ոչ դիրքային թվային համակարգ է։

Դիրքային թվային համակարգերում թվի թվանշանով նշանակված մեծությունը կախված է նրա դիրքից, իսկ ոչ դիրքային թվային համակարգերում՝ ոչ։ Օրինակ:

11 - այստեղ առաջին միավորը նշանակում է տասը, իսկ երկրորդը `1:
II - այստեղ երկու միավորները նշանակում են մեկը:

345, 259, 521 - այստեղ 5 թիվը առաջին դեպքում նշանակում է 5, երկրորդում՝ 50, իսկ երրորդում՝ 500։

XXV, XVI, VII - այստեղ, որտեղ էլ որ լինի V թիվը, այն միշտ նշանակում է հինգ միավոր: Այլ կերպ ասած, V նշանով նշված մեծությունը կախված չէ իր դիրքից։

Գումարը, բազմապատկումը և այլ մաթեմատիկական գործողություններ ավելի հեշտ են կատարել դիրքային թվային համակարգերում, քան ոչ դիրքային, քանի որ. մաթեմատիկական գործողությունները կատարվում են պարզ ալգորիթմների միջոցով (օրինակ՝ բազմապատկում սյունակով, երկու թվերի համեմատություն)։

Դիրքային թվային համակարգերը ամենատարածվածն են աշխարհում։ Բացի տասնորդական համակարգից, որը բոլորին ծանոթ է մանկուց (որն օգտագործում է 0-ից 9-ը տասը նիշ), տեխնոլոգիայում լայնորեն կիրառվում են թվային համակարգեր, ինչպիսիք են երկուական (օգտագործվում են 0 և 1 թվերը), օկտալ և տասնվեցական:

Պետք է նշել զրոյի կարևոր դերը. Մարդկության պատմության մեջ այս թվի «հայտնաբերումը» մեծ դեր է խաղացել դիրքային թվային համակարգերի ձևավորման գործում։

Թվային համակարգի հիմքը թվանշանների թիվն է, որն օգտագործվում է թվեր գրելու համար:

Տեղը թվի դիրքն է։ Թվի թվանշանի հզորությունը թվանշանների քանակն է, որոնք կազմում են թիվը (օրինակ՝ 264-ը եռանիշ թիվ է, 00010101-ը՝ ութանիշ թիվ)։ Թվերը համարակալված են աջից ձախ (օրինակ՝ 598 թվի մեջ ութը զբաղեցնում է առաջին թվանշանը, իսկ հինգը՝ երրորդը)։

Այսպիսով, դիրքային թվային համակարգում թվերը գրվում են այնպես, որ յուրաքանչյուր հաջորդ (աջից ձախ շարժում) թվանշանը մյուսից մեծ է թվային համակարգի հիմքի հզորությամբ։ (կատարեք գծապատկեր)

Նույն թիվը (արժեքը) կարող է ներկայացված լինել տարբեր թվային համակարգերում: Թվի ներկայացումը տարբեր է, բայց իմաստը մնում է անփոփոխ։

Երկուական թվային համակարգ

IN երկուական համակարգհամարակալումն օգտագործում է միայն երկու թվանշան՝ 0 և 1: Այլ կերպ ասած, երկուսը երկուական թվային համակարգի հիմքն է: (Նմանապես, տասնորդական համակարգը ունի 10 հիմք):

Որպեսզի սովորենք հասկանալ թվերը երկուական թվային համակարգում, նախ մտածեք, թե ինչպես են թվերը ձևավորվում մեզ ծանոթ տասնորդական թվային համակարգում:

Տասնորդական թվային համակարգում մենք ունենք տասը նիշ (0-ից մինչև 9): Երբ հաշվարկը հասնում է 9-ի, ներմուծվում է նոր թվանշան (տասնյակ), թվերը զրոյացվում են և հաշվումը նորից սկսվում է: 19-ից հետո տասնյակների թվանշանն ավելանում է 1-ով, և միավորները կրկին զրոյացվում են: Եվ այսպես շարունակ։ Երբ տասնյակները հասնում են 9-ի, ապա հայտնվում է երրորդ թվանշանը՝ հարյուրավորները։

Երկուական թվային համակարգը նման է տասնորդական թվային համակարգին, բացառությամբ, որ թվի ձևավորման մեջ ներգրավված են միայն երկու թվանշաններ՝ 0 և 1։ Հենց որ թվանշանը հասնում է իր սահմանին (այսինքն՝ մեկին), հայտնվում է նոր թվանշան, և հինը զրոյացված է:

Փորձենք հաշվել երկուական համակարգում.
0-ը զրո է
1-ը մեկն է (և դա լիցքաթափման սահմանն է)
10-ը երկուսն է
11-ը երեքն է (և դա կրկին սահմանն է)
100-ը չորս է
101 - հինգ
110 - վեց
111 - յոթ և այլն:
Թվերը երկուականից տասնորդականի վերածելը

Դժվար չէ նկատել, որ երկուական թվային համակարգում թվերի երկարությունը արագորեն մեծանում է արժեքների մեծացմանը զուգընթաց: Ինչպե՞ս որոշել, թե դա ինչ է նշանակում՝ 10001001: Անսովոր թվեր գրելու այս ձևին՝ մարդկային ուղեղը սովորաբար չի կարողանում հասկանալ, թե որքան է դա։ Լավ կլիներ, որ կարողանայինք երկուական թվերը վերածել տասնորդականի:

Տասնորդական թվային համակարգում ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես միավորների գումար, տասնյակ, հարյուրավոր և այլն: Օրինակ:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Ուշադիր նայեք այս գրառմանը: Այստեղ 1, 4, 7 և 6 թվերը մի շարք թվեր են, որոնք կազմում են 1476 թիվը։ Այս բոլոր թվերը հերթով բազմապատկվում են տասը բարձրացված այս կամ այն ​​աստիճանով։ Տասը տասնորդական թվային համակարգի հիմքն է։ Այն հզորությունը, որին բարձրացվում է տասը, մինուս մեկ թվանշանի թվանշանն է:

Ցանկացած երկուական թիվ կարող է ընդլայնվել նույն ձևով: Այստեղ միայն հիմքը կլինի 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Նրանք. 2-րդ հիմքի 10001001 թիվը հավասար է 10-րդ հիմքի 137 թվին: Կարող եք գրել այսպես.

10001001 2 = 13710
Ինչու՞ է երկուական թվային համակարգը այդքան տարածված:

Փաստն այն է, որ երկուական թվային համակարգը համակարգչային տեխնիկայի լեզուն է: Յուրաքանչյուր թիվ պետք է ինչ-որ կերպ ներկայացված լինի ֆիզիկական միջավայրում: Եթե ​​սա տասնորդական համակարգ է, ապա դուք պետք է ստեղծեք սարք, որը կարող է ունենալ տասը վիճակ: Դա բարդ է. Ավելի հեշտ է արտադրել ֆիզիկական տարր, որը կարող է լինել միայն երկու վիճակում (օրինակ, կա հոսանք կամ չկա հոսանք): Սա հիմնական պատճառներից մեկն է, թե ինչու այդքան մեծ ուշադրություն է դարձվում երկուական թվային համակարգին։
Տասնորդական թիվը երկուականի վերածելը

Հնարավոր է, որ ձեզ անհրաժեշտ լինի տասնորդական թիվը վերածել երկուականի: Ճանապարհներից մեկը երկուսի վրա բաժանելն է և մնացորդից երկուական թիվ կազմելը: Օրինակ, դուք պետք է ստանաք դրա երկուական նշումը 77 թվից.

77 / 2 = 38 (1 մնացորդ)
38 / 2 = 19 (0 մնացորդ)
19 / 2 = 9 (1 մնացորդ)
9 / 2 = 4 (1 մնացորդ)
4 / 2 = 2 (0 մնացորդ)
2 / 2 = 1 (0 մնացորդ)
1/2 = 0 (1 մնացորդ)

Մնացորդները հավաքում ենք միասին՝ սկսած վերջից՝ 1001101։ Սա 77 թիվն է երկուական ներկայացման մեջ։ Եկեք ստուգենք.

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Օկտալ թվային համակարգ

Այսպիսով, ժամանակակից «ապարատը հասկանում է» միայն երկուական թվային համակարգը: Այնուամենայնիվ, մարդու համար դժվար է մի կողմից ընկալել զրոների և միավորների երկար գրառումները, իսկ մյուս կողմից՝ թվերը երկուականից տասնորդական համակարգից և հետ փոխարկելը բավականին ժամանակատար և աշխատատար է։ Արդյունքում, ծրագրավորողները հաճախ օգտագործում են այլ թվային համակարգեր՝ օկտալ և տասնվեցական։ Ե՛վ 8-ը, և՛ 16-ը երկուսի ուժեր են, և երկուական թիվը դրանց վերածելը (ինչպես նաև հակադարձը) շատ հեշտ է:

Օկտալ թվային համակարգն օգտագործում է ութ նիշ (0-ից մինչև 7): Յուրաքանչյուր թվանշան համապատասխանում է երկուական թվային համակարգում երեք թվանշանների շարքին.

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Երկուական թիվը ութնյակի վերածելու համար բավական է այն բաժանել եռյակների և դրանք փոխարինել օկտալային թվային համակարգի համապատասխան թվանշաններով։ Պետք է սկսել վերջից եռյակների բաժանել, իսկ սկզբում բաց թողնված թվերը փոխարինել զրոներով։ Օրինակ:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Այսինքն՝ երկուական թվային համակարգում 1011101 թիվը հավասար է ութնյակային թվային համակարգի 135 թվին։ Կամ 1011101 2 = 1358:

Հակադարձ թարգմանություն. Ենթադրենք՝ ուզում եք 1008 թիվը (չսխալվեք. 100-ը ութտալում 100-ը չէ տասնորդական) երկուական թվային համակարգի։

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Օկտալ թիվը տասնորդական թվի վերածելը կարող է կատարվել արդեն ծանոթ սխեմայի միջոցով.

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Տասնվեցական թվային համակարգ

Տասնվեցական թվային համակարգը, ինչպես օկտալ թվային համակարգը, լայնորեն կիրառվում է համակարգչային գիտության մեջ՝ երկուական թվերը դրան փոխակերպելու հեշտության պատճառով։ Տասնվեցական նշումը թվերն ավելի կոմպակտ է դարձնում:

Տասնվեցական թվային համակարգում օգտագործվում են 0-ից 9-ը և առաջին վեց լատինատառերը՝ A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15):

Երկուական թիվը տասնվեցականի վերածելիս առաջինը բաժանվում է չորս նիշանոց խմբերի՝ սկսած վերջից։ Եթե ​​թվանշանների թիվը չի բաժանվում ամբողջ թվի, ապա առաջին չորսին կցվում են զրոները առջևում։ Յուրաքանչյուր չորսը համապատասխանում է տասնվեցական թվային համակարգում թվի.

Օրինակ:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Անհրաժեշտության դեպքում 4C5 թիվը կարող է փոխարկվել տասնորդական թվային համակարգի հետևյալ կերպ (C-ն պետք է փոխարինվի տասնորդական թվային համակարգում այս նշանին համապատասխան թվով. սա 12 է).

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Առավելագույն երկնիշ թիվը, որը կարելի է ստանալ տասնվեցական նշումով, FF է:

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255-ը մեկ բայթի առավելագույն արժեքն է, որը հավասար է 8 բիթին՝ 1111 1111 = FF: Հետևաբար, օգտագործելով տասնվեցական թվային համակարգը, շատ հարմար է բայթերի արժեքները համառոտ գրել (օգտագործելով երկու նիշ): Ուշադրություն. 8-բիթանոց բայթը կարող է ունենալ 256 վիճակ, բայց առավելագույն արժեքը 255 է: Մի մոռացեք 0-ի մասին, սա հենց 256-րդ վիճակն է:

Դասախոսություն 1. Թվային համակարգեր

1. Թվային համակարգերի առաջացման պատմությունը.

2. Դիրքային և ոչ դիրքային թվային համակարգեր.

3. Տասնորդական թվային համակարգ՝ դրանում թվեր գրելով։

4. աստիճան

Մարդն անընդհատ պետք է գործ ունենա թվերի հետ, այնպես որ դուք պետք է կարողանաք ճիշտ անվանել և գրել ցանկացած թիվ, ինչպես նաև կատարել գործողություններ թվերի վրա: Որպես կանոն, բոլորը հաջողությամբ են գլուխ հանում դրանով։ Այստեղ օգնում է թվեր գրելու մեթոդը, որը ներկայումս օգտագործվում է ամենուր և կոչվում է տասնորդական թվային համակարգ։

Այս համակարգի ուսումնասիրությունը սկսվում է տարրական դպրոց, և, իհարկե, ուսուցիչը որոշակի գիտելիքների կարիք ունի այս ոլորտում: Նա պետք է իմանա թվեր գրելու տարբեր եղանակներ, ալգորիթմներ թվաբանական գործողություններև դրանց հիմնավորումը: Այս դասախոսության նյութն ապահովում է այն նվազագույնը, առանց որի անհնար է հասկանալ դասավանդման տարբեր մեթոդաբանական մոտեցումները: կրտսեր դպրոցականներթվեր գրելու և դրանց վրա գործողություններ կատարելու եղանակները.

Թվային համակարգերի առաջացման պատմությունը.

Թիվ հասկացությունն առաջացել է հին ժամանակներում։ Հետո թվեր անվանելու ու գրելու անհրաժեշտություն առաջացավ։ Թվերը անվանելու, գրելու և դրանց վրա գործողություններ կատարելու լեզուն կոչվում է թվային համակարգ.

Ամենապարզ համակարգըգրառումներ բնական թվերպահանջում է միայն մեկ թիվ, օրինակ՝ «ձողիկներ» (կամ փայտի կտրվածքներ, օրինակ պարզունակ մարդ, կամ պարանի հանգույց, ինչպես ամերիկյան հնդկացիները), որը ներկայացնում է միավոր։ Կրկնելով այս նշանը՝ կարող եք գրել ցանկացած թիվ՝ յուրաքանչյուր թիվ nուղղակի գրված n«ձողիկներ». Նման թվային համակարգում հարմար է կատարել թվաբանական գործողություններ։ Բայց ձայնագրման այս մեթոդը շատ տնտեսական չէ և մեծ թվերի համար անխուսափելիորեն հանգեցնում է հաշվելու սխալների:

Ուստի ժամանակի ընթացքում առաջացան թվեր գրելու այլ՝ ավելի խնայող ու հարմար եղանակներ։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:

IN Հին Հունաստանայսպես կոչված ձեղնահարկի համարակալում. 1, 2, 3, 4 թվերը նշվում էին գծիկներով.

5 թիվը գրվել է G նշանով («փի» տառի հնագույն ձևը, որով սկսվում է «pente» բառը՝ հինգ)։ 6, 7, 8, 9 համարները նշանակվել են հետևյալ կերպ.

10 թիվը նշանակվում էր Δ-ով («deca» բառի սկզբնական տառը տաս է): 100, 1000 և 10000 թվերը նշանակվել են H, X, M՝ համապատասխան բառերի սկզբնական տառերը:

Այս նշանների տարբեր համակցություններով գրվել են այլ թվեր։

Ք.ա. երրորդ դարում ատտիկական համարակալումը փոխարինվեց այսպես կոչվածով Հոնիական համակարգ. Դրանում 1-ից 9 թվերը նշվում են այբուբենի առաջին ինը տառերով. α (ալֆա), β (բետա), γ (գամմա), δ (դելտա), ε (էպսիլոն), ς (վայ) ζ (զետա),
η (ետա), (թետա):

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 թվերը հետևյալ ինը տառերով. ես(իոտա),
κ (կապպա), λ (լամբդա), μ (mu), ν (մերկ), ξ (xi), ο (օմիկրոն), π (pi), Հետ(ոստիկան).

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 թվերը հունական այբուբենի վերջին ինը տառերն են։

Հին ժամանակներում հրեաները, արաբները և Մերձավոր Արևելքի շատ այլ ժողովուրդներ ունեին այբբենական համարակալում, որը նման էր հին հունականին: Անհայտ է, թե որ մարդկանց մեջ է այն առաջին անգամ հայտնվել։

IN Հին Հռոմ «Բանալին» թվերն էին 1, 5, 10, 50, 100, 500 և 1000: Դրանք նշանակվում էին համապատասխանաբար I, V, X, L, C, D և M տառերով:

Բոլոր ամբողջ թվերը (մինչև 5000) գրվել են վերը նշված թվերը կրկնելով։ Միևնույն ժամանակ, եթե փոքրի դիմաց ավելի մեծ թիվ է, ապա դրանք գումարվում են, իսկ եթե փոքրը գտնվում է ավելի մեծի դիմաց (այս դեպքում այն ​​չի կարող կրկնվել), ապա փոքրը հանվում է. ավելի մեծից՝ VI = 6, այսինքն. 5 + 1; IV = 4, այսինքն. 5 – 1;
XL = 40, այսինքն. 50 - 10; LX = 60, այսինքն. 50 + 10. Նույն թիվը դրվում է ոչ ավելի, քան երեք անգամ անընդմեջ՝ LXX = 70, LXXX = 80, 90 թիվը գրվում է XC (ոչ LXX):

Օրինակ՝ XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818:

Այս նշումով բազմանիշ թվերի վրա թվաբանական գործողություններ կատարելը շատ դժվար է։ Սակայն հռոմեական համարակալումը պահպանվել է մինչ օրս։ Այն օգտագործվում է նշելու տարեդարձեր, գիտաժողովների անվանումներ, գրքերի գլուխներ և այլն:

Հին ժամանակներում ռուսերենում թվերը նշանակվում էին տառերով: Նշելու համար, որ նշանը տառ չէ, այլ թիվ, նրանց վերևում դրվել է հատուկ նշան, որը կոչվում է «տիտղոս»։ Առաջին ինը թվանշանները գրվել են այսպես.

Տասնյակները նշանակվում են հետևյալ կերպ.

Հարյուրավորները նշանակված են հետևյալ կերպ.

ՀազարավորՆշանակվում էին նույն տառերով, որտեղ «վերնագրեր» էին առաջին ինը թվանշանները, բայց ձախ կողմում ունեին «≠» նշան՝ ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000:

Տասնյակ հազարավորկոչվում էին « մութ», դրանք նշանակվել են միավորի նշանները շրջելով.

10 000, = 20 000, = 80 000.

Այստեղից է գալիս «Խավարը ժողովրդին» արտահայտությունը, այսինքն. շատ մարդիկ կան.

Հարյուր հազարավորկոչվում էին « լեգեոններ«, դրանք նշանակվել են միավորի նշանները կետերի շրջանակներով շրջելով.

100 000, = 200 000, = 800 000.

Միլիոնավորներկոչվում էին « լեոդրաներ« Դրանք նշանակվել են միավորի նշանները ճառագայթների կամ ստորակետերի շրջանակներով շրջելով.

1 000 000, = 2 000 000.

Տասնյակ միլիոններկոչվում էին « ագռավներ«կամ «կորվիդներ» և դրանք նշանակվել են՝ միավորի նշանները շրջանցելով խաչերի շրջանակներով կամ դնելով K տառը երկու կողմերում.

Հարյուրավոր միլիոններկոչվում էին « տախտակամածներ« «Տախտակամածն» ուներ հատուկ նշանակում՝ տառի վերևում և ներքևում տեղադրված էին քառակուսի փակագծեր.

Բնակիչների հիերոգլիֆները Հին Բաբելոնկազմված էին նեղ ուղղահայաց և հորիզոնական սեպերից, այս երկու պատկերակները նաև օգտագործվում էին թվեր գրանցելու համար: Մեկ ուղղահայաց սեպը նշանակում էր մեկ, իսկ հորիզոնականը՝ տասը։ Հին Բաբելոնում հաշվում էին 60 միավորից բաղկացած խմբերով։ Օրինակ՝ 185 թիվը ներկայացված էր 3 անգամ 60-ով և 5-ով ավելի: Նման թիվ գրվել է ընդամենը երկու նշանով, որոնցից մեկը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է վերցվել 60-ը, իսկ մյուսը՝ քանի միավոր է վերցվել:

Բազմաթիվ վարկածներ կան այն մասին, թե երբ և ինչպես է առաջացել սեքսիմալ համակարգը բաբելոնացիների մոտ, բայց ոչ մեկը դեռ ապացուցված չէ: Վարկածներից մեկն այն է, որ գոյություն է ունեցել երկու ցեղերի խառնուրդ, որոնցից մեկը օգտագործում էր վեցակի համակարգը, իսկ մյուսը՝ տասնորդական համակարգը։ Սեքսասիմալ համակարգը առաջացել է որպես փոխզիջում այս երկու համակարգերի միջև: Մեկ այլ վարկած այն է, որ բաբելոնացիները տարվա երկարությունը համարում էին 360 օր, ինչը բնականաբար կապված է 60 թվի հետ։

Սեռասիմալ համակարգը, որոշ չափով, գոյատևել է մինչ օրս, օրինակ՝ ժամը բաժանելով 60 րոպեի, իսկ րոպեն՝ 60 վայրկյանի, իսկ անկյունների չափման նմանատիպ համակարգում՝ 1 աստիճանը հավասար է 60 րոպեի, 1։ րոպեն 60 վայրկյան է:

Երկուական համակարգՆշումը օգտագործվում էր որոշ պարզունակ ցեղերի կողմից հաշվելու ժամանակ, այն հայտնի էր հին չինացի մաթեմատիկոսներին, բայց գերմանացի մեծ մաթեմատիկոս Լայբնիցն էր, ով իսկապես զարգացրեց և կառուցեց երկուական համակարգը, ով դրա մեջ տեսավ խորը մետաֆիզիկական ճշմարտության անձնավորում:

Երկուական թվերի համակարգը օգտագործվում է որոշ (տեղական) մշակույթների կողմից Աֆրիկայում, Ավստրալիայում և Հարավային Ամերիկա.

Երկուական թվային համակարգում թվերը ներկայացնելու համար պահանջվում է ընդամենը երկու թվանշան՝ 0 և 1: Այդ պատճառով թվի երկուական նշումը հեշտ է ներկայացնել՝ օգտագործելով երկու տարբեր կայուն վիճակներ ունեցող ֆիզիկական տարրեր: Հենց դա էլ ծառայեց որպես ժամանակակից էլեկտրոնային համակարգիչներում երկուական համակարգի լայն տարածման կարևոր պատճառներից մեկը:

Բոլոր թվային համակարգերից ամենատնտեսողն է եռակի. Երկուական համակարգը և չորրորդական համակարգը, որն արդյունավետությամբ համարժեք է դրան, այս առումով որոշակիորեն զիջում են եռյակ համակարգին, բայց գերազանցում են բոլոր հիմնական հնարավոր համակարգերին։ Եթե ​​տասնորդական համակարգում 1-ից 10 թվեր գրելու համար անհրաժեշտ է 90 տարբեր վիճակ, իսկ երկուական համակարգում՝ 60, ապա եռակի համակարգում բավարար է 57 վիճակ։

Ամենատարածված իրավիճակը, որում դրսևորվում է եռակի վերլուծության անհրաժեշտությունը, թերևս, կշռելն է բաժակի կշեռքի վրա: Այստեղ կարող են առաջանալ երեք տարբեր դեպքեր՝ կամ բաժակներից մեկը կգերազանցի մյուսին, կամ հակառակը, կամ գավաթները կհավասարակշռեն միմյանց։

Չորրորդական թվային համակարգօգտագործվում է հիմնականում Հարավային Ամերիկայի հնդկական ցեղերի և Կալիֆորնիայի Յուկա հնդկացիների կողմից, ովքեր հաշվում են իրենց մատների միջև եղած բացերը։

Հնգապատիկ թվային համակարգշատ ավելի տարածված էր, քան մյուսները։ Հարավային Ամերիկայի Tamanacos հնդկացիները 5 համարի համար օգտագործում են նույն բառը, ինչ «ամբողջ ձեռքը»: «Վեց» բառը թամանակում նշանակում է «մյուս ձեռքի մի մատ», յոթ՝ «մյուս ձեռքի երկու մատ» և այլն։ ութ և ինը համար: Տասը կոչվում է «երկու ձեռք»: Ցանկանալով անվանել 11-ից մինչև 14 թիվը, Թամանակոսները երկու ձեռքերն առաջ են մեկնում և հաշվում. «մեկը ոտքի վրա, երկուսը ոտքի վրա» և այլն: մինչև նրանք հասնեն 15 - «ամբողջ ոտքը»: Դրան հաջորդում է «մեկը մյուս ոտքի վրա» (թիվ 16) և այլն: մինչև 19. Թամանակի 20 թիվը նշանակում է «մեկ հնդիկ», 21-ը՝ «մեկ ուրիշ հնդիկի ձեռքին»։ «Երկու հնդիկ» նշանակում է 40, «երեք հնդիկ» նշանակում է 60:

Հին Յավայի և ացտեկների բնակիչները շաբաթը 5 օր են ունեցել։

Որոշ պատմաբաններ կարծում են, որ հռոմեական X (տասը) թիվը կազմված է երկու հռոմեական 5-ից V-ից (դրանցից մեկը շրջված է), իսկ V թիվը իր հերթին առաջացել է մարդու ձեռքի ոճավորված պատկերից։

Տարածված է եղել հին ժամանակներում տասներկումատնյա թվերի համակարգ. Նրա ծագումը կապված է նաեւ մատներով հաշվելու հետ։ Այսինքն, քանի որ ձեռքի չորս մատները (բացի բթամատից) ունեն ընդհանուր առմամբ 12 ֆալանգներ, ապա այդ ֆալանգների երկայնքով, դրանք հերթով շուռ տալով բթամատով, հաշվում են 1-ից մինչև 12: Այնուհետև 12-ը վերցվում է որպես միավոր: հաջորդ թվանշանը.

Տասներկումատնյա համակարգի հիմնական առավելությունն այն է, որ դրա հիմքը բաժանվում է 2-ի, 3-ի և 4-ի: Տասներկումատնյա համակարգի կողմնակիցները հայտնվել են 16-րդ դարում: Ավելի ուշ դրանք ներառում էին. նշանավոր մարդիկ, ինչպես Հերբերտ Սփենսերը, Ջոն Քուինսի Ադամսը և Ջորջ Բերնարդ Շոուն։ Կա նույնիսկ Ամերիկյան տասներկումատնյա միություն, որը հրատարակում է երկու պարբերական՝ Duodecimal Bulletin և Duodecimal System Manual: Հասարակությունը բոլոր «տասներկումատնյա աղիքներին» տրամադրում է հատուկ հաշվիչ քանոն, որի հիմքում 12-ն է։

Բանավոր խոսքում տասներկումատնյա համակարգի մնացորդները պահպանվել են մինչ օրս. «տասներկու» ասելու փոխարեն ոմանք ասում են «տասնյակ»։ Պահպանվել է սովորույթը, որ շատ իրեր հաշվում են ոչ թե տասնյակներով, այլ տասնյակներով, օրինակ՝ սպասարկման պատառաքաղը (12 հոգու համար նախատեսված հավաքածու) կամ աթոռները՝ կահույքի հավաքածուում։

Տասներկումատնյա թվային համակարգում երրորդ թվանշանային միավորի անվանումն է համախառն- այժմ հազվադեպ է, բայց 20-րդ դարի սկզբին առևտրային պրակտիկայում այն ​​գոյություն ուներ և նույնիսկ հարյուր տարի առաջ հեշտությամբ կարելի էր գտնել: Օրինակ, «Պլյուշկին» բանաստեղծության մեջ, որը գրվել է 1928 թվականին Վ.Վ. Մայակովսկին, ծաղրելով այն քաղաքաբնակներին, ովքեր գնում են այն ամենը, ինչ իրենց պետք է և պետք չէ, գրել է.

Նայել շուրջը

ապրանքների ցրում,

Երկուական թվային համակարգն օգտագործում է միայն երկու թվանշան՝ 0 և 1։ Այլ կերպ ասած, երկուական թվային համակարգի հիմքն է։ (Նմանապես, տասնորդական համակարգը ունի 10 հիմք):

Որպեսզի սովորենք հասկանալ թվերը երկուական թվային համակարգում, նախ մտածեք, թե ինչպես են թվերը ձևավորվում մեզ ծանոթ տասնորդական թվային համակարգում:

Տասնորդական թվային համակարգում մենք ունենք տասը նիշ (0-ից մինչև 9): Երբ հաշվարկը հասնում է 9-ի, ներմուծվում է նոր թվանշան (տասնյակ), թվերը զրոյացվում են և հաշվումը նորից սկսվում է: 19-ից հետո տասնյակների թվանշանն ավելանում է 1-ով, և միավորները կրկին զրոյացվում են: Եվ այսպես շարունակ։ Երբ տասնյակները հասնում են 9-ի, ապա հայտնվում է երրորդ թվանշանը՝ հարյուրավորները։

Երկուական թվային համակարգը նման է տասնորդական թվային համակարգին, բացառությամբ, որ թվի ձևավորման մեջ ներգրավված են միայն երկու թվանշաններ՝ 0 և 1։ Հենց որ թվանշանը հասնում է իր սահմանին (այսինքն՝ մեկին), հայտնվում է նոր թվանշան, և հինը զրոյացված է:

Փորձենք հաշվել երկուական համակարգում.
0-ը զրո է
1-ը մեկն է (և սա լիցքաթափման սահմանն է)
10-ը երկուսն է
11-ը երեքն է (և դա կրկին սահմանն է)
100-ը չորս է
101 - հինգ
110 – վեց
111 – յոթ և այլն:

Թվերը երկուականից տասնորդականի վերածելը

Դժվար չէ նկատել, որ երկուական թվային համակարգում թվերի երկարությունը արագորեն մեծանում է արժեքների մեծացմանը զուգընթաց: Ինչպե՞ս որոշել, թե դա ինչ է նշանակում՝ 10001001: Անսովոր թվեր գրելու այս ձևին՝ մարդկային ուղեղը սովորաբար չի կարողանում հասկանալ, թե որքան է դա։ Լավ կլիներ, որ կարողանայինք երկուական թվերը վերածել տասնորդականի:

Տասնորդական թվային համակարգում ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես միավորների գումար, տասնյակ, հարյուրավոր և այլն: Օրինակ:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Ուշադիր նայեք այս գրառմանը: Այստեղ 1, 4, 7 և 6 թվերը մի շարք թվեր են, որոնք կազմում են 1476 թիվը։ Այս բոլոր թվերը հերթով բազմապատկվում են տասը բարձրացված այս կամ այն ​​աստիճանով։ Տասը տասնորդական թվային համակարգի հիմքն է։ Այն հզորությունը, որին բարձրացվում է տասը, մինուս մեկ թվանշանի թվանշանն է:

Ցանկացած երկուական թիվ կարող է ընդլայնվել նույն ձևով: Այստեղ միայն հիմքը կլինի 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Նրանք. 2-րդ հիմքի 10001001 թիվը հավասար է 10-րդ հիմքի 137 թվին: Կարող եք գրել այսպես.

10001001 2 = 137 10

Ինչու՞ է երկուական թվային համակարգը այդքան տարածված:

Փաստն այն է, որ երկուական թվային համակարգը համակարգչային տեխնիկայի լեզուն է: Յուրաքանչյուր թիվ պետք է ինչ-որ կերպ ներկայացված լինի ֆիզիկական միջավայրում: Եթե ​​սա տասնորդական համակարգ է, ապա դուք պետք է ստեղծեք սարք, որը կարող է ունենալ տասը վիճակ: Դա բարդ է. Ավելի հեշտ է արտադրել ֆիզիկական տարր, որը կարող է լինել միայն երկու վիճակում (օրինակ, կա հոսանք կամ չկա հոսանք): Սա հիմնական պատճառներից մեկն է, թե ինչու այդքան մեծ ուշադրություն է դարձվում երկուական թվային համակարգին։

Տասնորդական թիվը երկուականի վերածելը

Հնարավոր է, որ ձեզ անհրաժեշտ լինի տասնորդական թիվը վերածել երկուականի: Ճանապարհներից մեկը երկուսի վրա բաժանելն է և մնացորդից երկուական թիվ կազմելը: Օրինակ, դուք պետք է ստանաք դրա երկուական նշումը 77 թվից.

77 / 2 = 38 (1 մնացորդ)
38 / 2 = 19 (0 մնացորդ)
19 / 2 = 9 (1 մնացորդ)
9 / 2 = 4 (1 մնացորդ)
4 / 2 = 2 (0 մնացորդ)
2 / 2 = 1 (0 մնացորդ)
1/2 = 0 (1 մնացորդ)

Մնացորդները հավաքում ենք միասին՝ սկսած վերջից՝ 1001101։ Սա 77 թիվն է երկուական ներկայացման մեջ։ Եկեք ստուգենք.

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77